Devoir surveillé — Groupe symétrique et déterminants

Dans tout l'exercice, $n⩾2$ et le produit $\sigma \tau$ désigne la composée $\sigma \circ \tau$ : on applique $\tau$ d'abord, puis $\sigma$. On s'intéresse aux équations de la forme ${\sigma }^2=\gamma$, d'inconnue $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$.

1. (0,75 pt) Soit $c=(a_1{a}_2\dots a_p)$ un $p$-cycle de ${\mathfrak{S}}_n$, avec $p⩾2$. On convient de lire les indices modulo $p$ dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,p]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, de sorte que $c\left(a_i\right)=a_{i+1}$ pour tout $i$. Démontrer les deux assertions suivantes.

a. Si $p$ est impair, alors $c^2=(a_1{a}_3{a}_5\dots a_p{a}_2{a}_4\dots a_{p-1})$ ; en particulier $c^2$ est un $p$-cycle de même support que $c$.

b. Si $p=2m$ est pair avec $m⩾2$, alors $c^2$ est le produit de deux $m$-cycles à supports disjoints, dont on précisera les supports. Que vaut $c^2$ lorsque $p=2$ ?

2. (0,5 pt) Soit $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$, dont la décomposition en cycles à supports disjoints comporte des cycles de longueurs $p_1,\dots ,p_r$. Décrire les longueurs des cycles de la décomposition de ${\sigma }^2$. En déduire que, dans la décomposition de ${\sigma }^2$, le nombre de cycles d'une longueur paire donnée est toujours un nombre pair.

3. (0,75 pt) Résoudre dans ${\mathfrak{S}}_5$ l'équation ${\sigma }^2=(12345)$ : démontrer qu'elle admet une unique solution, et la déterminer.

4. (0,5 pt) Démontrer que l'équation ${\sigma }^2=(123)(45)$ n'a aucune solution dans ${\mathfrak{S}}_5$, à l'aide de la signature.

5. (0,5 pt) Démontrer que l'équation ${\sigma }^2=(1234)(56)$ n'a aucune solution dans ${\mathfrak{S}}_6$. On vérifiera d'abord que l'argument de la question 4. ne s'applique plus.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A. La matrice des minimums.

Pour $n⩾1$, on note $M_n\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice dont le coefficient d'indice $(i,j)$ vaut $\min (i,j)$.

1. (0,5 pt) Écrire $M_2$ et $M_3$, puis calculer $\det (M_2)$ et $\det (M_3)$.

2. (1 pt) Soit $n⩾2$. On effectue sur $M_n$ les opérations $L_i\leftarrow L_i-L_{i-1}$, pour $i$ décroissant de $n$ à $2$. Décrire précisément la matrice obtenue, et en déduire $\det (M_n)$ pour tout $n⩾1$.

3. (0,25 pt) En déduire que les colonnes de $M_n$ forment une base de ${\mathbb{R}}^n$. Déterminer les coordonnées du vecteur $e_1=(1,0,0)$ dans la base de ${\mathbb{R}}^3$ formée par les colonnes de $M_3$.

Partie B. La matrice des sommes.

Soient $n⩾2$ et $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$ des scalaires de $\mathbb{K}$, où $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On pose $A=(x_i+y_j{)}_{1⩽i,j⩽n}$.

4. (0,25 pt) Calculer $\det (A)$ dans le cas $n=2$, et donner le résultat sous forme factorisée.

5. (1 pt) Démontrer que $\det (A)=0$ dès que $n⩾3$. Que peut-on affirmer sur le rang de $A$ ?

On rappelle que, pour $n⩾2$ et $B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$,

$$B{}^t\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(B)={}^t\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(B)B=\det (B)I_n,$$

et l'on utilisera sans démonstration le résultat classique $\det (\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(B))=\det (B{)}^{n-1}$.

On se place dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ et l'on pose

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ 1& -1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

L'objectif est de déterminer toutes les matrices $X\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ telles que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(X)=A$.

1. (0,5 pt) Vérifier que $A$ est symétrique, puis calculer $\det (A)$.

2. (0,75 pt) Analyse. Soit $X$ une solution. Démontrer successivement que $\det (X{)}^2=4$, que $XA=\det (X)I_3$, puis que $X=\det (X)A^{-1}$ avec $\det (X)\in \{-2,2\}$.

3. (1 pt) Calculer $A^{-1}$.

4. (0,75 pt) Synthèse. On pose $X_0=-2A^{-1}$. Calculer $\det \left(X_0\right)$, puis démontrer que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(X_0\right)=A$ sans calculer aucun cofacteur, en exploitant la relation rappelée en tête d'exercice. Vérifier enfin que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(-X_0)=A$, et conclure quant à l'ensemble des solutions.

5. (0,5 pt) Soient maintenant $n⩾2$ un entier pair et $A^{\mathrm{\prime }}\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$. Démontrer que l'équation $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(X)=A^{\mathrm{\prime }}$ admet au plus une solution dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

Le plan est rapporté à un repère $(O,\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}})$, et l'on identifie un point $M$ au couple $(x_M,y_M)$ de ses coordonnées. Pour trois points $A$, $B$, $C$ du plan, on pose

$$\mathrm{\Delta }(A,B,C)=\mid \begin{array}{cc}{x}_B-x_A& x_C-x_A\\ y_B-y_A& y_C-y_A\end{array}\mid \mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Démontrer que $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\mathrm{\Delta }(A,B,C)=0$.

2. (0,5 pt) Démontrer l'égalité

$$\mathrm{\Delta }(A,B,C)=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_A& x_B& x_C\\ y_A& y_B& y_C\end{array}\mid \mathrm{.}$$

3. (0,5 pt) Les points $A(1,2)$, $B(4,3)$ et $C(7,4)$ sont-ils alignés ? Et les points $A$, $B$ et $D(0,5)$ ?

Dans les trois dernières questions, $A$, $B$, $C$ sont trois points non alignés du plan, et l'on pose, pour $M(x,y)$,

$$F(x,y)=\mid \begin{array}{cccc}{x}^2+y^2& x& y& 1\\ x_A^2+y_A^2& x_A& y_A& 1\\ x_B^2+y_B^2& x_B& y_B& 1\\ x_C^2+y_C^2& x_C& y_C& 1\end{array}\mid \mathrm{.}$$

4. (0,5 pt) Démontrer qu'il existe trois réels $b$, $c$, $d$, indépendants de $M$, tels que

$$F(x,y)=\mathrm{\Delta }(A,B,C)(x^2+y^2)+bx+cy+d\mathrm{.}$$

5. (0,25 pt) Démontrer que $F$ s'annule en $A$, en $B$ et en $C$.

6. (0,75 pt) En déduire que l'ensemble des points $M(x,y)$ vérifiant $F(x,y)=0$ est un cercle passant par $A$, $B$ et $C$. Application : déterminer par cette méthode le centre et le rayon du cercle passant par $A(0,0)$, $B(2,0)$ et $C(0,4)$.

Ce problème relie une statistique élémentaire des permutations, le nombre d'inversions, au calcul de déterminants dont les coefficients non nuls se concentrent au voisinage de l'antidiagonale, celle qui joint le coin inférieur gauche au coin supérieur droit. Les trois parties s'enchaînent : la partie B repose sur la question 4., et la partie C sur les questions 3. et 5.

Dans tout le problème, $n⩾2$ est un entier, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et le produit $\sigma \tau$ désigne la composée $\sigma \circ \tau$.

Partie A. Le nombre d'inversions d'une permutation

Pour $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$, on appelle inversion de $\sigma$ tout couple $(i,j)$ d'entiers tel que $i<j$ et $\sigma (i)>\sigma (j)$, et l'on note $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\sigma )$ le nombre d'inversions de $\sigma$.

1. (0,5 pt) Soit

$$\sigma =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 3& 6& 1& 5& 2& 4\end{array}\right)\in {\mathfrak{S}}_6\mathrm{.}$$

Calculer $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\sigma )$, puis calculer $\epsilon (\sigma )$ en décomposant $\sigma$ en cycles à supports disjoints.

2. (1,25 pt) Soient $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$, $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ et ${\tau }_k=(kk+1)$. Démontrer que

$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}\left(\sigma {\tau }_k\right)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\sigma )+1& \text{si }\sigma (k)<\sigma (k+1),\\ \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\sigma )-1& \text{si }\sigma (k)>\sigma (k+1)\mathrm{.}\end{array}$$

3. (0,75 pt) En déduire, par récurrence sur $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\sigma )$, que toute permutation $\sigma$ est le produit de $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\sigma )$ transpositions de la forme ${\tau }_k$, puis que

$$\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\sigma )}\mathrm{.}$$

Vérifier la cohérence avec la question 1.

4. (0,25 pt) On note ${\rho }_n$ l'application de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ dans lui-même définie par ${\rho }_n(i)=n+1-i$. Justifier que ${\rho }_n\in {\mathfrak{S}}_n$, calculer $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}\left({\rho }_n\right)$ et en déduire $\epsilon \left({\rho }_n\right)$.

Partie B. Le renversement d'une matrice

Pour $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ de colonnes $C_1,\dots ,C_n$, on note $M^{\mathrm{♭}}$ la matrice dont les colonnes sont $C_n,C_{n-1},\dots ,C_1$, c'est-à-dire celles de $M$ écrites dans l'ordre inverse.

5. (0,75 pt) Démontrer que $\det \left(M^{\mathrm{♭}}\right)=(-1{)}^{n(n-1)\mathrm{/}2}\det (M)$.

6. (0,75 pt) Soient $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{K}$ et $D$ la matrice antidiagonale définie par $d_{i,n+1-i}=a_i$ pour tout $i$, tous les autres coefficients étant nuls. Calculer $\det (D)$. Application : calculer le déterminant d'ordre $4$

$$\mid \begin{array}{cccc}0& 0& 0& 2\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 3& 0& 0\\ 5& 0& 0& 0\end{array}\mid \mathrm{.}$$

Partie C. Matrices anti-triangulaires et blocs échangés

Une matrice $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est dite anti-triangulaire lorsque $m_{i,j}=0$ pour tout couple $(i,j)$ vérifiant $i+j⩽n$, autrement dit lorsque tous ses coefficients situés strictement au-dessus de l'antidiagonale sont nuls.

7. (1 pt) Soit $M$ une matrice anti-triangulaire. Démontrer que

$$\det (M)=(-1{)}^{n(n-1)\mathrm{/}2}\prod _{i=1}^n{m}_{i,n+1-i}\mathrm{.}$$

Application : calculer

$$\mid \begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 2\\ 0& 0& 0& 3& 1\\ 0& 0& -1& 4& 0\\ 0& 2& 5& 1& 3\\ 1& 0& 2& 6& 4\end{array}\mid \mathrm{.}$$

8. (1,5 pt) Soient $m⩾1$ et $A$, $B$, $C$ trois matrices de ${\mathcal{M}}_m(\mathbb{K})$. On pose

$$N=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& 0_m\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2m}(\mathbb{K})\mathrm{.}$$

On note $\pi \in {\mathfrak{S}}_{2m}$ la permutation qui échange le bloc des $m$ premiers indices avec celui des $m$ derniers, définie par $\pi (j)=j+m$ si $j⩽m$ et $\pi (j)=j-m$ si $j>m$.

a. Calculer $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\pi )$, et en déduire $\epsilon (\pi )$ à l'aide de la question 3.

b. En échangeant les deux blocs de colonnes de $N$, démontrer que

$$\det (N)=(-1{)}^m\det (B)\det (C)\mathrm{.}$$

Commenter le fait que $A$ n'intervient pas. Application : calculer $\det (N)$ pour $m=2$, $A=\left(\begin{array}{cc}5& 7\\ 8& 9\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ et $C=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$.

9. (0,75 pt) Soient $p,q⩾1$, $A\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{K})$, $B\in {\mathcal{M}}_{p,q}(\mathbb{K})$, $C\in {\mathcal{M}}_{q,p}(\mathbb{K})$ et

$$N=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& 0_q\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{p+q}(\mathbb{K})\mathrm{.}$$

Démontrer que si $q>p$, alors $\det (N)=0$. Que peut-on en conclure sur la portée de la formule de la question 8.b ?