Devoir surveillé — Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie

Les quatre questions sont indépendantes. Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul. Chaque résultat sera donné sous forme close, c'est-à-dire sans symbole $\sum$, sans symbole $\prod$ et sans points de suspension.

1. Calculer ${\displaystyle A_n=\sum _{k=1}^n\frac{3^k-2^k}{6^k}}$. (0,5 pt)

2. Calculer ${\displaystyle B_n=\sum _{k=1}^n\frac{k}{(k+1)!}}$. (0,5 pt)

3. Calculer ${\displaystyle C_n=\sum _{k=1}^n\frac{2k+1}{k^2(k+1{)}^2}}$. Aucune décomposition en éléments simples n'est nécessaire : il suffit de regarder le numérateur $2k+1$ et de se demander de quelle différence il provient. (0,5 pt)

4. Calculer ${\displaystyle P_n=\prod _{k=1}^n{(1+\frac{1}{k})}^k}$. (1 pt)

On utilise dans tout l'exercice la convention ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{k}\right)=0}$ dès que $k<0$ ou $k>m$, ainsi que la formule de Pascal, démontrée en cours pour tout entier $n\ge 0$ et TOUT entier $k$, conventions comprises :

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{k}\right)\mathrm{.}$$

On l'emploiera sous la forme équivalente obtenue en posant $m=n+1$ : pour tout entier $m\ge 1$ et tout entier $k$,

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m-1}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m-1}{k}\right)\mathrm{.}$$

Dans le triangle de Pascal, additionner une LIGNE donne $2^m$, et additionner une COLONNE donne un coefficient binomial. Cet exercice additionne une DIAGONALE, et le résultat n'est ni l'un ni l'autre. Pour tout entier naturel $n$, on pose

$$S_n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-k}{k}\right)\mathrm{.}$$

1. Calculer $S_0$, $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ et $S_5$, puis énoncer une conjecture reliant $S_n$ aux deux termes qui le précèdent. (0,5 pt)

2. Démontrer que pour tout entier $n\ge 2$, $S_n=S_{n-1}+S_{n-2}$. (1 pt)

3. En déduire la valeur de $S_{10}$. (0,25 pt)

4. On pondère maintenant chaque terme. Pour $x$ réel et $n$ entier naturel, on pose

$$F_n(x)=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-k}{k}\right)x^k\mathrm{.}$$

Démontrer que pour tout entier $n\ge 2$ et tout réel $x$, $F_n(x)=F_{n-1}(x)+x{F}_{n-2}(x)$. On vérifiera au passage que $S_n=F_n(1)$. (0,75 pt)

5. On prend $x=2$. Calculer $F_0(2)$, $F_1(2)$, $F_2(2)$ et $F_3(2)$, puis démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, (0,5 pt)

$$F_n(2)=\frac{2^{n+1}+(-1{)}^n}{3}\mathrm{.}$$

Pour tout entier $k\ge 1$, on note ${\displaystyle H_k=\sum _{i=1}^k\frac{1}{i}}$. Ces nombres n'ont pas de forme close, et on n'en cherchera aucune. L'objet de l'exercice est pourtant de calculer exactement leur SOMME

$$G_n=\sum _{k=1}^n{H}_k,$$

pour tout entier $n\ge 1$. On note enfin

$$D_n=\{(i,k)\in {\left({\mathbb{N}}^{\ast }\right)}^2;i\le k\le n\}\mathrm{.}$$

1. Calculer $H_1$, $H_2$, $H_3$ et $G_3$, puis écrire $D_3$ en extension. (0,5 pt)

2. Démontrer que ${\displaystyle G_n=\sum _{(i,k)\in D_n}\frac{1}{i}}$, puis écrire cette somme double de deux façons, en sommant d'abord sur $i$ puis d'abord sur $k$. Expliquer en une phrase pourquoi la règle « somme double d'un produit égale produit de deux sommes » ne s'applique pas ici. (0,75 pt)

3. Soit $i$ un entier tel que $1\le i\le n$. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=i}^n\frac{1}{i}}$. On prendra garde au fait que l'indice de sommation est $k$, et non $i$. (0,25 pt)

4. En déduire que $G_n=(n+1)H_n-n$, puis contrôler la formule sur le cas $n=3$. (0,75 pt)

5. En déduire, sans nouveau calcul de somme double, la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=1}^n(H_n-H_k)}$, et la contrôler pour $n=3$. (0,25 pt)

A. Un système à quatre inconnues. On considère le système d'inconnue $(x,y,z,t)\in {\mathbb{R}}^4$

$$(S):\{\begin{array}{ll}x+y+z+t=4& (L_1)\\ x+2y+3z+4t=10& (L_2)\\ x+3y+6z+10t=20& (L_3)\\ 2x+3y+4z+5t=14& (L_4)\end{array}$$

1. Échelonner $(S)$ par la méthode du pivot, en nommant chaque opération élémentaire effectuée. (0,75 pt)

2. En déduire l'ensemble des solutions de $(S)$, décrit à l'aide d'un paramètre réel, puis vérifier le résultat pour deux valeurs de ce paramètre. (0,5 pt)

3. Vérifier que les lignes INITIALES du système $(S)$ satisfont $L_4=L_1+L_2$, et expliquer en une phrase pourquoi ce système ne pouvait pas avoir de solution unique. (0,25 pt)

B. Une inéquation avec valeur absolue. Les notations de la partie A ne sont plus utilisées.

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\mid x^2-10x\mid \le 24$. (0,5 pt)

C. Un encadrement de $n!$ par retournement.

5. Soit $n$ un entier naturel non nul. Démontrer que ${\displaystyle (n!{)}^2=\prod _{k=1}^{n}k(n+1-k)}$. On effectuera un changement d'indice dans l'un des deux facteurs. (0,75 pt)

6. Soit $n\ge 1$. Démontrer que pour tout entier $k$ tel que $1\le k\le n$, (1 pt)

$$n\le k(n+1-k)\le {\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2,$$

puis en déduire l'encadrement ${\displaystyle n^{n\mathrm{/}2}\le n!\le {\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n}$. Contrôler cet encadrement pour $n=4$.

D. Une somme de parties entières.

7. Soient $j$ un entier naturel non nul et $k$ un entier naturel. Démontrer que $\lfloor \sqrt{k}\rfloor =j$ si et seulement si $j^2\le k\le j^2+2j$, et préciser combien d'entiers $k$ vérifient cette condition. (0,5 pt)

8. Soit $n\ge 1$. En déduire que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n^2-1}\lfloor \sqrt{k}\rfloor =\frac{(n-1)n(4n+1)}{6}}$, puis contrôler la formule pour $n=3$. (0,75 pt)

On rappelle les formules d'addition, valables pour tous réels $a$ et $b$,

$$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b,$$

ainsi que la formule de duplication de la tangente, valable dès que les deux membres ont un sens :

$$\tan (2u)=\frac{2\tan u}{1-{\tan }^{2}u}\mathrm{.}$$

On rappelle enfin les deux valeurs $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$ et $\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}=2-\sqrt{3}$.

L'objet du problème est de calculer deux sommes que rien ne laisse prévoir simples : une somme d'inverses de produits de cosinus, puis une somme de produits de tangentes.

Partie A. Quatre outils.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $\cos a\mathrm{\ne }0$ et $\cos b\mathrm{\ne }0$. Démontrer que

$$\tan b-\tan a=\frac{\sin (b-a)}{\cos a\cos b}\mathrm{.}$$

(0,5 pt)

2. Sous les mêmes hypothèses, démontrer que ${\displaystyle 1+\tan a\tan b=\frac{\cos (b-a)}{\cos a\cos b}}$. (0,5 pt)

3. On pose $t=\tan {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$. En appliquant la formule de duplication à $u={\displaystyle \frac{\pi }{8}}$, démontrer que $t$ est solution d'une équation du second degré, puis en déduire que $t=\sqrt{2}-1$. (0,5 pt)

4. Résoudre dans $]0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$ l'équation $\tan (3x)=1$. (0,5 pt)

Partie B. Une somme d'inverses de produits de cosinus.

Dans toute cette partie, $n$ désigne un entier naturel non nul et $x$ un réel de l'intervalle $]0,{\displaystyle \frac{\pi }{2n}}[$. On pose

$$T_n(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{\cos (kx)\cos ((k+1)x)}\mathrm{.}$$

5. Justifier que $\cos (kx)>0$ pour tout entier $k$ tel que $0\le k\le n$, et que $\sin x>0$. En particulier, $T_n(x)$ est bien défini et $\tan (nx)$ existe. (0,25 pt)

6. Calculer $T_2\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$ en écrivant ses deux termes. (0,25 pt)

7. Démontrer que ${\displaystyle T_n(x)=\frac{\tan (nx)}{\sin x}}$. (1 pt)

8. Contrôler cette formule sur le cas de la question 6. (0,25 pt)

9. En utilisant la plus petite solution trouvée à la question 4, calculer la valeur exacte de (0,75 pt)

$$\frac{1}{\cos 0\cos \frac{\pi }{12}}+\frac{1}{\cos \frac{\pi }{12}\cos \frac{\pi }{6}}+\frac{1}{\cos \frac{\pi }{6}\cos \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$

Partie C. Une somme de produits de tangentes.

Les hypothèses sur $n$ et $x$ sont celles de la partie B. On pose

$$U_n(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\tan (kx)\tan ((k+1)x)\mathrm{.}$$

10. Démontrer que ${\displaystyle U_n(x)=\frac{\tan (nx)}{\tan x}-n}$. (1 pt)

11. Calculer $U_2\left({\displaystyle \frac{\pi }{8}}\right)$ à l'aide de la question 10, puis contrôler le résultat en écrivant les deux termes de la somme. (0,5 pt)

12. Soit $n\ge 2$.

    a. Démontrer que ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\tan \frac{k\pi }{4n}\tan \frac{(k+1)\pi }{4n}=\frac{1}{\tan \frac{\pi }{4n}}-n}$. (0,5 pt)

    b. En observant le signe de chacun des termes de cette somme, en déduire que $\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4n}}<{\displaystyle \frac{1}{n}}$. (0,25 pt)

    c. Donner la valeur exacte de cette somme pour $n=3$. (0,25 pt)