Exercices — Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul, $x$ un réel et $(a_k)$ une famille de réels.

1. Écrire en extension, puis calculer.

   a. ${\displaystyle \sum _{k=2}^6{k}^2}$

   b. ${\displaystyle \sum _{k=0}^4(2k+3)}$

   c. ${\displaystyle \sum _{k=9}^{13}4}$

   d. ${\displaystyle \prod _{k=1}^{4}2k}$

   e. ${\displaystyle \sum _{k=5}^3{k}^3}$

   f. ${\displaystyle \prod _{k=1}^0(k+3)}$

2. Écrire à l'aide du symbole $\sum$ ou du symbole $\prod$.

   a. $3+6+9+\dots +60$

   b. $1\times 3\times 5\times 7\times 9\times 11$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{1\times 2}}+{\displaystyle \frac{1}{2\times 3}}+\dots +{\displaystyle \frac{1}{9\times 10}}$

   d. $x^2+x^4+x^6+\dots +x^{2n}$

3. Donner, sans les calculer, le nombre de termes ou de facteurs des expressions suivantes.

   a. ${\displaystyle \sum _{k=7}^{23}(k^2+1)}$

   b. ${\displaystyle \prod _{k=0}^n(2k+1)}$

   c. ${\displaystyle \sum _{k=4}^{n+1}{a}_k}$, avec $n\ge 3$

4. Les écritures suivantes ont-elles un sens ? Lorsque ce n'est pas le cas, expliquer précisément ce qui cloche.

   a. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}}$

   b. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2=\sum _{j=1}^n{j}^2}$

   c. ${\displaystyle \sum _{k=1}^5(k+n)=15+5n}$

   d. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{n}n}$

5. On admet que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}}$. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(3k-2)}$, puis vérifier le résultat obtenu pour $n=4$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel et $(a_k)$ une famille de réels.

1. Récrire chaque somme à l'aide du changement d'indice indiqué, de façon que le nouvel indice apparaisse seul en indice de $a$ ou en exposant.

   a. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_{k+2}}$, avec $j=k+2$

   b. ${\displaystyle \sum _{k=2}^{n+1}{a}_{k-1}}$, avec $j=k-1$

   c. ${\displaystyle \sum _{k=3}^n(k-2{)}^2}$, avec $j=k-2$

   d. ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{2}^{k+1}}$, avec $j=k+1$

2. a. Effectuer le changement d'indice $j=n-k$ dans ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k}$ et en déduire l'égalité ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k=\sum _{k=0}^n{a}_{n-k}}$.

   b. On pose $S={\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k}$. En calculant $2S$ à l'aide de la question précédente, retrouver la valeur de $S$.

3. Utiliser la relation de Chasles pour répondre.

   a. Découper ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}$ (avec $n\ge 5$) en faisant apparaître ${\displaystyle \sum _{k=1}^4{a}_k}$.

   b. Simplifier ${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}{a}_k-\sum _{k=1}^n{a}_k}$, pour $n\ge 1$.

   c. Simplifier ${\displaystyle \sum _{k=3}^{20}{k}^2+\sum _{k=21}^{40}{k}^2}$.

4. On pose $T={\displaystyle \sum _{k=1}^{10}(-1{)}^{k}k}$. Calculer $T$ en séparant les indices pairs des indices impairs, chacun des deux paquets étant récrit avec un symbole $\sum$ dont l'indice varie de $1$ à $5$.

5. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

   a. Vérifier que $(k+1{)}^2-k^2=2k+1$ pour tout entier $k$.

   b. Démontrer, par changement d'indice puis relation de Chasles, que ${\displaystyle \sum _{k=1}^n((k+1{)}^2-k^2)=(n+1{)}^2-1}$.

   c. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(2k+1)}$, et la vérifier pour $n=3$.

On rappelle les trois formules du cours, valables pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et tout réel $x\mathrm{\ne }1$ :

1. Calculer les sommes numériques suivantes.

   a. ${\displaystyle \sum _{k=20}^{60}k}$

   b. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{15}{k}^2}$

   c. ${\displaystyle \sum _{k=0}^8{2}^k}$

   d. ${\displaystyle \sum _{k=5}^{12}k}$

   e. ${\displaystyle \sum _{k=3}^9{k}^2}$

   f. ${\displaystyle \sum _{k=2}^6{3}^k}$

2. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Exprimer les sommes suivantes en fonction de $n$, sous forme factorisée lorsque c'est possible.

   a. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(4k+1)}$

   b. ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{3}^k}$

   c. ${\displaystyle \sum _{k=2}^n{2}^k}$, avec $n\ge 2$

   d. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)}$

3. Vérifier les résultats des questions 2. a. et 2. d. en calculant directement ces deux sommes pour $n=3$.

4. Soit $x$ un réel et $n$ un entier avec $n\ge 3$.

   a. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{x}^k}$ en distinguant les cas $x=1$ et $x\mathrm{\ne }1$.

   b. En déduire, pour $x\mathrm{\ne }1$, une expression de ${\displaystyle \sum _{k=3}^n{x}^k}$.

On rappelle que pour $n\in \mathbb{N}$ et $0\le k\le n$, ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$, et que ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=0}$ dès que $k<0$ ou $k>n$.

1. Calculer.

   a. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{2}\right)}$

   b. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)}$

   c. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{9}\right)}$

   d. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{1}\right)}$

   e. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{5}\right)}$

   f. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{7}\right)}$

2. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Démontrer, à partir de la formule avec les factorielles :

   a. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n}\right)=1}$

   b. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n-1}\right)=n}$

   c. ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n-k}\right)}$ pour $0\le k\le n$

3. La ligne $n=5$ du triangle de Pascal est $1,5,10,10,5,1$. Construire les lignes $n=6$ puis $n=7$ à l'aide de la formule de Pascal ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k}\right)}$. Contrôler la valeur trouvée pour ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)}$ avec celle de la question 1. b.

4. Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'équation ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{2}\right)=28}$.

5. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

   a. Que valent ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{-1}\right)}$ et ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n+1}\right)}$ ?

   b. Vérifier que, grâce à cette convention, la formule de Pascal reste vraie pour $k=0$ et pour $k=n$.

   c. Interpréter cette convention sur le triangle de Pascal.

On utilisera la formule du binôme : pour tous réels $a$ et $b$ et tout $n\in \mathbb{N}$,

1. Développer et réduire.

   a. $(x+2{)}^4$, où $x$ est un réel

   b. $(2x-3{)}^3$, où $x$ est un réel

2. a. Développer ${(1+\sqrt{2})}^4$ et écrire le résultat sous la forme $a+b\sqrt{2}$, avec $a$ et $b$ entiers.

   b. En déduire, sans nouveau calcul de développement, la valeur de ${(1-\sqrt{2})}^4$, puis celle de ${(1+\sqrt{2})}^4+{(1-\sqrt{2})}^4$.

3. Déterminer les coefficients suivants sans développer entièrement.

   a. le coefficient de $x^5$ dans $(2x+1{)}^8$

   b. le coefficient de $x^2$ dans $(3x-1{)}^5$

4. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. En appliquant la formule du binôme à un couple $(a,b)$ bien choisi, calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$, puis ${\displaystyle \sum _{k=0}^n(-1{)}^k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$. Vérifier les deux résultats pour $n=4$.

Dans tout l'exercice, les inconnues sont des réels, et l'on indiquera à chaque étape l'opération élémentaire effectuée. Les questions 3. et 4. portent sur le système suivant, dans lequel $c$ désigne un réel :

1. Résoudre par la méthode du pivot le système

   $$(\mathcal{A})\{\begin{array}{l}x+2y=7\\ 3x-y=7\end{array}$$

   puis interpréter géométriquement le résultat en termes de droites de ${\mathbb{R}}^2$.

2. Résoudre par la méthode du pivot le système

   $$(\mathcal{B})\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2\end{array}$$

   et vérifier la solution obtenue dans les trois équations de départ.

3. Résoudre $({\mathcal{P}}_c)$ pour $c=1$, et interpréter géométriquement.

4. Résoudre $({\mathcal{P}}_c)$ pour $c=-6$, et interpréter géométriquement. Pour quelles valeurs de $c$ le système $({\mathcal{P}}_c)$ admet-il au moins une solution ?

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes, en dressant à chaque fois un tableau de signes.

   a. $(2x+1)(3-x)>0$

   b. ${\displaystyle \frac{x-1}{x+3}}\ge 0$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations du second degré suivantes.

   a. $x^2-5x+6<0$

   b. $2x^2+x-1\ge 0$

3. a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\mathrm{\mid }2x-3\mathrm{\mid }\le 5$, et interpréter l'ensemble des solutions comme un ensemble de distances sur la droite réelle.

   b. Résoudre de même l'inéquation $\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }>3$.

4. Soit $x\in [0,3]$.

   a. Encadrer ${\displaystyle \frac{1}{x+2}}$, et préciser si les bornes obtenues sont atteintes.

   b. En déduire un encadrement de ${\displaystyle \frac{x+5}{x+2}}$.

1. Donner la valeur exacte de chacun des réels suivants.

   a. $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

   b. $\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

   c. $\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

   d. $\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$

   e. $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$

   f. $\tan {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$

2. Déterminer la mesure principale de chacun des angles suivants, c'est-à-dire l'unique réel de $]-\pi ,\pi ]$ qui lui est congru modulo $2\pi$.

   a. ${\displaystyle \frac{15\pi }{4}}$

   b. $-{\displaystyle \frac{17\pi }{6}}$

   c. ${\displaystyle \frac{29\pi }{3}}$

   En déduire les valeurs de $\cos {\displaystyle \frac{29\pi }{3}}$ et de $\sin {\displaystyle \frac{29\pi }{3}}$.

3. Simplifier les expressions suivantes, où $x$ désigne un réel quelconque.

   a. $A(x)=\cos (\pi -x)+\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+x)$

   b. $B(x)=\sin (\pi -x)+\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

   c. $C(x)={\cos }^2(\pi -x)+{\sin }^2(\pi +x)$

   d. $D(x)=\tan (\pi -x)+\tan (\pi +x)$, pour $x\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

4. Soit $x$ un réel tel que $\cos x=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ et $\sin x<0$.

   a. Déterminer $\sin x$.

   b. En déduire $\tan x$.

   c. Calculer $\cos (\pi +x)$ et $\tan (\pi -x)$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. On écrira chaque ensemble de solutions à l'aide d'un entier $k\in \mathbb{Z}$.

   a. $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

   b. $\sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

   c. $\tan x=1$

2. Pour chacune de ces trois équations, donner la liste des solutions appartenant à $[0,2\pi [$.

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos (2x)=\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$.

4. Donner les solutions de cette dernière équation appartenant à $[0,2\pi [$.

5. Résoudre l'inéquation $\sin x\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}$, d'abord sur $[0,2\pi [$, puis dans $\mathbb{R}$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

1. On pose $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}}$.

   a. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que ${\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}={\displaystyle \frac{a}{k}}+{\displaystyle \frac{b}{k+1}}$ pour tout entier $k\ge 1$.

   b. En séparant la somme en deux et en effectuant un changement d'indice dans la seconde, calculer $S_n$.

2. On pose $T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}}$.

   a. Soit $(a_k)$ une famille de réels indexée par les entiers $k\ge 1$. Démontrer par récurrence que pour tout $n\ge 1$,

   $$\sum _{k=1}^n(a_k-a_{k+2})=a_1+a_2-a_{n+1}-a_{n+2}$$

   b. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que ${\displaystyle \frac{1}{k(k+2)}}={\displaystyle \frac{a}{k}}+{\displaystyle \frac{b}{k+2}}$ pour tout entier $k\ge 1$.

   c. En déduire une expression de $T_n$.

3. Calculer $U_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}$.

4. Calculer $V_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}}}$.

5. Contrôler les quatre résultats obtenus en calculant $S_3$, $T_3$, $U_3$ et $V_3$ terme à terme.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul. On suppose connues les deux sommes usuelles

L'objectif est d'obtenir ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^3}$ sans récurrence, par la seule méthode du télescopage.

1. Développer $(k+1{)}^4-k^4$ pour $k$ entier.

2. En sommant l'égalité précédente pour $k$ allant de $1$ à $n$, démontrer que

   $$4\sum _{k=1}^n{k}^3+6\sum _{k=1}^n{k}^2+4\sum _{k=1}^{n}k+n=(n+1{)}^4-1$$

3. En déduire que ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2}$.

4. Application. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)}$ et donner le résultat sous forme factorisée.

5. Application. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{2n}{k}^3}$ et donner le résultat sous forme factorisée.

6. Contrôler les trois formules obtenues pour $n=3$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel et $x$, $a$, $b$ des réels.

1. On pose $G_n(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^n{x}^k}$.

   a. Démontrer par télescopage que $(x-1)G_n(x)=x^{n+1}-1$.

   b. En déduire une expression de $G_n(x)$, en distinguant les cas $x=1$ et $x\mathrm{\ne }1$.

   c. En déduire que pour tout entier $n\ge 1$ et tout réel $x\mathrm{\ne }1$, $1+x+\dots +x^{n-1}={\displaystyle \frac{x^n-1}{x-1}}$.

2. Soit $n\ge 1$. Démontrer que

   $$a^n-b^n=(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-1-k}$$

3. Applications immédiates.

   a. Factoriser $x^5-32$ par $x-2$.

   b. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^6{3}^k}$.

   c. Simplifier ${\displaystyle \frac{a^4-b^4}{a-b}}$ pour $a\mathrm{\ne }b$.

4. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{2}^k{3}^{n-k}}$ en reconnaissant une somme géométrique, puis contrôler le résultat pour $n=3$.

5. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^n(-1{)}^k}$ en discutant selon la parité de $n$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

1. Soit $(a_k)$ une famille de réels non nuls indexée par les entiers $k\ge 1$, et soit $p$ un entier tel que $1\le p\le n$. Démontrer par récurrence sur $n$ que

   $$\prod _{k=p}^n\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{a_{n+1}}{a_p}$$

2. Calculer les produits suivants.

   a. ${\displaystyle \prod _{k=1}^n\frac{k+1}{k}}$

   b. ${\displaystyle \prod _{k=2}^n(1-\frac{1}{k})}$, pour $n\ge 2$

   c. ${\displaystyle \prod _{k=1}^n\frac{(k+1)!}{k!}}$

3. Soit $n\ge 2$. On pose $P_n={\displaystyle \prod _{k=2}^n(1-\frac{1}{k^2})}$.

   a. Factoriser $1-{\displaystyle \frac{1}{k^2}}$ sous la forme d'un produit de deux quotients.

   b. En déduire $P_n$.

4. Mettre les produits suivants sous la forme demandée.

   a. Écrire ${\displaystyle \prod _{k=1}^n{2}^k}$ sous la forme $2^{\dots }$.

   b. Exprimer ${\displaystyle \prod _{k=1}^n(2k)}$ à l'aide d'une puissance de $2$ et d'une factorielle.

5. Contrôler les résultats des questions 2. et 4. pour $n=3$, et celui de la question 3. pour $n=3$ et $n=4$.

Le principe de cet exercice est toujours le même : la formule du binôme est une égalité valable pour tous les réels $a$ et $b$ ; en la spécialisant à des valeurs bien choisies, on obtient gratuitement des identités sur les coefficients binomiaux.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel.

1. Rappeler la formule du binôme, puis démontrer que ${\displaystyle \sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=2^n}$.

2. Démontrer que pour tout entier $n\ge 1$, ${\displaystyle \sum _{k=0}^n(-1{)}^k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=0}$. Que vaut cette somme pour $n=0$ ?

3. Soit $n\ge 1$. On note $P_n$ la somme des coefficients binomiaux $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$ pour lesquels $k$ est pair, et $I_n$ la somme de ceux pour lesquels $k$ est impair, l'indice $k$ décrivant les entiers de $0$ à $n$ :

   $$P_n=\sum _{k\text{ pair}}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\text{et}{I}_n=\sum _{k\text{ impair}}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$$

   Démontrer que $P_n=I_n=2^{n-1}$.

4. Démontrer que ${\displaystyle \sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)2^k=3^n}$.

5. Écrire les lignes $n=0$ à $n=4$ du triangle de Pascal, puis vérifier sur la ligne $n=4$ les quatre identités précédentes.

Soit $n$ un entier naturel non nul.

1. Démontrer, pour tout entier $k$ tel que $1\le k\le n$, l'identité

traditionnellement appelée formule du capitaine. On reviendra à l'expression des coefficients binomiaux à l'aide des factorielles.

2. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$.

3. Calculer de même ${\displaystyle \sum _{k=0}^n(-1{)}^{k}k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$ pour $n\ge 2$. Que vaut cette somme pour $n=1$ ?

4. Démontrer, pour tout entier $k$ tel que $0\le k\le n$, l'identité

5. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=0}^n\frac{1}{k+1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$.

6. Vérifier les résultats des questions 2 et 5 pour $n=3$, puis pour $n=4$.

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls.

1. Soit $(a_{i,j})$ une famille de réels indexée par les couples $(i,j)$ vérifiant $1\le i\le n$ et $1\le j\le p$. Justifier l'égalité

en expliquant ce qu'elle signifie sur le tableau des $a_{i,j}$. Pourquoi cet argument tombe-t-il en défaut si les bornes de $j$ dépendent de $i$ ?

2. Calculer ${\displaystyle A=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^p(i+j)}$.

3. a. Soient $a_1,\dots ,a_n$ et $b_1,\dots ,b_p$ des réels. Démontrer que

3. b. En déduire ${\displaystyle B=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{p}ij}$.

4. Calculer ${\displaystyle C=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{i}^{2}j}$. La question 3. a s'applique-t-elle ? Et pour ${\displaystyle \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(i+j{)}^2}$ ?

5. Vérifier les expressions de $A$, $B$ et $C$ pour $n=p=2$ en écrivant tous les termes.

Soit $n$ un entier naturel non nul.

1. Calculer ${\displaystyle T_1=\sum _{1\le i\le j\le n}1}$.

2. Calculer ${\displaystyle T_2=\sum _{1\le i\le j\le n}i}$.

3. a. Démontrer par récurrence que ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}}$.

3. b. En déduire ${\displaystyle T_3=\sum _{1\le i<j\le n}ij}$.

4. Soient $a_1,\dots ,a_n$ des réels. Démontrer l'identité

5. Appliquer la question 4 à $a_i=i$ pour retrouver $T_3$ par un autre chemin, et comparer avec la question 3. b.

6. Vérifier les valeurs de $T_1$, $T_2$, $T_3$ et l'identité de la question 4 pour $n=3$.

Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels. On considère les deux systèmes d'inconnue $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$ suivants :

1. Résoudre $(S)$ par la méthode du pivot, en nommant chaque opération élémentaire, et exprimer l'unique solution en fonction de $a$, $b$ et $c$.

2. Vérifier ce résultat en réinjectant les expressions trouvées dans les trois équations de $(S)$, puis le contrôler sur le cas $(a,b,c)=(3,6,10)$.

3. Appliquer la méthode du pivot à $(T)$. Montrer que la dernière ligne se réduit à une égalité ne portant que sur $a$, $b$ et $c$, et en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que $(T)$ admette au moins une solution.

4. Lorsque cette condition est vérifiée, décrire l'ensemble des solutions de $(T)$ à l'aide d'un paramètre réel, et vérifier le résultat.

5. Traiter les cas particuliers $(a,b,c)=(1,2,3)$ puis $(a,b,c)=(1,2,4)$.

6. Interpréter géométriquement les deux systèmes.

1. On pose $f(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{x+3}}$ pour $x\in [0,2]$.

1. a. Vérifier que $f(x)=2-{\displaystyle \frac{5}{x+3}}$ pour tout $x\in [0,2]$.

1. b. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur $[0,2]$, et préciser si les deux bornes obtenues sont atteintes.

2. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose ${\displaystyle S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2+k+1}}$.

2. a. Montrer que $S_n\le {\displaystyle \frac{n}{3}}$.

2. b. Montrer que, pour tout entier $k\ge 1$, ${\displaystyle \frac{1}{k^2+k+1}}\le {\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$. En déduire que $S_n\le {\displaystyle \frac{n}{n+1}}$, puis que $S_n<1$.

2. c. Comparer les deux majorations pour $n=3$, puis pour $n=100$.

3. On pose $A=\{{\displaystyle \frac{n}{n+1}};n\in \mathbb{N}\}$. Cette partie de $\mathbb{R}$ est-elle majorée, minorée, bornée ? Admet-elle un maximum, un minimum ?

4. Mêmes questions pour $B=[0,1[$.

5. Déterminer les parties entières suivantes.

6. Démontrer que, pour tout réel $x$, la quantité $\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor$ vaut $0$ si $x$ est un entier relatif, et $-1$ sinon.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }=5$.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\mathrm{\mid }2x+1\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }$.

3. Démontrer, pour tous réels $a$ et $b$, l'inégalité triangulaire renversée

4. Soit $x$ un réel vérifiant $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }\le {\displaystyle \frac{1}{2}}$.

4. a. Encadrer $x$.

4. b. À l'aide de la question 3, encadrer $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$.

4. c. En déduire une majoration de $\mid {\displaystyle \frac{1}{x}}\mid$, puis de $\mid x^2-9\mid$. La seconde majoration est-elle atteinte ?

5. a. Décrire $E=\{x\in \mathbb{R};\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }\le 3\}$ sous forme d'intervalle et le représenter sur une droite graduée.

5. b. Réciproquement, écrire l'intervalle $[1,7]$ sous la forme $\{x\in \mathbb{R};\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }\le b\}$, où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.

1. a. En remarquant que ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, calculer les valeurs exactes de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ et de $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$.

1. b. Contrôler le résultat en vérifiant que la somme des carrés vaut $1$, puis donner une valeur approchée de chacun des deux nombres à ${10}^{-3}$ près.

2. En déduire la valeur exacte de $\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$, sous la forme $p+q\sqrt{3}$ avec $p$ et $q$ entiers.

3. a. Démontrer, pour tout réel $a$, les deux formules

3. b. Vérifier ces deux formules pour $a={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

4. Linéariser ${\cos }^{2}x$ et ${\sin }^{3}x$, c'est-à-dire les écrire comme des combinaisons de cosinus et de sinus de multiples de $x$, sans puissance.

5. Soit $a$ un réel de $]{\displaystyle \frac{\pi }{2}},\pi [$ tel que $\cos a=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$. Calculer $\sin a$, $\cos 2a$, $\sin 2a$, $\cos {\displaystyle \frac{a}{2}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{a}{2}}$, en justifiant chaque signe.

1. a. Rappeler la définition de $\tan x$ et déterminer son ensemble de définition $D$.

1. b. Donner les valeurs de $\tan x$ pour $x$ égal à $0$, ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

2. Démontrer que $\tan (\pi +x)=\tan x$ pour tout $x\in D$, puis que $\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)={\displaystyle \frac{1}{\tan x}}$, en précisant pour quels réels $x$ cette seconde égalité a un sens.

3. Démontrer que $1+{\tan }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$ pour tout $x\in D$.

4. a. Démontrer la formule d'addition

en précisant les conditions sous lesquelles elle est valable.

4. b. Calculer la valeur exacte de $\tan {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$, puis une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

5. a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\tan x=\sqrt{3}$.

5. b. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\tan 2x=\tan x$. On prendra garde aux conditions d'existence et on vérifiera que les valeurs trouvées conviennent.

6. Étudier les variations de la fonction tangente sur $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$ et dresser son tableau de variations.

On admet le résultat suivant : pour tout réel $x$, il existe un unique entier relatif $m$ tel que $m\le x<m+1$. Cet entier s'appelle la partie entière de $x$ et se note $\lfloor x\rfloor$. On pose de plus $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.

1. a. Justifier que, pour tout réel $x$ et tout entier relatif $m$, on a l'équivalence $\lfloor x\rfloor =m$ si et seulement si $m\le x<m+1$. En déduire que tout entier relatif $q$ vérifiant $q\le x$ vérifie aussi $q\le \lfloor x\rfloor$, autrement dit que $\lfloor x\rfloor$ est le plus grand élément de $\{q\in \mathbb{Z}\mid q\le x\}$.

   b. Vérifier que $\{x\}\in [0,1[$, puis donner les valeurs de $\lfloor {\displaystyle \frac{7}{3}}\rfloor$, de $\lfloor -{\displaystyle \frac{7}{3}}\rfloor$ et de $\lfloor -3\rfloor$.

2. Soient $x$ un réel et $n$ un entier relatif. Démontrer que $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$.

3. a. Donner deux réels $x$ et $y$ tels que $\lfloor x+y\rfloor \mathrm{\ne }\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor$.

   b. Démontrer que pour tous réels $x$ et $y$,

   $$\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \le \lfloor x+y\rfloor \le \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1.$$

   c. Montrer que chacune des deux inégalités peut être une égalité.

4. Démontrer que pour tout réel $x$, $\lfloor x\rfloor +\lfloor x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rfloor =\lfloor 2x\rfloor$.

5. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}\lfloor \frac{k}{2}\rfloor }$ en séparant les indices pairs des indices impairs. Vérifier le résultat pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$.

Pour tout réel $m$, on considère le système d'inconnues réelles $x$, $y$, $z$

1. Échelonner $(S_m)$ par la méthode du pivot en nommant chaque opération élémentaire utilisée. On veillera à ne diviser par aucune quantité dont la nullité n'a pas été discutée au préalable, et on montrera que la dernière équation obtenue s'écrit $m(3-m)z=2(3-m)$.

2. En déduire les deux valeurs de $m$ pour lesquelles $(S_m)$ n'a pas une unique solution.

3. On suppose $m\mathrm{\notin }\{0,3\}$. Résoudre $(S_m)$ et exprimer l'unique solution en fonction de $m$. Vérifier le résultat en le réinjectant dans les trois équations, puis expliciter la solution pour $m=1$.

4. Résoudre $(S_3)$ et décrire l'ensemble de ses solutions à l'aide d'un paramètre réel.

5. Résoudre $(S_0)$.

6. Interpréter géométriquement les trois cas précédents en termes de plans de ${\mathbb{R}}^3$.

1. Démontrer par récurrence que pour tout réel $x\ge -1$ et tout entier naturel $n$,

   $$(1+x{)}^n\ge 1+nx\mathrm{.}$$

2. a. Indiquer précisément l'étape de la démonstration où l'hypothèse $x\ge -1$ est utilisée.

   b. Montrer que l'énoncé devient faux si on la supprime : on développera $(1+x{)}^3-(1+3x)$ et on exhibera un réel $x$ pour lequel l'inégalité est en défaut avec $n=3$.

3. Démontrer que l'inégalité est stricte dès que $n\ge 2$ et $x\mathrm{\ne }0$ : pour tout réel $x\ge -1$ non nul et tout entier $n\ge 2$, $(1+x{)}^n>1+nx$.

4. Applications. Soit $n$ un entier naturel non nul.

   a. Retrouver l'inégalité $2^n\ge n+1$, et préciser pour quelles valeurs de $n$ elle est une égalité.

   b. Démontrer que ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n\ge 2$.

   c. Démontrer que ${\left({\displaystyle \frac{n}{n+1}}\right)}^n\ge {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$.

5. On suppose dans cette question $x\ge 0$.

   a. Redémontrer l'inégalité de Bernoulli à l'aide de la formule du binôme.

   b. En déduire l'inégalité plus fine $(1+x{)}^n\ge 1+nx+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{x}^2$ pour $n\ge 2$, et comparer les deux démonstrations.

Pour tout entier $n\ge 1$, on pose

1. a. Démontrer que ${\displaystyle \frac{1}{k^2}}\le {\displaystyle \frac{1}{k(k-1)}}$ pour tout entier $k\ge 2$, et que ${\displaystyle \frac{1}{k^2}}\ge {\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}$ pour tout entier $k\ge 1$.

   b. Vérifier que ${\displaystyle \frac{1}{k(k-1)}}={\displaystyle \frac{1}{k-1}}-{\displaystyle \frac{1}{k}}$ pour $k\ge 2$ et que ${\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}={\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$ pour $k\ge 1$.

2. En déduire que pour tout entier $n\ge 1$, $S_n\le 2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$. Que vaut cette inégalité pour $n=1$ ?

3. Démontrer de même que $S_n\ge {\displaystyle \frac{n}{n+1}}$. Vérifier l'encadrement obtenu pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$, puis expliquer pourquoi cette minoration ne pourra jamais servir à établir que $S_n$ dépasse $1$.

4. a. Démontrer que pour tous entiers $n\ge p\ge 1$,

   $$S_n\ge S_p+\frac{1}{p+1}-\frac{1}{n+1}\mathrm{.}$$

   b. En prenant $p=3$, en déduire que $S_n\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}$ pour tout entier $n\ge 8$.

   c. Montrer, en calculant $S_6$ et $S_7$, que le rang $8$ n'est pas optimal.

5. Démontrer que pour tout entier $n\ge 1$, ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{2n}}$.

6. Déterminer $\lfloor S_n\rfloor$ pour tout entier $n\ge 2$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. On pose

où les deux premières sommes portent sur tous les couples $(i,j)$ d'entiers compris entre $1$ et $n$, et la troisième sur ceux de ces couples dont les deux composantes sont distinctes. On note enfin $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$.

1. Dresser, pour $n=3$, le tableau des $9$ valeurs de $\min (i,j)$ puis celui des $9$ valeurs de $\mathrm{\mid }i-j\mathrm{\mid }$, et en déduire $A_3$ et $B_3$.

2. Calculer $A_n$ en découpant la somme selon les trois cas $i<j$, $i=j$ et $i>j$, et en exploitant la symétrie du minimum. Vérifier le résultat pour $n=2$ et $n=3$.

3. Calculer $B_n$ par la même méthode. Vérifier le résultat pour $n=2$ et $n=3$.

4. Établir que $\min (a,b)={\displaystyle \frac{a+b-\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }}{2}}$ pour tous réels $a$ et $b$, puis retrouver la valeur de $A_n$ à partir de celle de $B_n$.

5. Exprimer $C_n$ à l'aide de $H_n$ et de ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}}$. On ne cherchera pas de forme close pour $H_n$. Vérifier le résultat pour $n=2$ et $n=3$.

6. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}\frac{1}{ij}}$, et la vérifier pour $n=3$.

Soient $x$ un réel et $n$ un entier naturel. On pose

1. On suppose ici $x\equiv 0[2\pi ]$. Calculer $C_n(x)$ et $S_n(x)$.

2. On suppose dans toute la suite $x\equiv ̸0[2\pi ]$.

   a. Justifier que $\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}\mathrm{\ne }0$.

   b. Démontrer, à partir des formules d'addition, que pour tous réels $u$ et $v$,

   $$\sin (u+v)-\sin (u-v)=2\cos u\sin v\text{et}\sin (u+v)+\sin (u-v)=2\sin u\cos v\mathrm{.}$$

   c. En déduire que pour tout entier $k$,

   $$2\sin \frac{x}{2}\cos (kx)=\sin \left((k+\frac{1}{2})x\right)-\sin \left((k-\frac{1}{2})x\right)\mathrm{.}$$

3. Sommer l'égalité précédente pour $k$ allant de $0$ à $n$, puis en déduire que

   $$C_n(x)=\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{(n+1)x}{2}}\right)\cos \left({\displaystyle \frac{nx}{2}}\right)}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}\mathrm{.}$$

4. Établir par la même méthode que $S_n(x)={\displaystyle \frac{\sin \left(\frac{(n+1)x}{2}\right)\sin \left(\frac{nx}{2}\right)}{\sin \frac{x}{2}}}$.

5. Contrôler les deux formules pour $n=2$ et $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ en recalculant les sommes terme à terme. Contrôler ensuite la formule donnant $C_n(x)$ pour $n=3$ et $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, en utilisant $\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{8}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$.

6. Soit $x\equiv ̸0[\pi ]$. En déduire une expression de ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{\cos }^2(kx)}$.

Soient $a$ et $b$ deux réels non tous les deux nuls. On pose $R=\sqrt{a^2+b^2}$.

1. a. Justifier que $R>0$, puis que le point de coordonnées $({\displaystyle \frac{a}{R}},{\displaystyle \frac{b}{R}})$ appartient au cercle trigonométrique. En déduire l'existence d'un réel $\phi$ tel que $\cos \phi ={\displaystyle \frac{a}{R}}$ et $\sin \phi ={\displaystyle \frac{b}{R}}$.

   b. Démontrer que pour tout réel $x$, $a\cos x+b\sin x=R\cos (x-\phi )$.

2. Appliquer ce qui précède à $\cos x+\sqrt{3}\sin x$ : donner les valeurs exactes de $R$ et d'un $\phi$ convenable, puis contrôler l'identité obtenue pour $x=0$ et $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

3. a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos x+\sqrt{3}\sin x=1$, puis donner ses solutions appartenant à $[0,2\pi [$.

   b. Résoudre sur $[0,2\pi [$ l'inéquation $\cos x+\sqrt{3}\sin x\ge 1$.

4. Déterminer le maximum et le minimum de la fonction $f:x\mapsto 3\cos x+4\sin x$ sur $\mathbb{R}$, ainsi que les réels $x$ en lesquels ils sont atteints. On ne cherchera pas à exprimer l'angle obtenu à l'aide d'angles usuels : on le caractérisera par son cosinus et son sinus.

5. Résoudre sur $[0,2\pi [$ l'équation $\sqrt{3}\cos x-\sin x=\sqrt{2}$.

6. Soit $c$ un réel. Discuter, selon la valeur de $c$, le nombre de solutions dans $[0,2\pi [$ de l'équation $a\cos x+b\sin x=c$.

Dans tout l'exercice, on admet l'inégalité du programme : pour tout réel $x$, $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels. En posant $p={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ et $q={\displaystyle \frac{a-b}{2}}$, démontrer les deux formules de factorisation

2. En déduire que pour tous réels $a$ et $b$ : $\mathrm{\mid }\sin a-\sin b\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }$ et $\mathrm{\mid }\cos a-\cos b\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }$.

3. Soit $n$ un entier naturel non nul.

   a. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=2}^n\frac{1}{k(k-1)}}$ par télescopage.

   b. En déduire que ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}\le 2-\frac{1}{n}}$.

   c. Montrer que pour tout réel $x$, $\mid {\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{\sin (kx)}{k^2}}\mid \le 2$.

4. Démontrer que pour tout réel $x$, $1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\le \cos x$. On pourra partir de l'identité $1-\cos x=2{\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}$.

5. a. En déduire que $\mid \cos x-1+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\mid \le {\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ pour tout réel $x$, puis un encadrement de $\cos (\mathrm{0,1})$.

   b. Montrer que la fonction $g:t\mapsto \sin t-t+{\displaystyle \frac{t^3}{6}}$ est croissante sur $\mathbb{R}$, et en déduire que $\sin t\ge t-{\displaystyle \frac{t^3}{6}}$ pour tout réel $t\ge 0$.

   c. En déduire que $\cos x\le 1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^4}{24}}$ pour tout $x\in [0,2]$, puis un encadrement de $\cos (\mathrm{0,1})$ d'amplitude inférieure à ${10}^{-5}$.