Exercices — Intégration sur un intervalle quelconque

Dans tout l'exercice, $\alpha$ et $\lambda$ désignent des réels fixés.

1. Discuter, selon la valeur du paramètre, la nature des intégrales suivantes, et donner leur valeur en cas de convergence.

2. En déduire la nature des intégrales suivantes, et leur valeur lorsqu'elles convergent.

Montrer que chacune des intégrales suivantes converge, et calculer sa valeur. La rédaction attendue est toujours la même : on intègre d'abord sur un segment inclus dans l'intervalle d'étude, puis on fait tendre la borne vers la borne à problème.

1. Les fonctions suivantes sont continues et positives sur $[1,+\mathrm{\infty }[$. Déterminer, dans chaque cas, si elles sont intégrables sur $[1,+\mathrm{\infty }[$.

2. Même question pour $g(t)={\displaystyle \frac{t+1}{t^2+3}}$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$.

1. Chacune des fonctions suivantes est continue sur $]0,1]$ et pose problème en $0$. Déterminer si elle est intégrable sur $]0,1]$.

2. On considère $\phi (t)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t(1-t)}}}$ sur l'intervalle ouvert $]0,1[$.

a. Expliquer pourquoi les deux bornes posent problème, et pourquoi on ne peut pas traiter l'intervalle d'un seul bloc.

b. Montrer que $\phi$ est intégrable sur $]0,1[$.

1. Les fonctions suivantes sont continues et de signe non constant sur l'intervalle indiqué. Montrer que chacune y est intégrable, en majorant sa valeur absolue.

2. On pose $u(t)=-{\displaystyle \frac{1}{t}}$ et $v(t)={\displaystyle \frac{1}{t^2}}$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$. Vérifier que $u⩽v$ et que $v$ est intégrable, puis montrer que $u$ ne l'est pas. Que peut-on en déduire sur l'hypothèse de positivité du théorème de majoration ?

3. Peut-on écrire ${\displaystyle \frac{\sin t}{t^2}}\sim {\displaystyle \frac{1}{t^2}}$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ ? Justifier, et dire quel est alors le seul outil utilisable pour la question 1.c.

Dans chaque cas, justifier que le changement de variable proposé est licite (bijection de classe ${\mathcal{C}}^1$, strictement monotone, entre les deux intervalles ouverts), puis montrer que l'intégrale converge et calculer sa valeur.

Pour la question 5., on admet la valeur de l'intégrale de Gauss : ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$.

Dans chaque cas : justifier l'existence de l'intégrale, écrire l'intégration par parties sur un segment inclus dans l'intervalle d'étude, puis passer à la limite en étudiant soigneusement le crochet.

Dans tout l'exercice, on rédigera le protocole complet du théorème de convergence dominée : convergence simple, domination par une fonction intégrable indépendante de $n$, puis conclusion.

1. Déterminer la limite, quand $n\to +\mathrm{\infty }$, des suites d'intégrales suivantes.

2. Pour $n⩾2$, on définit $f_n$ sur $[0,1]$ par

$$f_n(t)=\{\begin{array}{ll}{n}^{2}t& \text{si }0⩽t⩽\frac{1}{n}\\ 2n-n^{2}t& \text{si }\frac{1}{n}⩽t⩽\frac{2}{n}\\ 0& \text{si }\frac{2}{n}⩽t⩽1\end{array}$$

a. Vérifier que $f_n$ est continue et positive sur $[0,1]$.

b. Montrer que $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,1]$.

c. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1{f}_n(t)\mathrm{d}t}$ et conclure quant à la nécessité de l'hypothèse de domination.

Dans tout l'exercice, $t^x$ désigne ${\mathrm{e}}^{x\ln t}$, défini pour $t>0$ et $x\in \mathbb{R}$.

1. Pour chacune des quatre expressions suivantes, déterminer l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'intégrale converge. On ne demande ni la valeur de l'intégrale, ni la continuité de la fonction ainsi définie.

2. Exprimer $F$ à l'aide de la fonction $\mathrm{\Gamma }$, et vérifier la cohérence avec le domaine trouvé à la question 1. a.

1. Justifier la convergence des quatre intégrales suivantes.

2. Calculer ces quatre intégrales.

3. Les intégrales ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t+1}}$ et ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t+2}}$ convergent-elles ? Expliquer pourquoi l'écriture

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{(t+1)(t+2)}={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t+1}-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t+2}$$

n'a aucun sens, et énoncer la règle de rédaction qui permet de l'éviter.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

$$I_n={\int }_0^1(\ln t{)}^n\mathrm{d}t$$

1. Montrer que $I_n$ converge pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Calculer $I_0$ et $I_1$.

3. Établir la relation $I_n=-n{I}_{n-1}$ pour tout $n⩾1$, puis en déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $n$.

4. Soit $m\in \mathbb{N}$. Montrer que ${\displaystyle J_{m,n}={\int }_0^1{t}^m(\ln t{)}^n\mathrm{d}t}$ converge, et la calculer.

5. À l'aide du changement de variable $t={\mathrm{e}}^{-u}$, retrouver le résultat de la question 4, puis montrer que pour tout $x>0$,

$${\int }_0^1{(-\ln t)}^{x-1}\mathrm{d}t=\mathrm{\Gamma }(x)$$

Dans tout l'exercice, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ d'intérieur non vide, d'extrémités $\alpha <\beta$ (éventuellement infinies).

1. Soit $f:I\to \mathbb{R}$ continue, positive et intégrable sur $I$, telle que ${\displaystyle {\int }_{I}f=0}$.

a. Montrer que pour tout segment $[a,b]\subset I$, on a ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=0}$.

b. On suppose par l'absurde qu'il existe $t_0\in I$ tel que $f(t_0)>0$. Montrer qu'il existe un segment $[a,b]\subset I$, avec $a<b$, sur lequel $f⩾{\displaystyle \frac{f(t_0)}{2}}$.

c. Conclure que $f$ est identiquement nulle sur $I$.

2. Soient $f$ et $g$ continues sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ telles que $(f-g{)}^2$ soit intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}(f(t)-g(t){)}^2\mathrm{d}t=0$$

Montrer que $f=g$.

3. Soit $f$ continue, positive et intégrable sur $I$, non identiquement nulle. Montrer que ${\displaystyle {\int }_{I}f>0}$.

4. Donner un exemple de fonction $h$ continue par morceaux et positive sur $[0,1]$, non identiquement nulle, telle que ${\displaystyle {\int }_0^{1}h(t)\mathrm{d}t=0}$. Quelle hypothèse de la question 1 est ainsi mise en défaut, et à quel endroit de la démonstration servait-elle ?

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels. On appelle intégrale de Bertrand l'intégrale

$$B(\alpha ,\beta )={\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }(\ln t{)}^{\beta }}$$

1. Montrer que $B(\alpha ,\beta )$ converge lorsque $\alpha >1$, quel que soit $\beta$. On comparera à $\frac{1}{t^{\gamma }}$ pour un réel $\gamma$ bien choisi vérifiant $1<\gamma <\alpha$.

2. Montrer que $B(\alpha ,\beta )$ diverge lorsque $\alpha <1$, quel que soit $\beta$.

3. Traiter le cas $\alpha =1$ à l'aide d'une primitive explicite, en donnant la valeur de l'intégrale lorsqu'elle converge, puis récapituler le résultat pour tout couple $(\alpha ,\beta )$.

4. À l'aide du changement de variable $t=\frac{1}{u}$, déterminer selon $(\alpha ,\beta )$ la nature de ${\displaystyle {\int }_0^{1\mathrm{/}2}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }{\mid \ln t\mid }^{\beta }}}$.

5. Déterminer la nature des intégrales suivantes.

Pour $x$ réel, on pose lorsque cela a un sens

$$\mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$$

1. Montrer que cette intégrale converge si et seulement si $x>0$.

2. Soit $x>0$. Établir la relation $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ par une intégration par parties menée sur un segment.

3. Calculer $\mathrm{\Gamma }(1)$, puis montrer que $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

4. On admet ici la continuité de $\mathrm{\Gamma }$ en $1$, établie plus loin dans la fiche. Montrer que $\mathrm{\Gamma }(x)\sim {\displaystyle \frac{1}{x}}$ quand $x\to 0^{+}$, et en déduire la limite de $\mathrm{\Gamma }$ en $0^{+}$.

5. On admet ici la valeur de l'intégrale de Gauss ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$, établie plus loin dans la fiche.

a. À l'aide du changement de variable $t=u^2$, montrer que $\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$.

b. En déduire $\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{3}{2}\right)$ et $\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{5}{2}\right)$.

c. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^2{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t}$.

Dans les trois questions, on attend la rédaction complète du protocole : existence des intégrales, convergence simple de la suite de fonctions, domination par une fonction intégrable indépendante de $n$, puis conclusion.

1. Pour $n⩾1$, on pose ${\displaystyle u_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{1+t^n}\mathrm{d}t}$. Justifier l'existence de $u_n$, puis déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n}$. On prendra garde au fait que la limite simple n'est pas continue.

2. Pour $n⩾1$, on pose ${\displaystyle v_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{n{\mathrm{e}}^{-nt}}{1+t^2}\mathrm{d}t}$.

a. Déterminer la limite simple sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ de la suite de fonctions intégrées, et montrer qu'aucune domination n'est possible sur cet intervalle.

b. Effectuer le changement de variable $u=nt$, puis appliquer le théorème de convergence dominée à la suite d'intégrales obtenue. En déduire ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{v}_n}$.

3. Pour $n⩾1$, on pose ${\displaystyle w_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{{(1+t^2)}^n}}$.

a. Justifier l'existence de $w_n$, puis montrer que $w_n\to 0$.

b. Montrer que ${(1+{\displaystyle \frac{u^2}{n}})}^n⩾1+u^2$ pour tous $u⩾0$ et $n⩾1$.

c. À l'aide du changement de variable $t={\displaystyle \frac{u}{\sqrt{n}}}$, montrer que ${\displaystyle w_n\sim \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{n}}}$.

Le théorème de convergence dominée porte sur un intervalle fixe. Quand la borne d'intégration dépend de $n$, on commence donc par prolonger l'intégrande par $0$ pour se ramener à un intervalle fixe.

1. Pour $n⩾1$, on pose ${\displaystyle A_n={\int }_0^n{(1-\frac{t}{n})}^n\mathrm{d}t}$, et on définit $f_n$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par

$$f_n(t)={(1-\frac{t}{n})}^n\text{ si }0⩽t⩽n,f_n(t)=0\text{ si }t>n$$

a. Montrer que $f_n$ est continue et positive sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, et que $A_n={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{f}_n(t)\mathrm{d}t}$.

b. Montrer que $\ln u⩽u-1$ pour tout $u>0$, puis en déduire $0⩽f_n(t)⩽{\mathrm{e}}^{-t}$ pour tous $n⩾1$ et $t⩾0$.

c. Déterminer la limite simple de la suite $(f_n)$, puis ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n}$.

d. Retrouver ce résultat en calculant $A_n$ exactement, à l'aide du changement de variable $s=1-\frac{t}{n}$.

2. Pour $n⩾1$, on pose ${\displaystyle B_n={\int }_0^n\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2+\frac{t}{n}}}$. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{B}_n}$ par la même technique. On précisera pourquoi le prolongement $g_n$ n'est ici que continu par morceaux, et pourquoi cela ne gêne pas.

On admet dans tout l'exercice que ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}}$. On rappelle le théorème d'intégration terme à terme : si les $u_n$ sont continues par morceaux et intégrables sur $I$, si $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $S$ continue par morceaux, et si la série numérique ${\sum }_n{\int }_I\mid u_n\mid$ converge, alors $S$ est intégrable sur $I$ et ${\int }_{I}S={\sum }_n{\int }_I{u}_n$.

1. On pose $f(t)={\displaystyle \frac{-\ln t}{1-t}}$ pour $t\in ]0,1[$.

a. Montrer que $f$ est intégrable sur $]0,1[$.

b. Montrer que $f(t)={\displaystyle \sum _{n⩾0}(-t^n\ln t)}$ pour tout $t\in ]0,1[$.

c. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1(-t^n\ln t)\mathrm{d}t}$ pour $n\in \mathbb{N}$.

d. Vérifier les hypothèses du théorème et en déduire la valeur de ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{-\ln t}{1-t}\mathrm{d}t}$.

2. On pose $g(t)={\displaystyle \frac{t}{{\mathrm{e}}^t-1}}$ pour $t\in ]0,+\mathrm{\infty }[$.

a. Montrer que $g$ est intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

b. Montrer que $g(t)={\displaystyle \sum _{n⩾1}t{\mathrm{e}}^{-nt}}$ pour tout $t>0$, puis calculer ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t{\mathrm{e}}^{-nt}\mathrm{d}t}$.

c. En déduire la valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t}{{\mathrm{e}}^t-1}\mathrm{d}t}$.

3. Expliquer, à l'aide du changement de variable $u={\mathrm{e}}^{-t}$, pourquoi les deux intégrales précédentes étaient nécessairement égales.

On rappelle le théorème de continuité : si $f$ est définie sur $X\times I$, si $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux et intégrable sur $I$ pour tout $x\in X$, si $x\mapsto f(x,t)$ est continue sur $X$ pour tout $t\in I$, et s'il existe $\phi$ indépendante de $x$, continue par morceaux, positive et intégrable sur $I$, telle que $\mid f(x,t)\mid ⩽\phi (t)$ sur $X\times I$, alors $x\mapsto {\int }_{I}f(x,t)\mathrm{d}t$ est continue sur $X$. La domination sur tout segment de $X$ suffit.

1. On pose ${\displaystyle F(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t^2}\mathrm{d}t}$.

a. Montrer que l'intégrale converge si et seulement si $x⩾0$ : le domaine de $F$ est $[0,+\mathrm{\infty }[$.

b. Montrer que $F$ est continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et calculer $F(0)$.

c. Un élève écrit : « pour tous $x$ et $t$, $\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t^2}⩽{\mathrm{e}}^{-xt}$, fonction intégrable : la domination est acquise ». Expliquer pourquoi cet argument est faux, puis en tirer une domination correcte sur tout segment $[a,b]\subset ]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. On pose ${\displaystyle G(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2+x^2{t}^4}}$.

a. Montrer que $G$ est définie sur $\mathbb{R}$ et que $G$ est paire.

b. Montrer que $G$ est continue sur $\mathbb{R}$ et calculer $G(0)$.

c. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }G(x)}$.

On utilise le théorème de dérivation sous le signe intégrale : la domination porte alors sur la dérivée partielle $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}$, et il suffit de l'établir sur tout segment contenu dans le domaine du paramètre.

1. On pose ${\displaystyle F(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t^2}\mathrm{d}t}$, définie pour $x⩾0$.

a. Montrer que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et que ${\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t{\mathrm{e}}^{-xt}}{1+t^2}\mathrm{d}t}$.

b. Montrer que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et expliciter $F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

c. En déduire que $F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)+F(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ pour tout $x>0$.

d. Montrer que $0⩽F(x)⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}$ pour $x>0$, et en déduire ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)}$.

e. Pourquoi la méthode de la question a ne permet-elle pas de dériver en $0$ ?

2. Pour $x$ réel, on pose ${\displaystyle H(x)={\int }_0^1{t}^x\mathrm{d}t}$, où $t^x={\mathrm{e}}^{x\ln t}$.

a. Montrer que $H$ est définie exactement sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$, et que $H(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x}}$.

b. Soit $a>-1$ et $k\in \{1,2\}$. Montrer que $t\mapsto t^a{\mid \ln t\mid }^k$ est intégrable sur $]0,1]$.

c. En déduire que $H$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$, puis calculer ${\displaystyle {\int }_0^1{t}^x\ln t\mathrm{d}t}$ et ${\displaystyle {\int }_0^1{t}^x{(\ln t)}^2\mathrm{d}t}$.

On rappelle la définition de la fonction Gamma d'Euler, ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t}$ pour $x>0$, et la valeur de l'intégrale de Gauss, ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$.

1. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose ${\displaystyle J_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^n{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t}$.

a. Montrer que $J_n$ converge.

b. Calculer $J_0$, montrer que $J_{n+1}=(n+1)J_n$ par une intégration par parties, et en déduire $J_n$.

2. Soient $a>0$ et $n\in \mathbb{N}$. À l'aide du changement de variable $u=at$, calculer ${\displaystyle K_n(a)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^n{\mathrm{e}}^{-at}\mathrm{d}t}$.

3. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose ${\displaystyle L_n={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^n{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t}$.

a. Justifier la convergence, puis montrer, par le changement de variable $u=t^2$, que $L_n=\frac{1}{2}\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{n+1}{2}\right)$.

b. En déduire $L_n$ lorsque $n$ est impair, $n=2p+1$.

c. Montrer que $\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$, puis que $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ pour tout $x>0$.

d. En déduire $\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}(p+\frac{1}{2})$ pour $p\in \mathbb{N}$, puis $L_n$ lorsque $n$ est pair, $n=2p$. Vérifier le résultat pour $p=0$ et $p=1$.

Une fonction intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ tend-elle nécessairement vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$ ? On va voir que non, puis récupérer deux énoncés corrects.

Partie A. Un contre-exemple. Pour $n⩾2$, on pose $T_n=[n-\frac{1}{n^3},n+\frac{1}{n^3}]$, et on définit $f$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par $f(t)=n(1-n^3\mid t-n\mid )$ si $t\in T_n$ pour un entier $n⩾2$, et $f(t)=0$ sinon. Le graphe de $f$ est donc une suite de triangles, celui d'indice $n$ ayant pour base $T_n$ et pour sommet le point de coordonnées $(n,n)$.

1. Montrer que les $T_n$ sont deux à deux disjoints, puis que $f$ est bien définie, positive et continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

2. Calculer ${\displaystyle {\int }_{T_n}f(t)\mathrm{d}t}$, puis montrer que $f$ est intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et donner la valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t}$ (on admet ${\sum }_{n⩾1}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$).

3. Montrer que $f$ n'est pas bornée et que $f(t)$ ne tend pas vers $0$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$.

Partie B. Deux réciproques vraies. Dans cette partie, $f$ est continue et intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

4. On suppose que $f(t)$ tend vers $\mathrm{\ell }\in \mathbb{R}$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$. Montrer que $\mathrm{\ell }=0$.

5. On suppose $f$ uniformément continue. Soient $\epsilon >0$, puis $\delta >0$ tel que $\mid t-s\mid ⩽\delta$ entraîne $\mid f(t)-f(s)\mid ⩽\frac{\epsilon }{2}$.

a. Montrer que si $\mid f(t_0)\mid ⩾\epsilon$ pour un $t_0⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_{t_0}^{t_0+\delta }\mid f\mid ⩾\frac{\delta \epsilon }{2}}$.

b. Montrer qu'il existe $T⩾0$ tel que ${\displaystyle {\int }_A^{+\mathrm{\infty }}\mid f\mid ⩽\frac{\delta \epsilon }{4}}$ pour tout $A⩾T$.

c. En déduire que $f(t)\to 0$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$.

6. La fonction de la partie A est-elle uniformément continue ?

Sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, le changement de variable $u=\frac{1}{t}$ échange les voisinages de $0$ et de $+\mathrm{\infty }$ : c'est l'outil de tout l'exercice. On rappelle que ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\frac{\pi }{2}}$. Dans chaque question, l'intégrabilité doit être établie avant toute manipulation.

1. On pose ${\displaystyle I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln t}{1+t^2}\mathrm{d}t}$.

a. Montrer que $t\mapsto {\displaystyle \frac{\ln t}{1+t^2}}$ est intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

b. À l'aide du changement de variable $u=\frac{1}{t}$, montrer que $I=0$.

2. On pose ${\displaystyle J={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln t}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t}$ et ${\displaystyle K={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^2\ln t}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t}$.

a. Montrer que les deux fonctions intégrées sont intégrables sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, puis que $J+K=I$.

b. Calculer $K$ par une intégration par parties (on remarquera que $t\mapsto -\frac{1}{2(1+t^2)}$ est une primitive de $t\mapsto \frac{t}{{(1+t^2)}^2}$).

c. En déduire $J$.

3. Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On pose ${\displaystyle S(\alpha )={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{(1+t^2)(1+t^{\alpha })}}$, où $t^{\alpha }={\mathrm{e}}^{\alpha \ln t}$.

a. Montrer que $S(\alpha )$ est bien définie pour tout réel $\alpha$.

b. Par le changement de variable $u=\frac{1}{t}$, montrer que ${\displaystyle S(\alpha )={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^{\alpha }\mathrm{d}t}{(1+t^2)(1+t^{\alpha })}}$, puis calculer $S(\alpha )$.

On note $I={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t}$ et, pour $m\in \mathbb{N}$, $W_m={\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^m\theta \mathrm{d}\theta }$ l'intégrale de Wallis d'indice $m$. On admet l'équivalent de Wallis $W_m\sim \sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2m}}}$, établi en PCSI. Le but est d'établir la formule de Gauss $I={\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2}}$ avec ce seul outil.

1. Montrer que $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-t^2}$ est intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, puis que ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-n{t}^2}\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{I}{\sqrt{n}}}}$ pour tout entier $n⩾1$.

2. Établir $1+u⩽{\mathrm{e}}^u$ pour tout $u\in \mathbb{R}$, puis en déduire, pour tout entier $n⩾1$, les deux inégalités $(1-t^2{)}^n⩽{\mathrm{e}}^{-n{t}^2}$ sur $[0,1]$ et ${\mathrm{e}}^{-n{t}^2}⩽{\displaystyle \frac{1}{(1+t^2{)}^n}}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

3. En déduire, pour tout $n⩾1$, l'encadrement

$${\int }_0^1(1-t^2{)}^n\mathrm{d}t⩽\frac{I}{\sqrt{n}}⩽{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{(1+t^2{)}^n}$$

en justifiant au passage la convergence de l'intégrale de droite.

4. a. Par le changement de variable $t=\sin \theta$, montrer que ${\displaystyle {\int }_0^1(1-t^2{)}^n\mathrm{d}t=W_{2n+1}}$.

b. Par le changement de variable $t=\tan \theta$, montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{(1+t^2{)}^n}=W_{2n-2}}$.

5. Conclure que $I={\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2}}$.

6. Retrouver ce résultat par le théorème de convergence dominée, en considérant la suite $(f_n{)}_{n⩾1}$ définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par $f_n(t)={(1-{\displaystyle \frac{t^2}{n}})}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}n}$ si $t⩽\sqrt{n}$, et $f_n(t)=0$ si $t>\sqrt{n}$.

7. En déduire la valeur de $\mathrm{\Gamma }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)$, puis celle de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^2{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t}$.

Soit $f$ une fonction continue et bornée sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ ; on note $M={\displaystyle \underset{t⩾0}{\sup }\mid f(t)\mid }$. Pour $x$ réel, on pose, lorsque l'intégrale converge,

$$\mathcal{L}(f)(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t){\mathrm{e}}^{-xt}\mathrm{d}t$$

1. Montrer que $\mathcal{L}(f)(x)$ est défini pour tout $x>0$. Montrer, sur l'exemple de la fonction constante $f=1$, qu'aucun $x⩽0$ ne convient en général : on étudie donc $\mathcal{L}(f)$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. Montrer que $\mathcal{L}(f)$ est continue sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

3. Montrer que $\mathcal{L}(f)$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, avec

$$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x>0,\mathcal{L}(f{)}^{(k)}(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}(-t{)}^{k}f(t){\mathrm{e}}^{-xt}\mathrm{d}t$$

4. Montrer que $\mid \mathcal{L}(f)(x)\mid ⩽{\displaystyle \frac{M}{x}}$ pour tout $x>0$, et en déduire la limite de $\mathcal{L}(f)$ en $+\mathrm{\infty }$.

5. Calculer $\mathcal{L}(f)$ pour $f=1$, puis pour $f:t\mapsto \cos (\omega t)$ où $\omega$ est un réel fixé.

6. La fonction $t\mapsto t^n$ ($n\in \mathbb{N}$) n'est pas bornée : on sort du cadre précédent. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^n{\mathrm{e}}^{-xt}\mathrm{d}t}$ converge pour tout $x>0$ et vaut ${\displaystyle \frac{n!}{x^{n+1}}}$, d'abord par un changement de variable, puis en dérivant $n$ fois le résultat obtenu pour $f=1$.

On note $\zeta (s)={\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n^s}}$ pour $s>1$, et l'on pose

$$\phi (t)=\frac{\ln t}{t-1}\text{pour }t\in ]0,1[,J={\int }_0^1\frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}t$$

1. Déterminer le signe de $\phi$ sur $]0,1[$ et ses limites en $0^{+}$ et en $1^{-}$, puis montrer que $\phi$ est intégrable sur $]0,1[$.

2. Pour $n\in \mathbb{N}$, montrer que ${\displaystyle {\int }_0^1{t}^n\ln t\mathrm{d}t}$ converge et vaut $-{\displaystyle \frac{1}{(n+1{)}^2}}$.

3. Montrer que, pour tout $t\in ]0,1[$, $\phi (t)={\displaystyle \sum _{n⩾0}{u}_n(t)}$ avec $u_n(t)=-t^n\ln t$. En vérifiant soigneusement les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme, en déduire que ${\displaystyle {\int }_0^1\phi (t)\mathrm{d}t=\zeta (2)}$.

4. En admettant la valeur $\zeta (2)={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}$, donner celle de ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{\ln t}{t-1}\mathrm{d}t}$.

5. Justifier l'existence de $J$ et écrire l'intégrande comme somme d'une série de fonctions $v_n$. Pourquoi ne peut-on pas conclure comme à la question 3 ? Vérifier alors que ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\int }_0^1\mid v_n(t)\mid \mathrm{d}t}$ converge.

6. En déduire que $J={\displaystyle \sum _{m⩾1}\frac{(-1{)}^m}{m^2}}$, puis, à l'aide de $\zeta (2)$, que $J=-{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{12}}$.

On rappelle (exercice 14 de la fiche) que la fonction Gamma d'Euler

$$\mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$$

est définie exactement sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, qu'elle vérifie $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ et $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Soit $[a,b]\subset ]0,+\mathrm{\infty }[$. Montrer que $t^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}⩽(t^{a-1}+t^{b-1}){\mathrm{e}}^{-t}$ pour tout $x\in [a,b]$ et tout $t>0$, et que ce majorant est intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. En déduire que $\mathrm{\Gamma }$ est continue sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. Soit $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, le segment $[a,b]$ étant celui de la question 1. Montrer que $t\mapsto {\mid \ln t\mid }^k(t^{a-1}+t^{b-1}){\mathrm{e}}^{-t}$ est intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

3. En déduire que $\mathrm{\Gamma }$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, avec

$$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x>0,{\mathrm{\Gamma }}^{(k)}(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}(\ln t{)}^k{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$$

4. Montrer que $\mathrm{\Gamma }$ est strictement convexe sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

5. Déterminer les limites de $\mathrm{\Gamma }$ en $0^{+}$ et en $+\mathrm{\infty }$.

6. Montrer que $\mathrm{\Gamma }$ admet un minimum global, atteint en un unique point $c\in ]1,2[$. Dresser le tableau de variations de $\mathrm{\Gamma }$ et décrire l'allure de sa courbe.

Pour $x\in \mathbb{R}$, on pose

$$F(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\cos (2xt)\mathrm{d}t$$

On admet la valeur de l'intégrale de Gauss, ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$, démontrée à l'exercice 23 de la fiche.

1. Montrer que $F$ est définie sur $\mathbb{R}$, qu'elle est paire, et que $\mid F(x)\mid ⩽{\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2}}$ pour tout réel $x$.

2. Montrer que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et exprimer $F^{\mathrm{\prime }}(x)$ sous forme d'une intégrale.

3. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $F$ est solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle

$$y^{\mathrm{\prime }}+2xy=0$$

4. Résoudre cette équation différentielle et en déduire l'expression explicite de $F$.

5. En déduire les valeurs de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\cos t\mathrm{d}t}$ et de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t{\mathrm{e}}^{-t^2}\sin (2xt)\mathrm{d}t}$ pour $x\in \mathbb{R}$.

6. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}{\sin }^{2}t\mathrm{d}t}$.

Pour $s>1$, on note $\zeta (s)={\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n^s}}$ et l'on pose

$$A(s)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^{s-1}}{{\mathrm{e}}^t-1}\mathrm{d}t$$

On rappelle que $\mathrm{\Gamma }(s)={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t}$ est définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et que $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ (exercice 14 de la fiche).

1. Soit $s$ un réel. Montrer que $t\mapsto {\displaystyle \frac{t^{s-1}}{{\mathrm{e}}^t-1}}$ est intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ si et seulement si $s>1$ (étudier séparément les deux bornes).

2. Montrer que, pour tout $t>0$, ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^t-1}}={\displaystyle \sum _{n⩾1}{\mathrm{e}}^{-nt}}$.

3. Pour $n⩾1$ et $s>1$, calculer ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{s-1}{\mathrm{e}}^{-nt}\mathrm{d}t}$ en fonction de $\mathrm{\Gamma }(s)$ et de $n$.

4. En vérifiant les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme, montrer que $A(s)=\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)$ pour tout $s>1$.

5. En admettant $\zeta (2)={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}$ et $\zeta (4)={\displaystyle \frac{{\pi }^4}{90}}$, calculer ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t}{{\mathrm{e}}^t-1}\mathrm{d}t}$ et ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^3}{{\mathrm{e}}^t-1}\mathrm{d}t}$.

6. On pose $B(s)={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^{s-1}}{{\mathrm{e}}^t+1}\mathrm{d}t}$ pour $s>1$. Reprendre la méthode et montrer que $B(s)=(1-2^{1-s})\mathrm{\Gamma }(s)\zeta (s)$. En déduire ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t}{{\mathrm{e}}^t+1}\mathrm{d}t}$.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a<b$. On pose

$$g(t)=\frac{{\mathrm{e}}^{-at}-{\mathrm{e}}^{-bt}}{t}\text{pour }t>0$$

1. Montrer que $g$ se prolonge par continuité en $0$, puis que $g$ est intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. Première méthode. Soient $0<\epsilon <X$, avec $\epsilon$ assez petit et $X$ assez grand pour que $b\epsilon <aX$. À l'aide des changements de variable $u=at$ et $u=bt$, puis de la relation de Chasles, montrer que

$${\int }_{\epsilon }^{X}g(t)\mathrm{d}t={\int }_{a\epsilon }^{b\epsilon }\frac{{\mathrm{e}}^{-u}}{u}\mathrm{d}u-{\int }_{aX}^{bX}\frac{{\mathrm{e}}^{-u}}{u}\mathrm{d}u$$

3. Montrer que le premier terme tend vers $\ln \frac{b}{a}$ quand $\epsilon \to 0^{+}$ (on pourra utiliser $\mid {\mathrm{e}}^{-u}-1\mid ⩽u$ pour $u⩾0$), que le second tend vers $0$ quand $X\to +\mathrm{\infty }$, et conclure.

4. Seconde méthode. Pour $x>0$, on pose $F(x)={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-at}-{\mathrm{e}}^{-xt}}{t}\mathrm{d}t}$. Montrer que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, calculer $F^{\mathrm{\prime }}$, et retrouver le résultat de la question 3.

5. Généralisation. Soit $f$ continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ admettant une limite finie $\mathrm{\ell }$ en $+\mathrm{\infty }$. En reprenant la méthode des questions 2 et 3, montrer que ${\displaystyle {\int }_{\epsilon }^X\frac{f(at)-f(bt)}{t}\mathrm{d}t}$ admet une limite quand $\epsilon \to 0^{+}$ et $X\to +\mathrm{\infty }$, et que cette limite vaut $(f(0)-\mathrm{\ell })\ln \frac{b}{a}$.

6. Applications : calculer ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-3t}}{t}\mathrm{d}t}$, puis ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{t}(\frac{1}{1+at}-\frac{1}{1+bt})\mathrm{d}t}$.

Pour $x⩾0$, on pose

$$F(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{1+xt}\mathrm{d}t$$

1. Montrer que $F(x)$ est bien définie pour tout $x⩾0$, et qu'elle ne l'est pour aucun $x<0$.

2. Montrer que $F$ est continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, calculer $F(0)$, et établir que $F$ est décroissante à valeurs dans $]0,1]$.

3. Montrer, par convergence dominée, que $F(x)\to 0$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

4. Pour $x>0$, établir par le changement de variable $u=xt$ que

$$xF(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-u\mathrm{/}x}}{1+u}\mathrm{d}u$$

5. En déduire l'encadrement $-1⩽xF(x)-\ln (1+x)⩽{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$ valable pour tout $x>0$, puis que $F(x)\sim {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

6. Vérifier que pour tous $x⩾0$ et $t⩾0$

$$\frac{1}{1+xt}=1-xt+x^2{t}^2-\frac{x^3{t}^3}{1+xt}$$

et en déduire le développement limité de $F$ à l'ordre $2$ en $0^{+}$.