Exercices — Intégration

On considère la fonction $\phi :[0,4]\to \mathbb{R}$ définie par

$$\phi (t)=3\text{ sur }]0,1[,\phi (t)=-2\text{ sur }]1,2[,\phi (t)=1\text{ sur }]2,3[,\phi (t)=-1\text{ sur }]3,4[$$

les valeurs de $\phi$ en $0$, $1$, $2$, $3$ et $4$ étant respectivement $5$, $0$, $7$, $-4$ et $2$.

1. Justifier que $\phi$ est en escalier, donner une subdivision adaptée et calculer ${\displaystyle {\int }_0^4\phi (t)\mathrm{d}t}$. Que devient ce nombre si l'on remplace les cinq valeurs $\phi (0),\dots ,\phi (4)$ par cinq autres réels quelconques ?

2. Reprendre le calcul avec la subdivision ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}=(0,\frac{1}{2},1,2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},4)$, strictement plus fine que la précédente, et vérifier que l'on obtient le même nombre.

3. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^4\mathrm{\mid }\phi (t)\mathrm{\mid }\mathrm{d}t}$, puis comparer ce nombre à $\mid {\displaystyle {\int }_0^4\phi (t)\mathrm{d}t}\mid$.

4. Soit $\psi$ la fonction en escalier sur $[0,4]$ valant $2$ sur $]0,\frac{3}{2}[$, $-1$ sur $]\frac{3}{2},\frac{5}{2}[$ et $4$ sur $]\frac{5}{2},4[$, et nulle en $0$, $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{2}$ et $4$. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^4\psi (t)\mathrm{d}t}$, puis ${\displaystyle {\int }_0^4(\phi (t)+\psi (t))\mathrm{d}t}$ à l'aide d'une subdivision adaptée aux deux fonctions à la fois.

Pour chacune des six fonctions ci-dessous, dire si elle est continue par morceaux sur le segment indiqué. On reviendra systématiquement à la définition : existence d'une subdivision $\sigma =(a_0,\dots ,a_n)$ du segment telle que, sur chaque intervalle ouvert $]a_{i-1},a_i[$, la fonction soit continue, admette une limite finie à droite en $a_{i-1}$ et une limite finie à gauche en $a_i$. Toute réponse négative devra être justifiée par un argument précis, et non par la seule constatation d'une discontinuité.

Calculer les quatre intégrales suivantes. Dans chaque cas, on commencera par déterminer les sous-segments sur lesquels la fonction intégrée est donnée par une expression simple, puis on découpera l'intégrale grâce à la relation de Chasles. On justifiera au passage que la fonction intégrée est bien continue par morceaux sur le segment considéré.

Aucune des quatre intégrales ci-dessous ne doit être calculée. Pour chacune, encadrer d'abord la fonction intégrée sur le segment considéré, puis en déduire un encadrement de l'intégrale par croissance de l'intégrale. Lorsque l'intégrande se présente comme un produit, on affinera ensuite l'encadrement en n'encadrant que l'un des deux facteurs, dans l'esprit de l'inégalité de la moyenne.

Enfin, pour l'intégrale $I_1$, dire si les deux inégalités obtenues sont strictes ou non, et le démontrer.

Calculer les cinq intégrales suivantes à l'aide d'une intégration par parties. On précisera à chaque fois les deux fonctions choisies, on vérifiera qu'elles sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur le segment d'intégration, et l'on expliquera brièvement pourquoi ce choix est le bon.

Calculer les cinq intégrales suivantes par un changement de variable. On énoncera à chaque fois le changement utilisé, on vérifiera ses hypothèses (classe ${\mathcal{C}}^1$, continuité de la fonction intégrée sur l'intervalle d'arrivée) et l'on transportera soigneusement les bornes.

1. On pose $F(x)={\displaystyle {\int }_0^x{\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{1+t^4}}}$.

a. Justifier que $F$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier et qu'elle y est de classe ${\mathcal{C}}^1$, puis calculer $F^{\mathrm{\prime }}$.

b. En déduire le sens de variation de $F$ sur $\mathbb{R}$.

c. Montrer que $F$ est impaire, à l'aide du changement de variable $t=-u$.

2. On pose $G(x)={\displaystyle {\int }_x^{2x}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t}$. Exprimer $G(x)$ à l'aide de la primitive $\mathrm{\Phi }$ de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-t^2}$ qui s'annule en $0$, puis en déduire que $G$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $G^{\mathrm{\prime }}(x)$.

3. On pose $H(x)={\displaystyle {\int }_0^{x^2}\sin t\mathrm{d}t}$. Calculer $H^{\mathrm{\prime }}(x)$ par composition, puis vérifier le résultat en calculant explicitement $H(x)$.

1. Montrer que $x\mapsto 3x+1$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$, en exhibant pour tout $\epsilon >0$ un réel $\delta >0$ explicite.

2.a. Montrer que $x\mapsto x^2$ est uniformément continue sur $[0,1]$.

2.b. Montrer qu'elle ne l'est pas sur $\mathbb{R}$. On écrira d'abord soigneusement la négation de la définition, puis on utilisera les suites $x_n=n$ et $y_n=n+{\displaystyle \frac{1}{n}}$.

3. Soit $g:x\mapsto \sqrt{x}$, définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

a. Montrer que pour tous réels $x,y⩾0$, $\mid \sqrt{x}-\sqrt{y}\mid ⩽\sqrt{\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }}$.

b. En déduire que $g$ est uniformément continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

c. Montrer que $g$ n'est pas lipschitzienne sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Montrer que $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ n'est pas uniformément continue sur $]0,1]$.

Déterminer, pour chacune des quatre suites suivantes, sa limite quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, en la reconnaissant comme une somme de Riemann. On précisera à chaque fois la fonction et le segment utilisés, et l'on vérifiera les hypothèses du théorème avant de l'appliquer.

1.a. Rappeler la définition de ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t}$ lorsque $f$ est une fonction continue par morceaux de $[a,b]$ dans $\mathbb{C}$. Quelles propriétés de l'intégrale d'une fonction à valeurs réelles subsistent, et lesquelles perdent tout sens ?

1.b. Justifier que pour $\lambda \in {\mathbb{C}}^{\ast }$, la fonction $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{\lambda }}{\mathrm{e}}^{\lambda t}$ est une primitive de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{\lambda t}$ sur $\mathbb{R}$, et en déduire une expression de ${\displaystyle {\int }_a^b{\mathrm{e}}^{\lambda t}\mathrm{d}t}$.

2. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}t}\mathrm{d}t}$, puis en déduire les valeurs de ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\cos (2t)\mathrm{d}t}$ et de ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\sin (2t)\mathrm{d}t}$.

3. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})t}\mathrm{d}t}$ et en donner la forme algébrique. En déduire les valeurs de ${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^t\cos t\mathrm{d}t}$ et de ${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^t\sin t\mathrm{d}t}$.

4. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t}$ et ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\mid {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\mid \mathrm{d}t}$. Vérifier sur cet exemple l'inégalité $\mid {\displaystyle {\int }_a^{b}f}\mid ⩽{\displaystyle {\int }_a^b\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }}$, et préciser à quelle condition sur $f$ elle est une égalité.

1. Soient $a>0$ et $f$ une fonction continue sur $[-a,a]$. À l'aide du changement de variable $t=-u$, montrer que

$${\int }_{-a}^{a}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^a(f(t)+f(-t))\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

En déduire que cette intégrale vaut $2{\displaystyle {\int }_0^{a}f(t)\mathrm{d}t}$ si $f$ est paire, et $0$ si $f$ est impaire.

2. Soient $T>0$ et $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $T$-périodique. On pose, pour tout réel $\alpha$, $\mathrm{\Phi }(\alpha )={\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\alpha +T}f(t)\mathrm{d}t}$. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, calculer ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}$, et en déduire que ${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\alpha +T}f}$ ne dépend pas de $\alpha$.

3. Applications : calculer les trois intégrales suivantes en utilisant les résultats précédents, sans chercher de primitive de la fonction intégrée dans le premier cas.

a. ${\displaystyle {\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{t^3\cos t}{1+t^2}}\mathrm{d}t}$

b. ${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}t\mathrm{d}t}$

c. ${\displaystyle {\int }_3^{3+2\pi }\mathrm{\mid }\sin t\mathrm{\mid }\mathrm{d}t}$

Les quatre questions sont indépendantes.

1. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $I_n={\displaystyle {\int }_0^1{t}^n\sqrt{1+t}\mathrm{d}t}$. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}⩽I_n⩽{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{n+1}}$, puis déterminer la limite de la suite $(I_n)$.

2.a. Montrer que pour tout réel $t$, $1-t^2⩽{\mathrm{e}}^{-t^2}⩽{\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}$.

2.b. En déduire un encadrement de ${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t}$ par deux valeurs exactes, puis un encadrement par deux nombres décimaux à deux chiffres après la virgule.

3. On pose $J={\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\displaystyle \frac{\sin t}{1+t^2}}\mathrm{d}t}$. Majorer $\mathrm{\mid }J\mathrm{\mid }$ de deux façons : d'abord par l'inégalité triangulaire, ensuite par l'inégalité de la moyenne. Comparer la qualité des deux majorations obtenues et expliquer l'écart.

4. Soient $a<b$ et $f$ une fonction continue sur $[a,b]$, à valeurs réelles, telle que $\mid {\displaystyle {\int }_a^{b}f}\mid ={\displaystyle {\int }_a^b\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }}$. Montrer que $f$ garde un signe constant sur $[a,b]$.

Les deux suites étudiées ici sont définies par des intégrales sur le segment $[0,1]$, où les fonctions intégrées sont continues. Dans les deux cas, on ne cherche pas à calculer directement le terme général : une intégration par parties fournit une relation de récurrence, et c'est elle qui donne tout.

Partie A. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose ${\displaystyle I_n={\int }_0^1{t}^n{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t}$.

1. Calculer $I_0$.

2. Montrer que pour tout entier $n⩾1$, $I_n=\mathrm{e}-n{I}_{n-1}$.

3. En déduire les valeurs exactes de $I_1$, $I_2$ et $I_3$.

Partie B. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose ${\displaystyle A_n={\int }_0^1{(1-t^2)}^n\mathrm{d}t}$.

4. Calculer $A_0$ et $A_1$.

5. Par une intégration par parties dans laquelle on dérive ${(1-t^2)}^n$ et on primitive $1$, puis en écrivant $t^2=-(1-t^2)+1$, montrer que pour tout entier $n⩾1$,

$$A_n=\frac{2n}{2n+1}{A}_{n-1}\mathrm{.}$$

6. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $A_n={\displaystyle \frac{4^n(n!{)}^2}{(2n+1)!}}$, et contrôler cette formule sur $A_1$ et $A_2$.

On rappelle le théorème de changement de variable : si $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur le segment $[\alpha ,\beta ]$ et si $f$ est continue sur un intervalle contenant $\phi ([\alpha ,\beta ])$, alors

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t={\int }_{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(u)\mathrm{d}u\mathrm{.}$$

Calculer les quatre intégrales suivantes. À chaque question, on vérifiera explicitement les hypothèses du théorème, c'est-à-dire la classe ${\mathcal{C}}^1$ de $\phi$ sur le segment d'intégration et la continuité de $f$ sur un intervalle contenant l'image.

On rappelle le théorème des sommes de Riemann : si $f$ est continue sur le segment $[a,b]$, alors la suite

$$S_n(f)=\frac{b-a}{n}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(a+k\frac{b-a}{n})}$$

converge vers ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t}$. Il en va de même de la variante ${\displaystyle \frac{b-a}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(a+k{\displaystyle \frac{b-a}{n}})}$, qui évalue $f$ à l'extrémité droite de chaque sous-intervalle.

Déterminer la limite, quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, de chacune des quatre suites suivantes. Les deux premières demandent une factorisation préalable par $n$ pour faire apparaître les quotients ${\displaystyle \frac{k}{n}}$.

Dans tout l'exercice, $a$ et $b$ désignent deux réels tels que $a<b$.

1. Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a,b]$ telle que ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=0}$. Démontrer que $f$ est identiquement nulle sur $[a,b]$. On raisonnera par l'absurde : si $f(x_0)>0$ pour un certain $x_0\in [a,b]$, la continuité de $f$ en $x_0$ fournit un sous-segment de $[a,b]$, de longueur strictement positive, sur lequel $f⩾{\displaystyle \frac{f(x_0)}{2}}$.

2. Montrer que l'hypothèse de continuité est indispensable, en donnant une fonction continue par morceaux et positive sur $[0,1]$, non identiquement nulle, dont l'intégrale est nulle.

3. Soit $f$ continue sur $[a,b]$ telle que ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t{)}^2\mathrm{d}t=0}$. Montrer que $f$ est nulle sur $[a,b]$.

4. Soit $f$ continue sur $[a,b]$ telle que ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=0}$, sans aucune hypothèse de signe cette fois. Montrer que $f$ s'annule au moins une fois sur $[a,b]$.

Pour tout réel $x$, on pose

$$F(x)={\int }_x^{2x}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}\mathrm{.}$$

Les quatre premières questions se traitent sans calculer explicitement de primitive de $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}$ : on n'utilisera que la continuité de cette fonction, la relation de Chasles et le théorème fondamental. La question 5 reprend l'étude avec la primitive explicite, à titre de contrôle.

1. Justifier que $F$ est définie sur $\mathbb{R}$ et qu'elle y est de classe ${\mathcal{C}}^1$.

2. Montrer que $F$ est impaire.

3. Calculer $F^{\mathrm{\prime }}(x)$ et étudier son signe.

4. Démontrer que ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0}$, puis dresser le tableau de variations de $F$ sur $\mathbb{R}$. On notera $M=F\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)$ la valeur maximale, dont l'expression sera obtenue à la question 5.

5. Démontrer que $F(x)=\mathrm{Arctan}(2x)-\mathrm{Arctan}(x)$ pour tout réel $x$, en déduire la valeur exacte de $M$, et retrouver sur cette expression les réponses aux questions 2, 3 et 4.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose

$$I_n={\int }_0^1\frac{t^n}{1+t}\mathrm{d}t\text{et}{S}_n=\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k},$$

avec la convention $S_0=0$ (somme vide). Les fonctions intégrées sont continues sur $[0,1]$, le dénominateur $1+t$ ne s'annulant pas sur ce segment.

1. Calculer $I_0$.

2. Montrer que la suite $(I_n)$ est positive et décroissante.

3. Établir que $0⩽I_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et en déduire ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n}$.

4. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $I_n+I_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$.

5. En déduire par récurrence que $S_n=\ln 2-(-1{)}^n{I}_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis que la suite $(S_n)$ converge vers $\ln 2$. Attention au cadre : aucun théorème sur les séries n'est disponible, tout doit se faire avec des sommes finies et des suites.

6. À l'aide de la relation de la question 4 et de la décroissance, établir que pour tout entier $n⩾1$,

$$\frac{1}{2(n+1)}⩽I_n⩽\frac{1}{2n},$$

puis en déduire que $I_n\sim {\displaystyle \frac{1}{2n}}$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

On rappelle la formule de Taylor avec reste intégral : si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$ sur un intervalle $I$ et si $a,x\in I$, alors

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Écrire cette formule à l'ordre $2$ en $0$ pour la fonction $f:x\mapsto \ln (1+x)$, en explicitant le reste sous forme d'intégrale.

2. En déduire que, pour tout réel $x⩾0$, $x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}⩽\ln (1+x)⩽x$. On étudiera uniquement le signe du reste, sans chercher à le calculer ; l'inégalité de droite s'obtient avec la formule à l'ordre $1$.

3. Démontrer de la même façon que ${\mathrm{e}}^x⩾1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ pour tout réel $x⩾0$.

4. Démontrer que $\mid \sin x-x\mid ⩽{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^3}{6}}$ pour tout réel $x$. On prendra garde au cas $x<0$, où les bornes de l'intégrale sont rangées dans l'ordre décroissant.

1. Énoncer l'inégalité de Taylor-Lagrange en précisant toutes ses hypothèses, puis la démontrer en quelques lignes à partir de la formule de Taylor avec reste intégral.

2. On approche $\mathrm{e}$ par ${\displaystyle \sum _{k=0}^5\frac{1}{k!}}$. Majorer l'erreur commise, puis donner la valeur décimale approchée ainsi obtenue et préciser combien de décimales sont certaines. On utilisera la majoration $\mathrm{e}⩽3$.

3. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que ${\displaystyle \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}}$ approche $\mathrm{e}$ avec une erreur inférieure à ${10}^{-6}$, et justifier que $n-1$ ne convient pas.

4. On approche $\cos (\mathrm{0,1})$ par $1-{\displaystyle \frac{(\mathrm{0,1}{)}^2}{2}}$. Majorer l'erreur commise et conclure sur le nombre de décimales exactes.

5. Expliquer pourquoi la formule de Taylor-Young ne permettrait aucune des majorations précédentes.

Partie A. Le lemme de comparaison. Dans cette partie, $f$ est une fonction continue, positive et décroissante sur $[1,+\mathrm{\infty }[$.

1. Montrer que, pour tout entier $k⩾2$, ${\displaystyle f(k)⩽{\int }_{k-1}^{k}f(t)\mathrm{d}t⩽f(k-1)}$.

2. En déduire que, pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle {\int }_1^{n+1}f(t)\mathrm{d}t⩽\sum _{k=1}^{n}f(k)⩽f(1)+{\int }_1^{n}f(t)\mathrm{d}t}$.

Partie B. Trois applications.

3. On pose $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$. Établir l'encadrement $\ln (n+1)⩽H_n⩽1+\ln n$ pour tout $n⩾1$, puis en déduire que $H_n\sim \ln n$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

4. On pose $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}}$. Montrer que la suite $(S_n)$ est croissante et majorée par $2$. Qu'en conclut-on ?

5. Montrer que ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\sqrt{k}\sim \frac{2}{3}{n}^{3\mathrm{/}2}}$. On commencera par observer que le lemme de la partie A ne s'applique pas tel quel.

Les trois questions sont indépendantes. Sur un intervalle non borné, le théorème de Heine ne s'applique pas : il faut à chaque fois un argument spécifique.

1. Soit $f$ une fonction continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ admettant une limite finie $\mathrm{\ell }$ en $+\mathrm{\infty }$. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. On pourra, $\epsilon >0$ étant fixé, choisir un réel $A$ tel que $\mathrm{\mid }f(x)-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour $x⩾A$, appliquer le théorème de Heine sur le segment $[0,A+1]$, puis recoller soigneusement les deux régimes.

2. Montrer que la fonction $x\mapsto \sin \left(x^2\right)$ n'est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$. On utilisera les suites définies pour $n⩾1$ par $x_n=\sqrt{2n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$ et $y_n=\sqrt{2n\pi }$.

3. Soit $f$ une fonction uniformément continue sur $\mathbb{R}$. Montrer qu'il existe deux réels positifs $\alpha$ et $\beta$ tels que $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }⩽\alpha \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\beta$ pour tout réel $x$ : une fonction uniformément continue sur $\mathbb{R}$ croît au plus comme une fonction affine. On appliquera la définition avec $\epsilon =1$, puis on découpera le segment d'extrémités $0$ et $x$ en morceaux assez courts.

Dans tout l'exercice, $a$ et $b$ désignent deux réels tels que $a<b$.

1. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, on pose $P(\lambda )={\displaystyle {\int }_a^b{(f(t)+\lambda g(t))}^2\mathrm{d}t}$. Justifier que $P(\lambda )⩾0$, développer $P(\lambda )$, puis en déduire l'inégalité de Cauchy-Schwarz

$${({\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t)}^2⩽({\int }_a^{b}f(t{)}^2\mathrm{d}t)({\int }_a^{b}g(t{)}^2\mathrm{d}t)\mathrm{.}$$

On traitera à part le cas dégénéré ${\displaystyle {\int }_a^b{g}^2=0}$, où $P$ n'est pas un trinôme du second degré.

2. Montrer qu'il y a égalité si et seulement si l'une des deux fonctions est un multiple constant de l'autre. On utilisera le résultat : une fonction continue et positive sur $[a,b]$ d'intégrale nulle est identiquement nulle.

3. En déduire que ${\left({\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t}\right)}^2⩽{\displaystyle {\int }_0^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t}$ pour toute $f$ continue sur $[0,1]$, et préciser le cas d'égalité.

4. Soit $f$ continue et strictement positive sur $[a,b]$. Montrer que $\left({\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t}\right)\left({\displaystyle {\int }_a^b\frac{\mathrm{d}t}{f(t)}}\right)⩾(b-a{)}^2$, et préciser le cas d'égalité.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul, et $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$.

1. Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$. On pose $I_n={\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t}$. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que

$$\mid I_n\mid ⩽\frac{C}{n},\text{o}\grave{\text{u}}C=2\underset{[a,b]}{\sup }\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }+(b-a)\underset{[a,b]}{\sup }\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid ,$$

puis en déduire que $I_n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

2. En déduire ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^1\frac{\sin (nt)}{1+t}\mathrm{d}t}$, en donnant une majoration explicite de cette intégrale.

3. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\sin }^2(nt)\mathrm{d}t}$. La suite ainsi obtenue tend-elle vers $0$ ? Expliquer précisément pourquoi il n'y a aucune contradiction avec la question 1.

Pour tous entiers naturels $p$ et $q$, on pose

$$B(p,q)={\int }_0^1{t}^p{(1-t)}^q\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Justifier l'existence de $B(p,q)$, puis calculer $B(p,0)$ et $B(0,q)$.

2. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout $p\in \mathbb{N}$ et tout $q⩾1$,

$$B(p,q)=\frac{q}{p+1}B(p+1,q-1)\mathrm{.}$$

3. En déduire, par récurrence sur $q$, que pour tous $p,q\in \mathbb{N}$,

$$B(p,q)=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}\mathrm{.}$$

On énoncera avec soin la propriété que l'on démontre par récurrence.

4. Retrouver l'égalité $B(p,q)=B(q,p)$ de deux manières : à partir de la formule de la question 3., puis directement, par un changement de variable.

5. En développant ${(1-t)}^q$ par la formule du binôme, démontrer l'identité

$$\sum _{k=0}^q(-1{)}^k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{q}{k}\right)\frac{1}{p+k+1}=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}\mathrm{.}$$

6. Que devient cette identité pour $p=0$ ? La vérifier directement pour $q=3$.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie 1. Soit $f$ la fonction définie sur $[0,\frac{\pi }{2}]$ par

$$f(t)=\frac{1}{1+{(\tan t)}^{\sqrt{2}}}\text{ pour }t\in ]0,\frac{\pi }{2}[,f(0)=1,f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2}\right)=0.$$

1. Justifier soigneusement que $f$ est continue par morceaux sur $[0,\frac{\pi }{2}]$ : on étudiera en particulier ses limites en $0$ et en $\frac{\pi }{2}$.

2. À l'aide du changement de variable $u=\frac{\pi }{2}-t$, calculer $I={\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}f(t)\mathrm{d}t}$.

Partie 2. Soit $g$ une fonction continue sur $[0,1]$.

3. À l'aide du changement de variable $u=\pi -t$, montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }tg(\sin t)\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }g(\sin t)\mathrm{d}t}$.

4. En déduire la valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\frac{t\sin t}{1+{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t}$.

1. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\prod _{k=1}^n(1+\frac{k}{n})\right)}^{1\mathrm{/}n}}$ en passant au logarithme.

2. Déterminer de même ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{k=1}^n{(1+\frac{k^2}{n^2})}^{1\mathrm{/}n}}$.

3. Pour calculer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{n!}{n^n}\right)}^{1\mathrm{/}n}}$, un élève écrit

$$\ln \left({\left(\frac{n!}{n^n}\right)}^{1\mathrm{/}n}\right)=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln \frac{k}{n},$$

puis conclut : « c'est une somme de Riemann, donc elle tend vers ${\displaystyle {\int }_0^1\ln t\mathrm{d}t}$ ». Expliquer précisément pourquoi ce raisonnement n'est pas recevable. Quelle méthode faut-il employer à la place ? On ne demande pas de la mener.

Soit $n\in \mathbb{N}$.

1. Écrire la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à la fonction $\exp$ entre $0$ et $1$ à l'ordre $n$, et en déduire que

$$\mathrm{e}=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}+R_n\text{avec}{R}_n={\int }_0^1\frac{(1-t{)}^n}{n!}{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

2. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{(1-t{)}^n}{n!}\mathrm{d}t}$, puis en déduire l'encadrement ${\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}⩽R_n⩽{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{(n+1)!}}$.

3. En déduire ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n=0}$, puis une valeur approchée de $\mathrm{e}$ à ${10}^{-6}$ près, en précisant le rang $n$ retenu.

4. Retrouver la majoration de $R_n$ à l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange. Comparer la finesse des deux approches.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

$$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\text{et}{u}_n=H_n-\ln n\mathrm{.}$$

1. Montrer que pour tout entier $k⩾1$, ${\displaystyle \frac{1}{k+1}}⩽\ln (k+1)-\ln k⩽{\displaystyle \frac{1}{k}}$.

2. En déduire que la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ est décroissante.

3. Montrer que $u_n>0$ pour tout $n⩾1$.

4. En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\gamma \in [0,1]$, appelé constante d'Euler.

5. En déduire le développement $H_n=\ln n+\gamma +o(1)$, puis l'équivalent $H_n\sim \ln n$.

6. Retrouver, à l'aide de ce développement, que ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\ln 2}$.

Soient $a<b$ deux réels et $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ à valeurs réelles. Démontrer les trois implications suivantes : dans chacune, l'hypothèse entraîne que $f$ est la fonction nulle.

1. Si ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t=0}$ pour toute fonction $g$ continue sur $[a,b]$, alors $f=0$.

2. Si ${\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=0}$ pour tout $x\in [a,b]$, alors $f=0$.

3. Si ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t=0}$ pour toute fonction $g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$ telle que $g(a)=g(b)=0$, alors $f=0$.

Indication pour la question 3. Raisonner par l'absurde. Si $f(x_0)>0$, construire $\alpha <\beta$ dans $[a,b]$ tels que $f>0$ sur $[\alpha ,\beta ]$, puis considérer la fonction $g$ valant $(t-\alpha {)}^2(\beta -t{)}^2$ sur $[\alpha ,\beta ]$ et $0$ ailleurs. On vérifiera avec soin qu'elle est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$, raccords compris.

Soit $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ une fonction continue. Pour $n⩾1$, on pose

$$A_n={\int }_0^{1}f\left(t^n\right)\mathrm{d}t\text{et}{B}_n=n{\int }_0^1{t}^{n}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$ est bornée sur $[0,1]$ et que $A_n$ et $B_n$ sont bien définies. On note $K={\sup }_{[0,1]}\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$.

2. Montrer que $A_n⟶f(0)$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$. Indication : soit $\epsilon >0$ ; couper l'intégrale en un point $1-\eta$ bien choisi, avec $\eta \in ]0,1[$.

3. a) Calculer $n{\displaystyle {\int }_0^1{t}^n\mathrm{d}t}$ et en donner la limite. Que vaut $B_n$ lorsque $f$ est la fonction constante égale à $1$ ?

b) Établir l'identité $B_n-f(1)=n{\displaystyle {\int }_0^1{t}^n(f(t)-f(1))\mathrm{d}t-{\displaystyle \frac{f(1)}{n+1}}}$, puis, par le même découpage qu'à la question 2 mais au voisinage de $1$, montrer que $B_n⟶f(1)$.

4. Vérifier les deux résultats sur l'exemple $f(t)=t$.

L'objectif est de démontrer que le nombre $\mathrm{e}$ n'est pas rationnel. On repart du développement obtenu à l'exercice 28, dont les questions 1 et 2 ci-dessous redonnent l'essentiel. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

$$R_n={\int }_0^1\frac{(1-t{)}^n}{n!}{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. Écrire la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $n$ pour la fonction $\exp$ entre $0$ et $1$, et en déduire l'égalité

$$\mathrm{e}=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}+R_n\mathrm{.}$$

2. Montrer que $0<R_n⩽{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{(n+1)!}}$, puis que $0<n!R_n⩽{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{n+1}}$.

3. Montrer que $n!{\displaystyle \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}}$ est un entier naturel.

4. Supposons par l'absurde $\mathrm{e}={\displaystyle \frac{p}{q}}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls, et fixons un entier $n⩾\max (q,2)$. Montrer que $n!R_n$ est un entier, puis conclure.

On pose

$$I={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\ln (1+\tan t)\mathrm{d}t\text{et}J={\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x\mathrm{.}$$

1. Justifier que ces deux intégrales sont celles de fonctions continues sur les segments considérés.

2. a) Montrer que, pour tout $t\in [0,\frac{\pi }{4}]$, on a $1+\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-t)={\displaystyle \frac{2}{1+\tan t}}$.

b) À l'aide du changement de variable $u={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-t$, établir que $2I={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\ln 2$, et en déduire la valeur de $I$.

3. À l'aide du changement de variable $x=\tan t$, montrer que $J=I$ et donner la valeur de $J$.

4. Contrôle. Établir, par croissance de l'intégrale, l'encadrement $\ln 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}⩽J⩽{\displaystyle \frac{\ln 2}{2}}$, et vérifier qu'il est compatible avec la valeur obtenue à la question 3, dont on donnera une valeur décimale approchée.

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ avec $a<b$. Pour $n⩾1$, on pose $h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}$, $a_k=a+kh$ pour $0⩽k⩽n$, puis

$$S_n(f)=\frac{b-a}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f(a+k\frac{b-a}{n})\text{et}{\mathrm{\Delta }}_n=S_n(f)-{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. On suppose de plus $f$ monotone sur $[a,b]$. Encadrer ${\displaystyle {\int }_{a_k}^{a_{k+1}}f}$ à l'aide de $f(a_k)$ et $f(a_{k+1})$, puis, en sommant et en télescopant, montrer que

$$\mid {\mathrm{\Delta }}_n\mid ⩽\frac{(b-a)\mid f(b)-f(a)\mid }{n}\mathrm{.}$$

2. On suppose maintenant $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$ et l'on pose $M=\sup \{\mid f^{\mathrm{\prime }}(t)\mid ,t\in [a;b]\}$. En écrivant $f(t)-f(a_k)={\displaystyle {\int }_{a_k}^t{f}^{\mathrm{\prime }}}$, montrer que $\mid {\mathrm{\Delta }}_n\mid ⩽{\displaystyle \frac{M(b-a{)}^2}{2n}}$.

3. Soit $f(t)={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}$ sur $[0,1]$. Montrer par une étude de fonction que $M={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{8}}$. Combien de subdivisions la majoration de la question 2 impose-t-elle pour calculer ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}}$ à ${10}^{-3}$ près par cette méthode ?

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,1]$ telle que $f(0)=0$. On pose

$$A={\int }_0^1{f}^{\mathrm{\prime }}(t{)}^2\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

On utilisera librement l'inégalité de Cauchy-Schwarz établie à l'exercice 23 : pour $u$ et $v$ continues sur un segment $[\alpha ,\beta ]$ avec $\alpha <\beta$,

$${({\int }_{\alpha }^{\beta }u(t)v(t)\mathrm{d}t)}^2⩽({\int }_{\alpha }^{\beta }u(t{)}^2\mathrm{d}t)({\int }_{\alpha }^{\beta }v(t{)}^2\mathrm{d}t)\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f(x)={\displaystyle {\int }_0^x{f}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t}$ pour tout $x\in [0,1]$, puis établir que $f(x{)}^2⩽xA$.

2. En déduire que ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^1{f}^{\mathrm{\prime }}(t{)}^2\mathrm{d}t}$.

3. Déterminer toutes les fonctions $f$ pour lesquelles l'inégalité de la question 2 est une égalité.

4. En déduire enfin que ${\displaystyle \underset{[0,1]}{\sup }\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }⩽\sqrt{{\int }_0^1{f}^{\mathrm{\prime }}(t{)}^2\mathrm{d}t}}$.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

$$u_n={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t^n}\mathrm{.}$$

1. Justifier que $u_n$ est bien définie, calculer $u_1$, puis montrer que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$.

2. Montrer que $1-u_n={\displaystyle {\int }_0^1\frac{t^n}{1+t^n}\mathrm{d}t}$, puis, par un encadrement, que $u_n⟶1$.

3. Établir l'égalité

$$1-u_n=\frac{1}{n}{\int }_0^1\frac{v^{1\mathrm{/}n}}{1+v}\mathrm{d}v\mathrm{.}$$

On effectuera le changement de variable dans le sens $v=\phi (t)=t^n$ et l'on expliquera pourquoi le sens inverse $t=v^{1\mathrm{/}n}$ n'est pas licite ici.

4. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{v^{1\mathrm{/}n}}{1+v}\mathrm{d}v⟶\ln 2}$, et en déduire que $u_n=1-{\displaystyle \frac{\ln 2}{n}}+o\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)$.