Nombres complexes

Le corps des nombres complexes

L'équation $x^2=-1$ n'a aucune solution réelle, puisque le carré d'un réel est toujours positif ou nul. On construit alors un ensemble de nombres plus vaste que $\mathbb{R}$, dans lequel cette équation possède une solution, et dans lequel on calcule avec les mêmes règles que dans $\mathbb{R}$. Cet ensemble est l'ensemble des nombres complexes.

L'ensemble $\mathbb{C}$ et l'écriture algébrique

La construction de $\mathbb{C}$ (à partir de couples de réels, par exemple) n'est pas au programme : $\mathbb{C}$ est donné, avec ses opérations, et $\mathbb{R}$ est identifié à une partie de $\mathbb{C}$, à savoir l'ensemble des complexes de la forme $x+i\times 0$. Tout ce que nous ferons repose uniquement sur les quatre points ci-dessus et sur les propriétés déjà connues de $\mathbb{R}$.

Démonstration. L'existence est le point 4 de la définition. Montrons l'unicité. Soient $(x,y)$ et $(x^{\prime },y^{\prime })$ deux couples de réels tels que $x+iy=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$. En regroupant, on obtient

$$x-x^{\prime }=i(y^{\prime }-y).$$

Supposons par l'absurde $y\ne y^{\prime }$. Alors $y^{\prime }-y\ne 0$, et on peut écrire

$$i=\frac{x-x^{\prime }}{y^{\prime }-y}.$$

Le membre de droite est un quotient de deux réels dont le dénominateur est non nul : c'est donc un réel. Ainsi $i$ serait un réel, et par conséquent $i^2⩾0$, puisque le carré d'un réel est positif ou nul. Or $i^2=-1<0$ : c'est une contradiction.

Donc $y=y^{\prime }$. L'égalité $x-x^{\prime }=i(y^{\prime }-y)$ devient alors $x-x^{\prime }=0$, c'est-à-dire $x=x^{\prime }$. Les deux couples coïncident, d'où l'unicité. $\square$

Deux pièges de vocabulaire et de notation, à éliminer tout de suite.

• La partie imaginaire de $z$ est un réel : $\mathrm{Im}(3-5i)=-5$, et non $-5i$.
• Il n'existe aucune relation d'ordre utilisable sur $\mathbb{C}$ : une inégalité du type $z⩽z^{\prime }$ entre deux complexes non réels n'a pas de sens et ne doit jamais être écrite. Les seules inégalités qui apparaîtront porteront sur des réels, en pratique sur des modules ou sur des parties réelles.

Démonstration. La formule de la somme et celle de l'opposé s'obtiennent en regroupant les termes, ce qui est licite d'après le point 2 de la définition. Pour le produit, on développe en utilisant la distributivité, puis $i^2=-1$ :

$$\begin{array}{rl}z{z}^{\prime }& =(x+iy)(x^{\prime }+i{y}^{\prime })\\ & =x{x}^{\prime }+ix{y}^{\prime }+iy{x}^{\prime }+i^{2}y{y}^{\prime }\\ & =(x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime })+i(x{y}^{\prime }+x^{\prime }y).\end{array}$$

Les réels $x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime }$ et $x{y}^{\prime }+x^{\prime }y$ étant bien des réels, l'unicité de l'écriture algébrique donne aussitôt les parties réelle et imaginaire annoncées. $\square$

Démonstration. Supposons $z\ne 0$. Si on avait $x^2+y^2=0$, alors, somme de deux réels positifs ou nuls étant nulle, on aurait $x^2=0$ et $y^2=0$, donc $x=y=0$, donc $z=0$ : exclu. Ainsi $x^2+y^2>0$ et le quotient ci-dessus a un sens.

Calculons alors, en utilisant la formule du produit :

$$(x+iy)(x-iy)=x^2-ixy+iyx-i^2{y}^2=x^2+y^2.$$

En divisant par le réel non nul $x^2+y^2$, on obtient

$$z\times \frac{x-iy}{x^2+y^2}=1,$$

ce qui prouve que $z$ est inversible, d'inverse $\frac{x-iy}{x^2+y^2}$. $\square$

On résume l'ensemble de ces propriétés en disant que $(\mathbb{C},+,\times )$ est un corps commutatif : on y additionne, soustrait, multiplie et divise (par un élément non nul) exactement comme dans $\mathbb{R}$. La théorie générale des corps n'est pas au programme de ce chapitre ; l'expression n'est ici qu'une abréviation commode. Une conséquence à retenir : dans $\mathbb{C}$ comme dans $\mathbb{R}$, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

En revanche, $\mathrm{Re}$ et $\mathrm{Im}$ sont additives mais ne sont pas multiplicatives : en général $\mathrm{Re}(z{z}^{\prime })\ne \mathrm{Re}(z)\mathrm{Re}(z^{\prime })$. Le contre-exemple minimal est $z=z^{\prime }=i$ :

$$\mathrm{Re}(i\times i)=\mathrm{Re}(-1)=-1,\mathrm{Re}(i)\mathrm{Re}(i)=0\times 0=0.$$

Il n'y a donc jamais lieu d'écrire $\mathrm{Re}(z{z}^{\prime })=\mathrm{Re}(z)\mathrm{Re}(z^{\prime })$ : pour obtenir la partie réelle d'un produit, on développe.

Conjugaison

Démonstration. Posons $z=x+iy$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$ avec $x,y,x^{\prime },y^{\prime }$ réels.

Point 1. On a $z+z^{\prime }=(x+x^{\prime })+i(y+y^{\prime })$, donc $\overline{z+z^{\prime }}=(x+x^{\prime })-i(y+y^{\prime })=(x-iy)+(x^{\prime }-i{y}^{\prime })=\overline{z}+\overline{z^{\prime }}$. Le cas de l'opposé est identique.

Point 2. D'une part $z{z}^{\prime }=(x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime })+i(x{y}^{\prime }+x^{\prime }y)$, donc

$$\overline{z{z}^{\prime }}=(x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime })-i(x{y}^{\prime }+x^{\prime }y).$$

D'autre part, en appliquant la formule du produit aux complexes $\overline{z}=x+i(-y)$ et $\overline{z^{\prime }}=x^{\prime }+i(-y^{\prime })$,

$$\overline{z}\overline{z^{\prime }}=(x{x}^{\prime }-(-y)(-y^{\prime }))+i(x(-y^{\prime })+x^{\prime }(-y))=(x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime })-i(x{y}^{\prime }+x^{\prime }y).$$

Les deux expressions coïncident, d'où l'égalité.

Point 3. $\overline{\overline{z}}=\overline{x-iy}=x+iy=z$.

Point 4. Supposons $z\ne 0$. Si on avait $\overline{z}=0$, alors en conjuguant et en utilisant le point 3, on obtiendrait $z=\overline{\overline{z}}=\overline{0}=0$, ce qui est exclu : donc $\overline{z}\ne 0$. Conjuguons maintenant l'égalité $z\times \frac{1}{z}=1$ en utilisant le point 2 :

$$\overline{z}\times \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\overline{1}=1,$$

ce qui montre que $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}$ est l'inverse de $\overline{z}$, c'est-à-dire $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}$. Le cas du quotient s'en déduit en écrivant $\frac{z^{\prime }}{z}=z^{\prime }\times \frac{1}{z}$ et en appliquant le point 2.

Point 5. Raisonnons par récurrence sur $n\in \mathbb{N}$. Pour $n=0$, $\overline{z^0}=\overline{1}=1=(\overline{z}{)}^0$. Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $\overline{z^n}=(\overline{z}{)}^n$. Alors, par le point 2,

$$\overline{z^{n+1}}=\overline{z^n\times z}=\overline{z^n}\times \overline{z}=(\overline{z}{)}^n\times \overline{z}=(\overline{z}{)}^{n+1}.$$

La propriété est donc vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$. Si $z\ne 0$ et $n=-m$ avec $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, le point 4 donne $\overline{z^{-m}}=\overline{\left(\frac{1}{z^m}\right)}=\frac{1}{\overline{z^m}}=\frac{1}{(\overline{z}{)}^m}=(\overline{z}{)}^{-m}$. $\square$

Démonstration. Écrivons $z=x+iy$ avec $x,y$ réels. Alors

$$z+\overline{z}=(x+iy)+(x-iy)=2x=2\mathrm{Re}(z),$$ $$z-\overline{z}=(x+iy)-(x-iy)=2iy=2i\mathrm{Im}(z).$$

Comme $2\ne 0$ et $2i\ne 0$, on peut diviser, ce qui donne les deux expressions de $\mathrm{Re}(z)$ et $\mathrm{Im}(z)$.

Montrons la première caractérisation. On a la chaîne d'équivalences

$$z\in \mathbb{R}⟺\mathrm{Im}(z)=0⟺2i\mathrm{Im}(z)=0⟺z-\overline{z}=0⟺z=\overline{z},$$

la deuxième équivalence venant de $2i\ne 0$. De même, pour la seconde,

$$z\in i\mathbb{R}⟺\mathrm{Re}(z)=0⟺2\mathrm{Re}(z)=0⟺z+\overline{z}=0⟺z=-\overline{z}.\square$$

Ces deux caractérisations sont l'outil de référence pour démontrer qu'un complexe est réel, ou imaginaire pur, sans le mettre sous forme algébrique. Elles seront utilisées constamment.

Méthode : mettre un quotient sous forme algébrique

Représentation dans le plan complexe

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.

L'application qui à un point associe son affixe est une bijection du plan sur $\mathbb{C}$ : c'est exactement l'unicité de l'écriture algébrique. Tout énoncé de géométrie plane peut donc se traduire en un énoncé sur les complexes, et réciproquement.

Démonstration. Notons $z_A=x_A+i{y}_A$ et $z_B=x_B+i{y}_B$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A,y_B-y_A)$, donc pour affixe $(x_B-x_A)+i(y_B-y_A)=z_B-z_A$. Les points 2 et 3 se démontrent de la même façon, en écrivant les coordonnées des vecteurs et du milieu, puis en regroupant parties réelles et parties imaginaires. $\square$

Deux lectures géométriques des opérations élémentaires méritent d'être retenues.

• Le point d'affixe $\overline{z}$ est le symétrique du point d'affixe $z$ par rapport à l'axe des abscisses : passer de $(x,y)$ à $(x,-y)$, c'est précisément cette symétrie.
• Le point d'affixe $-z$ est le symétrique du point d'affixe $z$ par rapport à l'origine $O$, puisqu'on passe de $(x,y)$ à $(-x,-y)$.

On retrouve ainsi géométriquement la caractérisation $z=\overline{z}⟺z\in \mathbb{R}$ : un point est confondu avec son symétrique par rapport à l'axe des abscisses si et seulement s'il appartient à cet axe.

Module et inégalité triangulaire

Définition et premières propriétés

Lorsque $z$ est réel, disons $z=x$, on a $|z|=\sqrt{x^2}=|x|$ : le module prolonge la valeur absolue, et la notation est cohérente.

Démonstration. Posons $z=x+iy$ avec $x,y$ réels.

Point 1. On a déjà calculé $z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2$, et par définition $|z{|}^2={\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}^2=x^2+y^2$. D'où l'égalité.

Point 2. Une racine carrée est positive ou nulle, donc $|z|⩾0$. De plus $|z|=0$ équivaut à $x^2+y^2=0$, donc, somme de deux réels positifs ou nuls, à $x^2=y^2=0$, c'est-à-dire à $x=y=0$, c'est-à-dire à $z=0$.

Point 3. Les complexes $\overline{z}=x+i(-y)$ et $-z=(-x)+i(-y)$ ont pour modules respectifs $\sqrt{x^2+(-y{)}^2}$ et $\sqrt{(-x{)}^2+(-y{)}^2}$, tous deux égaux à $\sqrt{x^2+y^2}=|z|$.

Point 4. Comme $y^2⩾0$, on a $x^2⩽x^2+y^2$, et la fonction racine carrée étant croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$, il vient $\sqrt{x^2}⩽\sqrt{x^2+y^2}$, c'est-à-dire $|x|⩽|z|$, soit $|\mathrm{Re}(z)|⩽|z|$. Le même raisonnement avec $x^2⩾0$ donne $|y|⩽|z|$.

Point 5. On a $\mathrm{Re}(z)=x⩽|x|⩽|z|$. Étudions le cas d'égalité. Si $x=|z|$, alors en élevant au carré (les deux membres sont positifs ou nuls, car $x=|z|⩾0$) on obtient $x^2=x^2+y^2$, donc $y^2=0$, donc $y=0$ : le complexe $z=x$ est réel, et il est positif ou nul puisque $x=|z|⩾0$. Réciproquement, si $z=x$ avec $x⩾0$, alors $|z|=|x|=x=\mathrm{Re}(z)$. $\square$

Le point 1 est l'outil de calcul central du chapitre : il transforme un module, objet peu maniable car il contient une racine carrée, en un produit, objet parfaitement algébrique. Presque toutes les démonstrations qui suivent commencent par « calculons $|z{|}^2=z\overline{z}$ ».

Démonstration. Point 1. Calculons le carré du membre de gauche, en utilisant $|w{|}^2=w\overline{w}$ puis la multiplicativité de la conjugaison et la commutativité du produit :

$$\begin{array}{rl}|z{z}^{\prime }{|}^2& =(z{z}^{\prime })\overline{(z{z}^{\prime })}\\ & =z{z}^{\prime }\overline{z}\overline{z^{\prime }}\\ & =(z\overline{z})(z^{\prime }\overline{z^{\prime }})\\ & =|z{|}^2|z^{\prime }{|}^2=(|z||z^{\prime }|{)}^2.\end{array}$$

Les réels $|z{z}^{\prime }|$ et $|z||z^{\prime }|$ sont positifs ou nuls et ont le même carré ; comme la fonction $t\mapsto t^2$ est strictement croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$, elle y est injective, donc $|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|$.

Point 2. Récurrence sur $n$. Pour $n=0$ : $|z^0|=|1|=1=|z{|}^0$. Si $|z^n|=|z{|}^n$ pour un certain $n\in \mathbb{N}$, alors, par le point 1, $|z^{n+1}|=|z^n\times z|=|z^n||z|=|z{|}^n|z|=|z{|}^{n+1}$. La propriété est donc vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Point 3. Supposons $z^{\prime }\ne 0$, donc $|z^{\prime }|\ne 0$. Le point 1 appliqué à $z^{\prime }$ et $\frac{1}{z^{\prime }}$ donne

$$|z^{\prime }|\times \left|\frac{1}{z^{\prime }}\right|=\left|z^{\prime }\times \frac{1}{z^{\prime }}\right|=|1|=1,$$

d'où $\left|\frac{1}{z^{\prime }}\right|=\frac{1}{|z^{\prime }|}$. Le cas du quotient s'obtient en écrivant $\frac{z}{z^{\prime }}=z\times \frac{1}{z^{\prime }}$ et en appliquant de nouveau le point 1. Enfin, pour $n=-m$ avec $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $z\ne 0$, on a $|z^{-m}|=\left|\frac{1}{z^m}\right|=\frac{1}{|z^m|}=\frac{1}{|z{|}^m}=|z{|}^{-m}$. $\square$

L'inégalité triangulaire

Démonstration. Commençons par développer le carré du module de la somme, en utilisant $|w{|}^2=w\overline{w}$ :

$$\begin{array}{rl}|z+z^{\prime }{|}^2& =(z+z^{\prime })\overline{(z+z^{\prime })}\\ & =(z+z^{\prime })(\overline{z}+\overline{z^{\prime }})\\ & =z\overline{z}+z\overline{z^{\prime }}+z^{\prime }\overline{z}+z^{\prime }\overline{z^{\prime }}\\ & =|z{|}^2+\left(z\overline{z^{\prime }}+\overline{z\overline{z^{\prime }}}\right)+|z^{\prime }{|}^2,\end{array}$$

où l'on a utilisé $z^{\prime }\overline{z}=\overline{\overline{z^{\prime }}z}=\overline{z\overline{z^{\prime }}}$. Or, pour tout complexe $w$, $w+\overline{w}=2\mathrm{Re}(w)$. En appliquant cela à $w=z\overline{z^{\prime }}$, on obtient l'identité fondamentale

$$|z+z^{\prime }{|}^2=|z{|}^2+2\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)+|z^{\prime }{|}^2.$$

Majorons maintenant le terme du milieu. D'après la propriété précédente, $\mathrm{Re}(w)⩽|w|$ pour tout complexe $w$, donc

$$\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)⩽\left|z\overline{z^{\prime }}\right|=|z|\left|\overline{z^{\prime }}\right|=|z||z^{\prime }|.$$

Par conséquent

$$|z+z^{\prime }{|}^2⩽|z{|}^2+2|z||z^{\prime }|+|z^{\prime }{|}^2=(|z|+|z^{\prime }|{)}^2.$$

Les réels $|z+z^{\prime }|$ et $|z|+|z^{\prime }|$ sont positifs ou nuls et leurs carrés sont rangés dans cet ordre ; la fonction $t\mapsto t^2$ étant strictement croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$, on en déduit $|z+z^{\prime }|⩽|z|+|z^{\prime }|$. $\square$

Démonstration. Reprenons la démonstration précédente. Les deux membres étant positifs ou nuls, l'égalité $|z+z^{\prime }|=|z|+|z^{\prime }|$ équivaut à l'égalité des carrés, c'est-à-dire, d'après l'identité fondamentale, à

$$2\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)=2|z||z^{\prime }|,\text{soit}\mathrm{Re}\left(z\overline{z^{\prime }}\right)=\left|z\overline{z^{\prime }}\right|.$$

Or, on a vu que pour un complexe $w$, l'égalité $\mathrm{Re}(w)=|w|$ a lieu si et seulement si $w\in {\mathbb{R}}_{+}$. L'égalité équivaut donc à $z\overline{z^{\prime }}\in {\mathbb{R}}_{+}$.

Traduisons cette condition. Si $z^{\prime }=0$ (ou si $z=0$), alors $z\overline{z^{\prime }}=0\in {\mathbb{R}}_{+}$ et l'égalité est bien réalisée. Supposons maintenant $z^{\prime }\ne 0$ et posons $z\overline{z^{\prime }}=\mu$ avec $\mu \in {\mathbb{R}}_{+}$. En multipliant par $z^{\prime }$, il vient $z\overline{z^{\prime }}{z}^{\prime }=\mu z^{\prime }$, c'est-à-dire $z|z^{\prime }{|}^2=\mu z^{\prime }$, d'où

$$z=\frac{\mu }{|z^{\prime }{|}^2}{z}^{\prime }=\lambda z^{\prime }\text{avec}\lambda =\frac{\mu }{|z^{\prime }{|}^2}⩾0.$$

Réciproquement, si $z=\lambda z^{\prime }$ avec $\lambda ⩾0$, alors

$$|z+z^{\prime }|=|(\lambda +1)z^{\prime }|=(\lambda +1)|z^{\prime }|=\lambda |z^{\prime }|+|z^{\prime }|=|z|+|z^{\prime }|,$$

puisque $|\lambda z^{\prime }|=|\lambda ||z^{\prime }|=\lambda |z^{\prime }|$ pour $\lambda ⩾0$. L'équivalence est établie. $\square$

Géométriquement : la longueur du chemin $A\to B\to C$ est toujours au moins égale à la longueur du chemin direct $A\to C$, avec égalité exactement lorsque $B$ appartient au segment $[AC]$. C'est le contenu du mot « triangulaire ».

Démonstration. Écrivons $z=(z-z^{\prime })+z^{\prime }$ et appliquons l'inégalité triangulaire à cette somme :

$$|z|⩽|z-z^{\prime }|+|z^{\prime }|,\text{donc}|z|-|z^{\prime }|⩽|z-z^{\prime }|.$$

En échangeant les rôles de $z$ et $z^{\prime }$, on obtient de même

$$|z^{\prime }|-|z|⩽|z^{\prime }-z|=|z-z^{\prime }|,$$

la dernière égalité venant de $|-w|=|w|$. Le réel $||z|-|z^{\prime }||$ est égal à $|z|-|z^{\prime }|$ ou à $|z^{\prime }|-|z|$ ; dans les deux cas il est majoré par $|z-z^{\prime }|$. D'où l'inégalité annoncée. $\square$

Démonstration. Par récurrence sur $n$. Pour $n=1$, l'inégalité s'écrit $|z_1|⩽|z_1|$ : elle est vraie. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que l'inégalité soit vraie pour toute famille de $n$ complexes. Soient $z_1,\dots ,z_{n+1}$ des complexes. En appliquant d'abord l'inégalité triangulaire à deux termes, puis l'hypothèse de récurrence,

$$\left|\sum _{k=1}^{n+1}{z}_k\right|=\left|\left(\sum _{k=1}^n{z}_k\right)+z_{n+1}\right|⩽\left|\sum _{k=1}^n{z}_k\right|+|z_{n+1}|⩽\sum _{k=1}^n|z_k|+|z_{n+1}|=\sum _{k=1}^{n+1}|z_k|.$$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$, et par récurrence pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. $\square$

Interprétation en termes de distances

Démonstration. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$, et la longueur $AB$ est la norme de ce vecteur. Or si un vecteur a pour affixe $x+iy$, ses coordonnées sont $(x,y)$ et sa norme vaut $\sqrt{x^2+y^2}$, c'est-à-dire le module de son affixe. D'où $AB=|z_B-z_A|$.

Les trois descriptions suivent immédiatement : $|z-\omega |=r$ signifie $\Omega M=r$, ce qui définit le cercle ; $|z-\omega |⩽r$ signifie $\Omega M⩽r$, ce qui définit le disque fermé ; et $|z-z_A|=|z-z_B|$ signifie $MA=MB$, ce qui caractérise la médiatrice de $[AB]$. $\square$

Nombres complexes de module 1, exponentielle imaginaire et trigonométrie

L'ensemble $\mathbb{U}$ et la notation $e^{i\theta }$

Comme $\left|e^{i\theta }\right|=\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=\sqrt{1}=1$, on a bien $e^{i\theta }\in \mathbb{U}$ pour tout réel $\theta$. Il faut noter que, pour l'instant, la notation $e^{i\theta }$ est une pure notation : elle ne suppose aucune théorie de l'exponentielle. Les propriétés démontrées ci-dessous justifieront a posteriori le choix de cette écriture.

Ce résultat est admis : il repose sur les propriétés des fonctions cosinus et sinus établies au chapitre de trigonométrie (tout point du cercle trigonométrique est repéré par un angle). Nous verrons plus bas que ce réel $\theta$ n'est pas unique, mais qu'il l'est modulo $2\pi$.

Démonstration. On a $|1|=1$ donc $1\in \mathbb{U}$. Si $z,z^{\prime }\in \mathbb{U}$, alors $|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|=1\times 1=1$, donc $z{z}^{\prime }\in \mathbb{U}$ : $\mathbb{U}$ est stable par produit. Si $z\in \mathbb{U}$, alors $|z|=1\ne 0$ donc $z\ne 0$, et $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}=1$, donc $\frac{1}{z}\in \mathbb{U}$ : $\mathbb{U}$ est stable par inverse. Comme la multiplication est associative et commutative sur $\mathbb{C}$ et que $1$ en est l'élément neutre, on résume ces trois faits en disant que $\mathbb{U}$ est un groupe multiplicatif. (La théorie des groupes n'est pas au programme de ce chapitre : cette phrase est un simple résumé.)

Pour la caractérisation, soit $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$. On a

$$z\in \mathbb{U}⟺|z|=1⟺|z{|}^2=1⟺z\overline{z}=1⟺\overline{z}=\frac{1}{z},$$

la deuxième équivalence étant licite car $|z|⩾0$, et la dernière car $z\ne 0$. $\square$

Démonstration. Point 1. Ce sont les valeurs usuelles : $\cos 0=1$ et $\sin 0=0$ donnent $e^{i0}=1$ ; $\cos \frac{\pi }{2}=0$ et $\sin \frac{\pi }{2}=1$ donnent $e^{i\pi /2}=i$ ; $\cos \pi =-1$ et $\sin \pi =0$ donnent $e^{i\pi }=-1$ ; enfin $\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=0$ et $\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$ donnent $e^{-i\pi /2}=-i$.

Point 3. Développons le produit, puis utilisons les formules d'addition de la trigonométrie :

$$\begin{array}{rl}{e}^{ia}{e}^{ib}& =(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)\\ & =(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+i(\cos a\sin b+\sin a\cos b)\\ & =\cos (a+b)+i\sin (a+b)\\ & =e^{i(a+b)}.\end{array}$$

Point 2. Par parité du cosinus et imparité du sinus,

$$\overline{e^{i\theta }}=\cos \theta -i\sin \theta =\cos (-\theta )+i\sin (-\theta )=e^{-i\theta }.$$

D'autre part, le point 3 avec $a=\theta$ et $b=-\theta$ donne $e^{i\theta }{e}^{-i\theta }=e^{i0}=1$, ce qui montre que $e^{-i\theta }$ est l'inverse de $e^{i\theta }$.

Point 4. Un complexe de module $1$ n'est pas nul, puisque $|0|=0\ne 1$. $\square$

C'est le point 3 qui justifie la notation exponentielle : $\theta \mapsto e^{i\theta }$ transforme les sommes en produits, exactement comme l'exponentielle réelle.

Démonstration. Comme $e^{ib}\ne 0$, on peut multiplier par $e^{-ib}$ :

$$e^{ia}=e^{ib}⟺e^{ia}{e}^{-ib}=1⟺e^{i(a-b)}=1.$$

Posons $t=a-b$. Par unicité de l'écriture algébrique,

$$e^{it}=1⟺\cos t+i\sin t=1+i\times 0⟺(\cos t=1\text{ et }\sin t=0).$$

Or l'égalité $\cos t=1$ entraîne à elle seule ${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t=0$, donc $\sin t=0$ : la condition se réduit à $\cos t=1$, c'est-à-dire $\cos t=\cos 0$, ce qui équivaut (résultat de trigonométrie) à $t\equiv 0[2\pi ]$ ou $t\equiv -0[2\pi ]$, donc à $t\equiv 0[2\pi ]$.

Finalement $e^{ia}=e^{ib}⟺a-b\equiv 0[2\pi ]⟺a\equiv b[2\pi ]$. $\square$

Cette propriété est la source des congruences modulo $2\pi$ dans tout le chapitre : deux angles donnent le même point du cercle si et seulement s'ils diffèrent d'un multiple entier de $2\pi$.

Formules de Moivre et d'Euler

Démonstration. Cas $n\in \mathbb{N}$ : récurrence. Notons $P(n)$ la proposition « ${\left(e^{i\theta }\right)}^n=e^{in\theta }$ ».

Initialisation. Pour $n=0$, ${\left(e^{i\theta }\right)}^0=1$ et $e^{i\times 0\times \theta }=e^{i0}=1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $P(n)$ soit vraie. Alors, en utilisant $e^{ia}{e}^{ib}=e^{i(a+b)}$,

$${\left(e^{i\theta }\right)}^{n+1}={\left(e^{i\theta }\right)}^n\times e^{i\theta }=e^{in\theta }\times e^{i\theta }=e^{i(n\theta +\theta )}=e^{i(n+1)\theta }.$$

Donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion partielle. Par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Cas $n$ entier négatif. Soit $n\in \mathbb{Z}$ avec $n<0$, et posons $m=-n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Comme $e^{i\theta }\ne 0$, on a

$${\left(e^{i\theta }\right)}^n=\frac{1}{{\left(e^{i\theta }\right)}^m}=\frac{1}{e^{im\theta }}=e^{-im\theta }=e^{in\theta },$$

où l'on a utilisé le cas positif puis $\frac{1}{e^{i\alpha }}=e^{-i\alpha }$.

La formule vaut donc pour tout $n\in \mathbb{Z}$. La seconde écriture s'obtient en remplaçant chaque exponentielle par sa définition. $\square$

Démonstration. Par définition de la notation exponentielle et par parité du cosinus et imparité du sinus,

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta ,e^{-i\theta }=\cos \theta -i\sin \theta .$$

En additionnant ces deux égalités, les termes en sinus se compensent : $e^{i\theta }+e^{-i\theta }=2\cos \theta$, d'où la première formule en divisant par $2$. En les soustrayant, les termes en cosinus se compensent : $e^{i\theta }-e^{-i\theta }=2i\sin \theta$, d'où la seconde en divisant par $2i$, qui est non nul. $\square$

Moivre et Euler sont les deux sens d'une même correspondance. Moivre part d'un angle multiple $n\theta$ et le ramène à des puissances : il sert à exprimer $\cos (n\theta )$ en fonction de $\cos \theta$. Euler part d'une puissance de $\cos \theta$ ou $\sin \theta$ et la ramène à des angles multiples : il sert à linéariser. Choisir la bonne formule, c'est d'abord regarder dans quel sens on veut aller.

Linéarisation

Exprimer $\cos (nt)$ en polynôme de $\cos t$

La technique de l'arc moitié

C'est le geste le plus rentable du chapitre. Une somme comme $1+e^{i\theta }$ n'est ni un module ni une exponentielle : on ne sait rien en faire directement. En factorisant par l'exponentielle de l'angle moitié, on la transforme en produit d'un réel et d'une exponentielle, forme sur laquelle module et argument se lisent.

Démonstration. Factorisons $1+e^{i\theta }$ par $e^{i\theta /2}$, ce qui est licite puisque $e^{i\theta /2}\ne 0$ et $e^{i\theta /2}{e}^{i\theta /2}=e^{i\theta }$ :

$$1+e^{i\theta }=e^{i\theta /2}\left(e^{-i\theta /2}+e^{i\theta /2}\right)=e^{i\theta /2}\times 2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right),$$

la dernière égalité étant la formule d'Euler appliquée à l'angle $\frac{\theta }{2}$. De même,

$$1-e^{i\theta }=e^{i\theta /2}\left(e^{-i\theta /2}-e^{i\theta /2}\right)=e^{i\theta /2}\times \left(-2i\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right).$$

Pour les deux formules générales, on factorise par $e^{i(a+b)/2}$ :

$$e^{ia}+e^{ib}=e^{i(a+b)/2}\left(e^{i(a-b)/2}+e^{-i(a-b)/2}\right)=2\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)e^{i(a+b)/2},$$ $$e^{ia}-e^{ib}=e^{i(a+b)/2}\left(e^{i(a-b)/2}-e^{-i(a-b)/2}\right)=2i\sin \left(\frac{a-b}{2}\right)e^{i(a+b)/2},$$

en utilisant à chaque fois les formules d'Euler pour l'angle $\frac{a-b}{2}$. Les deux premières formules sont d'ailleurs les cas particuliers $a=\theta$, $b=0$ et $a=0$, $b=\theta$. $\square$

Avertissement sur le signe. L'écriture $1+e^{i\theta }=2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)e^{i\theta /2}$ n'est pas une forme trigonométrique en général, car le facteur $2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$ n'est pas nécessairement positif. Pour en déduire le module et un argument, il faut discuter :

• si $\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)>0$, alors $\left|1+e^{i\theta }\right|=2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$ et $\frac{\theta }{2}$ est un argument de $1+e^{i\theta }$ ;
• si $\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)<0$, alors $\left|1+e^{i\theta }\right|=-2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$, et il faut ajouter $\pi$ à l'argument, en écrivant $-1=e^{i\pi }$ ;
• si $\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)=0$, alors $1+e^{i\theta }=0$ et il n'y a pas d'argument.

En pratique, l'énoncé restreint souvent $\theta$ à l'intervalle $\left]-\pi ,\pi \right[$, sur lequel $\frac{\theta }{2}\in \left]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[$ et donc $\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)>0$ : le premier cas s'applique, et la lecture est immédiate. Ne jamais écrire « donc le module vaut $2\cos \frac{\theta }{2}$ » sans avoir vérifié ce signe.

Sommes trigonométriques

Le schéma est à retenir tel quel : somme géométrique, puis arc moitié en haut et en bas, puis parties réelle et imaginaire. La discussion du cas $\theta \equiv 0[2\pi ]$ n'est pas une précaution de style : sans elle, on divise par $1-e^{i\theta }=0$.

Forme trigonométrique et arguments

Définition, existence et unicité

Le complexe $0$ n'a pas d'argument : dans l'écriture $r{e}^{i\theta }$ on impose $r>0$, et de toute façon aucun angle ne peut être associé au point $O$. Toute rédaction qui parle de $\arg (z)$ doit donc commencer par s'assurer que $z\ne 0$.

Démonstration. Existence. Soit $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$. Alors $|z|>0$, et le complexe $\frac{z}{|z|}$ a pour module $\frac{|z|}{|z|}=1$ : il appartient à $\mathbb{U}$. D'après la paramétrisation du cercle trigonométrique, il existe $\theta \in \mathbb{R}$ tel que $\frac{z}{|z|}=e^{i\theta }$, d'où

$$z=|z|e^{i\theta },$$

qui est bien une forme trigonométrique puisque $|z|>0$.

Unicité. Supposons $z=r{e}^{i\theta }=r^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}$ avec $r,r^{\prime }>0$. En prenant les modules et en utilisant $\left|e^{i\alpha }\right|=1$ ainsi que $r>0$,

$$|z|=\left|r{e}^{i\theta }\right|=|r|\times \left|e^{i\theta }\right|=r,$$

et de même $|z|=r^{\prime }$ : donc $r=r^{\prime }=|z|$. En divisant l'égalité $r{e}^{i\theta }=r{e}^{i{\theta }^{\prime }}$ par le réel $r\ne 0$, il reste $e^{i\theta }=e^{i{\theta }^{\prime }}$, ce qui équivaut à $\theta \equiv {\theta }^{\prime }[2\pi ]$ d'après l'étude de l'égalité de deux exponentielles imaginaires. $\square$

Démonstration. Le sens direct est l'unicité démontrée ci-dessus. Réciproquement, si $r=r^{\prime }$ et $\theta ={\theta }^{\prime }+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$, alors $e^{i\theta }=e^{i{\theta }^{\prime }}$ (toujours par la même propriété), donc $r{e}^{i\theta }=r^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}$. $\square$

C'est l'outil de résolution des équations : pour identifier deux complexes écrits sous forme trigonométrique, on identifie les modules et les arguments modulo $2\pi$. Oublier le « modulo $2\pi$ » revient à perdre des solutions.

Propriétés des arguments

Démonstration. Écrivons $z=r{e}^{i\theta }$ et $z^{\prime }=r^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}$ avec $r,r^{\prime }>0$. Alors, par les règles de calcul sur les exponentielles imaginaires,

$$z{z}^{\prime }=r{r}^{\prime }{e}^{i\theta }{e}^{i{\theta }^{\prime }}=(r{r}^{\prime })e^{i(\theta +{\theta }^{\prime })}.$$

Comme $r{r}^{\prime }>0$, cette écriture est une forme trigonométrique de $z{z}^{\prime }$ : par unicité, $|z{z}^{\prime }|=r{r}^{\prime }$ et $\theta +{\theta }^{\prime }$ est un argument de $z{z}^{\prime }$, ce qui est l'énoncé.

De même $\frac{1}{z}=\frac{1}{r}{e}^{-i\theta }$ avec $\frac{1}{r}>0$, d'où $\arg \left(\frac{1}{z}\right)\equiv -\theta [2\pi ]$ ; le cas du quotient s'obtient en combinant les deux précédents. Ensuite $\overline{z}=\overline{r{e}^{i\theta }}=r\overline{e^{i\theta }}=r{e}^{-i\theta }$, d'où $\arg (\overline{z})\equiv -\theta [2\pi ]$.

Pour la puissance, la formule de Moivre donne $z^n=r^n{\left(e^{i\theta }\right)}^n=r^n{e}^{in\theta }$, et $r^n>0$ : donc $\arg (z^n)\equiv n\theta [2\pi ]$. Enfin $-z=e^{i\pi }z$, donc $\arg (-z)\equiv \pi +\arg (z)[2\pi ]$. $\square$

Démonstration. Écrivons $z=r{e}^{i\theta }$ avec $r=|z|>0$.

Si $\arg (z)\equiv 0[2\pi ]$, alors $e^{i\theta }=e^{i0}=1$ donc $z=r>0$. Réciproquement, si $z$ est un réel strictement positif, alors $z=z\times e^{i0}$ avec $z>0$ est une forme trigonométrique de $z$, donc par unicité $\arg (z)\equiv 0[2\pi ]$.

Si $\arg (z)\equiv \pi [2\pi ]$, alors $e^{i\theta }=e^{i\pi }=-1$ et $z=-r<0$ ; réciproquement, si $z<0$, alors $z=(-z)e^{i\pi }$ avec $-z>0$, donc $\arg (z)\equiv \pi [2\pi ]$. Un réel non nul étant strictement positif ou strictement négatif, on obtient $z\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ si et seulement si $\arg (z)\equiv 0[2\pi ]$ ou $\arg (z)\equiv \pi [2\pi ]$, ce qui se résume en $\arg (z)\equiv 0[\pi ]$.

Enfin $z$ est imaginaire pur non nul si et seulement si $\frac{z}{i}$ est réel non nul, c'est-à-dire, d'après ce qui précède et $\arg (i)\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]$, si et seulement si $\arg (z)-\frac{\pi }{2}\equiv 0[\pi ]$, soit $\arg (z)\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$. $\square$

Méthode : passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Méthode : transformer $a\cos t+b\sin t$

Deuxième voie, par les complexes. On peut aussi remarquer que, pour tous réels $a$, $b$, $t$,

$$\mathrm{Re}\left((a-ib)e^{it}\right)=\mathrm{Re}((a-ib)(\cos t+i\sin t))=a\cos t+b\sin t.$$

En écrivant $a-ib$ sous forme trigonométrique, $a-ib=A{e}^{-i\phi }$ avec $A=|a-ib|=\sqrt{a^2+b^2}$, il vient

$$a\cos t+b\sin t=\mathrm{Re}\left(A{e}^{i(t-\phi )}\right)=A\cos (t-\phi ),$$

ce qui redonne la même conclusion. Cette seconde voie est souvent plus rapide dès que $a$ et $b$ ne sont pas des valeurs remarquables.

La transformation $a\cos t+b\sin t=A\cos (t-\phi )$ est l'outil standard pour deux questions qui reviennent sans cesse : résoudre une équation où cosinus et sinus apparaissent simultanément (impossible tant qu'ils sont séparés, immédiat une fois regroupés), et encadrer une telle expression, puisque le facteur $A$ donne aussitôt le maximum $A$ et le minimum $-A$.

L'exponentielle complexe

Nous savons donner un sens à $e^x$ pour $x$ réel, et un sens à $e^{i\theta }$ pour $\theta$ réel. Il reste à réunir les deux en une seule notation, valable pour tout nombre complexe. La construction est la plus économique possible : on découpe $z$ en partie réelle et partie imaginaire, et on définit $e^z$ de sorte que la relation fonctionnelle $e^{u+v}=e^u{e}^v$ reste vraie. Tout le contenu de cette section tient dans cette exigence.

Deux vérifications de cohérence s'imposent immédiatement, car la notation $e^z$ entre en concurrence avec deux notations déjà utilisées.

• Si $z$ est réel, $z=x$ et $\mathrm{Im}(z)=0$, donc $\exp (z)=e^x{e}^{i\times 0}=e^x$ : on retrouve exactement l'exponentielle réelle.
• Si $z$ est imaginaire pur, $z=iy$ et $\mathrm{Re}(z)=0$, donc $\exp (z)=e^0{e}^{iy}=e^{iy}$ : on retrouve exactement l'exponentielle imaginaire de la section 3.

La notation $e^z$ ne crée donc aucune ambiguïté : les trois définitions coïncident sur leur domaine commun. Deux calculs immédiats pour se familiariser :

$$\exp (2-i\pi )=e^2{e}^{-i\pi }=-e^2,\exp \left(\ln 3+\frac{i\pi }{2}\right)=e^{\ln 3}{e}^{i\pi /2}=3i.$$

Dans chacun de ces calculs, on sépare d'abord la partie réelle (qui donne un facteur réel strictement positif) de la partie imaginaire (qui donne un complexe de module $1$). C'est le geste à retenir.

Démonstration. Posons $z=x+iy$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$, avec $x$, $y$, $x^{\prime }$, $y^{\prime }$ réels.

Point 1. Par définition, puis en regroupant les facteurs réels d'un côté et les facteurs de module $1$ de l'autre,

$$\begin{array}{rl}\exp (z)\exp (z^{\prime })& =\left(e^x{e}^{iy}\right)\left(e^{x^{\prime }}{e}^{i{y}^{\prime }}\right)\\ & =\left(e^x{e}^{x^{\prime }}\right)\left(e^{iy}{e}^{i{y}^{\prime }}\right)\\ & =e^{x+x^{\prime }}{e}^{i(y+y^{\prime })},\end{array}$$

où l'on a utilisé la relation $e^a{e}^b=e^{a+b}$ dans $\mathbb{R}$ et la relation $e^{i\alpha }{e}^{i\beta }=e^{i(\alpha +\beta )}$ établie à la section 3. Or $z+z^{\prime }=(x+x^{\prime })+i(y+y^{\prime })$, donc $\mathrm{Re}(z+z^{\prime })=x+x^{\prime }$ et $\mathrm{Im}(z+z^{\prime })=y+y^{\prime }$, ce qui montre que le dernier membre est exactement $\exp (z+z^{\prime })$.

Point 2. Le point 1 appliqué à $z^{\prime }=-z$ donne $\exp (z)\exp (-z)=\exp (0)=e^0{e}^{i\times 0}=1$. Un produit valant $1$, aucun des deux facteurs n'est nul : $\exp (z)\ne 0$, et $\exp (-z)$ est bien l'inverse de $\exp (z)$.

Point 3. Le module d'un produit est le produit des modules, donc $|\exp (z)|=|e^x||e^{iy}|=e^x\times 1=e^x$, car $e^x$ est un réel strictement positif et $e^{iy}$ est de module $1$. L'écriture $\exp (z)=e^x{e}^{iy}$ avec $e^x>0$ est donc une forme trigonométrique de $\exp (z)$ : par unicité du module et de l'argument modulo $2\pi$ dans une telle écriture (section 4), $\arg (\exp (z))\equiv y\equiv \mathrm{Im}(z)[2\pi ]$.

Point 4. Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués, $e^x$ est réel et $\overline{e^{iy}}=e^{-iy}$, donc

$$\overline{\exp (z)}=\overline{e^x}\cdot \overline{e^{iy}}=e^x{e}^{-iy}=\exp (x-iy)=\exp \left(\overline{z}\right).$$

Point 5. Soit $k\in \mathbb{Z}$. D'après le point 1, $\exp (z+2ik\pi )=\exp (z)\exp (2ik\pi )$, et $\exp (2ik\pi )=e^0{e}^{2ik\pi }=\cos (2k\pi )+i\sin (2k\pi )=1$. D'où le résultat. $\square$

Le point 5 mérite qu'on s'y arrête : contrairement à l'exponentielle réelle, qui est injective, l'exponentielle complexe prend la même valeur en une infinité de points. La propriété suivante dit exactement quand deux complexes ont la même exponentielle.

Démonstration. Traitons d'abord le cas particulier annoncé en second, qui contient toute la difficulté. Soit $Z=X+iY$ un complexe, avec $X$ et $Y$ réels.

Sens direct. Supposons $\exp (Z)=1$. En passant aux modules et en utilisant le point 3 de la propriété précédente, $e^X=|1|=1=e^0$. L'exponentielle réelle étant injective sur $\mathbb{R}$ (elle est strictement croissante), il vient $X=0$. L'égalité $\exp (Z)=1$ se réduit alors à $e^{iY}=1$, c'est-à-dire $\cos Y+i\sin Y=1$, soit, en identifiant parties réelle et imaginaire, $\cos Y=1$ et $\sin Y=0$. Ce système équivaut à $Y\equiv 0[2\pi ]$, donc il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $Y=2k\pi$. Finalement $Z=0+i\times 2k\pi =2ik\pi$, donc $Z\in 2i\pi \mathbb{Z}$.

Sens réciproque. Supposons $Z=2ik\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Alors $\mathrm{Re}(Z)=0$ et $\mathrm{Im}(Z)=2k\pi$, donc $\exp (Z)=e^0(\cos (2k\pi )+i\sin (2k\pi ))=1$.

Cas général. Comme $\exp (z^{\prime })\ne 0$, on peut diviser par $\exp (z^{\prime })$ :

$$\exp (z)=\exp (z^{\prime })⟺\frac{\exp (z)}{\exp (z^{\prime })}=1⟺\exp (z)\exp (-z^{\prime })=1⟺\exp (z-z^{\prime })=1,$$

la dernière équivalence venant du point 1 de la propriété précédente. D'après le cas particulier appliqué à $Z=z-z^{\prime }$, ceci équivaut à $z-z^{\prime }\in 2i\pi \mathbb{Z}$. $\square$

Nous disposons maintenant de tout ce qu'il faut pour résoudre l'équation $\exp (z)=a$, qui est l'exercice type de cette section.

L'étape 3 est le coeur de la méthode : on ne compare pas deux formes algébriques, on compare deux formes trigonométriques, ce qui donne une égalité de réels strictement positifs d'un côté et une congruence modulo $2\pi$ de l'autre. Toute autre voie (développer $\cos y$ et $\sin y$) rallonge inutilement.

Cette méthode prouve au passage un fait important : tout complexe non nul est l'exponentielle d'un complexe, et il l'est d'une infinité de façons, les antécédents se déduisant les uns des autres par ajout d'un multiple entier de $2i\pi$.

Remarque. L'application $\exp$ n'est donc pas injective sur $\mathbb{C}$, et il n'existe pas de « logarithme complexe » défini de façon unique sur ${\mathbb{C}}^{\ast }$ : l'écriture $\ln z$ pour $z$ complexe non réel n'a aucun sens dans ce cours, et la question dépasse le programme.

Racines $n$-ièmes

L'équation $z^n=1$ n'a que deux solutions réelles au plus ($1$, et $-1$ si $n$ est pair). Dans $\mathbb{C}$, la situation est bien plus riche et parfaitement régulière : il y a toujours exactement $n$ solutions, réparties de façon uniforme sur le cercle unité. C'est l'un des plus beaux résultats élémentaires du chapitre, et l'outil de nombreux calculs.

Pour de très petites valeurs de $n$, on sait déjà répondre : ${\mathbb{U}}_1=\{1\}$, et ${\mathbb{U}}_2=\{-1,1\}$ puisque $z^2=1$ équivaut à $(z-1)(z+1)=0$. Le cas général demande de passer par la forme exponentielle.

Démonstration. Nous procédons par analyse-synthèse, puis nous comptons les éléments obtenus.

Analyse. Soit $z\in {\mathbb{U}}_n$, c'est-à-dire $z^n=1$. En passant aux modules, $|z{|}^n=|z^n|=1$. Or $|z|$ est un réel positif, et la fonction $t\mapsto t^n$ est strictement croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$ : si $|z|>1$ alors $|z{|}^n>1$, et si $|z|<1$ alors $|z{|}^n<1$. Le seul cas restant est $|z|=1$, donc $z\in \mathbb{U}$. On peut alors écrire $z=e^{i\theta }$ avec $\theta \in \mathbb{R}$ (section 4). Précisons le choix de $\theta$ : les arguments de $z$ forment une classe modulo $2\pi$, c'est-à-dire l'ensemble $\{{\theta }_0+2k\pi ;k\in \mathbb{Z}\}$ pour l'un quelconque d'entre eux ${\theta }_0$ ; comme les intervalles $[2k\pi ,2(k+1)\pi [$, pour $k\in \mathbb{Z}$, recouvrent $\mathbb{R}$ sans se chevaucher, il existe un et un seul de ces arguments dans $[0,2\pi [$. C'est celui que l'on note $\theta$ dans la suite, de sorte que $z=e^{i\theta }$ avec un unique $\theta \in [0,2\pi [$. D'après la formule de Moivre, $z^n=e^{in\theta }$, donc

$$z^n=1⟺e^{in\theta }=1⟺n\theta \equiv 0[2\pi ]⟺\exists k\in \mathbb{Z},n\theta =2k\pi ⟺\exists k\in \mathbb{Z},\theta =\frac{2k\pi }{n}.$$

La contrainte $0⩽\theta <2\pi$ se traduit alors par $0⩽\frac{2k\pi }{n}<2\pi$, soit, en multipliant par le réel strictement positif $\frac{n}{2\pi }$, par $0⩽k<n$. Comme $k$ est entier, cela signifie $0⩽k⩽n-1$. Donc $z$ est l'un des ${\omega }_k$ avec $0⩽k⩽n-1$.

Synthèse. Réciproquement, soit $k\in \mathbb{Z}$. Par la formule de Moivre,

$${\left(e^{2ik\pi /n}\right)}^n=e^{2ik\pi }=\cos (2k\pi )+i\sin (2k\pi )=1,$$

donc ${\omega }_k\in {\mathbb{U}}_n$. En particulier ${\omega }_0,\dots ,{\omega }_{n-1}$ appartiennent tous à ${\mathbb{U}}_n$.

Les $n$ nombres sont deux à deux distincts. Soient $k$ et $l$ deux entiers tels que $0⩽k<l⩽n-1$. Comme ${\omega }_k\ne 0$, on peut former le quotient

$$\frac{{\omega }_l}{{\omega }_k}=e^{2i(l-k)\pi /n}.$$

Or $1⩽l-k⩽n-1$, donc $0<\frac{2(l-k)\pi }{n}<2\pi$, et par conséquent $e^{2i(l-k)\pi /n}\ne 1$, puisque $e^{i\alpha }=1$ équivaut à $\alpha \equiv 0[2\pi ]$. Ainsi ${\omega }_l\ne {\omega }_k$.

L'analyse et la synthèse donnent l'égalité des deux ensembles, et le dernier point montre que la liste ${\omega }_0,\dots ,{\omega }_{n-1}$ compte exactement $n$ termes distincts. $\square$

Démonstration. Le point 1 résulte de $1^n=1$ et de l'analyse faite ci-dessus, qui montre que tout élément de ${\mathbb{U}}_n$ est de module $1$. Pour le point 2, si $z^n=1$ et $z^{\prime n}=1$, alors $(z{z}^{\prime }{)}^n=z^n{z}^{\prime n}=1\times 1=1$. Pour le point 3, $z^n=1$ interdit $z=0$, et ${\left(\frac{1}{z}\right)}^n=\frac{1}{z^n}=1$ ; enfin $|z|=1$ donne $\frac{1}{z}=\overline{z}$. $\square$

Démonstration. Posons $\omega =e^{2i\pi /n}$. D'après la formule de Moivre, ${\omega }^k=e^{2ik\pi /n}={\omega }_k$ pour tout entier $k$, de sorte que la somme cherchée est la somme géométrique ${\sum }_{k=0}^{n-1}{\omega }^k$.

Comme $n⩾2$, on a $0<\frac{2\pi }{n}⩽\pi <2\pi$, donc $\frac{2\pi }{n}\not\equiv 0[2\pi ]$ et par conséquent $\omega \ne 1$. La formule de la somme géométrique s'applique :

$$\sum _{k=0}^{n-1}{\omega }^k=\frac{{\omega }^n-1}{\omega -1}=\frac{1-1}{\omega -1}=0,$$

puisque ${\omega }^n=1$. $\square$

Interprétation géométrique. Les images $M_0,M_1,\dots ,M_{n-1}$ des racines $n$-ièmes de l'unité sont toutes situées sur le cercle unité, et leurs arguments $\frac{2k\pi }{n}$ forment une progression arithmétique de raison $\frac{2\pi }{n}$. Deux sommets consécutifs sont à distance constante, car

$$|{\omega }_{k+1}-{\omega }_k|=|{\omega }_k||\omega -1|=|\omega -1|$$

ne dépend pas de $k$. Les points $M_0,\dots ,M_{n-1}$ sont donc les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, l'un des sommets étant le point d'affixe $1$. La propriété précédente dit alors que le centre de gravité de ce polygone est l'origine, ce qui est conforme à l'intuition de symétrie.

Démonstration. L'égalité $j^3=1$ dit simplement que $j\in {\mathbb{U}}_3$, ce qui résulte de la formule de Moivre : $j^3=e^{2i\pi }=1$. L'égalité $1+j+j^2=0$ est la somme des trois racines cubiques de l'unité, nulle d'après la propriété précédente appliquée à $n=3$. Enfin $|j|=1$, donc $\overline{j}=\frac{1}{j}$, et en multipliant $j^3=1$ par $\frac{1}{j}$ on obtient $j^2=\frac{1}{j}$. $\square$

Ces relations sont à connaître par coeur : elles servent en permanence, notamment pour remplacer $j^2$ par $-1-j$ afin de faire disparaître les puissances de $j$ d'un calcul.

Passons maintenant des racines de l'unité aux racines d'un complexe quelconque. Le résultat est le même à un facteur près, et c'est précisément ce facteur qui organise le calcul.

Démonstration. Montrons d'abord que $z_0=r^{1/n}{e}^{i\theta /n}$ est solution. Par la formule de Moivre,

$$z_0^n={\left(r^{1/n}\right)}^n{\left(e^{i\theta /n}\right)}^n=r{e}^{i\theta }=a.$$

En particulier $z_0\ne 0$, puisque $|z_0|=r^{1/n}>0$.

Soit maintenant $z\in \mathbb{C}$ quelconque. Comme $z_0\ne 0$, on peut écrire

$$z^n=a⟺z^n=z_0^n⟺\frac{z^n}{z_0^n}=1⟺{\left(\frac{z}{z_0}\right)}^n=1⟺\frac{z}{z_0}\in {\mathbb{U}}_n⟺\exists u\in {\mathbb{U}}_n,z=z_{0}u.$$

L'ensemble des solutions est donc exactement $\{z_{0}u;u\in {\mathbb{U}}_n\}$.

Il reste à compter et à expliciter. L'application $u\mapsto z_{0}u$ est injective : si $z_{0}u=z_0{u}^{\prime }$, alors $z_0(u-u^{\prime })=0$, et comme $z_0\ne 0$ il vient $u=u^{\prime }$. Les $n$ éléments distincts de ${\mathbb{U}}_n$ fournissent donc $n$ solutions distinctes, et il n'y en a pas d'autres. Enfin, pour $0⩽k⩽n-1$,

$$z_0{\omega }_k=r^{1/n}{e}^{i\theta /n}{e}^{2ik\pi /n}=r^{1/n}{e}^{i\left(\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n}\right)}=r^{1/n}{e}^{i\left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)}=z_k.\square$$

Géométriquement, les images des $n$ solutions se déduisent de celles des racines $n$-ièmes de l'unité par la multiplication par $z_0$ : elles sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $r^{1/n}$.

Équations du second degré dans $\mathbb{C}$

Dans $\mathbb{R}$, une équation du second degré peut n'avoir aucune solution. Dans $\mathbb{C}$, ce n'est jamais le cas : la raison profonde est que tout complexe non nul possède deux racines carrées, et c'est par là qu'il faut commencer.

Démonstration. Supposons $Z\ne 0$ et posons $\delta =\sqrt{r}{e}^{i\theta /2}$, où $\sqrt{r}$ est la racine carrée du réel strictement positif $r$. Par la formule de Moivre,

$${\delta }^2={\left(\sqrt{r}\right)}^2{\left(e^{i\theta /2}\right)}^2=r{e}^{i\theta }=Z,$$

et $(-\delta {)}^2={\delta }^2=Z$ : $\delta$ et $-\delta$ sont deux racines carrées de $Z$. Elles sont distinctes, car $\delta \ne 0$ (son module vaut $\sqrt{r}>0$) et $\delta =-\delta$ entraînerait $2\delta =0$, donc $\delta =0$.

Réciproquement, soit $z$ tel que $z^2=Z$. Alors $z^2-{\delta }^2=0$, c'est-à-dire $(z-\delta )(z+\delta )=0$. Comme $\mathbb{C}$ est un corps, un produit de deux complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, donc $z=\delta$ ou $z=-\delta$. Il y a donc exactement deux racines carrées.

Enfin, si $Z=0$, l'égalité $z^2=0$ entraîne $z=0$ par le même argument, et $0$ convient. $\square$

Attention à la notation. On ne dit jamais « la » racine carrée d'un complexe, et on n'écrit jamais $\sqrt{Z}$ pour $Z$ complexe non réel positif : le symbole x​ reste réservé aux réels positifs, pour lesquels il désigne l'unique racine carrée positive. Les deux racines carrées d'un complexe jouent des rôles parfaitement symétriques et aucune convention raisonnable ne permet d'en privilégier une. Écrire $\sqrt{-1}=i$ conduit d'ailleurs à des absurdités du type

$$1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)\times (-1)}=\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}=i^2=-1.$$

On dira donc : « soit $\delta$ une racine carrée de $Z$ ».

La forme trigonométrique donne les racines carrées, mais elle suppose de connaître un argument de $Z$, ce qui n'est pas toujours commode (par exemple pour $Z=3+4i$). D'où la méthode algébrique, qui n'utilise que la forme algébrique.

D'où vient la troisième équation, et pourquoi la garder ? Elle s'obtient en prenant le module dans $z^2=Z$ : $|z{|}^2=|Z|$, soit $x^2+y^2=|Z|$. Elle est donc une conséquence des deux premières, et non une information nouvelle. Son intérêt est purement calculatoire : les équations 1 et 3 forment un système linéaire en $x^2$ et $y^2$, qu'on résout de tête, alors que les équations 1 et 2 seules conduisent à une équation bicarrée.

Pourquoi les couples retenus conviennent. Avec $x^2=\frac{|Z|+a}{2}$ et $y^2=\frac{|Z|-a}{2}$, on obtient

$$4x^2{y}^2=(|Z|+a)(|Z|-a)=|Z{|}^2-a^2=b^2,$$

donc $|2xy|=|b|$ : les valeurs absolues de $x$ et $y$ sont automatiquement les bonnes, et il ne reste qu'à ajuster le signe, ce que fait l'équation $2xy=b$.

Démonstration. Elle repose sur la mise sous forme canonique, valable dans $\mathbb{C}$ comme dans $\mathbb{R}$ puisque seuls les axiomes de corps interviennent. Pour tout $z\in \mathbb{C}$, comme $a\ne 0$ :

$$\begin{array}{rl}a{z}^2+bz+c& =a\left(z^2+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a}\right)\\ & =a\left({\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right)\\ & =a\left({\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\\ & =a\left({\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{\delta }{2a}\right)}^2\right),\end{array}$$

la dernière égalité venant de ${\delta }^2=\Delta$. Comme $a\ne 0$, on peut diviser par $a$, puis factoriser la différence de deux carrés :

$$(E)⟺{\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{\delta }{2a}\right)}^2=0⟺\left(z+\frac{b-\delta }{2a}\right)\left(z+\frac{b+\delta }{2a}\right)=0.$$

Un produit de deux complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, donc

$$(E)⟺z=\frac{-b+\delta }{2a}\text{ou}z=\frac{-b-\delta }{2a}.$$

Si $\Delta \ne 0$, alors $\delta \ne 0$, donc $\frac{-b+\delta }{2a}\ne \frac{-b-\delta }{2a}$ (leur différence vaut $\frac{\delta }{a}\ne 0$) : il y a deux solutions distinctes. Si $\Delta =0$, alors $\delta =0$ et les deux expressions coïncident avec $\frac{-b}{2a}$. $\square$

Remarque. Le discriminant $\Delta$ est ici un nombre complexe : les phrases « $\Delta >0$ » ou « $\Delta <0$ » n'ont aucun sens, car $\mathbb{C}$ n'est pas ordonné. La discussion selon le signe du discriminant apprise au lycée ne vaut que pour des coefficients réels. En revanche, tout complexe possédant des racines carrées, une équation du second degré à coefficients complexes a toujours des solutions dans $\mathbb{C}$.

Démonstration. Pour le sens direct, on somme et on multiplie les deux expressions obtenues :

$$z_1+z_2=\frac{-b-\delta }{2a}+\frac{-b+\delta }{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a},$$ $$z_1{z}_2=\frac{(-b-\delta )(-b+\delta )}{4a^2}=\frac{b^2-{\delta }^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.$$

Pour la réciproque, supposons $z_1+z_2=s$ et $z_1{z}_2=p$. Alors

$$z_1^2-s{z}_1+p=z_1^2-(z_1+z_2)z_1+z_1{z}_2=z_1^2-z_1^2-z_1{z}_2+z_1{z}_2=0,$$

et le même calcul, en échangeant les rôles de $z_1$ et $z_2$, montre que $z_2$ est aussi solution. Inversement, l'équation $z^2-sz+p=0$ relève de la propriété précédente avec $a=1$, $b=-s$ et $c=p$ : ses solutions ont pour somme $s$ et pour produit $p$. $\square$

Ce résultat est un outil de calcul, mais aussi un outil de vérification : après avoir résolu une équation du second degré, on contrôle en quelques secondes que la somme des racines vaut $-\frac{b}{a}$ et que leur produit vaut $\frac{c}{a}$.

Remarque : le cas des coefficients réels. Supposons $a$, $b$, $c$ réels avec $a\ne 0$, et soit $z$ une solution de $a{z}^2+bz+c=0$. En conjuguant l'égalité et en utilisant que le conjugué d'une somme est la somme des conjugués, que le conjugué d'un produit est le produit des conjugués, et que $\overline{a}=a$, $\overline{b}=b$, $\overline{c}=c$ :

$$a{\overline{z}}^2+b\overline{z}+c=\overline{a{z}^2+bz+c}=\overline{0}=0.$$

Donc $\overline{z}$ est aussi solution : les racines non réelles d'une équation du second degré à coefficients réels sont conjuguées deux à deux.

Nombres complexes et géométrie plane

Dans toute cette section, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. Le caractère direct du repère est essentiel : c'est lui qui fixe le sens positif des angles, donc le signe des arguments. Toute la section repose sur un dictionnaire entre objets géométriques et nombres complexes ; les calculs de module traduisent des longueurs, les calculs d'argument traduisent des angles.

Le dictionnaire de base est déjà en place et sert tel quel. La section 1.4 définit l'affixe $z_M$ d'un point $M$, le point image $M(z)$ et la bijection du plan sur $\mathbb{C}$, ainsi que l'affixe $w$ d'un vecteur $\vec{w}$ ; elle donne également l'affixe $z_B-z_A$ du vecteur $\overrightarrow{AB}$, celle d'une somme de vecteurs et celle du milieu de $[AB]$. La section 2.3 y ajoute l'égalité $AB=|z_B-z_A|$, la plus utilisée de toutes : un module est une distance, d'où les équations complexes des cercles ($|z-z_{\Omega }|=R$) et des médiatrices ($|z-z_A|=|z-z_B|$). Seul le barycentre est nouveau ici.

Démonstration. Notons $z_A=x_A+i{y}_A$ et $z_B=x_B+i{y}_B$. Le barycentre $G$ a pour coordonnées $\left(\frac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha +\beta },\frac{\alpha y_A+\beta y_B}{\alpha +\beta }\right)$, donc pour affixe $\frac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha +\beta }+i\frac{\alpha y_A+\beta y_B}{\alpha +\beta }=\frac{\alpha z_A+\beta z_B}{\alpha +\beta }$, en regroupant parties réelles et parties imaginaires. $\square$

Démonstration. Le point 1 a déjà été établi. Pour le point 2, écrivons $b-a$ sous forme trigonométrique : $b-a=\rho e^{i\theta }$ avec $\rho =AB>0$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$, d'affixe $b-a$, a donc pour coordonnées $(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )$ ; dans un repère orthonormé direct, c'est précisément dire que $\theta$ est une mesure de l'angle orienté $\left(\vec{u},\overrightarrow{AB}\right)$. Ainsi $\arg (b-a)\equiv \left(\vec{u},\overrightarrow{AB}\right)[2\pi ]$.

Pour le point 3, notons d'abord que $q$ est bien défini et non nul, car $b\ne a$ et $c\ne a$. Le module d'un quotient est le quotient des modules, donc

$$|q|=\frac{|c-a|}{|b-a|}=\frac{AC}{AB}.$$

L'argument d'un quotient est la différence des arguments, donc, en utilisant deux fois le point 2 puis la relation de Chasles pour les angles orientés,

$$\arg (q)\equiv \arg (c-a)-\arg (b-a)\equiv \left(\vec{u},\overrightarrow{AC}\right)-\left(\vec{u},\overrightarrow{AB}\right)\equiv \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)[2\pi ].\square$$

Ce quotient $\frac{c-a}{b-a}$ est l'outil central de la section : il concentre en un seul nombre complexe une information de longueur (son module) et une information d'angle (son argument), toutes deux relatives au sommet $A$. Les deux critères suivants en sont la conséquence immédiate.

Démonstration. Rappelons deux faits établis à la section 4 : un complexe non nul est réel si et seulement si son argument est congru à $0$ modulo $\pi$, et il est imaginaire pur si et seulement si son argument est congru à $\frac{\pi }{2}$ modulo $\pi$. Ici $q\ne 0$.

Point 1. Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv 0[\pi ]$. D'après la propriété précédente, cela équivaut à $\arg (q)\equiv 0[\pi ]$, donc à $q\in \mathbb{R}$.

Point 2. Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires si et seulement si $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$, ce qui équivaut à $\arg (q)\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$, c'est-à-dire à $q$ imaginaire pur. $\square$

Il reste à traduire dans le langage des complexes les transformations élémentaires du plan. Le programme se limite strictement aux applications de la forme $z\mapsto az+b$ avec $a\ne 0$.

Démonstration. Point 1. Si $a=1$, alors $z^{\prime }=z+b$, donc $z^{\prime }-z=b$ : l'affixe du vecteur $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ est constante, égale à $b$. C'est exactement la définition de la translation de vecteur d'affixe $b$.

Point 2. Supposons $a\ne 1$. Un point d'affixe $z$ est fixe si et seulement si $z=az+b$, c'est-à-dire $z(1-a)=b$. Comme $a\ne 1$, le complexe $1-a$ est non nul, donc cette équation admet la solution unique $\omega =\frac{b}{1-a}$ : il existe un unique point fixe $\Omega$.

Cette égalité $\omega =a\omega +b$ donne $b=\omega -a\omega$. En reportant dans l'écriture de $f$, pour tout $z$ :

$$z^{\prime }-\omega =(az+b)-\omega =az+\omega -a\omega -\omega =a(z-\omega ).\square$$

Démonstration. Partons de l'écriture réduite $z^{\prime }-\omega =a(z-\omega )$. En passant aux modules, et puisque $z^{\prime }-\omega$ est l'affixe de $\overrightarrow{\Omega M^{\prime }}$ et $z-\omega$ celle de $\overrightarrow{\Omega M}$ :

$$\Omega M^{\prime }=|z^{\prime }-\omega |=|a||z-\omega |=|a|\times \Omega M.$$

Comme $M\ne \Omega$, on a $z-\omega \ne 0$, donc $\frac{z^{\prime }-\omega }{z-\omega }=a$, et la propriété d'interprétation du quotient donne

$$\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M^{\prime }}\right)\equiv \arg (a)[2\pi ].$$

Ces deux relations sont exactement la définition de la similitude directe de centre $\Omega$, de rapport $|a|$ et d'angle $\arg (a)$. Les deux cas particuliers s'en déduisent : si $a$ est réel non nul, l'écriture réduite dit que $\overrightarrow{\Omega M^{\prime }}=a\overrightarrow{\Omega M}$, ce qui est la définition de l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $a$ ; si $|a|=1$, alors $\Omega M^{\prime }=\Omega M$ et l'angle vaut $\theta$, ce qui est la définition de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$. $\square$

Rappel de programme. Le programme de MPSI traite l'interprétation géométrique des applications $z\mapsto az+b$ : translations, homothéties, rotations et similitudes directes. En revanche, l'étude générale des similitudes du plan est hors programme, en particulier les similitudes indirectes et, plus généralement, toute transformation dont l'écriture complexe fait intervenir $\overline{z}$.