Devoir surveillé — Nombres complexes

Pour chacune des six affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être démontrée ; une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite, et l'on énoncera alors la version corrigée. Chaque question vaut $\mathrm{0,5}$ point.

1. Il existe sur $\mathbb{C}$ une relation d'ordre total $\preccurlyeq$ qui prolonge l'ordre usuel de $\mathbb{R}$ et qui est compatible avec les opérations, c'est-à-dire telle que, pour tous $z$, $z^{\mathrm{\prime }}$, $w$ de $\mathbb{C}$ : si $z\preccurlyeq z^{\mathrm{\prime }}$ alors $z+w\preccurlyeq z^{\mathrm{\prime }}+w$, et si $0\preccurlyeq z$ et $0\preccurlyeq z^{\mathrm{\prime }}$ alors $0\preccurlyeq z{z}^{\mathrm{\prime }}$.

2. L'application $z\mapsto \bar{z}$ est une similitude directe du plan.

3. Pour tout réel $\theta$, $\mid e^{i\theta }-1\mid =2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$.

4. Si $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$ vérifie $z+{\displaystyle \frac{1}{z}}\in \mathbb{R}$, alors $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$.

5. Pour tout entier $n⩾1$, la somme des racines $n$-ièmes de l'unité est nulle.

6. Si un nombre complexe $z$ vérifie $z^3\in \mathbb{R}$ et $z^5\in \mathbb{R}$, alors $z\in \mathbb{R}$.

On dit qu'un entier naturel $N$ est une somme de deux carrés s'il existe deux entiers relatifs $x$ et $y$ tels que $N=x^2+y^2$. L'objet de cet exercice est de démontrer, à l'aide des seuls nombres complexes, que l'ensemble des sommes de deux carrés est stable par produit, puis d'en tirer une construction de triangles rectangles à côtés entiers.

On note $\mathbb{Z}[i]=\{a+ib;(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}$, et pour $z\in \mathbb{Z}[i]$ on pose $N(z)=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2$.

1. (0,5 pt) Démontrer que pour tout $z=a+ib$ de $\mathbb{Z}[i]$, avec $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$, on a $N(z)=a^2+b^2$, et que $N(z)$ est un entier naturel. Démontrer ensuite que $N\left(z{z}^{\mathrm{\prime }}\right)=N(z)N\left(z^{\mathrm{\prime }}\right)$ pour tous $z,z^{\mathrm{\prime }}$ de $\mathbb{Z}[i]$.

2. (0,75 pt) En développant le produit $(a+ib)(c+id)$, puis en recommençant avec $(a+ib)(c-id)$, démontrer que pour tous entiers relatifs $a$, $b$, $c$, $d$ :

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2=(ac+bd{)}^2+(bc-ad{)}^2\mathrm{.}$$

3. (0,5 pt) En déduire deux écritures de $65$ comme somme de deux carrés d'entiers naturels, puis une écriture de $1105=5\times 13\times 17$ comme somme de deux carrés. On utilisera $5=2^2+1^2$, $13=3^2+2^2$ et $17=4^2+1^2$.

4. (0,75 pt) Démontrer par récurrence que tout produit d'un nombre fini d'entiers naturels qui sont des sommes de deux carrés est encore une somme de deux carrés.

5. (1 pt) Soient $u$ et $v$ deux entiers vérifiant $u>v>0$. On pose $z=u+iv$.

a. En calculant $N\left(z^2\right)$ de deux façons, démontrer que

$${(u^2-v^2)}^2+(2uv{)}^2={(u^2+v^2)}^2\mathrm{.}$$

b. Écrire le triplet obtenu pour $(u,v)=(2,1)$, puis pour $(u,v)=(4,1)$.

c. En choisissant $u=n+1$ et $v=n$ avec $n⩾1$, démontrer qu'il existe une infinité de triangles rectangles dont les trois côtés sont des entiers et dont l'hypoténuse dépasse d'exactement $1$ l'un des deux autres côtés.

Soient $n$ un entier naturel non nul et $\theta$ un nombre réel. On s'intéresse à l'équation d'inconnue $z\in \mathbb{C}$

$$(E_{\theta }):z^{2n}-2\cos (n\theta )z^n+1=0.$$

1. (0,5 pt) Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $Z^2-2\cos (\alpha )Z+1=0$ d'inconnue $Z$.

2. (0,75 pt) En déduire l'ensemble des solutions de $(E_{\theta })$, sous forme exponentielle.

3. (0,5 pt) Démontrer que toutes les solutions de $(E_{\theta })$ sont de module $1$, et décrire géométriquement l'ensemble de leurs images dans le plan complexe. On précisera par quelle transformation du plan on passe de l'une des deux familles de points à l'autre.

4. (0,75 pt) Démontrer que $(E_{\theta })$ admet exactement $2n$ solutions distinctes si $n\theta \mathrm{\notin }\pi \mathbb{Z}$, et exactement $n$ solutions distinctes sinon.

5. (1 pt) Application : résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^6-z^3+1=0$. On contrôlera le résultat en développant le produit $(z^3+1)(z^6-z^3+1)$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. Soit $n$ un entier vérifiant $n⩾2$. Pour $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$, on note ${\omega }_k=e^{2ik\pi \mathrm{/}n}$ et $A_k$ le point d'affixe ${\omega }_k$ : les points $A_0,\dots ,A_{n-1}$ sont les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique. On note $M$ un point du plan, d'affixe $z$, et l'on pose

$$S(M)=\sum _{k=0}^{n-1}M{A}_k^2\mathrm{.}$$

On admet les deux résultats suivants, conséquences directes du cours : ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\omega }_k=0}$ et ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\cos \frac{2k\pi }{n}=0}$.

1. (0,5 pt) Démontrer que $S(M)=n(\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2+1)$. Que remarque-t-on lorsque $M$ décrit le cercle trigonométrique ?

2. (0,5 pt) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant $S(M)=4n$.

3. (0,75 pt) On admet également le résultat suivant, obtenu par la technique de l'arc moitié et déjà établi en exercice : pour $1⩽k⩽n-1$, $\mid 1-{\omega }_k\mid =2\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{n}}$. En appliquant la question 1. au point $A_0$, démontrer que

$$\sum _{k=1}^{n-1}{\sin }^2\frac{k\pi }{n}=\frac{n}{2}\mathrm{.}$$

4. (0,75 pt) Retrouver ce résultat par une seconde méthode, en linéarisant ${\sin }^2{\displaystyle \frac{k\pi }{n}}$.

5. (0,5 pt) En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\cos }^2\frac{k\pi }{n}}$.

6. (0,5 pt) Démontrer que tout point $M$ situé à une distance supérieure ou égale à $1$ de l'origine vérifie : il existe au moins un sommet $A_k$ tel que $M{A}_k⩾\sqrt{2}$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On note $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$, et l'on rappelle que $z\in \mathbb{U}$ équivaut à $\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{z}}$.

Dans tout le problème, $a$, $b$, $c$ sont trois éléments deux à deux distincts de $\mathbb{U}$, et $A$, $B$, $C$ sont les points d'affixes respectives $a$, $b$, $c$ : le triangle $ABC$ est donc inscrit dans le cercle trigonométrique, dont le centre est $O$. On pose

$$s=a+b+c\mathrm{.}$$

On utilisera librement le critère suivant, conséquence immédiate du cours : si $M\mathrm{\ne }N$ et $P\mathrm{\ne }Q$ sont quatre points d'affixes $z_M,z_N,z_P,z_Q$, alors

$$(MN)\parallel (PQ)⟺\frac{z_N-z_M}{z_Q-z_P}\in \mathbb{R}\text{et}(MN)\perp (PQ)⟺\frac{z_N-z_M}{z_Q-z_P}\in i\mathbb{R}\mathrm{.}$$

Le problème établit que neuf points remarquables du triangle sont sur un même cercle, dont on déterminera le centre et le rayon.

Partie A — La boîte à outils du cercle unité

A.1. (0,5 pt) Soient $u$ et $v$ deux éléments de $\mathbb{U}$. Démontrer que

$$\overline{u-v}=-\frac{u-v}{uv}\text{et}\overline{u+v}=\frac{u+v}{uv}\mathrm{.}$$

A.2. (0,75 pt) En déduire que trois points deux à deux distincts du cercle trigonométrique ne sont jamais alignés. En particulier, $ABC$ est un vrai triangle.

Partie B — L'orthocentre et la droite d'Euler

On note $H$ le point d'affixe $h=s=a+b+c$.

B.1. (0,75 pt) Démontrer que $H$ appartient à la hauteur du triangle $ABC$ issue de $A$. On distinguera les cas $b+c\mathrm{\ne }0$ et $b+c=0$.

B.2. (0,25 pt) En déduire que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.

B.3. (0,5 pt) Application numérique : on prend $a=1$, $b=i$ et $c={\displaystyle \frac{-5+12i}{13}}$. Vérifier que ces trois nombres sont bien de module $1$, calculer $h$, puis contrôler par le calcul que $(AH)\perp (BC)$.

B.4. (0,5 pt) On note $G$ l'isobarycentre des points $A$, $B$, $C$, c'est-à-dire le centre de gravité du triangle. Démontrer que les points $O$, $G$ et $H$ sont alignés et que $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$. Que se passe-t-il lorsque $s=0$ ?

Partie C — Le cercle des neuf points

On note $\mathrm{\Omega }$ le milieu du segment $[OH]$, d'affixe $\omega ={\displaystyle \frac{s}{2}}$.

C.1. (0,5 pt) Démontrer que les trois milieux des côtés du triangle sont à la distance ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ du point $\mathrm{\Omega }$.

C.2. (0,5 pt) Démontrer qu'il en va de même des milieux des segments $[AH]$, $[BH]$ et $[CH]$.

C.3. On note $P$ le point d'affixe ${\displaystyle p=\frac{1}{2}(a+b+c-\frac{bc}{a})}$.

a. (0,5 pt) Démontrer que ${\displaystyle p-b=\frac{(a-b)(a+c)}{2a}}$ et que ${\displaystyle p-a=\frac{(b-a)(a-c)}{2a}}$. En déduire que $p\mathrm{\ne }a$.

b. (0,75 pt) Démontrer que $P$ appartient à la droite $(BC)$, puis que $(AP)\perp (BC)$. Conclure que $P$ est le pied de la hauteur issue de $A$.

C.4. (0,5 pt) Démontrer que $\mathrm{\Omega }P={\displaystyle \frac{1}{2}}$, et énoncer le résultat obtenu en dénombrant les points concernés.

C.5. (0,5 pt) Application numérique, avec les valeurs de la question B.3. : calculer $\omega$, puis vérifier que le milieu de $[BC]$ et le pied de la hauteur issue de $A$ sont bien à la distance ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ de $\mathrm{\Omega }$.