Devoir surveillé — Intégration sur un intervalle quelconque

Consignes générales, valables pour tout le sujet. Calculatrice interdite. Les exercices 1 à 4 sont indépendants entre eux et indépendants de l'exercice 5, qui est un problème en quatre parties enchaînées. La qualité de la rédaction entre dans la notation : tout théorème invoqué doit être cité avec ses hypothèses, et chacune de ces hypothèses doit être vérifiée explicitement sur l'objet auquel on l'applique.

Chacune des six affirmations ci-dessous est soit vraie, soit fausse. Pour chacune, écrire vrai ou faux, puis justifier : une démonstration complète si elle est vraie, un contre-exemple entièrement vérifié si elle est fausse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. (0,5 point) Toute fonction continue et intégrable sur $]0,1]$ est bornée sur $]0,1]$.

2. (0,5 point) Si $f$ est continue et intégrable sur $]0,1]$, alors $f^2$ est intégrable sur $]0,1]$.

3. (0,5 point) Si $f$ est continue et intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et si $g$ est continue et bornée sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, alors $fg$ est intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

4. (0,5 point) Si $f$ et $g$ sont continues et positives sur $[1,+\mathrm{\infty }[$, si $f(t)=o(g(t))$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$ et si $f$ est intégrable sur $[1,+\mathrm{\infty }[$, alors $g$ l'est aussi.

5. (0,5 point) Si $f$ est continue sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ et s'il existe un réel $\alpha >1$ tel que $t^{\alpha }f(t)\to 0$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$, alors $f$ est intégrable sur $[1,+\mathrm{\infty }[$.

6. (0,5 point) Si $f$ est continue et intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, alors ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t){\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}n}\mathrm{d}t\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t}$.

On pose, sous réserve d'existence,

$$L={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\ln (\sin \theta )\mathrm{d}\theta \text{et}M={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\ln (\cos \theta )\mathrm{d}\theta \mathrm{.}$$

On rappelle que ${\displaystyle {\int }_0^1\ln t\mathrm{d}t=-1}$.

1. (0,75 point) Montrer que $\theta ⟼\ln (\sin \theta )$ est intégrable sur $]0,\frac{\pi }{2}]$, donc que $L$ est bien définie.

2. (0,5 point) À l'aide du changement de variable $\theta =\frac{\pi }{2}-u$, montrer que $M$ est bien définie et que $M=L$.

3. (0,75 point) Montrer que $\theta ⟼\ln (\sin \theta )$ est intégrable sur $]0,\pi [$ et que ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\ln (\sin u)\mathrm{d}u=2L}$.

4. (1 point) En partant de $\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin (2\theta )$, exprimer $L+M$ en fonction de $\ln 2$ et de l'intégrale de la question 3, puis en déduire la valeur de $L$.

5. (0,5 point) Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln (1+t^2)}{1+t^2}\mathrm{d}t}$ converge, puis la calculer par le changement de variable $t=\tan \theta$.

6. (0,5 point) Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{\ln t}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t}$.

Pour tout entier $p⩾1$, on pose, sous réserve d'existence,

$$A_p={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-pt}\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1-{\mathrm{e}}^{-t})\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

On note $H_p={\displaystyle \sum _{k=1}^p\frac{1}{k}}$ le $p$-ième nombre harmonique.

1. (0,5 point) Montrer que, pour tout entier $p⩾1$, la fonction $t⟼{\mathrm{e}}^{-pt}\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1-{\mathrm{e}}^{-t})$ est intégrable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. (0,5 point) Montrer que, pour tout $t>0$, $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1-{\mathrm{e}}^{-t})=-{\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{{\mathrm{e}}^{-nt}}{n}}$.

3. (0,5 point) Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-(n+p)t}\mathrm{d}t}$ pour tous entiers $n⩾1$ et $p⩾1$.

4. (1,25 point) Énoncer le théorème d'intégration terme à terme, vérifier chacune de ses hypothèses dans la situation présente, et en déduire que

$$A_p=-\sum _{n⩾1}\frac{1}{n(n+p)}\mathrm{.}$$

5. (0,75 point) Calculer cette somme par télescopage, en déduire que $A_p=-{\displaystyle \frac{H_p}{p}}$, et contrôler le résultat pour $p=1$ par un calcul direct.

Pour $x\in \mathbb{R}$, on pose, sous réserve d'existence,

$$F(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}\frac{\sin (xt)}{t}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. (0,75 point) Montrer que $F(x)$ est bien définie pour tout réel $x$, et que $F$ est impaire.

2. (1 point) Montrer que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et que, pour tout réel $x$,

$$F^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}\cos (xt)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

3. (1 point) Calculer $F^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout réel $x$. On traitera le cas $x=0$ à part et, pour $x\mathrm{\ne }0$, on effectuera deux intégrations par parties sur un segment $[0,X]$ afin de faire réapparaître l'intégrale cherchée.

4. (0,5 point) En déduire une expression close de $F(x)$ pour tout réel $x$.

5. (0,25 point) Donner la valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t}$, puis la limite de $F$ en $+\mathrm{\infty }$.

Les quatre parties s'enchaînent : la partie B utilise la partie A, la partie C utilise les deux premières, et la partie D éprouve le résultat obtenu sur un exemple.

Dans tout le problème, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ d'intérieur non vide. On dit qu'une fonction $f$, continue sur $I$, est de carré intégrable sur $I$ lorsque $f^2$ est intégrable sur $I$.

Le problème établit une inégalité qui relie trois quantités attachées à une même fonction : sa taille globale, son étalement et sa pente. On verra dans la partie D qu'elle est optimale.

Partie A — l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur un intervalle quelconque

Dans cette partie, $f$ et $g$ sont continues et de carré intégrable sur $I$.

A.1 (0,5 point) Montrer que $\mid fg\mid ⩽\frac{1}{2}(f^2+g^2)$ sur $I$, puis que $fg$ est intégrable sur $I$.

A.2 (0,75 point) On admet l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur un segment, vue en première année : pour tout segment $[a,b]\subset I$,

$${({\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t)}^2⩽({\int }_a^{b}f(t{)}^2\mathrm{d}t)({\int }_a^{b}g(t{)}^2\mathrm{d}t)\mathrm{.}$$

En faisant tendre $a$ et $b$ vers les bornes de $I$, en déduire que

$$\mid {\int }_{I}fg\mid ⩽\sqrt{{\int }_I{f}^2}\sqrt{{\int }_I{g}^2}\mathrm{.}$$

A.3 (0,5 point) Application. Soit $f$ continue et de carré intégrable sur $[1,+\mathrm{\infty }[$. Montrer que $t⟼{\displaystyle \frac{f(t)}{t}}$ est intégrable sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ et que

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mid f(t)\mid }{t}\mathrm{d}t⩽\sqrt{{\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(t{)}^2\mathrm{d}t}\mathrm{.}$$

Partie B — un lemme d'annulation, et deux applications

Dans toute la suite du problème, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, et les trois fonctions $f$, $f^{\mathrm{\prime }}$ et $t⟼tf(t)$ sont de carré intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

B.1 (0,75 point) Le lemme. Soit $g$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$, positive et intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, dont la dérivée $g^{\mathrm{\prime }}$ est elle aussi intégrable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. Montrer que $g$ admet une limite finie en $+\mathrm{\infty }$, puis que cette limite est nulle.

B.2 (0,5 point) Première application. Vérifier que $f^2$ satisfait les hypothèses du lemme, et en déduire que $f(t)\to 0$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$.

B.3 (0,5 point) Seconde application. Vérifier que $\psi :t⟼tf(t{)}^2$ satisfait les hypothèses du lemme, et en déduire que $tf(t{)}^2\to 0$ quand $t\to +\mathrm{\infty }$.

Partie C — l'inégalité

On conserve les hypothèses de la partie B.

C.1 (0,75 point) Par une intégration par parties sur un segment $[0,X]$, montrer que

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t{)}^2\mathrm{d}t=-2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}tf(t)f^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

C.2 (0,75 point) En déduire l'inégalité

$${({\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(t{)}^2\mathrm{d}t)}^2⩽4({\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{2}f(t{)}^2\mathrm{d}t)({\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{f}^{\mathrm{\prime }}(t{)}^2\mathrm{d}t)\mathrm{.}$$

Partie D — le cas de la gaussienne

On pose $f(t)={\mathrm{e}}^{-t^2\mathrm{/}2}$ pour $t⩾0$. On admet la valeur de l'intégrale de Gauss, ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$.

D.1 (0,5 point) Vérifier que cette fonction satisfait toutes les hypothèses des parties B et C, et calculer les trois intégrales qui apparaissent dans C.2.

D.2 (0,5 point) Vérifier que l'inégalité de C.2 est en fait une égalité pour cette fonction. Qu'en conclut-on sur la constante $4$ ?