Exercices — Groupe symétrique et déterminants

Dans le groupe symétrique ${\mathfrak{S}}_5$, on considère les deux permutations

1. Calculer $\sigma \tau$, puis $\tau \sigma$. Qu'en conclut-on sur le groupe ${\mathfrak{S}}_5$ ?

2. Déterminer ${\sigma }^{-1}$, et vérifier par le calcul que $\sigma {\sigma }^{-1}=\mathrm{i}\mathrm{d}$.

3. Calculer ${\sigma }^2$.

4. Résoudre dans ${\mathfrak{S}}_5$ l'équation $\sigma x=\tau$, d'inconnue $x$. Justifier que la solution obtenue est l'unique solution.

1. Décomposer en produit de cycles à supports disjoints la permutation

   $${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 5& 6& 2& 4& 1\end{array}\right)\in {\mathfrak{S}}_6\mathrm{.}$$

2. Faire de même pour

   $${\sigma }_2=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ 4& 7& 3& 5& 1& 2& 6\end{array}\right)\in {\mathfrak{S}}_7,$$

   et préciser le support de ${\sigma }_2$.

3. Faire de même pour

   $${\sigma }_3=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 5& 3& 8& 6& 2& 4& 7& 1\end{array}\right)\in {\mathfrak{S}}_8\mathrm{.}$$

4. Réciproquement, écrire sous forme de tableau à deux lignes la permutation $\gamma =(147)(26)(358)$ de ${\mathfrak{S}}_8$.

1. Déterminer la signature de chacune des permutations suivantes.

   a. ${\sigma }_1=(1472)$ dans ${\mathfrak{S}}_7$

   b. ${\sigma }_2=(25)(136)$ dans ${\mathfrak{S}}_6$

   c. ${\sigma }_3=(13524)$ dans ${\mathfrak{S}}_5$

   d. ${\sigma }_4=(12)(34)(56)(78)$ dans ${\mathfrak{S}}_8$

   e. ${\sigma }_5=\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 4& 6& 5& 1& 3& 2\end{array}\right)$

   f. ${\sigma }_6=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ 3& 1& 2& 6& 7& 5& 4\end{array}\right)$

2. Soit $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$ et $k\in \mathbb{N}$. Exprimer $\epsilon ({\sigma }^{-1})$ et $\epsilon ({\sigma }^k)$ en fonction de $\epsilon (\sigma )$.

3. La permutation $\gamma =(1234)(567)$ appartient-elle au groupe alterné ${\mathfrak{A}}_7$ ? Et la permutation ${\gamma }^2$ ?

1. Calculer les déterminants suivants.

   a. $\mid \begin{array}{cc}3& 5\\ 2& 4\end{array}\mid$

   b. $\mid \begin{array}{cc}-1& 4\\ 3& 2\end{array}\mid$

   c. $\mid \begin{array}{cc}7& -3\\ -2& 1\end{array}\mid$

   d. $\mid \begin{array}{cc}6& 9\\ 4& 6\end{array}\mid$

2. Calculer, à l'aide de la règle de Sarrus, les déterminants

   $$D_1=\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 4& 5\\ 1& 0& 6\end{array}\mid \text{et}{D}_2=\mid \begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 0& -2\\ 4& 1& 1\end{array}\mid \mathrm{.}$$

3. La famille $(u_1,u_2,u_3)$ de ${\mathbb{R}}^3$ définie par $u_1=(1,2,-1)$, $u_2=(0,1,3)$ et $u_3=(2,5,0)$ est-elle une base de ${\mathbb{R}}^3$ ?

4. Pour quelles valeurs du réel $m$ la famille $(v_1,v_2,v_3)$ définie par $v_1=(1,1,2)$, $v_2=(2,-1,1)$ et $v_3=(m,1,0)$ est-elle liée ?

1. Calculer le déterminant de la matrice triangulaire

   $$T=\left(\begin{array}{cccc}2& 5& -1& 3\\ 0& -3& 4& 7\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right)\mathrm{.}$$

2. Calculer le déterminant de la matrice diagonale par blocs

   $$M=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 0\\ 5& 2& 0& 0\\ 0& 0& 4& -1\\ 0& 0& 2& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Dans les questions suivantes, $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ vérifie $\det (A)=7$.

3. Calculer les déterminants suivants.

   a. $\det (2A)$

   b. $\det (A^3)$

   c. $\det ({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A)$

   d. $\det (A^{-1})$

4. Donner le déterminant de la matrice obtenue à partir de $A$ par l'opération élémentaire indiquée.

   a. $L_1\leftrightarrow L_2$

   b. $L_3\leftarrow -3L_3$

   c. $L_2\leftarrow L_2+5L_1$

5. Un élève écrit : « $\det (2A)=2\det (A)=14$ ». Expliquer son erreur.

Dans les trois premières questions, on demande de justifier le choix de la rangée de développement et le signe du cofacteur utilisé.

1. Calculer

   $$D_1=\mid \begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 5& 1& 3& 0\\ -1& 4& 2& 0\\ 3& 0& 6& 7\end{array}\mid \mathrm{.}$$

2. Calculer

   $$D_2=\mid \begin{array}{cccc}0& 3& 0& 0\\ 2& 1& 0& 4\\ 0& 5& -1& 2\\ 1& 0& 0& 3\end{array}\mid \mathrm{.}$$

3. Calculer

   $$D_3=\mid \begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 0& 4& 0& 0\\ 5& 1& 2& 6\\ 0& 7& 0& 1\end{array}\mid \mathrm{.}$$

4. Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& -1& 2\\ 1& 4& 1\end{array}\right)$. Calculer les mineurs ${\mathrm{\Delta }}_{2,3}$ et ${\mathrm{\Delta }}_{3,1}$, puis les cofacteurs $c_{2,3}$ et $c_{3,1}$. En déduire $\det (A)$ en développant selon la deuxième ligne.

On considère la matrice

1. Calculer $\det (A)$. Que peut-on en déduire ?

2. Calculer la comatrice $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(A)$, coefficient par coefficient.

3. Vérifier la relation $A{}^t\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(A)=\det (A)I_3$, puis en déduire $A^{-1}$.

4. Contrôler le résultat en calculant le produit $A{A}^{-1}$.

5. Écrire la formule donnant l'inverse d'une matrice inversible $B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ d'ordre $2$ à l'aide de sa comatrice, puis l'appliquer à $B=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$.

On munit $E={\mathbb{R}}_3[X]$ de sa base canonique $\mathcal{B}=(1,X,X^2,X^3)$, et l'on considère les deux applications

On admet que $u$ et $v$ sont des endomorphismes de $E$.

1. Écrire les matrices $U={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)$ et $V={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(v)$.

2. Calculer $\det (u)$ et $\det (v)$. Que peut-on en conclure pour $u$ et $v$ ?

3. Calculer $\det (u\circ v)$ de deux façons : par la formule du déterminant d'une composée, puis en écrivant la matrice de $u\circ v$ dans la base $\mathcal{B}$.

4. Donner la valeur de $\det (u^{-1})$.

Dans ${\mathfrak{S}}_{10}$, on considère la permutation

On rappelle que l'ordre d'une permutation $\gamma$ est le plus petit entier $k⩾1$ tel que ${\gamma }^k=\mathrm{i}\mathrm{d}$, et que la composition se lit de droite à gauche : $\sigma \tau$ signifie « on applique $\tau$ d'abord, puis $\sigma$ ».

1. Écrire $\sigma$ sous forme de tableau à deux lignes et déterminer son unique point fixe.

2. Montrer que l'ordre d'un $p$-cycle est égal à $p$.

3. Soient $c$ et $c^{\mathrm{\prime }}$ deux cycles à supports disjoints, de longueurs respectives $p$ et $q$. Montrer que $(c{c}^{\mathrm{\prime }}{)}^k=c^k(c^{\mathrm{\prime }}{)}^k$ pour tout $k\in \mathbb{Z}$, puis que l'ordre de $c{c}^{\mathrm{\prime }}$ vaut $\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{m}(p,q)$. Adapter le raisonnement à trois cycles pour obtenir l'ordre de $\sigma$.

4. Justifier que ${\sigma }^k$ ne dépend que du reste de la division euclidienne de $k$ par l'ordre de $\sigma$. En déduire ${\sigma }^{2026}$, décomposée en produit de cycles à supports disjoints.

5. Déterminer le sous-groupe $⟨\sigma ⟩$ engendré par $\sigma$, ainsi que son cardinal.

On travaille dans ${\mathfrak{S}}_n$ avec $n⩾2$, et l'on rappelle que $\sigma \tau$ signifie « on applique $\tau$ d'abord, puis $\sigma$ ». On considère le $5$-cycle

1. Vérifier les deux égalités

2. Soient $a$ et $b$ deux éléments distincts de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[2,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Montrer que $(ab)=(1a)(1b)(1a)$. En déduire une écriture de $\gamma$ comme produit de $10$ transpositions.

3. Le nombre de facteurs est passé de $4$ à $10$ : il n'est donc pas déterminé par $\gamma$. Montrer en revanche que sa parité l'est, et donner $\epsilon (\gamma )$.

4. Montrer que tout $p$-cycle ($p⩾2$) s'écrit comme produit de $p-1$ transpositions, et retrouver la signature d'un $p$-cycle.

5. En déduire que ${\mathfrak{S}}_n$ est engendré par les transpositions $(1k)$, pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[2,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

Soit $n⩾2$. À toute permutation $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$ on associe la matrice de permutation $P_{\sigma }\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ définie par

On rappelle que $\sigma \tau$ signifie « on applique $\tau$ d'abord, puis $\sigma$ ».

1. Justifier que la $j$-ième colonne de $P_{\sigma }$ est la $\sigma (j)$-ième colonne de $I_n$, puis écrire $P_{\sigma }$ pour $\sigma =(134)\in {\mathfrak{S}}_4$.

2. Montrer que $P_{\sigma }{P}_{\tau }=P_{\sigma \tau }$ pour toutes permutations $\sigma ,\tau$. En déduire que $P_{\sigma }$ est inversible et que l'application $\mathrm{\Phi }:\sigma \mapsto P_{\sigma }$ est un morphisme de groupes injectif de ${\mathfrak{S}}_n$ dans ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$.

3. Calculer $\det (P_{\tau })$ lorsque $\tau$ est une transposition, puis en déduire que $\det (P_{\sigma })=\epsilon (\sigma )$ pour toute $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$. Vérifier le résultat sur l'exemple de la question 1.

4. Montrer que ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}{P}_{\sigma }=P_{{\sigma }^{-1}}$, et en déduire que $P_{\sigma }^{-1}={}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}{P}_{\sigma }$.

Soient $n⩾2$ et $a,b\in \mathbb{K}$. On note $M_n$ la matrice de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ dont tous les coefficients diagonaux valent $a$ et tous les autres $b$, et l'on pose $D_n=\det (M_n)$ :

1. Calculer $D_2$ et $D_3$ à la main, et donner leur forme factorisée.

2. Dans le cas général, effectuer l'opération $C_1\leftarrow C_1+C_2+\cdots +C_n$ et mettre le facteur $a+(n-1)b$ en évidence.

3. Effectuer ensuite les opérations $L_i\leftarrow L_i-L_1$ pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[2,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, et en déduire que

Contrôler la cohérence avec la question 1.

4. Discuter, selon $a$ et $b$, l'inversibilité de $M_n$. Dans chaque cas singulier, exhiber un vecteur non nul du noyau de l'endomorphisme de ${\mathbb{K}}^n$ canoniquement associé à $M_n$.

5. Application : calculer le déterminant d'ordre $4$ dont les coefficients diagonaux valent $3$ et tous les autres $1$.

Soient $a,b,c\in \mathbb{K}$. On pose

1. Calculer $V(a,b,c)$ en effectuant les opérations $C_2\leftarrow C_2-C_1$ puis $C_3\leftarrow C_3-C_1$, et montrer que $V(a,b,c)=(b-a)(c-a)(c-b)$.

2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la famille $((1,a,a^2),(1,b,b^2),(1,c,c^2))$ soit une base de ${\mathbb{K}}^3$.

3. Soient $x_1,x_2,x_3$ trois réels deux à deux distincts et $y_1,y_2,y_3$ trois réels quelconques. En écrivant un système linéaire, montrer qu'il existe un unique polynôme $P\in {\mathbb{R}}_2[X]$ tel que $P(x_i)=y_i$ pour tout $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

4. Retrouver ce résultat à l'aide des polynômes interpolateurs de Lagrange, et comparer les deux démonstrations.

5. Exemple. Déterminer le polynôme $P$ de degré au plus $2$ vérifiant $P(-1)=3$, $P(1)=1$ et $P(2)=6$.

On rappelle que si $AX=B$ est un système de Cramer ($A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ avec $\det (A)\mathrm{\ne }0$), son unique solution est donnée par $x_j={\displaystyle \frac{\det (A_j)}{\det (A)}}$, où $A_j$ est la matrice $A$ dont la $j$-ième colonne a été remplacée par $B$.

Partie A. On considère le système

1. Calculer le déterminant de la matrice $A$ de $(S)$ et justifier que $(S)$ est un système de Cramer.

2. Résoudre $(S)$ par les formules de Cramer, puis vérifier la solution obtenue.

Partie B. Soit $m\in \mathbb{R}$. On considère le système

3. En notant $A_m$ la matrice de $(S_m)$, montrer que $\det (A_m)=(m+2)(m-1{)}^2$.

4. Discuter, selon la valeur de $m$, le nombre de solutions de $(S_m)$.

5. Résoudre $(S_m)$ par les formules de Cramer lorsque $m\mathrm{\notin }\{1,-2\}$.

Pour $x\in \mathbb{R}$, on pose

et l'on note $u_x$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ canoniquement associé à $A(x)$.

1. Calculer $\det (A(x))$ en effectuant les opérations $C_2\leftarrow C_2-C_1$ et $C_3\leftarrow C_3-C_1$, et donner le résultat sous forme factorisée.

2. En déduire l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $A(x)$ est inversible.

3. Pour $x=1$, déterminer le rang de $A(1)$, puis une base de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{u}_1$.

4. Mêmes questions pour $x=0$. Vérifier le théorème du rang dans les deux cas.

5. Contrôler la formule de la question 1 en calculant directement $\det (A(2))$.

On travaille dans $E={\mathbb{R}}_3[X]$, muni de sa base canonique $\mathcal{B}=(1,X,X^2,X^3)$.

1. La famille $\mathcal{F}=(P_1,P_2,P_3,P_4)$ définie par

est-elle une base de $E$ ? On calculera ${\det }_{\mathcal{B}}(\mathcal{F})$.

2. Soit $m\in \mathbb{R}$. Pour quelles valeurs de $m$ la famille

est-elle une base de $E$ ?

3. Soit $\mathcal{C}$ une autre base de $E$. Montrer que ${\det }_{\mathcal{C}}(\mathcal{F})$ et ${\det }_{\mathcal{B}}(\mathcal{F})$ sont nuls en même temps. Que peut-on en conclure sur les réponses des questions 1 et 2 ?

4. Soit $a\in \mathbb{R}$. Calculer ${\det }_{\mathcal{B}}(1,X-a,(X-a{)}^2,(X-a{)}^3)$ et conclure.

Dans tout l'exercice, $n⩾2$ et $A,B$ désignent des matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

1. Vrai ou faux, en justifiant.

   a. $\det (A+B)=\det (A)+\det (B)$.

   b. $\det (AB)=\det (BA)$, même lorsque $AB\mathrm{\ne }BA$.

2. Montrer que si $A$ est nilpotente, alors $\det (A)=0$.

3. Montrer que si $A^2=A$, alors $\det (A)\in \{0,1\}$, et que les deux valeurs sont effectivement atteintes.

4. Montrer que si $A$ et $B$ sont semblables, alors $\det (A)=\det (B)$. La réciproque est-elle vraie ?

5. Soit $k⩾1$ tel que $A^k=I_n$. Montrer que $\det (A)=\pm 1$, puis préciser ce que l'on peut dire de plus lorsque $k$ est impair.

Soient $p,q⩾1$ et $n=p+q$. Pour $A\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{K})$, $B\in {\mathcal{M}}_{p,q}(\mathbb{K})$ et $D\in {\mathcal{M}}_q(\mathbb{K})$, on pose

1. On suppose d'abord $A=I_p$. En annulant le bloc $B$ par des opérations sur les colonnes, puis en développant $p$ fois selon la première colonne, montrer que $\det (M)=\det (D)$.

2. Cas général. Les blocs $B$ et $D$ étant fixés, on note $\phi (C_1,\dots ,C_p)=\det (M)$, où $C_1,\dots ,C_p$ désignent les colonnes de $A$. Montrer que $\phi$ est une forme $p$-linéaire alternée sur ${\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{K})$, puis en déduire que $\det (M)=\det (A)\det (D)$.

3. Application : calculer de tête $\mid \begin{array}{cccc}1& 2& 5& 7\\ 3& 4& -1& 0\\ 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 3& 5\end{array}\mid$.

4. Pour une matrice découpée en quatre blocs carrés $M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$, un élève propose la formule $\det (M)=\det (A)\det (D)-\det (B)\det (C)$. Donner un contre-exemple.

5. Soient $A_1,A_2,A_3$ des matrices carrées. Montrer que le déterminant de la matrice diagonale par blocs de blocs $A_1,A_2,A_3$ vaut $\det (A_1)\det (A_2)\det (A_3)$.

Partie A. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ antisymétrique, c'est-à-dire vérifiant ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A=-A$.

1. Montrer que si $n$ est impair, alors $\det (A)=0$. Qu'en déduit-on sur l'inversibilité de $A$ ?

2. Donner une matrice antisymétrique d'ordre $2$ inversible. Que peut-on donc dire du cas $n$ pair ?

Partie B. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2=-I_n$.

3. Montrer que $n$ est nécessairement pair.

4. Exhiber une telle matrice pour $n=2$, puis pour $n=4$.

Partie C.

5. La conclusion de la question 3 subsiste-t-elle pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ ? On donnera un contre-exemple d'ordre $1$ et on précisera à quel endroit l'argument précédent utilise que la matrice est réelle.

Pour $n⩾1$, on note $T_n\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice tridiagonale dont tous les coefficients diagonaux valent $2$, dont tous les coefficients des deux diagonales adjacentes valent $1$, et dont tous les autres coefficients sont nuls :

On pose $D_n=\det (T_n)$.

1. Écrire $T_1$, $T_2$, $T_3$ et calculer $D_1$, $D_2$ et $D_3$.

2. Soit $n⩾3$. Développer $D_n$ selon sa première colonne, puis développer le second mineur obtenu selon sa première ligne, afin d'établir la relation $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$.

3. En déduire l'expression de $D_n$ en fonction de $n$.

4. Que peut-on dire de l'inversibilité de $T_n$ ?

5. On remplace les deux diagonales adjacentes par des $-1$, les coefficients diagonaux restant égaux à $2$. Le déterminant change-t-il ?

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n⩾1$, muni d'une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$. On note ${\mathcal{A}}_n(E)$ l'ensemble des formes $n$-linéaires alternées sur $E$.

1. Dans cette question $E={\mathbb{R}}^2$ et $\mathcal{B}$ est sa base canonique. Pour $x=(x_1,x_2)$ et $y=(y_1,y_2)$, on pose

Vérifier que $f$ est une forme bilinéaire alternée, puis l'exprimer comme un multiple de ${\det }_{\mathcal{B}}$.

2. Cas général : soit $f\in {\mathcal{A}}_n(E)$. Montrer que $f=f(e_1,\dots ,e_n){\det }_{\mathcal{B}}$.

3. En déduire que ${\mathcal{A}}_n(E)$ est un espace vectoriel de dimension $1$.

4. Montrer qu'une forme $n$-linéaire alternée est nulle sur toute famille liée.

5. On suppose $\dim E=3$. Montrer que toute forme $4$-linéaire alternée sur $E$ est nulle.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de sa base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ et on considère les endomorphismes $u$ et $v$ définis par

1. Écrire les matrices de $u$ et de $v$ dans $\mathcal{B}$, puis calculer $\det (u)$ et $\det (v)$. Lequel de ces deux endomorphismes est un automorphisme ? Calculer alors le déterminant de son application réciproque.

2. Calculer les matrices de $u\circ v$ et de $v\circ u$. Vérifier que $u\circ v\mathrm{\ne }v\circ u$ et que $\det (u\circ v)=\det (v\circ u)=\det (u)\det (v)$.

3. Soit $E$ un espace de dimension $n$ et $p$ un projecteur de $E$ de rang $r$. Calculer $\det (p)$ en se plaçant dans une base adaptée.

4. Soit $s$ la symétrie par rapport à un sous-espace $F$ de dimension $p$, parallèlement à un supplémentaire $G$ de $F$. Calculer $\det (s)$.

5. Calculer le déterminant de l'homothétie $h_{\lambda }=\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. Pour quelles valeurs de $\lambda$ est-ce un automorphisme ?

Soient $n⩾2$ et $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{K}$. On note $V(a_1,\dots ,a_n)$ le déterminant de la matrice de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ dont le coefficient d'indice $(i,j)$ vaut $a_i^{j-1}$ :

1. Calculer $V(a_1,a_2)$, puis $V(a_1,a_2,a_3)$ à l'aide des opérations $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$.

2. Soient $n⩾3$ et $a_1,\dots ,a_{n-1}$ deux à deux distincts. On pose $P(x)=V(a_1,\dots ,a_{n-1},x)$ pour $x\in \mathbb{K}$. Montrer que $P$ est une fonction polynomiale de degré au plus $n-1$, dont le coefficient de $x^{n-1}$ vaut $V(a_1,\dots ,a_{n-1})$.

3. Déterminer $n-1$ racines de $P$, puis en déduire que $P(x)=V(a_1,\dots ,a_{n-1}){\displaystyle \prod _{i=1}^{n-1}(x-a_i)}$.

4. En déduire par récurrence que $V(a_1,\dots ,a_n)={\displaystyle \prod _{1⩽i<j⩽n}(a_j-a_i)}$, sans aucune hypothèse sur les $a_i$. Vérifier sur $V(1,2,3)$.

5. Montrer que la matrice de Vandermonde est inversible si et seulement si les $a_i$ sont deux à deux distincts, et retrouver ainsi l'existence et l'unicité du polynôme d'interpolation de Lagrange.

Soient $n⩾1$, $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et

On pose $P=\left(\begin{array}{cc}{I}_n& I_n\\ 0& I_n\end{array}\right)$ et $Q=\left(\begin{array}{cc}{I}_n& -I_n\\ 0& I_n\end{array}\right)$, deux matrices de ${\mathcal{M}}_{2n}(\mathbb{K})$.

1. Justifier que $\det P=\det Q=1$.

2. Calculer le produit par blocs $PM$. Quelle opération sur les lignes de $M$, vue par blocs, réalise-t-il ?

3. Calculer $(PM)Q$. Quelle opération sur les colonnes réalise-t-il ?

4. En déduire que $\det M=\det (A+B)\det (A-B)$.

5. Application numérique avec $n=2$, $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ : calculer $\det M$, où $M$ est d'ordre $4$.

6. Traiter le cas $A=I_n$ : simplifier $\det \left(\begin{array}{cc}{I}_n& B\\ B& I_n\end{array}\right)$ le plus loin possible.

Dans tout l'exercice, $n⩾2$ et le produit $\sigma \tau$ désigne la composée $\sigma \circ \tau$ : on applique $\tau$ d'abord, puis $\sigma$.

1. Soient $\gamma =(a_1{a}_2\dots a_p)$ un $p$-cycle de ${\mathfrak{S}}_n$ et $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$. Montrer que

2. En déduire que si $\gamma$ se décompose en cycles à supports disjoints de longueurs $p_1,\dots ,p_r$, alors $\sigma \gamma {\sigma }^{-1}$ se décompose en cycles à supports disjoints de mêmes longueurs. Retrouver de deux façons que $\epsilon (\sigma \gamma {\sigma }^{-1})=\epsilon (\gamma )$.

3. Trouver explicitement une permutation $\sigma \in {\mathfrak{S}}_5$ telle que $\sigma (123)(45){\sigma }^{-1}=(254)(13)$.

4. Dénombrer les $3$-cycles de ${\mathfrak{S}}_5$.

5. Dénombrer les permutations de ${\mathfrak{S}}_6$ qui s'écrivent comme le produit d'un $4$-cycle et d'une transposition à supports disjoints.

Pour $n⩾2$, on note ${\mathfrak{A}}_n=\{\sigma \in {\mathfrak{S}}_n;\epsilon (\sigma )=1\}$ le groupe alterné. Le produit $\sigma \tau$ désigne la composée $\sigma \circ \tau$ : on applique $\tau$ d'abord, puis $\sigma$.

1. Montrer que ${\mathfrak{A}}_n$ est un sous-groupe de ${\mathfrak{S}}_n$.

2. Soit $\phi :\sigma \mapsto (12)\sigma$. Montrer que $\phi$ réalise une bijection de ${\mathfrak{A}}_n$ sur ${\mathfrak{S}}_n\setminus {\mathfrak{A}}_n$, et en déduire que $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}({\mathfrak{A}}_n)={\displaystyle \frac{n!}{2}}$.

3. Lister les éléments de ${\mathfrak{A}}_4$ en les classant par structure en cycles, et vérifier le compte de la question 2.

4. Soient $a,b,c,d$ quatre éléments deux à deux distincts de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Calculer $(ab)(ac)$, puis vérifier que $(ab)(cd)=(acb)(acd)$.

5. En déduire que, pour $n⩾3$, le groupe ${\mathfrak{A}}_n$ est engendré par les $3$-cycles.

Le théorème de Lagrange est hors programme : la question 2 doit être traitée par la bijection proposée.

Soient $n⩾2$ et $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. On rappelle que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(A)=(c_{i,j}{)}_{1⩽i,j⩽n}$ où $c_{i,j}=(-1{)}^{i+j}{\mathrm{\Delta }}_{i,j}$ est le cofacteur d'indice $(i,j)$, et que

1. En déduire que $\det (\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(A))=\det (A{)}^{n-1}$ lorsque $A$ est inversible.

2. On suppose $\det A=0$. Montrer que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(A)$ n'est pas inversible (distinguer $A=0_n$ et $A\mathrm{\ne }{0}_n$), et conclure que la formule de la question 1 vaut pour toute matrice $A$.

3. Montrer que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A)={}^t\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(A)$.

4. On suppose $A$ inversible. Montrer que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(A)=\det (A){}^t(A^{-1})$, puis que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(AB)=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(A)\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(B)$ pour toutes matrices $A$ et $B$ inversibles.

5. Pour $A$ inversible, calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(A))$ en fonction de $A$. Vérifier le résultat sur $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$.

On note ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{Z})$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ dont tous les coefficients sont des entiers relatifs, vu comme partie de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{Q})$, et

1. Montrer que $\det A\in \mathbb{Z}$ pour toute $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{Z})$.

2. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{Z})$. Montrer que $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$ si et seulement si $\det A=1$ ou $\det A=-1$. (Un sens utilise la comatrice, l'autre la relation $\det (A)\det (A^{-1})=1$.)

3. Donner un exemple de matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{Z})$ inversible dont l'inverse n'est pas à coefficients entiers.

4. Vérifier que $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right)$ est de déterminant $1$, puis calculer $A^{-1}$ par la comatrice.

5. Montrer que ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$ est un sous-groupe de ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Q})$.

Soient $a,b,c\in \mathbb{K}$. Pour $n⩾1$, on note $T_n\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ la matrice tridiagonale de diagonale principale constante égale à $a$, de surdiagonale constante égale à $b$ et de sous-diagonale constante égale à $c$, et $D_n=\det (T_n)$ :

On convient que $D_0=1$.

1. Calculer $D_1$ et $D_2$.

2. En développant selon la première colonne, montrer que $D_n=a{D}_{n-1}-bc{D}_{n-2}$ pour $n⩾3$, et vérifier que la relation reste vraie pour $n=2$ avec la convention ci-dessus.

3. Soient $r_1,r_2$ les racines dans $\mathbb{C}$ de l'équation $r^2-ar+bc=0$. Exprimer $D_n$ lorsque $r_1\mathrm{\ne }{r}_2$, puis lorsque $r_1=r_2=r$.

4. Appliquer au cas $a=2$, $b=c=1$, puis au cas $a=1$, $b=1$, $c=-1$ (on reconnaîtra une suite classique).

5. Conclure sur l'inversibilité de $T_n$ dans ces deux cas.

Soient $n⩾1$ et $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. On note $A_1,\dots ,A_n$ les colonnes de $A$ et $B_1,\dots ,B_n$ celles de $B$, et on pose $\phi (t)=\det (A+tB)$ pour $t\in \mathbb{K}$.

1. En utilisant la multilinéarité du déterminant par rapport aux colonnes, montrer que $\phi$ est une fonction polynomiale de degré au plus $n$.

2. Identifier le coefficient de $t^n$ et le terme constant de ce polynôme.

3. On prend $n=3$ avec $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. Calculer $\phi (t)$ directement, puis retrouver ses quatre coefficients à l'aide de la décomposition de la question 1.

4. Montrer que si $\det (A+tB)=0$ pour une infinité de valeurs de $t$, alors $\det (A+tB)=0$ pour tout $t\in \mathbb{K}$.

5. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $\alpha >0$ tel que $A+t{I}_n$ soit inversible pour tout réel $t$ vérifiant $0<\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<\alpha$.

Une matrice $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ est dite à diagonale strictement dominante lorsque

Dans tout l'exercice, $A$ désigne une telle matrice.

1. Soit $X={}^t(x_1\dots x_n)$ une colonne telle que $AX=0$, et soit $i_0$ un indice tel que $\mathrm{\mid }{x}_{i_0}\mathrm{\mid }={\max }_{1⩽k⩽n}\mathrm{\mid }{x}_k\mathrm{\mid }$. En écrivant la $i_0$-ième équation du système et en appliquant l'inégalité triangulaire, montrer que $X=0$.

2. En déduire que $A$ est inversible, puis que $\det (A)\mathrm{\ne }0$.

3. Vérifier que $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -1\\ 0& 2& 1\\ 1& 1& 4\end{array}\right)$ satisfait le critère, et calculer son déterminant.

4. Montrer par un contre-exemple que le résultat tombe en défaut si l'on remplace l'inégalité stricte par une inégalité large.

5. Soit $n⩾2$ et $T_n\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice tridiagonale dont les coefficients diagonaux valent $3$, ceux des deux diagonales voisines valent $1$, et tous les autres sont nuls. Montrer que $T_n$ est inversible pour tout $n$.

Soient $n,p⩾1$, $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B\in {\mathcal{M}}_{p,n}(\mathbb{K})$. On pose

1. Calculer les produits par blocs $NM$ et $MN$.

2. Calculer $\det (N)$, puis en déduire l'identité de Sylvester : $\det (I_n-AB)=\det (I_p-BA)$.

3. En déduire que $\det (I_n+AB)=\det (I_p+BA)$.

4. Application 1. Soient $C\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$ une colonne et $L\in {\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{K})$ une ligne. Calculer $\det (I_n+CL)$ en fonction de $\mathrm{t}\mathrm{r}(CL)$, puis vérifier le résultat pour $C={}^t(2-13)$ et $L=(14-2)$.

5. Application 2. Soient $n⩾2$, $a\in \mathbb{K}$ et $M_a\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$, sauf ceux de la diagonale qui valent $1+a$. Calculer $\det (M_a)$.