Devoir surveillé — Fonctions de deux variables

Consignes valables pour tout le sujet. Les calculatrices sont interdites. Le plan ${\mathbb{R}}^2$ est muni de sa norme euclidienne $\parallel (h,k)\parallel =\sqrt{h^2+k^2}$, et $B(a,r)$ désigne la boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r>0$. La qualité de la rédaction est prise en compte : une affirmation non justifiée ne rapporte aucun point.

Les six questions de cet exercice sont indépendantes.

1. (0,75 pt) Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et soit $a$ un point de $U$. Démontrer que $U\setminus \{a\}$ est encore un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$.

2. (0,75 pt) On pose $f(x,y)=x^{2}y-x^2-y^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Déterminer tous les points de la surface d'équation $z=f(x,y)$ en lesquels le plan tangent est horizontal, c'est-à-dire parallèle au plan d'équation $z=0$, puis donner l'équation de ces plans tangents.

3. (0,75 pt) D'une fonction $g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, on sait seulement que

$$g(2,-1)=4\text{et}\mathrm{\nabla }g(2,-1)=(3,-2)\mathrm{.}$$

a. Donner une valeur approchée de $g(\mathrm{2,05};-\mathrm{0,98})$.

b. Ces données permettent-elles de donner une valeur approchée de $g(5,3)$ ? Justifier soigneusement la réponse.

4. (0,5 pt) Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et soit $a\in {\mathbb{R}}^2$. On sait que la dérivée de $f$ en $a$ suivant le vecteur $u=(1,1)$ vaut $5$, et que sa dérivée en $a$ suivant $v=(1,-1)$ vaut $-1$. Déterminer $\mathrm{\nabla }f(a)$, puis la dérivée de $f$ en $a$ suivant le vecteur $w=(3,2)$.

5. (0,5 pt) Soit $\phi$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$. On pose $f(x,y)=\phi (xy)$ pour $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer

$$x\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y)-y\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x,y)\mathrm{.}$$

6. (0,75 pt) On pose $f(x,y)=x^4-2x^{2}y+2y^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Déterminer les points critiques de $f$, puis, en écrivant $f$ comme une somme de deux carrés, déterminer son minimum global et l'ensemble des points où il est atteint.

La période des petites oscillations d'un pendule simple de longueur $L$ dans un champ de pesanteur d'intensité $g$ est

$$T(L,g)=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\mathrm{.}$$

On travaille sur $U=]0,+\mathrm{\infty }[\times ]0,+\mathrm{\infty }[$. Un expérimentateur mesure $L$ et $g$, chacune avec une petite erreur, et veut savoir avec quelle précision il connaît $T$.

1. (0,75 pt) Justifier que $U$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et que $T$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$. Calculer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }T}{\mathrm{\partial }L}}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }T}{\mathrm{\partial }g}}$, puis vérifier que

$$\frac{\mathrm{\partial }T}{\mathrm{\partial }L}(L,g)=\frac{T(L,g)}{2L},\frac{\mathrm{\partial }T}{\mathrm{\partial }g}(L,g)=-\frac{T(L,g)}{2g}\mathrm{.}$$

2. (0,75 pt) Soit $(L_0,g_0)\in U$ et $T_0=T\text{\hspace{0.17em}⁣}(L_0,g_0)$. Écrire le développement limité à l'ordre $1$ de $T$ en $(L_0,g_0)$, et en déduire l'approximation

$$\frac{T\text{\hspace{0.17em}⁣}(L_0+h,g_0+k)-T_0}{T_0}\approx \frac{1}{2}\frac{h}{L_0}-\frac{1}{2}\frac{k}{g_0}\mathrm{.}$$

On dit que les erreurs relatives se combinent avec le coefficient $\frac{1}{2}$.

3. (0,75 pt) On prend $L_0=1$ mètre et $g_0={\pi }^2$ mètres par seconde au carré, valeur voisine de $\mathrm{9,81}$ choisie pour simplifier les calculs. Calculer $T_0$. La longueur est connue à $\mathrm{0,4}\mathrm{\%}$ près et l'intensité de pesanteur à $\mathrm{0,2}\mathrm{\%}$ près, c'est-à-dire $\mid h\mid ⩽\mathrm{0,004}{L}_0$ et $\mid k\mid ⩽\mathrm{0,002}{g}_0$. Majorer, à l'aide de la question 2., l'erreur relative commise sur $T$, puis l'erreur absolue en millisecondes.

4. (0,5 pt) L'expérimentateur veut désormais connaître $T$ à $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$ près, et il dispose d'une valeur de $g$ connue à $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$ près. Avec quelle précision relative doit-il mesurer $L$ ?

5. (0,25 pt) Des deux grandeurs $L$ et $g$, laquelle faut-il mesurer le plus soigneusement ? Justifier en une phrase.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, dont on note $(u,v)$ les deux variables. On définit une fonction $g$ sur ${\mathbb{R}}^2$ en posant

$$g(x,y)=f\text{\hspace{0.17em}⁣}(x^2-y^2,2xy)\mathrm{.}$$

Dans tout l'exercice, on note $m=(x^2-y^2,2xy)$ le point où sont évaluées les dérivées partielles de $f$.

1. (0,5 pt) Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

2. (0,75 pt) Exprimer ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }x}}(x,y)$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }y}}(x,y)$ à l'aide de ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }u}}(m)$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }v}}(m)$.

3. (0,75 pt) Démontrer que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$${\parallel \mathrm{\nabla }g(x,y)\parallel }^2=4(x^2+y^2){\parallel \mathrm{\nabla }f(m)\parallel }^2\mathrm{.}$$

4. (0,75 pt) Soit $(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$. Démontrer que $(x,y)$ est un point critique de $g$ si et seulement si $m$ est un point critique de $f$. Que se passe-t-il en $(0,0)$ ?

5. (0,75 pt) a. Vérifier la formule de la question 3. sur l'exemple $f(u,v)=u$, en calculant les deux membres.

b. On suppose que $\mathrm{\nabla }f$ ne s'annule en aucun point de ${\mathbb{R}}^2$. Démontrer que $g$ admet exactement un point critique.

On fabrique une gouttière en pliant dans le sens de la longueur une bande de tôle rectangulaire de largeur $3$ décimètres : on relève les deux bandes latérales, de largeur $x$ chacune, en leur donnant un angle $\theta$ avec l'horizontale. La section de la gouttière est alors un trapèze dont la petite base, horizontale, mesure $3-2x$, dont les deux côtés obliques mesurent $x$, et dont la hauteur est $x\sin \theta$. On cherche à rendre l'aire $A$ de cette section la plus grande possible, afin que la gouttière évacue le plus d'eau.

1. (0,75 pt) Démontrer que l'aire de la section vaut

$$A(x,\theta )=x(3-2x)\sin \theta +x^2\sin \theta \cos \theta ,$$

et justifier que le problème revient à chercher le maximum de $A$ sur $U=]0,{\displaystyle \frac{3}{2}}[\times ]0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$.

2. (0,25 pt) Justifier que $U$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et que $A$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$.

3. (1,25 pt) Déterminer les points critiques de $A$ sur $U$, et calculer la valeur de $A$ en chacun d'eux.

4. (0,75 pt) On pose $K=[0,{\displaystyle \frac{3}{2}}]\times [0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, et l'on note bord de $K$ l'ensemble des points de $K$ dont l'une au moins des deux coordonnées est une borne de son intervalle. Démontrer que $A(x,\theta )⩽{\displaystyle \frac{9}{8}}$ pour tout point $(x,\theta )$ du bord de $K$, puis que la valeur trouvée à la question 3. est strictement supérieure à ${\displaystyle \frac{9}{8}}$.

5. (0,5 pt) La fonction $A$ est continue sur le domaine borné $K$ : on admet qu'elle y atteint ses bornes. Conclure : donner les dimensions de la gouttière optimale et l'aire de sa section, puis reconnaître la forme obtenue.

Dans tout le problème, $U$ désigne un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$. On appelle champ de vecteurs sur $U$ toute application

$$V:U⟶{\mathbb{R}}^2,(x,y)⟼(P(x,y),Q(x,y)),$$

dont les deux fonctions coordonnées $P$ et $Q$ sont continues sur $U$. On dit que $V$ dérive d'un potentiel sur $U$ lorsqu'il existe une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ telle que

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in U,\mathrm{\nabla }f(x,y)=V(x,y);$$

une telle fonction $f$ est appelée un potentiel de $V$ sur $U$.

Enfin, si $\gamma :[t_0,t_1]\to U$ est un arc de classe ${\mathcal{C}}^1$ à valeurs dans $U$, on appelle circulation de $V$ le long de $\gamma$ le réel

$$\mathcal{C}(V,\gamma )={\int }_{t_0}^{t_1}⟨V\text{\hspace{0.17em}⁣}(\gamma (t)),{\gamma }^{\mathrm{\prime }}(t)⟩\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

L'arc $\gamma$ est dit fermé lorsque $\gamma \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(t_1\right)=\gamma \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(t_0\right)$.

Le problème cherche à répondre à la question : étant donné un champ $V$, comment savoir s'il dérive d'un potentiel ?

Partie A — Le test de la circulation

1. (0,5 pt) Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ et $\gamma$ un arc de classe ${\mathcal{C}}^1$ de $[t_0,t_1]$ dans $U$. Justifier que $f\circ \gamma$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[t_0,t_1]$, puis démontrer que

$$\mathcal{C}(\mathrm{\nabla }f,\gamma )=f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\gamma \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(t_1\right)\right)-f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\gamma \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(t_0\right)\right)\mathrm{.}$$

2. (0,25 pt) En déduire que si $V$ dérive d'un potentiel sur $U$, alors sa circulation le long de tout arc fermé de classe ${\mathcal{C}}^1$ tracé dans $U$ est nulle.

3. (0,75 pt) On pose $V_0(x,y)=(-y,x)$ sur $U={\mathbb{R}}^2$, et $\gamma (t)=(\cos t,\sin t)$ pour $t\in [0,2\pi ]$. Calculer $\mathcal{C}(V_0,\gamma )$, et en déduire que $V_0$ ne dérive d'aucun potentiel sur ${\mathbb{R}}^2$.

Partie B — Le cas des champs linéaires

Dans cette partie, $a$, $b$, $c$, $d$ sont quatre réels fixés et l'on considère le champ défini sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$V(x,y)=(ax+by,cx+dy)\mathrm{.}$$

4. (0,75 pt) Calculer la circulation de $V$ le long du cercle unité $\gamma (t)=(\cos t,\sin t)$, $t\in [0,2\pi ]$. On pourra linéariser ${\cos }^{2}t$ et ${\sin }^{2}t$.

5. (0,25 pt) En déduire une condition nécessaire portant sur $a$, $b$, $c$, $d$ pour que $V$ dérive d'un potentiel sur ${\mathbb{R}}^2$.

6. (0,75 pt) On suppose réciproquement cette condition vérifiée. Déterminer tous les potentiels de $V$ sur ${\mathbb{R}}^2$. On rédigera l'analyse puis la synthèse.

7. (0,5 pt) Énoncer le critère complet obtenu, puis l'appliquer aux deux champs

$$V_1(x,y)=(3x+2y,2x-y)\text{et}{V}_2(x,y)=(x+2y,3x-y),$$

en explicitant un potentiel lorsqu'il en existe un.

Partie C — Le rôle de l'ouvert

On note désormais $U^{\star }={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ et $P=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x>0\}$, et l'on considère le champ

$$W(x,y)=(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})\mathrm{.}$$

8. (0,5 pt) Justifier que $W$ est bien défini sur $U^{\star }$ et que ses deux fonctions coordonnées y sont de classe ${\mathcal{C}}^1$.

9. (0,75 pt) Calculer la circulation de $W$ le long du cercle unité, et en déduire que $W$ ne dérive d'aucun potentiel sur $U^{\star }$.

10. (0,75 pt) On pose $h(x,y)=\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{y}{x}}$ sur $P$. Justifier que $P$ est un ouvert, que $h$ y est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et démontrer que $\mathrm{\nabla }h=W$ sur $P$.

11. (0,25 pt) Que peut-on en conclure sur la question posée en tête du problème ? Expliquer en une ou deux phrases pourquoi les questions 9. et 10. ne se contredisent pas.