Devoir surveillé — Nombres complexes

Les six questions sont indépendantes. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ et tout point $M$ est identifié à son affixe $z$.

1. Écrire sous forme algébrique les deux nombres suivants.

   a. $A={\displaystyle \frac{2+i}{1-i}}+{\displaystyle \frac{1}{i}}$

   b. $B={\displaystyle \frac{(1+i{)}^5}{(1-i{)}^3}}$

2. On pose $Z={\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}}$. Déterminer la forme algébrique de $Z$, puis sa forme trigonométrique. En déduire les valeurs exactes de $\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$ et de $\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$.

3. Déterminer les racines carrées complexes de $w=-7+24i$ par la méthode algébrique, c'est-à-dire en cherchant ces racines sous la forme $x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, sans passer par la forme trigonométrique.

4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-(1+3i)z-2+2i=0$, puis contrôler le résultat à l'aide des relations entre les coefficients et les racines.

5. Déterminer et décrire l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\mathrm{\mid }iz+3-i\mathrm{\mid }=2$.

6. Écrire $\sqrt{3}-i$ sous forme exponentielle, puis en déduire la forme algébrique de ${(\sqrt{3}-i)}^9$.

Barème : 1. 0,5 pt — 2. 0,75 pt — 3. 0,75 pt — 4. 0,75 pt — 5. 0,5 pt — 6. 0,75 pt.

Partie A — Linéarisation.

1. Soit $\theta$ un réel. À l'aide de la formule d'Euler et de la formule du binôme, démontrer que

$${\cos }^4\theta =\frac{1}{8}(\cos (4\theta )+4\cos (2\theta )+3)\mathrm{.}$$

2. En déduire la valeur exacte de ${\displaystyle S={\cos }^4\frac{\pi }{8}+{\cos }^4\frac{3\pi }{8}+{\cos }^4\frac{5\pi }{8}+{\cos }^4\frac{7\pi }{8}}$.

3. À l'aide de la formule de Moivre, exprimer $\cos (4\theta )$ en fonction de $\cos \theta$ seulement, puis vérifier la cohérence de cette expression avec la question 1.

Partie B — Une somme de cosinus.

Dans cette partie, $n$ désigne un entier naturel et $\theta$ un réel. On pose

$$C_n(\theta )=\sum _{k=0}^n\cos (k\theta ),S_n(\theta )=\sum _{k=0}^n\sin (k\theta ),Z_n(\theta )=\sum _{k=0}^n{e}^{ik\theta }\mathrm{.}$$

4. a. Traiter le cas $\theta \equiv 0[2\pi ]$ : donner $Z_n(\theta )$, $C_n(\theta )$ et $S_n(\theta )$. b. On suppose désormais $\theta \equiv ̸0[2\pi ]$. Calculer $Z_n(\theta )$ comme somme géométrique, puis, par la technique de l'arc moitié, démontrer que

$$Z_n(\theta )=e^{in\theta \mathrm{/}2}\frac{\sin {\displaystyle \frac{(n+1)\theta }{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}}\mathrm{.}$$

En déduire $C_n(\theta )$ et $S_n(\theta )$.

5. Application numérique : calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^6\cos \frac{k\pi }{3}}$ à l'aide de la formule précédente, puis retrouver ce résultat par un calcul direct.

Partie C — Amplitude et phase.

6. Soient $a$ et $b$ deux réels non tous les deux nuls. Démontrer qu'il existe un réel $R>0$ et un réel $\phi$, que l'on précisera en fonction de $a$ et de $b$, tels que

$$\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R},a\cos t+b\sin t=R\cos (t-\phi )\mathrm{.}$$

On pourra commencer par vérifier que $a\cos t+b\sin t=\mathrm{Re}((a-ib)e^{it})$.

7. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos t+\sqrt{3}\sin t=1$, puis donner l'ensemble de ses solutions appartenant à $[0,2\pi [$.

Barème : 1. 0,75 pt — 2. 0,5 pt — 3. 0,5 pt — 4. 1,25 pt — 5. 0,5 pt — 6. 0,75 pt — 7. 0,75 pt.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On pose

$$\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}\text{et}{\mathbb{U}}_n=\{z\in \mathbb{C}:z^n=1\}\mathrm{.}$$

Partie A — L'ensemble ${\mathbb{U}}_n$.

1. Démontrer que ${\mathbb{U}}_n=\{{\omega }^k:k\in \{0,1,\dots ,n-1\}\}$ et que ces $n$ nombres sont deux à deux distincts. On précisera le nombre d'éléments de ${\mathbb{U}}_n$.

2. Soient $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ deux éléments de ${\mathbb{U}}_n$. Démontrer que $z{z}^{\mathrm{\prime }}\in {\mathbb{U}}_n$, que $z\mathrm{\ne }0$ et ${\displaystyle \frac{1}{z}}\in {\mathbb{U}}_n$, et enfin que $\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{z}}$. On dira que ${\mathbb{U}}_n$ est stable par produit et par passage à l'inverse.

3. Démontrer que ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\omega }^k=0}$, et en déduire les deux égalités

$$\sum _{k=0}^{n-1}\cos \frac{2k\pi }{n}=0\text{et}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \frac{2k\pi }{n}=0.$$

Partie B — L'équation $(z+1{)}^n=(z-1{)}^n$.

On note $(E_n)$ l'équation $(z+1{)}^n=(z-1{)}^n$, d'inconnue $z\in \mathbb{C}$.

4. Démontrer que toute solution $z$ de $(E_n)$ vérifie $\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }$, puis en déduire que toute solution appartient à $i\mathbb{R}$, c'est-à-dire est un imaginaire pur. On donnera l'interprétation géométrique de la condition $\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }$.

5. a. Démontrer que $1$ n'est pas solution de $(E_n)$. b. Démontrer que $z$ est solution de $(E_n)$ si et seulement si $z\mathrm{\ne }1$ et ${\displaystyle \frac{z+1}{z-1}}\in {\mathbb{U}}_n$. c. Démontrer que, pour tout $z\mathrm{\ne }1$, ${\displaystyle \frac{z+1}{z-1}}\mathrm{\ne }1$.

6. Soit $k\in \{1,\dots ,n-1\}$. Résoudre, d'inconnue $z$, l'équation ${\displaystyle \frac{z+1}{z-1}}={\omega }^k$, et démontrer, par la technique de l'arc moitié, que son unique solution est

$$z_k=-i\frac{\cos \frac{k\pi }{n}}{\sin \frac{k\pi }{n}}\mathrm{.}$$

En déduire l'ensemble des solutions de $(E_n)$, et démontrer que $(E_n)$ possède exactement $n-1$ solutions.

7. a. Résoudre directement $(E_3)$ en développant les deux membres, et comparer au résultat de la question 6. b. Démontrer que $0$ est solution de $(E_n)$ si et seulement si $n$ est pair, et retrouver ce fait sur la description obtenue à la question 6.

Partie C — Une somme binomiale filtrée.

On pose $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$.

8. a. Démontrer que $j^3=1$, que $1+j+j^2=0$ et que $\bar{j}=j^2$. b. Soit $m$ un entier naturel. Démontrer que $1+j^m+j^{2m}$ vaut $3$ si $3$ divise $m$, et $0$ sinon. On pourra utiliser la division euclidienne de $m$ par $3$.

9. Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $T_n$ la somme des coefficients binomiaux $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$ pour lesquels $k$ est un multiple de $3$, c'est-à-dire

$$T_n=\sum _{p=0}^{\lfloor n\mathrm{/}3\rfloor }\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{3p}\right)\mathrm{.}$$

Démontrer que ${\displaystyle T_n=\frac{1}{3}(2^n+2\cos \frac{n\pi }{3})}$. On pourra calculer $(1+1{)}^n+(1+j{)}^n+(1+j^2{)}^n$.

10. Vérifier la formule précédente pour $n=4$, puis pour $n=7$.

Barème : 1. 0,75 pt — 2. 0,5 pt — 3. 0,75 pt — 4. 0,5 pt — 5. 0,75 pt — 6. 0,75 pt — 7. 0,5 pt — 8. 0,5 pt — 9. 0,75 pt — 10. 0,25 pt.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On identifie tout point $M$ à son affixe $z$.

Partie A — Ensembles de points.

Déterminer et décrire précisément chacun des ensembles suivants (nature et éléments caractéristiques).

1. $E_1=\{M\text{ d’affixe }z:\mathrm{\mid }z-3+i\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z+1-3i\mathrm{\mid }\}$. On donnera de plus une équation cartésienne de $E_1$.

2. $E_2=\{M\text{ d’affixe }z:\mid \bar{z}+2i\mid =2\}$.

3. $E_3=\{M\text{ d’affixe }z:\arg (z+2-i)\equiv {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}[2\pi ]\}$. Préciser ce que devient cet ensemble si l'on remplace la congruence modulo $2\pi$ par une congruence modulo $\pi$.

Partie B — Alignement et orthogonalité.

On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=1+i$, $b=4+2i$ et $c=4i$.

4. Soient $P$, $Q$, $R$ trois points deux à deux distincts, d'affixes respectives $p$, $q$, $r$. Justifier les deux caractérisations suivantes :

$$P,Q,R\text{ align}\acute{\text{e}}\text{s}⟺\frac{r-p}{q-p}\in \mathbb{R},(PQ)\perp (PR)⟺\frac{r-p}{q-p}\in i{\mathbb{R}}^{\ast },$$

où $i{\mathbb{R}}^{\ast }$ désigne l'ensemble des imaginaires purs non nuls.

5. Calculer ${\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}$, puis en déduire la nature précise du triangle $ABC$.

6. Déterminer l'affixe $d$ du point $D$ tel que le quadrilatère $ABDC$ soit un carré, et justifier que c'en est bien un.

Partie C — Une transformation du plan.

Soient $\alpha \in {\mathbb{C}}^{\ast }$ et $\beta \in \mathbb{C}$. On note $g$ la transformation qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M^{\mathrm{\prime }}$ d'affixe $g(z)=\alpha z+\beta$.

7. a. On suppose $\alpha =1$. Démontrer que $g$ est la translation de vecteur d'affixe $\beta$. b. On suppose $\alpha \mathrm{\ne }1$. Démontrer que $g$ admet un unique point fixe $\mathrm{\Omega }$, dont on donnera l'affixe $z_{\mathrm{\Omega }}$, et que

$$\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C},g(z)-z_{\mathrm{\Omega }}=\alpha (z-z_{\mathrm{\Omega }})\mathrm{.}$$

c. En déduire la nature de $g$ lorsque $\alpha$ est un réel différent de $1$, puis lorsque $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$ avec $\alpha \mathrm{\ne }1$.

8. Application : on pose $f(z)=iz+2$. Déterminer le point fixe de $f$ et la nature de $f$. Vérifier que $f(b)=c$ et interpréter le résultat de la question 5. Déterminer enfin la nature de $f\circ f$.

9. Question de synthèse. Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que les points d'affixes $z$, $z^2$ et $z^3$ soient alignés. On conviendra que trois points sont alignés dès qu'une même droite les contient, ce qui est automatique lorsque deux d'entre eux sont confondus.

Barème : 1. 0,5 pt — 2. 0,5 pt — 3. 0,5 pt — 4. 0,5 pt — 5. 0,5 pt — 6. 0,5 pt — 7. 0,75 pt — 8. 0,5 pt — 9. 0,75 pt.