Exercices — Fonctions de deux variables

Pour chacune des expressions suivantes, déterminer le domaine de définition $D$ de la fonction qu'elle définit, décrire $D$ géométriquement, puis dire si $D$ est une partie ouverte de ${\mathbb{R}}^2$, avec justification.

On rappelle que $D$ est ouverte lorsque, pour tout $a\in D$, il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subset D$.

Calculer les dérivées partielles d'ordre $1$ des fonctions suivantes en tout point de leur domaine, en précisant l'ouvert de travail lorsque ce n'est pas ${\mathbb{R}}^2$ tout entier.

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $f(x,y)=x^2-y^2+2x$, et le point $a=(1,2)$.

1. Écrire les deux applications partielles de $f$ en $a$, puis étudier leurs variations.

2. Pour $k\in \{0,-1,-2\}$, déterminer la ligne de niveau $L_k=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:f(x,y)=k\}$ et préciser sa nature géométrique.

3. Que peut-on en déduire sur l'allure de la surface d'équation $z=f(x,y)$, en particulier au voisinage du point de coordonnées $(-1,0)$ ?

1. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^2$ sur lequel elle est définie, puis justifier en une phrase, en invoquant les théorèmes généraux, qu'elle est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$.

2. Calculer le gradient de $f$ et celui de $h$ en tout point de leur ouvert.

On rappelle que si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $U$ et si $a=(x_0,y_0)\in U$, le plan tangent à la surface d'équation $z=f(x,y)$ au point $A$ de coordonnées $(x_0,y_0,f\text{\hspace{0.17em}⁣}(x_0,y_0))$ a pour équation

$$z=f\text{\hspace{0.17em}⁣}(x_0,y_0)+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}\text{\hspace{0.17em}⁣}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}\text{\hspace{0.17em}⁣}(x_0,y_0)(y-y_0)\mathrm{.}$$

1. Soit $f(x,y)=x^2+y^2$ et $a=(1,2)$. Calculer $\mathrm{\nabla }f(a)$, puis une équation du plan tangent en $A$. Vérifier que $A$ appartient au plan trouvé.

2. Mêmes questions pour $g(x,y)=x{\mathrm{e}}^y$ au point $b=(2,0)$.

3. Montrer que $f(x,y)⩾2x+4y-5$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, avec égalité uniquement en $(1,2)$. Interpréter géométriquement.

1. Soit $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$.

a. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ et calculer $\mathrm{\nabla }f(4,3)$.

b. En utilisant le développement limité d'ordre $1$ de $f$ en $(4,3)$, donner une valeur approchée de $\sqrt{{\mathrm{4,02}}^2+{\mathrm{2,97}}^2}$.

c. La calculatrice donne $\sqrt{{\mathrm{4,02}}^2+{\mathrm{2,97}}^2}=\mathrm{4,998130}$ à ${10}^{-6}$ près. Évaluer l'erreur commise et la comparer à $\parallel h\parallel$.

2. Soit $g(x,y)=x^y$, définie sur $U^{\mathrm{\prime }}=]0,+\mathrm{\infty }[\times \mathbb{R}$. Par la même méthode, à partir du point $(1,3)$, donner une valeur approchée de $(\mathrm{1,01}{)}^{\mathrm{2,98}}$, puis comparer à la valeur $\mathrm{1,030096}$ donnée par la calculatrice à ${10}^{-6}$ près.

Les quatre fonctions suivantes sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'ouvert ${\mathbb{R}}^2$. Déterminer, dans chaque cas, l'ensemble de leurs points critiques.

Aucune étude de la nature de ces points n'est demandée.

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $f(x,y)=x^2+3xy-y^2$, et soit $a=(1,2)$. Pour un vecteur $v=(v_1,v_2)$ non nul, on note ${\phi }_v$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par ${\phi }_v(t)=f(a+tv)$.

1. Calculer $f(a)$ et $\mathrm{\nabla }f(a)$.

2. Pour chacun des trois vecteurs ci-dessous, expliciter ${\phi }_v(t)$ sous forme d'un polynôme en $t$, puis calculer ${\phi }_v^{\mathrm{\prime }}(0)$ par dérivation directe.

3. Retrouver les trois résultats par la formule ${\phi }_v^{\mathrm{\prime }}(0)=⟨\mathrm{\nabla }f(a),v⟩$. Que reconnaît-on au c. ?

4. Parmi tous les vecteurs unitaires $v$ de ${\mathbb{R}}^2$, déterminer celui qui rend ${\phi }_v^{\mathrm{\prime }}(0)$ maximale, et la valeur de ce maximum.

Pour chacune des parties suivantes de ${\mathbb{R}}^2$, dire si elle est ouverte. Si elle l'est, exhiber, pour un point quelconque de la partie, un rayon $r>0$ convenable et le justifier par le calcul. Sinon, exhiber un point autour duquel aucune boule ne convient, et le démontrer.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^2$ sur lequel elle est de classe ${\mathcal{C}}^1$, justifier cette classe en décrivant la composition en jeu, puis calculer ses deux dérivées partielles en tout point de $U$.

2. Déduire du a. le gradient de $N(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ sur $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$, puis calculer $\parallel \mathrm{\nabla }N(x,y)\parallel$.

On pose $f(x,y)=x^{2}y+y^3$ et, pour $t\in \mathbb{R}$, $\gamma (t)=(t^2,2t)$. On note $g=f\circ \gamma$, c'est-à-dire $g(t)=f\text{\hspace{0.17em}⁣}(t^2,2t)$.

1. Calculer explicitement $g(t)$, puis $g^{\mathrm{\prime }}(t)$ en dérivant cette expression d'une seule variable.

2. Retrouver $g^{\mathrm{\prime }}(t)$ par la règle de la chaîne. Les deux résultats coïncident-ils ? Contrôler la valeur de $g^{\mathrm{\prime }}(1)$ par les deux méthodes.

3. Soit maintenant $h$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ dont on sait seulement que $\mathrm{\nabla }h(1,2)=(4,-1)$, et soit

$$\delta (t)=({\mathrm{e}}^{2t},2+\ln (1+3t)),t>-\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Calculer $(h\circ \delta {)}^{\mathrm{\prime }}(0)$.

4. Pourquoi la méthode de la question 1 est-elle inapplicable à la question 3 ?

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, soit $a=(a_1,a_2)$ un point de ${\mathbb{R}}^2$ et soit $v=(v_1,v_2)$ un vecteur de ${\mathbb{R}}^2$. On pose

$$\phi (t)=f(a+tv),t\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

1. Justifier que $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et exprimer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)$ à l'aide de $\mathrm{\nabla }f(a+tv)$ et de $v$. Que vaut ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(0)$ ?

2. On prend $f(x,y)=x^{2}y+y^2$, $a=(1,2)$ et $v=(2,-1)$. Calculer $\mathrm{\nabla }f(a)$, puis ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(0)$ de deux façons : par la question 1, puis en développant $\phi (t)$.

3. Reprendre le calcul de ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(0)$ pour $w=(1,0)$, puis pour $v+w$. Que remarque-t-on ?

4. On revient au cas général. On suppose que, pour tout vecteur $v$ de ${\mathbb{R}}^2$, la dérivée en $0$ de $t\mapsto f(a+tv)$ est nulle. Que vaut $\mathrm{\nabla }f(a)$ ? Le démontrer.

Soit $f(x,y)=x^2+2y^2$ et soit $\mathrm{\Gamma }$ la ligne de niveau $f=3$, c'est-à-dire l'ensemble des points $(x,y)$ tels que $x^2+2y^2=3$. On pose, pour $t\in \mathbb{R}$,

$$\gamma (t)=(\sqrt{3}\cos t,\sqrt{\frac{3}{2}}\sin t)\mathrm{.}$$

1. Vérifier que $\gamma (t)\in \mathrm{\Gamma }$ pour tout $t$, et que tout point de $\mathrm{\Gamma }$ est de la forme $\gamma (t)$.

2. Calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ et ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)$, puis la dérivée de $t\mapsto f(\gamma (t))$ par la règle de la chaîne. Que constate-t-on, et qu'en déduit-on sur $\mathrm{\nabla }f(\gamma (t))$ et ${\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)$ ?

3. Donner les coordonnées du point $P=\gamma \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$ et vérifier la propriété précédente par le calcul direct en ce point.

4. En déduire une équation cartésienne de la tangente à $\mathrm{\Gamma }$ en $P$.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$. On pose $u=x+y$ et $v=x-y$, et l'on définit

$$F(u,v)=f\text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2}),(u,v)\in {\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

1. Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $u$ et $v$, et vérifier que $F(x+y,x-y)=f(x,y)$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$.

2. Justifier que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis exprimer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }u}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }v}}$ à l'aide des dérivées partielles de $f$.

3. En déduire toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ vérifiant

$$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}=0\text{sur }{\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

On rédigera séparément l'analyse et la synthèse.

4. Décrire géométriquement les solutions trouvées.

On cherche les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ vérifiant

$$(T):2\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}+3\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}=0\text{sur }{\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

On pose $u=3x-2y$, $v=x$, et l'on définit $F(u,v)=f\text{\hspace{0.17em}⁣}(v,{\displaystyle \frac{3v-u}{2}})$.

1. Vérifier que $F(3x-2y,x)=f(x,y)$, puis exprimer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }v}}$ à l'aide des dérivées partielles de $f$.

2. Résoudre $(T)$ : analyse, puis synthèse.

3. Décrire géométriquement les solutions.

4. Soit $\phi$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$. Déterminer l'unique solution de $(T)$ telle que $f(x,0)=\phi (x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

5. Reprendre la résolution pour l'équation $a{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}+b{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}=0$, où $(a,b)\mathrm{\ne }(0,0)$ est fixé.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$. On pose

$$F(r,\theta )=f\text{\hspace{0.17em}⁣}(r\cos \theta ,r\sin \theta ),(r,\theta )\in {\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

1. Justifier que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et exprimer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }r}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }\theta }}$ en fonction de ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}$, prises au point $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$.

2. Appliquer ces formules à $f(x,y)=x^2-y^2$, puis contrôler le résultat en calculant $F(r,\theta )$ explicitement avant de la dériver.

3. On suppose $r>0$. Résoudre le système obtenu à la question 1 pour exprimer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}$ en fonction de ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }r}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }\theta }}$. Pourquoi la condition $r>0$ est-elle nécessaire ?

4. Vérifier ces formules inverses sur l'exemple de la question 2.

1. Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ telle que $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(0,0)$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$. Soient $A$ et $B$ deux points de ${\mathbb{R}}^2$. En étudiant la fonction $\phi (t)=f(A+t(B-A))$, montrer que $f(A)=f(B)$, puis conclure.

2. On suppose maintenant seulement que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)=0$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$. Déterminer toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ vérifiant cette condition.

3. Déterminer toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ telles que

$$\mathrm{\nabla }f(x,y)=(2x,2y)\text{pour tout }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2,$$

en intégrant une dérivée partielle à l'autre variable fixée. Retrouver le résultat à l'aide de la question 1.

On considère la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$.

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et déterminer ses points critiques.

2. Montrer que, pour tout $(h,k)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$f(1+h,1+k)-f(1,1)=3(h^2-hk+k^2)+h^3+k^3\mathrm{.}$$

3. Établir l'inégalité $h^2-hk+k^2⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}(h^2+k^2)$, puis en déduire que $f$ admet un minimum local strict en $(1,1)$, en précisant un rayon explicite.

4. Étudier $f$ le long des droites d'équations $y=x$ et $y=-x$. L'origine est-elle un extremum local de $f$ ?

5. La fonction $f$ admet-elle un extremum global sur ${\mathbb{R}}^2$ ?

On considère les trois fonctions définies sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2-y^2,g(x,y)=xy,h(x,y)=x^2+y^4\mathrm{.}$$

1. Montrer que $f$, $g$ et $h$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et que $(0,0)$ est leur unique point critique.

2. Étudier les restrictions de $f$ aux deux droites d'équations $y=0$ et $x=0$. En déduire que $f$ n'admet pas d'extremum local en $(0,0)$.

3. Même travail pour $g$, en utilisant les droites d'équations $y=x$ et $y=-x$.

4. Que peut-on en conclure sur la réciproque de l'implication « $f$ admet un extremum local en $a$ $⟹$ $\mathrm{\nabla }f(a)=(0,0)$ » ?

5. Montrer en revanche que $h$ admet en $(0,0)$ un minimum global, par une minoration directe.

On considère les fonctions définies sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x-3y\text{et}g(x,y)=x^2+3xy+y^2\mathrm{.}$$

1. Déterminer les points critiques de $f$.

2. En regroupant les termes en $x$ sous forme canonique, écrire $f(x,y)$ comme la somme de deux carrés et d'une constante. En déduire que $f$ admet un minimum global, et préciser sa valeur ainsi que le point où il est atteint.

3. Reprendre la même méthode pour $g$ : déterminer son unique point critique, puis mettre $g(x,y)$ sous forme canonique. Que constate-t-on ?

4. Conclure sur la nature du point critique de $g$, en exhibant deux droites bien choisies.

On fabrique une boîte parallélépipédique rectangle sans couvercle, dont la base est un rectangle de côtés $x>0$ et $y>0$ et dont la hauteur est $z>0$. La surface de carton utilisée (le fond et les quatre faces latérales) vaut exactement $12$. On cherche à rendre le volume $xyz$ maximal.

1. Écrire la contrainte liant $x$, $y$ et $z$, en déduire $z$ en fonction de $(x,y)$, puis montrer que le volume s'écrit

$$V(x,y)=\frac{xy(12-xy)}{2(x+y)}\text{sur}U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x>0,y>0,xy<12\}\mathrm{.}$$

2. Justifier que $V$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$, établir que

$$\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }x}(x,y)=\frac{y^2(12-x^2-2xy)}{2(x+y{)}^2},$$

puis déterminer l'unique point critique de $V$.

3. Montrer que $x+y⩾2\sqrt{xy}$ pour tous $x,y>0$, et en déduire que $V(x,y)⩽\phi \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\sqrt{xy}\right)$, où $\phi (t)={\displaystyle \frac{12t-t^3}{4}}$.

4. Étudier $\phi$ sur $]0,2\sqrt{3}[$ et conclure : dimensions et volume de la boîte optimale.

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x+2y+2z=6$. On cherche le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de l'origine $O$, ainsi que la distance correspondante.

1. Montrer que la recherche revient à minimiser sur ${\mathbb{R}}^2$ la fonction

$$f(x,y)=x^2+y^2+{(3-\frac{x}{2}-y)}^2,$$

et développer cette expression.

2. Déterminer l'unique point critique de $f$.

3. Établir l'identité

$$f(x,y)=\frac{(5x+2y-6{)}^2}{20}+\frac{(3y-4{)}^2}{5}+4,$$

et en déduire que $f$ admet un minimum global, atteint en un unique point.

4. En déduire les coordonnées du point $H$ de $\mathcal{P}$ le plus proche de $O$, ainsi que la distance $d(O,\mathcal{P})$.

5. Contrôler le résultat par la formule de la distance d'un point à un plan, puis vérifier que $\overrightarrow{OH}$ est normal à $\mathcal{P}$.

Soit $n\in \mathbb{Z}$ et soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'ouvert $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$. On dit que $f$ est homogène de degré $n$ lorsque

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in U,\mathrm{\forall }t>0,f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)\mathrm{.}$$

On suppose désormais $f$ homogène de degré $n$. On fixe $(x,y)\in U$ et on pose $g(t)=f(tx,ty)$ pour $t>0$.

1. a. Justifier que $g$ est définie et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, et exprimer $g^{\mathrm{\prime }}(t)$ à l'aide des dérivées partielles de $f$, par la règle de la chaîne.

b. Exprimer $g^{\mathrm{\prime }}(t)$ d'une seconde façon, en dérivant la relation d'homogénéité. En prenant $t=1$, en déduire la relation d'Euler

$$x\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y)+y\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x,y)=nf(x,y)\mathrm{.}$$

2. Vérifier la relation d'Euler sur $f_1(x,y)=x^3+2x^{2}y-y^3$, après avoir déterminé son degré d'homogénéité.

3. Même travail pour $f_2(x,y)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}$.

4. Montrer que ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}$ est homogène de degré $n-1$.

Soit $n\in \mathbb{Z}$ et soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'ouvert $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ vérifiant la relation d'Euler en tout point de $U$ :

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in U,x\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y)+y\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x,y)=nf(x,y)\mathrm{.}(E)$$

On veut montrer que $f$ est homogène de degré $n$, c'est-à-dire que $f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)$ pour tout $(x,y)\in U$ et tout $t>0$.

On fixe $(x,y)\in U$ et on pose, pour $t>0$,

$$\phi (t)=\frac{f(tx,ty)}{t^n}\mathrm{.}$$

1. Justifier que $\phi$ est définie et de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. Calculer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)$ par la règle de la chaîne, puis utiliser $(E)$ au point $(tx,ty)$ pour montrer que ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)=0$.

3. Conclure que $f$ est homogène de degré $n$.

4. Application : que dire d'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ homogène de degré $0$ ? Donner un exemple non constant.

On cherche toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ vérifiant

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2,\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y)-2\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x,y)=x\mathrm{.}(\mathcal{E})$$

On pose $\mathrm{\Phi }(u,v)=(v,u-2v)$ pour $(u,v)\in {\mathbb{R}}^2$.

1. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est une bijection de ${\mathbb{R}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et expliciter sa bijection réciproque. Vérifier que $\mathrm{\Phi }$ et ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$.

2. Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et $g=f\circ \mathrm{\Phi }$, c'est-à-dire $g(u,v)=f(v,u-2v)$. Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }v}}(u,v)$ en fonction des dérivées partielles de $f$.

3. Analyse. En déduire que si $f$ est solution de $(\mathcal{E})$, alors il existe une fonction $C$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ telle que

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2,f(x,y)=\frac{x^2}{2}+C(2x+y)\mathrm{.}$$

4. Synthèse. Vérifier réciproquement que toute fonction de cette forme est solution, et conclure.

Soit $U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x>0\}$, qui est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$. On cherche toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ vérifiant

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in U,y\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y)-x\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x,y)=0.(\mathcal{E})$$

On pose $V=]0,+\mathrm{\infty }[\times ]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$ et $\mathrm{\Phi }(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$.

1. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ réalise une bijection de $V$ sur $U$, de réciproque $(x,y)\mapsto (\sqrt{x^2+y^2},\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{y}{x}})$.

2. Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ et $F=f\circ \mathrm{\Phi }$. Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }\theta }}(r,\theta )$, et montrer que $f$ est solution de $(\mathcal{E})$ si et seulement si ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }\theta }}$ est nulle sur $V$.

3. Analyse. En déduire que si $f$ est solution de $(\mathcal{E})$, il existe $g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ telle que $f(x,y)=g\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ sur $U$.

4. Synthèse. Soit $g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et $f(x,y)=g\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$. Calculer directement $\mathrm{\nabla }f(x,y)$, vérifier $(\mathcal{E})$, et conclure.

On considère la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^4+y^4-4xy\mathrm{.}$$

1. Déterminer les points critiques de $f$ et calculer la valeur de $f$ en chacun d'eux.

2. Établir que $x^4+y^4⩾2x^2{y}^2$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, et préciser le cas d'égalité.

3. En déduire que $f(x,y)⩾-2$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, en faisant apparaître $2(xy-1{)}^2$.

4. Déterminer tous les points où l'égalité $f(x,y)=-2$ a lieu, et conclure sur le minimum global de $f$.

5. Montrer que $(0,0)$ est un point selle de $f$. La fonction $f$ admet-elle un maximum global ?

On pose $f(x,y)=x^2+y^2-xy$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, et on note $K=[-1,1]\times [-1,1]$.

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et déterminer ses points critiques.

2. Étudier $f$ sur chacun des quatre côtés du carré, en paramétrant chaque côté par une seule variable. En déduire la plus grande et la plus petite valeur de $f$ sur le bord de $K$.

3. On admet que $f$, qui est continue sur $K$, y atteint son maximum et son minimum (le carré $K$ est borné et contient son bord). En déduire ces deux valeurs, et préciser en quels points elles sont atteintes.

4. Contrôler les deux résultats par un calcul direct : une forme canonique pour le minimum, une majoration pour le maximum.

Une expérience fournit les trois points $(1,2)$, $(2,3)$ et $(3,5)$. On cherche la droite d'équation $y=ax+b$ qui « passe au plus près » de ces trois points, au sens où elle rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux :

$$E(a,b)=(a+b-2{)}^2+(2a+b-3{)}^2+(3a+b-5{)}^2\mathrm{.}$$

1. Justifier que $E$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et calculer ses deux dérivées partielles.

2. Écrire le système vérifié par un point critique de $E$, puis le résoudre.

3. On note $(a_0,b_0)$ la solution trouvée. Calculer $E(a_0+h,b_0+k)-E(a_0,b_0)$ pour tous réels $h$ et $k$, et en déduire que $E$ admet en $(a_0,b_0)$ un minimum global, atteint en ce seul point.

4. Donner l'équation de la droite des moindres carrés et la valeur du minimum. Contrôler ce minimum en calculant $E$ en deux autres points.

On cherche la plus grande valeur possible du produit $xyz$, lorsque $x$, $y$ et $z$ sont des réels strictement positifs de somme $1$.

1. En éliminant $z$ grâce à la contrainte, montrer que le problème équivaut à chercher le maximum de

$$g(x,y)=xy(1-x-y)\text{sur}T=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x>0,y>0,x+y<1\}\mathrm{.}$$

2. Justifier que $T$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$, puis déterminer les points critiques de $g$ sur $T$.

3. Soit $(x,y)\in T$ et $s=x+y$. Montrer que $xy⩽{\displaystyle \frac{s^2}{4}}$, puis étudier la fonction $h:s\mapsto {\displaystyle \frac{s^2(1-s)}{4}}$ sur $]0,1[$. En déduire le maximum global de $g$ sur $T$ et le cas d'égalité.

4. Conclure sur le problème initial, et contrôler la réponse sur deux exemples numériques.

Dans tout l'exercice, $U$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ vérifiant

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in U,\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y)=0.$$

1. On suppose $U={\mathbb{R}}^2$. Montrer qu'il existe une fonction $\phi$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ telle que $f(x,y)=\phi (y)$ pour tout $(x,y)$.

2. On suppose maintenant que $U$ est la bande $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:0<y<1\}$. Justifier que $U$ est un ouvert, puis montrer que la conclusion de la question 1 subsiste, avec $\phi$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,1[$.

3. On suppose enfin $U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x\mathrm{\ne }0\}$.

a. Exhiber une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$, de dérivée partielle par rapport à $x$ nulle, qui n'est pas de la forme $(x,y)\mapsto \phi (y)$.

b. Repérer précisément l'étape de la question 1 qui tombe en défaut, et décrire la forme générale des solutions sur cet ouvert.

On note $U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x>0\}$ et on cherche toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ telles que, pour tout $(x,y)\in U$,

$$x\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y)+y\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{.}(E)$$

Pour $(r,\theta )\in D=]0,+\mathrm{\infty }[\times ]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, on pose $g(r,\theta )=f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$.

1. Montrer que $\mathrm{\Phi }:(r,\theta )\mapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta )$ est une bijection de $D$ sur $U$, de bijection réciproque $(x,y)\mapsto (\sqrt{x^2+y^2},\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{y}{x}})$.

2. Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}}(r,\theta )$, puis montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }r}}=1$ sur $D$.

3. Résoudre cette dernière équation, revenir aux variables cartésiennes, puis faire la synthèse : montrer que les solutions de $(E)$ sont exactement les fonctions $(x,y)\mapsto \sqrt{x^2+y^2}+\psi \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)$, où $\psi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$.

4. La même équation, posée sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$, admet-elle des solutions ? En donner deux distinctes.

On pose, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$f(x,y)={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^y-2{\mathrm{e}}^{\frac{x+y}{2}}\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et déterminer l'ensemble de ses points critiques. Que vaut $f$ en ces points ?

2. Soit $s$ un réel fixé. Étudier les variations de ${\phi }_s:x\mapsto f(x,s-x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire son minimum.

3. En déduire que $f$ admet un minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$, que l'on précisera, puis énoncer l'inégalité obtenue et son cas d'égalité.

4. En déduire que pour tous réels $a>0$ et $b>0$, ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}⩾\sqrt{ab}$.

5. Contrôler le résultat de la question 3 par une identité remarquable, puis vérifier numériquement en un point.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On considère les trois points $A(0,0)$, $B(4,0)$ et $C(2,3)$, et, pour un point $M(x,y)$ du plan,

$$f(x,y)=M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2\mathrm{.}$$

1. Expliciter $f(x,y)$ sous forme développée, puis déterminer les points critiques de $f$.

2. Reconnaître le point obtenu et écrire $f$ sous forme canonique. En déduire que $f$ admet un minimum global, atteint en un seul point, et donner sa valeur.

3. Contrôler la valeur du minimum en calculant directement $G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$, où $G$ est le point trouvé.

4. Généralisation : soient $A_1,\dots ,A_n$ des points de coordonnées $(x_i,y_i)$ et $G$ leur isobarycentre. Démontrer que pour tout point $M(x,y)$,

$$\sum _{i=1}^{n}M{A}_i^2=nM{G}^2+\sum _{i=1}^{n}G{A}_i^2,$$

et en déduire la solution du problème de minimisation pour $n$ points.

On pose, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$f(x,y)=3x{\mathrm{e}}^y-x^3-{\mathrm{e}}^{3y}\mathrm{.}$$

1. Montrer que $f$ admet un unique point critique, que l'on déterminera, et calculer la valeur de $f$ en ce point.

2. Vérifier l'identité, valable pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ :

$$1-f(x,y)=\frac{1}{2}(x+{\mathrm{e}}^y+1)[{(x-{\mathrm{e}}^y)}^2+{({\mathrm{e}}^y-1)}^2+{(x-1)}^2]\mathrm{.}$$

En déduire que $f(x,y)⩽1$ pour tout point tel que $x⩾0$, puis que le point critique de la question 1 est un maximum local strict.

3. Étudier $x\mapsto f(x,0)$ lorsque $x$ tend vers $-\mathrm{\infty }$. Que peut-on en conclure sur $f$ ?

4. Énoncer la morale de cet exercice, et la comparer à la situation des fonctions d'une variable.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et $M$ un réel positif tels que $\parallel \mathrm{\nabla }f(m)\parallel ⩽M$ pour tout $m\in {\mathbb{R}}^2$. On fixe deux points $A$ et $B$ de ${\mathbb{R}}^2$ et on pose, pour $t\in \mathbb{R}$,

$$\phi (t)=f(A+t(B-A))\mathrm{.}$$

1. Justifier que $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et exprimer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)$ à l'aide de $\mathrm{\nabla }f$.

2. Majorer $\mid {\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)\mid$, puis en déduire que $\mid f(B)-f(A)\mid ⩽M\parallel B-A\parallel$.

3. a. Retrouver le fait qu'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ dont le gradient est nul en tout point est constante.

b. Soit $g(x,y)=\sqrt{1+x^2+y^2}$. Montrer que $\parallel \mathrm{\nabla }g\parallel ⩽1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, en déduire une majoration de $\mid g(3,4)-g(0,0)\mid$, et la comparer à la valeur exacte.

4. Que devient l'énoncé si ${\mathbb{R}}^2$ est remplacé par une boule ouverte ? Et par l'ouvert $\{(x,y):x\mathrm{\ne }0\}$ ?

Exercice d'ouverture, hors programme en MPSI (l'ordre 2 relève du programme de MP et de PC). À traiter après le reste de la fiche, pour la culture ou en vue de la deuxième année.

On considère les trois fonctions définies sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^3{y}^2-2x{y}^4+5x^2,g(x,y)=x^2{\mathrm{e}}^{xy},h(x,y)=\ln (1+x^2+y^2)\mathrm{.}$$

Pour une fonction $u$ de deux variables, on note

$$\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}\right),\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\left(\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}\right),\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}\right),\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\left(\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}\right)\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$, $g$ et $h$ sont de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

2. Calculer les quatre dérivées partielles d'ordre $2$ de $f$, et vérifier l'égalité des deux dérivées croisées.

3. Même travail pour $g$.

4. Même travail pour $h$.

5. On admet le résultat suivant. Soit $\phi$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$\phi (x,y)=\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\text{ si }(x,y)\mathrm{\ne }(0,0),\phi (0,0)=0.$$

Cette fonction est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, ses deux dérivées croisées d'ordre $2$ existent en $(0,0)$, et

$$\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\left(\frac{\mathrm{\partial }\phi }{\mathrm{\partial }x}\right)(0,0)=-1,\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(\frac{\mathrm{\partial }\phi }{\mathrm{\partial }y}\right)(0,0)=1.$$

a. Qu'en déduit-on, sans aucun calcul, sur la classe de $\phi$ ?

b. Commenter : à quoi sert exactement l'hypothèse de régularité dans le théorème de Schwarz, et que se passe-t-il si on l'oublie ?

Exercice d'ouverture, hors programme en MPSI (l'ordre 2 relève du programme de MP et de PC). À traiter après le reste de la fiche, pour la culture ou en vue de la deuxième année.

Pour une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^2$, on appelle laplacien de $f$ la fonction

$$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2},$$

et l'on dit que $f$ est harmonique sur $U$ lorsque $\mathrm{\Delta }f$ est identiquement nulle sur $U$.

1. Montrer que les fonctions $f_1$ et $f_2$ définies sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f_1(x,y)=x^3-3x{y}^2\text{et}{f}_2(x,y)={\mathrm{e}}^x\cos y$$

sont harmoniques sur ${\mathbb{R}}^2$.

On note désormais $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$, qui est un ouvert comme complémentaire d'un point, et l'on cherche les fonctions harmoniques radiales sur $U$, c'est-à-dire celles de la forme

$$f(x,y)=\phi \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\sqrt{x^2+y^2}\right),\phi \text{ de classe }{\mathcal{C}}^2\text{ sur }]0,+\mathrm{\infty }[\mathrm{.}$$

2. Soit $\phi$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et $f$ la fonction ci-dessus. Montrer que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $U$, puis établir, en notant $r=\sqrt{x^2+y^2}$,

$$\mathrm{\Delta }f(x,y)={\phi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(r)+\frac{1}{r}{\phi }^{\mathrm{\prime }}(r)\mathrm{.}$$

3. Analyse. En déduire que si $f$ est harmonique sur $U$, alors il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\phi (r)=a\ln r+b$ pour tout $r>0$.

4. Synthèse. Conclure : décrire exactement l'ensemble des fonctions harmoniques radiales sur $U$.

5. Soit enfin $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier, harmonique, et radiale au sens où sa restriction à $U$ est de la forme ci-dessus. Montrer que $f$ est constante.

Exercice d'ouverture, hors programme en MPSI (l'ordre 2 relève du programme de MP et de PC). À traiter après le reste de la fiche, pour la culture ou en vue de la deuxième année.

On cherche toutes les fonctions $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ telles que

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2,\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}(x,y)-3\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}(x,y)+2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}(x,y)=0.(\mathcal{E})$$

Cette équation appartient à la même famille que l'équation des ondes : on va voir qu'elle décrit, elle aussi, la superposition de deux ondes se propageant chacune dans une direction fixe. On pose, pour $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$u=y+x,v=y+2x,\text{et}\mathrm{\Theta }(x,y)=(y+x,y+2x)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\mathrm{\Theta }$ est une bijection de ${\mathbb{R}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et déterminer sa bijection réciproque.

2. Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$. On pose $F(u,v)=f(v-u,2u-v)$, de sorte que $f(x,y)=F(y+x,y+2x)$. Justifier que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis exprimer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}}$ à l'aide des dérivées partielles de $F$.

3. Calculer de même ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}}$, ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}}$ et ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}}$, puis montrer que $f$ est solution de $(\mathcal{E})$ si et seulement si

$$\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}F}{\mathrm{\partial }u\mathrm{\partial }v}=0\text{sur }{\mathbb{R}}^2\mathrm{.}$$

4. Analyse. Résoudre cette dernière équation : montrer qu'il existe deux fonctions $\phi$ et $\psi$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$ telles que $F(u,v)=\phi (u)+\psi (v)$ pour tout $(u,v)$, et revenir à $f$.

5. Synthèse. Conclure : décrire exactement l'ensemble des solutions de $(\mathcal{E})$.

6. Vérifier que, pour toute fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$,

$$\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}^2}-3\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}+2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{y}^2}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(w\right)-\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\left(w\right)\text{o}\grave{\text{u}}w=\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}-2\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}\mathrm{.}$$

Interpréter le résultat de la question 5 à l'aide de cette factorisation et des droites caractéristiques du chapitre.