Exercices — Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral

1. Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.

2. Étudier la parité des fonctions suivantes (on précisera d'abord que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$).

3. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\cos (2x)+2\cos x$.

a. Montrer que $h$ est paire et que $2\pi$ est une période de $h$.

b. En déduire un intervalle d'amplitude $\pi$ sur lequel il suffit d'étudier $h$ pour connaître entièrement sa courbe, et préciser les transformations qui permettent de reconstituer le reste.

4. Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction quelconque. Montrer qu'il existe un unique couple $(p,i)$ de fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ tel que $p$ soit paire, $i$ soit impaire et $f=p+i$. Expliciter cette décomposition pour $f:x\mapsto e^x$.

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, la courbe ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-4,4]$. Les deux tangentes horizontales sont tracées en pointillés.

1. Lire sur le graphique les valeurs de $f(-4)$, $f(-2)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(3)$ et $f(4)$.

2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-4,4]$.

3. En déduire le tableau de signe de $f^{\mathrm{\prime }}$ sur $[-4,4]$, en précisant les valeurs en lesquelles $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule.

4. Résoudre graphiquement, sur $[-4,4]$ :

a. l'équation $f(x)=2$ (les solutions se lisent exactement) ;

b. l'équation $f(x)=1$ : donner le nombre de solutions, celle qui se lit exactement, et un encadrement des autres ;

c. l'inéquation $f(x)⩾0$ (on nommera $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ les abscisses des points d'intersection de ${\mathcal{C}}_f$ avec l'axe des abscisses, et on en donnera un encadrement).

5. Pour chacune des fonctions suivantes, décrire la transformation géométrique qui envoie ${\mathcal{C}}_f$ sur sa courbe, préciser son ensemble de définition, puis donner les images des deux extremums locaux $A(-2,2)$ et $B(1,-1)$.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de dérivabilité, puis calculer sa dérivée sur cet ensemble.

2. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x\sqrt{1-x^2}$. Déterminer son ensemble de définition, puis son ensemble de dérivabilité, et calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sous la forme d'un quotient unique.

3. Soit $g$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $g(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}$, $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ et $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, conjecturer une expression de la dérivée $n$-ième $g^{(n)}$ pour $n\in \mathbb{N}$, puis la démontrer par récurrence.

1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de la fonction proposée au point d'abscisse $a$ indiquée.

2. Soit $p$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $p(x)=x^2$, de courbe $\mathcal{P}$, et soit $A$ le point de coordonnées $(2,3)$.

a. Vérifier que $A$ n'appartient pas à $\mathcal{P}$.

b. Déterminer toutes les tangentes à $\mathcal{P}$ passant par $A$.

3. On reprend $f(x)=x^3-3x+1$ et on note $D$ la droite d'équation $y=9x+4$. Déterminer les points de la courbe de $f$ en lesquels la tangente est parallèle à $D$, et donner les équations de ces tangentes.

4. On rappelle que si $f$ est dérivable en $a$, alors $f(a+t)\approx f(a)+t{f}^{\mathrm{\prime }}(a)$ pour $t$ proche de $0$ : c'est l'approximation affine de $f$ au voisinage de $a$, c'est-à-dire le remplacement de la courbe par sa tangente.

a. À l'aide de la question 1.b, donner une valeur approchée de $\sqrt{\mathrm{4,02}}$.

b. À l'aide de la question 1.d, donner une valeur approchée de $\ln (\mathrm{1,01})$.

c. À l'aide de la question 1.c, donner une valeur approchée de $e^{\mathrm{0,1}}$.

d. Comparer chacune de ces trois valeurs à la valeur donnée par la calculatrice. Que constate-t-on quant à la taille de l'erreur ?

5. Soit $\phi$ la fonction définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $\phi (x)=x-1-\ln x$.

a. Étudier le signe de ${\phi }^{\mathrm{\prime }}$ et en déduire que, pour tout $x>0$, $\ln x⩽x-1$.

b. Interpréter géométriquement cette inégalité, et en déduire, sans calculatrice, que la valeur approchée obtenue à la question 4.b est une valeur par excès.

Partie A. Une fonction rationnelle

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+3}{x-1}}$.

1. Déterminer l'ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$ de $f$.

2. Déterminer les limites de $f$ aux quatre bornes de ${\mathcal{D}}_f$ (en $-\mathrm{\infty }$, en $1$ à gauche, en $1$ à droite, en $+\mathrm{\infty }$).

3. Montrer que, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}}$, puis étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

4. Dresser le tableau de variations complet de $f$.

5. Préciser les extremums locaux de $f$. Sont-ils globaux ?

Partie B. Une fonction avec exponentielle

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(x-1)e^{-x}$.

1. Déterminer le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.

2. Déterminer les limites de $g$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$.

3. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ et étudier son signe.

4. Dresser le tableau de variations de $g$ et en déduire que $g$ admet un maximum global, dont on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

5. En déduire que, pour tout réel $x$, $x-1⩽e^{x-2}$, avec égalité si et seulement si $x=2$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.

a. $e^{2x}-3e^x+2>0$

b. $\ln (2x-1)⩽1$

c. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n⩽{10}^{-3}$.

3. On rappelle que pour $x>0$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, $x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$.

a. Simplifier ${\left(x^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}$ pour $x>0$.

b. Résoudre sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ l'équation $x^{\ln x}=e^4$.

4. Un piège de domaine.

a. Comparer les ensembles de définition des fonctions $u:x\mapsto \ln (x^2)$ et $v:x\mapsto 2\ln x$. Donner une expression de $\ln (x^2)$ valable sur tout l'ensemble de définition de $u$.

b. Résoudre l'équation $\ln (x^2)=\ln (3x+10)$, puis l'équation $2\ln x=\ln (3x+10)$. Commenter.

5. Comparer $a^b$ et $b^a$.

a. Comparer, par le calcul direct, $2^3$ et $3^2$, puis $2^4$ et $4^2$, puis $2^5$ et $5^2$.

b. Soient $a>0$ et $b>0$. Montrer que $a^b<b^a⟺{\displaystyle \frac{\ln a}{a}}<{\displaystyle \frac{\ln b}{b}}$.

c. En déduire, sans calculatrice, le classement des quatre nombres ${\displaystyle \frac{\ln 2}{2}}$, ${\displaystyle \frac{\ln 3}{3}}$, ${\displaystyle \frac{\ln 4}{4}}$ et ${\displaystyle \frac{\ln 5}{5}}$.

On rappelle les croissances comparées du cours : pour tout réel $\alpha >0$,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{x^{\alpha }}}& {\displaystyle =+\mathrm{\infty },}\\ {\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln x}{x^{\alpha }}}& {\displaystyle =0,}\\ {\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\alpha }\ln x}& {\displaystyle =0,}\\ {\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{\alpha }{e}^x}& {\displaystyle =0.}\end{array}$$

1. Déterminer les limites suivantes.

2. Déterminer les limites suivantes en commençant par factoriser le terme dominant.

3. En se ramenant à l'exponentielle, déterminer les limites suivantes.

On rappelle les définitions des trois fonctions circulaires réciproques :

• $\mathrm{Arcsin}$ est la réciproque de la restriction de $\sin$ à $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ ; elle est définie sur $[-1,1]$ et à valeurs dans $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ ;
• $\mathrm{Arccos}$ est la réciproque de la restriction de $\cos$ à $[0,\pi ]$ ; elle est définie sur $[-1,1]$ et à valeurs dans $[0,\pi ]$ ;
• $\mathrm{Arctan}$ est la réciproque de la restriction de $\tan$ à $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$ ; elle est définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$.

1. Déterminer la valeur exacte de chacun des réels suivants.

   a. $\mathrm{Arcsin}{\displaystyle \frac{1}{2}}$

   b. $\mathrm{Arcsin}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$

   c. $\mathrm{Arcsin}(-1)$

   d. $\mathrm{Arccos}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$

   e. $\mathrm{Arccos}0$

   f. $\mathrm{Arccos}(-1)$

   g. $\mathrm{Arctan}\sqrt{3}$

   h. $\mathrm{Arctan}(-1)$

   i. $\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$

2. Simplifier chacune des expressions suivantes. On prendra garde : la réponse n'est pas toujours le réel écrit à l'intérieur.

   a. $\mathrm{Arcsin}(\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}})$

   b. $\mathrm{Arccos}(\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}})$

   c. $\mathrm{Arccos}(\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{3}})$

   d. $\mathrm{Arcsin}(\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{3}})$

   e. $\mathrm{Arcsin}(\sin (-{\displaystyle \frac{7\pi }{6}}))$

   f. $\mathrm{Arccos}(\cos (-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}))$

   g. $\mathrm{Arctan}(\tan {\displaystyle \frac{5\pi }{6}})$

3. Soit $x\in [-1,1]$. Exprimer $\cos (\mathrm{Arcsin}x)$ et $\sin (\mathrm{Arccos}x)$ en fonction de $x$. On justifiera soigneusement le signe de la racine carrée obtenue.

4. Soit $x\in ]-1,1[$. Exprimer $\tan (\mathrm{Arcsin}x)$ en fonction de $x$. Pourquoi doit-on exclure les valeurs $x=-1$ et $x=1$ ?

5. Soit $x\in \mathbb{R}$. Exprimer $\cos (\mathrm{Arctan}x)$ puis $\sin (\mathrm{Arctan}x)$ en fonction de $x$.

6. Application numérique : calculer $\cos (\mathrm{Arcsin}{\displaystyle \frac{3}{5}})$ et $\tan (\mathrm{Arcsin}{\displaystyle \frac{3}{5}})$.

Dans tout l'exercice, on demande de déterminer une primitive de la fonction proposée sur l'intervalle indiqué. On rappelle que sur un intervalle, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : l'ensemble de toutes les primitives est donc $\{F+C;C\in \mathbb{R}\}$.

On rappelle également les formes à reconnaître, pour $u$ dérivable sur un intervalle $I$ :

1. Primitives usuelles directes.

   a. $x\mapsto x^4-3x^2+5$ sur $\mathbb{R}$

   b. $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$

   c. $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$

   d. $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$ sur $\mathbb{R}$

   e. $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ sur $]-1,1[$

   f. $x\mapsto \mathrm{ch}x$ sur $\mathbb{R}$

2. Forme $u^{\mathrm{\prime }}{u}^n$.

   a. $x\mapsto 2x(x^2+1{)}^3$ sur $\mathbb{R}$

   b. $x\mapsto {\displaystyle \frac{x}{(x^2+3{)}^2}}$ sur $\mathbb{R}$

   c. $x\mapsto \cos x{\sin }^{3}x$ sur $\mathbb{R}$

   d. $x\mapsto {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$

3. Forme ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$.

   a. $x\mapsto {\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$ sur $\mathbb{R}$

   b. $x\mapsto \tan x$ sur $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$

   c. $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x\ln x}}$ sur $]1,+\mathrm{\infty }[$

4. Formes $u^{\mathrm{\prime }}{e}^u$, ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{\sqrt{u}}}$, ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{1+u^2}}$ et $u^{\mathrm{\prime }}\cos (u)$.

   a. $x\mapsto x{e}^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$

   b. $x\mapsto {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$ sur $\mathbb{R}$

   c. $x\mapsto {\displaystyle \frac{2}{1+4x^2}}$ sur $\mathbb{R}$

   d. $x\mapsto x\cos (x^2)$ sur $\mathbb{R}$

   e. $x\mapsto {\displaystyle \frac{e^x}{1+e^{2x}}}$ sur $\mathbb{R}$

5. Vérifier par dérivation les réponses obtenues aux questions 3.b., 4.b. et 4.e.

On rappelle le résultat de cours utilisé dans tout l'exercice. Soit $I$ un intervalle et $a$ une fonction continue sur $I$. Si $A$ est une primitive de $a$ sur $I$, alors les solutions sur $I$ de l'équation homogène $y^{\mathrm{\prime }}+a(x)y=0$ sont exactement les fonctions

$$x⟼C{e}^{-A(x)},C\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

Pour une équation avec second membre $y^{\mathrm{\prime }}+a(x)y=b(x)$, les solutions s'obtiennent en ajoutant à une solution particulière toutes les solutions de l'équation homogène associée.

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes.

   a. $y^{\mathrm{\prime }}=3y$

   b. $2y^{\mathrm{\prime }}+5y=0$

   c. $y^{\mathrm{\prime }}+\sqrt{2}y=0$

2. Résoudre les équations différentielles suivantes sur l'intervalle $I$ indiqué.

   a. $y^{\mathrm{\prime }}+2xy=0$ sur $I=\mathbb{R}$

   b. $x{y}^{\mathrm{\prime }}-y=0$ sur $I=]0,+\mathrm{\infty }[$

   c. $(1+x^2)y^{\mathrm{\prime }}+2xy=0$ sur $I=\mathbb{R}$

   d. $y^{\mathrm{\prime }}+y\tan x=0$ sur $I=]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$

3. On considère l'équation $(E_1):y^{\mathrm{\prime }}+2y=4x$ sur $\mathbb{R}$.

   a. Vérifier que la fonction $\phi :x\mapsto 2x-1$ est solution de $(E_1)$ sur $\mathbb{R}$.

   b. En déduire l'ensemble des solutions de $(E_1)$ sur $\mathbb{R}$.

   c. Déterminer l'unique solution $f$ de $(E_1)$ vérifiant $f(0)=2$.

4. On considère l'équation $(E_2):y^{\mathrm{\prime }}-3y=e^x$ sur $\mathbb{R}$. Vérifier que $\phi :x\mapsto -{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^x$ est solution de $(E_2)$, puis déterminer toutes les solutions de $(E_2)$ sur $\mathbb{R}$.

5. On considère l'équation $(E_3):y^{\mathrm{\prime }}+y=\cos x$ sur $\mathbb{R}$. Vérifier que $\phi :x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{2}}(\cos x+\sin x)$ est solution de $(E_3)$, puis déterminer toutes les solutions de $(E_3)$ sur $\mathbb{R}$.

6. On considère l'équation $(E_4):x{y}^{\mathrm{\prime }}-y=x^2$ sur $I=]0,+\mathrm{\infty }[$. Vérifier que $\phi :x\mapsto x^2$ est solution de $(E_4)$ sur $I$, puis déterminer toutes les solutions de $(E_4)$ sur $I$.

7. Déterminer l'unique solution $g$ de $(1+x^2)y^{\mathrm{\prime }}+2xy=0$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $g(1)=3$.

On rappelle le vocabulaire. Soit $f$ une fonction définie sur une partie $D$ de $\mathbb{R}$.

• $f$ est majorée sur $D$ s'il existe $M\in \mathbb{R}$ tel que $f(x)⩽M$ pour tout $x\in D$ ;
• $f$ est minorée sur $D$ s'il existe $m\in \mathbb{R}$ tel que $f(x)⩾m$ pour tout $x\in D$ ;
• $f$ est bornée sur $D$ si elle est à la fois majorée et minorée, ce qui équivaut à l'existence de $K⩾0$ tel que $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }⩽K$ pour tout $x\in D$ ;
• $f$ atteint son maximum en $x_0\in D$ si $f(x)⩽f(x_0)$ pour tout $x\in D$.

1. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)={\displaystyle \frac{\cos x}{2+\sin x}}$.

   a. Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

   b. Montrer que $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }⩽1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Que peut-on en conclure sur $f$ ?

   c. Montrer que l'inégalité précédente est stricte : pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }<1$.

2. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)={\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}$.

   a. Démontrer, par un argument purement algébrique, que $\mathrm{\mid }h(x)\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

   b. Calculer $h^{\mathrm{\prime }}(x)$, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations de $h$ sur $\mathbb{R}$ (on précisera les limites en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$).

   c. Retrouver le résultat de la question a. et préciser en quels réels $h$ atteint son maximum et son minimum.

3. Soit $\mathrm{\ell }$ la fonction définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $\mathrm{\ell }(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

   a. Montrer que $\mathrm{\ell }(x)⩾2$ pour tout $x>0$, et déterminer les réels pour lesquels il y a égalité.

   b. Montrer que $\mathrm{\ell }$ n'est pas majorée sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)={\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}$.

   a. Montrer que $0⩽g(x)<1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. La fonction $g$ atteint-elle son minimum ? Prend-elle la valeur $1$ ?

   b. Soit $c$ un réel tel que $c<1$. En posant $x_0=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{1-c}}}$, calculer $g(x_0)$ et montrer que $g(x_0)>c$. Qu'en déduit-on sur les majorants de $g$ ?

Dans tout l'exercice, on convient que $f^{(0)}=f$, et l'on demande à chaque fois une démonstration par récurrence de la formule proposée.

1. Soit $a\in \mathbb{R}$ et $f:x\mapsto e^{ax}$, définie sur $\mathbb{R}$.

   a. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$, puis conjecturer une expression de $f^{(n)}(x)$ pour $n\in \mathbb{N}$.

   b. Démontrer cette formule par récurrence.

2. Soit $g:x\mapsto \ln (1+x)$, définie sur $I=]-1,+\mathrm{\infty }[$.

   a. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$, $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ et $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$.

   b. Démontrer que pour tout entier $n⩾1$ et tout $x\in I$ :

   $$g^{(n)}(x)={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{(1+x{)}^n}}\mathrm{.}$$

   c. En déduire la valeur de $g^{(4)}(0)$.

3. Soit $a\in \mathbb{R}$, $I$ un intervalle ne contenant pas $a$, et $h:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x-a}}$ définie sur $I$. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout $x\in I$ :

   $$h^{(n)}(x)={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n}n!}{(x-a{)}^{n+1}}}\mathrm{.}$$

4. Soit $c:x\mapsto \cos x$, définie sur $\mathbb{R}$.

   a. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout $x\in \mathbb{R}$, $c^{(n)}(x)=\cos (x+n{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$.

   b. En déduire, sans nouvelle récurrence, l'expression de la dérivée $n$-ième de $x\mapsto \sin x$.

   c. Calculer $c^{(11)}(x)$ sous forme simplifiée.

5. Soit $u$ la fonction définie sur $I=]1,+\mathrm{\infty }[$ par $u(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$.

   a. Vérifier, par une simple mise au même dénominateur, que pour tout $x\in I$ :

   $${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}})\mathrm{.}$$

   b. En déduire, à l'aide de la question 3., l'expression de $u^{(n)}(x)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout $x\in I$.

   c. Calculer $u^{(3)}(2)$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2{e}^{-x}$.

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$. La fonction $f$ est-elle paire ? impaire ?

2. Déterminer le signe de $f(x)$ sur $D_f$, et les réels en lesquels $f$ s'annule.

3. Déterminer la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }$. On utilisera la croissance comparée ${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{t^n}{e^t}}=0}$, valable pour tout $n\in \mathbb{N}$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $f$ ?

4. Déterminer la limite de $f$ en $-\mathrm{\infty }$.

5. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et montrer que, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x(2-x)e^{-x}$.

6. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$ (on présentera l'étude du signe du facteur $x(2-x)$ dans un tableau), puis dresser le tableau de variations complet de $f$.

7. Préciser les extremums locaux de $f$ : nature, valeur, et réel en lequel ils sont atteints. L'un d'eux est-il un maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ tout entier ?

8. Déduire du tableau de variations que pour tout réel $x⩾0$, $x^2{e}^{-x}⩽{\displaystyle \frac{4}{e^2}}$, puis que $x^2⩽{\displaystyle \frac{4}{e^2}}{e}^x$.

9. Soit $\lambda$ un réel. On admet le résultat suivant, qui sera démontré au chapitre sur la continuité : sur un intervalle où $f$ est strictement monotone, $f$ prend une fois et une seule chacune des valeurs strictement comprises entre les valeurs (ou limites) de $f$ aux extrémités de cet intervalle.

   Discuter, en fonction de $\lambda$, le nombre de solutions réelles de l'équation $f(x)=\lambda$.

On rappelle la formule de dérivation d'une fonction réciproque. Soit $\phi$ une bijection d'un intervalle $I$ sur un intervalle $J$. Si $\phi$ est dérivable en $\alpha \in I$ et si ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(\alpha )\mathrm{\ne }0$, alors ${\phi }^{-1}$ est dérivable en $\beta =\phi (\alpha )$ et :

$${\left({\phi }^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(\beta )={\displaystyle \frac{1}{{\phi }^{\mathrm{\prime }}(\alpha )}}={\displaystyle \frac{1}{{\phi }^{\mathrm{\prime }}({\phi }^{-1}(\beta ))}}\mathrm{.}$$

1. Dérivées des trois fonctions circulaires réciproques.

   a. Soit $x\in ]-1,1[$. En appliquant la formule ci-dessus à la restriction de $\sin$ à $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, démontrer que $\mathrm{Arcsin}$ est dérivable en $x$ et que ${\mathrm{Arcsin}}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$. On justifiera avec soin le signe de la racine.

   b. Démontrer de même que $\mathrm{Arccos}$ est dérivable sur $]-1,1[$, avec ${\mathrm{Arccos}}^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$.

   c. Démontrer que $\mathrm{Arctan}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, avec ${\mathrm{Arctan}}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$. On utilisera ${\tan }^{\mathrm{\prime }}=1+{\tan }^2$.

   d. Pourquoi $\mathrm{Arcsin}$ n'est-elle pas dérivable en $1$ ? Que peut-on dire de la tangente à sa courbe représentative au point d'abscisse $1$ ?

2. Soit $\psi$ la fonction définie sur $[-1,1]$ par $\psi (x)=\mathrm{Arcsin}x+\mathrm{Arccos}x$.

   a. Calculer ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour $x\in ]-1,1[$, et en déduire que $\psi$ est constante sur $]-1,1[$.

   b. Déterminer cette constante, puis vérifier que l'égalité obtenue reste vraie en $x=-1$ et en $x=1$. Conclure.

3. Soit $u$ la fonction définie par $u(x)=\mathrm{Arctan}(2x)$. Déterminer son ensemble de définition, étudier sa parité, calculer $u^{\mathrm{\prime }}(x)$ et donner le sens de variation de $u$.

4. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\mathrm{Arcsin}\left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\right)$.

   a. Montrer que $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

   b. Montrer que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$.

   c. En déduire une expression simplifiée de $g(x)$ valable pour tout réel $x$.

5. Tangente au graphe d'une réciproque.

   a. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $\mathrm{Arctan}$ au point d'abscisse $1$.

   b. Déterminer une équation de la tangente $T^{\mathrm{\prime }}$ à la courbe de $\tan$ au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

   c. Vérifier que $T$ et $T^{\mathrm{\prime }}$ sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation $y=x$, et expliquer pourquoi ce résultat était prévisible.

On rappelle les définitions, valables pour tout réel $x$ :

$$\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}$$

1. Exprimer $e^x$ et $e^{-x}$ à l'aide de $\mathrm{ch}x$ et $\mathrm{sh}x$. Déterminer la parité de $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$ et $\mathrm{th}$. Montrer que $\mathrm{ch}x⩾1$ pour tout réel $x$, et en déduire que $\mathrm{th}$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.

2. Démontrer la relation fondamentale : pour tout réel $x$, ${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1$.

3. Démontrer les formules d'addition, pour tous réels $a$ et $b$ :

4. En déduire les formules de duplication donnant $\mathrm{ch}(2x)$ (sous trois formes) et $\mathrm{sh}(2x)$, puis établir que $\mathrm{th}(2x)={\displaystyle \frac{2\mathrm{th}x}{1+{\mathrm{th}}^{2}x}}$.

5. Calculer les dérivées de $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ et $\mathrm{th}$. On montrera en particulier que ${\mathrm{th}}^{\mathrm{\prime }}=1-{\mathrm{th}}^2={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{ch}}^2}}$.

6. Dresser les tableaux de variations de $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$ et $\mathrm{th}$. Montrer au passage que $\mathrm{th}x\in ]-1,1[$ pour tout réel $x$.

7. Soit $x$ un réel et $n$ un entier naturel. Calculer

$$S_n=\sum _{k=0}^n\mathrm{ch}(kx)\text{et}{T}_n=\sum _{k=0}^n\mathrm{sh}(kx)$$

On distinguera les cas $x=0$ et $x\mathrm{\ne }0$, et on se ramènera à des sommes géométriques en repassant aux exponentielles.

Toutes les équations de cet exercice se résolvent avec la même méthode, à connaître par coeur : on écrit $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$ et $\mathrm{th}$ à l'aide de $e^x$ et $e^{-x}$, on pose $X=e^x$ (en gardant en tête que $X>0$), on multiplie par $X$ pour chasser les dénominateurs, et on résout une équation du second degré en $X$. On revient enfin à $x$ par $e^x=X⟺x=\ln X$, en ne conservant que les racines strictement positives.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

g. Résoudre dans ${\mathbb{R}}^2$ le système d'inconnues $(x,y)$ suivant :

$$\{\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{ch}x+\mathrm{ch}y}& {\displaystyle =\frac{27}{8}}\\ {\displaystyle \mathrm{sh}x+\mathrm{sh}y}& {\displaystyle =\frac{21}{8}}\end{array}$$

On commencera par additionner puis soustraire les deux lignes.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to \mathbb{C}$. On note $u=\mathrm{Re}(f)$ et $v=\mathrm{Im}(f)$, de sorte que $f=u+iv$ où $u$ et $v$ sont deux fonctions de $I$ dans $\mathbb{R}$. Par définition, $f$ est dérivable en un point lorsque $u$ et $v$ le sont, et on pose alors

$$f^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}+i{v}^{\mathrm{\prime }}$$

Les règles de calcul usuelles (somme, produit par un scalaire, produit, quotient, composée par une fonction réelle) restent valables. On admet également que si $\phi :I\to \mathbb{C}$ est dérivable, alors $e^{\phi }$ l'est et ${\left(e^{\phi }\right)}^{\mathrm{\prime }}={\phi }^{\mathrm{\prime }}{e}^{\phi }$.

1. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+i{)}^2$.

a. Déterminer $\mathrm{Re}(f)$ et $\mathrm{Im}(f)$, puis calculer $f^{\mathrm{\prime }}$ à partir de la définition ci-dessus. Comparer au résultat donné par la règle de dérivation d'un produit.

b. Mêmes questions pour $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)={\displaystyle \frac{1}{x+i}}$.

2. Soit $\lambda =a+ib$ un nombre complexe, avec $a$ et $b$ réels, et soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^{\lambda x}$. En revenant aux parties réelle et imaginaire, démontrer que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $g^{\mathrm{\prime }}(x)=\lambda e^{\lambda x}$.

3. On prend $\lambda =1+i$. Déterminer le module, la partie réelle et la partie imaginaire de $e^{(1+i)x}$. Pour quelles valeurs de $x$ le nombre $e^{(1+i)x}$ est-il réel ? Imaginaire pur ?

4. Soit $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x)=e^{i{x}^2}$. Calculer $k^{\mathrm{\prime }}$ en passant par les parties réelle et imaginaire, et vérifier que l'on retrouve bien la formule ${\left(e^{\phi }\right)}^{\mathrm{\prime }}={\phi }^{\mathrm{\prime }}{e}^{\phi }$.

5. Soit $a$ et $b$ deux réels. Retrouver, en passant par les complexes et sans dériver de produit, les dérivées des fonctions $x\mapsto e^{ax}\cos (bx)$ et $x\mapsto e^{ax}\sin (bx)$. Application : dériver $x\mapsto e^{2x}\cos (3x)$.

6. Toujours par les complexes, déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de $x\mapsto e^x\cos x$ et une primitive de $x\mapsto e^x\sin x$. Vérifier les deux résultats par dérivation, puis en déduire la valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^x\sin xdx}$.

On rappelle le théorème d'intégration par parties : si $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur un segment $[a,b]$, alors

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\mathrm{\prime }}(x)dx=[u(x)v(x){]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}(x)v(x)dx$$

Tout l'art consiste à choisir lequel des deux facteurs on dérive : on dérive celui qui se simplifie en étant dérivé (un polynôme, un logarithme, une fonction circulaire réciproque), et on intègre celui dont on connaît une primitive sans effort.

Calculer les intégrales suivantes. Pour chacune, on précisera les fonctions $u$ et $v$ choisies, on justifiera qu'elles sont de classe $C^1$ sur le segment d'intégration, et on motivera le choix du facteur dérivé.

On rappelle le théorème de changement de variable : si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et si $\phi :[\alpha ,\beta ]\to I$ est de classe $C^1$, alors

$${\int }_{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)dt$$

On l'utilise dans les deux sens. De la droite vers la gauche, on reconnaît la forme $f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)$ et on pose $u=\phi (t)$. De la gauche vers la droite, on impose $x=\phi (t)$ pour simplifier l'expression. Dans les deux cas, deux réflexes : changer les bornes (elles portent sur la nouvelle variable) et vérifier que $\phi$ est bien de classe $C^1$ sur le segment considéré.

Calculer les intégrales suivantes à l'aide du changement de variable indiqué.

a. ${\displaystyle {\int }_0^{\ln 3}\frac{dx}{1+e^x}}$, avec $u=e^x$.

b. ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{dx}{1+\sqrt{x}}}$, avec $x=t^2$, c'est-à-dire $t=\sqrt{x}$.

c. ${\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx}$, avec $x=\sin t$.

d. ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{dx}{{(1+x^2)}^2}}$, avec $x=\tan t$.

e. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\frac{\cos t}{(1+\sin t)(2+\sin t)}dt}$, avec $u=\sin t$.

L'objectif est de savoir primitiver ${\displaystyle \frac{1}{a{x}^2+bx+c}}$ puis ${\displaystyle \frac{\alpha x+\beta }{a{x}^2+bx+c}}$, en s'appuyant uniquement sur le signe du discriminant. Toutes les décompositions demandées s'obtiennent à la main, par identification des coefficients : on n'invoque aucun résultat général.

Pour chaque fonction, déterminer les intervalles sur lesquels elle est définie, puis y déterminer toutes ses primitives. Chaque résultat sera vérifié par dérivation.

f. En déduire la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{dx}{x^2+x+1}}$.

On considère des équations différentielles linéaires du premier ordre de la forme

$$y^{\mathrm{\prime }}+a(x)y=b(x)$$

où $a$ et $b$ sont continues sur un intervalle $I$. La méthode est toujours la même : préciser l'intervalle de résolution, résoudre l'équation homogène associée, chercher une solution particulière par variation de la constante, vérifier cette solution particulière en la réinjectant dans l'équation, puis décrire l'ensemble des solutions.

1. Résoudre $y^{\mathrm{\prime }}+y=x$ sur $\mathbb{R}$. On commencera par démontrer soigneusement la forme des solutions de l'équation homogène. Déterminer ensuite l'unique solution vérifiant $y(0)=1$.

2. Résoudre $y^{\mathrm{\prime }}-2xy=x$ sur $\mathbb{R}$, puis déterminer l'unique solution vérifiant $y(0)=0$.

3. Résoudre $y^{\mathrm{\prime }}+{\displaystyle \frac{y}{x}}=\ln x$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Résoudre $y^{\mathrm{\prime }}+y=\cos x$ sur $\mathbb{R}$ en passant par les complexes, c'est-à-dire en cherchant d'abord une solution de $z^{\mathrm{\prime }}+z=e^{ix}$. Retrouver le résultat par variation de la constante.

On s'intéresse aux équations $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+p{y}^{\mathrm{\prime }}+qy=f(x)$, où $p$ et $q$ sont des réels constants. On rappelle le résultat, admis, qui décrit les solutions de l'équation homogène $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+p{y}^{\mathrm{\prime }}+qy=0$ sur $\mathbb{R}$, à partir des racines de l'équation caractéristique $r^2+pr+q=0$ :

• deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ : les solutions sont exactement les fonctions $x\mapsto \lambda e^{r_{1}x}+\mu e^{r_{2}x}$ ;
• une racine double $r_0$ : les solutions sont exactement les fonctions $x\mapsto (\lambda x+\mu )e^{r_{0}x}$ ;
• deux racines complexes conjuguées $\alpha \pm i\beta$ avec $\beta \mathrm{\ne }0$ : les solutions réelles sont exactement les fonctions $x\mapsto e^{\alpha x}(\lambda \cos (\beta x)+\mu \sin (\beta x))$ ;

où, dans les trois cas, $\lambda$ et $\mu$ décrivent $\mathbb{R}$.

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ les trois équations homogènes suivantes, en identifiant à chaque fois le cas dans lequel on se trouve.

2. Résoudre $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-5y^{\mathrm{\prime }}+6y=6x+1$ sur $\mathbb{R}$.

3. Résoudre $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-5y^{\mathrm{\prime }}+6y=e^x$ sur $\mathbb{R}$.

4. Résoudre $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-5y^{\mathrm{\prime }}+6y=e^{2x}$ sur $\mathbb{R}$. On expliquera d'abord pourquoi aucune fonction de la forme $x\mapsto a{e}^{2x}$ ne peut convenir.

5. Résoudre $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-4y^{\mathrm{\prime }}+4y=e^{2x}$ sur $\mathbb{R}$. On expliquera pourquoi il faut cette fois chercher la solution particulière sous la forme $x\mapsto a{x}^2{e}^{2x}$.

6. Résoudre $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+3y^{\mathrm{\prime }}+2y=\cos x$ sur $\mathbb{R}$, en cherchant d'abord une solution complexe de $z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+3z^{\mathrm{\prime }}+2z=e^{ix}$.

7. Déterminer l'unique solution de $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+2y^{\mathrm{\prime }}+5y=0$ vérifiant $y(0)=1$ et $y^{\mathrm{\prime }}(0)=0$.

8. En déduire, sans nouveau calcul, une solution particulière de $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-5y^{\mathrm{\prime }}+6y=6x+1+e^x$.

Dans tout l'exercice, les fonctions inconnues sont définies et deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$ (sauf mention contraire).

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ le problème de Cauchy

$$(E_1):y^{\mathrm{\prime }}+2xy=x,y(0)=2.$$

2. Résoudre sur $\mathbb{R}$ le problème de Cauchy

$$(E_2):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-4y^{\mathrm{\prime }}+3y=2e^{2x},y(0)=0,y^{\mathrm{\prime }}(0)=0,$$

et mettre la solution sous forme factorisée.

3. Résoudre sur $\mathbb{R}$ le problème de Cauchy

$$(E_3):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-2y^{\mathrm{\prime }}+5y=0,y(0)=1,y^{\mathrm{\prime }}(0)=3.$$

4. Résoudre sur $\mathbb{R}$ le problème de Cauchy

$$(E_4):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4y=\cos x,y(0)=0,y^{\mathrm{\prime }}(0)=0.$$

5. Soient $a$ et $b$ deux réels et $(H):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=0$.

a. Montrer que si une solution $y$ de $(H)$ vérifie $y(x_0)=0$ et $y^{\mathrm{\prime }}(x_0)=0$ pour un certain réel $x_0$, alors $y$ est la fonction nulle sur $\mathbb{R}$.

b. En déduire que, pour toute fonction continue $f$ et tous réels $x_0,\alpha ,\beta$, le problème de Cauchy $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=f$, $y(x_0)=\alpha$, $y^{\mathrm{\prime }}(x_0)=\beta$ admet au plus une solution.

6. (Problème aux limites.) Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. On cherche les fonctions $y$ vérifiant

$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\lambda y=0\text{sur }\mathbb{R},y(0)=0\text{et}y(\pi )=0.$$

Discuter, selon la valeur de $\lambda$, l'existence de solutions non nulles, et les déterminer toutes lorsqu'il en existe. Commenter : que devient l'unicité obtenue à la question 5 ?