Exercices — Probabilités

Une urne contient cinq jetons indiscernables au toucher, numérotés de $1$ à $5$. On tire successivement et sans remise deux jetons de cette urne. On note le résultat sous la forme d'un couple, le premier nombre désignant le numéro du jeton tiré en premier et le second celui du jeton tiré en second.

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ associé à cette expérience et donner $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{\Omega })$. Expliquer pourquoi cette modélisation rend légitime l'hypothèse d'équiprobabilité.

2. Écrire en extension les événements $A$ : « la somme des deux numéros vaut $6$ » et $B$ : « le premier numéro tiré est pair », puis donner leur cardinal.

3. Décrire $A\cap B$, $A\cup B$ et $\bar{A}$, et donner le cardinal de chacun. Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ?

4. Donner deux systèmes complets d'événements différents associés à cette expérience, en vérifiant à chaque fois la définition.

5. On note $C$ : « le premier numéro tiré vaut $5$ » et $D$ : « le second numéro tiré vaut $5$ ». Traduire en langage ensembliste les trois phrases suivantes, puis donner le cardinal de l'événement obtenu : « au moins un des deux numéros vaut $5$ » ; « aucun des deux numéros ne vaut $5$ » ; « exactement un des deux numéros vaut $5$ ».

6. On aurait pu prendre pour univers l'ensemble des paires $\{i,j\}$ de numéros distincts, sans tenir compte de l'ordre des tirages. Pourquoi ce second modèle est-il inadapté à l'étude menée ici ?

Un banc d'essai teste un capteur et renvoie l'un des cinq codes d'état ${\omega }_1$, ${\omega }_2$, ${\omega }_3$, ${\omega }_4$, ${\omega }_5$, du plus favorable au plus dégradé. On modélise l'expérience par l'univers $\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4,{\omega }_5\}$ et l'on admet que la probabilité du code ${\omega }_i$ est proportionnelle à $i$, c'est-à-dire qu'il existe un réel $a$ tel que

$$P(\{{\omega }_i\})=ai\text{pour tout }i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,5]\text{\hspace{0.17em}⁣}]\mathrm{.}$$

On considère les événements $A=\{{\omega }_1,{\omega }_2\}$, $B=\{{\omega }_2,{\omega }_3\}$ et $C=\{{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_4\}$.

1. Déterminer $a$ et vérifier que l'on définit bien ainsi une distribution de probabilité sur $\mathrm{\Omega }$.

2. Calculer $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$ et $P(A\cup B)$, puis contrôler la formule de la probabilité d'une réunion de deux événements.

3. Calculer $P(A\setminus B)$ et $P(\bar{A})$ en justifiant les formules utilisées.

4. Vérifier que $A\subset C$, comparer $P(A)$ et $P(C)$, puis démontrer la propriété de croissance dans le cas général.

5. Majorer $P(A\cup B\cup C)$ sans utiliser de formule d'inclusion-exclusion, puis calculer la valeur exacte de $P(A\cup B\cup C)$ en décomposant cette réunion en événements deux à deux incompatibles. Commenter la qualité de la majoration.

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $4$ boules rouges et $6$ boules bleues. Les boules portent toutes un numéro différent, elles sont donc deux à deux distinctes. On tire simultanément trois boules de l'urne.

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ associé à cette expérience, donner $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{\Omega })$ et justifier l'hypothèse d'équiprobabilité.

2. Calculer la probabilité de l'événement $R_2$ : « le tirage contient exactement deux boules rouges ».

3. Calculer la probabilité de l'événement $R_0$ : « le tirage ne contient que des boules bleues ».

4. En déduire la probabilité de l'événement $S$ : « le tirage contient au moins une boule rouge ».

5. Calculer la probabilité de l'événement $T$ : « le tirage contient au plus une boule rouge ».

6. Pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $R_k$ : « le tirage contient exactement $k$ boules rouges ». Calculer $P(R_k)$ pour les valeurs manquantes, puis vérifier que la somme des quatre probabilités vaut $1$.

Partie A. Un atelier a reçu $200$ pièces, provenant de deux fournisseurs, Alpha et Bêta. Un contrôle les classe en conformes et non conformes. Les effectifs sont les suivants.

On prélève une pièce au hasard parmi ces $200$ pièces, chacune ayant la même probabilité d'être choisie. On note $F$ : « la pièce provient d'Alpha » et $D$ : « la pièce est non conforme ».

1. Calculer $P(F)$, $P(D)$ et $P(F\cap D)$.

2. Calculer $P(D\mid F)$ et $P(D\mid \bar{F})$, et interpréter ces deux nombres.

3. Calculer $P(F\mid D)$ et $P(\bar{F}\mid D)$. Comparer $P(D\mid F)$ et $P(F\mid D)$, puis vérifier que $P(F\mid D)+P(\bar{F}\mid D)=1$ et expliquer pourquoi ce résultat était prévisible.

Partie B. Une urne contient $8$ boules indiscernables au toucher : $5$ blanches et $3$ noires. On tire successivement et sans remise trois boules. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $B_i$ : « la $i$-ième boule tirée est blanche » et $N_i$ : « la $i$-ième boule tirée est noire ».

4. Calculer $P(B_1\cap N_2\cap B_3)$ à l'aide de la formule des probabilités composées, en explicitant à chaque étape le conditionnement utilisé.

5. Calculer $P(B_1\cap B_2\cap B_3)$, puis en déduire la probabilité de l'événement « le tirage contient au moins une boule noire ».

6. Reprendre la question 4 dans le cas d'un tirage avec remise, et comparer les deux résultats.

Une usine fabrique des capteurs sur trois chaînes de production. La chaîne $1$ assure $50\mathrm{\%}$ de la production, la chaîne $2$ en assure $30\mathrm{\%}$ et la chaîne $3$ les $20\mathrm{\%}$ restants. Les chaînes n'ont pas la même fiabilité : $2\mathrm{\%}$ des capteurs issus de la chaîne $1$ sont défectueux, contre $4\mathrm{\%}$ pour la chaîne $2$ et $5\mathrm{\%}$ pour la chaîne $3$.

On prélève au hasard un capteur dans la production totale d'une journée. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $C_i$ : « le capteur provient de la chaîne $i$ », et $D$ : « le capteur est défectueux ».

1. Traduire les données de l'énoncé en termes de probabilités et de probabilités conditionnelles, puis décrire l'arbre pondéré associé à cette expérience.

2. Justifier que $(C_1,C_2,C_3)$ est un système complet d'événements.

3. Calculer $P(C_1\cap D)$, $P(C_2\cap D)$ et $P(C_3\cap D)$.

4. En déduire $P(D)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

5. Le capteur prélevé est défectueux. Quelle est la probabilité qu'il provienne de la chaîne $2$ ?

6. Calculer de même $P(C_1\mid D)$ et $P(C_3\mid D)$, vérifier la cohérence des trois résultats et commenter.

On lance deux dés cubiques équilibrés et discernables, l'un rouge et l'autre vert. On considère les événements suivants :

• $A$ : « le dé rouge donne un résultat pair » ;
• $B$ : « la somme des deux dés vaut $7$ » ;
• $C$ : « la somme des deux dés vaut $8$ » ;
• $M$ : « les deux dés donnent le même résultat ».

1. Préciser l'univers retenu, justifier l'équiprobabilité, puis calculer $P(A)$, $P(B)$, $P(C)$ et $P(M)$.

2. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Interpréter le résultat à l'aide de $P(B\mid A)$.

3. Les événements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ?

4. Les événements $B$ et $M$ sont-ils incompatibles ? Sont-ils indépendants ? Énoncer et démontrer le résultat général que cet exemple illustre.

5. Vérifier sur le couple $(A,B)$ que $A$ et $\bar{B}$ sont indépendants, puis démontrer ce résultat dans le cas général.

Un jeu se joue avec deux dés tétraédriques équilibrés, dont les faces sont numérotées de $1$ à $4$ : l'un est rouge, l'autre est bleu. Le joueur lance les deux dés ; il gagne, en euros, le nombre indiqué par le dé rouge et perd le nombre indiqué par le dé bleu. On note $X$ le gain algébrique du joueur, en euros.

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ retenu, justifier l'équiprobabilité et déterminer $X(\mathrm{\Omega })$.

2. Déterminer la loi de $X$ et vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$.

3. Calculer $P(X⩽0)$ et $P(X⩽2)$.

4. On pose $Y=\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }$, l'écart entre les deux dés. Déterminer $Y(\mathrm{\Omega })$ puis la loi de $Y$, et expliquer pourquoi certaines probabilités de la loi de $Y$ s'obtiennent en additionnant deux probabilités de la loi de $X$.

5. On note $A$ : « le dé rouge donne $4$ ». Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $A$, et reconnaître une loi usuelle.

Un atelier dispose de quatre postes de travail. À un instant pris au hasard dans la journée, on note $X$ le nombre de postes occupés. Une étude statistique conduit à modéliser la loi de $X$ par le tableau suivant.

1. Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$.

2. Calculer $E(X^2)$ à l'aide de la formule de transfert.

3. En déduire $V(X)$ par la formule de Koenig-Huygens.

4. Retrouver $V(X)$ en appliquant la définition $V(X)=E((X-E(X){)}^2)$, puis calculer $\sigma (X)$.

5. Calculer $E(3X-2)$ et $V(3X-2)$ à l'aide des propriétés du cours.

6. Déterminer la variable centrée réduite $X^{\ast }$ associée à $X$, donner sa loi, et vérifier par le calcul que $E(X^{\ast })=0$ et $V(X^{\ast })=1$.

Dans chacune des cinq situations suivantes, une variable aléatoire $X$ est définie sur un univers fini. Pour chacune :

• dire si $X$ suit une loi usuelle du cours (uniforme, de Bernoulli, binomiale) et justifier en revenant à la définition : les épreuves sont-elles identiques, indépendantes, et $X$ compte-t-elle un nombre de succès ?
• donner $P(X=k)$ pour toute valeur $k$ prise par $X$ ;
• donner $E(X)$ et $V(X)$.

1. Un générateur pseudo-aléatoire renvoie un entier compris entre $1$ et $20$, chacun ayant la même probabilité d'être renvoyé. On note $X$ l'entier obtenu.

2. On prélève une pièce au hasard dans un lot où $3\mathrm{\%}$ des pièces sont non conformes. On note $X$ la variable qui vaut $1$ si la pièce prélevée est non conforme et $0$ sinon.

3. On lance $10$ fois de suite un dé cubique équilibré. On note $X$ le nombre de $6$ obtenus au cours de ces dix lancers.

4. Une urne contient $8$ jetons indiscernables au toucher, dont $5$ gagnants et $3$ perdants. On en tire trois simultanément et l'on note $X$ le nombre de jetons gagnants obtenus.

5. Un atelier possède trois machines, qui fonctionnent indépendamment les unes des autres. Un jour donné, la première tombe en panne avec la probabilité $\mathrm{0,1}$, la deuxième avec la probabilité $\mathrm{0,2}$ et la troisième avec la probabilité $\mathrm{0,3}$. On note $X$ le nombre de machines en panne ce jour-là.

Un lot de contrôle contient $7$ composants électroniques numérotés de $1$ à $7$, donc deux à deux discernables : les composants $1$, $2$ et $3$ sont défectueux, les composants $4$, $5$, $6$ et $7$ sont conformes. Un technicien en prélève $3$, selon l'un des deux protocoles suivants.

• Protocole A (avec remise) : il tire un composant au hasard dans le lot, le teste, le remet dans le lot, et recommence, trois fois en tout.
• Protocole B (sans remise) : il tire trois composants l'un après l'autre, sans jamais remettre dans le lot celui qui vient d'être tiré.

Dans les deux cas, à chaque tirage, tous les composants présents dans le lot ont la même probabilité d'être prélevés.

1. Pour chacun des deux protocoles, décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ retenu, calculer $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{\Omega })$ et justifier que la probabilité y est uniforme.

2. Calculer, pour chaque protocole, la probabilité de l'événement $U$ : « le prélèvement contient exactement un composant défectueux ».

3. Même question pour l'événement $V$ : « le prélèvement contient au moins un composant défectueux ».

4. Même question pour l'événement $W$ : « les trois composants prélevés sont tous de la même sorte ».

5. Pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $D_k$ l'événement « le prélèvement contient exactement $k$ composants défectueux ». Dresser le tableau des quatre probabilités $P(D_k)$ pour chacun des deux protocoles, vérifier que chaque ligne somme à $1$, puis comparer et commenter.

6. Dans le protocole B, montrer que pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, la probabilité que le $k$-ième composant prélevé soit défectueux ne dépend pas de $k$.

On lance en même temps un dé cubique équilibré, dont les faces portent les numéros de $1$ à $6$, et un dé tétraédrique équilibré, dont les faces portent les numéros de $1$ à $4$. On note $X$ le résultat du dé à six faces et $Y$ celui du dé à quatre faces ; les deux lancers n'ont aucune influence l'un sur l'autre, on admet donc que $X$ et $Y$ sont indépendantes. On pose

$$S=X+Y\text{et}D=\mathrm{\mid }X-Y\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$, justifier l'équiprobabilité, et donner les lois de $X$ et de $Y$.

2. Déterminer $S(\mathrm{\Omega })$, puis la loi de $S$ sous forme de tableau. Vérifier que les probabilités obtenues somment à $1$.

3. Calculer $E(S)$ de deux façons : à partir de la loi obtenue à la question 2, puis par linéarité de l'espérance.

4. Calculer $V(S)$ en exploitant l'indépendance de $X$ et de $Y$, puis retrouver le résultat à partir de la loi de $S$.

5. Déterminer la loi de $D$, puis calculer $E(D)$.

6. Les variables $S$ et $D$ sont-elles indépendantes ? Justifier à l'aide d'un couple de valeurs bien choisi, puis expliquer le phénomène.

Une maladie touche $\mathrm{0,5}\mathrm{\%}$ de la population d'un pays. Un laboratoire commercialise un test de dépistage dont les performances annoncées sont les suivantes :

• sensibilité $98\mathrm{\%}$ : chez une personne malade, le test est positif dans $98\mathrm{\%}$ des cas ;
• spécificité $96\mathrm{\%}$ : chez une personne saine, le test est négatif dans $96\mathrm{\%}$ des cas.

On choisit une personne au hasard dans la population et on lui fait passer le test.

1. Introduire les événements utiles, préciser le système complet d'événements employé, et traduire les trois données de l'énoncé. En déduire le taux de faux positifs.

2. Calculer la probabilité que le test soit positif. Donner la valeur exacte, puis une valeur décimale.

3. Calculer la probabilité qu'une personne dont le test est positif soit réellement malade (on appelle cette quantité la valeur prédictive positive du test). Donner la valeur exacte sous forme de fraction irréductible, puis une valeur approchée à ${10}^{-4}$ près.

4. Le résultat de la question 3 surprend, alors que le test se trompe rarement. Expliquer, par exemple en raisonnant sur une population de $100000$ personnes.

5. On applique maintenant le même test dans une population à risque, où la prévalence de la maladie est vingt fois plus élevée que dans la population générale. Reprendre les questions 2 et 3 et comparer.

6. On revient à la population générale. Une personne dont le test est positif passe un second test, de nature différente du premier mais de mêmes sensibilité et spécificité. On suppose que, conditionnellement à l'état de santé de la personne, les deux tests sont indépendants. Calculer la probabilité qu'elle soit malade sachant que les deux tests sont positifs, et commenter.

Une source numérique émet un bit, qui vaut $1$ avec la probabilité $q$ et $0$ avec la probabilité $1-q$, où $q\in ]0,1[$. Ce bit traverse un canal de transmission bruité, dit binaire symétrique : quel que soit le bit émis, le canal le restitue inversé avec la probabilité $p\in ]0,1[$ et intact avec la probabilité $1-p$. On note $X$ le bit émis et $Y$ le bit reçu.

Partie A. Une seule transmission.

1. Préciser l'univers retenu et traduire les données de l'énoncé en termes de probabilités et de probabilités conditionnelles.

2. Calculer $P(Y=1)$ en fonction de $p$ et de $q$, puis donner sa valeur pour $p=\mathrm{0,1}$ et $q=\mathrm{0,6}$.

3. Calculer $P(X=1\mid Y=1)$ en fonction de $p$ et de $q$, puis pour les mêmes valeurs numériques. Commenter.

4. Que valent $P(Y=1)$ et $P(X=1\mid Y=1)$ lorsque $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ? Interpréter.

Partie B. Un code de répétition.

Pour fiabiliser la transmission, on émet trois fois de suite le même bit, sur trois transmissions indépendantes du canal, indépendantes elles-mêmes du bit émis. Le récepteur décide alors à la majorité : il retient la valeur qui apparaît au moins deux fois parmi les trois bits reçus.

5. Montrer que la probabilité d'erreur de décodage vaut $3p^2-2p^3$, et vérifier qu'elle ne dépend pas de $q$.

6. Montrer que cette probabilité d'erreur est strictement inférieure à $p$ si et seulement si $p<{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Donner sa valeur pour $p=\mathrm{0,1}$ et conclure.

Une urne contient initialement $r$ boules rouges et $b$ boules blanches, avec $r⩾1$ et $b⩾1$ ; on pose $N=r+b$. On effectue trois tirages successifs selon le protocole suivant : on tire une boule au hasard, c'est-à-dire de façon uniforme parmi toutes celles présentes dans l'urne, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne en y ajoutant $c$ boules supplémentaires de la même couleur, où $c$ est un entier naturel fixé.

Ce dispositif, dû à Pólya, modélise un phénomène de contagion ou de renforcement : chaque tirage rend la couleur qui vient de sortir plus probable au tirage suivant. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $R_i$ l'événement « la $i$-ième boule tirée est rouge », et $\overline{R_i}$ l'événement contraire.

1. Décrire un univers fini adapté à cette expérience et donner les probabilités conditionnelles qui gouvernent les deuxième et troisième tirages. Pourquoi l'énoncé se limite-t-il à trois tirages ?

2. Calculer $P(R_1\cap R_2)$ en fonction de $r$, $b$ et $c$.

3. Calculer $P(R_2)$ et comparer à $P(R_1)$.

4. Calculer $P(R_1\mid R_2)$, comparer à $P(R_2\mid R_1)$ et interpréter.

5. Montrer que $P(R_3)={\displaystyle \frac{r}{N}}$.

6. On prend $r=3$, $b=2$ et $c=2$. Donner les valeurs numériques des quatre questions précédentes, puis calculer $P(R_1\cap R_2\cap R_3)$ et la comparer à $P(R_1{)}^3$. Conclure.

On rappelle qu'une famille finie d'événements $(A_1,\dots ,A_n)$ est dite mutuellement indépendante lorsque, pour toute partie $I$ de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ contenant au moins deux indices,

$$P\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)=\prod _{i\in I}P(A_i)\mathrm{.}$$

L'objet de cet exercice est de montrer que, pour trois événements, la condition portant sur les paires et celle portant sur le triplet sont indépendantes l'une de l'autre : aucune des deux n'entraîne l'autre.

Partie A. Deux lancers d'une pièce.

On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. On note $A$ l'événement « le premier lancer donne pile », $B$ l'événement « le second lancer donne pile » et $C$ l'événement « les deux lancers donnent le même résultat ».

1. Décrire l'univers, justifier l'équiprobabilité, et calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(C)$.

2. Montrer que $A$, $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants.

3. Ces trois événements sont-ils mutuellement indépendants ? Donner une interprétation concrète de la réponse.

Partie B. L'exemple de Bernstein.

On lance un dé tétraédrique équilibré et on observe la face sur laquelle il se pose. Les faces sont peintes ainsi : la face $1$ est rouge, la face $2$ est verte, la face $3$ est bleue, et la face $4$ porte les trois couleurs à la fois. On note $A^{\mathrm{\prime }}$, $B^{\mathrm{\prime }}$ et $C^{\mathrm{\prime }}$ les événements « la face obtenue comporte du rouge », « … du vert », « … du bleu ».

4. Reprendre les questions 1, 2 et 3 pour ces trois événements.

5. Comparer les deux exemples précédents.

Partie C. La réciproque est fausse aussi.

On lance deux dés cubiques équilibrés et indépendants ; on note $X$ le résultat du premier et $Y$ celui du second. On pose

$$F=(X\in \{1,2,3\}),G=(X\in \{3,4,5\}),H=(X+Y=9)\mathrm{.}$$

6. Vérifier que $P(F\cap G\cap H)=P(F)P(G)P(H)$, et qu'aucun des trois couples $(F,G)$, $(F,H)$, $(G,H)$ n'est formé d'événements indépendants. Que peut-on en conclure ?

Partie A. Le schéma de Bernoulli.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $p\in ]0,1[$. On répète $n$ fois, de façon indépendante, une même épreuve n'ayant que deux issues, appelées succès (de probabilité $p$) et échec (de probabilité $q=1-p$). On note $S_n$ le nombre de succès obtenus au cours de ces $n$ épreuves.

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ retenu et la probabilité dont on le munit. Vérifier que la somme des probabilités des issues vaut bien $1$.

2. En dénombrant les issues réalisant $(S_n=k)$, démontrer que $S_n\sim \mathcal{B}(n,p)$.

3. Retrouver ce résultat en écrivant $S_n$ comme une somme d'indicatrices, et en déduire $E(S_n)$.

Partie B. Application.

Un capteur placé sur une chaîne de production détecte le passage d'une pièce avec la probabilité $p=\mathrm{0,8}$, indépendamment d'un passage à l'autre. Six pièces défilent ; on note $S$ le nombre de détections.

4. Donner la loi de $S$, puis calculer la probabilité qu'il y ait au moins cinq détections.

5. Démontrer que, pour une variable de loi $\mathcal{B}(n,p)$, la probabilité d'obtenir un nombre pair de succès vaut ${\displaystyle \frac{1+(q-p{)}^n}{2}}$. On pourra additionner les développements de $(q+p{)}^n$ et de $(q-p{)}^n$. En déduire la probabilité que le nombre de détections soit pair.

6. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement quatre détections sachant qu'il y en a au moins trois.

On prélève au hasard une pièce en fin de chaîne de production. On note $X$ son écart de cote, mesuré en centièmes de millimètre et arrondi à l'entier le plus proche, à valeurs dans $\{-1,0,1\}$, et $Y$ le nombre de retouches qu'elle a subies, à valeurs dans $\{0,1,2\}$. La loi conjointe du couple $(X,Y)$ est donnée par le tableau suivant, où $a$ est un réel à déterminer.

1. Déterminer $a$.

2. Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$, et vérifier chacune d'elles.

3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Justifier en exhibant un couple de valeurs pour lequel la factorisation échoue.

4. Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant l'événement $(Y=1)$, vérifier que c'est bien une loi, et la comparer à la loi de $X$.

5. Calculer $E(XY)$ à l'aide de la formule de transfert.

6. En déduire $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$ et interpréter son signe.

7. Serait-il possible de rendre $X$ et $Y$ indépendantes en modifiant une seule case du tableau, la somme des neuf cases devant rester égale à $1$ ?

Cet exercice établit, par le calcul, les valeurs de l'espérance et de la variance des trois lois usuelles du chapitre. Dans tout l'énoncé, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $p\in [0,1]$, et l'on pose $q=1-p$. On rappelle les deux sommes classiques

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\text{et}\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\mathrm{.}$$

Partie A. Loi uniforme. Soit $X\sim \mathcal{U}([\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$.

1. Démontrer que $E(X)={\displaystyle \frac{n+1}{2}}$.

2. Calculer $E(X^2)$, puis démontrer que $V(X)={\displaystyle \frac{n^2-1}{12}}$. Vérifier le résultat pour $n=1$.

Partie B. Loi de Bernoulli. Soit $X\sim \mathcal{B}(p)$.

3. Calculer $E(X)$. Justifier l'égalité $X^2=X$ et en déduire $V(X)$.

Partie C. Loi binomiale. Soit $X\sim \mathcal{B}(n,p)$.

4. Démontrer que $k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)$ pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, puis en déduire $E(X)$ par la formule de transfert.

5. Démontrer de même que $k(k-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=n(n-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-2}{k-2}\right)$ pour $n⩾2$ et $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[2,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Calculer $E(X(X-1))$, en déduire $E(X^2)$ puis $V(X)$. Traiter à part le cas $n=1$.

Partie D. La méthode des indicatrices.

6. Soit $A_1,\dots ,A_n$ des événements mutuellement indépendants de même probabilité $p$, et $X={\sum }_{i=1}^n{\mathbf{1}}_{A_i}$. Retrouver $E(X)$ et $V(X)$ par cette écriture, puis comparer les deux méthodes.

Pour un événement $A$ d'un univers fini $\mathrm{\Omega }$, on note ${\mathbf{1}}_A$ la variable aléatoire définie sur $\mathrm{\Omega }$ par ${\mathbf{1}}_A(\omega )=1$ si $\omega \in A$ et ${\mathbf{1}}_A(\omega )=0$ sinon. Le but de l'exercice est de calculer l'espérance d'une variable de comptage sans jamais déterminer sa loi.

1. Déterminer la loi de ${\mathbf{1}}_A$ et en déduire $E\left({\mathbf{1}}_A\right)=P(A)$.

Partie A. Des indicatrices indépendantes. Un capteur de température effectue $n$ mesures, les mesures étant indépendantes les unes des autres. À chaque mesure, la valeur relevée dépasse le seuil d'alerte avec la probabilité $p\in [0,1]$. On note $X$ le nombre de mesures qui dépassent le seuil.

2. Écrire $X$ comme une somme d'indicatrices et calculer $E(X)$ sans utiliser la loi binomiale. Application : $n=240$ et $p=\mathrm{0,05}$.

3. Contrôler le résultat en identifiant la loi de $X$.

Partie B. Des indicatrices qui ne le sont pas. Soit $n⩾2$. On range au hasard $n$ objets distincts, numérotés de $1$ à $n$, dans $n$ cases numérotées de $1$ à $n$, à raison d'un objet par case. On note $\sigma (i)$ le numéro de l'objet rangé dans la case $i$ : l'application $\sigma$ est une bijection de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ dans lui-même, et l'on suppose que les $n!$ rangements possibles sont équiprobables. On appelle montée tout indice $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ tel que $\sigma (i)<\sigma (i+1)$, et l'on note $S$ le nombre de montées.

4. Montrer que, pour tout $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, la probabilité que $i$ soit une montée vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, puis calculer $E(S)$.

5. On suppose $n⩾3$. Les événements « $1$ est une montée » et « $2$ est une montée » sont-ils indépendants ? Le calcul de la question 4 est-il pour autant en défaut ?

6. Reprendre la question 4 lorsque l'on remplace le rangement par $n$ lancers indépendants d'un dé équilibré à six faces, une montée étant un indice $i$ tel que le lancer numéro $i$ donne un résultat strictement inférieur à celui du lancer numéro $i+1$. Application : $n=100$.

7. Résumer la méthode en une phrase.

On lance trois dés équilibrés à six faces, discernables, les lancers étant indépendants. On note $X_1$, $X_2$, $X_3$ les trois résultats, puis

$$M=\max (X_1,X_2,X_3)\text{et}m=\min (X_1,X_2,X_3)\mathrm{.}$$

1. Préciser l'univers $\mathrm{\Omega }$ retenu, son cardinal, et justifier que la probabilité uniforme convient.

2. Calculer $P(M⩽k)$ pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

3. En déduire la loi de $M$, et vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$.

4. Calculer $E(M)$.

5. Calculer $P(m⩾k)$ pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, en déduire la loi de $m$ puis $E(m)$. Contrôler le résultat à l'aide d'une symétrie.

6. Calculer $P(M=6,m=1)$. Les variables $M$ et $m$ sont-elles indépendantes ?

Dans un amphithéâtre se trouvent $n$ personnes, numérotées de $1$ à $n$. On néglige les années bissextiles : une date d'anniversaire est un élément de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,365]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. On suppose que les $365$ dates sont équiprobables et que les dates des différentes personnes sont indépendantes. On note $p_n$ la probabilité qu'au moins deux personnes de l'amphithéâtre aient la même date d'anniversaire, et $q_n=1-p_n$.

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ et donner son cardinal. Que vaut $q_n$ lorsque $n⩾366$ ?

2. Pour $n\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,365]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, exprimer $q_n$ à l'aide d'un arrangement, puis sous forme d'un produit de $n-1$ facteurs.

3. On admet les valeurs numériques $q_{23}\approx \mathrm{0,4927}$ et $q_{50}\approx \mathrm{0,0296}$. En déduire $p_{23}$ et $p_{50}$ arrondis au centième. Commenter.

4. Montrer que la suite ${\left(q_n\right)}_{1⩽n⩽365}$ est décroissante.

5. Démontrer que $1-x⩽e^{-x}$ pour tout réel $x$, puis en déduire la majoration

$$q_n⩽\exp (-{\displaystyle \frac{n(n-1)}{730}})\mathrm{.}$$

6. En déduire, sans calculatrice, un entier $n$ à partir duquel $p_n⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Que donne la majoration pour $n=50$ ?

7. Variante. Une personne extérieure au groupe, dont la date d'anniversaire est fixée, se demande si quelqu'un dans l'amphithéâtre est né le même jour qu'elle. Calculer la probabilité $r_n$ de cet événement, la comparer à $p_n$ pour $n=23$, et déterminer à partir de combien de personnes $r_n⩾\frac{1}{2}$. Expliquer l'écart.

Un atelier assemble chaque jour $100$ cartes électroniques. Indépendamment les unes des autres, chaque carte nécessite une reprise avec la probabilité $\mathrm{0,3}$. On note $X$ le nombre de cartes à reprendre dans une journée, de sorte que $X\sim \mathcal{B}(100,\mathrm{0,3})$.

1. Donner $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$.

2. Majorer $P(X⩾45)$ à l'aide de l'inégalité de Markov.

3. Majorer $P(X⩾45)$ à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Comparer les deux majorations et commenter, sachant qu'un calcul exact donne $P(X⩾45)\approx \mathrm{0,0011}$.

4. Majorer $P(\mid X-30\mid ⩾10)$.

5. Question de méthode. Rappeler la démonstration de l'inégalité de Markov et expliquer où l'hypothèse $X⩾0$ intervient. Donner une variable aléatoire de signe quelconque pour laquelle la conclusion est fausse.

6. Soit $Y$ une variable aléatoire telle que $Y⩾a$, où $a$ est un réel, et soit $t>a$. En appliquant l'inégalité de Markov à $Y-a$, établir une majoration de $P(Y⩾t)$. Cette majoration s'améliore-t-elle quand $a$ augmente ? Que donne-t-elle pour la variable $X$ de l'énoncé ?

7. Optimalité. Exhiber une variable aléatoire positive et un seuil pour lesquels l'inégalité de Markov est une égalité. Conclure.

Un jeu télévisé propose trois portes numérotées $1$, $2$, $3$. Une voiture a été placée au hasard derrière l'une d'elles, les deux autres portes ne cachant rien. Le candidat désigne une porte, qui reste fermée. Le présentateur, qui sait où est la voiture, ouvre alors une des deux autres portes, en respectant toujours la règle suivante : il n'ouvre jamais la porte désignée par le candidat, ni celle qui cache la voiture ; lorsque les deux portes qu'il peut ouvrir sont toutes deux perdantes, il en choisit une au hasard, avec la probabilité $\frac{1}{2}$ chacune. Il propose ensuite au candidat de conserver son choix initial ou de le changer pour la dernière porte fermée.

Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $C_i$ l'événement « la voiture est derrière la porte $i$ », et pour $j\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, $O_j$ l'événement « le présentateur ouvre la porte $j$ ». On suppose que le candidat a désigné la porte $1$.

1. Justifier que l'on peut supposer sans perte de généralité que le candidat désigne la porte $1$. Préciser l'univers, la loi de la position de la voiture, et vérifier que $(C_1,C_2,C_3)$ est un système complet d'événements.

2. Déterminer $P_{C_i}\left(O_3\right)$ pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, puis calculer $P\left(O_3\right)$ par la formule des probabilités totales.

3. À l'aide de la formule de Bayes, calculer $P_{O_3}\left(C_1\right)$ et $P_{O_3}\left(C_2\right)$. Conclure sur les deux stratégies : garder sa porte, ou changer.

4. Retrouver la probabilité de gain de la stratégie « changer » par un raisonnement direct, sans conditionnement.

5. Généralisation. Le jeu se joue maintenant avec $n⩾3$ portes, une seule voiture placée au hasard, le candidat désignant la porte $1$. Le présentateur ouvre $n-2$ portes perdantes parmi les $n-1$ portes non désignées ; lorsqu'il a le choix, la porte non désignée qu'il laisse fermée est prise au hasard uniformément. On note $D$ le numéro de la porte restée fermée parmi $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[2,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Calculer $P_{(D=j)}\left(C_1\right)$ et $P_{(D=j)}\left(C_j\right)$ pour $j\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[2,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, puis la probabilité de gagner en changeant. Vérifier le cas $n=3$ et commenter le cas $n=100$.

6. Variante. On revient à trois portes, mais le présentateur ne sait plus où est la voiture : il ouvre au hasard, avec la probabilité $\frac{1}{2}$ chacune, l'une des deux portes que le candidat n'a pas désignées. On observe qu'il a ouvert la porte $3$ et qu'elle est perdante. Calculer la probabilité que la voiture soit derrière la porte $1$ sachant cette observation. La réponse est-elle la même qu'à la question 3 ? Expliquer.

À l'entrée d'un amphithéâtre, $n⩾2$ personnes déposent leur veste au vestiaire. À la sortie, l'employé a perdu tous les tickets et rend les vestes au hasard, une par personne. On note $\phi (i)$ le numéro de la veste rendue à la personne $i$ : $\phi$ est une bijection de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ dans lui-même, et l'on suppose que les $n!$ restitutions possibles sont équiprobables.

Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $A_i$ l'événement « la personne $i$ récupère sa propre veste », c'est-à-dire $(\phi (i)=i)$, et l'on note $X$ le nombre de personnes qui récupèrent leur veste.

1. Préciser l'univers et son cardinal, puis calculer $P\left(A_i\right)$.

2. Calculer $P(A_i\cap A_j)$ pour $i\mathrm{\ne }j$. Les événements $A_1,\dots ,A_n$ sont-ils indépendants ?

3. Exprimer $X$ à l'aide des indicatrices ${\mathbf{1}}_{A_i}$ et calculer $E(X)$. Commenter le résultat.

4. Calculer $V\left({\mathbf{1}}_{A_i}\right)$ puis $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}({\mathbf{1}}_{A_i},{\mathbf{1}}_{A_j})$ pour $i\mathrm{\ne }j$. En déduire $V(X)$ par la formule de la variance d'une somme.

5. Justifier que $X(X-1)$ compte les couples ordonnés de personnes ayant toutes deux récupéré leur veste, en déduire $E(X(X-1))$, et retrouver $V(X)$.

6. Écrire la loi de $X$ pour $n=3$ et contrôler les résultats précédents.

Une urne contient $N$ boules indiscernables au toucher, dont $B$ sont blanches et $N-B$ sont noires, avec $1⩽B⩽N-1$. On tire simultanément $n$ boules de l'urne, où $1⩽n⩽N$, et l'on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues.

1. Décrire l'univers, donner son cardinal et justifier l'équiprobabilité. Montrer que

$$X(\mathrm{\Omega })=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[\max (0,n-N+B),\min (n,B)]\text{\hspace{0.17em}⁣}]\mathrm{.}$$

2. Démontrer que, pour tout $k\in X(\mathrm{\Omega })$,

$$P(X=k)={\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{B}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{N-B}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{N}{n}\right)}}\mathrm{.}$$

3. Démontrer l'identité de Vandermonde

$$\sum _k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{B}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{N-B}{n-k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{N}{n}\right),$$

la somme portant sur les entiers $k$ de $X(\mathrm{\Omega })$, et en déduire que la loi obtenue à la question 2 est bien une loi de probabilité.

4. Calculer $E(X)$ par la méthode des indicatrices.

5. Retrouver $E(X)$ par le calcul direct, en utilisant l'identité $k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{B}{k}\right)=B\left(\genfrac{}{}{0px}{}{B-1}{k-1}\right)$ valable pour $k⩾1$.

6. On effectue maintenant $n$ tirages avec remise et l'on note $Y$ le nombre de boules blanches obtenues. Reconnaître la loi de $Y$, comparer $E(X)$ et $E(Y)$, puis expliquer pourquoi $X$ est moins dispersée que $Y$.

7. Application numérique : $N=20$, $B=8$, $n=5$. Écrire la loi de $X$ et vérifier l'espérance.

Partie A. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\{-1,0,1\}$ et $Y=X^2$.

1. Déterminer la loi de $Y$, puis dresser le tableau de la loi conjointe du couple $(X,Y)$ et retrouver les deux lois marginales.

2. Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$.

3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Partie B. Soit $Z$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\{-2,-1,1,2\}$ et $T={\mathbf{1}}_{(\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }=1)}$.

4. Montrer que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(Z,T)=0$ et que $Z$ et $T$ ne sont pas indépendantes.

5. Généraliser : soient $U$ une variable aléatoire dont la loi est symétrique, au sens où $U$ et $-U$ ont la même loi, et $f$ une fonction paire. Montrer que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(U,f(U))=0$. Que dit ce résultat des deux exemples précédents ?

Partie C.

6. Démontrer que si deux variables aléatoires sont indépendantes, alors leur covariance est nulle.

7. Soient $X\sim \mathcal{B}(p)$ et $Y\sim \mathcal{B}(q)$ deux variables de Bernoulli définies sur le même espace probabilisé fini. Démontrer que

$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=0⟺X\text{ et }Y\text{ sont ind}\acute{\text{e}}\text{pendantes}\mathrm{.}$$

8. Résumer en une phrase ce que mesure exactement la covariance.

Soient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $p\in ]0,1[$. On pose $q=1-p$ et l'on considère une variable aléatoire $X\sim \mathcal{B}(n,p)$. Pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $p_k=P(X=k)$. On cherche la ou les valeurs de $k$ pour lesquelles $p_k$ est maximal : c'est le mode de la loi.

1. Justifier que $p_k>0$ pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, puis montrer que, pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

$${\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k}}={\displaystyle \frac{n-k}{k+1}}\times {\displaystyle \frac{p}{q}}\mathrm{.}$$

2. Montrer que la suite ${\left({\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k}}\right)}_{0⩽k⩽n-1}$ est décroissante.

3. Montrer que, pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

$${\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k}}⩾1⟺k+1⩽(n+1)p,$$

l'égalité $\frac{p_{k+1}}{p_k}=1$ ayant lieu si et seulement si $k+1=(n+1)p$.

4. En déduire que la suite $\left(p_k\right)$ croît puis décroît, et que son maximum est atteint en $m=\lfloor (n+1)p\rfloor$. Préciser ce qui se passe lorsque $(n+1)p$ est un entier.

5. Application : déterminer le mode pour $n=10$ et $p=\mathrm{0,3}$, puis pour $n=11$ et $p=\frac{1}{4}$.

6. Comparer le mode et l'espérance : montrer que $\mid m-np\mid <1$, et préciser le cas où $np$ est entier.

Un atelier possède deux machines. La première fabrique $m$ pièces dans la journée, la seconde en fabrique $n$. Chaque pièce, quelle que soit la machine dont elle sort, est défectueuse avec la même probabilité $p\in ]0,1[$, indépendamment de toutes les autres. On note $X$ le nombre de pièces défectueuses sorties de la première machine et $Y$ celui de la seconde, de sorte que $X\sim \mathcal{B}(m,p)$, $Y\sim \mathcal{B}(n,p)$, et que $X$ et $Y$ sont indépendantes.

L'objectif est de démontrer de deux manières que $X+Y\sim \mathcal{B}(m+n,p)$.

1. Identité de Vandermonde. Démontrer que pour tous entiers $m,n⩾1$ et tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,m+n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

$$\sum _{j=0}^k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k-j}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m+n}{k}\right),$$

avec la convention $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{r}{s}\right)=0$ dès que $s>r$. On en donnera deux preuves : un double dénombrement, puis une identification des coefficients dans $(1+x{)}^m(1+x{)}^n$.

2. Par le calcul. Déterminer la loi de $X+Y$ en décomposant $P(X+Y=k)$ sur le système complet d'événements $((X=j){)}_{j\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,m]\text{\hspace{0.17em}⁣}]}$, puis conclure à l'aide de la question 1.

3. Par le modèle. Retrouver le résultat en écrivant $X$ et $Y$ comme des sommes d'indicatrices indépendantes. On justifiera précisément pourquoi il est légitime de raisonner sur un modèle particulier.

4. Contrôler le résultat à la main pour $m=3$, $n=2$ et $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$, en calculant $P(X+Y=2)$ de deux façons.

5. Le paramètre commun est indispensable. On suppose maintenant $m=n=1$, avec $X\sim \mathcal{B}(p)$ et $Y\sim \mathcal{B}(p^{\mathrm{\prime }})$ indépendantes, où $p$ et $p^{\mathrm{\prime }}$ appartiennent à $]0,1[$ et $p\mathrm{\ne }{p}^{\mathrm{\prime }}$. Déterminer la loi de $X+Y$, puis démontrer qu'elle n'est binomiale pour aucun choix de paramètres. Illustrer avec $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $p^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers fini $\mathrm{\Omega }$ et à valeurs dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

1. Démontrer la formule de la queue :

$$E(X)=\sum _{k=1}^{n}P(X⩾k)\mathrm{.}$$

On décrira précisément le domaine de la somme double avant d'intervertir les deux sommations.

2. On lance trois dés équilibrés à six faces et l'on note $M$ le plus grand des trois résultats. Déterminer $P(M⩽k)$ pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, puis $P(M⩾k)$ pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, et en déduire $E(M)$. Contrôler le résultat en déterminant la loi de $M$ et en calculant l'espérance par la définition.

3. Un capteur de tension enregistre chaque nuit un nombre $N$ de micro-coupures, à valeurs dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,5]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, dont la fonction de répartition est donnée par

$$P(N⩽k)=\frac{(k+1{)}^2}{36}\text{pour tout }k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,5]\text{\hspace{0.17em}⁣}]\mathrm{.}$$

Vérifier qu'il s'agit bien de la fonction de répartition d'une variable à valeurs dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,5]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, puis calculer $E(N)$ par la formule de la queue. Contrôler en déterminant la loi de $N$.

4. Démontrer la variante

$$E\left(\left(\genfrac{}{}{0px}{}{X}{2}\right)\right)=\sum _{k=1}^n(k-1)P(X⩾k),\text{o}\grave{\text{u}}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{x}{2}\right)=\frac{x(x-1)}{2}\mathrm{.}$$

L'appliquer à la variable $M$ de la question 2 pour obtenir $E(M^2)$, puis $V(M)$ et $\sigma (M)$.

5. Dans quelles situations la formule de la queue est-elle plus rapide que le calcul de $E(X)$ par la définition ?

Un capteur autonome est, à chaque instant d'observation, dans l'un des deux états suivants : actif (état $A$) ou en veille (état $B$). On l'observe aux étapes $0,1,\dots ,N$, où $N$ est un entier fixé. Son évolution obéit à la règle suivante, identique à chaque étape :

• s'il est actif à l'étape $n$, il est encore actif à l'étape $n+1$ avec la probabilité $a$ ;
• s'il est en veille à l'étape $n$, il devient actif à l'étape $n+1$ avec la probabilité $b$.

Les réels $a$ et $b$ appartiennent à $]0,1[$. On note $A_n$ l'événement « le capteur est actif à l'étape $n$ », $u_n=P(A_n)$, et $X_n={\mathbf{1}}_{A_n}$.

1. Préciser l'univers et traduire l'énoncé en termes de probabilités conditionnelles. Établir, pour tout $n$, la relation $u_{n+1}=(a-b)u_n+b$.

2. Résoudre cette récurrence : déterminer son unique point fixe $\mathrm{\ell }$, montrer que $(u_n-\mathrm{\ell })$ est géométrique, et en déduire une expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ et de $u_0$.

3. Étudier la limite de $u_n$ et l'interpréter. Donner la loi de $X_n$, son espérance, sa variance, et leurs limites.

4. Application numérique. On prend $a=\mathrm{0,9}$, $b=\mathrm{0,3}$, et le capteur est actif au départ ($u_0=1$). Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_{10}$, déterminer la plus petite étape $n$ à partir de laquelle $\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽{10}^{-3}$, puis calculer la probabilité que le capteur ait été actif à l'étape $1$ sachant qu'il l'est à l'étape $2$.

5. On pose $w_n=P(\overline{A_n})$ et $U_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ w_n\end{array}\right)$. Écrire une matrice $M$ de taille $2\times 2$ telle que $U_{n+1}=M{U}_n$, et en déduire $U_n$ en fonction de $M$, $n$ et $U_0$.

6. Conjecturer l'expression de $M^n$ à partir de la question 2, la démontrer par récurrence sans aucune réduction de matrice, puis retrouver le résultat de la question 2 et interpréter la limite de $M^n$.

Une commune de $40000$ habitants veut connaître la proportion $p$ d'habitants favorables à un projet de piste cyclable. On interroge $n$ habitants tirés au hasard, indépendamment les uns des autres, et l'on note $X_i=1$ si le $i$-ième répond « favorable », $X_i=0$ sinon. Les variables $X_1,\dots ,X_n$ sont donc indépendantes, de même loi $\mathcal{B}(p)$. On pose

$$S_n=X_1+\cdots +X_n\text{et}{M}_n=\frac{S_n}{n}\mathrm{.}$$

1. Donner la loi de $S_n$, puis calculer $E(M_n)$ et $V(M_n)$. On précisera où sert l'hypothèse d'indépendance.

2. Démontrer que pour tout $\epsilon >0$,

$$P(\mathrm{\mid }{M}_n-p\mathrm{\mid }⩾\epsilon )⩽\frac{p(1-p)}{n{\epsilon }^2}\mathrm{.}$$

Commenter : que dit cette inégalité quand $n$ grandit, $\epsilon$ étant fixé ?

3. Démontrer que $p(1-p)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$ pour tout $p\in [0,1]$, et en déduire une majoration qui ne dépend plus de $p$.

4. Combien d'habitants faut-il interroger pour garantir, quelle que soit la valeur inconnue de $p$, que $M_n$ approche $p$ à $2$ points près (soit $\epsilon =\mathrm{0,02}$) avec une probabilité d'au moins $95\mathrm{\%}$ ?

5. Que vaut la majoration de la question 3 pour $n=1000$ ? À partir de quelle valeur de $n$ devient-elle informative ? Commenter enfin le fait que la taille d'échantillon obtenue à la question 4 ne dépend pas du nombre d'habitants de la commune.

6. Un premier sondage grossier indique que $p⩽\mathrm{0,1}$. Que devient la majoration, et quelle taille d'échantillon suffit alors pour la même précision et la même garantie ?

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles définies sur un même univers fini $\mathrm{\Omega }$. On cherche à approcher $Y$ le mieux possible, au sens de l'écart quadratique moyen $E((Y-Z{)}^2)$, d'abord par une constante, puis par une fonction affine de $X$.

Partie A : la meilleure constante.

1. Pour $a\in \mathbb{R}$, on pose $\phi (a)=E((X-a{)}^2)$. Montrer que $\phi$ est une fonction polynomiale du second degré en $a$ et l'écrire sous la forme

$$\phi (a)=V(X)+(E(X)-a{)}^2\mathrm{.}$$

En déduire le minimum de $\phi$ sur $\mathbb{R}$, le point où il est atteint, et interpréter.

Partie B : la meilleure fonction affine de $X$. On suppose désormais $V(X)>0$ et l'on pose, pour $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2$,

$$\psi (\alpha ,\beta )=E\left(\right(Y-(\alpha X+\beta ){)}^2)\mathrm{.}$$

2. Soit $\alpha$ fixé. À l'aide de la partie A, déterminer la valeur de $\beta$ qui minimise $\psi (\alpha ,\beta )$ et montrer que ce minimum vaut $V(Y-\alpha X)$.

3. Développer $V(Y-\alpha X)$ à l'aide de $V(X)$, $V(Y)$ et $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$, puis minimiser en $\alpha$. En déduire que $\psi$ atteint son minimum en

$${\alpha }^{\star }=\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)}{V(X)},{\beta }^{\star }=E(Y)-{\alpha }^{\star }E(X),$$

et calculer la valeur de ce minimum.

4. On suppose de plus $V(Y)>0$ et l'on pose $\rho ={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)}{\sigma (X)\sigma (Y)}}$. Montrer que le minimum de $\psi$ vaut $V(Y)(1-{\rho }^2)$, en déduire ${\rho }^2⩽1$, puis interpréter les deux cas extrêmes ${\rho }^2=1$ et $\rho =0$.

5. Application. Sur une chaîne de fabrication, deux postes de contrôle examinent chaque lot. On note $X$ le nombre de défauts relevés au poste 1 et $Y$ le nombre de défauts relevés au poste 2 ; la loi conjointe du couple $(X,Y)$ est donnée par le tableau suivant.

Déterminer la meilleure approximation affine de $Y$ par $X$, l'écart quadratique moyen correspondant, et le comparer à celui de la meilleure constante.

6. Que devient l'étude si $V(X)=0$ ?

On lance $n$ fois de suite une pièce équilibrée ($n⩾2$) et l'on note le résultat de chaque lancer. On s'intéresse à l'événement $E_n$ : « la suite obtenue ne contient jamais deux piles consécutifs ». On note $q_n$ sa probabilité, et $a_n$ le nombre de suites de $n$ résultats qui le réalisent.

1. Préciser l'univers et la probabilité utilisés. Calculer $a_1$, $a_2$ et $a_3$ en énumérant, puis démontrer que $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n⩾3$, en discutant selon le dernier lancer. En déduire les valeurs de $a_n$ jusqu'à $n=10$, puis $q_6$ et $q_{10}$ sous forme de fractions irréductibles.

2. Résoudre la récurrence pour obtenir l'expression explicite de $a_n$. En déduire un équivalent de $q_n$ et décrire la vitesse à laquelle $E_n$ devient improbable.

3. Soit $Y$ le nombre d'indices $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ tels que les lancers numéros $i$ et $i+1$ donnent tous deux pile. Écrire $Y$ comme une somme d'indicatrices et calculer $E(Y)$.

4. Calculer $V(Y)$. On prendra garde au fait que deux indicatrices d'indices voisins ne sont pas indépendantes.

5. Quel lien y a-t-il entre l'événement $E_n$ et la variable $Y$ ? Vérifier la cohérence de tous les résultats précédents dans le cas $n=3$, en écrivant la loi complète de $Y$.

6. Application numérique pour $n=10$ : donner $E(Y)$, $\sigma (Y)$ et $P(Y=0)$, puis commenter.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles définies sur un même univers fini $\mathrm{\Omega }$. Pour $t\in \mathbb{R}$, on pose

$$g(t)=V(tX+Y)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $g$ est une fonction polynomiale de degré au plus $2$ en $t$, dont on exprimera les coefficients à l'aide de $V(X)$, $V(Y)$ et $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$, et qu'elle est positive ou nulle sur $\mathbb{R}$.

2. Démontrer le lemme suivant : une variable aléatoire $Z$ définie sur $\mathrm{\Omega }$ vérifie $V(Z)=0$ si et seulement si $Z$ est presque sûrement constante, c'est-à-dire $P(Z=E(Z))=1$.

3. En discutant selon la nullité de $V(X)$ et en utilisant le discriminant de $g$, démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

$$\mid \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)\mid ⩽\sigma (X)\sigma (Y)\mathrm{.}$$

4. Cas d'égalité. On suppose $V(X)>0$. Montrer que le discriminant de $g$ est nul si et seulement s'il existe $t_0\in \mathbb{R}$ tel que $V(t_{0}X+Y)=0$, et en déduire que l'égalité $\mid \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)\mid =\sigma (X)\sigma (Y)$ a lieu si et seulement s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $Y=aX+b$ presque sûrement. Démontrer aussi la réciproque.

5. On suppose $\sigma (X)>0$ et $\sigma (Y)>0$ et l'on pose $\rho (X,Y)={\displaystyle \frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)}{\sigma (X)\sigma (Y)}}$. Montrer que $\rho (X,Y)\in [-1,1]$, puis calculer $\rho (X,Y)$ lorsque $Y=aX+b$ avec $a\mathrm{\ne }0$. Traiter les deux exemples $Y=\mathrm{1,8}X+32$ (conversion d'une température de degrés Celsius en degrés Fahrenheit) et $Y=100-4X$ (note de qualité d'un lot en fonction du nombre $X$ de pièces défectueuses).

6. Application. Dans un atelier, on note $X=1$ si la machine a été révisée le matin, $X=0$ sinon, et $Y\in \{1,2,3\}$ le nombre de pièces défectueuses du lot produit. La loi conjointe est donnée par le tableau suivant.

Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$ et $\rho (X,Y)$, interpréter le signe obtenu, et dire si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Un jury reçoit $n$ candidatures, dont les notes sont deux à deux distinctes ; quitte à les renuméroter, on suppose que ces notes sont les entiers de $1$ à $n$. Les dossiers sont examinés dans un ordre tiré au hasard : le rangement obtenu est la liste $(x_1,\dots ,x_n)$ des notes, dans laquelle chaque entier de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ figure exactement une fois. On dit qu'il y a un record en position $i$ lorsque

$$x_i>x_j\text{pour tout }j\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,i-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}],$$

c'est-à-dire lorsque le $i$-ième dossier est meilleur que tous ceux qui le précèdent (la position $1$ est donc toujours un record). On note $A_i$ cet événement, $R$ le nombre total de records, et

$$H_n=\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}\mathrm{.}$$

1. Préciser l'univers et la probabilité. Sur l'exemple $n=5$ et $(x_1,\dots ,x_5)=(3,1,4,5,2)$, repérer les records et donner $R$. Quelles sont les valeurs extrêmes possibles de $R$, et avec quelles probabilités ?

2. Démontrer, par dénombrement, que pour tout $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ on a $P(A_i)={\displaystyle \frac{1}{i}}$. On énoncera le résultat sous une forme réutilisable : parmi les $m!$ rangements de $m$ valeurs distinctes, exactement ${\displaystyle \frac{m!}{i}}$ placent en position $i$ le plus grand des $i$ premiers.

3. En déduire $E(R)$, puis un équivalent de $E(R)$ quand $n$ tend vers l'infini, en encadrant $H_n$ par comparaison entre une somme et une intégrale.

4. Soient $1⩽i<j⩽n$. Calculer $P(A_i\cap A_j)$ et en déduire que les événements $A_i$ et $A_j$ sont indépendants. (On admettra que la famille $(A_1,\dots ,A_n)$ est même mutuellement indépendante, ce que le même dénombrement, itéré, permettrait d'établir.)

5. En déduire que

$$V(R)=\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}(1-\frac{1}{i})\mathrm{.}$$

Quelle hypothèse d'indépendance est réellement nécessaire ici ?

6. Vérifier les formules obtenues dans le cas $n=3$ en énumérant les six rangements. Donner ensuite les valeurs numériques de $E(R)$, $V(R)$ et $\sigma (R)$ pour $n=10$, puis commenter la croissance de $E(R)$ avec $n$.

Soient $X_1,\dots ,X_n$ des variables aléatoires indépendantes, de même loi $\mathcal{B}(p)$ avec $p\in ]0,1[$, définies sur un univers fini $\mathrm{\Omega }$, et $S_n=X_1+\cdots +X_n$. L'objectif est de majorer $P(S_n⩾a)$ bien plus finement que ne le fait l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, en appliquant l'inégalité de Markov non pas à $S_n$, mais à $e^{t{S}_n}$.

1. Rappeler la loi de $S_n$, son espérance et sa variance. Pour $t>0$ fixé, justifier que $e^{t{S}_n}$ est une variable aléatoire positive définie sur $\mathrm{\Omega }$ et préciser l'ensemble de ses valeurs.

2. Démontrer que pour tout $t>0$,

$$E\left(e^{t{S}_n}\right)=(1-p+p{e}^t{)}^n\mathrm{.}$$

On donnera deux preuves : l'une utilisant l'indépendance, l'autre utilisant directement la loi de $S_n$ et la formule du binôme.

3. En appliquant l'inégalité de Markov à $e^{t{S}_n}$, démontrer que pour tout réel $a$ et tout $t>0$,

$$P(S_n⩾a)⩽e^{-ta}(1-p+p{e}^t{)}^n\mathrm{.}$$

Montrer que cette majoration n'apporte d'information que si $a>np$.

4. On prend $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $n=100$ et $a=60$ : on lance $100$ fois une pièce équilibrée et l'on veut majorer la probabilité d'obtenir au moins $60$ piles. Étudier la fonction $t\mapsto e^{-60t}{\left({\displaystyle \frac{1+e^t}{2}}\right)}^{100}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, déterminer son minimum et en déduire une majoration numérique de $P(S_{100}⩾60)$.

5. Majorer la même probabilité par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et comparer.

6. Reprendre la comparaison avec $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $a=\mathrm{0,6}n$ pour $n$ quelconque, et conclure sur l'intérêt de la méthode.