Exercices — Nombres complexes

Mettre un nombre complexe sous forme algébrique, c'est l'écrire $a+ib$ avec $a$ et $b$ réels : tant que la lettre $i$ figure au dénominateur, le travail n'est pas terminé.

1. Écrire sous forme algébrique.

   a. $(3-2i)+(-1+5i)$

   b. $(2+i)(3-2i)$

   c. $(1+i{)}^2$

   d. $(1-i{)}^3$

   e. ${\displaystyle \frac{1}{1+i}}$

   f. ${\displaystyle \frac{2-i}{3+i}}$

2. Calculer les puissances suivantes de $i$.

   a. $i^{2026}$

   b. $i^{-15}$

   c. $i^{2026}+i^{2027}+i^{2028}+i^{2029}$

3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes, d'inconnue $z$.

   a. $(1+i)z+2-i=3+4i$

   b. $(2+i)z+i=4-2i$

4. Soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels. Déterminer les parties réelle et imaginaire de :

   a. $z^2$

   b. ${\displaystyle \frac{1}{z}}$, pour $z\mathrm{\ne }0$

   c. ${\displaystyle \frac{z+1}{z-1}}$, pour $z\mathrm{\ne }1$

5. En déduire l'ensemble des nombres complexes $z\mathrm{\ne }1$ tels que ${\displaystyle \frac{z+1}{z-1}}$ soit réel.

On rappelle les deux caractérisations à utiliser sans hésiter :

1. Soit $z\in \mathbb{C}$. Exprimer les nombres suivants en fonction de $z$ et de $\bar{z}$, sans passer par la forme algébrique.

   a. $\overline{2z-3i}$

   b. $\overline{(1+i)\stackrel{‾}{z}}$

   c. $\overline{z^2+\stackrel{‾}{z}}$

   d. $\overline{\left({\displaystyle \frac{z}{1+i}}\right)}$

   e. $\overline{iz\stackrel{‾}{z}}$

   f. $\stackrel{‾}{\left({\displaystyle \frac{1}{\bar{z}}}\right)}$, pour $z\mathrm{\ne }0$

2. Soit $z\in \mathbb{C}$.

   a. Montrer que $z+\bar{z}$ et $z\bar{z}$ sont réels.

   b. Montrer que $z-\bar{z}$ est imaginaire pur.

   c. Le nombre ${\displaystyle \frac{z}{\bar{z}}}$ (défini pour $z\mathrm{\ne }0$) est-il réel pour tout $z$ ? Justifier par une démonstration ou par un contre-exemple.

3. Soit $z\in \mathbb{C}$. Montrer que $z^2-{\bar{z}}^2$ est imaginaire pur.

4. Soit $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.

   a. Établir les formules $\mathrm{Re}(z)={\displaystyle \frac{z+\bar{z}}{2}}$ et $\mathrm{Im}(z)={\displaystyle \frac{z-\bar{z}}{2i}}$.

   b. En utilisant la première formule, et sans mettre le nombre sous forme algébrique, calculer $\mathrm{Re}\left({\displaystyle \frac{1}{2-i}}\right)$.

5. Soit $z\in \mathbb{C}$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ et $z\mathrm{\ne }-1$. On pose $Z={\displaystyle \frac{z-1}{z+1}}$.

   a. Justifier que $z\mathrm{\ne }0$, puis montrer que $\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{z}}$.

   b. En déduire que $Z$ est imaginaire pur.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On rappelle que pour tous $z,z^{\mathrm{\prime }}\in \mathbb{C}$ :

1. Calculer les modules suivants.

   a. $\mathrm{\mid }3-4i\mathrm{\mid }$

   b. $\mathrm{\mid }1+i\mathrm{\mid }$

   c. $\mathrm{\mid }-2i\mathrm{\mid }$

   d. $\mid \sqrt{3}-i\mid$

   e. $\mathrm{\mid }-5+12i\mathrm{\mid }$

   f. $\mid {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\mid$

2. Calculer les modules suivants sans développer les puissances.

   a. $\mid {\displaystyle \frac{(1+i{)}^5(2-i)}{(3+4i{)}^2}}\mid$

   b. $\mid {\displaystyle \frac{(3-4i{)}^3}{(1-i{)}^4}}\mid$

3. Soient $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ deux nombres complexes.

   a. En utilisant $\mathrm{\mid }Z{\mathrm{\mid }}^2=Z\bar{Z}$, montrer que $\mathrm{\mid }z+z^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2+2\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\mathrm{\prime }}}\right)+\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2$.

   b. Vérifier cette égalité pour $z=1+i$ et $z^{\mathrm{\prime }}=2-i$.

4. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=1+2i$, $b=4+i$ et $c=2+5i$.

   a. Calculer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$.

   b. En déduire la nature du triangle $ABC$, en n'utilisant que ces trois longueurs.

5. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\mathrm{\mid }z-1-2i\mathrm{\mid }=\sqrt{10}$, et préciser sa position par rapport aux points $B$ et $C$ de la question précédente.

Écrire un nombre complexe non nul $z$ sous forme trigonométrique, c'est l'écrire

On a alors nécessairement $r=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ et $\arg (z)\equiv \theta [2\pi ]$.

1. Mettre les nombres suivants sous forme trigonométrique.

   a. $1+i$

   b. $-1+i\sqrt{3}$

   c. $-2$

   d. $3i$

   e. $-\sqrt{3}-i$

   f. ${\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{i}{2}}$

2. Les écritures suivantes sont-elles des formes trigonométriques ? Si non, corriger l'écriture, puis donner le module et un argument du nombre concerné.

   a. $-2e^{i\pi \mathrm{/}3}$

   b. $\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}-i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}})$

3. Donner la forme algébrique des nombres suivants.

   a. $4e^{-i\pi \mathrm{/}6}$

   b. $5e^{i\pi }$

   c. $2e^{3i\pi \mathrm{/}4}$

   d. $e^{-i\pi \mathrm{/}2}$

   e. $3e^{2i\pi }$

4. En utilisant le résultat de la question 1. a. et les règles sur les arguments, donner la forme trigonométrique de $\overline{1+i}$, de $-(1+i)$ et de ${\displaystyle \frac{1}{1+i}}$. Comparer le dernier résultat avec la question 1. f.

On pose

L'objectif est de calculer deux fois les mêmes quantités, une fois sous forme algébrique et une fois sous forme exponentielle, puis d'en tirer des valeurs de cosinus et de sinus qu'on ne connaît pas encore.

1. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.

2. Calculer $z_1{z}_2$ et ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$ sous forme algébrique.

3. Calculer $z_1{z}_2$ et ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$ sous forme exponentielle.

4. En comparant les deux écritures de ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$, déterminer les valeurs exactes de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$.

5. Déterminer de même $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$ à partir de $z_1{z}_2$, puis contrôler la cohérence des quatre valeurs obtenues.

6. Résoudre dans $\mathbb{R}$, d'inconnue $\theta$ :

   a. $e^{3i\theta }=e^{-i\theta }$

   b. $e^{i\theta }={\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{2}}}$

   c. $e^{i\theta }=1+i$

1. Calculer les puissances suivantes en passant par la forme exponentielle, et donner le résultat sous forme algébrique.

   a. $(1+i{)}^{12}$

   b. ${\left({\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{2}}\right)}^{2026}$

   c. ${(\sqrt{3}-i)}^6$

2. On pose $u={\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{2}}$.

   a. Montrer que $u^6=1$, puis que $6$ est le plus petit entier $n⩾1$ tel que $u^n=1$.

   b. En déduire que la suite ${\left(u^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est périodique, et qu'elle prend exactement six valeurs distinctes, que l'on précisera.

   c. Retrouver la valeur de $u^{2026}$ par cette méthode.

3. a. Énoncer la formule de Moivre.

   b. L'appliquer avec $n=2$ pour retrouver les expressions de $\cos (2\theta )$ et $\sin (2\theta )$.

   c. L'appliquer avec $n=3$ pour exprimer $\cos (3\theta )$ en fonction de $\cos \theta$ seulement, et $\sin (3\theta )$ en fonction de $\sin \theta$ seulement.

On rappelle que pour $a,b,c$ réels avec $a\mathrm{\ne }0$ et $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac<0$, l'équation $a{z}^2+bz+c=0$ admet dans $\mathbb{C}$ exactement deux solutions :

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes.

   a. $z^2+z+1=0$

   b. $z^2-2z+5=0$

   c. $2z^2-2z+5=0$

   d. $z^2+4z+13=0$

2. Pour chacune de ces quatre équations, factoriser le membre de gauche, puis vérifier que la somme des racines vaut $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ et que leur produit vaut ${\displaystyle \frac{c}{a}}$.

3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^4+z^2-6=0$.

4. a. Soient $a$, $b$, $c$ des réels avec $a\mathrm{\ne }0$, et soit $z_0\in \mathbb{C}$ une solution de $a{z}^2+bz+c=0$. Montrer que $\overline{z_0}$ en est également une solution.

   b. On sait que $2-i$ est solution de $z^2+bz+c=0$, où $b$ et $c$ sont réels. Déterminer $b$ et $c$, puis contrôler le résultat.

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note ${\mathbb{U}}_n=\{z\in \mathbb{C};z^n=1\}$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. On rappelle que

et que cet ensemble possède exactement $n$ éléments.

1. Déterminer ${\mathbb{U}}_2$, ${\mathbb{U}}_3$, ${\mathbb{U}}_4$ et ${\mathbb{U}}_6$, en donnant chaque élément sous forme exponentielle et sous forme algébrique.

2. Décrire en toutes lettres la disposition des points images de ces ensembles sur le cercle trigonométrique.

3. Vérifier, sur chacun de ces quatre ensembles, que la somme des éléments est nulle. Démontrer ensuite ce résultat pour tout $n⩾2$.

4. On pose $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$.

   a. Donner la forme algébrique de $j$, puis démontrer que $j^3=1$.

   b. Démontrer que $1+j+j^2=0$.

   c. Démontrer que $\bar{j}=j^2={\displaystyle \frac{1}{j}}$.

   d. En déduire, sans calcul de forme algébrique, la valeur de $(1+j{)}^2$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct d'origine $O$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives

1. Calculer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$.

2. Déterminer l'affixe du milieu $I$ du segment $[AC]$.

3. Écrire $Z={\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}$ sous forme algébrique, puis donner son module et un argument. Interpréter géométriquement chacun de ces deux résultats.

4. Calculer de même $W={\displaystyle \frac{a-b}{c-b}}$, puis en déduire la nature exacte du triangle $ABC$. Contrôler la réponse à l'aide de la question 1.

5. Déterminer l'affixe $d$ du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, c'est-à-dire tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Vérifier que les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu, puis préciser la nature exacte de ce parallélogramme.

Pour tout nombre complexe $z\mathrm{\ne }-1$, on pose

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct d'origine $O$, et l'on note $M$ le point d'affixe $z$.

1. Calculer $Z$ sous forme algébrique pour $z=2$, puis pour $z=i$.

2. On écrit $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels. Après avoir justifié que le dénominateur ne s'annule pas, exprimer $\mathrm{Re}(Z)$ et $\mathrm{Im}(Z)$ en fonction de $x$ et de $y$.

3. Déterminer l'ensemble ${\mathcal{E}}_1$ des points $M$ tels que $Z$ soit réel. Le décrire précisément.

4. Déterminer l'ensemble ${\mathcal{E}}_2$ des points $M$ tels que $Z$ soit imaginaire pur. Préciser sa nature et ses éléments caractéristiques.

5. Retrouver ces deux ensembles sans passer par $x$ et $y$, en traduisant « $Z$ est réel » par $\bar{Z}=Z$ et « $Z$ est imaginaire pur » par $\bar{Z}=-Z$.

6. Contrôler les résultats des questions 3 et 4 à l'aide des deux valeurs calculées à la question 1.

Dans tout l'exercice, $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ désignent deux nombres complexes. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct d'origine $O$, et l'on note $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z$, $z^{\mathrm{\prime }}$ et $z+z^{\mathrm{\prime }}$.

1. Rappeler pourquoi $\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2=w\bar{w}$ pour tout $w\in \mathbb{C}$, puis démontrer que

2. En déduire l'identité du parallélogramme :

3. On suppose $O$, $A$ et $B$ non alignés. Justifier que $OACB$ est un parallélogramme, puis énoncer en une phrase de géométrie, portant sur ses côtés et ses diagonales, ce que dit l'identité de la question 2.

4. Démontrer que $\mathrm{\mid }z+z^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }z-z^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2=4\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\mathrm{\prime }}}\right)$.

5. On pose $z=x+iy$ et $z^{\mathrm{\prime }}=x^{\mathrm{\prime }}+i{y}^{\mathrm{\prime }}$, avec $x$, $y$, $x^{\mathrm{\prime }}$, $y^{\mathrm{\prime }}$ réels.

   a. Montrer que $\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\mathrm{\prime }}}\right)=x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}$ et reconnaître cette quantité.

   b. En déduire, pour $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ non nuls, l'équivalence entre l'orthogonalité de $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$, la condition $\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\mathrm{\prime }}}\right)=0$ et l'égalité $\mathrm{\mid }z+z^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-z^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$. Interpréter cette dernière dans le parallélogramme de la question 3.

6. a. Vérifier les identités des questions 2 et 4 pour $z=3+i$ et $z^{\mathrm{\prime }}=1+2i$.

   b. On garde $z=3+i$, et l'on note $B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ le point d'affixe $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=t+3i$, où $t$ est un réel. Déterminer $t$ pour que $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{O{B}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}$ soient orthogonaux, puis contrôler le résultat à l'aide de l'égalité des diagonales de la question 5. b.

1. a. Énoncer, pour $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ dans $\mathbb{C}$, l'encadrement

et redémontrer l'inégalité de gauche à partir de celle de droite.

b. Soit $z$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=2$. Encadrer $\mathrm{\mid }z-5\mathrm{\mid }$, et préciser si les deux bornes obtenues sont atteintes.

2. Soit $z$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }⩽2$.

   a. Démontrer que $\mid z^3-2z+1\mid ⩽13$.

   b. Calculer $\mid z^3-2z+1\mid$ pour $z=2$, $z=-2$ et $z=2i$. La majoration de la question 2. a est-elle atteinte ?

   c. Quelle est la plus petite valeur possible de $\mid z^3-2z+1\mid$ lorsque $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }⩽2$ ?

3. Soit $z$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=3$. Démontrer que $z^2+1\mathrm{\ne }0$, puis que

Cette majoration est-elle atteinte ?

4. Soit $z$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=2$.

   a. Majorer $\mid z^2+z+1\mid$.

   b. Minorer $\mid z^3+1\mid$ et en déduire que ce nombre est non nul.

   c. En déduire que $\mid {\displaystyle \frac{z^2+z+1}{z^3+1}}\mid ⩽1$, puis contrôler cette majoration pour $z=2$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct d'origine $O$. Dans tout l'exercice, $M$ désigne le point d'affixe $z$, et l'on cherche l'ensemble des points $M$ vérifiant la condition indiquée.

1. Déterminer et décrire précisément (nature de l'ensemble, éléments caractéristiques) les ensembles définis par les conditions suivantes.

   a. $\mathrm{\mid }z-2+i\mathrm{\mid }=3$

   b. $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z+i\mathrm{\mid }$

   c. $\mathrm{\mid }z-i\mathrm{\mid }⩽2$

   d. $\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Im}(z)=1$

2. Les ensembles obtenus aux questions 1. b et 1. d ont-ils des points communs ? Justifier.

3. On considère enfin l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $M$ d'affixe $z\mathrm{\ne }-1$ tels que

a. Montrer que cette condition équivaut à $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }$.

b. En posant $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, montrer que cette condition équivaut à

c. Reconnaître $\mathcal{F}$ et en donner le centre et le rayon. Vérifier que la condition $z\mathrm{\ne }-1$ n'exclut aucun point de cet ensemble.

d. Déterminer les deux points de $\mathcal{F}$ situés sur l'axe des abscisses, et contrôler directement que leurs affixes vérifient la condition de départ.

Linéariser une expression trigonométrique, c'est l'écrire comme une combinaison linéaire de $\cos (k\theta )$ et de $\sin (k\theta )$, sans aucune puissance. La méthode est toujours la même :

1. remplacer $\cos \theta$ et $\sin \theta$ par leurs expressions données par les formules d'Euler ;
2. développer avec la formule du binôme de Newton ;
3. rassembler les termes deux à deux, en associant $e^{ik\theta }$ et $e^{-ik\theta }$, pour revenir à des cosinus et des sinus.

Dans tout l'exercice, $\theta$ désigne un réel.

1. Rappeler les formules d'Euler, puis justifier que pour tout entier naturel $k$,

2. Linéariser ${\cos }^3\theta$, puis contrôler le résultat pour $\theta =0$.

3. Linéariser ${\sin }^4\theta$, puis contrôler le résultat pour $\theta =0$ et pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

4. Linéariser ${\cos }^2\theta {\sin }^2\theta$ de deux façons : par la méthode générale, puis en partant de $\sin (2\theta )=2\sin \theta \cos \theta$. Contrôler le résultat pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

5. Linéariser ${\cos }^5\theta$, puis contrôler le résultat pour $\theta =0$ et pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

6. On admet que pour tout entier $k⩾1$, la fonction $\theta \mapsto \cos (k\theta )$ a une valeur moyenne nulle sur une période : les valeurs qu'elle prend en $\theta$ et en $\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{k}}$ sont opposées, donc se compensent deux à deux. En déduire la valeur moyenne sur une période de chacune des quatre expressions linéarisées aux questions 2 à 5, et dire en une phrase à quoi sert la linéarisation.

C'est l'opération inverse de la linéarisation : on part de $\cos (n\theta )$ et l'on cherche à l'exprimer à l'aide de $\cos \theta$. L'outil est la formule de Moivre, qui affirme que pour tout réel $\theta$ et tout entier naturel $n$,

autrement dit ${\left(e^{i\theta }\right)}^n=e^{in\theta }$. On développe le membre de gauche par le binôme de Newton, puis on identifie les parties réelle et imaginaire.

Dans tout l'exercice, $\theta$ est un réel et l'on note $c=\cos \theta$ et $s=\sin \theta$.

1. Développer $(c+is{)}^3$ par le binôme, puis en déduire que

Contrôler ces deux formules pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

2. Par la même méthode, exprimer $\cos (4\theta )$ en fonction de $c$ seul. Contrôler le résultat de deux façons : à l'aide de la formule de duplication $\cos (4\theta )=2{\cos }^2(2\theta )-1$, puis pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

3. Exprimer de même $\cos (5\theta )$ en fonction de $c$ seul, et contrôler le résultat pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

4. Montrer que pour tout réel $\theta$ tel que $\sin \theta \mathrm{\ne }0$, le quotient ${\displaystyle \frac{\sin (3\theta )}{\sin \theta }}$ ne dépend que de $\cos \theta$, et donner son expression. Contrôler pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ et pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

5. Expliquer, en observant à quelles places les puissances de $s$ apparaissent dans le développement de $(c+is{)}^n$, pourquoi $\cos (n\theta )$ s'exprime toujours à l'aide de $\cos \theta$ seul, et pourquoi $\sin (n\theta )$ est toujours le produit de $\sin \theta$ par une expression ne dépendant que de $\cos \theta$. Illustrer cette seconde affirmation en écrivant $\sin (4\theta )$ sous cette forme.

Dans tout l'exercice, $\theta$, $a$, $b$, $p$ et $q$ désignent des nombres réels.

1. Factoriser chacune des expressions suivantes par l'exponentielle de l'arc moitié, c'est-à-dire mettre en facteur $e^{i\theta \mathrm{/}2}$ (respectivement $e^{i(a+b)\mathrm{/}2}$) de manière à faire apparaître un facteur réel ou imaginaire pur.

   a. $1+e^{i\theta }$

   b. $1-e^{i\theta }$

   c. $e^{ia}+e^{ib}$

   d. $e^{ia}-e^{ib}$

2. Dans cette question, on suppose $\theta \in ]-\pi ,\pi [$.

   a. Déterminer le module et un argument de $1+e^{i\theta }$. Contrôler le résultat pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ en repassant par la forme algébrique.

   b. Expliquer pourquoi la restriction $\theta \in ]-\pi ,\pi [$ est indispensable. Déterminer ensuite le module et un argument de $1+e^{4i\pi \mathrm{/}3}$, et comparer avec ce qu'aurait donné la formule de la question 2. a. appliquée sans précaution.

3. Soit $\theta \in ]0,2\pi [$. Déterminer, par la même méthode, le module et un argument de $1-e^{i\theta }$.

4. En prenant les parties réelle et imaginaire dans les factorisations des questions 1. c. et 1. d. appliquées à $a=p$ et $b=q$, retrouver les deux formules de factorisation

   $$\cos p+\cos q=2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}\text{et}\sin p-\sin q=2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2}\mathrm{.}$$

5. Application : résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos (3x)+\cos x=0$.

Soient $\theta$ un réel et $n$ un entier naturel. On pose

1. Justifier que $C_n=\mathrm{Re}(Z_n)$ et $S_n=\mathrm{Im}(Z_n)$.

2. On suppose dans cette question $\theta \equiv 0[2\pi ]$. Calculer $Z_n$, $C_n$ et $S_n$.

3. On suppose désormais $\theta \equiv ̸0[2\pi ]$.

   a. Justifier que $e^{i\theta }\mathrm{\ne }1$, puis calculer $Z_n$ à l'aide de la somme géométrique.

   b. En factorisant le numérateur et le dénominateur par l'exponentielle de l'arc moitié, démontrer que

   $$Z_n=\frac{\sin {\displaystyle \frac{(n+1)\theta }{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}}{e}^{in\theta \mathrm{/}2}\mathrm{.}$$

   c. En déduire des expressions de $C_n$ et de $S_n$.

4. Toujours pour $\theta \equiv ̸0[2\pi ]$, déterminer $\mathrm{\mid }{Z}_n\mathrm{\mid }$. Pourquoi ne peut-on pas affirmer que ${\displaystyle \frac{n\theta }{2}}$ est un argument de $Z_n$ ?

5. Application numérique : calculer $C_5$ et $S_5$ pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, d'abord par les formules de la question 3. c., puis directement terme à terme. Faire de même avec $C_2$ et $S_2$ pour la même valeur de $\theta$.

Soient $a$ et $b$ deux réels non tous les deux nuls. On pose $R=\sqrt{a^2+b^2}$ et on note $\phi$ un argument du complexe $a+ib$.

1. a. Justifier que $R>0$ et que $R=\mathrm{\mid }a+ib\mathrm{\mid }$, puis que $\phi$ existe bien.

   b. Démontrer que pour tout réel $t$, $a\cos t+b\sin t=\mathrm{Re}((a-ib)e^{it})$.

   c. En déduire que pour tout réel $t$, $a\cos t+b\sin t=R\cos (t-\phi )$.

2. Appliquer la question précédente aux deux expressions suivantes : préciser $R$, puis un réel $\phi$ convenable (caractérisé par son cosinus et son sinus s'il ne s'agit pas d'un angle usuel).

   a. $\cos t+\sqrt{3}\sin t$

   b. $3\cos t-4\sin t$

3. Contrôler l'identité obtenue en 2. a. pour $t=0$ et pour $t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

4. Résoudre dans $[0,2\pi [$ l'équation $\cos t+\sqrt{3}\sin t=1$.

5. Déterminer le maximum et le minimum de la fonction $g:t\mapsto 3\cos t-4\sin t$ sur $\mathbb{R}$, et préciser en quels réels ils sont atteints.

6. Interpréter, en une ou deux phrases, les rôles respectifs de $R$ et de $\phi$ pour un signal du type $t\mapsto a\cos t+b\sin t$.

On appelle racine carrée d'un complexe $a$ tout complexe $z$ tel que $z^2=a$.

1. Soit $a=\alpha +i\beta$ un complexe non nul, avec $\alpha$ et $\beta$ réels, et soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels. Démontrer que

   $$z^2=a⟺\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=\alpha \\ x^2+y^2=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\\ 2xy=\beta \end{array}$$

   puis expliquer comment ce système fournit $x^2$, $y^2$, et enfin les deux racines carrées de $a$.

2. Déterminer par cette méthode les racines carrées des complexes suivants, et vérifier chaque résultat en l'élevant au carré.

   a. $3+4i$

   b. $-8+6i$

   c. $5-12i$

3. Déterminer les racines carrées de $-2i$ et de $4e^{i\pi \mathrm{/}3}$ par la méthode trigonométrique. Traiter également $4e^{i\pi \mathrm{/}3}$ par la méthode algébrique et comparer les deux démarches.

4. Déduire de la question 2, sans aucun nouveau calcul de système, les racines carrées de $-3-4i$ et de $-5+12i$.

5. Pourquoi n'écrit-on jamais $\sqrt{3+4i}$ ?

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation

   $$(E_1):z^2-(3+4i)z+(-1+5i)=0.$$

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation

   $$(E_2):z^2-(1+i)z+2+2i=0.$$

3. Soit $m$ un nombre complexe. On considère l'équation

   $$(E_m):z^2-(2+2i)z+m=0,$$

   dont on note $z_1$ et $z_2$ les solutions, éventuellement confondues.

   a. Démontrer, sans calculer $z_1$ ni $z_2$, que $z_1+z_2=2+2i$ et $z_1{z}_2=m$.

   b. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $(E_m)$ admet une solution double, et préciser cette solution.

   c. Déterminer $m$ pour que $i$ soit solution de $(E_m)$, puis en déduire l'autre solution sans résoudre l'équation.

   d. Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle les deux solutions de $(E_m)$ sont réelles ? Justifier.

4. Dans les questions 1 et 2, contrôler les solutions obtenues par leur somme et leur produit.

Pour $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, on rappelle la définition $e^z=e^x(\cos y+i\sin y)=e^x{e}^{iy}$.

1. Écrire sous forme algébrique les complexes suivants.

   a. $e^{1+i\pi }$

   b. $e^{\ln 2+i\pi \mathrm{/}3}$

   c. $e^{2i\pi }$

   d. $e^{1-i\pi \mathrm{/}2}$

2. Soit $z$ un complexe.

   a. Démontrer que $\mid e^z\mid =e^{\mathrm{Re}(z)}$ et que $\mathrm{Im}(z)$ est un argument de $e^z$.

   b. En déduire que $e^z\mathrm{\ne }0$.

3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations $e^z=1+i$, puis $e^z=-2$.

4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $e^z=e^{\bar{z}}$.

5. Déterminer l'ensemble des complexes $z$ tels que $e^z$ soit réel, puis l'ensemble des complexes $z$ tels que $e^z$ soit imaginaire pur. Interpréter géométriquement ces deux ensembles.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. Pour une transformation du plan, on note $z$ l'affixe d'un point $M$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ l'affixe de son image $M^{\mathrm{\prime }}$.

1. Établir l'écriture complexe, c'est-à-dire l'expression de $z^{\mathrm{\prime }}$ en fonction de $z$, de chacune des transformations suivantes.

   a. La translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ d'affixe $b$.

   b. L'homothétie de centre $\mathrm{\Omega }$ d'affixe $\omega$ et de rapport $k$, où $k$ est un réel non nul.

   c. La rotation de centre $\mathrm{\Omega }$ d'affixe $\omega$ et d'angle $\alpha$.

2. On note $\mathrm{\Omega }$ le point d'affixe $1+i$ et $A$ le point d'affixe $3+2i$. Déterminer l'affixe de l'image de $A$ par chacune des transformations suivantes.

   a. $t$, translation de vecteur d'affixe $2-i$

   b. $h$, homothétie de centre $\mathrm{\Omega }$ et de rapport $-2$

   c. $r$, rotation de centre $\mathrm{\Omega }$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

3. Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $A$ et de rayon $2$. Déterminer l'image de $\mathcal{C}$ par $r$, puis son image par $h$ : dans chaque cas, on précisera le centre et le rayon, avec justification.

4. Reconnaître la transformation du plan associée à chacune des écritures complexes suivantes, en précisant tous ses éléments caractéristiques. On cherchera un point fixe lorsque c'est utile.

   a. $z^{\mathrm{\prime }}=z+2-i$

   b. $z^{\mathrm{\prime }}=3z-4$

   c. $z^{\mathrm{\prime }}=iz+1$

5. Contrôler la réponse de la question 4. c. en calculant de deux façons l'image du point $A$ de la question 2.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul et l'on note $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}$.

1. La méthode générale. Soit $a$ un nombre complexe non nul, écrit sous forme trigonométrique $a=\rho e^{i\alpha }$ avec $\rho >0$ et $\alpha$ réel. On note $\sqrt[n]{\rho }$ l'unique réel strictement positif dont la puissance $n$-ième vaut $\rho$, et on pose $z_0=\sqrt[n]{\rho }{e}^{i\alpha \mathrm{/}n}$.

   a. Vérifier que $z_0^n=a$.

   b. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, on a $z^n=a$ si et seulement s'il existe un entier $k$ compris entre $0$ et $n-1$ tel que $z=z_0{\omega }^k$.

   c. En déduire que l'équation $z^n=a$ possède exactement $n$ solutions.

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^4=-4$. On donnera les quatre solutions sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

3. Déduire de la question 2 une factorisation de $z^4+4$ en produit de deux expressions du second degré à coefficients réels, valable pour tout complexe $z$. Contrôler cette factorisation en la développant.

4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3=1+i$, et expliquer pourquoi il n'est pas raisonnable ici d'exiger les formes algébriques.

5. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^6=-64$. On donnera aussi les formes algébriques des six solutions.

6. Disposition des solutions. Décrire en toutes lettres la figure formée par les points dont les affixes sont les $n$ solutions de $z^n=a$, et justifier cette description. L'illustrer sur les équations des questions 2 et 5.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier vérifiant $n⩾2$, et l'on pose $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}$.

1. a. Justifier que $\omega \mathrm{\ne }1$.

   b. Démontrer que ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\omega }^k=0}$.

2. Soit $p$ un entier relatif.

   a. Démontrer que ${\omega }^p=1$ si et seulement si $n$ divise $p$.

   b. Calculer ${\displaystyle S_p=\sum _{k=0}^{n-1}{\omega }^{kp}}$, en distinguant deux cas. Contrôler le résultat pour $p=0$ et pour $p=1$.

3. Calculer le produit ${\displaystyle P=\prod _{k=0}^{n-1}{\omega }^k}$. On donnera un résultat unique, puis on l'énoncera selon la parité de $n$. Contrôler pour $n=2$, $n=3$ et $n=4$.

4. En déduire que

   $$\sum _{k=0}^{n-1}\cos \frac{2k\pi }{n}=0\text{et}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \frac{2k\pi }{n}=0,$$

   puis interpréter géométriquement la première de ces deux égalités.

5. Deux vérifications.

   a. On suppose $n$ pair. Retrouver directement le résultat de la question 1. b, sans utiliser de somme géométrique, en regroupant judicieusement les termes deux par deux.

   b. Déduire de la question 4, appliquée à $n=5$, la valeur exacte de $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}+\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul et $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$.

1. Échauffement : les indices pairs.

   a. Vérifier que, pour tout entier naturel $k$, le nombre ${\displaystyle \frac{1+(-1{)}^k}{2}}$ vaut $1$ si $k$ est pair et $0$ si $k$ est impair.

   b. En appliquant la formule du binôme aux couples $(1,1)$ et $(1,-1)$, calculer la somme des ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$ pour les entiers $k$ pairs compris entre $0$ et $n$. Contrôler le résultat pour $n=4$.

2. Le filtre d'ordre trois. Rappeler pourquoi $j^3=1$ et $1+j+j^2=0$, puis démontrer que, pour tout entier naturel $k$,

   $$\frac{1+j^k+j^{2k}}{3}=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }3\mid k,\\ 0& \text{sinon.}\end{array}$$

3. Démontrer que $1+j=e^{i\pi \mathrm{/}3}$ et $1+j^2=e^{-i\pi \mathrm{/}3}$.

4. On note $T_n$ la somme des coefficients ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$ pour les entiers $k$ compris entre $0$ et $n$ divisibles par $3$, somme que l'on abrège en ${\displaystyle T_n=\sum _{3\mid k}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$. Démontrer que

   $$T_n=\frac{2^n+2\cos {\displaystyle \frac{n\pi }{3}}}{3}\mathrm{.}$$

5. Contrôler cette formule pour $n=3$ et pour $n=6$, en calculant $T_3$ et $T_6$ directement.

6. Démontrer que $\mid T_n-{\displaystyle \frac{2^n}{3}}\mid ⩽{\displaystyle \frac{2}{3}}$, et interpréter ce résultat.

Soit $n$ un entier vérifiant $n⩾2$. On cherche à résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation

On note $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}$.

1. Vérifier que $1$ n'est pas solution de $(E)$.

2. Analyse préliminaire. Démontrer que toute solution de $(E)$ vérifie $\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }$. Interpréter cette condition géométriquement, et en déduire que les solutions de $(E)$ sont nécessairement de partie réelle nulle.

3. Soit $z$ un complexe différent de $1$. On pose $Z={\displaystyle \frac{z+1}{z-1}}$. Démontrer que $z$ est solution de $(E)$ si et seulement si $Z^n=1$.

4. a. Soit $Z$ un complexe. Résoudre, d'inconnue $z$, l'équation ${\displaystyle \frac{z+1}{z-1}}=Z$ ; on distinguera le cas $Z=1$.

   b. En déduire que $(E)$ possède exactement $n-1$ solutions, à savoir les $z_k={\displaystyle \frac{{\omega }^k+1}{{\omega }^k-1}}$ pour $k$ compris entre $1$ et $n-1$. On justifiera qu'elles sont deux à deux distinctes.

5. Simplification par l'arc moitié. Démontrer que, pour $k$ compris entre $1$ et $n-1$,

   $$z_k=-i\frac{\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{n}}}{\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{n}}}\mathrm{.}$$

   Vérifier la cohérence avec la question 2, et déterminer à quelle condition l'une des solutions est nulle.

6. Contrôle. Résoudre entièrement $(E)$ pour $n=3$ en développant les deux membres, et comparer avec la question 5. Faire de même pour $n=2$.

Soient $s$ et $p$ deux nombres complexes fixés. On s'intéresse au système d'inconnue le couple $(z_1,z_2)$ de complexes

et à l'équation associée $(E):z^2-sz+p=0$.

1. a. Démontrer que si le couple $(z_1,z_2)$ est solution de $(S)$, alors $z_1$ et $z_2$ sont solutions de $(E)$.

   b. Réciproquement, démontrer que si $z_1$ est solution de $(E)$ et si l'on pose $z_2=s-z_1$, alors le couple $(z_1,z_2)$ est solution de $(S)$.

   c. Soit $\delta$ une racine carrée complexe de $\mathrm{\Delta }=s^2-4p$. Décrire tous les couples solutions de $(S)$ à l'aide de $\delta$, et vérifier directement, par le calcul, que le couple obtenu convient.

2. Résoudre les systèmes suivants, d'inconnue le couple $(z_1,z_2)$ de complexes.

   a. $z_1+z_2=5$ et $z_1{z}_2=6$

   b. $z_1+z_2=2+3i$ et $z_1{z}_2=-1+3i$

3. Résoudre de même le système $z_1+z_2=1+i$ et $z_1{z}_2=5i$.

4. Synthèse. Soit $s$ un nombre réel.

   a. Résoudre dans ${\mathbb{C}}^{\ast }$ l'équation $z+{\displaystyle \frac{1}{z}}=s$, en discutant selon la position de $s$ par rapport à $-2$ et $2$. Dans chaque cas, préciser le module des solutions.

   b. Démontrer que l'ensemble des complexes non nuls $z$ tels que $z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$ soit réel est exactement $\mathbb{U}\cup {\mathbb{R}}^{\ast }$, et décrire l'ensemble des points correspondants du plan.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. Soient $A$, $B$, $C$ trois points deux à deux distincts, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$. On pose $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$.

On dit que le triangle $ABC$ est équilatéral direct lorsque $AB=BC=CA$ et que l'angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ a pour mesure ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ modulo $2\pi$. On rappelle que cet angle orienté a pour mesure $\arg {\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}$ modulo $2\pi$.

1. On pose $u={\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}$, ce qui a un sens puisque $b\mathrm{\ne }a$.

   a. Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral si et seulement si $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=1$ et $\mathrm{\mid }u-1\mathrm{\mid }=1$.

   b. En déduire que le triangle $ABC$ est équilatéral si et seulement si $u=e^{i\pi \mathrm{/}3}$ ou $u=e^{-i\pi \mathrm{/}3}$, et que le premier cas est celui du triangle équilatéral direct. Conclure que

   $$ABC\acute{\text{e}}\text{quilat}\acute{\text{e}}\text{ral direct}⟺c-a=e^{i\pi \mathrm{/}3}(b-a),$$

   et interpréter cette égalité à l'aide d'une rotation.

2. Justifier que $1+j+j^2=0$, puis démontrer que $e^{i\pi \mathrm{/}3}=-j^2$. En déduire que le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si

   $$a+jb+j^{2}c=0.$$

3. a. Vérifier que, pour tous nombres complexes $a$, $b$, $c$,

   $$(a+jb+j^{2}c)(a+j^{2}b+jc)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\mathrm{.}$$

   b. En déduire que le triangle $ABC$ est équilatéral (quelle que soit son orientation) si et seulement si $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$.

4. Les triangles suivants sont-ils équilatéraux ? Le premier a pour sommets les points d'affixes $3$, $i\sqrt{3}$ et $-i\sqrt{3}$ ; le second, les points d'affixes $0$, $1$ et $i$. Dans le cas équilatéral, préciser l'orientation.

5. On prend $a=1$ et $b=3$. Déterminer les affixes des deux points $C$ pour lesquels $ABC$ est équilatéral, et dire lequel donne un triangle direct.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. Soient $a$ un complexe non nul et $b$ un complexe. On note $f$ la transformation qui, au point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M^{\mathrm{\prime }}$ d'affixe

On rappelle que la rotation de centre $\mathrm{\Omega }$ d'affixe $\omega$ et d'angle $\theta$ associe au point d'affixe $z$ le point d'affixe $\omega +e^{i\theta }(z-\omega )$, et que l'homothétie de centre $\mathrm{\Omega }$ et de rapport $k$ réel non nul associe au point d'affixe $z$ le point d'affixe $\omega +k(z-\omega )$.

1. Reconnaître $f$ dans le cas $a=1$. Cette transformation admet-elle un point invariant ?

2. On suppose désormais $a\mathrm{\ne }1$.

   a. Démontrer qu'il existe un unique point $\mathrm{\Omega }$ invariant par $f$, et déterminer son affixe $\omega$.

   b. Démontrer que, pour tout complexe $z$, $z^{\mathrm{\prime }}-\omega =a(z-\omega )$.

3. On suppose toujours $a\mathrm{\ne }1$, et on note $\mathrm{\Omega }$ le point invariant.

   a. On suppose $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=1$. Démontrer que $f$ est la rotation de centre $\mathrm{\Omega }$ et d'angle $\arg (a)$.

   b. On suppose $a$ réel strictement positif. Démontrer que $f$ est l'homothétie de centre $\mathrm{\Omega }$ et de rapport $a$. Que dire si $a$ est réel strictement négatif ?

   c. Dans le cas général, démontrer que $f$ est la composée, dans l'un ou l'autre ordre, de l'homothétie de centre $\mathrm{\Omega }$ et de rapport $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ et de la rotation de centre $\mathrm{\Omega }$ et d'angle $\arg (a)$. Traduire cette description par deux relations portant sur les distances et sur les angles.

4. Pour chacune des trois transformations ci-dessous, déterminer le point invariant et décrire précisément la transformation : $z^{\mathrm{\prime }}=iz+2$, puis $z^{\mathrm{\prime }}=2z-1+i$, puis $z^{\mathrm{\prime }}=(1+i)z+3$.

5. Composée de deux rotations de centres distincts. Soient ${\mathrm{\Omega }}_1$ et ${\mathrm{\Omega }}_2$ deux points distincts, d'affixes ${\omega }_1$ et ${\omega }_2$, et soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels. On note $r_1$ la rotation de centre ${\mathrm{\Omega }}_1$ et d'angle $\alpha$, et $r_2$ celle de centre ${\mathrm{\Omega }}_2$ et d'angle $\beta$.

   a. Déterminer l'expression complexe de $r_2\circ r_1$, sous la forme $z\mapsto Az+B$.

   b. Discuter la nature de $r_2\circ r_1$ selon la valeur de $\alpha +\beta$. Dans le cas d'une rotation, préciser l'angle et l'affixe du centre ; dans l'autre cas, préciser le vecteur.

   c. Illustrer les deux cas avec ${\mathrm{\Omega }}_1$ l'origine, ${\mathrm{\Omega }}_2$ le point d'affixe $1$, et les couples d'angles $({\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ puis $({\displaystyle \frac{\pi }{2}},-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct, et l'on note $M(z)$ le point d'affixe $z$. On utilise librement le résultat du cours : si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls d'affixes respectives $z_u$ et $z_v$, alors

On note $i\mathbb{R}$ l'ensemble des imaginaires purs, c'est-à-dire des complexes de la forme $iy$ avec $y$ réel. Dans tout l'exercice, les points nommés sont deux à deux distincts, et $a$, $b$, $c$, $d$ désignent les affixes de $A$, $B$, $C$, $D$.

1. Soit $Z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$. Démontrer que $Z\in \mathbb{R}$ si et seulement si $\arg (Z)\equiv 0[\pi ]$, et que $Z\in i\mathbb{R}$ si et seulement si $\arg (Z)\equiv {\displaystyle \frac{\pi }{2}}[\pi ]$.

2. Démontrer que $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si ${\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}\in \mathbb{R}$.

3. Démontrer que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires si et seulement si ${\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}\in i\mathbb{R}$.

4. Dans chacun des trois cas suivants, où $A$ a pour affixe $1+i$ et $B$ pour affixe $3+2i$, dire si $A$, $B$, $C$ sont alignés, si $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires, ou ni l'un ni l'autre.

   a. $C$ d'affixe $-3-i$

   b. $C$ d'affixe $3i$

   c. $C$ d'affixe $2+3i$

5. On admet la propriété de géométrie du plan suivante.

   Propriété admise (angle inscrit). Soient $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points deux à deux distincts. Alors $A$, $B$, $C$, $D$ appartiennent à un même cercle ou à une même droite si et seulement si $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\equiv (\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB})[\pi ]$.

   En déduire que $A$, $B$, $C$, $D$ sont cocycliques ou alignés si et seulement si le quotient de ${\displaystyle \frac{c-a}{c-b}}$ par ${\displaystyle \frac{d-a}{d-b}}$, c'est-à-dire le nombre $Z={\displaystyle \frac{c-a}{c-b}}\times {\displaystyle \frac{d-b}{d-a}}$, est réel.

6. Application. On considère $A$ d'affixe $3+3i$, $B$ d'affixe $3+i$, $C$ d'affixe $4i$, $D$ d'affixe $-1+i$ et $D^{\mathrm{\prime }}$ d'affixe $-1+2i$.

   a. Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont-ils cocycliques ? Si oui, déterminer le centre et le rayon du cercle qui les porte.

   b. Même question pour $A$, $B$, $C$, $D^{\mathrm{\prime }}$.