Intégration

Depuis le lycée, intégrer veut dire chercher une primitive : pour calculer ${\int }_0^1{t}^2\mathrm{d}t$, on écrit ${\left[\frac{t^3}{3}\right]}_0^1$ et l'affaire est réglée. C'est une recette de calcul, et elle fonctionne remarquablement bien. Mais elle laisse une question sans réponse : qu'est-ce que ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$ ? Tant qu'on ne l'a pas définie, cette quantité n'est qu'une notation, et le théorème « ${\int }_a^{b}f=F(b)-F(a)$ » n'est pas un théorème, c'est une définition déguisée. Ce chapitre construit l'objet, puis démontre la recette.

Il y a trois raisons de faire ce travail, et elles sont toutes les trois très concrètes. D'abord, la plupart des fonctions n'ont pas de primitive calculable : personne ne sait exprimer une primitive de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-t^2}$ ou de $t\mapsto \frac{\sin t}{t}$ à l'aide des fonctions usuelles, et pourtant l'intégrale ${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$ existe, se majore, se calcule numériquement. Ensuite, on veut intégrer des fonctions qui sautent : un signal qui vaut $0$ puis $1$, une fonction définie par morceaux, la partie entière. Une telle fonction n'a pas de primitive au sens de la dérivation, et pourtant l'aire sous sa courbe a un sens évident. Enfin, et c'est le plus important en pratique, les résultats vraiment utiles du chapitre sont des inégalités : majorer $\left|{\int }_a^{b}f\right|$, encadrer une somme par une intégrale, contrôler l'erreur d'une approximation. Aucune de ces inégalités ne se lit sur une primitive.

La construction suit une idée simple, celle de l'aire. Pour un rectangle, l'aire est un produit : aucune théorie n'est nécessaire. Pour une fonction en escalier, c'est-à-dire constante par morceaux, l'aire est une somme de rectangles : toujours aucune théorie. Pour une fonction quelconque, on coince la fonction entre deux fonctions en escalier, l'une en dessous, l'autre au-dessus, et l'on resserre l'étau. Si l'étau se resserre autant qu'on veut, il ne reste qu'un seul nombre entre les deux, et c'est lui qu'on appelle l'intégrale. Toute la question est donc : pour quelles fonctions l'étau se resserre-t-il ? La réponse du programme est : pour les fonctions continues par morceaux, et la démonstration repose sur une propriété des fonctions continues sur un segment qu'on n'a pas encore rencontrée, la continuité uniforme. C'est pourquoi le chapitre commence par elle.

Une fois l'objet construit, il faut savoir le manier. Les propriétés de base (linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance, inégalité triangulaire) sont l'outillage quotidien. Deux théorèmes les dominent. Le premier, les sommes de Riemann, dit que l'intégrale est la limite d'une moyenne discrète : c'est le pont entre les sommes et les intégrales, et il transforme des limites de sommes qu'aucune technique du premier semestre ne permettait d'atteindre. Le second, le théorème fondamental, dit que dériver et intégrer sont deux opérations réciproques : il justifie enfin la recette du lycée, et il en fait sortir les deux grandes techniques de calcul, l'intégration par parties et le changement de variable.

Le chapitre se termine par les formules de Taylor globales. Le chapitre d'analyse asymptotique donnait déjà une approximation polynomiale d'une fonction : la formule de Taylor-Young. Mais son reste est un $o\left((x-a{)}^n\right)$, information purement locale, qui ne dit rien pour un $x$ fixé. La formule de Taylor avec reste intégral donne le reste exactement, sous forme d'une intégrale, et l'inégalité de Taylor-Lagrange en donne une majoration chiffrée, valable sur tout un intervalle. C'est ce qui permet d'affirmer qu'en s'arrêtant au terme de degré $6$, on calcule $\mathrm{e}$ avec une erreur inférieure à $3\times 10^{-4}$ : une phrase que Taylor-Young ne permet pas de prononcer.

Les notations suivantes sont fixées une fois pour toutes. La lettre $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$, et $[a,b]$ un segment avec $a<b$ ; sauf mention explicite du contraire, les fonctions considérées sont à valeurs réelles. L'élément différentiel s'écrit toujours $\mathrm{d}t$ en romain : ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$, où la variable $t$ est muette (on peut l'appeler $u$, $x$ ou $\theta$ sans rien changer). Une subdivision du segment $[a,b]$ est une famille finie $\sigma =(a_0,a_1,\dots ,a_n)$ telle que $a=a_0<a_1<\cdots <a_n=b$, et son pas est ${\max }_{1⩽i⩽n}(a_i-a_{i-1})$. La borne supérieure d'une fonction sur un segment se note ${\sup }_{[a,b]}|f|$, ou $M=\sup \{|f(t)|,t\in [a,b]\}$ lorsqu'on veut lui donner un nom. Les expressions « en escalier » et « continue par morceaux » s'écrivent toujours en toutes lettres. Enfin, ${\mathcal{C}}^k$ désigne la classe des fonctions $k$ fois dérivables à dérivée $k$-ième continue, et $f^{(k)}$ la dérivée $k$-ième de $f$, avec la convention $f^{(0)}=f$.

Continuité uniforme

Définition et comparaison avec la continuité

Rappelons d'abord ce que signifie « $f$ est continue sur $I$ » lorsqu'on l'écrit entièrement avec des quantificateurs. La continuité est une notion locale : on la vérifie en chaque point, et le $\delta$ obtenu dépend du point examiné. La continuité uniforme demande davantage : un seul $\delta$ doit convenir pour tous les points à la fois.

Le tableau suivant met les deux définitions côte à côte. Les symboles sont exactement les mêmes ; seul l'ordre des quantificateurs change, et tout est là.

Démonstration. Supposons $f$ uniformément continue sur $I$ et fixons $x\in I$. Soit $\epsilon >0$. La continuité uniforme fournit un $\delta >0$ tel que $|f(u)-f(v)|⩽\epsilon$ pour tous $u,v\in I$ vérifiant $|u-v|⩽\delta$. Ce $\delta$ convient en particulier lorsqu'on prend $u=x$ : pour tout $y\in I$ tel que $|x-y|⩽\delta$, on a $|f(x)-f(y)|⩽\epsilon$. C'est exactement la continuité de $f$ en $x$, et $x$ était quelconque dans $I$.

Pour la réciproque, il suffira d'un contre-exemple : la fonction $x\mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$, traitée plus bas, est continue sans être uniformément continue. $\square$

Nier la continuité uniforme

Comme toujours avec les propriétés à quantificateurs alternés, savoir écrire la négation est aussi important que savoir écrire la définition. C'est elle qu'on utilise pour montrer qu'une fonction n'est pas uniformément continue.

Démonstration. La première formulation est la négation littérale de la définition : on échange $\forall$ et $\exists$, et l'on nie l'implication finale, ce qui donne « prémisse vraie et conclusion fausse ».

De la première formulation à la seconde. Supposons la première vraie, avec un certain ${\epsilon }_0>0$. Pour chaque entier $n⩾1$, appliquons-la à $\delta =\frac{1}{n}$ : elle fournit deux points $x_n,y_n\in I$ tels que $|x_n-y_n|⩽\frac{1}{n}$ et $|f(x_n)-f(y_n)|>{\epsilon }_0$. La première inégalité donne $x_n-y_n\to 0$ par encadrement.

De la seconde à la première. Supposons données deux telles suites et soit $\delta >0$. Comme $x_n-y_n\to 0$, il existe un rang $n$ tel que $|x_n-y_n|⩽\delta$ ; le couple $(x_n,y_n)$ convient. $\square$

Fonctions lipschitziennes

Une classe de fonctions vérifie la continuité uniforme pour une raison très simple : leur taux d'accroissement est borné.

Démonstration. La seconde implication a déjà été établie. Montrons la première. Soit $f$ une fonction $k$-lipschitzienne sur $I$.

Cas $k=0$. L'inégalité s'écrit $|f(x)-f(y)|⩽0$, donc $f$ est constante : n'importe quel $\delta >0$ convient dans la définition.

Cas $k>0$. Soit $\epsilon >0$. Posons $\delta =\frac{\epsilon }{k}>0$, qui ne dépend que de $\epsilon$ et de $k$, donc pas du point considéré. Pour tous $x,y\in I$ tels que $|x-y|⩽\delta$, on obtient

$$|f(x)-f(y)|⩽k|x-y|⩽k\times \frac{\epsilon }{k}=\epsilon .$$

C'est la définition de la continuité uniforme. $\square$

Démonstration. Soient $x,y\in I$ avec $x\ne y$. La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$, donc sur le segment d'extrémités $x$ et $y$, qui est inclus dans $I$. L'inégalité des accroissements finis donne alors

$$|f(x)-f(y)|⩽\left(\underset{t\in [x,y]}{\sup }|f^{\prime }(t)|\right)|x-y|⩽k|x-y|,$$

le cas $x=y$ étant trivial. $\square$

Trois exemples décisifs

Ces trois exemples sont à connaître : ils délimitent exactement les frontières entre les trois notions.

Le théorème de Heine

Sur un segment, tout rentre dans l'ordre : la continuité entraîne la continuité uniforme. C'est le théorème central de la section, et c'est lui qui rendra possible la construction de l'intégrale.

Démonstration (non exigible). Le programme ne réclame pas cette démonstration, mais elle est courte et instructive : elle repose entièrement sur le théorème de Bolzano-Weierstrass, c'est-à-dire sur le fait qu'une suite de points d'un segment admet toujours une sous-suite convergente, de limite dans ce segment.

Raisonnons par l'absurde et supposons $f$ continue sur $[a,b]$ mais non uniformément continue. La caractérisation séquentielle de la négation fournit un réel ${\epsilon }_0>0$ et deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ d'éléments de $[a,b]$ telles que

$$x_n-y_n\underset{n\to +\infty }{\to }0\text{et}\forall n\in \mathbb{N},|f(x_n)-f(y_n)|>{\epsilon }_0.(\star )$$

La suite $(x_n)$ est à valeurs dans $[a,b]$, donc bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite convergente : il existe une extractrice $\phi$ et un réel $\ell$ tels que $x_{\phi (n)}\to \ell$. Comme $a⩽x_{\phi (n)}⩽b$ pour tout $n$, le passage à la limite dans les inégalités larges donne $\ell \in [a,b]$ : c'est ici que le caractère fermé du segment intervient.

Écrivons ensuite

$$y_{\phi (n)}=x_{\phi (n)}-\left(x_{\phi (n)}-y_{\phi (n)}\right).$$

Le premier terme tend vers $\ell$, le second vers $0$ comme sous-suite d'une suite de limite nulle : donc $y_{\phi (n)}\to \ell$ également.

La fonction $f$ est continue au point $\ell \in [a,b]$, donc, par caractérisation séquentielle de la continuité,

$$f\left(x_{\phi (n)}\right)\underset{n\to +\infty }{\to }f(\ell )\text{et}f\left(y_{\phi (n)}\right)\underset{n\to +\infty }{\to }f(\ell ).$$

Par différence, $f\left(x_{\phi (n)}\right)-f\left(y_{\phi (n)}\right)\to 0$, ce qui contredit $(\star )$, laquelle impose $\left|f\left(x_{\phi (n)}\right)-f\left(y_{\phi (n)}\right)\right|>{\epsilon }_0$ pour tout $n$. L'hypothèse de départ est donc absurde. $\square$

Fonctions continues par morceaux

Subdivisions d'un segment

Démonstration. Point 1. Notons $\sigma =(a_0,\dots ,a_n)$ et soit $\left]a_{j-1}^{\prime },a_j^{\prime }\right[$ un intervalle de ${\sigma }^{\prime }$. Nous allons voir au lemme suivant qu'il est inclus dans un intervalle $\left]a_{i-1},a_i\right[$ de $\sigma$ ; sa longueur est donc majorée par $a_i-a_{i-1}$, elle-même majorée par le pas de $\sigma$. En passant au maximum sur $j$, le pas de ${\sigma }^{\prime }$ est majoré par celui de $\sigma$.

Point 2. La réunion des deux supports est une partie finie de $[a,b]$ qui contient $a$ et $b$ ; en rangeant ses éléments dans l'ordre strictement croissant, on obtient une subdivision de $[a,b]$, plus fine que $\sigma$ et que ${\sigma }^{\prime }$ par construction. $\square$

Démonstration. Fixons $j\in \{1,\dots ,m\}$. Comme $a_{j-1}^{\prime }\in [a,b[$, il existe un unique indice $i\in \{1,\dots ,n\}$ tel que $a_{i-1}⩽a_{j-1}^{\prime }<a_i$.

Montrons que $a_i⩾a_j^{\prime }$. Dans le cas contraire, on aurait $a_{j-1}^{\prime }<a_i<a_j^{\prime }$ : le point $a_i$, qui appartient au support de $\sigma$ donc à celui de ${\sigma }^{\prime }$ puisque ${\sigma }^{\prime }$ est plus fine, serait strictement compris entre deux points consécutifs de ${\sigma }^{\prime }$, ce qui est impossible.

On a donc $a_{i-1}⩽a_{j-1}^{\prime }$ et $a_j^{\prime }⩽a_i$, d'où l'inclusion $\left]a_{j-1}^{\prime },a_j^{\prime }\right[\subset \left]a_{i-1},a_i\right[$. $\square$

Fonctions en escalier

Démonstration. Soit ${\sigma }^{\prime }$ plus fine que $\sigma$. D'après le lemme d'emboîtement, chaque intervalle ouvert de ${\sigma }^{\prime }$ est inclus dans un intervalle ouvert de $\sigma$, sur lequel $\phi$ est constante ; $\phi$ est donc constante sur chaque intervalle ouvert de ${\sigma }^{\prime }$, qui est bien adaptée.

Pour deux fonctions en escalier $\phi$ et $\psi$, on prend une subdivision adaptée à chacune, puis la subdivision commune obtenue en réunissant les supports : elle est plus fine que les deux, donc adaptée aux deux. $\square$

Démonstration. Prenons une subdivision $\sigma$ adaptée à la fois à $\phi$ et à $\psi$, ce qui est possible d'après la propriété précédente. Sur chaque intervalle ouvert de $\sigma$, $\phi$ vaut une constante ${\lambda }_i$ et $\psi$ une constante ${\mu }_i$ ; les fonctions ci-dessus y valent respectivement ${\lambda }_i+{\mu }_i$, $\lambda {\lambda }_i$, ${\lambda }_i{\mu }_i$, $|{\lambda }_i|$, $\max ({\lambda }_i,{\mu }_i)$, $\min ({\lambda }_i,{\mu }_i)$ : ce sont des constantes. Donc $\sigma$ est adaptée à chacune de ces fonctions.

Enfin, une fonction en escalier ne prend qu'un nombre fini de valeurs : les $n$ constantes ${\lambda }_i$ et les $n+1$ valeurs $\phi (a_i)$. Elle est donc bornée, par le maximum des valeurs absolues de ces $2n+1$ nombres. $\square$

Intégrale d'une fonction en escalier

L'aire d'un rectangle est le produit de sa base par sa hauteur. Pour une fonction en escalier, on additionne, en comptant négativement les rectangles situés sous l'axe.

Cette définition serait sans valeur si le résultat dépendait de la subdivision choisie. Elle n'en dépend pas, et c'est le premier vrai théorème du chapitre.

Démonstration. Notons provisoirement $S(\phi ,\sigma )$ la somme ${\sum }_{i=1}^n(a_i-a_{i-1}){\lambda }_i$ associée à une subdivision adaptée $\sigma$.

Première étape : ajout d'un seul point. Soit ${\sigma }^{\prime }$ la subdivision obtenue en ajoutant à $\sigma$ un point $c\in \left]a_{j-1},a_j\right[$. Elle est adaptée à $\phi$, et $\phi$ vaut ${\lambda }_j$ sur $\left]a_{j-1},c\right[$ comme sur $\left]c,a_j\right[$, ces deux intervalles étant inclus dans $\left]a_{j-1},a_j\right[$. La somme $S(\phi ,{\sigma }^{\prime })$ ne diffère de $S(\phi ,\sigma )$ que par le remplacement du terme d'indice $j$ :

$$\left(c-a_{j-1}\right){\lambda }_j+\left(a_j-c\right){\lambda }_j=\left(a_j-a_{j-1}\right){\lambda }_j.$$

Les deux sommes sont donc égales.

Deuxième étape : subdivision plus fine quelconque. Si ${\sigma }^{\prime }$ est plus fine que $\sigma$, elle s'obtient à partir de $\sigma$ en ajoutant un nombre fini $p$ de points. Une récurrence immédiate sur $p$, chaque étape relevant du cas précédent, donne $S(\phi ,{\sigma }^{\prime })=S(\phi ,\sigma )$.

Troisième étape : deux subdivisions adaptées quelconques. Soient ${\sigma }_1$ et ${\sigma }_2$ adaptées à $\phi$, et soit ${\sigma }_3$ la subdivision dont le support est la réunion des deux supports. Elle est plus fine que ${\sigma }_1$ et que ${\sigma }_2$, donc adaptée à $\phi$, et la deuxième étape donne

$$S(\phi ,{\sigma }_1)=S(\phi ,{\sigma }_3)=S(\phi ,{\sigma }_2).\square$$

Démonstration. Points 1 et 2. Choisissons une subdivision $\sigma =(a_0,\dots ,a_n)$ adaptée à $\phi$ et à $\psi$ simultanément, et notons ${\lambda }_i,{\mu }_i$ leurs valeurs sur $\left]a_{i-1},a_i\right[$. Elle est adaptée à $\lambda \phi +\mu \psi$, dont la valeur sur cet intervalle est $\lambda {\lambda }_i+\mu {\mu }_i$. Alors

$${\int }_a^b(\lambda \phi +\mu \psi )=\sum _{i=1}^n(a_i-a_{i-1})\left(\lambda {\lambda }_i+\mu {\mu }_i\right)=\lambda \sum _{i=1}^n(a_i-a_{i-1}){\lambda }_i+\mu \sum _{i=1}^n(a_i-a_{i-1}){\mu }_i,$$

ce qui est le point 1. Si de plus $\phi ⩽\psi$, alors ${\lambda }_i⩽{\mu }_i$ pour tout $i$ (comparer les valeurs en un point intérieur à l'intervalle), et comme $a_i-a_{i-1}>0$, la comparaison terme à terme des deux sommes donne le point 2.

Point 3. Prenons une subdivision $\sigma$ adaptée à $\phi$ et ajoutons-lui le point $c$ si nécessaire : la subdivision obtenue reste adaptée, et $c$ y figure, disons $c=a_p$. Les familles $(a_0,\dots ,a_p)$ et $(a_p,\dots ,a_n)$ sont alors des subdivisions adaptées des restrictions de $\phi$ à $[a,c]$ et $[c,b]$, et il suffit de couper la somme en deux :

$$\sum _{i=1}^n(a_i-a_{i-1}){\lambda }_i=\sum _{i=1}^p(a_i-a_{i-1}){\lambda }_i+\sum _{i=p+1}^n(a_i-a_{i-1}){\lambda }_i.\square$$

Fonctions continues par morceaux sur un segment

Démonstration. Soit $\sigma$ une subdivision adaptée à la fois à $f$ et à $g$ (réunir les supports de deux subdivisions adaptées ; le lemme d'emboîtement montre qu'une subdivision plus fine reste adaptée, exactement comme pour les fonctions en escalier). Sur chaque intervalle ouvert de $\sigma$, $f$ et $g$ sont continues, donc $f+g$, $\lambda f$ et $fg$ le sont par opérations sur les fonctions continues ; et si $f\to \ell$, $g\to {\ell }^{\prime }$ aux bornes, alors $f+g\to \ell +{\ell }^{\prime }$, $\lambda f\to \lambda \ell$, $fg\to \ell {\ell }^{\prime }$, limites finies.

Pour $u\circ f$ : sur chaque intervalle ouvert, $u\circ f$ est continue comme composée de fonctions continues, et si $f(t)\to \ell$ quand $t\to a_{i-1}^{+}$, alors $u(f(t))\to u(\ell )$ par continuité de $u$ en $\ell$ : la limite est finie. Les cas de $|f|$, $\max (f,g)=\frac{f+g+|f-g|}{2}$ et $\min (f,g)=\frac{f+g-|f-g|}{2}$ s'en déduisent avec $u=|\cdot |$. $\square$

Démonstration. Soit $\sigma =(a_0,\dots ,a_n)$ une subdivision adaptée à $f$, et, pour chaque $i$, soit ${\tilde{f}}_i$ le prolongement continu de $f_{|\left]a_{i-1},a_i\right[}$ au segment $\left[a_{i-1},a_i\right]$. Chaque ${\tilde{f}}_i$ est continue sur un segment, donc bornée d'après le théorème des bornes atteintes : posons $M_i={\sup }_{\left[a_{i-1},a_i\right]}\left|{\tilde{f}}_i\right|$, qui est un réel.

Tout point $t\in [a,b]$ est soit l'un des $a_i$, soit intérieur à l'un des intervalles $\left]a_{i-1},a_i\right[$, auquel cas $|f(t)|=\left|{\tilde{f}}_i(t)\right|⩽M_i$. En posant

$$M=\max \left(M_1,\dots ,M_n,|f(a_0)|,\dots ,|f(a_n)|\right),$$

maximum d'un nombre fini de réels, on obtient $|f(t)|⩽M$ pour tout $t\in [a,b]$. $\square$

Continuité par morceaux sur un intervalle quelconque

Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment

L'approximation encadrante

Toute la construction repose sur le résultat suivant : une fonction continue par morceaux peut être coincée, d'aussi près qu'on veut, entre deux fonctions en escalier.

Démonstration dans le cas continu (non exigible). Supposons d'abord $f$ continue sur $[a,b]$. D'après le théorème de Heine, $f$ est uniformément continue : il existe $\delta >0$ tel que

$$\forall (u,v)\in [a,b{]}^2,|u-v|⩽\delta ⟹|f(u)-f(v)|⩽\epsilon .$$

Choisissons un entier $n$ tel que $\frac{b-a}{n}⩽\delta$ et considérons la subdivision régulière $x_k=a+k\frac{b-a}{n}$, $0⩽k⩽n$. Sur chaque segment $[x_{k-1},x_k]$, la fonction $f$ est continue, donc bornée et atteignant ses bornes : posons

$$m_k=\underset{[x_{k-1},x_k]}{\min }f\text{et}{M}_k=\underset{[x_{k-1},x_k]}{\max }f.$$

Définissons $\phi$ et $\psi$ en escalier par $\phi =m_k$ et $\psi =M_k$ sur $\left]x_{k-1},x_k\right[$, et $\phi (x_k)=\psi (x_k)=f(x_k)$ aux points de la subdivision. Alors $\phi ⩽f⩽\psi$ par construction. De plus, $m_k$ et $M_k$ sont atteints en deux points $u_k,v_k$ de $[x_{k-1},x_k]$, distants d'au plus $\frac{b-a}{n}⩽\delta$, donc

$$M_k-m_k=f(v_k)-f(u_k)⩽\epsilon ,$$

ce qui donne $\psi -\phi ⩽\epsilon$ sur $[a,b]$.

Dans le cas général d'une fonction continue par morceaux, on applique ce qui précède à chacun des prolongements continus ${\tilde{f}}_i$ sur les segments $[a_{i-1},a_i]$ d'une subdivision adaptée, et l'on recolle les fonctions en escalier obtenues, en ajustant les valeurs aux points de la subdivision pour conserver l'encadrement. $\square$

La construction, admise

Démonstration de l'unicité. Soient $I$ et $J$ deux réels vérifiant la propriété, et soit $\epsilon >0$. L'approximation encadrante fournit $\phi ⩽f⩽\psi$ en escalier avec $\psi -\phi ⩽\frac{\epsilon }{b-a}$. Par croissance de l'intégrale des fonctions en escalier,

$${\int }_a^b\psi (t)\mathrm{d}t-{\int }_a^b\phi (t)\mathrm{d}t={\int }_a^b(\psi -\phi )(t)\mathrm{d}t⩽\frac{\epsilon }{b-a}\times (b-a)=\epsilon ,$$

la première égalité venant de la linéarité et la majoration finale de la croissance, appliquée aux fonctions en escalier $\psi -\phi$ et $\frac{\epsilon }{b-a}$. Or $I$ et $J$ appartiennent tous deux au segment $\left[{\int }_a^b\phi ,{\int }_a^b\psi \right]$, de longueur au plus $\epsilon$ ; donc $|I-J|⩽\epsilon$. Ceci valant pour tout $\epsilon >0$, on conclut $I=J$. $\square$

Conventions, notations, interprétation

Linéarité et relation de Chasles

Démonstration. Additivité. Soit $\epsilon >0$. L'approximation encadrante appliquée à $f$ et à $g$ fournit des fonctions en escalier

$${\phi }_1⩽f⩽{\psi }_1,{\phi }_2⩽g⩽{\psi }_2,{\int }_a^b({\psi }_1-{\phi }_1)⩽\frac{\epsilon }{2},{\int }_a^b({\psi }_2-{\phi }_2)⩽\frac{\epsilon }{2}$$

(il suffit d'encadrer avec ${\psi }_i-{\phi }_i⩽\frac{\epsilon }{2(b-a)}$). Les fonctions ${\phi }_1+{\phi }_2$ et ${\psi }_1+{\psi }_2$ sont en escalier et encadrent $f+g$. Par définition de l'intégrale,

$${\int }_a^b(f+g)\in \left[{\int }_a^b({\phi }_1+{\phi }_2),{\int }_a^b({\psi }_1+{\psi }_2)\right].$$

Par ailleurs, ${\int }_a^{b}f\in \left[\int {\phi }_1,\int {\psi }_1\right]$ et ${\int }_a^{b}g\in \left[\int {\phi }_2,\int {\psi }_2\right]$, donc, en additionnant et en utilisant la linéarité pour les fonctions en escalier, la somme ${\int }_a^{b}f+{\int }_a^{b}g$ appartient au même segment. Enfin

$${\int }_a^b\left[({\psi }_1+{\psi }_2)-({\phi }_1+{\phi }_2)\right]={\int }_a^b({\psi }_1-{\phi }_1)+{\int }_a^b({\psi }_2-{\phi }_2)⩽\epsilon .$$

Le lemme du pincement donne l'égalité annoncée.

Homogénéité. Soit $\lambda >0$. Si $\phi ⩽f⩽\psi$ avec $\int (\psi -\phi )⩽\frac{\epsilon }{\lambda }$, alors $\lambda \phi ⩽\lambda f⩽\lambda \psi$ et $\int (\lambda \psi -\lambda \phi )=\lambda \int (\psi -\phi )⩽\epsilon$. Les deux réels ${\int }_a^b\lambda f$ et $\lambda {\int }_a^{b}f$ appartiennent au segment $\left[\lambda \int \phi ,\lambda \int \psi \right]$, d'où l'égalité par pincement.

Pour $\lambda =-1$ : de $\phi ⩽f⩽\psi$ on tire $-\psi ⩽-f⩽-\phi$, et les réels ${\int }_a^b(-f)$ et $-{\int }_a^{b}f$ appartiennent tous deux à $\left[-\int \psi ,-\int \phi \right]$, segment de longueur $⩽\epsilon$ : ils sont égaux. Le cas $\lambda <0$ s'obtient en composant les deux résultats, et le cas $\lambda =0$ est immédiat. La formule générale s'obtient en combinant additivité et homogénéité. $\square$

Démonstration. Cas $u<v<w$. Soit $\epsilon >0$. Encadrons $f$ sur $[u,v]$ par des fonctions en escalier ${\phi }_1⩽f⩽{\psi }_1$ avec ${\int }_u^v({\psi }_1-{\phi }_1)⩽\frac{\epsilon }{2}$, et de même sur $[v,w]$ par ${\phi }_2⩽f⩽{\psi }_2$ avec ${\int }_v^w({\psi }_2-{\phi }_2)⩽\frac{\epsilon }{2}$. En recollant, on obtient deux fonctions en escalier $\phi$ et $\psi$ sur $[u,w]$ (leur valeur en $v$ étant ajustée à $\phi (v)⩽f(v)⩽\psi (v)$) telles que $\phi ⩽f⩽\psi$, et, par la relation de Chasles pour les fonctions en escalier,

$${\int }_u^w\phi ={\int }_u^v{\phi }_1+{\int }_v^w{\phi }_2,{\int }_u^w\psi ={\int }_u^v{\psi }_1+{\int }_v^w{\psi }_2,{\int }_u^w(\psi -\phi )⩽\epsilon .$$

Le réel ${\int }_u^{w}f$ appartient à $\left[{\int }_u^w\phi ,{\int }_u^w\psi \right]$ par définition. Le réel ${\int }_u^{v}f+{\int }_v^{w}f$ aussi, puisque ${\int }_u^{v}f\in \left[\int {\phi }_1,\int {\psi }_1\right]$ et ${\int }_v^{w}f\in \left[\int {\phi }_2,\int {\psi }_2\right]$. Le lemme du pincement conclut.

Cas général. Les conventions de signe permettent de s'y ramener. Par exemple si $v<u<w$, le cas précédent appliqué au triplet $(v,u,w)$ donne ${\int }_v^{w}f={\int }_v^{u}f+{\int }_u^{w}f$, d'où

$${\int }_u^{w}f={\int }_v^{w}f-{\int }_v^{u}f={\int }_v^{w}f+{\int }_u^{v}f,$$

qui est bien la relation annoncée. Les autres arrangements se traitent de la même façon, et les cas où deux des trois points sont égaux sont immédiats. $\square$

Positivité, croissance, inégalité triangulaire

Dans toute cette sous-section, les bornes sont rangées dans l'ordre croissant : $a⩽b$. C'est une hypothèse essentielle, et l'oubli le plus fréquent du chapitre.

Démonstration. Point 1. La fonction nulle est une fonction en escalier vérifiant $0⩽f$. La définition de l'intégrale impose alors ${\int }_a^{b}0⩽{\int }_a^{b}f$, c'est-à-dire $0⩽{\int }_a^{b}f$.

Point 2. La fonction $g-f$ est continue par morceaux et positive sur $[a,b]$, donc ${\int }_a^b(g-f)⩾0$ par le point 1 ; la linéarité donne ${\int }_a^{b}g-{\int }_a^{b}f⩾0$. $\square$

Démonstration. La fonction $|f|$ est continue par morceaux d'après la stabilité par composition avec la valeur absolue. Pour tout $t\in [a,b]$,

$$-|f(t)|⩽f(t)⩽|f(t)|.$$

Ces trois fonctions étant continues par morceaux, la croissance de l'intégrale donne

$$-{\int }_a^b|f|⩽{\int }_a^{b}f⩽{\int }_a^b|f|,$$

où l'on a utilisé la linéarité pour écrire ${\int }_a^b(-|f|)=-{\int }_a^b|f|$. Un réel $x$ vérifiant $-A⩽x⩽A$ vérifie $|x|⩽A$ : c'est la conclusion. $\square$

Démonstration. Les fonctions constantes $t\mapsto m$ et $t\mapsto M$ sont continues, donc continues par morceaux, d'intégrales respectives $m(b-a)$ et $M(b-a)$ (ce sont des fonctions en escalier). La croissance appliquée deux fois donne l'encadrement.

Pour la conséquence, posons $M_0={\sup }_{[a,b]}|f|$, qui existe car $f$ est bornée. Alors $|f|⩽M_0$, et l'inégalité triangulaire suivie de la croissance donne

$$\left|{\int }_a^{b}f\right|⩽{\int }_a^b|f|⩽{\int }_a^b{M}_0=M_0(b-a).\square$$

Démonstration. Posons $M_0={\sup }_{[a,b]}|f|$. Pour tout $t\in [a,b]$, $|f(t)g(t)|⩽M_0|g(t)|$. Le produit $fg$ étant continu par morceaux, l'inégalité triangulaire puis la croissance donnent

$$\left|{\int }_a^{b}fg\right|⩽{\int }_a^b|fg|⩽{\int }_a^b{M}_0|g|=M_0{\int }_a^b|g|.\square$$

Valeur moyenne

Démonstration. La fonction $f$ est continue sur le segment $[a,b]$ : d'après le théorème des bornes atteintes, elle y admet un minimum $m=f(\alpha )$ et un maximum $M=f(\beta )$, atteints en deux points $\alpha ,\beta \in [a,b]$. L'inégalité de la moyenne donne

$$m⩽\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t⩽M.$$

La fonction $f$ est continue sur le segment d'extrémités $\alpha$ et $\beta$, et $\mu$ est compris entre $f(\alpha )$ et $f(\beta )$ : le théorème des valeurs intermédiaires fournit un point $c$ entre $\alpha$ et $\beta$, donc dans $[a,b]$, tel que $f(c)=\mu$. $\square$

Fonction continue positive d'intégrale nulle

Voici le théorème le plus utilisé de la section, et une démonstration à savoir refaire par cœur.

Démonstration. Raisonnons par contraposée : supposons $f$ continue, positive, et non identiquement nulle, et montrons que son intégrale est strictement positive.

Il existe donc $x_0\in [a,b]$ tel que $f(x_0)>0$. Posons $\epsilon =\frac{f(x_0)}{2}>0$. Par continuité de $f$ en $x_0$, il existe $\eta >0$ tel que

$$\forall t\in [a,b],|t-x_0|⩽\eta ⟹|f(t)-f(x_0)|⩽\frac{f(x_0)}{2},$$

et donc, pour ces $t$,

$$f(t)⩾f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2}=\frac{f(x_0)}{2}>0.$$

L'ensemble $[a,b]\cap [x_0-\eta ,x_0+\eta ]$ contient un segment $[\alpha ,\beta ]$ avec $\alpha <\beta$. En effet : si $x_0<b$, on peut prendre $\alpha =x_0$ et $\beta =\min (b,x_0+\eta )>x_0$ ; si $x_0=b$, on prend $\beta =b$ et $\alpha =\max (a,b-\eta )<b$, ce qui est licite puisque $a<b$. Dans les deux cas, $f⩾\frac{f(x_0)}{2}$ sur $[\alpha ,\beta ]$.

Découpons alors l'intégrale grâce à la relation de Chasles :

$${\int }_a^{b}f={\int }_a^{\alpha }f+{\int }_{\alpha }^{\beta }f+{\int }_{\beta }^{b}f.$$

Les deux intégrales extrêmes sont positives ou nulles par positivité (leurs bornes sont dans l'ordre croissant et $f⩾0$), tandis que l'inégalité de la moyenne donne

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(t)\mathrm{d}t⩾\frac{f(x_0)}{2}(\beta -\alpha )>0.$$

Par conséquent ${\int }_a^{b}f>0$, ce qui achève la contraposée. $\square$

Démonstration. Point 1. La fonction $f^2$ est continue et positive, d'intégrale nulle : elle est donc identiquement nulle, et $f(t{)}^2=0$ entraîne $f(t)=0$ pour tout $t$.

Point 2. Même argument avec $|f|$, qui est continue et positive.

Point 3. La fonction $g-f$ est continue, positive, et d'intégrale ${\int }_a^{b}g-{\int }_a^{b}f=0$ par linéarité : elle est nulle, donc $f=g$. $\square$

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Démonstration. Considérons, pour $\lambda \in \mathbb{R}$, le réel

$$P(\lambda )={\int }_a^b{\left(f(t)+\lambda g(t)\right)}^2\mathrm{d}t.$$

La fonction intégrée est continue et positive, donc $P(\lambda )⩾0$ pour tout $\lambda$. En développant le carré et en utilisant la linéarité,

$$P(\lambda )=\left({\int }_a^b{g}^2\right){\lambda }^2+2\left({\int }_a^{b}fg\right)\lambda +{\int }_a^b{f}^2.$$

Premier cas : ${\int }_a^b{g}^2=0$. Comme $g^2$ est continue et positive, le théorème précédent donne $g=0$ sur $[a,b]$, donc $\int fg=0$ : l'inégalité annoncée s'écrit $0⩽0$, elle est vraie.

Second cas : ${\int }_a^b{g}^2>0$. Alors $P$ est une fonction polynomiale du second degré en $\lambda$, de coefficient dominant strictement positif, qui ne prend que des valeurs positives ou nulles. Un tel trinôme a un discriminant négatif ou nul :

$$\Delta =4{\left({\int }_a^{b}fg\right)}^2-4\left({\int }_a^b{g}^2\right)\left({\int }_a^b{f}^2\right)⩽0,$$

ce qui est exactement l'inégalité voulue. $\square$

Intégrale d'une fonction à valeurs complexes

Démonstration. Points 1 à 3. Pour $\lambda$ réel, tout découle de la linéarité réelle appliquée aux parties réelle et imaginaire. Le seul point à vérifier est l'homogénéité pour $\lambda =\mathrm{i}$ : en écrivant $\mathrm{i}f=\mathrm{i}\left(\mathrm{Re}f+\mathrm{i}\mathrm{Im}f\right)=-\mathrm{Im}f+\mathrm{i}\mathrm{Re}f$, on obtient

$${\int }_a^b\mathrm{i}f=-{\int }_a^b\mathrm{Im}f+\mathrm{i}{\int }_a^b\mathrm{Re}f=\mathrm{i}\left({\int }_a^b\mathrm{Re}f+\mathrm{i}{\int }_a^b\mathrm{Im}f\right)=\mathrm{i}{\int }_a^{b}f.$$

Le cas général $\lambda =\alpha +\mathrm{i}\beta$ s'en déduit par combinaison. Les points 2 et 3 sont immédiats sur les parties réelle et imaginaire.

Point 4. Posons $I={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$. Si $I=0$, l'inégalité est évidente car le membre de droite est positif. Sinon, écrivons $I=|I|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ avec $\theta \in \mathbb{R}$, et posons $u={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }$, nombre complexe de module $1$. Par linéarité complexe,

$$|I|=uI={\int }_a^{b}uf(t)\mathrm{d}t.$$

Ce nombre est réel (il vaut $|I|$), donc il est égal à sa partie réelle :

$$|I|=\mathrm{Re}{\int }_a^{b}uf(t)\mathrm{d}t={\int }_a^b\mathrm{Re}\left(uf(t)\right)\mathrm{d}t.$$

Or, pour tout complexe $z$, $\mathrm{Re}(z)⩽|z|$ ; donc $\mathrm{Re}(uf(t))⩽|uf(t)|=|f(t)|$, la fonction $t\mapsto |f(t)|$ étant continue par morceaux à valeurs réelles. La croissance de l'intégrale réelle donne enfin

$$|I|⩽{\int }_a^b|f(t)|\mathrm{d}t.\square$$

Sommes de Riemann

Le théorème

Découpons $[a,b]$ en $n$ morceaux égaux et remplaçons, sur chaque morceau, la fonction par sa valeur à l'extrémité gauche : l'aire sous la courbe est approchée par une somme de rectangles. Le théorème dit que l'approximation devient exacte à la limite.

Démonstration. Notons $x_k=a+k\frac{b-a}{n}$ pour $0⩽k⩽n$ : c'est la subdivision régulière d'ordre $n$, de pas $\frac{b-a}{n}$.

Soit $\epsilon >0$. La fonction $f$ est continue sur le segment $[a,b]$, donc uniformément continue d'après le théorème de Heine : il existe $\delta >0$ tel que

$$\forall (u,v)\in [a,b{]}^2,|u-v|⩽\delta ⟹|f(u)-f(v)|⩽\epsilon .$$

Soit $n_0$ un entier tel que $\frac{b-a}{n_0}⩽\delta$, et soit $n⩾n_0$.

La relation de Chasles, appliquée de proche en proche, donne

$${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=\sum _{k=0}^{n-1}{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(t)\mathrm{d}t.$$

D'autre part, chaque terme de $S_n(f)$ s'écrit comme une intégrale de fonction constante :

$$\frac{b-a}{n}f(x_k)={\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(x_k)\mathrm{d}t.$$

En soustrayant et en utilisant la linéarité puis l'inégalité triangulaire,

$$\left|{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t-S_n(f)\right|=\left|\sum _{k=0}^{n-1}{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}\left(f(t)-f(x_k)\right)\mathrm{d}t\right|⩽\sum _{k=0}^{n-1}{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}\left|f(t)-f(x_k)\right|\mathrm{d}t.$$

Or, pour $t\in [x_k,x_{k+1}]$, on a $|t-x_k|⩽\frac{b-a}{n}⩽\delta$, donc $|f(t)-f(x_k)|⩽\epsilon$. Par croissance de l'intégrale, chaque terme de la somme est majoré par $\epsilon (x_{k+1}-x_k)=\epsilon \frac{b-a}{n}$, d'où

$$\left|{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t-S_n(f)\right|⩽n\times \epsilon \frac{b-a}{n}=\epsilon (b-a).$$

Le réel $\epsilon >0$ étant arbitraire, cela prouve $S_n(f)\to {\int }_a^{b}f$.

Pour $T_n(f)$, il suffit d'observer que

$$T_n(f)-S_n(f)=\frac{b-a}{n}\left(f(b)-f(a)\right)\underset{n\to +\infty }{\to }0,$$

puisque les deux sommes ne diffèrent que par leur premier et leur dernier terme. Donc $T_n(f)$ a la même limite que $S_n(f)$. $\square$

Reconnaître une somme de Riemann

Le cas d'une fonction monotone : contrôle de l'erreur

Le théorème de Riemann donne une limite, sans vitesse. Pour une fonction monotone, on obtient en prime un encadrement explicite, très utile en exercice.

Démonstration. Sur chaque segment $[x_k,x_{k+1}]$, la croissance de $f$ donne $f(x_k)⩽f(t)⩽f(x_{k+1})$ pour tout $t$. En intégrant cet encadrement sur $[x_k,x_{k+1}]$, dont la longueur vaut $\frac{b-a}{n}$ :

$$\frac{b-a}{n}f(x_k)⩽{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(t)\mathrm{d}t⩽\frac{b-a}{n}f(x_{k+1}).$$

En sommant pour $k$ variant de $0$ à $n-1$ et en utilisant la relation de Chasles, on obtient l'encadrement annoncé.

Pour la majoration de l'erreur, la différence entre les deux membres extrêmes vaut

$$\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f(x_k)-\frac{b-a}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f(x_k)=\frac{b-a}{n}\left(f(x_n)-f(x_0)\right)=\frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}.$$

L'intégrale et la somme de gauche appartenant toutes deux à cet intervalle, leur écart est majoré par sa longueur. $\square$

Lien entre intégrale et primitive

Le théorème fondamental

Démonstration. Toute fonction $F+c$ est dérivable de dérivée $f$. Réciproquement, si $G$ est une primitive de $f$, alors $(G-F{)}^{\prime }=f-f=0$ sur l'intervalle $I$, donc $G-F$ est constante (conséquence de l'égalité des accroissements finis). $\square$

Démonstration. La fonction $F$ est bien définie : pour tout $x\in I$, le segment d'extrémités $a$ et $x$ est inclus dans l'intervalle $I$, et $f$ y est continue donc continue par morceaux.

Fixons $x_0\in I$ et montrons que $F$ est dérivable en $x_0$ de nombre dérivé $f(x_0)$. Soit $\epsilon >0$. La continuité de $f$ en $x_0$ fournit $\eta >0$ tel que

$$\forall t\in I,|t-x_0|⩽\eta ⟹|f(t)-f(x_0)|⩽\epsilon .$$

Soit $x\in I$ avec $0<|x-x_0|⩽\eta$. La relation de Chasles (valable quel que soit l'ordre des points) donne

$$F(x)-F(x_0)={\int }_a^{x}f-{\int }_a^{x_0}f={\int }_{x_0}^{x}f(t)\mathrm{d}t.$$

Par ailleurs ${\int }_{x_0}^{x}f(x_0)\mathrm{d}t=(x-x_0)f(x_0)$, puisque l'intégrande est constant. Donc

$$F(x)-F(x_0)-(x-x_0)f(x_0)={\int }_{x_0}^x\left(f(t)-f(x_0)\right)\mathrm{d}t.$$

Tout $t$ situé entre $x_0$ et $x$ vérifie $|t-x_0|⩽|x-x_0|⩽\eta$, donc $|f(t)-f(x_0)|⩽\epsilon$. L'inégalité triangulaire sous sa forme valable pour des bornes non ordonnées donne alors

$$\left|F(x)-F(x_0)-(x-x_0)f(x_0)\right|⩽\left|{\int }_{x_0}^x\left|f(t)-f(x_0)\right|\mathrm{d}t\right|⩽\epsilon |x-x_0|.$$

En divisant par $|x-x_0|>0$ :

$$\left|\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)\right|⩽\epsilon \text{deˋs que }0<|x-x_0|⩽\eta .$$

C'est exactement la définition de $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)$. Donc $F$ est dérivable en $x_0$, de dérivée $f(x_0)$.

Le point $x_0$ étant quelconque dans $I$, $F$ est dérivable sur $I$ de dérivée $F^{\prime }=f$ ; comme $f$ est continue, $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$. Enfin $F(a)={\int }_a^{a}f=0$, et l'unicité vient de ce que deux primitives diffèrent d'une constante, nulle ici puisqu'elles s'annulent toutes deux en $a$. $\square$

Le cas des fonctions continues par morceaux

Démonstration. Point 1. Soit $[\alpha ,\beta ]$ un segment inclus dans $I$ contenant $a$, et $M={\sup }_{[\alpha ,\beta ]}|f|$, qui existe puisque $f$ est bornée sur ce segment. Pour $x,y\in [\alpha ,\beta ]$, Chasles donne $F(x)-F(y)={\int }_y^{x}f$, puis

$$|F(x)-F(y)|=\left|{\int }_y^{x}f(t)\mathrm{d}t\right|⩽\left|{\int }_y^x|f(t)|\mathrm{d}t\right|⩽M|x-y|.$$

Ainsi $F$ est $M$-lipschitzienne sur $[\alpha ,\beta ]$, donc continue. Tout point de $I$ appartenant à un tel segment, $F$ est continue sur $I$.

Point 2. La démonstration du théorème fondamental n'utilise la continuité de $f$ qu'au point $x_0$ : elle s'applique telle quelle. $\square$

Existence de primitives et calcul des intégrales

Démonstration. Point 1. La fonction $x\mapsto {\int }_a^{x}f$ en est une, pour n'importe quel $a\in I$.

Point 2. Notons $F_a:x\mapsto {\int }_a^{x}f$, primitive de $f$. Toute primitive $F$ s'écrit $F=F_a+c$ avec $c$ constante, donc

$$F(v)-F(u)=F_a(v)-F_a(u)={\int }_a^{v}f-{\int }_a^{u}f={\int }_u^{v}f,$$

la dernière égalité étant la relation de Chasles. $\square$

Le tableau suivant rassemble les primitives usuelles, sur tout intervalle où les fonctions considérées sont définies et continues. Elles sont supposées connues depuis le chapitre sur les équations différentielles ; on les écrit ici sans la constante additive.

Dériver une fonction définie par une intégrale

Démonstration. La fonction $f$ étant continue sur l'intervalle $I$, elle y admet une primitive $F$, de classe ${\mathcal{C}}^1$. Pour tout $x\in J$, les points $u(x)$ et $v(x)$ appartiennent à $I$, donc

$$G(x)={\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)\mathrm{d}t=F\left(v(x)\right)-F\left(u(x)\right).$$

Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $J$ et $F$ est dérivable sur $I$ : par dérivation d'une composée, $G$ est dérivable et $G^{\prime }=v^{\prime }\times (F^{\prime }\circ v)-u^{\prime }\times (F^{\prime }\circ u)=v^{\prime }(f\circ v)-u^{\prime }(f\circ u)$. $\square$

Intégration par parties

Démonstration. Le produit $uv$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$, de dérivée $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, laquelle est continue sur $I$ comme somme de produits de fonctions continues. La fonction $uv$ est donc une primitive de $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, et le corollaire du théorème fondamental donne

$${\int }_a^b\left(u^{\prime }(t)v(t)+u(t)v^{\prime }(t)\right)\mathrm{d}t={\left[u(t)v(t)\right]}_a^b.$$

Les fonctions $u^{\prime }v$ et $u{v}^{\prime }$ étant continues, la linéarité de l'intégrale permet de séparer les deux termes du membre de gauche, puis de faire passer ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }$ à droite. $\square$

Changement de variable

Démonstration. La fonction $f$ étant continue sur l'intervalle $I$, elle y admet une primitive $F$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ avec $F^{\prime }=f$. La composée $F\circ \phi$ est alors de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $J$, de dérivée

$${\left(F\circ \phi \right)}^{\prime }(t)={\phi }^{\prime }(t)F^{\prime }\left(\phi (t)\right)=f\left(\phi (t)\right){\phi }^{\prime }(t),$$

qui est continue sur $J$. La fonction $F\circ \phi$ est donc une primitive de $t\mapsto f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)$, d'où

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(\phi (t)\right){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=F\left(\phi (\beta )\right)-F\left(\phi (\alpha )\right)={\int }_{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)\mathrm{d}x.\square$$

Symétries et périodicité

Démonstration. Points 1 et 2. La relation de Chasles donne ${\int }_{-a}^{a}f={\int }_{-a}^{0}f+{\int }_0^{a}f$. Dans la première intégrale, effectuons le changement de variable $t=\phi (x)=-x$, de classe ${\mathcal{C}}^1$, avec $\mathrm{d}t=-\mathrm{d}x$, $\phi (a)=-a$ et $\phi (0)=0$ :

$${\int }_{-a}^{0}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^{0}f(-x)(-\mathrm{d}x)={\int }_0^{a}f(-x)\mathrm{d}x.$$

Si $f$ est paire, $f(-x)=f(x)$ et l'on obtient ${\int }_{-a}^{0}f={\int }_0^{a}f$, d'où le point 1 ; si $f$ est impaire, $f(-x)=-f(x)$ et ${\int }_{-a}^{0}f=-{\int }_0^{a}f$, d'où le point 2. (Le changement de variable est énoncé pour $f$ continue ; pour $f$ continue par morceaux, on l'applique sur chaque morceau.)

Point 3. Posons $g(c)={\int }_c^{c+T}f(t)\mathrm{d}t$ pour $c\in \mathbb{R}$. La fonction $f$ étant continue sur $\mathbb{R}$, la méthode de dérivation d'une intégrale à bornes variables s'applique :

$$g^{\prime }(c)=1\times f(c+T)-1\times f(c)=0$$

par $T$-périodicité. Donc $g$ est constante sur l'intervalle $\mathbb{R}$. $\square$

Le cas des fonctions à valeurs complexes

Formules de Taylor globales

La formule de Taylor-Young, vue au chapitre d'analyse asymptotique, approche $f$ au voisinage d'un point par un polynôme, avec un reste de la forme $o\left((x-a{)}^n\right)$. C'est une information locale : elle ne dit rien pour un $x$ fixé, si loin de $a$ soit-il. Les deux formules de cette section donnent au contraire le reste exactement (formule avec reste intégral), puis une majoration chiffrée valable sur tout un intervalle (inégalité de Taylor-Lagrange).

Formule de Taylor avec reste intégral

Démonstration. Raisonnons par récurrence sur $n$. Pour $n\in \mathbb{N}$, notons $\mathcal{P}(n)$ l'assertion : « pour toute fonction $g$ de classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$ sur un intervalle $I$ et tous $a,x\in I$, on a $g(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{g^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{g}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t$ ».

Initialisation ($n=0$). Soit $g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$. La fonction $g^{\prime }$ est continue, donc $g$ en est une primitive et le corollaire du théorème fondamental donne

$${\int }_a^x{g}^{\prime }(t)\mathrm{d}t=g(x)-g(a),\text{c’est-aˋ-dire}g(x)=g(a)+{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^0}{0!}{g}^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$$

L'assertion $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie et soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^{n+2}$ sur $I$. Elle est en particulier de classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$, donc $\mathcal{P}(n)$ s'applique :

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t.$$

Intégrons par parties la dernière intégrale, la variable étant $t$ et le réel $x$ étant fixé. Posons

$$u(t)=-\frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!},v(t)=f^{(n+1)}(t),$$

de sorte que $u^{\prime }(t)=\frac{(x-t{)}^n}{n!}$ (dériver en $t$ fait apparaître un facteur $-(n+1)$ qui compense le signe) et $v^{\prime }(t)=f^{(n+2)}(t)$. La fonction $u$ est polynomiale en $t$, donc de classe ${\mathcal{C}}^1$ ; la fonction $v$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ puisque $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{n+2}$. L'intégration par parties s'applique :

$${\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t={\left[-\frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(t)\right]}_a^x+{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}{f}^{(n+2)}(t)\mathrm{d}t.$$

Le crochet vaut

$$-\underset{=0}{\underbrace{\frac{(x-x{)}^{n+1}}{(n+1)!}}}{f}^{(n+1)}(x)+\frac{(x-a{)}^{n+1}}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(a)=\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}.$$

En reportant dans l'expression de $f(x)$, le terme obtenu vient compléter la somme :

$$f(x)=\sum _{k=0}^{n+1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}{f}^{(n+2)}(t)\mathrm{d}t,$$

ce qui est exactement $\mathcal{P}(n+1)$. La récurrence est achevée. $\square$

Inégalité de Taylor-Lagrange

Démonstration. Un tel majorant existe : $f^{(n+1)}$ est continue sur le segment d'extrémités $a$ et $x$, donc bornée, et l'on peut prendre $M_{n+1}=\sup \left\{\left|f^{(n+1)}(t)\right|,t\text{ entre }a\text{ et }x\right\}$. D'après la formule de Taylor avec reste intégral, la quantité à majorer est le module du reste

$$R_n={\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t.$$

Cas $a⩽x$. Les bornes sont dans l'ordre croissant. Pour $t\in [a,x]$, on a $x-t⩾0$, donc $\left|\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\right|⩽M_{n+1}\frac{(x-t{)}^n}{n!}$. L'inégalité triangulaire puis la croissance donnent

$$|R_n|⩽M_{n+1}{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}\mathrm{d}t=M_{n+1}{\left[-\frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}\right]}_a^x=M_{n+1}\frac{(x-a{)}^{n+1}}{(n+1)!},$$

ce qui est le résultat puisque $x-a=|x-a|$.

Cas $x<a$. Cette fois, retournons les bornes : $|R_n|=\left|{\int }_x^a\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t\right|$, et les bornes $x<a$ sont dans l'ordre croissant. Pour $t\in [x,a]$, on a $x-t⩽0$, donc $\left|(x-t{)}^n\right|=(t-x{)}^n$ et

$$|R_n|⩽M_{n+1}{\int }_x^a\frac{(t-x{)}^n}{n!}\mathrm{d}t=M_{n+1}{\left[\frac{(t-x{)}^{n+1}}{(n+1)!}\right]}_x^a=M_{n+1}\frac{(a-x{)}^{n+1}}{(n+1)!}=M_{n+1}\frac{|x-a{|}^{n+1}}{(n+1)!}.\square$$

Trois formules de Taylor, trois usages

Applications

Méthodes du chapitre

Les exercices d'intégration de première année se ramènent à trois grandes questions : comparer une somme à une intégrale, étudier une suite définie par une intégrale, calculer une intégrale. Voici les trois algorithmes, chacun suivi d'un exemple entièrement traité.

Comparaison somme-intégrale

Sous forme sommée, l'étape 3 donne, pour $f$ décroissante sur $[p,q]$ avec $p<q$ entiers :

$$\sum _{k=p+1}^{q}f(k)⩽{\int }_p^{q}f(t)\mathrm{d}t⩽\sum _{k=p}^{q-1}f(k).$$

Exemple traité : la somme harmonique. Posons $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ pour $n⩾1$, et cherchons son comportement quand $n\to +\infty$.

La fonction $f:t\mapsto \frac{1}{t}$ est continue et décroissante sur $\left]0,+\infty \right[$. L'encadrement sommé sur $[1,n]$ (pour $n⩾2$) donne

$$\sum _{k=2}^n\frac{1}{k}⩽{\int }_1^n\frac{\mathrm{d}t}{t}⩽\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k},$$

c'est-à-dire, puisque ${\int }_1^n\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln n$,

$$H_n-1⩽\ln n⩽H_n-\frac{1}{n}.$$

On en tire l'encadrement

$$\ln n+\frac{1}{n}⩽H_n⩽\ln n+1,$$

valable pour tout $n⩾2$ (et encore pour $n=1$). En divisant par $\ln n>0$ pour $n⩾2$ :

$$1+\frac{1}{n\ln n}⩽\frac{H_n}{\ln n}⩽1+\frac{1}{\ln n},$$

et les deux membres extrêmes tendent vers $1$. Le théorème d'encadrement donne $\frac{H_n}{\ln n}\to 1$, c'est-à-dire

$$H_n\sim \ln n.$$

Prolongement : la constante d'Euler. Posons $u_n=H_n-\ln n$. L'encadrement précédent montre déjà que $0<u_n⩽1$. Montrons que $(u_n)$ est décroissante :

$$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-\left(\ln (n+1)-\ln n\right)=\frac{1}{n+1}-{\int }_n^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{t}⩽0,$$

puisque l'encadrement de base appliqué à $k=n$ donne précisément $\frac{1}{n+1}⩽{\int }_n^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{t}$. La suite $(u_n)$ est donc décroissante et minorée par $0$ : elle converge. Sa limite est notée $\gamma$ (constante d'Euler, $\gamma \approx 0,577$), et l'on a obtenu le développement

$$H_n=\ln n+\gamma +o(1).$$

Étudier une suite d'intégrales

Exemple traité. Posons, pour $n\in \mathbb{N}$,

$$I_n={\int }_0^1\frac{t^n}{1+t}\mathrm{d}t.$$

Existence et signe. La fonction $t\mapsto \frac{t^n}{1+t}$ est continue sur $[0,1]$ (le dénominateur ne s'annule pas) et positive, et les bornes sont dans l'ordre croissant : $I_n$ existe et $I_n⩾0$.

Monotonie. Pour $t\in [0,1]$, on a $t^{n+1}⩽t^n$, donc $\frac{t^{n+1}}{1+t}⩽\frac{t^n}{1+t}$. Par croissance de l'intégrale, $I_{n+1}⩽I_n$ : la suite est décroissante.

Limite. Sur $[0,1]$, $1+t⩾1$, donc $0⩽\frac{t^n}{1+t}⩽t^n$, d'où

$$0⩽I_n⩽{\int }_0^1{t}^n\mathrm{d}t=\frac{1}{n+1}.$$

Par encadrement, $I_n\to 0$.

Relation de récurrence. Additionnons deux termes consécutifs :

$$I_{n+1}+I_n={\int }_0^1\frac{t^{n+1}+t^n}{1+t}\mathrm{d}t={\int }_0^1\frac{t^n(1+t)}{1+t}\mathrm{d}t={\int }_0^1{t}^n\mathrm{d}t=\frac{1}{n+1}.$$

Équivalent. La décroissance donne $I_{n+1}⩽I_n$, donc

$$\frac{1}{n+1}=I_n+I_{n+1}⩽2I_n\text{d’ouˋ}{I}_n⩾\frac{1}{2(n+1)}.$$

De même $\frac{1}{n+1}=I_n+I_{n+1}⩾2I_{n+1}$, soit $I_{n+1}⩽\frac{1}{2(n+1)}$, c'est-à-dire, en décalant l'indice, $I_n⩽\frac{1}{2n}$ pour $n⩾1$. Finalement

$$\frac{1}{2(n+1)}⩽I_n⩽\frac{1}{2n}(n⩾1),$$

et en multipliant par $2n$ :

$$\frac{n}{n+1}⩽2n{I}_n⩽1\text{donc}2n{I}_n\to 1,\text{c’est-aˋ-dire}{I}_n\sim \frac{1}{2n}.$$

Variante avec une intégration par parties : les intégrales de Wallis. Posons $W_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}t\mathrm{d}t$ pour $n\in \mathbb{N}$. Alors $W_0=\frac{\pi }{2}$, $W_1=1$, la suite est positive et décroissante (car $0⩽\sin t⩽1$ sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ entraîne ${\sin }^{n+1}t⩽{\sin }^{n}t$). Pour la récurrence, écrivons ${\sin }^{n+2}t={\sin }^{n+1}t\times \sin t$ et intégrons par parties avec $u^{\prime }(t)=\sin t$, $u(t)=-\cos t$, $v(t)={\sin }^{n+1}t$, $v^{\prime }(t)=(n+1){\sin }^{n}t\cos t$, toutes de classe ${\mathcal{C}}^1$ :

$$W_{n+2}=\underset{=0}{\underbrace{{\left[-\cos t{\sin }^{n+1}t\right]}_0^{\pi /2}}}+(n+1){\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}t{\sin }^{n}t\mathrm{d}t.$$

En remplaçant ${\cos }^{2}t$ par $1-{\sin }^{2}t$ et en séparant par linéarité,

$$W_{n+2}=(n+1)\left(W_n-W_{n+2}\right),\text{d’ouˋ}{W}_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}{W}_n.$$

C'est le prototype de la relation de récurrence obtenue par intégration par parties : elle permet de calculer tous les $W_n$ de proche en proche, en distinguant les indices pairs et impairs.

Calculer une intégrale

Exemple traité : une intégrale sans primitive apparente. Calculons

$$K={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin t}{\sin t+\cos t}\mathrm{d}t.$$

Aucune primitive évidente. Utilisons le réflexe 7 : introduisons l'intégrale « jumelle »

$$L={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos t}{\sin t+\cos t}\mathrm{d}t.$$

Ces deux intégrales existent : sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, la fonction $t\mapsto \sin t+\cos t=\sqrt{2}\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)$ est strictement positive, donc les intégrandes sont continus.

Première relation. Par linéarité,

$$K+L={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin t+\cos t}{\sin t+\cos t}\mathrm{d}t={\int }_0^{\pi /2}1\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}.$$

Seconde relation. Effectuons dans $K$ le changement de variable $t=\phi (x)=\frac{\pi }{2}-x$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ et bijectif de $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ sur lui-même, avec $\mathrm{d}t=-\mathrm{d}x$, $\phi (0)=\frac{\pi }{2}$ et $\phi \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ :

$$K={\int }_{\pi /2}^0\frac{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}(-\mathrm{d}x)={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\mathrm{d}x=L.$$

Conclusion. De $K=L$ et $K+L=\frac{\pi }{2}$, on tire

$$K=L=\frac{\pi }{4}.$$

Second exemple : linéarisation. Calculons ${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}t\mathrm{d}t$. La linéarisation ${\sin }^{2}t=\frac{1-\cos (2t)}{2}$ donne

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}t\mathrm{d}t={\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos (2t)}{2}\mathrm{d}t={\left[\frac{t}{2}-\frac{\sin (2t)}{4}\right]}_0^{\pi }=\frac{\pi }{2}.$$

Ne jamais tenter d'intégrer ${\sin }^2$ directement : la linéarisation est la seule route raisonnable pour les puissances de fonctions trigonométriques.

Cinq réflexes pour finir

1. Vérifier les hypothèses avant d'écrire quoi que ce soit. Continuité (ou continuité par morceaux) sur le segment d'intégration, classe ${\mathcal{C}}^1$ pour une intégration par parties ou un changement de variable, classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$ pour Taylor. Une intégrale d'une fonction non définie sur tout le segment n'a aucun sens.
2. Ranger les bornes avant toute inégalité. Positivité, croissance et inégalité de la moyenne supposent $a⩽b$. En cas de doute, se ramener à des bornes croissantes en changeant le signe.
3. Pour une majoration, majorer l'intégrande, puis intégrer. Jamais l'inverse. Le triptyque à retenir est : encadrer l'intégrande, intégrer l'encadrement, conclure par encadrement.
4. Devant une somme, penser aux deux ponts vers l'intégrale. Somme de Riemann (facteur $\frac{1}{n}$, terme fonction de $\frac{k}{n}$, fonction continue) pour une limite ; comparaison somme-intégrale (terme général monotone) pour un encadrement ou un équivalent.
5. Ne pas confondre local et global. Taylor-Young pour une limite quand $x\to a$ ; reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange pour une majoration valable sur tout un intervalle. Et jamais d'égalité de Taylor-Lagrange : elle est hors programme.