Exercices — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

On considère la matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 2& -1\\ 0& 0& 5\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Donner le polynôme caractéristique ${\chi }_A$ sans développer de déterminant, puis le spectre de $A$ en précisant la multiplicité de chaque valeur propre.

2. Déterminer les sous-espaces propres $E_2(A)$ et $E_5(A)$.

3. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ? Citer le critère du cours utilisé.

Pour $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, on note ${\chi }_M(X)=\det \text{\hspace{0.17em}⁣}(X{I}_n-M)$.

1. Calculer le polynôme caractéristique et le spectre des deux matrices suivantes, sur $\mathbb{R}$ puis sur $\mathbb{C}$ lorsque c'est utile.

2. Même question pour

$$C=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 0& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

3. Vérifier sur chacun des trois exemples que le coefficient de $X^{n-1}$ dans $\chi$ vaut $-\mathrm{t}\mathrm{r}$ et que le terme constant vaut $(-1{)}^n\det$.

On considère la matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -1\\ -1& 5& 1\\ -2& 2& 4\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Calculer le polynôme caractéristique ${\chi }_A$ et en déduire le spectre de $A$.

2. Déterminer les trois sous-espaces propres de $A$.

3. En déduire une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$, puis vérifier l'égalité $AP=PD$ par le calcul.

On considère la matrice de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Calculer ${\chi }_A$, le factoriser et justifier que $A$ est diagonalisable.

2. Déterminer les sous-espaces propres de $A$.

3. Écrire $A$ sous la forme $A=PD{P}^{-1}$ avec $D$ diagonale, en calculant explicitement $P^{-1}$, puis vérifier l'égalité en effectuant le produit.

Soit $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ est

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 2& 3\\ 0& 0& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $F=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1)$ et $G=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1,e_2)$ sont stables par $u$, et donner la matrice de l'endomorphisme induit par $u$ sur $G$ dans la base $(e_1,e_2)$.

2. Montrer que $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_3)$ n'est pas stable par $u$.

3. Question indépendante. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ qui commutent, c'est-à-dire tels que $u\circ v=v\circ u$. Démontrer que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}v$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}v$ sont stables par $u$.

Soit $n⩾1$ et soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ une matrice vérifiant

$$A^3-4A^2+5A-2I_n=0_n\mathrm{.}$$

1. Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ comme un polynôme en $A$.

2. Factoriser $P(X)=X^3-4X^2+5X-2$, puis montrer que les seules valeurs propres possibles de $A$ sont $1$ et $2$. Donner un exemple montrant qu'une racine de $P$ n'est pas nécessairement valeur propre de $A$.

3. Application. On prend $n=3$ et

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Vérifier que cette matrice satisfait bien la relation de l'énoncé, puis calculer $A^{-1}$ à l'aide de la formule de la question 1.

On considère la matrice de ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$

$$N=\left(\begin{array}{cccc}0& 2& 1& 0\\ 0& 0& 3& 1\\ 0& 0& 0& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Calculer $N^2$, $N^3$ et $N^4$. En déduire que $N$ est nilpotente et donner son indice de nilpotence.

2. Donner ${\chi }_N$ et $\mathrm{S}\mathrm{p}(N)$.

3. Montrer que $I_4-N$ est inversible et calculer son inverse.

On considère la matrice de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -2& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Calculer ${\chi }_A$, puis vérifier le théorème de Cayley-Hamilton sur cet exemple en calculant directement $A^2$.

2. En déduire $A^{-1}$ sous la forme d'un polynôme en $A$, et vérifier le résultat.

3. En déduire $A^3$. Montrer ensuite par récurrence que pour tout entier $k⩾1$ il existe deux réels $a_k$ et $b_k$ tels que $A^k=a_{k}A+b_k{I}_2$, et donner les relations de récurrence vérifiées par $(a_k,b_k)$.

On considère les trois matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ suivantes :

$$M_1=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right),M_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right),$$ $$M_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Déterminer le polynôme caractéristique de chacune de ces trois matrices.

2. Déterminer tous leurs sous-espaces propres.

3. Dire, pour chacune, si elle est diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, en précisant à chaque fois le critère qui permet de conclure.

Soit

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& -1& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. Calculer ${\chi }_A$ et donner le spectre de $A$ ainsi que la multiplicité de chaque valeur propre.

2. Déterminer $E_2(A)$ et $E_4(A)$, et préciser leur dimension.

3. En déduire que $A$ est diagonalisable, puis expliciter une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$. Vérifier l'égalité $AP=PD$.

4. La matrice

$$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

possède elle aussi une valeur propre double. Montrer qu'elle n'est pas diagonalisable, puis expliquer ce qui distingue les deux situations.

Soit

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 1& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. Calculer ${\chi }_A$ et en déduire le spectre de $A$ avec les multiplicités.

2. Déterminer $E_1(A)$ et $E_2(A)$, puis montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.

3. Justifier que $A$ est trigonalisable. On note $u_1=(1,0,1)$ et $u_3=(0,0,1)$ : trouver un vecteur $v$ tel que $(A-I_3)v=u_1$, puis montrer que $(u_1,v,u_3)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

4. Écrire la matrice $T$ de $A$ dans cette nouvelle base, vérifier l'égalité $AP=PT$ où $P$ est la matrice de passage de la question précédente, et conclure que $A=PT{P}^{-1}$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾2$, avec $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et soit $p\in \mathcal{L}(E)$ tel que

$$p\circ p=p,p\mathrm{\ne }0,p\mathrm{\ne }{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\mathrm{.}$$

1. Montrer que le polynôme $X^2-X$ annule $p$, en déduire que $p$ est diagonalisable, puis que $\mathrm{S}\mathrm{p}(p)=\{0,1\}$.

2. Montrer que $E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}p$ et donner la matrice de $p$ dans une base adaptée à cette décomposition.

3. En déduire l'égalité $\mathrm{t}\mathrm{r}(p)=\mathrm{r}\mathrm{g}(p)$, ainsi que ${\chi }_p$.

4. Application. Soit $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& -1\end{array}\right)$ et soit $a$ l'endomorphisme de ${\mathbb{K}}^2$ canoniquement associé. Vérifier que $A^2=A$, déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}a$, $\mathrm{I}\mathrm{m}a$, la trace et le rang de $a$, et contrôler les résultats des questions précédentes.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$, avec $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et soit $s\in \mathcal{L}(E)$ tel que $s\circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

1. Montrer que $s$ est diagonalisable, que $\mathrm{S}\mathrm{p}(s)\subset \{-1,1\}$ et que

$$E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(s-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(s+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\mathrm{.}$$

2. En déduire la matrice de $s$ dans une base adaptée, puis exprimer $\mathrm{t}\mathrm{r}(s)$ à l'aide de $p=\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(s-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ et $q=\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(s+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$.

3. Application. Soit $A=\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 2& -3\end{array}\right)$. Vérifier que $A^2=I_2$, diagonaliser explicitement $A$, et retrouver la trace de $A$ à partir de la question 2.

Soit $n⩾2$ et soit $J_n\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$.

1. Calculer $J_n^2$, en déduire un polynôme annulateur de $J_n$, puis montrer que $J_n$ est diagonalisable et déterminer son spectre.

2. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{J}_n$ et sa dimension, ainsi qu'un vecteur propre associé à la valeur propre $n$.

3. En déduire ${\chi }_{J_n}$.

4. Soient $a$ et $b$ deux réels. En déduire la réduction de $M=a{I}_n+b{J}_n$, son polynôme caractéristique et son déterminant.

5. Application numérique : $n=3$, $a=2$ et $b=-1$. Expliciter $M$, ses éléments propres et son déterminant.

Soit $n⩾2$ et soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ une matrice de rang $1$. On admet le résultat du chapitre sur les matrices : il existe une colonne $C\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$ non nulle et une ligne $L\in {\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{K})$ non nulle telles que $A=CL$.

1. Montrer que $A^2=\mathrm{t}\mathrm{r}(A)A$.

2. Déterminer $\dim E_0(A)$, puis montrer que $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\subset \{0,\mathrm{t}\mathrm{r}(A)\}$.

3. Démontrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\mathrm{t}\mathrm{r}(A)\mathrm{\ne }0$.

4. En déduire ${\chi }_A$ en fonction de $\mathrm{t}\mathrm{r}(A)$.

5. Application. Étudier de cette façon les deux matrices

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 4& -2\\ -1& -2& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right),$$

en précisant pour chacune le rang, la trace, la diagonalisabilité, le spectre et le polynôme caractéristique.

Soit

$$A=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 6& -2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. Calculer ${\chi }_A$ et justifier que $A$ est diagonalisable.

2. Déterminer une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$, puis calculer $P^{-1}$.

3. En déduire $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

4. Vérifier la formule obtenue pour $n=0$ et $n=1$.

5. Décrire le comportement des coefficients de $A^n$ lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

Les suites réelles $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sont définies par $u_0=1$, $v_0=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=4u_n-2v_n\\ v_{n+1}=u_n+v_n\end{array}$$

1. En posant $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$, écrire le système sous la forme $X_{n+1}=A{X}_n$, puis exprimer $X_n$ en fonction de $A^n$ et de $X_0$.

2. Diagonaliser la matrice $A$ : valeurs propres, vecteurs propres, matrice de passage.

3. En déduire $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis les expressions explicites de $u_n$ et $v_n$.

4. Vérifier ces formules pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$ en recalculant directement les premiers termes.

5. Donner un équivalent de $u_n$ lorsque $n\to +\mathrm{\infty }$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$, avec $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et soit $u\in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $u^3=u$.

1. Factoriser le polynôme $X^3-X$ et énoncer précisément le lemme de décomposition des noyaux dans ce cas.

2. En déduire que $E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(u-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(u+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$, puis que $u$ est diagonalisable.

3. On note $p_0$, $p_1$ et $p_{-1}$ les projecteurs associés à cette décomposition. Montrer qu'ils s'écrivent comme des polynômes en $u$, les calculer, et vérifier par le calcul que ce sont bien des projecteurs de somme ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

4. Application. Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$. Vérifier que $A^3=A$, déterminer les trois sous-espaces de la question 2 et donner une base de vecteurs propres.

Soient $A_1=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $A_2=\left(\begin{array}{c}3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_1(\mathbb{R})$ et $A$ la matrice diagonale par blocs

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& A_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. Déterminer ${\chi }_{A_1}$, ${\mu }_{A_1}$, ${\chi }_{A_2}$ et ${\mu }_{A_2}$.

2. Démontrer le résultat général suivant : si $M=\left(\begin{array}{cc}{M}_1& 0\\ 0& M_2\end{array}\right)$ est diagonale par blocs, alors $P(M)=\left(\begin{array}{cc}P(M_1)& 0\\ 0& P(M_2)\end{array}\right)$ pour tout $P\in \mathbb{K}[X]$, et en déduire que ${\mu }_M=\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{m}({\mu }_{M_1},{\mu }_{M_2})$.

3. En déduire ${\mu }_A$ et ${\chi }_A$, puis conclure sur la diagonalisabilité de $A$ à l'aide du critère « $\mu$ scindé à racines simples ».

4. Reprendre les questions 1 et 3 avec $B=\left(\begin{array}{cc}{B}_1& 0\\ 0& A_2\end{array}\right)$ où $B_1=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, et comparer les deux situations.

Soit $n⩾1$ et $E={\mathbb{R}}_n[X]$, muni de sa base canonique $\mathcal{B}=(1,X,\dots ,X^n)$. On pose, pour tout $P\in E$, $u(P)=X{P}^{\mathrm{\prime }}$.

1. Vérifier que $u$ est un endomorphisme de $E$.

2. Donner la matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B}$ et en déduire le polynôme caractéristique de $u$.

3. Déterminer les sous-espaces propres de $u$ et conclure que $u$ est diagonalisable.

4. Cas $n=3$ : écrire la matrice de $u$, une base de vecteurs propres, ainsi que la matrice de passage $Q$ (notée ainsi pour ne pas la confondre avec les polynômes) et la matrice diagonale $D$ telles que $D=Q^{-1}{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)Q$.

5. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}u$, et vérifier le théorème du rang.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$ et $u\in \mathcal{L}(E)$.

1. Soit $F$ un sous-espace vectoriel non nul de $E$, stable par $u$, et $u_F\in \mathcal{L}(F)$ l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$. En considérant une base de $F$ complétée en une base de $E$ et la forme triangulaire par blocs obtenue, démontrer que ${\chi }_{u_F}$ divise ${\chi }_u$.

2. En déduire que toute valeur propre de $u_F$ est valeur propre de $u$.

3. Application. Soit $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ de matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$ dans la base canonique $(e_1,e_2,e_3)$, et $F=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1,e_2)$. Vérifier que $F$ est stable par $u$, donner la matrice de $u_F$ et ${\chi }_{u_F}$, puis contrôler la divisibilité.

4. Montrer, sur un contre-exemple, que la réciproque de la question 2 est fausse : une valeur propre de $u$ n'est pas nécessairement valeur propre de $u_F$.

La suite de Fibonacci est définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$.

1. On pose $X_n=\left(\begin{array}{c}{F}_{n+1}\\ F_n\end{array}\right)$. Montrer que $X_{n+1}=A{X}_n$ avec $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, puis exprimer $X_n$ en fonction de $A^n$.

2. Calculer ${\chi }_A$, montrer que ses racines sont $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\psi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, et déterminer un vecteur propre associé à chacune.

3. En déduire la formule de Binet $F_n={\displaystyle \frac{{\phi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}}}$, et la vérifier pour $n=0$, $1$, $2$ et $5$.

4. En déduire la limite de ${\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}}$ lorsque $n\to +\mathrm{\infty }$.

5. Montrer que $A^n=\left(\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right)$ pour $n⩾1$, et en déduire, par le calcul de $\det (A^n)$, l'identité $F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2=(-1{)}^n$.

On considère les matrices

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $A$ n'est pas diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, mais qu'elle l'est dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ ; donner des matrices $P\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ inversible et $D$ diagonale telles que $A=PD{P}^{-1}$.

2. Interpréter $A$ comme la matrice d'une rotation du plan et expliquer géométriquement l'absence de droite stable.

3. Mener la même étude pour $B$.

4. Conclure sur la dépendance de la diagonalisabilité vis-à-vis du corps de base, et rappeler ce que l'on peut toujours affirmer sur $\mathbb{C}$.

Soit $n⩾1$ et soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ une matrice dont les valeurs propres ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ appartiennent à $\mathbb{K}$ et sont deux à deux distinctes. On appelle commutant de $A$ l'ensemble

$$\mathcal{C}(A)=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K});AM=MA\}\mathrm{.}$$

1. Montrer que si $M\in \mathcal{C}(A)$, alors chaque sous-espace propre de $A$ est stable par $M$.

2. Soit $M\in \mathcal{C}(A)$. En déduire que $A$ et $M$ sont diagonalisables dans une même base : si $P$ est une matrice de passage telle que $P^{-1}AP$ soit diagonale, alors $P^{-1}MP$ l'est aussi.

3. Montrer que $\mathcal{C}(A)$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, qu'il est égal à $\mathbb{K}[A]=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(I_n,A,\dots ,A^{n-1})$ et que $\dim \mathcal{C}(A)=n$. On pourra utiliser l'interpolation de Lagrange.

4. Application. Déterminer toutes les matrices qui commutent avec $A_1=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,2,3)$, puis toutes celles qui commutent avec $A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)$.

Soit $n⩾1$ et soit $P=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$ un polynôme unitaire de $\mathbb{K}[X]$. On appelle matrice compagnon de $P$ la matrice $C_P\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ dont les $n-1$ premières colonnes sont $e_2,\dots ,e_n$ et dont la dernière colonne est ${}^t(-a_0-a_1\cdots -a_{n-1})$. Pour $n=3$, c'est-à-dire pour $P=X^3+a_2{X}^2+a_{1}X+a_0$ :

$$C_P=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -a_0\\ 1& 0& -a_1\\ 0& 1& -a_2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Dans le cas général :

$$C_P=\left(\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& -a_0\\ 1& \ddots & \mathrm{⋮}& -a_1\\ \mathrm{⋮}& \ddots & 0& \mathrm{⋮}\\ 0& \cdots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Montrer que ${\chi }_{C_P}=P$.

2. Montrer que $e_1$ est un vecteur cyclique de $C_P$, c'est-à-dire que la famille $(e_1,C_P{e}_1,\dots ,C_P^{n-1}{e}_1)$ est une base de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$.

3. En déduire que ${\mu }_{C_P}={\chi }_{C_P}=P$.

4. Application. Écrire la matrice compagnon de $P=X^3-2X^2-X+2$, factoriser $P$ et en déduire que $C_P$ est diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 1& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. Calculer ${\chi }_A$, vérifier que $A$ n'est pas diagonalisable, et justifier que ${\chi }_A(A)=0$.

2. Soit $n⩾1$. Écrire la division euclidienne $X^n={\chi }_A{Q}_n+R_n$ avec $\mathrm{deg}{R}_n⩽2$, et poser $R_n={\alpha }_n{X}^2+{\beta }_{n}X+{\gamma }_n$. Former un système de trois équations vérifié par $({\alpha }_n,{\beta }_n,{\gamma }_n)$, en évaluant en $1$, en $2$, puis en dérivant et en évaluant en $1$.

3. Résoudre ce système.

4. En déduire $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et vérifier le résultat pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$.

5. Expliquer pourquoi la méthode fonctionne alors que $A$ n'est pas diagonalisable.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n⩾1$ et soit $u\in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme dont les valeurs propres ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ sont deux à deux distinctes et appartiennent à $\mathbb{K}$. On note $e_i$ un vecteur propre associé à ${\lambda }_i$, de sorte que $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$ est une base de $E$. Pour $I\subset \{1,\dots ,n\}$, on pose $F_I=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_i;i\in I)$, avec $F_{\mathrm{\varnothing }}=\{0\}$.

1. Montrer que $F_I$ est stable par $u$ pour toute partie $I$.

2. Réciproquement, montrer que tout sous-espace $F$ stable par $u$ est engendré par les vecteurs propres de $u$ qu'il contient.

3. En déduire que $u$ admet exactement $2^n$ sous-espaces stables.

4. Application. Soit $u\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3)$ de matrice $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,2,3)$ dans la base canonique. Lister ses sous-espaces stables.

5. Montrer, sur l'exemple d'une homothétie, que l'hypothèse « valeurs propres deux à deux distinctes » est essentielle.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$ et soient $u,v\in \mathcal{L}(E)$.

1. Montrer que $u\circ v$ et $v\circ u$ ont le même spectre. On traitera séparément le cas de la valeur propre $0$, en utilisant le fait que $u\circ v$ est bijectif si et seulement si $u$ et $v$ le sont.

2. Montrer que si $u$ est bijectif, alors $u\circ v$ et $v\circ u$ sont semblables, et en déduire qu'elles ont le même polynôme caractéristique.

3. Soient $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Calculer $AB$ et $BA$, et montrer que ces deux matrices ne sont pas semblables.

4. Montrer que $\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=\mathrm{t}\mathrm{r}(BA)$ pour toutes matrices $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, puis en déduire que dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{K})$ les matrices $AB$ et $BA$ ont toujours le même polynôme caractéristique. Vérifier sur l'exemple de la question 3.

Soit $n⩾2$ et soit

$$\phi :{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})⟶{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}),\phi (M)={}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}M\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et que ${\phi }^2=\mathrm{i}\mathrm{d}$.

2. En déduire que $\phi$ est diagonalisable et déterminer ses sous-espaces propres.

3. Montrer que $\dim {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})=\frac{n(n+1)}{2}$ et $\dim {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})=\frac{n(n-1)}{2}$, où ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ désignent respectivement l'ensemble des matrices symétriques et celui des matrices antisymétriques. En déduire ${\chi }_{\phi }$ et $\mathrm{t}\mathrm{r}(\phi )$.

4. Application au cas $n=2$ : écrire la matrice de $\phi$ dans la base canonique $(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ et vérifier sur elle tous les résultats précédents.

Soit $n⩾1$, soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et soit

$${\mathrm{\Phi }}_A:{\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})⟶{\mathcal{M}}_n(\mathbb{K}),{\mathrm{\Phi }}_A(M)=AM\mathrm{.}$$

1. Montrer que ${\mathrm{\Phi }}_A$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, et qu'il est bijectif si et seulement si $A$ est inversible.

2. Montrer que $P({\mathrm{\Phi }}_A)={\mathrm{\Phi }}_{P(A)}$ pour tout $P\in \mathbb{K}[X]$. En déduire que $A$ et ${\mathrm{\Phi }}_A$ ont les mêmes polynômes annulateurs, donc le même polynôme minimal.

3. En déduire que ${\mathrm{\Phi }}_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ l'est, et que $\mathrm{S}\mathrm{p}({\mathrm{\Phi }}_A)=\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$.

4. Montrer que ${\chi }_{{\mathrm{\Phi }}_A}=({\chi }_A{)}^n$. On pourra décomposer ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ en somme directe de sous-espaces stables formés de matrices n'ayant qu'une colonne non nulle.

5. Application. Pour $n=2$ et $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$, écrire la matrice de ${\mathrm{\Phi }}_A$ dans une base de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{K})$ et vérifier le spectre et les multiplicités.

On dit qu'une matrice $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ est une racine carrée de $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ lorsque $M^2=A$. On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ 6& -3\end{array}\right),N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Calculer ${\chi }_A$, puis diagonaliser $A$ : donner $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $A=PD{P}^{-1}$.

2. Soit $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que $M^2=A$. Montrer que $M$ commute avec $A$, puis que les vecteurs propres de $A$ obtenus à la question 1 sont aussi des vecteurs propres de $M$.

3. En déduire que $A$ admet exactement quatre racines carrées dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, et les expliciter.

4. Montrer que $N$ n'admet, elle, aucune racine carrée dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. Calculer ${\chi }_A$ et montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.

2. Déterminer les sous-espaces caractéristiques $F_2=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}((A-2I_3{)}^2)$ et $F_3=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A-3I_3)$. Vérifier que $\dim F_{\lambda }=m_{\lambda }$ pour $\lambda \in \{2,3\}$ et que ${\mathbb{R}}^3=F_2\oplus F_3$.

3. Construire une base adaptée à cette décomposition dans laquelle la matrice de $A$ est diagonale par blocs, le bloc associé à $F_2$ étant de la forme $2I_2+N$ avec $N$ nilpotente.

4. En déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n⩾1$, et contrôler le résultat pour $n=2$.

Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$ et soit $u\in \mathcal{L}(E)$.

1. Montrer l'équivalence des trois assertions : (i) $u$ est nilpotent ; (ii) $\mathrm{S}\mathrm{p}(u)=\{0\}$ ; (iii) ${\chi }_u=X^n$.

2. En déduire que si $u$ est nilpotent, alors $u^n=0$ : l'indice de nilpotence est au plus $n$.

3. Montrer qu'un endomorphisme nilpotent non nul n'est jamais diagonalisable.

4. On suppose $u$ nilpotent. Montrer que ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E+u$ est bijectif et exprimer son inverse comme un polynôme en $u$.

5. Application. Soit $N=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -3& -3& 3\\ -2& -2& 2\end{array}\right)$. Calculer $N^2$, en déduire l'indice de nilpotence de $N$, son polynôme caractéristique, et l'inverse de $I_3+N$.

Soit $n⩾2$. On note $J=(j_{p,q})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ la matrice de la permutation circulaire, définie par $j_{p,q}=1$ si $q\equiv p+1[n]$ et $j_{p,q}=0$ sinon :

$$J=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& \cdots & 0\\ \mathrm{⋮}& \ddots & \ddots & \mathrm{⋮}\\ 0& \cdots & 0& 1\\ 1& 0& \cdots & 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Pour $P=a_0+a_{1}X+\cdots +a_{n-1}{X}^{n-1}\in \mathbb{C}[X]$, on appelle matrice circulante associée à $P$ la matrice $C=P(J)$. On pose $\omega ={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi \mathrm{/}n}$.

1. Montrer que $J^n=I_n$. En déduire que $J$ est diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ et que $\mathrm{S}\mathrm{p}(J)$ est inclus dans l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité.

2. Pour $k\in \{0,\dots ,n-1\}$, montrer que $V_k={}^t(1{\omega }^k{\omega }^{2k}\cdots {\omega }^{(n-1)k})$ est un vecteur propre de $J$ associé à ${\omega }^k$. Conclure sur $\mathrm{S}\mathrm{p}(J)$.

3. En déduire que toute matrice circulante est diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, de valeurs propres les $P({\omega }^k)$, et que $\det C={\prod }_{k=0}^{n-1}P({\omega }^k)$.

4. Application avec $n=3$ et $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$ : donner les trois valeurs propres de $C$ et son déterminant, puis contrôler ce dernier par un calcul direct.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$, et soient $u,v\in \mathcal{L}(E)$ deux endomorphismes diagonalisables qui commutent : $u\circ v=v\circ u$.

1. Montrer que tout sous-espace propre de $u$ est stable par $v$.

2. Montrer que l'endomorphisme induit par $v$ sur chaque sous-espace propre de $u$ est diagonalisable.

3. En déduire l'existence d'une base de $E$ formée de vecteurs propres communs à $u$ et à $v$. Traduire matriciellement : si $A$ et $B$ sont diagonalisables et commutent, il existe $P$ inversible telle que $P^{-1}AP$ et $P^{-1}BP$ soient toutes deux diagonales.

4. Établir la réciproque : deux matrices simultanément diagonalisables commutent.

5. Application. Soient $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$. Vérifier qu'elles commutent, puis exhiber une base commune de vecteurs propres.

Soit $n⩾1$ et soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ vérifiant

$$\mathrm{t}\mathrm{r}\left(A^k\right)=0\text{pour tout }k\in \{1,\dots ,n\}\mathrm{.}$$

1. Justifier que $A$ est trigonalisable et que, pour tout $k⩾1$, $\mathrm{t}\mathrm{r}(A^k)$ est la somme des puissances $k$-ièmes des valeurs propres de $A$ comptées avec leur multiplicité.

2. On suppose $A$ non nilpotente. On note ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ ses valeurs propres non nulles, deux à deux distinctes, de multiplicités respectives $m_1,\dots ,m_r$. Justifier que $r⩾1$, $r⩽n$, et écrire le système vérifié par $(m_1,\dots ,m_r)$ pour $k\in \{1,\dots ,r\}$.

3. Montrer que la matrice de ce système est inversible et en déduire une contradiction.

4. Conclure.

5. Application. Soient $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ telles que $AB-BA=A$. Montrer que $A^{k}B-B{A}^k=k{A}^k$ pour tout $k⩾1$, puis que $A$ est nilpotente.

Pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, on note $\mathcal{C}(A)=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K});AM=MA\}$ son commutant, et $\mathbb{K}[A]=\{P(A);P\in \mathbb{K}[X]\}$.

1. Montrer que $\mathcal{C}(A)$ est une sous-algèbre de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et que $\mathbb{K}[A]\subset \mathcal{C}(A)$.

2. Montrer que $\dim \mathbb{K}[A]=\mathrm{deg}{\mu }_A$.

3. On suppose que $A$ admet un vecteur cyclique, c'est-à-dire qu'il existe $x\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$ tel que $(x,Ax,\dots ,A^{n-1}x)$ soit une base de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$. Montrer que $\mathcal{C}(A)=\mathbb{K}[A]$, puis que $\dim \mathcal{C}(A)=n$.

4. Montrer sur l'exemple $A=I_n$ que le commutant peut être strictement plus gros que $\mathbb{K}[A]$, et calculer $\dim \mathcal{C}(A)$ dans ce cas.

5. Déterminer explicitement $\mathcal{C}(A)$ et sa dimension pour $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$ et soit $u\in \mathcal{L}(E)$ tel que $u^2=0$.

1. Montrer que $\mathrm{I}\mathrm{m}u\subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et en déduire que $\mathrm{r}\mathrm{g}u⩽{\displaystyle \frac{n}{2}}$.

2. Réciproquement, montrer que pour tout entier $r$ vérifiant $0⩽r⩽{\displaystyle \frac{n}{2}}$, il existe un endomorphisme de $E$ de carré nul et de rang $r$.

3. On pose $r=\mathrm{r}\mathrm{g}u$. Construire une base $\mathcal{B}$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est

$$J_r=\left(\begin{array}{ccc}{0}_r& I_r& 0\\ 0_r& 0_r& 0\\ 0& 0& 0_{n-2r}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

4. En déduire que deux endomorphismes de carré nul sont semblables si et seulement s'ils ont même rang.

5. Application. Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& -1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$. Vérifier que $A^2=0_3$, donner son rang, une base adaptée et la matrice réduite associée.