Devoir surveillé — Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x-\ln x$.

Dans tout l'exercice, on utilisera librement le résultat admis à ce stade du cours : si une fonction dérivable $h$ vérifie $h^{\mathrm{\prime }}⩾0$ sur un intervalle $I$, alors $h$ est croissante sur $I$ ; et si de plus $h^{\mathrm{\prime }}$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points de $I$, alors $h$ est strictement croissante sur $I$.

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$, justifier que $f$ est dérivable sur $D_f$, puis déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$. On rappelle la croissance comparée ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln x}{x}=0}$. (0,75 pt)

2. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour $x\in D_f$, puis étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$. (0,5 pt)

3. Dresser le tableau de variations complet de $f$, limites comprises. En déduire que $f$ admet un minimum global sur $D_f$ : on précisera sa valeur et le point où il est atteint. (0,5 pt)

4. En déduire que, pour tout réel $x>0$, $\ln x⩽x-1$, et que l'égalité a lieu si et seulement si $x=1$. (0,75 pt)

5. En appliquant l'inégalité de la question 4 au réel ${\displaystyle \frac{1}{x}}$, démontrer que pour tout réel $x>0$ : $1-{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽\ln x⩽x-1$. (0,5 pt)

6. Soit $\lambda$ un réel. On s'intéresse au nombre de solutions dans $D_f$ de l'équation $(E_{\lambda }):f(x)=\lambda$. (1 pt)

   a. Démontrer que si $\lambda <1$, alors $(E_{\lambda })$ n'admet aucune solution.

   b. Démontrer que $(E_1)$ admet une unique solution, que l'on précisera.

   c. Soit $\lambda >1$. Démontrer que $(E_{\lambda })$ admet au plus une solution dans $]0,1]$ et au plus une solution dans $[1,+\mathrm{\infty }[$. On admet, par simple lecture du tableau de variations, qu'elle en admet exactement une dans chacun de ces deux intervalles : conclure sur le nombre total de solutions. Vérifier enfin que $e$ est l'une des deux solutions de $(E_{e-1})$.

Partie A. Valeurs remarquables et simplifications.

1. Calculer les trois réels suivants. On justifiera chaque réponse en vérifiant l'appartenance à l'intervalle principal. (0,75 pt)

   a. $A=\mathrm{Arcsin}(\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{6}})$

   b. $B=\mathrm{Arccos}(\cos {\displaystyle \frac{11\pi }{4}})$

   c. $C=\mathrm{Arctan}(\tan {\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$

2. Soit $x\in [{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}]$. Démontrer que $\mathrm{Arcsin}(\sin x)=\pi -x$. Retrouver ainsi la valeur de $A$. (0,5 pt)

3. Soit $x\in \mathbb{R}$. Démontrer que $\cos (\mathrm{Arctan}x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$, puis que $\sin (\mathrm{Arctan}x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$. (0,5 pt)

Partie B. Une fonction composée. On pose $g(x)=\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}$.

4. Déterminer le domaine de définition $D_g$ de $g$, puis les limites de $g$ aux quatre bornes des intervalles qui composent $D_g$. (0,5 pt)

5. Justifier que $g$ est dérivable sur $D_g$ et démontrer que, pour tout $x\in D_g$, $g^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$. (0,75 pt)

6. En déduire une expression de $g(x)$ sans symbole de composition, sur chacun des deux intervalles qui composent $D_g$. On déterminera avec soin la constante sur chaque intervalle. Dresser le tableau de variations de $g$. (0,5 pt)

Partie C. Une somme d'arctangentes. Pour $n⩾2$, on pose ${\displaystyle S_n=\sum _{k=2}^n\mathrm{Arctan}\frac{2}{k^2}}$.

7. Soit $k⩾2$ un entier. Démontrer que $\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{2}{k^2}}=\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{1}{k-1}}-\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$. (0,75 pt)

8. En déduire une expression de $S_n$ sans symbole $\sum$, puis démontrer que la suite $(S_n{)}_{n⩾2}$ converge et que sa limite vaut $\mathrm{Arctan}3$. (0,75 pt)

Pour tout entier naturel $n$, on pose ${\displaystyle I_n={\int }_1^e(\ln x{)}^n\mathrm{d}x}$, avec la convention $(\ln x{)}^0=1$.

Partie A. Premiers termes et relation de récurrence.

1. Justifier que $I_n$ est bien définie pour tout $n\in \mathbb{N}$, calculer $I_0$, puis calculer $I_1$ à l'aide d'une intégration par parties. (0,75 pt)

2. Démontrer que, pour tout entier $n⩾1$, $I_n=e-n{I}_{n-1}$. En déduire les valeurs exactes de $I_2$ et de $I_3$. (0,75 pt)

Partie B. Signe, monotonie et limite.

3. Démontrer que $I_n⩾0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Puis, en utilisant la relation de Chasles en $\sqrt{e}$ et un minorant de $(\ln x{)}^n$ sur $[\sqrt{e},e]$, démontrer que $I_n>0$. (0,5 pt)

4. Démontrer que la suite $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est décroissante. (0,25 pt)

5. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0<I_n⩽{\displaystyle \frac{e}{n+1}}$. En déduire la limite de la suite $(I_n)$. (0,75 pt)

6. En déduire la limite de la suite $(n{I}_n{)}_{n⩾1}$. (0,5 pt)

Partie C. Expression explicite et application.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose ${\displaystyle T_n=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}}$.

7. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $I_n=(-1{)}^{n}n!(e{T}_n-1)$. (0,75 pt)

8. En déduire que la suite $(T_n)$ converge et déterminer sa limite. (0,75 pt)

Partie A. Une équation linéaire du premier ordre. On considère sur $\mathbb{R}$ l'équation

$$(E_1):y^{\mathrm{\prime }}+\frac{2x}{1+x^2}y=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{.}$$

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation homogène associée $(H_1):y^{\mathrm{\prime }}+{\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}y=0$. (0,5 pt)

2. Par la méthode de variation de la constante, déterminer l'ensemble des solutions de $(E_1)$ sur $\mathbb{R}$. (0,75 pt)

3. Déterminer l'unique solution $y_0$ de $(E_1)$ vérifiant $y_0(0)=2$, vérifier le résultat en réinjectant $y_0$ dans $(E_1)$, puis calculer ${\displaystyle {\int }_0^1{y}_0(x)\mathrm{d}x}$. (0,5 pt)

Partie B. Second ordre à coefficients constants. On note $(H):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-3y^{\mathrm{\prime }}+2y=0$.

4. Résoudre $(H)$ sur $\mathbb{R}$. (0,25 pt)

5. Expliquer pourquoi aucune fonction de la forme $x\mapsto a{e}^{2x}$ ne peut être solution de $(E_2):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-3y^{\mathrm{\prime }}+2y=4e^{2x}$, puis déterminer une solution particulière de $(E_2)$ de la forme $x\mapsto ax{e}^{2x}$. (0,5 pt)

6. À l'aide des fonctions à valeurs complexes, déterminer une solution particulière réelle de $(E_3):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-3y^{\mathrm{\prime }}+2y=10\sin x$. On cherchera d'abord une solution de $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-3y^{\mathrm{\prime }}+2y=10e^{ix}$ sous la forme $x\mapsto z{e}^{ix}$ avec $z\in \mathbb{C}$. (0,75 pt)

7. Résoudre le problème de Cauchy suivant : $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-3y^{\mathrm{\prime }}+2y=4e^{2x}+10\sin x$, avec $y(0)=0$ et $y^{\mathrm{\prime }}(0)=0$. (0,5 pt)

Partie C. Décharge d'un condensateur dans un circuit RLC.

Un condensateur de capacité $C$, préalablement chargé sous la tension $u_0=12\text{ V}$, est relié à l'instant $t=0$ à une bobine d'inductance $L$ montée en série avec un conducteur ohmique de résistance $R$. On note $u(t)$ la tension aux bornes du condensateur à l'instant $t⩾0$ et $i(t)$ l'intensité du courant, orientée de sorte que $i(t)=C{u}^{\mathrm{\prime }}(t)$. La loi des mailles s'écrit $u_L(t)+u_R(t)+u(t)=0$, avec $u_R(t)=Ri(t)$ et $u_L(t)=L{i}^{\mathrm{\prime }}(t)$.

Données numériques : $L=\mathrm{0,1}\text{ H}$, $C=10\mu \text{F}={10}^{-5}\text{ F}$, $u(0)=12\text{ V}$ et $u^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ (le courant est nul à la fermeture du circuit).

8. Démontrer que $u$ est solution de l'équation différentielle $LC{u}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+RC{u}^{\mathrm{\prime }}+u=0$. (0,5 pt)

9. Écrire l'équation caractéristique associée et calculer son discriminant. Démontrer qu'il existe une valeur $R_c$, à exprimer en fonction de $L$ et $C$ puis à calculer numériquement, qui sépare trois régimes que l'on nommera. (0,5 pt)

10. Cas $R=250\mathrm{\Omega }$. Résoudre le problème de Cauchy. Démontrer que $u$ ne s'annule pas sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, qu'elle y est strictement décroissante, et déterminer sa limite en $+\mathrm{\infty }$. (0,75 pt)

11. Cas $R=120\mathrm{\Omega }$. Résoudre le problème de Cauchy, puis écrire la solution sous la forme $u(t)=A{e}^{-\alpha t}\cos (\omega t-\phi )$ avec $A>0$ et $\phi \in ]0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$. Donner la pseudo-période du signal. (0,5 pt)