Exercices — Structures algébriques usuelles

1. Énoncer la caractérisation des sous-groupes, d'abord en notation multiplicative, puis en notation additive.

2. Les parties suivantes sont-elles des sous-groupes du groupe indiqué ? Justifier chaque réponse en appliquant la caractérisation point par point.

   a. ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ dans $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$

   b. $\mathbb{N}$ dans $(\mathbb{Z},+)$

   c. $S=\{M\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R});\det (M)=1\}$ dans $({\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R}),\times )$

   d. $\mathbb{U}=\{z\in {\mathbb{C}}^{\ast };\mid z\mid =1\}$ dans $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$

   e. $2\mathbb{Z}$, l'ensemble des entiers pairs, dans $(\mathbb{Z},+)$

   f. $I=\{2k+1;k\in \mathbb{Z}\}$, l'ensemble des entiers impairs, dans $(\mathbb{Z},+)$

   g. $P$, l'ensemble des fonctions paires, dans $(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}),+)$

3. Pour les parties qui ne sont pas des sous-groupes, préciser laquelle des conditions de la caractérisation est mise en défaut.

Soit $(G,\times )$ un groupe et soit $X$ une partie de $G$. On rappelle que le sous-groupe engendré par $X$, noté $⟨X⟩$, est l'intersection de tous les sous-groupes de $G$ contenant $X$, et que, lorsque $X=\{x\}$ est réduit à un seul élément, on dispose de la description

qui s'écrit $⟨x⟩=\{kx;k\in \mathbb{Z}\}$ en notation additive.

1. Déterminer $⟨3⟩$ dans $(\mathbb{Z},+)$.

2. Déterminer $⟨i⟩$ dans $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$, puis $⟨-1⟩$ dans $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$.

3. Déterminer $⟨\bar{3}⟩$ dans $(\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z},+)$ et préciser son cardinal.

4. Déterminer $⟨\{4,6\}⟩$ dans $(\mathbb{Z},+)$.

5. Déterminer $⟨\sigma ⟩$ dans ${\mathfrak{S}}_3$, où $\sigma =(12)$.

6. Soit $X$ une partie d'un groupe $G$. Montrer que $⟨X⟩$ est le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $X$ au sens de l'inclusion, c'est-à-dire : $⟨X⟩$ est un sous-groupe de $G$, il contient $X$, et il est inclus dans tout sous-groupe de $G$ contenant $X$.

Pour $n\in \mathbb{Z}$, on note $n\mathbb{Z}=\{nk;k\in \mathbb{Z}\}$ l'ensemble des multiples de $n$. On rappelle que les sous-groupes de $(\mathbb{Z},+)$ sont exactement les ensembles $n\mathbb{Z}$ avec $n\in \mathbb{N}$, et l'on pose, pour $a,b\in \mathbb{Z}$,

1. Écrire $12\mathbb{Z}\cap 18\mathbb{Z}$ et $12\mathbb{Z}+18\mathbb{Z}$ sous la forme $n\mathbb{Z}$ avec $n\in \mathbb{N}$.

2. Même travail pour $14\mathbb{Z}\cap 21\mathbb{Z}$ et $14\mathbb{Z}+21\mathbb{Z}$.

3. Soient $a,b\in \mathbb{Z}$. Montrer que $a\mathbb{Z}\subset b\mathbb{Z}$ si et seulement si $b\mid a$.

4. En déduire à quelle condition sur $a$ et $b$ on a $a\mathbb{Z}=b\mathbb{Z}$.

5. L'ensemble $2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$ est-il un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ ?

Pour chacune des applications suivantes, on demande de vérifier qu'il s'agit d'un morphisme de groupes en précisant les groupes de départ et d'arrivée, de déterminer son image et son noyau, puis de conclure sur son injectivité et sa surjectivité.

On rappelle qu'un morphisme de groupes $f:G\to G^{\mathrm{\prime }}$ est injectif si et seulement si $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)=\{e\}$, où $e$ désigne le neutre de $G$, et qu'il est surjectif si et seulement si $\mathrm{I}\mathrm{m}(f)=G^{\mathrm{\prime }}$.

1. $\det :{\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R})\to {\mathbb{R}}^{\ast }$, $M\mapsto \det (M)$.

2. $\exp :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{\ast }$, $x\mapsto e^x$.

3. $N:{\mathbb{C}}^{\ast }\to {\mathbb{R}}^{\ast }$, $z\mapsto \mid z\mid$, puis $u:\mathbb{R}\to {\mathbb{C}}^{\ast }$, $\theta \mapsto e^{i\theta }$.

4. La signature $\epsilon :{\mathfrak{S}}_n\to \{-1,1\}$, où $n⩾2$.

5. $\pi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$, $k\mapsto \bar{k}$, où $n⩾2$.

6. $c:{\mathbb{R}}^{\ast }\to {\mathbb{R}}^{\ast }$, $x\mapsto x^2$.

Soit $(G,\times )$ un groupe de neutre $e$ et soit $x\in G$. On dit que $x$ est d'ordre fini s'il existe $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $x^k=e$ ; le plus petit tel entier est alors l'ordre de $x$, noté $\mathrm{o}(x)$, et l'on dispose des deux résultats du cours

En notation additive, la puissance $x^k$ se lit $kx$ et le neutre $e$ se lit $0$.

1. Déterminer $\mathrm{o}(i)$ dans $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$, puis $\mathrm{o}(-1)$ dans $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$.

2. Montrer que $2$ n'est pas d'ordre fini dans $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$.

3. Déterminer $\mathrm{o}\left(\bar{3}\right)$ et $\mathrm{o}\left(\bar{8}\right)$ dans $(\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z},+)$.

4. Déterminer $\mathrm{o}\left(\bar{2}\right)$ dans $((\mathbb{Z}\mathrm{/}7\mathbb{Z}{)}^{\times },\times )$.

5. Déterminer l'ordre du cycle $(123)$ dans ${\mathfrak{S}}_3$, puis celui de la matrice de rotation d'angle ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ dans $({\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R}),\times )$ :

   $$R=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

6. Vérifier sur deux des exemples précédents que l'ordre d'un élément d'un groupe fini divise le cardinal de ce groupe.

Un groupe $G$ est dit monogène s'il existe $a\in G$ tel que $G=⟨a⟩$ ; un tel élément $a$ est appelé générateur de $G$. Un groupe monogène et fini est dit cyclique. On rappelle que $⟨a⟩=\{a^k;k\in \mathbb{Z}\}$, et l'on note ${\mathbb{U}}_6=\{z\in \mathbb{C};z^6=1\}$.

Pour chacun des groupes suivants, dire s'il est monogène, s'il est cyclique, et en donner un générateur lorsqu'il en existe.

1. $(\mathbb{Z},+)$.

2. $(\mathbb{Q},+)$.

3. $(\mathbb{Z}\mathrm{/}8\mathbb{Z},+)$, puis $({\mathbb{U}}_6,\times )$.

4. ${\mathfrak{S}}_3$.

5. $((\mathbb{Z}\mathrm{/}5\mathbb{Z}{)}^{\times },\times )$.

6. Montrer que tout groupe monogène est abélien.

Soit $n$ un entier tel que $n⩾2$. On travaille dans le groupe additif $(\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z},+)$, dont les éléments sont les classes $\bar{k}$ pour $k\in \mathbb{Z}$. On rappelle que pour tout $m\in \mathbb{Z}$ on a $m\bar{k}=\overline{mk}$, et que l'indicatrice d'Euler $\phi (n)$ désigne le nombre d'entiers $k$ de $\{1,\dots ,n\}$ tels que $k\wedge n=1$.

1. Soit $k\in \mathbb{Z}$. Montrer que $\bar{k}$ engendre le groupe $(\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z},+)$ si et seulement si $k\wedge n=1$.

2. En déduire la liste de tous les générateurs de $(\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z},+)$.

3. Déterminer de même les générateurs de $(\mathbb{Z}\mathrm{/}7\mathbb{Z},+)$, puis ceux de $(\mathbb{Z}\mathrm{/}15\mathbb{Z},+)$.

4. Montrer que $(\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z},+)$ possède exactement $\phi (n)$ générateurs, et vérifier ce résultat sur les trois exemples précédents.

5. Déterminer le sous-groupe $⟨\bar{4}⟩$ de $(\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z},+)$ ainsi que son cardinal. Le résultat était-il prévisible d'après la question 1 ?

Soit $n$ un entier tel que $n⩾2$. On rappelle le critère du cours : dans l'anneau $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$, la classe $\bar{k}$ est inversible si et seulement si $k\wedge n=1$.

1. Déterminer les groupes $(\mathbb{Z}\mathrm{/}10\mathbb{Z}{)}^{\times }$ et $(\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z}{)}^{\times }$, et donner dans chaque cas l'inverse de chacun de leurs éléments.

2. Calculer l'inverse de $\bar{7}$ dans $\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z}$ en détaillant l'algorithme d'Euclide et la relation de Bézout obtenue.

3. Reprendre la même méthode pour calculer l'inverse de $\overline{11}$ dans $\mathbb{Z}\mathrm{/}30\mathbb{Z}$.

4. Résoudre dans $\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z}$ l'équation $\bar{7}x=\bar{5}$.

5. Montrer que l'équation $\bar{4}x=\bar{3}$ n'a aucune solution dans $\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z}$, et expliquer ce qui la distingue de l'équation précédente.

6. Exhiber deux éléments non nuls de $\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z}$ dont le produit est nul. L'anneau $\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z}$ est-il intègre ?

Dans tout l'exercice, $A$ désigne un anneau commutatif d'élément unité $1_A$. On munit $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ des lois usuelles $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ et $(fg)(x)=f(x)g(x)$, qui en font un anneau commutatif dont l'unité est la fonction constante égale à $1$. L'anneau $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ est muni des lois composante par composante, d'unité $(1,1)$.

1. Rappeler la définition d'un idéal de $A$.

Pour chacune des parties des questions 2 à 5, dire si c'est un idéal de l'anneau indiqué, en justifiant, et en donnant un contre-exemple explicite lorsque la réponse est négative.

2. Dans $\mathbb{Z}$ : l'ensemble $6\mathbb{Z}$ des multiples de $6$ ; puis l'ensemble des entiers impairs.

3. Dans $\mathbb{R}[X]$ : l'ensemble des polynômes divisibles par $X^2-1$ ; puis l'ensemble ${\mathbb{R}}_3[X]$ des polynômes de degré au plus $3$.

4. Dans $\mathbb{R}[X]$ : l'ensemble des polynômes s'annulant en $1$ et en $2$. Dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ : l'ensemble des fonctions nulles en $0$.

5. Dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ : la partie $\{0\}\times \mathbb{Z}$. Est-ce un sous-anneau de $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ ?

6. Montrer qu'un idéal de $A$ contenant un élément inversible est égal à $A$ tout entier. En déduire tous les idéaux d'un corps $\mathbb{K}$.

Tous les anneaux considérés sont unitaires, et l'on rappelle qu'un morphisme d'anneaux $f:A\to B$ vérifie par définition $f(1_A)=1_B$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$ et $f(xy)=f(x)f(y)$. On rappelle également que $\sqrt{2}$ est irrationnel. On pose

1. Montrer que $\mathbb{Z}[i]$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$.

2. Montrer que tout élément de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ s'écrit de manière unique sous la forme $a+b\sqrt{2}$ avec $(a,b)\in {\mathbb{Q}}^2$, puis que $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ est un sous-corps de $\mathbb{R}$.

3. Montrer que la conjugaison $\sigma :z\mapsto \bar{z}$ est un automorphisme de l'anneau $\mathbb{C}$.

4. Montrer que ${\mathrm{e}\mathrm{v}}_2:P\mapsto P(2)$ est un morphisme d'anneaux surjectif de $\mathbb{R}[X]$ dans $\mathbb{R}$, et déterminer son noyau.

5. Montrer que $f:x\mapsto 2x$ n'est pas un morphisme d'anneaux de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$, et que $\mathbb{N}$ n'est pas un sous-anneau de $\mathbb{Z}$.

Soient $(A,+,\times )$ et $(B,+,\times )$ deux anneaux, d'éléments nuls $0_A$ et $0_B$ et d'éléments unités $1_A$ et $1_B$. On les suppose tous deux non nuls, c'est-à-dire $1_A\mathrm{\ne }{0}_A$ et $1_B\mathrm{\ne }{0}_B$. On munit l'ensemble $A\times B$ des lois composante par composante :

1. Montrer que $(A\times B,+,\times )$ est un anneau, en précisant son élément nul et son élément unité.

2. Montrer que $(A\times B{)}^{\times }=A^{\times }\times B^{\times }$.

3. Montrer que $A\times B$ n'est pas intègre.

4. En déduire $(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}{)}^{\times }$, puis $(\mathbb{Z}\mathrm{/}2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\mathrm{/}3\mathbb{Z}{)}^{\times }$, en donnant la liste explicite de leurs éléments.

5. Montrer que la projection $p:A\times B\to A$, $(a,b)\mapsto a$, est un morphisme d'anneaux surjectif, et déterminer son noyau. Ce noyau est-il un sous-anneau de $A\times B$ ?

6. Montrer que l'application $j:A\to A\times B$, $a\mapsto (a,0_B)$, n'est pas un morphisme d'anneaux.

Soit $\mathbb{K}$ égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et soit $u\in \mathcal{L}(E)$. On rappelle que $\mathcal{L}(E)$, muni de l'addition, de la multiplication par un scalaire et de la composition, est une $\mathbb{K}$-algèbre d'élément unité ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$, et qu'une partie $\mathcal{B}$ d'une $\mathbb{K}$-algèbre $\mathcal{A}$ en est une sous-algèbre lorsque $\mathcal{B}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{A}$, stable par le produit de $\mathcal{A}$, et contenant $1_{\mathcal{A}}$.

Pour $P={\displaystyle \sum _{k=0}^d{a}_k{X}^k\in \mathbb{K}[X]}$, on pose $P(u)={\displaystyle \sum _{k=0}^d{a}_k{u}^k}$, avec la convention $u^0={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$, et l'on note $\mathbb{K}[u]=\{P(u);P\in \mathbb{K}[X]\}$.

1. Montrer que $\mathbb{K}[u]$ est une sous-algèbre commutative de $\mathcal{L}(E)$.

2. Montrer que $\mathbb{K}[u]$ est la plus petite sous-algèbre de $\mathcal{L}(E)$ contenant $u$, au sens de l'inclusion.

3. Soit $n⩾1$. Montrer que l'ensemble ${\mathcal{D}}_n(\mathbb{K})$ des matrices diagonales est une sous-algèbre de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, puis que l'ensemble ${\mathcal{T}}_n(\mathbb{K})$ des matrices triangulaires supérieures en est également une.

4. Montrer que l'ensemble des matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ de trace nulle n'est pas une sous-algèbre de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ ; on donnera deux raisons distinctes.

5. Montrer que $\mathbb{C}$ est une $\mathbb{R}$-algèbre de dimension $2$, et que $z\mapsto \bar{z}$ en est un morphisme d'algèbres.

Soit $(G,\times )$ un groupe de neutre $e$ et soit $x\in G$ un élément d'ordre fini $n=\mathrm{o}(x)$. On rappelle le résultat du cours : pour tout $j\in \mathbb{Z}$, $x^j=e⟺n\mid j$.

Soit $k\in \mathbb{Z}$. On pose $d=n\wedge k$, puis $n=d{n}^{\mathrm{\prime }}$ et $k=d{k}^{\mathrm{\prime }}$, de sorte que $n^{\mathrm{\prime }}\wedge k^{\mathrm{\prime }}=1$.

1. Montrer que $x^k$ est d'ordre fini, puis que ${\left(x^k\right)}^{n^{\mathrm{\prime }}}=e$.

2. Réciproquement, montrer que si $m\in \mathbb{Z}$ vérifie ${\left(x^k\right)}^m=e$, alors $n^{\mathrm{\prime }}\mid m$. En déduire que $\mathrm{o}\left(x^k\right)={\displaystyle \frac{n}{n\wedge k}}$.

3. En déduire que $x^k$ engendre $⟨x⟩$ si et seulement si $k\wedge n=1$, puis que $⟨x⟩$ possède exactement $\phi (n)$ générateurs, où $\phi (n)$ désigne le nombre d'entiers de $\{1,\dots ,n\}$ premiers avec $n$.

4. Applications numériques.

   a. Déterminer l'ordre de $\bar{4}$, de $\bar{6}$ et de $\bar{9}$ dans le groupe $(\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z},+)$.

   b. Soit $G$ un groupe et soit $j\in G$ un élément d'ordre $18$. Déterminer $\mathrm{o}\left(j^4\right)$.

5. Cette question est indépendante des précédentes. Soient $u$ et $v$ deux éléments d'un groupe $G$ qui commutent, d'ordres finis respectifs $s$ et $t$, avec $s\wedge t=1$. Montrer que $\mathrm{o}(uv)=st$.

Soient $a$ et $b$ deux entiers non nuls. On pose

On rappelle le théorème du cours : tout sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ s'écrit $d\mathbb{Z}$ pour un unique entier $d\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$.

2. Montrer par double inclusion que $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=(a\wedge b)\mathbb{Z}$.

3. En déduire le théorème de Bézout, ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante portant sur $c\in \mathbb{Z}$ pour que l'équation $ax+by=c$ admette une solution $(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2$.

4. Montrer de même que $a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}=(a\vee b)\mathbb{Z}$.

5. Traiter en détail le cas $a=84$ et $b=60$ : déterminer $84\mathbb{Z}+60\mathbb{Z}$ et $84\mathbb{Z}\cap 60\mathbb{Z}$, expliciter une relation de Bézout, et vérifier la relation $(a\wedge b)(a\vee b)=\mathrm{\mid }ab\mathrm{\mid }$.

6. Généraliser : soient $a_1,\dots ,a_p$ des entiers non tous nuls. Décrire $a_1\mathbb{Z}+\cdots +a_p\mathbb{Z}$.

On rappelle le théorème chinois : si $m$ et $n$ sont deux entiers supérieurs ou égaux à $2$ tels que $m\wedge n=1$, l'application qui, à la classe d'un entier $x$ modulo $mn$, associe le couple formé de la classe de $x$ modulo $m$ et de la classe de $x$ modulo $n$, est un isomorphisme d'anneaux de $\mathbb{Z}\mathrm{/}mn\mathbb{Z}$ sur $\mathbb{Z}\mathrm{/}m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$. Autrement dit, pour tous entiers $\alpha$ et $\beta$, le système $x\equiv \alpha (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ et $x\equiv \beta (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$ possède des solutions, et celles-ci forment exactement une classe de congruence modulo $mn$.

Dans tout l'exercice, on détaillera la méthode : justification de l'existence, construction d'une solution particulière, puis description de l'ensemble des solutions.

1. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système $x\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ et $x\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$.

2. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système $x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$, $x\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ et $x\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}25)$.

3. Les deux systèmes suivants ne relèvent pas du théorème chinois.

   a. Montrer que le système $x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$ et $x\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}15)$ possède néanmoins des solutions, et les décrire.

   b. Montrer que le système $x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$ et $x\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}15)$ n'a aucune solution. Préciser où l'hypothèse du théorème chinois est en défaut, et dégager le critère exact qui sépare les deux situations.

4. Déterminer le plus petit entier strictement positif dont la division euclidienne par $3$ laisse le reste $1$, celle par $5$ le reste $2$, et celle par $7$ le reste $6$.

Pour $n⩾1$, l'indicatrice d'Euler est définie par

c'est aussi, d'après la caractérisation des inversibles de $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$, le cardinal du groupe ${\left(\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}\right)}^{\times }$.

1. Calculer $\phi (n)$ dans les cas suivants, en rappelant la formule utilisée.

   a. $\phi (1)$

   b. $\phi (12)$

   c. $\phi (36)$

   d. $\phi (97)$

   e. $\phi (100)$

   f. $\phi (360)$

2. Démontrer la formule $\phi \left(p^{\alpha }\right)=p^{\alpha }-p^{\alpha -1}$, valable pour tout nombre premier $p$ et tout entier $\alpha ⩾1$, utilisée à la question précédente.

3. Énoncer le théorème d'Euler, puis l'appliquer pour déterminer le reste de la division euclidienne de $7^{402}$ par $100$.

4. En utilisant encore le théorème d'Euler, déterminer l'inverse de $\bar{7}$ dans l'anneau $\mathbb{Z}\mathrm{/}100\mathbb{Z}$.

5. Déterminer tous les entiers $n⩾1$ tels que $\phi (n)=2$.

1. Énoncer le petit théorème de Fermat sous ses deux formes, puis démontrer que la seconde se déduit de la première.

2. Déterminer :

   a. le reste de la division euclidienne de $3^{1000}$ par $7$ ;

   b. le reste de la division euclidienne de $2^{2026}$ par $11$ ;

   c. le chiffre des unités de $7^{2026}$.

3. Démontrer que $7$ divise $n^7-n$ pour tout $n\in \mathbb{Z}$.

4. Soient $p$ un nombre premier et $n\in \mathbb{Z}$ tel que $p\mid n$. Démontrer que $p$ ne divise pas $n^{p-1}-1$. Que peut-on en conclure sur l'hypothèse « $p$ ne divise pas $n$ » figurant dans le petit théorème de Fermat ?

5. Démontrer que $2^{340}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}341)$, alors que $341=11\times 31$ n'est pas premier. Qu'en conclure sur la réciproque du petit théorème de Fermat ?

Soit $\mathbb{K}$ un corps. On rappelle qu'une partie $I$ de l'anneau commutatif $\mathbb{K}[X]$ en est un idéal lorsque $I$ est un sous-groupe de $(\mathbb{K}[X],+)$ et que $AP\in I$ pour tout $A\in \mathbb{K}[X]$ et tout $P\in I$. Pour $P\in \mathbb{K}[X]$, on note $(P)=P\mathbb{K}[X]$ l'idéal engendré par $P$.

1. Soit $I$ un idéal de $\mathbb{K}[X]$. Démontrer qu'il existe un polynôme $P$, nul ou unitaire, tel que $I=(P)$, et que ce polynôme est unique. On l'appelle le générateur unitaire de $I$.

2. Soit $I=\{A(X^2-1)+B(X^3-1);(A,B)\in \mathbb{R}[X{]}^2\}$. Vérifier que $I$ est un idéal de $\mathbb{R}[X]$, puis déterminer son générateur unitaire.

3. Déterminer de même le générateur unitaire de $J=\{A(X^4-1)+B(X^6-1);(A,B)\in \mathbb{R}[X{]}^2\}$.

4. Soient $P$ et $Q$ dans $\mathbb{K}[X]$. Démontrer que $(P)\subset (Q)⟺Q\mid P$. En déduire une caractérisation de l'égalité $(P)=(Q)$.

5. Soit $E=\{P\in \mathbb{R}[X];P(1)=P(2)=0\}$. Démontrer que $E$ est un idéal de $\mathbb{R}[X]$ et déterminer son générateur unitaire.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non réduit à $\{0\}$ et soit $u\in \mathcal{L}(E)$. Pour un polynôme $P={\sum }_{k=0}^d{a}_k{X}^k$ de $\mathbb{K}[X]$, on pose $P(u)={\sum }_{k=0}^d{a}_k{u}^k$, avec la convention $u^0={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. On note ${\mathrm{\Phi }}_u:\mathbb{K}[X]\to \mathcal{L}(E)$ l'application $P\mapsto P(u)$, et $I_u=\{P\in \mathbb{K}[X];P(u)=0\}$ l'ensemble des polynômes annulateurs de $u$.

1. Montrer que ${\mathrm{\Phi }}_u$ est un morphisme de $\mathbb{K}$-algèbres.

2. En déduire que $I_u$ est un idéal de $\mathbb{K}[X]$.

3. On suppose $I_u\mathrm{\ne }\{0\}$. Montrer que $I_u$ possède un unique générateur unitaire, noté ${\mathrm{\Pi }}_u$ dans la suite.

4. Déterminer ${\mathrm{\Pi }}_u$ dans chacun des cas suivants.

   a. $u=p$ est un projecteur : $p\circ p=p$, avec $p\mathrm{\ne }0$ et $p\mathrm{\ne }{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

   b. $u=s$ est une symétrie : $s\circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$, avec $s\mathrm{\ne }{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ et $s\mathrm{\ne }-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

   c. $E={\mathbb{R}}^2$ et $u$ est l'endomorphisme de matrice $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ dans la base canonique.

5. On suppose $E$ de dimension finie $n⩾1$. Montrer que $I_u\mathrm{\ne }\{0\}$.

Soit $A$ un anneau, d'unité $1_A$ et d'élément nul $0_A$. Pour $k\in \mathbb{Z}$ et $a\in A$, on note $k\cdot a$ l'itéré additif de $a$, défini par $0\cdot a=0_A$, puis $(k+1)\cdot a=k\cdot a+a$ pour $k\in \mathbb{N}$, et enfin $k\cdot a=-((-k)\cdot a)$ pour $k<0$. On utilisera librement la règle de calcul, vue en sup dans tout groupe abélien : $(k+\mathrm{\ell })\cdot a=k\cdot a+\mathrm{\ell }\cdot a$ pour tous $k,\mathrm{\ell }\in \mathbb{Z}$.

1. Montrer qu'il existe un unique morphisme d'anneaux $\chi :\mathbb{Z}\to A$, et qu'il est donné par $\chi (k)=k\cdot 1_A$.

2. Montrer que $\mathrm{Ker}\chi$ est un idéal de $\mathbb{Z}$, puis qu'il existe un unique entier $n\in \mathbb{N}$ tel que $\mathrm{Ker}\chi =n\mathbb{Z}$. Cet entier s'appelle la caractéristique de $A$ et se note $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}(A)$.

3. Déterminer la caractéristique de $\mathbb{Z}$, de $\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z}$, de $\mathbb{R}$ et de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{Z}\mathrm{/}3\mathbb{Z})$.

4. Montrer que la caractéristique d'un anneau intègre est nulle ou égale à un nombre premier.

5. Soit $A$ un anneau commutatif de caractéristique $2$. Montrer que $(x+y{)}^2=x^2+y^2$ pour tous $x,y\in A$.

Soit $n⩾1$ un entier. On note ${\mathbb{U}}_n=\{z\in \mathbb{C};z^n=1\}$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité, et $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}$.

1. Montrer que ${\mathbb{U}}_n$ est un sous-groupe de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$, puis que $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}{\mathbb{U}}_n=n$.

2. Montrer que l'application $\bar{k}\mapsto e^{2i\pi k\mathrm{/}n}$ est bien définie sur $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$, et que c'est un isomorphisme de $(\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z},+)$ sur $({\mathbb{U}}_n,\times )$.

3. En déduire quels éléments de ${\mathbb{U}}_n$ en sont des générateurs (on les appelle racines primitives $n$-ièmes de l'unité) et combien il y en a. Les expliciter pour $n=12$.

4. Soit $m⩾1$ un entier. Montrer que ${\mathbb{U}}_m\subset {\mathbb{U}}_n$ si et seulement si $m\mid n$.

5. Montrer que ${\mathbb{U}}_m\cap {\mathbb{U}}_n={\mathbb{U}}_{m\wedge n}$.

Soit $n⩾1$ un entier et soit $G=⟨x⟩$ un groupe cyclique de cardinal $n$, noté multiplicativement, de neutre $e$. On rappelle que $\mathrm{o}(x)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}⟨x⟩=n$ et que, pour $k\in \mathbb{Z}$, $x^k=e$ si et seulement si $n\mid k$.

1. Montrer que $\pi :(\mathbb{Z},+)\to (G,\times )$, $k\mapsto x^k$, est un morphisme de groupes surjectif de noyau $n\mathbb{Z}$. En déduire que tout sous-groupe $H$ de $G$ s'écrit $H=⟨x^m⟩$ pour un entier $m⩾1$ divisant $n$ : tout sous-groupe de $G$ est cyclique.

2. Montrer que si $m⩾1$ divise $n$, alors $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}⟨x^m⟩=n\mathrm{/}m$. En déduire que pour tout diviseur $d⩾1$ de $n$, le groupe $G$ possède un unique sous-groupe de cardinal $d$, à savoir $⟨x^{n\mathrm{/}d}⟩$.

3. En déduire que le nombre de sous-groupes de $G$ est égal au nombre de diviseurs positifs de $n$.

4. Dresser la liste complète des sous-groupes de $(\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z},+)$, avec pour chacun son cardinal, un générateur et ses éléments.

5. Montrer que tout sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ est monogène, mais que $(\mathbb{Z},+)$ possède une infinité de sous-groupes. Commenter l'écart avec la question 3.

Soit $n⩾2$ un entier. Dans un anneau $A$, un élément $a$ est dit nilpotent lorsqu'il existe un entier $k⩾1$ tel que $a^k=0_A$, et idempotent lorsque $a^2=a$.

1. Déterminer les éléments nilpotents de $\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z}$, puis ceux de $\mathbb{Z}\mathrm{/}36\mathbb{Z}$.

2. Soit $a\in \mathbb{Z}$. Montrer que $\bar{a}$ est nilpotent dans $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$ si et seulement si tout facteur premier de $n$ divise $a$.

3. Soit $A$ un anneau commutatif, $a\in A$ nilpotent et $u\in A^{\times }$. Montrer que $u+a\in A^{\times }$.

4. Déterminer les idempotents de $\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z}$ (on pourra utiliser le théorème chinois avec $12=4\times 3$).

5. Soit $p$ un nombre premier. Montrer que les seuls idempotents de $\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}$ sont $\bar{0}$ et $\bar{1}$.

Soit $p$ un nombre premier. Pour $k\in \mathbb{Z}$ et $a$ élément d'un anneau $A$, on note $k\cdot a$ l'itéré additif de $a$ ($0\cdot a=0_A$, $(k+1)\cdot a=k\cdot a+a$ pour $k\in \mathbb{N}$, et $k\cdot a=-((-k)\cdot a)$ pour $k<0$) ; on utilisera librement les règles de calcul $(k+\mathrm{\ell })\cdot a=k\cdot a+\mathrm{\ell }\cdot a$ et $(k\mathrm{\ell })\cdot a=k\cdot (\mathrm{\ell }\cdot a)$. On dit que $A$ est de caractéristique $p$ lorsque $p$ est le plus petit entier strictement positif tel que $p\cdot 1_A=0_A$.

1. Montrer que $p$ divise ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{p}{k}\right)}$ pour tout entier $k$ tel que $1⩽k⩽p-1$.

2. Soit $A$ un anneau commutatif de caractéristique $p$. Montrer que $p\cdot x=0_A$ pour tout $x\in A$, puis que $F:x\mapsto x^p$ est un morphisme d'anneaux de $A$ dans $A$. On l'appelle morphisme de Frobenius.

3. Montrer que $\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}$ est de caractéristique $p$ et que son morphisme de Frobenius est l'identité, par récurrence. En déduire le petit théorème de Fermat sous ses deux formes.

4. Exhiber deux matrices de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{Z}\mathrm{/}2\mathbb{Z})$ qui ne commutent pas et qui montrent que l'hypothèse de commutativité ne peut pas être supprimée à la question 2.

5. Montrer que si l'anneau commutatif $A$ de caractéristique $p$ est de plus intègre, alors $F$ est injectif.

On pose $\mathbb{Z}[i]=\{a+ib;(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}$ et, pour $z=a+ib$ avec $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$, on pose $N(z)=a^2+b^2$. L'entier naturel $N(z)$ est appelé la norme de $z$ (l'écriture $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ entiers étant unique, $N$ est bien définie).

Un élément $z$ de $\mathbb{Z}[i]$ est dit irréductible lorsque $z$ n'est pas inversible dans $\mathbb{Z}[i]$ et que tout diviseur de $z$ dans $\mathbb{Z}[i]$ est soit un inversible de $\mathbb{Z}[i]$, soit un associé de $z$, c'est-à-dire de la forme $uz$ avec $u\in \mathbb{Z}[i{]}^{\times }$.

1. Montrer que $\mathbb{Z}[i]$ est un sous-anneau intègre de $\mathbb{C}$, puis que $N(z{z}^{\mathrm{\prime }})=N(z)N(z^{\mathrm{\prime }})$ pour tous $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ de $\mathbb{Z}[i]$.

2. Montrer que $z\in \mathbb{Z}[i]$ est inversible dans $\mathbb{Z}[i]$ si et seulement si $N(z)=1$, puis en déduire que $\mathbb{Z}[i{]}^{\times }=\{1,-1,i,-i\}$.

3. Montrer que si $N(z)$ est un nombre premier, alors $z$ est irréductible dans $\mathbb{Z}[i]$.

4. Vérifier que $2=-i(1+i{)}^2$ et que $5=(2+i)(2-i)$, puis en déduire que ni $2$ ni $5$ ne sont irréductibles dans $\mathbb{Z}[i]$.

5. Montrer qu'aucun élément de $\mathbb{Z}[i]$ n'est de norme $3$ (on regardera les carrés modulo $4$), puis que $3$ est irréductible dans $\mathbb{Z}[i]$.

Soit $(G,\times )$ un groupe fini de cardinal $n$ et de neutre $e$. On admet le théorème de Lagrange : pour tout $x\in G$, l'ordre $\mathrm{o}(x)$ divise $n$. On rappelle que $\mathrm{o}(x)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}⟨x⟩$ et que, pour $k\in \mathbb{Z}$, $x^k=e⟺\mathrm{o}(x)\mid k$.

1. Montrer que $x^n=e$ pour tout $x\in G$.

2. On suppose ici que $n=p$ est un nombre premier. Montrer que tout élément $x$ de $G$ différent de $e$ engendre $G$ ; en déduire que $G$ est cyclique, puis que les seuls sous-groupes de $G$ sont $\{e\}$ et $G$.

3. On suppose maintenant $n=4$. Montrer que, ou bien $G$ est cyclique, ou bien tout élément de $G$ différent de $e$ est d'ordre $2$. Montrer que dans les deux cas $G$ est abélien.

4. Donner un exemple de groupe de cardinal $4$ de chacun de ces deux types.

5. Soient $m⩾2$ un entier et $a\in \mathbb{Z}$ tel que $a\wedge m=1$. En appliquant la question 1 au groupe $((\mathbb{Z}\mathrm{/}m\mathbb{Z}{)}^{\times },\times )$, retrouver le théorème d'Euler : $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.

Soit $(G,\times )$ un groupe de neutre $e$. On appelle centre de $G$ l'ensemble

des éléments qui commutent avec tous les éléments de $G$. On note $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$ l'ensemble des automorphismes de $G$, qui est un groupe pour la composition.

1. Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe abélien de $G$, et que $G$ est abélien si et seulement si $Z(G)=G$.

2. Pour $a\in G$, on pose ${\gamma }_a:G\to G$, $x\mapsto ax{a}^{-1}$. Montrer que ${\gamma }_a$ est un automorphisme de $G$ (on l'appelle automorphisme intérieur associé à $a$).

3. Montrer que $\gamma :a\mapsto {\gamma }_a$ est un morphisme de groupes de $(G,\times )$ dans $(\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G),\circ )$, et déterminer son noyau.

4. Déterminer $Z({\mathfrak{S}}_3)$.

5. Déterminer $Z({\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R}))$. On pourra utiliser les matrices $I_2+E_{12}$ et $I_2+E_{21}$, où $E_{ij}$ désigne la matrice élémentaire dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne $i$ et de la colonne $j$, égal à $1$.

Soient $n⩾1$ un entier et $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. On appelle commutant de $A$ l'ensemble

On note par ailleurs $\mathbb{K}[A]=\{P(A);P\in \mathbb{K}[X]\}$ et $E_{ij}$ la matrice élémentaire dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui de la ligne $i$ et de la colonne $j$, égal à $1$.

1. Montrer que $\mathcal{C}(A)$ est une sous-algèbre de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

2. Montrer que $\mathbb{K}[A]\subset \mathcal{C}(A)$.

3. On prend $n=3$ et $A=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,2,3)$. Déterminer $\mathcal{C}(A)$ et sa dimension, puis comparer $\mathcal{C}(A)$ et $\mathbb{K}[A]$.

4. On prend $n=2$ et $J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$. Déterminer $\mathcal{C}(J)$ et vérifier que $\mathcal{C}(J)=\mathbb{K}[J]$.

5. On prend $n=2$ et $A=I_2$. Déterminer $\mathcal{C}(A)$ et $\mathbb{K}[A]$. Qu'en conclure sur l'inclusion de la question 2 et sur la commutativité de $\mathcal{C}(A)$ ?

Dans les questions 3, 4 et 5, tous les calculs se font par identification des coefficients.

Soient $X$ un ensemble non vide et $\mathbb{K}$ un corps. On munit $\mathcal{F}(X,\mathbb{K})$, ensemble des fonctions de $X$ dans $\mathbb{K}$, des lois usuelles définies point par point : pour $f$, $g$ dans $\mathcal{F}(X,\mathbb{K})$ et $x\in X$,

Pour une partie $Y$ de $X$, on note ${\chi }_Y$ la fonction indicatrice de $Y$, définie par ${\chi }_Y(x)=1$ si $x\in Y$ et ${\chi }_Y(x)=0$ sinon, et l'on pose

1. Montrer que $(\mathcal{F}(X,\mathbb{K}),+,\times )$ est un anneau commutatif, et qu'il n'est pas intègre dès que $X$ possède au moins deux éléments.

2. Soit $a\in X$. Montrer que ${\mathrm{e}\mathrm{v}}_a:f\mapsto f(a)$ est un morphisme d'anneaux surjectif de $\mathcal{F}(X,\mathbb{K})$ dans $\mathbb{K}$, et que $I_{\{a\}}=\mathrm{Ker}{\mathrm{e}\mathrm{v}}_a$ est un idéal de $\mathcal{F}(X,\mathbb{K})$.

3. Montrer que $I_Y$ est un idéal de $\mathcal{F}(X,\mathbb{K})$ pour toute partie $Y$ de $X$, et que $Y\subset Z⟹I_Z\subset I_Y$.

4. Déterminer les inversibles de $\mathcal{F}(X,\mathbb{K})$, puis ses idempotents, c'est-à-dire les $f$ vérifiant $f^2=f$.

5. On suppose ici $X$ fini. Montrer que tout idéal de $\mathcal{F}(X,\mathbb{K})$ est de la forme $I_Y$ pour une unique partie $Y$ de $X$.

Soit $p$ un nombre premier. On travaille dans l'anneau $\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}$ et dans son groupe des inversibles $((\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}{)}^{\times },\times )$.

1. Montrer que $(\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}{)}^{\times }=\{\bar{1},\bar{2},\dots ,\overline{p-1}\}$, puis qu'un élément $\bar{x}$ de ce groupe est son propre inverse si et seulement si $\bar{x}=\bar{1}$ ou $\bar{x}=\overline{-1}$.

2. En appariant chaque élément de $(\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}{)}^{\times }$ avec son inverse, démontrer le théorème de Wilson : $(p-1)!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$.

3. Vérifier le résultat pour $p=5$, $p=7$ et $p=11$.

4. Réciproquement, soit $n⩾2$ un entier tel que $(n-1)!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$. Montrer que $n$ est premier.

5. Le critère « $n⩾2$ est premier si et seulement si $(n-1)!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$ » est donc exact. Expliquer pourquoi il est pourtant inutilisable en pratique pour tester la primalité d'un grand entier.

Alice choisit deux nombres premiers distincts $p$ et $q$, pose $n=pq$, puis choisit un entier $e⩾1$ tel que $e\wedge \phi (n)=1$. Elle rend publique la clé $(n,e)$ et garde secret un entier $d⩾1$ tel que $ed\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (n))$. Un message est un entier $m$ avec $0⩽m<n$ ; Bob l'envoie chiffré sous la forme $c=m^e<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>n$, et Alice le déchiffre en calculant $c^d<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>n$.

Dans les questions 1 à 3, on prend $p=11$, $q=13$, donc $n=143$, et $e=7$.

1. Calculer $\phi (n)$, vérifier que $e\wedge \phi (n)=1$, puis déterminer l'exposant de déchiffrement $d$ en détaillant l'algorithme d'Euclide.
2. Chiffrer le message $m=9$, c'est-à-dire calculer $9^7<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>143$ par exponentiation rapide.
3. Déchiffrer le message chiffré obtenu et vérifier que l'on retrouve bien $9$.
4. On revient au cas général. Montrer que si $m\wedge n=1$, alors $m^{ed}\equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$.
5. Montrer que la congruence $m^{ed}\equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$ est en fait valable pour tout entier $m$, sans supposer $m$ premier avec $n$.
6. Expliquer en trois phrases pourquoi la sécurité du procédé repose sur la difficulté de factoriser $n$.

Soit $G$ un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ non réduit à $\{0\}$. On pose

1. Montrer que $G^{+}$ est non vide et que $a$ est bien défini, avec $a⩾0$.
2. On suppose $a>0$. Montrer que $a\in G$, puis que $G=a\mathbb{Z}$. (On pourra, pour $x\in G$, poser $k=\lfloor x\mathrm{/}a\rfloor$.)
3. On suppose $a=0$. Montrer que $G$ rencontre tout intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$.
4. Énoncer l'alternative obtenue pour un sous-groupe quelconque de $(\mathbb{R},+)$.
5. Soit $\alpha$ un irrationnel. Montrer que $\mathbb{Z}+\alpha \mathbb{Z}=\{p+q\alpha ;(p,q)\in {\mathbb{Z}}^2\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$, qu'il n'est d'aucune des formes $a\mathbb{Z}$ avec $a>0$, et qu'il rencontre donc tout intervalle ouvert non vide.
6. En admettant que $\pi$ est irrationnel, en déduire que $\{\cos n;n\in \mathbb{Z}\}$ n'est pas un ensemble fini. (On pourra utiliser l'inégalité $\mid \cos u-\cos v\mid ⩽\mid u-v\mid$, que l'on justifiera.)

Soit $n⩾1$. Le but de l'exercice est d'établir la formule

la somme portant sur tous les diviseurs positifs $d$ de $n$. On travaille dans le groupe additif $(\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z},+)$, de neutre $\bar{0}$, et pour $d\mid n$ on note $E_d$ l'ensemble des éléments de $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$ d'ordre exactement $d$.

1. Montrer que pour tout $k\in \mathbb{Z}$, $\mathrm{o}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\bar{k}\right)={\displaystyle \frac{n}{k\wedge n}}$.
2. Soit $d$ un diviseur positif de $n$. Montrer que l'ensemble $H_d$ des éléments $x$ de $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$ tels que $\mathrm{o}(x)\mid d$ est l'unique sous-groupe de $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$ de cardinal $d$, et qu'il est cyclique, engendré par $\overline{n\mathrm{/}d}$.
3. En déduire que $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}{E}_d=\phi (d)$ pour tout diviseur positif $d$ de $n$.
4. Montrer que les $E_d$, pour $d$ décrivant les diviseurs positifs de $n$, forment une partition de $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$, et conclure.
5. Vérifier la formule par le calcul explicite pour $n=12$ et $n=30$.
6. En déduire une nouvelle démonstration du fait que $(\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z},+)$ possède exactement $\phi (n)$ générateurs.

Soit $p$ un nombre premier. Comme $p$ est premier, $\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}$ est un corps et son groupe des inversibles $G={\left(\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}\right)}^{\times }$, muni de la multiplication, est de cardinal $p-1$. On veut montrer que $G$ est cyclique. Pour $d$ divisant $p-1$, on note $\psi (d)$ le nombre d'éléments de $G$ d'ordre exactement $d$.

1. Montrer qu'un polynôme non nul de degré $m$ à coefficients dans le corps $\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}$ a au plus $m$ racines dans $\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}$.
2. Soit $x$ un élément d'ordre $d$ d'un groupe quelconque. Montrer que pour tout $k\in \mathbb{Z}$, $\mathrm{o}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^k\right)={\displaystyle \frac{d}{k\wedge d}}$.
3. Soit $d$ un diviseur de $p-1$. Montrer que si $\psi (d)\mathrm{\ne }0$, alors $\psi (d)=\phi (d)$.
4. Justifier que ${\displaystyle \sum _{d\mid p-1}\psi (d)=p-1}$, puis, en utilisant la formule ${\displaystyle \sum _{d\mid n}\phi (d)=n}$ (démontrée à l'exercice précédent de la fiche, on l'admettra ici), montrer que $\psi (d)=\phi (d)$ pour tout diviseur $d$ de $p-1$.
5. Conclure que $G$ est cyclique.
6. Déterminer explicitement, en dressant la liste des ordres, tous les générateurs de ${\left(\mathbb{Z}\mathrm{/}7\mathbb{Z}\right)}^{\times }$ puis de ${\left(\mathbb{Z}\mathrm{/}11\mathbb{Z}\right)}^{\times }$.

On pose

1. Montrer que tout élément de $A$ s'écrit de manière unique sous la forme $a+b\sqrt{2}$ avec $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$ (on utilisera l'irrationalité de $\sqrt{2}$), et que $A$ est un sous-anneau intègre de $\mathbb{R}$. En particulier $N$ est une application bien définie de $A$ dans $\mathbb{Z}$.
2. Montrer que $\sigma :a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}$ est un automorphisme de l'anneau $A$, que $N(x)=x\sigma (x)$ pour tout $x\in A$, et en déduire que $N(xy)=N(x)N(y)$.
3. Montrer que $x\in A$ est inversible dans $A$ si et seulement si $N(x)=\pm 1$.
4. En déduire que $1+\sqrt{2}\in A^{\times }$, puis que $A^{\times }$ est infini.
5. Montrer que les couples $(x,y)\in {\mathbb{N}}^2$ vérifiant $x^2-2y^2=1$ sont exactement ceux pour lesquels $x+y\sqrt{2}={(1+\sqrt{2})}^{2k}$ avec $k\in \mathbb{N}$, et donner les trois plus petites solutions autres que $(1,0)$.

Soit $n⩾1$. On note $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z})$ l'ensemble des automorphismes du groupe $(\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z},+)$, c'est-à-dire des morphismes de groupes bijectifs de $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$ dans lui-même. Pour $\bar{a}\in \mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$, on note $f_{\bar{a}}$ l'application $x\mapsto \bar{a}x$, le produit étant celui de l'anneau $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$.

1. Montrer que $f_{\bar{a}}$ est un morphisme du groupe $(\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z},+)$ dans lui-même, et que réciproquement tout morphisme de groupes $f$ de $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$ dans lui-même est égal à $f_{\bar{a}}$ pour un unique $\bar{a}$.
2. Montrer que $f_{\bar{a}}$ est bijectif si et seulement si $\bar{a}$ est inversible dans l'anneau $\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}$.
3. En déduire que $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z})$, muni de la composition, est un groupe isomorphe à $({\left(\mathbb{Z}\mathrm{/}n\mathbb{Z}\right)}^{\times },\times )$, et que son cardinal vaut $\phi (n)$.
4. Expliciter les automorphismes de $\mathbb{Z}\mathrm{/}8\mathbb{Z}$ et donner la table de leur groupe. Ce groupe est-il cyclique ?
5. Montrer que pour $p$ premier, $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z})$ est cyclique de cardinal $p-1$ (on pourra utiliser le résultat de l'exercice 34 de la fiche).