Devoir surveillé — Intégration

Chacun des trois raisonnements ci-dessous est celui d'un élève. Pour chacun, dire s'il est correct. S'il ne l'est pas, indiquer précisément quelle hypothèse de quel théorème est violée, dire si la conclusion est malgré tout exacte, puis énoncer et démontrer ce qui est réellement vrai.

1. (1 pt) « Calculons ${\displaystyle {\int }_{-1}^1{t}^4\mathrm{d}t}$ par le changement de variable $u=t^2$. On a $\mathrm{d}u=2t\mathrm{d}t$, donc $t^4\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{u^{3\mathrm{/}2}}{2}}\mathrm{d}u$. Quand $t$ parcourt $[-1,1]$, $u$ va de $1$ à $1$, donc

$${\int }_{-1}^1{t}^4\mathrm{d}t={\int }_1^1\frac{u^{3\mathrm{/}2}}{2}\mathrm{d}u=0.\text{ »}$$

2. (0,75 pt) « Calculons ${\displaystyle {\int }_0^1\mid t-\frac{1}{2}\mid \mathrm{d}t}$ par parties, en dérivant $u:t\mapsto \mid t-\frac{1}{2}\mid$ et en primitivant $1$ en $v:t\mapsto t$. La dérivée de $u$ vaut $-1$ sur $[0,\frac{1}{2}[$ et $+1$ sur $]\frac{1}{2},1]$, donc

$${\int }_0^1\mid t-\frac{1}{2}\mid \mathrm{d}t=[t\mid t-\frac{1}{2}\mid {]}_0^1-{\int }_0^{1\mathrm{/}2}t\times (-1)\mathrm{d}t-{\int }_{1\mathrm{/}2}^{1}t\times 1\mathrm{d}t=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}-\frac{3}{8}=\frac{1}{4}\mathrm{.}\text{ »}$$

3. (0,75 pt) « Soit $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ définie par $f(t)=\lfloor 2t\rfloor$, et soit $F(x)={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t}$. La fonction $f$ est continue par morceaux sur $[0,1]$, donc le théorème fondamental s'applique : $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,1]$ et $F^{\mathrm{\prime }}=f$. »

Dans tout l'exercice, $a$ et $b$ désignent deux réels tels que $a<b$. Le cours établit que, pour $f$ continue sur $[a,b]$, il existe $c\in [a,b]$ tel que ${\int }_a^{b}f=(b-a)f(c)$. On se propose de pondérer ce résultat.

1. (1 pt) Soient $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et $g$ une fonction continue par morceaux et positive sur $[a,b]$. Démontrer qu'il existe un réel $c\in [a,b]$ tel que

$${\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t=f(c){\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

On traitera à part le cas ${\displaystyle {\int }_a^{b}g=0}$.

2. (0,5 pt) Démontrer, par un contre-exemple explicite, que l'hypothèse de positivité de $g$ ne peut pas être supprimée.

3. (0,5 pt) On pose ${\displaystyle I={\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^t}{\sqrt{1+t}}\mathrm{d}t}$. En appliquant la question 1. avec un choix judicieux de $f$ et de $g$, établir un encadrement de $I$ par deux nombres exacts.

Partie A. Ce que l'intégrale lit dans un polynôme trigonométrique.

A.1. (0,5 pt) Soit $p\in \mathbb{Z}$. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}pt}\mathrm{d}t}$. On distinguera $p=0$ et $p\mathrm{\ne }0$.

A.2. (0,75 pt) Soient $N\in \mathbb{N}$ et $c_{-N},\dots ,c_N$ des nombres complexes. On pose, pour $t\in \mathbb{R}$,

$$P(t)=\sum _{k=-N}^N{c}_k{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kt}\mathrm{.}$$

Démontrer que, pour tout entier $j$ tel que $-N⩽j⩽N$, on a $c_j={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }P(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}jt}\mathrm{d}t}$.

A.3. (1 pt) Démontrer que ${\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\mid P(t)\mid }^2\mathrm{d}t=\sum _{k=-N}^N{\mid c_k\mid }^2}$. En déduire la valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\cos }^{4}t\mathrm{d}t}$ sans linéariser ${\cos }^4$ : on cherchera un polynôme $P$ de la forme ci-dessus dont le module au carré vaut ${\cos }^4$.

Partie B. Taylor pour les fonctions à valeurs complexes.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$ d'un intervalle $I$ dans $\mathbb{C}$, et soient $a,x\in I$. On admet que la formule de Taylor avec reste intégral

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t$$

et l'inégalité de Taylor-Lagrange qui s'en déduit,

$$\mid f(x)-\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k\mid ⩽K\frac{\mid x-a{\mid }^{n+1}}{(n+1)!}\text{o}\grave{\text{u}}K=\sup \mid f^{(n+1)}\mid \text{ sur le segment d’extr}\acute{\text{e}}\text{mit}\acute{\text{e}}\text{s }a\text{ et }x,$$

restent valables dans ce cadre : il suffit de les écrire pour $\mathrm{Re}f$ et $\mathrm{Im}f$, puis de recombiner.

B.1. (0,75 pt) En appliquant l'inégalité ci-dessus à $t\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}$ entre $0$ et $x$, démontrer que pour tout réel $x$ et tout $n\in \mathbb{N}$,

$$\mid {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-\sum _{k=0}^n\frac{(\mathrm{i}x{)}^k}{k!}\mid ⩽\frac{\mid x{\mid }^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{.}$$

Qu'obtient-on en séparant parties réelle et imaginaire ?

B.2. (0,5 pt) Démontrer qu'il n'existe aucun réel $c\in ]0,2\pi [$ tel que ${\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi }-{\mathrm{e}}^0=2\pi \mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}c}$. Que faut-il en conclure, et qu'est-ce qui subsiste ?

Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ à valeurs réelles. On définit une suite de fonctions ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ sur $[0,1]$ en posant $f_0=f$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$f_{n+1}(x)={\int }_0^x{f}_n(t)\mathrm{d}t(x\in [0,1])\mathrm{.}$$

Une récurrence immédiate, que l'on ne demande pas de rédiger, montre que chaque $f_n$ est continue sur $[0,1]$ et que, pour $n⩾1$, $f_n$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ avec $f_n^{\mathrm{\prime }}=f_{n-1}$ et $f_n(0)=0$.

1. (1 pt) Soit $h$ une fonction continue sur $[0,1]$ et $H:x\mapsto {\displaystyle {\int }_0^{x}h(t)\mathrm{d}t}$. Démontrer que, pour tout entier $n⩾1$ et tout $x\in [0,1]$,

$${\int }_0^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}h(t)\mathrm{d}t={\int }_0^x\frac{(x-t{)}^{n-1}}{(n-1)!}H(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

2. (1,25 pt) En déduire, par récurrence sur $n$, que pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout $x\in [0,1]$,

$$f_{n+1}(x)={\int }_0^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

On énoncera soigneusement la propriété que l'on démontre par récurrence.

3. (1 pt) Justifier l'existence de $M={\sup }_{[0,1]}\mid f\mid$, puis démontrer que pour tout $n⩾1$ et tout $x\in [0,1]$, $\mid f_n(x)\mid ⩽M{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$. En déduire la limite de $f_n(x)$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, à $x$ fixé.

4. (1,25 pt) Soit $g$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $g(x)={\displaystyle {\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t}$ pour tout $x\in [0,1]$. Démontrer que $g$ est la fonction nulle, sans utiliser le cours sur les équations différentielles linéaires. En déduire, toujours sans ce cours, que l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=y$ admet au plus une solution dérivable sur $[0,1]$ vérifiant $y(0)=1$.

Dans tout le problème, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a<b$, et $f$ est une fonction convexe et continue sur $[a,b]$, à valeurs réelles. On note

$$\mu =\frac{a+b}{2}\text{et}I={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

On rappelle la définition de la convexité : pour tous $x,y\in [a,b]$ et tout $\lambda \in [0,1]$,

$$f((1-\lambda )x+\lambda y)⩽(1-\lambda )f(x)+\lambda f(y)\mathrm{.}$$

Partie A. Une intégrale coincée entre une corde et un rectangle.

A.1. (0,75 pt) Démontrer que, pour tout $t\in [a,b]$,

$$f(t)⩽f(a)+\frac{t-a}{b-a}(f(b)-f(a)),$$

puis en déduire que $I⩽(b-a){\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}}$.

A.2. (1 pt) À l'aide du changement de variable $u=a+b-t$, démontrer que

$$I=\frac{1}{2}{\int }_a^b(f(t)+f(a+b-t))\mathrm{d}t,$$

puis en déduire que $(b-a)f(\mu )⩽I$.

Partie B. Le découpage, et deux suites qui encadrent $I$.

Pour $n⩾1$, on pose $h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}$, puis $x_k=a+kh$ pour $0⩽k⩽n$, et l'on définit

$${\mathcal{M}}_n=h\sum _{k=0}^{n-1}f\left(\frac{x_k+x_{k+1}}{2}\right)\text{et}{\mathcal{T}}_n=h(\frac{f(a)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(x_k\right)+\frac{f(b)}{2})\mathrm{.}$$

Ces notations sont propres au problème : ${\mathcal{T}}_n$ désigne ici la somme des trapèzes, à ne pas confondre avec les sommes de Riemann $T_n$ du cours.

B.1. (1,5 pt) Vérifier que ${\mathcal{T}}_n={\displaystyle \frac{h}{2}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(f\left(x_k\right)+f\left(x_{k+1}\right))}$. Justifier ensuite que la partie A s'applique à la restriction de $f$ à chaque segment $[x_k,x_{k+1}]$, et en déduire que pour tout $n⩾1$,

$${\mathcal{M}}_n⩽I⩽{\mathcal{T}}_n\mathrm{.}$$

B.2. (0,75 pt) Démontrer que, pour tout $n⩾1$, ${\mathcal{T}}_{2n}={\displaystyle \frac{{\mathcal{T}}_n+{\mathcal{M}}_n}{2}}$. On séparera les indices pairs et impairs dans la somme qui définit ${\mathcal{T}}_{2n}$.

B.3. (1 pt) En déduire que ${\mathcal{M}}_n=2{\mathcal{T}}_{2n}-{\mathcal{T}}_n$, puis les deux relations

$${\mathcal{T}}_n-{\mathcal{M}}_n=2({\mathcal{T}}_n-{\mathcal{T}}_{2n})\text{et}0⩽{\mathcal{T}}_{2n}-I⩽\frac{{\mathcal{T}}_n-I}{2}\mathrm{.}$$

B.4. (0,5 pt) On admet qu'une récurrence sur $p$, fondée sur la seconde relation de B.3, donne

$$0⩽{\mathcal{T}}_{2^p}-I⩽\frac{{\mathcal{T}}_1-{\mathcal{M}}_1}{2^p}\text{pour tout }p\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

En déduire que les deux suites ${\left({\mathcal{T}}_{2^p}\right)}_{p⩾0}$ et ${\left({\mathcal{M}}_{2^p}\right)}_{p⩾0}$ convergent vers $I$.

Partie C. Une valeur numérique certifiée.

On pose désormais ${\displaystyle I={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t}$, dont aucune primitive ne s'exprime à l'aide des fonctions usuelles. On utilisera les encadrements

$$\mathrm{1,0644}⩽{\mathrm{e}}^{1\mathrm{/}16}⩽\mathrm{1,0645},\mathrm{1,2840}⩽{\mathrm{e}}^{1\mathrm{/}4}⩽\mathrm{1,2841},\mathrm{1,7550}⩽{\mathrm{e}}^{9\mathrm{/}16}⩽\mathrm{1,7551},\mathrm{2,7182}⩽\mathrm{e}⩽\mathrm{2,7183.}$$

C.1. (0,25 pt) Démontrer que $t\mapsto {\mathrm{e}}^{t^2}$ est convexe sur $[0,1]$.

C.2. (1 pt) Calculer ${\mathcal{T}}_1$, ${\mathcal{M}}_1$, puis ${\mathcal{T}}_2$ en utilisant la question B.2 et ${\mathcal{M}}_2$, et en déduire un encadrement de $I$ dont chaque borne est donnée à ${10}^{-4}$ près, arrondie dans le sens qui préserve l'inégalité.

C.3. (0,75 pt) Un élève objecte qu'on ne peut pas calculer l'erreur puisqu'on ne connaît pas $I$. Expliquer, à l'aide de la question B.3, comment un programme peut néanmoins certifier sa propre précision à chaque étape, et donner ce critère d'arrêt.