Exercices — Nombres complexes

Dans tout l'exercice, $i$ désigne le nombre complexe vérifiant $i^2=-1$. Mettre un complexe sous forme algébrique, c'est l'écrire $a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.

1. Mettre sous forme algébrique.

   a. $(3-2i)+(4+5i)$

   b. $(2+3i)(1-i)$

   c. $(1+i{)}^2$

   d. $(1+i{)}^3$

   e. $(2-i)(2+i)$

   f. $i^{2026}$

2. Mettre sous forme algébrique.

   a. ${\displaystyle \frac{1}{1+i}}$

   b. ${\displaystyle \frac{1}{i}}$

   c. ${\displaystyle \frac{2+i}{3-i}}$

   d. ${\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}$

3. Donner la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des complexes suivants.

   a. $z_1=7-3i$

   b. $z_2=-5i$

   c. $z_3=(1-2i{)}^2$

   d. $z_4=i(3+i)$

4. Déterminer tous les couples de réels $(x,y)$ tels que $(x+iy)(2-i)=3+i$.

On rappelle que le conjugué de $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels, est $\bar{z}=x-iy$. On note $i\mathbb{R}$ l'ensemble des imaginaires purs, c'est-à-dire des complexes de la forme $iy$ avec $y\in \mathbb{R}$.

1. Donner la forme algébrique du conjugué de chacun des complexes suivants.

   a. $3-5i$

   b. $-2i$

   c. $7$

   d. $(1+i)(3-2i)$

   e. ${\displaystyle \frac{2}{1-i}}$

   f. $i^{13}$

2. Soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.

   a. Calculer $z+\bar{z}$, $z-\bar{z}$ et $z\bar{z}$ en fonction de $x$ et de $y$, et préciser la nature de chacun de ces trois nombres.

   b. En déduire une expression de $\mathrm{Re}(z)$ et de $\mathrm{Im}(z)$ en fonction de $z$ et de $\bar{z}$.

3. Soit $z\in \mathbb{C}$. Démontrer les deux équivalences suivantes.

   a. $z\in \mathbb{R}⟺z=\bar{z}$.

   b. $z\in i\mathbb{R}⟺\bar{z}=-z$.

4. Calculer $\overline{\left({\displaystyle \frac{1+i}{2-i}}\right)}$ de deux façons : d'abord en utilisant les règles de calcul sur les conjugués, puis en mettant le quotient sous forme algébrique avant de conjuguer. Vérifier que les deux résultats coïncident.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On rappelle que pour $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{x^2+y^2}$.

1. Calculer le module de chacun des complexes suivants.

   a. $3-4i$

   b. $-2+2i$

   c. $(1+i)(3-4i)$

   d. ${\displaystyle \frac{5i}{1-2i}}$

   e. $(1+i{)}^{10}$

   f. ${\displaystyle \frac{(3-4i{)}^3}{(1+i{)}^4}}$

2. Soit $z\in \mathbb{C}$.

   a. Justifier que $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=z\bar{z}$.

   b. En utilisant cette relation, démontrer que $\mathrm{\mid }z+2{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2+4\mathrm{Re}(z)+4$.

   c. En déduire la valeur de $\mathrm{\mid }z+2\mathrm{\mid }$ lorsque $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ et $\mathrm{Re}(z)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

3. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=-1+i$, $z_B=2+5i$ et $z_C=4+i$. Calculer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$, puis préciser la nature du triangle $ABC$.

4. Déterminer et décrire l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\mathrm{\mid }z-(1+i)\mathrm{\mid }=2$. Les points d'affixes $3+i$ et $2+2i$ appartiennent-ils à cet ensemble ?

Aucune valeur ne doit être obtenue à la calculatrice : tous les angles rencontrés sont des angles remarquables du cercle trigonométrique.

1. Mettre chacun des complexes suivants sous forme exponentielle $r{e}^{i\theta }$, avec $r>0$ et $\theta \in \mathbb{R}$.

   a. $1+i$

   b. $-\sqrt{3}+i$

   c. $-2i$

   d. $3$

   e. $-1-i\sqrt{3}$

   f. ${\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{3}-i}}$

2. Donner l'ensemble de tous les arguments de $-2i$. Parmi les réels ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$ et ${\displaystyle \frac{7\pi }{2}}$, lesquels sont des arguments de $-2i$ ?

3. Déduire de la question 1. b. une forme exponentielle de $-\sqrt{3}-i$, puis de $\sqrt{3}-i$.

4. Expliquer pourquoi on ne définit pas d'argument pour le complexe $0$.

On rappelle la notation $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ pour $\theta \in \mathbb{R}$, et l'on note $\mathbb{U}=\{z\in \mathbb{C};\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1\}$. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.

1. Donner la forme algébrique de chacun des complexes suivants.

   a. $2e^{i\pi \mathrm{/}3}$

   b. $e^{-i\pi \mathrm{/}4}$

   c. $3e^{5i\pi \mathrm{/}6}$

   d. $4e^{i\pi }$

   e. $e^{-2i\pi \mathrm{/}3}$

   f. $\sqrt{2}{e}^{-i\pi \mathrm{/}2}$

2. Écrire chacun des complexes suivants sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

   a. $2e^{i\pi \mathrm{/}3}\times 3e^{i\pi \mathrm{/}6}$

   b. ${\displaystyle \frac{6e^{3i\pi \mathrm{/}4}}{2e^{i\pi \mathrm{/}2}}}$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{4e^{-i\pi \mathrm{/}3}}}$

   d. $\overline{2e^{i\pi \mathrm{/}6}}$

3. Soit $\alpha \in \mathbb{R}$.

   a. Vérifier que $\mid {\displaystyle \frac{e^{i\alpha }}{2}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   b. Donner la forme algébrique de ${\displaystyle \frac{e^{i\alpha }}{2}}$, puis décrire l'ensemble des points du plan d'affixe ${\displaystyle \frac{e^{i\alpha }}{2}}$ lorsque $\alpha$ parcourt $\mathbb{R}$.

4. Soit $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$. Démontrer que $z\in \mathbb{U}⟺\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{z}}$.

1. Énoncer la formule de Moivre, puis la démontrer par récurrence pour $n\in \mathbb{N}$.

2. Calculer et donner le résultat sous forme algébrique.

   a. $(1+i{)}^{12}$

   b. ${(-\sqrt{3}+i)}^6$

   c. ${(1-i\sqrt{3})}^5$

3. On pose $Z={\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}}$.

   a. Mettre $Z$ sous forme exponentielle.

   b. En déduire, pour tout $n\in \mathbb{N}$, une forme exponentielle de $Z^n$, ainsi que son module et un argument.

   c. Calculer $Z^{12}$ sous forme algébrique.

4. Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $(1+i{)}^n$ soit réel, puis ceux pour lesquels $(1+i{)}^n$ est imaginaire pur.

On rappelle le résultat du cours. Soient $a$, $b$, $c$ trois réels avec $a\mathrm{\ne }0$. On pose $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$. L'équation $a{z}^2+bz+c=0$, d'inconnue $z\in \mathbb{C}$, admet :

• deux solutions réelles distinctes ${\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$ et ${\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$ si $\mathrm{\Delta }>0$ ;
• une unique solution $-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ si $\mathrm{\Delta }=0$ ;
• deux solutions complexes conjuguées ${\displaystyle \frac{-b+i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}}$ et ${\displaystyle \frac{-b-i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}}$ si $\mathrm{\Delta }<0$.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes, et vérifier chaque solution obtenue.

   a. $z^2+z+1=0$

   b. $z^2-2z+5=0$

   c. $z^2+4=0$

   d. $2z^2-2z+1=0$

2. Pour l'équation de la question 1. b., vérifier que la somme des deux solutions vaut $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ et que leur produit vaut ${\displaystyle \frac{c}{a}}$.

3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation bicarrée $z^4+z^2-6=0$. On posera $Z=z^2$.

Pour tout entier $n⩾1$, on note ${\mathbb{U}}_n=\{z\in \mathbb{C}\mid z^n=1\}$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité, et $\mathbb{U}$ l'ensemble des complexes de module $1$.

1. Soit $n⩾1$.

   a. Montrer que tout élément $z$ de ${\mathbb{U}}_n$ vérifie $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$.

   b. En écrivant un tel élément sous la forme $z=e^{i\theta }$ avec $\theta \in \mathbb{R}$, montrer que

   $${\mathbb{U}}_n=\{e^{2ik\pi \mathrm{/}n}\mid k\in \{0,1,\dots ,n-1\}\}$$

   et que ces $n$ complexes sont deux à deux distincts.

2. Expliciter ${\mathbb{U}}_2$, ${\mathbb{U}}_3$, ${\mathbb{U}}_4$ et ${\mathbb{U}}_6$, d'abord sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

3. Décrire la position des points images des éléments de ${\mathbb{U}}_n$ sur le cercle unité, et préciser la figure obtenue pour $n=3$, $n=4$ et $n=6$.

4. On pose $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$.

   a. Montrer que $j^3=1$, puis que $1+j+j^2=0$.

   b. Montrer que $\bar{j}=j^2$, et en déduire que ${\mathbb{U}}_3=\{1,j,\bar{j}\}$.

   c. Vérifier, en utilisant les formes algébriques obtenues à la question 2., que la somme des éléments de ${\mathbb{U}}_3$ est nulle.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives

On rappelle que deux points d'affixes $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ sont distants de $\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}-z\mathrm{\mid }$, et que si $P$, $Q$ et $R$ sont trois points deux à deux distincts, d'affixes respectives $p$, $q$ et $r$, alors tout argument de ${\displaystyle \frac{r-p}{q-p}}$ est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR})$.

1. Calculer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$.

2. Déterminer l'affixe du milieu $I$ du segment $[BC]$.

3. a. Calculer ${\displaystyle \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}}$ et donner le résultat sous forme algébrique.

   b. En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$. Contrôler le résultat à l'aide de la question 1.

4. Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

5. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que le triangle $ABM$ soit rectangle en $A$. On donnera une équation cartésienne de cet ensemble, puis une description géométrique.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. Dans tout l'exercice, $z$ désigne un nombre complexe et l'on note $z=x+iy$ sa forme algébrique, avec $x=\mathrm{Re}(z)$ et $y=\mathrm{Im}(z)$. On convient qu'un complexe est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est nulle, autrement dit $i\mathbb{R}=\{it\mid t\in \mathbb{R}\}$, ensemble qui contient $0$.

1. Déterminer $\mathrm{Re}(z^2)$ et $\mathrm{Im}(z^2)$ en fonction de $x$ et $y$.

2. On suppose $z\mathrm{\ne }0$. Déterminer $\mathrm{Re}\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)$ et $\mathrm{Im}\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)$ en fonction de $x$ et $y$.

3. On suppose $z\mathrm{\ne }-1$ et l'on pose $Z={\displaystyle \frac{z-1}{z+1}}$.

   a. Montrer que $Z={\displaystyle \frac{x^2+y^2-1}{(x+1{)}^2+y^2}}+i{\displaystyle \frac{2y}{(x+1{)}^2+y^2}}$.

   b. Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit réel.

   c. Déterminer l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit imaginaire pur.

4. Retrouver les résultats des questions 3. b. et 3. c. sans utiliser $x$ ni $y$, en écrivant que $Z$ est réel si et seulement si $\bar{Z}=Z$, et imaginaire pur si et seulement si $\bar{Z}=-Z$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes. On rappelle que $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=z\bar{z}$, que $\overline{z+z^{\mathrm{\prime }}}=\bar{z}+\overline{z^{\mathrm{\prime }}}$, que $\overline{z{z}^{\mathrm{\prime }}}=\bar{z}\overline{z^{\mathrm{\prime }}}$ et que $z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$. Tous les calculs de cet exercice se mènent avec ces seules relations, sans jamais introduire les parties réelle et imaginaire de $a$ et de $b$.

1. a. Montrer que $\mathrm{\mid }a+b{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }a{\mathrm{\mid }}^2+2\mathrm{Re}\left(a\bar{b}\right)+\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2$.

   b. En déduire que $\mathrm{\mid }a-b{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }a{\mathrm{\mid }}^2-2\mathrm{Re}\left(a\bar{b}\right)+\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2$.

2. En déduire l'identité du parallélogramme $\mathrm{\mid }a+b{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }a-b{\mathrm{\mid }}^2=2(\mathrm{\mid }a{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2)$, ainsi que la relation $\mathrm{\mid }a+b{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }a-b{\mathrm{\mid }}^2=4\mathrm{Re}\left(a\bar{b}\right)$.

3. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On note $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $a$, $b$ et $a+b$, et l'on suppose que $O$, $A$ et $B$ ne sont pas alignés. Justifier que $OACB$ est un parallélogramme, puis interpréter géométriquement l'identité de la question 2.

4. On suppose dans cette question que $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }=1$.

   a. Calculer $\mathrm{\mid }a+b{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }a-b{\mathrm{\mid }}^2$.

   b. On suppose de plus que $\mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }=\sqrt{3}$. Déterminer $\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }$.

5. Montrer que $\mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }$ si et seulement si $\mathrm{Re}\left(a\bar{b}\right)=0$. Dans le cas où $a$ et $b$ sont non nuls, interpréter géométriquement cette condition.

On rappelle l'inégalité triangulaire : pour tous complexes $a$ et $b$, $\mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$. On rappelle également que $\mathrm{\mid }ab\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$, donc $\mathrm{\mid }{a}^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }a{\mathrm{\mid }}^n$ pour tout entier $n⩾1$, et que $\mid {\displaystyle \frac{a}{b}}\mid ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }}}$ pour $b\mathrm{\ne }0$.

1. Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes.

   a. En écrivant $a=(a-b)+b$, montrer que $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }$.

   b. En déduire l'inégalité triangulaire inversée $\mid \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\mid ⩽\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }$.

   c. Montrer que $\mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }⩾\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$.

2. Soit $z\in \mathbb{C}$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }⩽2$. Montrer que $\mid z^3-2z+1\mid ⩽13$.

3. Soit $z\in \mathbb{C}$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=2$. Montrer que $\mid z^4+1\mid ⩾15$, puis montrer que cette minoration est atteinte en exhibant un complexe $z$ de module $2$ pour lequel il y a égalité.

4. Soit $z\in \mathbb{C}$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$.

   a. Montrer que $\mathrm{\mid }z+2\mathrm{\mid }⩾1$.

   b. Déterminer tous les complexes $z$ de module $1$ pour lesquels $\mathrm{\mid }z+2\mathrm{\mid }=1$.

   c. En déduire que $\mid {\displaystyle \frac{z-1}{z+2}}\mid ⩽2$ pour tout complexe $z$ de module $1$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. Pour $z\in \mathbb{C}$, on note $M(z)$ le point d'affixe $z$. On rappelle que pour deux points $A$ et $B$ d'affixes $z_A$ et $z_B$, on a $AB=\mathrm{\mid }{z}_B-z_A\mathrm{\mid }$.

1. Déterminer et décrire géométriquement l'ensemble des points $M(z)$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie :

   a. $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z+i\mathrm{\mid }$

   b. $\mathrm{\mid }z-2i\mathrm{\mid }=3$

   c. $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }$

   d. $1⩽\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }⩽2$

   Pour a., on donnera d'abord la réponse par une interprétation en termes de distances, puis on la confirmera par le calcul en posant $z=x+iy$ avec $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$. Pour c., le calcul avec $z=x+iy$ est exigé : on mettra l'équation obtenue sous la forme d'une équation de cercle, dont on précisera le centre et le rayon.

2. Déterminer les points de l'ensemble obtenu en 1. c. qui appartiennent à l'axe des abscisses, puis vérifier directement, pour chacun d'eux, l'égalité $\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }$.

Linéariser une expression trigonométrique, c'est l'écrire comme combinaison linéaire de $\cos (kt)$ et de $\sin (kt)$, où $k$ décrit un ensemble fini d'entiers naturels : plus aucune puissance ne doit subsister.

1. Rappeler les formules d'Euler exprimant $\cos t$ et $\sin t$ à l'aide de $e^{it}$ et $e^{-it}$, pour $t\in \mathbb{R}$.

2. Linéariser les expressions suivantes, valables pour tout $t\in \mathbb{R}$. La rédaction devra être complète : passage aux exponentielles, développement par la formule du binôme de Newton, regroupement des termes conjugués.

   a. ${\cos }^{3}t$

   b. ${\sin }^{4}t$

   c. ${\cos }^{2}t{\sin }^{2}t$

   d. ${\cos }^{2}t{\sin }^{3}t$

3. Contrôler les identités obtenues en 2. b. et 2. d. en $t=0$, puis en $t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Cet exercice réalise l'opération inverse de la linéarisation : on part de $\cos (nt)$ et l'on cherche à l'exprimer à l'aide des seules puissances de $\cos t$. L'outil est la formule de Moivre, combinée à la formule du binôme de Newton.

1. Énoncer la formule de Moivre. En développant ${(\cos t+i\sin t)}^3$ par la formule du binôme, établir que pour tout réel $t$,

   $$\cos (3t)=4{\cos }^{3}t-3\cos t\text{et}\sin (3t)=3\sin t-4{\sin }^{3}t\mathrm{.}$$

2. Par la même méthode, exprimer $\cos (4t)$ comme polynôme en $\cos t$.

3. Exprimer de même $\cos (5t)$ comme polynôme en $\cos t$.

4. Contrôler les formules des questions 2. et 3. en $t=0$, en $t=\pi$, puis en $t={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

5. En déduire une expression de $\tan (3t)$ en fonction de $\tan t$. On précisera avec soin l'ensemble des réels $t$ pour lesquels cette expression a un sens.

La somme $1+e^{i\theta }$ n'est pas donnée sous forme trigonométrique : ce n'est ni un produit, ni un nombre de module apparent. La technique de l'arc moitié consiste à mettre en facteur l'exponentielle de la moitié de l'angle, de façon à faire apparaître une formule d'Euler.

Dans tout l'exercice, $\theta$, $a$, $b$, $p$ et $q$ désignent des nombres réels.

1. Factoriser par l'exponentielle de l'arc moitié, de manière à faire apparaître une formule d'Euler :

   a. $1+e^{i\theta }$

   b. $1-e^{i\theta }$

   c. $e^{ia}+e^{ib}$

   d. $e^{ia}-e^{ib}$

2. On suppose $\theta \in ]-\pi ,\pi [$. Déterminer le module et un argument de $1+e^{i\theta }$. Expliquer pourquoi la restriction imposée à $\theta$ est indispensable, et traiter à titre d'illustration le cas $\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$.

3. En prenant la partie réelle, puis la partie imaginaire, des égalités obtenues en 1. c. et 1. d., retrouver les formules de factorisation

   $$\cos p+\cos q=2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}\text{et}\sin p-\sin q=2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2}\mathrm{.}$$

Soient $\theta$ un nombre réel et $n$ un entier naturel. On pose

L'idée est que $C_n$ et $S_n$, difficiles à calculer séparément, se lisent tous les deux sur le seul nombre complexe $Z_n$, qui est une somme géométrique.

1. Justifier que $C_n=\mathrm{Re}(Z_n)$ et $S_n=\mathrm{Im}(Z_n)$.

2. Traiter le cas $\theta \equiv 0[2\pi ]$ : calculer $Z_n$, puis $C_n$ et $S_n$.

3. On suppose désormais $\theta \equiv ̸0[2\pi ]$. Justifier que $e^{i\theta }\mathrm{\ne }1$ et que $\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\mathrm{\ne }0$, puis calculer $Z_n$ par la formule de la somme géométrique. Factoriser le numérateur et le dénominateur par la technique de l'arc moitié et en déduire que

   $$C_n=\frac{\sin \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}\cos \frac{n\theta }{2}\text{et}{S}_n=\frac{\sin \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}\sin \frac{n\theta }{2}\mathrm{.}$$

4. Application numérique : calculer $C_5$ et $S_5$ pour $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ à l'aide des formules, puis retrouver les résultats en additionnant directement les six termes. Reprendre le contrôle avec $n=4$ et $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

Soient $a$ et $b$ deux réels non tous les deux nuls. On pose $A=\sqrt{a^2+b^2}$.

1. a. Justifier que $A>0$, puis démontrer qu'il existe un unique réel $\phi \in ]-\pi ,\pi ]$ tel que $\cos \phi ={\displaystyle \frac{a}{A}}$ et $\sin \phi ={\displaystyle \frac{b}{A}}$.

   b. Montrer que pour tout réel $t$, $a\cos t+b\sin t=\mathrm{Re}\text{\hspace{0.17em}⁣}((a-ib)e^{it})$, puis en déduire que

   $$a\cos t+b\sin t=A\cos (t-\phi )\text{pour tout }t\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

2. Appliquer la méthode aux trois expressions suivantes, en donnant à chaque fois $A$ et $\phi$ :

   a. $\cos t+\sqrt{3}\sin t$

   b. $\cos t-\sin t$

   c. $3\cos t+4\sin t$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos t+\sqrt{3}\sin t=1$.

4. Déterminer le maximum de l'application $f:t\mapsto 3\cos t+4\sin t$ sur $\mathbb{R}$, et préciser en quels réels il est atteint.

Soit $Z=a+ib$ un nombre complexe non nul, où $a$ et $b$ sont réels. On appelle racine carrée de $Z$ tout nombre complexe $z$ tel que $z^2=Z$. On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, et on considère le système

1. Montrer que $z^2=Z$ si et seulement si le couple $(x,y)$ est solution de $(S)$.

2. En déduire les valeurs de $x^2$ et de $y^2$, puis préciser le rôle du signe de $b$ dans le choix des couples $(x,y)$ convenables. Combien $Z$ admet-il de racines carrées ?

3. Déterminer les racines carrées de :

   a. $3+4i$

   b. $-5+12i$

   c. $-i$

   d. $8-6i$

4. Retrouver les racines carrées de $-i$ à l'aide de la forme exponentielle, puis comparer les deux méthodes.

On rappelle le résultat du cours. Soient $a$, $b$, $c$ trois nombres complexes avec $a\mathrm{\ne }0$, et soit $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ le discriminant de l'équation $a{z}^2+bz+c=0$. Si $\delta$ est une racine carrée de $\mathrm{\Delta }$, les solutions de cette équation sont

confondues lorsque $\mathrm{\Delta }=0$. Elles vérifient de plus $z_1+z_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ et $z_1{z}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes, en déterminant à chaque fois une racine carrée du discriminant :

   a. $z^2-(3+i)z+(2+2i)=0$

   b. $z^2-2iz-1-2i=0$

   c. $i{z}^2+(1-i)z-1=0$

2. Contrôler chacun des trois résultats à l'aide des relations entre les coefficients et les racines.

3. Déterminer deux nombres complexes dont la somme vaut $2+2i$ et le produit $2i$.

Pour $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, on pose

nombre également noté $e^z$. On note enfin $2i\pi \mathbb{Z}$ l'ensemble des nombres complexes de la forme $2ik\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

1. Donner la forme algébrique de :

   a. $\exp (1+i\pi )$

   b. $\exp (\ln 2+i{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

2. Soit $z\in \mathbb{C}$. Montrer que $\mathrm{\mid }\exp (z)\mathrm{\mid }=e^{\mathrm{Re}(z)}$, puis en déduire que $\exp (z)\mathrm{\ne }0$.

3. Montrer que pour tous $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ de $\mathbb{C}$, $\exp (z+z^{\mathrm{\prime }})=\exp (z)\exp (z^{\mathrm{\prime }})$.

4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :

   a. $\exp (z)=1$

   b. $\exp (z)=-2$

   c. $\exp (z)=1+i$

5. En déduire que pour tous $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ de $\mathbb{C}$ : $\exp (z)=\exp (z^{\mathrm{\prime }})$ si et seulement si $z-z^{\mathrm{\prime }}\in 2i\pi \mathbb{Z}$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. À toute application $f$ de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ on associe la transformation du plan qui, au point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M^{\mathrm{\prime }}$ d'affixe $z^{\mathrm{\prime }}=f(z)$. On rappelle les trois cas usuels : $z\mapsto z+b$ est la translation de vecteur d'affixe $b$ ; pour $\lambda$ réel non nul, $z\mapsto \lambda z$ est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\lambda$ ; pour $\theta$ réel, $z\mapsto e^{i\theta }z$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$.

1. Décrire géométriquement les transformations associées à :

   a. $f_1(z)=z+2-i$

   b. $f_2(z)=3z$

   c. $f_3(z)=iz$

   d. $f_4(z)=e^{i\pi \mathrm{/}3}z$

   e. $f_5(z)=2z+1-i$

   Pour $f_5$, on commencera par déterminer son unique point fixe $\mathrm{\Omega }$, puis on écrira $f_5(z)-\omega$ en fonction de $z-\omega$, où $\omega$ désigne l'affixe de $\mathrm{\Omega }$.

2. Écrire l'expression complexe de la rotation $r$ de centre $\mathrm{\Omega }$ d'affixe $1+i$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, c'est-à-dire l'application $z\mapsto z^{\mathrm{\prime }}$ correspondante.

3. Déterminer l'affixe de l'image par $r$ du point $A$ d'affixe $3+i$, puis l'affixe du point dont l'image par $r$ est l'origine $O$.

Soit $n$ un entier tel que $n⩾2$, et soit $Z$ un nombre complexe non nul, écrit sous forme exponentielle $Z=\rho e^{i\alpha }$ avec $\rho >0$ et $\alpha$ réel. On appelle racine $n$-ième de $Z$ toute solution de l'équation $z^n=Z$. On note ${\omega }_k=e^{2ik\pi \mathrm{/}n}$, de sorte que ${\mathbb{U}}_n=\{{\omega }_k;0⩽k⩽n-1\}$, et on note ${\rho }^{1\mathrm{/}n}$ l'unique réel strictement positif dont la puissance $n$-ième vaut $\rho$.

1. Montrer que l'équation $z^n=Z$ admet exactement $n$ solutions dans $\mathbb{C}$, à savoir les nombres

   $$z_k={\rho }^{1\mathrm{/}n}{e}^{i\frac{\alpha +2k\pi }{n}}\text{pour }k\text{ entier tel que }0⩽k⩽n-1$$

   et que ces solutions s'écrivent $z_k=z_0{\omega }_k$.

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$, en donnant la forme algébrique des solutions lorsqu'elle est simple :

   a. $z^3=8i$

   b. $z^4=-4$

   c. $z^5=1+i$

   d. $z^6=-64$

3. On suppose $n⩾3$. Montrer que les images des $n$ solutions de $z^n=Z$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés, dont on précisera le centre et le rayon du cercle circonscrit.

4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3=\bar{z}$.

Soit $n$ un entier tel que $n⩾2$. On note ${\omega }_k=e^{2ik\pi \mathrm{/}n}$ pour $k$ entier tel que $0⩽k⩽n-1$, de sorte que ${\mathbb{U}}_n=\{{\omega }_0,{\omega }_1,\dots ,{\omega }_{n-1}\}$, et on pose $\omega ={\omega }_1=e^{2i\pi \mathrm{/}n}$.

1. Montrer que ${\omega }_k={\omega }^k$ pour tout entier $k$ tel que $0⩽k⩽n-1$, puis que $\omega \mathrm{\ne }1$.

2. En déduire que ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\omega }_k=0}$.

3. Calculer ${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\omega }_k}$, et préciser sa valeur selon la parité de $n$.

4. Soit $p\in \mathbb{Z}$. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\omega }_k^p}$, en distinguant le cas où $n$ divise $p$ du cas où $n$ ne divise pas $p$.

5. En déduire que ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\cos \left(\frac{2k\pi }{n}\right)=0}$ et ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\sin \left(\frac{2k\pi }{n}\right)=0}$.

6. Application : pour $n=5$, calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^4{\omega }_k^3}$ et ${\displaystyle \sum _{k=0}^4{\omega }_k^{10}}$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel et l'on pose $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$. On utilisera librement la formule du binôme de Newton : pour tout $x\in \mathbb{C}$,

1. Échauffement : les paquets de deux. Soit $n⩾1$. En calculant de deux façons $(1+1{)}^n$ et $(1-1{)}^n$, montrer que

   $$\sum _{q=0}^{\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor }\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{2q}\right)=2^{n-1}\mathrm{.}$$

2. Soit $m$ un entier naturel.

   a. Montrer que $j^3=1$, puis que $j^m=1$ si et seulement si $m$ est un multiple de $3$.

   b. En déduire que $1+j^m+j^{2m}$ vaut $3$ si $m$ est un multiple de $3$, et $0$ sinon.

3. On note $S_n$ la somme des coefficients binomiaux $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$ pour les entiers $k$ de $\{0,\dots ,n\}$ qui sont multiples de $3$, autrement dit

   $$S_n=\sum _{q=0}^{\lfloor n\mathrm{/}3\rfloor }\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{3q}\right)\mathrm{.}$$

   En calculant ${\displaystyle \sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)(1+j^k+j^{2k})}$ de deux manières, montrer que

   $$S_n=\frac{1}{3}(2^n+(1+j{)}^n+(1+j^2{)}^n)\mathrm{.}$$

4. Montrer que $1+j=-j^2=e^{i\pi \mathrm{/}3}$ et que $1+j^2=-j=e^{-i\pi \mathrm{/}3}$. En déduire que

   $$S_n=\frac{1}{3}(2^n+2\cos \frac{n\pi }{3})\mathrm{.}$$

5. Vérifier cette formule en calculant directement $S_n$ pour $n=3$, $n=4$ et $n=6$.

Soit $n$ un entier tel que $n⩾2$. On considère l'équation d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ :

1. Montrer que $z=1$ n'est pas solution de $(E_n)$.

2. Soit $z$ une solution de $(E_n)$. Montrer que $\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }$, puis en déduire que $z$ est un imaginaire pur.

3. Pour $z\in \mathbb{C}\setminus \{1\}$, on pose $u={\displaystyle \frac{z+1}{z-1}}$.

   a. Montrer que $u\mathrm{\ne }1$, puis que $z={\displaystyle \frac{u+1}{u-1}}$.

   b. Montrer que $z$ est solution de $(E_n)$ si et seulement si $u^n=1$.

   c. En déduire que $z\mapsto {\displaystyle \frac{z+1}{z-1}}$ réalise une bijection de l'ensemble des solutions de $(E_n)$ sur ${\mathbb{U}}_n\setminus \{1\}$, et que $(E_n)$ admet exactement $n-1$ solutions.

4. Pour tout entier $k$ tel que $1⩽k⩽n-1$, on pose $u_k=e^{2ik\pi \mathrm{/}n}$. Par la technique de l'arc moitié, factoriser $u_k+1$ et $u_k-1$, puis montrer que

   $$\frac{u_k+1}{u_k-1}=-i\frac{\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k\pi }{n}\right)}{\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k\pi }{n}\right)}\mathrm{.}$$

5. Écrire l'ensemble des solutions de $(E_n)$ et vérifier la cohérence avec la question 2. Traiter le cas $n=3$, en confirmant le résultat par un calcul direct.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On note $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $i$ et $-i$. On pose $D=\mathbb{C}\setminus \{-i\}$ et, pour tout $z\in D$,

1. Justifier que $f$ est bien définie sur $D$, et calculer $f(0)$, $f(1)$ et $f(i\sqrt{3})$ sous forme algébrique.

2. Soit $z\in D$ et $M$ le point d'affixe $z$. Montrer que $\mathrm{\mid }f(z)\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{AM}{BM}}$.

3. Montrer que, pour $z\in D$,

   $$\mathrm{\mid }f(z)\mathrm{\mid }=1⟺z\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

   Interpréter géométriquement ce résultat à l'aide de la question 2.

4. Montrer que, pour $z\in D$, $\mathrm{\mid }f(z)\mathrm{\mid }<1⟺\mathrm{Im}(z)>0$. En déduire l'équivalence $\mathrm{\mid }f(z)\mathrm{\mid }>1⟺\mathrm{Im}(z)<0$. Vérifier la cohérence avec les valeurs calculées à la question 1.

5. Soit $w\in \mathbb{C}$. Résoudre dans $D$ l'équation $f(z)=w$, en distinguant les cas $w=1$ et $w\mathrm{\ne }1$. En déduire que $f$ est injective et déterminer son image $f(D)$.

6. On note $H=\{z\in \mathbb{C};\mathrm{Im}(z)>0\}$ le demi-plan supérieur ouvert et $\mathrm{\Delta }=\{w\in \mathbb{C};\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }<1\}$ le disque unité ouvert. Déduire des questions 4 et 5 que $f$ réalise une bijection de $H$ sur $\mathrm{\Delta }$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ et l'on pose $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$. Soient $A$, $B$, $C$ trois points deux à deux distincts, d'affixes respectives $a$, $b$, $c$.

On dit que le triangle $ABC$ est équilatéral direct lorsque $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi }{3}$, et équilatéral indirect lorsque $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $-\frac{\pi }{3}$.

1. Montrer que $j^3=1$ et $1+j+j^2=0$, puis que $-j^2=e^{i\pi \mathrm{/}3}$ et $-j=e^{-i\pi \mathrm{/}3}$.

2. a. Montrer que $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $c-a=e^{i\pi \mathrm{/}3}(b-a)$.

   b. Montrer que, dans ce cas, $AB=AC=BC$ : le triangle est bien équilatéral au sens usuel.

3. En déduire que $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $a+jb+j^{2}c=0$.

4. Établir de même que $ABC$ est équilatéral indirect si et seulement si $a+j^{2}b+jc=0$.

5. Développer le produit $(a+jb+j^{2}c)(a+j^{2}b+jc)$ et montrer qu'il vaut $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$. En déduire que $ABC$ est équilatéral (direct ou indirect) si et seulement si

   $$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\mathrm{.}$$

6. Application : on prend $a=1$, $b=3$ et $c=2+i\sqrt{3}$. Montrer que $ABC$ est équilatéral, puis préciser s'il est direct ou indirect.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. Pour $a\in {\mathbb{C}}^{\ast }$ et $b\in \mathbb{C}$, on note $f$ la transformation du plan qui, au point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M^{\mathrm{\prime }}$ d'affixe $z^{\mathrm{\prime }}=az+b$. On rappelle que si $\mathrm{\Omega }$, $P$, $Q$ sont trois points d'affixes $z_{\mathrm{\Omega }}$, $z_P$, $z_Q$ avec $P\mathrm{\ne }\mathrm{\Omega }$ et $Q\mathrm{\ne }\mathrm{\Omega }$, alors $\arg \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{z_Q-z_{\mathrm{\Omega }}}{z_P-z_{\mathrm{\Omega }}}\right)$ est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{\mathrm{\Omega }P},\overrightarrow{\mathrm{\Omega }Q})$.

1. On suppose $a\mathrm{\ne }1$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe, le point $\mathrm{\Omega }$ d'affixe

   $$\omega =\frac{b}{1-a}\mathrm{.}$$

2. Toujours pour $a\mathrm{\ne }1$, montrer que pour tout $z\in \mathbb{C}$ on a $f(z)-\omega =a(z-\omega )$ (écriture réduite). En déduire que, pour tout point $M\mathrm{\ne }\mathrm{\Omega }$,

   $$\mathrm{\Omega }{M}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\times \mathrm{\Omega }M\text{et}(\overrightarrow{\mathrm{\Omega }M},\overrightarrow{\mathrm{\Omega }{M}^{\mathrm{\prime }}})\equiv \arg (a)[2\pi ],$$

   et conclure que $f$ est la similitude directe de centre $\mathrm{\Omega }$, de rapport $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ et d'angle $\arg (a)$.

3. À quelle condition sur $a$ cette similitude est-elle une rotation ? une homothétie ? Que devient $f$ lorsque $a=1$ ?

4. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de chacune des transformations suivantes :

   a. $f_1(z)=(1+i)z+2$

   b. $f_2(z)=-2z+3i$

   c. $f_3(z)=iz+1-i$

5. Soient ${\mathrm{\Omega }}_1$ et ${\mathrm{\Omega }}_2$ deux points d'affixes ${\omega }_1$ et ${\omega }_2$, et $\theta$ un réel. On note $r_1$ la rotation de centre ${\mathrm{\Omega }}_1$ et d'angle $\theta$, et $r_2$ la rotation de centre ${\mathrm{\Omega }}_2$ et d'angle $-\theta$. Déterminer l'expression complexe de $r_2\circ r_1$ et montrer que cette composée est une translation, dont on précisera le vecteur. À quelle condition est-ce l'identité ?

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On note $A$, $B$, $C$, $D$ des points d'affixes respectives $a$, $b$, $c$, $d$.

1. On suppose $A$, $B$, $C$ deux à deux distincts. Montrer que $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si

   $$\frac{c-a}{b-a}\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

2. a. Soient $\vec{w}$ et $\overrightarrow{w^{\mathrm{\prime }}}$ deux vecteurs d'affixes respectives $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$. Montrer que leur produit scalaire vaut $\vec{w}\cdot \overrightarrow{w^{\mathrm{\prime }}}=\mathrm{Re}\left(\bar{z}{z}^{\mathrm{\prime }}\right)$.

   b. En déduire que, pour $A$, $B$, $C$ deux à deux distincts,

   $$(AB)\perp (AC)⟺\frac{c-a}{b-a}\in i\mathbb{R}\mathrm{.}$$

3. Application numérique. On pose $a=1+i$, $b=3+2i$, $c=-1$ et $d=3i$.

   a. Montrer que $A$, $B$, $C$ sont alignés et préciser la position de $A$ sur le segment $[BC]$.

   b. Montrer que $(AB)\perp (AD)$.

4. On admet le critère suivant : si $A$, $B$, $C$, $D$ sont deux à deux distincts, alors $A$, $B$, $C$, $D$ sont alignés ou cocycliques si et seulement si

   $$\frac{c-a}{c-b}/\frac{d-a}{d-b}\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

   On prend désormais $a=1$, $b=i$, $c=-1$ et $d={\displaystyle \frac{3+4i}{5}}$.

   a. Montrer que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, puis que $A$, $B$, $C$, $D$ sont cocycliques. Identifier le cercle en calculant les modules de $a$, $b$, $c$, $d$.

   b. Le point $E$ d'affixe $2$ appartient-il au cercle circonscrit au triangle $ABC$ ? Justifier par le calcul du critère, puis retrouver la réponse directement.

Dans tout l'exercice, les lettres désignent des nombres complexes, ${\mathbb{R}}_{+}$ désigne l'ensemble des réels positifs ou nuls et $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$.

1. Soit $w\in \mathbb{C}$. Montrer que $\mathrm{Re}(w)⩽\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }$, et que l'égalité a lieu si et seulement si $w\in {\mathbb{R}}_{+}$.

2. Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes.

   a. Montrer que $\mathrm{\mid }a+b{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }a{\mathrm{\mid }}^2+2\mathrm{Re}\left(a\bar{b}\right)+\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2$.

   b. En déduire l'inégalité triangulaire $\mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$.

   c. Montrer que $\mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ si et seulement si $a\bar{b}\in {\mathbb{R}}_{+}$.

   d. En déduire que $\mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ si et seulement si $b=0$ ou il existe $\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}$ tel que $a=\lambda b$.

3. Soit $n$ un entier tel que $n⩾1$. Montrer par récurrence que pour tous nombres complexes $z_1,\dots ,z_n$,

   $$\mid \sum _{k=1}^n{z}_k\mid ⩽\sum _{k=1}^n\mathrm{\mid }{z}_k\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

4. On suppose maintenant que $z_1,\dots ,z_n$ réalisent le cas d'égalité, c'est-à-dire que $\mid {\sum }_{k=1}^n{z}_k\mid ={\sum }_{k=1}^n\mathrm{\mid }{z}_k\mathrm{\mid }$, et on pose $S={\sum }_{k=1}^n{z}_k$.

   a. Montrer que si $S=0$, alors $z_k=0$ pour tout entier $k$ tel que $1⩽k⩽n$.

   b. On suppose $S\mathrm{\ne }0$ et on pose $u={\displaystyle \frac{S}{\mathrm{\mid }S\mathrm{\mid }}}$. Montrer que $u\in \mathbb{U}$, puis que ${\sum }_{k=1}^n\mathrm{Re}\left(\bar{u}{z}_k\right)={\sum }_{k=1}^n\mathrm{\mid }{z}_k\mathrm{\mid }$.

   c. En déduire que $\bar{u}{z}_k\in {\mathbb{R}}_{+}$ pour tout $k$, puis qu'il existe $u\in \mathbb{U}$ et des réels positifs ou nuls ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ tels que $z_k={\lambda }_{k}u$ pour tout $k$.

5. Application. Soient $a$, $b$, $c$ trois nombres complexes de module $1$ tels que $\mathrm{\mid }a+b+c\mathrm{\mid }=3$. Montrer que $a=b=c$.