Devoir surveillé — Structures algébriques usuelles

Chacune des six demandes ci-dessous appelle une réponse de l'un des deux types suivants : soit un objet explicite qui convient, entièrement décrit et dont on vérifie toutes les propriétés demandées, soit une démonstration qu'aucun objet ne convient. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. (0,5 pt par item.)

a. Un groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre fini.

b. Un morphisme d'anneaux de $\mathbb{Z}\mathrm{/}6\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}\mathrm{/}4\mathbb{Z}$.

c. Un morphisme de groupes surjectif de $(\mathbb{Z}\mathrm{/}12\mathbb{Z},+)$ sur $(\mathbb{Z}\mathrm{/}5\mathbb{Z},+)$.

d. Un anneau intègre fini qui n'est pas un corps.

e. Un idéal de $\mathbb{R}[X]$, distinct de $\mathbb{R}[X]$, contenant à la fois $X^2+1$ et $X^2-1$.

f. Deux éléments d'ordre $2$ d'un même groupe, dont le produit est d'ordre INFINI.

Dans tout l'exercice, $p$ désigne un nombre premier IMPAIR et l'on pose $K=\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}$, qui est un corps. On note $\mathfrak{S}(K)$ le groupe des bijections de $K$ dans $K$, muni de la composition, et $K^{\times }$ le groupe des inversibles de l'anneau $K$. Pour $a\in K^{\times }$ et $b\in K$, on définit

$$f_{a,b}:K⟶K,x⟼ax+b,$$

puis

$$G=\{f_{a,b};a\in K^{\times },b\in K\}\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Montrer que $f_{a,b}$ est une bijection de $K$, calculer $f_{a,b}\circ f_{a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }}}$, et en déduire que $G$ est un sous-groupe de $\mathfrak{S}(K)$.

2. (0,5 pt) Montrer que l'application $(a,b)\mapsto f_{a,b}$ est injective, en déduire $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}G$, puis montrer que $G$ n'est pas abélien.

3. (0,5 pt) Montrer que $\mathrm{\Phi }:G\to (K^{\times },\times )$, $f_{a,b}\mapsto a$, est un morphisme de groupes surjectif. Décrire son noyau $T$ et montrer que $T$ est isomorphe à $(K,+)$.

4. (0,5 pt) Déterminer $\mathrm{o}(f_{1,b})$ pour $b\mathrm{\ne }0$.

5. (0,75 pt) On suppose $a\mathrm{\ne }1$. Montrer que $f_{a,b}$ possède un unique point fixe $x_0$, puis établir que

$$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x\in K,f_{a,b}^k(x)=a^k(x-x_0)+x_0\mathrm{.}$$

6. (0,25 pt) En déduire que $\mathrm{o}(f_{a,b})=\mathrm{o}(a)$ lorsque $a\mathrm{\ne }1$, où $\mathrm{o}(a)$ est l'ordre de $a$ dans $(K^{\times },\times )$. Commenter le fait que cet ordre ne dépende pas de $b$.

7. (0,5 pt) On prend $p=5$. Dresser le tableau donnant, pour chaque ordre possible, le nombre d'éléments de $G$ ayant cet ordre. Le groupe $G$ possède-t-il un élément d'ordre $10$ ? Un sous-groupe d'ordre $10$ ? Commenter.

On note $\mathbb{Z}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients ENTIERS. C'est un sous-anneau commutatif de $\mathbb{R}[X]$, ce que l'on admet ; la notion d'idéal y a donc un sens, avec la même définition que dans le cours. Pour $D\in \mathbb{Z}[X]$, on note

$$(D)=D\mathbb{Z}[X]=\{DQ;Q\in \mathbb{Z}[X]\},$$

et l'on dit qu'un idéal de $\mathbb{Z}[X]$ est PRINCIPAL lorsqu'il est de cette forme. On pose enfin

$$I=\{P\in \mathbb{Z}[X];P(0)\text{ est pair}\}\mathrm{.}$$

Avertissement : dans $\mathbb{Z}[X]$, on ne dispose PAS de la division euclidienne par un polynôme quelconque, et c'est tout l'enjeu de l'exercice. On ne pourra donc reprendre aucune des démonstrations du cours qui l'utilisent.

1. (0,5 pt) Montrer que l'application $\psi :\mathbb{Z}[X]\to \mathbb{Z}\mathrm{/}2\mathbb{Z}$, qui à $P$ associe la classe de $P(0)$ modulo $2$, est un morphisme d'anneaux surjectif. En déduire que $I$ est un idéal de $\mathbb{Z}[X]$.

2. (0,5 pt) Montrer que $I=2\mathbb{Z}[X]+X\mathbb{Z}[X]$.

3. (1 pt) Montrer que $I$ n'est pas un idéal principal de $\mathbb{Z}[X]$.

4. (0,5 pt) Déterminer tous les diviseurs communs de $2$ et de $X$ dans $\mathbb{Z}[X]$. Existe-t-il $U,V\in \mathbb{Z}[X]$ tels que $2U+XV=1$ ? Identifier précisément l'étape de la démonstration du cours qui cesse de fonctionner ici.

5. (0,5 pt) Montrer que $J=\{P\in \mathbb{Z}[X];P(0)=0\}$ est, lui, un idéal principal de $\mathbb{Z}[X]$, et comparer $I$ et $J$.

Toutes les algèbres de cet exercice sont des $\mathbb{R}$-algèbres associatives et unitaires. On rappelle qu'un morphisme d'algèbres $\mathrm{\Phi }:A\to B$ est une application LINÉAIRE vérifiant $\mathrm{\Phi }(xy)=\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{\Phi }(y)$ pour tous $x,y$ de $A$, ainsi que $\mathrm{\Phi }(1_A)=1_B$. Pour $a$ élément d'une $\mathbb{R}$-algèbre $A$ et $P={\sum }_{k=0}^d{p}_k{X}^k\in \mathbb{R}[X]$, on pose comme d'habitude $P(a)={\sum }_{k=0}^d{p}_k{a}^k$, avec la convention $a^0=1_A$.

On munit ${\mathbb{R}}^4$ des trois lois définies composante par composante :

$$(x_i)+(y_i)=(x_i+y_i),(x_i)(y_i)=(x_i{y}_i),\lambda \cdot (x_i)=(\lambda x_i),$$

qui en font une $\mathbb{R}$-algèbre commutative d'unité $(1,1,1,1)$, ce que l'on admet. On note enfin $E_{ij}$ les matrices élémentaires de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

1. (0,75 pt) Soient $A$ une $\mathbb{R}$-algèbre et $\mathrm{\Phi }:\mathbb{R}[X]\to A$ un morphisme d'algèbres. On pose $a=\mathrm{\Phi }(X)$. Montrer que $\mathrm{\Phi }(P)=P(a)$ pour tout $P\in \mathbb{R}[X]$.

2. (0,5 pt) En déduire la description de TOUS les morphismes d'algèbres de $\mathbb{R}[X]$ dans $\mathbb{R}$.

3. (2 pt) Soient $B$ une $\mathbb{R}$-algèbre COMMUTATIVE non nulle et $\phi :{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\to B$ un morphisme d'algèbres. En calculant $\phi (E_{11})$ de deux manières, aboutir à une contradiction. Qu'obtient-on en particulier pour $B=\mathbb{R}$ ?

4. (0,25 pt) En déduire que les $\mathbb{R}$-algèbres ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ et ${\mathbb{R}}^4$ ne sont pas isomorphes, alors qu'elles ont la même dimension.

Ce problème n'utilise que trois résultats du cours : l'ordre d'un élément d'un groupe fini, le théorème de divisibilité de l'ordre ($x^k=e$ si et seulement si $\mathrm{o}(x)\mid k$) et le théorème de Lagrange, admis. La partie A sert dans les deux suivantes ; les parties B et C sont indépendantes l'une de l'autre.

Dans tout le problème, $q$ désigne un nombre premier IMPAIR. On note $\bar{2}$ la classe de $2$ dans $\mathbb{Z}\mathrm{/}q\mathbb{Z}$ et l'on pose

$${\omega }_q=\mathrm{o}(\bar{2}),$$

l'ordre de $\bar{2}$ dans le groupe $(\mathbb{Z}\mathrm{/}q\mathbb{Z}{)}^{\times }$.

Partie A. L'ordre de 2 modulo un nombre premier impair. (2 points)

A.1 (0,5 pt) Justifier que $\bar{2}$ appartient à $(\mathbb{Z}\mathrm{/}q\mathbb{Z}{)}^{\times }$, que ${\omega }_q$ est bien défini, et que ${\omega }_q$ divise $q-1$.

A.2 (0,5 pt) Montrer que, pour tout entier $k⩾1$,

$$q\mid 2^k-1⟺{\omega }_q\mid k\mathrm{.}$$

A.3 (0,5 pt) Calculer ${\omega }_q$ pour $q=13$, $q=17$, $q=19$ et $q=43$, en précisant à chaque fois quels diviseurs de $q-1$ ont dû être testés.

A.4 (0,5 pt) Soit $k⩾1$ tel que $q\mid 2^k+1$. Montrer que ${\omega }_q$ divise $2k$ mais ne divise pas $k$.

Partie B. Les nombres de Mersenne. (2,5 points)

Pour $n⩾2$, on pose $M_n=2^n-1$.

B.1 (0,75 pt) Montrer que si $M_n$ est premier, alors $n$ est premier.

B.2 (0,75 pt) Soient $p$ un nombre premier impair et $q$ un diviseur premier de $M_p$. Montrer que ${\omega }_q=p$, puis que $q\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2p)$.

B.3 (0,5 pt) Application à $p=11$, avec $M_{11}=2047$. Combien de nombres premiers sont inférieurs ou égaux à $\sqrt{M_{11}}$ ? Combien la question B.2 en laisse-t-elle comme candidats ? Conclure quant à la primalité de $M_{11}$, et dire ce que cela apprend sur la réciproque de B.1.

B.4 (0,5 pt) Application à $p=13$, avec $M_{13}=8191$. Montrer que $M_{13}$ est premier en n'effectuant que DEUX divisions.

Partie C. Les nombres de Fermat. (2,5 points)

Pour $n⩾0$, on pose $F_n=2^{2^n}+1$. Les cinq premiers valent $F_0=3$, $F_1=5$, $F_2=17$, $F_3=257$ et $F_4=65537$, et ils sont tous premiers ; Fermat conjectura en 1640 qu'il en va de même pour tous les $F_n$.

C.1 (0,75 pt) Soit $m⩾1$. Montrer que si $2^m+1$ est premier, alors $m$ est une puissance de $2$. On écrira $m=2^{n}d$ avec $d$ impair, et l'on utilisera l'identité

$$y^d+1=(y+1)(y^{d-1}-y^{d-2}+\cdots -y+1),$$

valable pour tout entier $d$ impair.

C.2 (0,5 pt) Soient $n⩾1$ et $q$ un diviseur premier de $F_n$. Montrer que ${\omega }_q=2^{n+1}$, puis que $2^{n+1}$ divise $q-1$.

C.3 (0,75 pt) On prend $n=5$, donc $F_5=2^{32}+1$. Dresser la liste des nombres premiers inférieurs à $700$ que la question C.2 laisse comme candidats. Puis, en remarquant que

$$641=5\times 2^7+1=2^4+5^4,$$

montrer que $641$ divise $F_5$, et conclure.

C.4 (0,5 pt) Montrer que $F_0{F}_1\cdots F_{n-1}=F_n-2$ pour tout $n⩾1$. En déduire que les $F_n$ sont deux à deux premiers entre eux, puis retrouver l'existence d'une infinité de nombres premiers.