Devoir surveillé — Probabilités

Les six questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres. Chaque réponse doit être justifiée : un résultat sans justification ne rapporte aucun point.

1. (0,5 pt) On lance deux dés équilibrés à six faces, discernables et indépendants, et l'on note $S$ la somme des deux numéros obtenus. Calculer la probabilité de l'événement $(S=8)$ sachant que le premier dé a donné un numéro pair. Comparer avec $P(S=8)$ et conclure quant à l'indépendance des deux événements en jeu.

2. (0,5 pt) On choisit au hasard un entier $n$ dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,12]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, tous les entiers ayant la même probabilité d'être choisis. On note $A$ l'événement « $n$ est pair » et $B$ l'événement « $n$ est un multiple de $3$ ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

3. (0,5 pt) Un questionnaire comporte $15$ questions ; chacune propose $4$ réponses dont une seule est exacte. Un candidat répond à toutes les questions au hasard, indépendamment d'une question à l'autre. On note $X$ le nombre de réponses exactes. Reconnaître la loi de $X$, donner $E(X)$ et $V(X)$, puis calculer la probabilité que le candidat donne au moins une réponse exacte.

4. (0,5 pt) Une variable aléatoire $X$ vérifie $X(\mathrm{\Omega })=\{-1,0,2,3\}$ et

Calculer $E(X)$, $V(X)$, puis $V(3X-2)$.

5. (0,5 pt) Vrai ou faux, en justifiant : « deux événements incompatibles sont indépendants ». On précisera le seul cas où deux événements incompatibles peuvent être indépendants.

6. (0,5 pt) Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\{-1,0,1\}$ et $Y=X^2$. Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$, puis démontrer que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes. Que peut-on en conclure sur la réciproque du théorème « deux variables indépendantes sont décorrélées » ?

Un atelier usine des pièces sur deux lignes. La ligne $1$ fournit les trois quarts de la production et la ligne $2$ le quart restant. Une pièce issue de la ligne $1$ est défectueuse avec la probabilité $\mathrm{0,02}$ ; une pièce issue de la ligne $2$ est défectueuse avec la probabilité $\mathrm{0,06}$.

On prélève au hasard une pièce dans la production d'une journée, toutes les pièces ayant la même probabilité d'être prélevées. On note $L_1$ et $L_2$ les événements « la pièce provient de la ligne $1$ », respectivement « de la ligne $2$ », et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

Avant expédition, chaque pièce subit un test automatique. Ce test est imparfait :

• si la pièce est défectueuse, le test la déclare défectueuse avec la probabilité $\mathrm{0,9}$ (il reste donc $10\mathrm{\%}$ de faux négatifs) ;
• si la pièce n'est pas défectueuse, le test la déclare tout de même défectueuse avec la probabilité $\mathrm{0,05}$ (faux positifs).

On note $T$ l'événement « le test déclare la pièce défectueuse ». Une pièce dont le test est négatif est expédiée au client ; une pièce dont le test est positif est écartée.

1. (0,5 pt) Justifier que $(L_1,L_2)$ est un système complet d'événements, traduire l'énoncé en termes de probabilités, puis calculer $P(D)$.

2. (0,5 pt) La pièce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la ligne $2$ et commenter le résultat.

3. (0,75 pt) Calculer $P(T)$.

4. (0,75 pt) Une pièce est expédiée, c'est-à-dire déclarée bonne par le test. Quelle est la probabilité qu'elle soit effectivement conforme ? Calculer par ailleurs $P_T(D)$ et commenter la valeur obtenue.

5. (1 pt) L'atelier envisage une seconde stratégie : faire subir à chaque pièce deux tests, et n'expédier que les pièces dont les deux tests sont négatifs. On note $T_1$ et $T_2$ les résultats des deux tests, et l'on admet que, l'état de la pièce étant connu, les deux tests sont indépendants, c'est-à-dire que

$$P_D(T_1\cap T_2)=P_D\left(T_1\right)P_D\left(T_2\right)\text{et}{P}_{\bar{D}}(T_1\cap T_2)=P_{\bar{D}}\left(T_1\right)P_{\bar{D}}\left(T_2\right),$$

les mêmes égalités valant pour les événements contraires $\overline{T_1}$ et $\overline{T_2}$. Calculer, pour la seconde stratégie, la probabilité qu'une pièce expédiée soit défectueuse, et comparer avec la première stratégie. Discuter brièvement l'hypothèse d'indépendance admise.

6. (0,5 pt) Sur un lot de $10000$ pièces produites, on note $N$ le nombre de pièces défectueuses expédiées au client et $M$ le nombre de pièces conformes écartées à tort. Calculer $E(N)$ et $E(M)$ pour chacune des deux stratégies, et conclure.

Un présentoir de travaux pratiques porte $10$ flacons d'aspect identique : $7$ contiennent une solution acide, les $3$ autres une solution basique. Un binôme y prélève simultanément $4$ flacons au hasard, tous les prélèvements de $4$ flacons ayant la même probabilité. On note $X$ le nombre de flacons acides prélevés.

1. (0,5 pt) Préciser l'univers retenu et son cardinal, justifier l'équiprobabilité, puis déterminer $X(\mathrm{\Omega })$ en justifiant soigneusement les deux bornes.

2. (0,75 pt) Déterminer la loi de $X$ et la présenter dans un tableau.

3. (0,5 pt) Vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$. Démontrer que cette égalité n'est pas un hasard de calcul, en l'interprétant comme un dénombrement de $\mathrm{\Omega }$ effectué de deux façons.

4. (0,75 pt) Numérotons de $1$ à $7$ les flacons acides et, pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,7]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, notons $B_i$ l'événement « le flacon acide numéro $i$ est prélevé ». Exprimer $X$ à l'aide des indicatrices des $B_i$, calculer $P\left(B_i\right)$ et en déduire $E(X)$.

5. (0,5 pt) Retrouver $E(X)$ par le calcul direct à partir de la loi obtenue à la question 2.

6. (0,5 pt) Calculer $V(X)$ et $\sigma (X)$.

7. (0,5 pt) Pour $i\mathrm{\ne }j$, calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}({\mathbf{1}}_{B_i},{\mathbf{1}}_{B_j})$, interpréter son signe, puis retrouver $V(X)$ par la formule de la variance d'une somme.

Une station mesure chaque jour la concentration d'un polluant. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $A_i$ l'événement « le seuil réglementaire est dépassé le jour $i$ ». On suppose que les événements $A_1$, $A_2$ et $A_3$ sont mutuellement indépendants et ont tous la même probabilité $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

L'exploitant publie deux bilans sur des fenêtres de deux jours qui se chevauchent : le nombre de dépassements des jours $1$ et $2$, et le nombre de dépassements des jours $2$ et $3$. On pose donc

$$X={\mathbf{1}}_{A_1}+{\mathbf{1}}_{A_2}\text{et}Y={\mathbf{1}}_{A_2}+{\mathbf{1}}_{A_3}\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Donner $X(\mathrm{\Omega })$ et $Y(\mathrm{\Omega })$, puis reconnaître les lois marginales de $X$ et de $Y$. En déduire $E(X)$, $V(X)$, $E(Y)$ et $V(Y)$.

2. (1 pt) Déterminer la loi conjointe du couple $(X,Y)$ et la présenter dans un tableau. Vérifier que la somme de toutes les valeurs vaut $1$ et que les sommes par ligne et par colonne redonnent les lois marginales de la question 1.

3. (0,5 pt) Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Qu'en serait-il si les deux fenêtres ne se chevauchaient pas ?

4. (0,75 pt) Calculer $E(XY)$ par la formule de transfert, puis $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$. Retrouver $E(XY)$ en développant le produit $XY$ et en utilisant la linéarité de l'espérance. Interpréter le signe de la covariance.

5. (0,75 pt) On pose $S=X+Y$. Déterminer la loi de $S$, puis calculer $E(S)$ et $V(S)$ de deux façons. La variable $S$ suit-elle une loi binomiale $\mathcal{B}(4,\frac{1}{3})$ ?

6. (0,5 pt) Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $(Y=2)$, et retrouver ce résultat par un raisonnement direct sur les événements $A_i$.

Partie A — Évolution d'une borne

Un opérateur exploite des bornes de recharge pour véhicules électriques. Chaque matin, une borne donnée est dans l'un des deux états suivants : disponible ou en maintenance. Le jour de son installation, appelé jour $0$, la borne est disponible. L'évolution est modélisée par les deux règles suivantes, valables pour tout entier $n⩾0$ :

• si la borne est disponible le matin du jour $n$, elle est encore disponible le matin du jour $n+1$ avec la probabilité ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ ;
• si la borne est en maintenance le matin du jour $n$, elle est disponible le matin du jour $n+1$ avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $D_n$ l'événement « la borne est disponible le matin du jour $n$ » et $p_n=P\left(D_n\right)$ ; ainsi $p_0=1$. Pour chaque entier $n$ fixé, on travaille sur l'univers fini ${\mathrm{\Omega }}_n=\{1,2{\}}^{[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]}$ décrivant la suite des états des jours $0$ à $n$.

On admet de plus que l'état du lendemain ne dépend du passé qu'à travers l'état du jour même, au sens suivant : pour tout événement $C$ de probabilité non nulle ne portant que sur les états des jours $0$ à $n$ et impliquant $D_n$, on a $P_C\left(D_{n+1}\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}$ ; et si $C$ implique $\overline{D_n}$, alors $P_C\left(D_{n+1}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

1. (0,5 pt) Justifier que $(D_n,\overline{D_n})$ est un système complet d'événements pour tout $n$ tel que $0<p_n<1$, et calculer $p_1$ et $p_2$.

2. (0,5 pt) Calculer, en fonction de $n$, la probabilité que la borne soit disponible tous les matins des jours $0$ à $n$.

3. (0,5 pt) Démontrer que, pour tout entier $n⩾0$, $p_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{p}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

4. (0,5 pt) En déduire l'expression de $p_n$ en fonction de $n$. Étudier la monotonie de la suite $\left(p_n\right)$ et déterminer sa limite.

5. (0,5 pt) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\mid p_n-{\displaystyle \frac{2}{3}}\mid ⩽{10}^{-3}$. Reprendre la question pour une borne installée en maintenance (c'est-à-dire avec $p_0=0$, toutes les autres hypothèses étant inchangées) et commenter le rôle de l'état initial.

Partie B — Estimation sur un parc de bornes

L'opérateur possède un grand parc de bornes installées le même jour, dont les états évoluent indépendamment les uns des autres suivant le modèle de la partie A. Il souhaite connaître la probabilité $p$ qu'une borne soit disponible le matin du jour $30$, sans faire confiance a priori au modèle : il observe donc $n$ bornes du parc, choisies de sorte que leurs états soient indépendants, et pose $X_i=1$ si la $i$-ième borne observée est disponible ce matin-là, $X_i=0$ sinon. On note

$$N_n=\sum _{i=1}^n{X}_i\text{et}{F}_n={\displaystyle \frac{N_n}{n}}\mathrm{.}$$

6. (0,5 pt) Reconnaître la loi de $X_i$, puis celle de $N_n$. Donner $E\left(N_n\right)$ et $V\left(N_n\right)$.

7. (0,5 pt) Calculer $E\left(F_n\right)$ et $V\left(F_n\right)$, et commenter le comportement de la variance quand $n$ augmente.

8. (0,75 pt) Démontrer que, pour tout réel $\epsilon >0$,

$$P(\mid F_n-p\mid ⩾\epsilon )⩽{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n{\epsilon }^2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{4n{\epsilon }^2}}\mathrm{.}$$

En déduire le nombre de bornes à observer pour que la fréquence $F_n$ s'écarte de $p$ de moins de $\mathrm{0,02}$ avec un risque d'erreur d'au plus $5\mathrm{\%}$.

9. (0,75 pt) On accepte maintenant le modèle de la partie A. Démontrer que $p⩾{\displaystyle \frac{2}{3}}$, en déduire une majoration de $p(1-p)$ meilleure que ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, puis le nombre de bornes suffisant sous les mêmes exigences qu'à la question 8. Interpréter enfin le résultat de la question 8. en termes de fréquences observées.