Devoir surveillé — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Consignes valables pour tout le sujet. Calculatrice interdite. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; l'exercice 5 est un problème en trois parties, dont les parties B et C utilisent le résultat de la partie A. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point, et un résultat admis peut servir dans la suite à condition d'être signalé.

Dans cet exercice, $n$ désigne un entier supérieur ou égal à $1$ et $\mathbb{K}$ vaut $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Chacune des cinq affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? On attend une démonstration complète, ou un contre-exemple explicite entièrement vérifié.

1. (0,75 pt) Si $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ vérifie $A^5=A^2$, alors $A$ est diagonalisable.

2. (0,5 pt) Tout endomorphisme d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie impaire admet au moins une valeur propre.

3. (0,75 pt) Deux matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ qui ont le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal sont semblables.

4. (0,5 pt) Si $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est nilpotente et si $B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ commute avec $A$, alors $AB$ est nilpotente.

5. (0,5 pt) Si $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ et si $\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}(A)$, alors $\lambda \mathrm{\ne }0$, ${\lambda }^{-1}\in \mathrm{S}\mathrm{p}\left(A^{-1}\right)$ et $E_{\lambda }(A)=E_{{\lambda }^{-1}}\left(A^{-1}\right)$.

Soient $p⩾1$ un entier et $A,B\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$. On pose

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2p}(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

Pour toute colonne $X\in {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})$, on note

$$\phi (X)=\left(\begin{array}{c}X\\ X\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2p,1}(\mathbb{R}),\psi (X)=\left(\begin{array}{c}X\\ -X\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2p,1}(\mathbb{R}),$$

et l'on pose $F=\mathrm{I}\mathrm{m}\phi$ et $G=\mathrm{I}\mathrm{m}\psi$.

1. (0,5 pt) Vérifier que $\phi$ et $\psi$ sont linéaires et injectives, puis démontrer que ${\mathcal{M}}_{2p,1}(\mathbb{R})=F\oplus G$.

2. (0,75 pt) Démontrer que, pour toute colonne $X\in {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})$,

$$M\phi (X)=\phi ((A+B)X)\text{et}M\psi (X)=\psi ((A-B)X)\mathrm{.}$$

En déduire que $F$ et $G$ sont stables par $M$.

3. (0,75 pt) En déduire que $M$ est semblable à la matrice diagonale par blocs de blocs diagonaux $A+B$ et $A-B$, puis que ${\chi }_M={\chi }_{A+B}{\chi }_{A-B}$ et que $M$ est diagonalisable si et seulement si $A+B$ et $A-B$ le sont toutes les deux.

4. (0,75 pt) Application. On prend $p=2$,

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 2& -3\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Écrire $M$, calculer ${\chi }_{A+B}$ et ${\chi }_{A-B}$, puis en déduire ${\chi }_M$ et $\mathrm{S}\mathrm{p}(M)$.

5. (0,75 pt) Cette matrice $M$ est-elle diagonalisable ? Donner la dimension de chacun de ses sous-espaces propres et, pour chaque valeur propre, un vecteur propre explicite.

Dans tout l'exercice, $n$ est un entier supérieur ou égal à $1$ et les matrices sont à coefficients complexes. On rappelle que $A$ et $B$ sont dites semblables lorsqu'il existe $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})$ telle que $B=P^{-1}AP$.

1. (0,5 pt) Soient $A$ et $B$ deux matrices semblables de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Démontrer que ${\chi }_A={\chi }_B$, que $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)=\mathrm{S}\mathrm{p}(B)$ et que $\mathrm{r}\mathrm{g}A=\mathrm{r}\mathrm{g}B$.

2. (0,75 pt) Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ semblable à $2A$. Démontrer que $A$ est semblable à $2^{k}A$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.

3. (0,75 pt) En déduire que $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)=\{0\}$, puis que $A$ est nilpotente. On pourra invoquer le théorème de Cayley-Hamilton, ou trigonaliser $A$.

4. (0,75 pt) Réciproque en dimension $2$. Soit $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ nilpotente. Démontrer que $A$ est semblable à $2A$.

5. (0,75 pt) Démontrer qu'aucune matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ n'est semblable à $A+I_n$. On en donnera deux démonstrations : l'une par la trace, l'autre par le spectre.

Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$ et soit $u\in \mathcal{L}(E)$ vérifiant

$$u^4=u^2\mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Démontrer que

$$E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{u}^2\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(u-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(u+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E),$$

et que ces trois sous-espaces sont stables par $u$. On précisera le polynôme annulateur utilisé et on justifiera l'hypothèse du théorème invoqué.

2. (0,5 pt) Démontrer que $u^2$ est un projecteur, puis identifier son noyau et son image à l'aide de la décomposition de la question 1.

3. (0,75 pt) On note $N=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{u}^2$ et $v$ l'endomorphisme induit par $u$ sur $N$. Démontrer que $v^2=0$, préciser les endomorphismes induits par $u$ sur les deux autres sous-espaces, et décrire la matrice de $u$ dans une base adaptée à la décomposition de la question 1.

4. (0,75 pt) Démontrer les équivalences

$$u\text{ est diagonalisable}⟺\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{u}^2⟺\mathrm{r}\mathrm{g}u=\mathrm{r}\mathrm{g}{u}^2\mathrm{.}$$

5. (1,25 pt) Application. On pose

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

Vérifier que $A^4=A^2$, déterminer les trois sous-espaces de la question 1., dire si $A$ est diagonalisable, puis donner ${\chi }_A$, une matrice réduite semblable à $A$ et la matrice de passage correspondante.

Ce problème construit un outil qui renseigne sur le spectre d'une matrice sans calculer son polynôme caractéristique : on enferme le spectre dans une réunion de disques lus directement sur les coefficients. La partie A établit l'outil, la partie B en tire trois conséquences, la partie C l'applique à une matrice explicite puis l'affine par une similitude bien choisie. Les parties B et C utilisent le résultat de la partie A.

Soit $n⩾2$ et soit $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Pour $i\in \{1,\dots ,n\}$, on pose

$$r_i(A)=\sum _{j\mathrm{\ne }i}\mid a_{i,j}\mid ,D_i(A)=\{z\in \mathbb{C};\mid z-a_{i,i}\mid ⩽r_i(A)\},$$

de sorte que $D_i(A)$ est le disque fermé de centre le $i$-ième coefficient diagonal et de rayon la somme des modules des autres coefficients de la $i$-ième ligne.

Partie A — Le spectre est enfermé dans les disques

A.1. (0,5 pt) Soit $\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}(A)$ et soit $X={}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& \cdots & x_n\end{array}\right)$ un vecteur propre associé. Justifier qu'il existe un indice $i$ tel que $\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }={\max }_{1⩽j⩽n}\mathrm{\mid }{x}_j\mathrm{\mid }$, et que ce maximum est strictement positif.

A.2. (0,75 pt) Écrire la $i$-ième ligne de l'égalité $AX=\lambda X$, et en déduire $\mathrm{\mid }\lambda -a_{i,i}\mathrm{\mid }⩽r_i(A)$.

A.3. (0,25 pt) Conclure que $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\subset {\bigcup }_{i=1}^n{D}_i(A)$.

A.4. (0,5 pt) Démontrer que $\mathrm{S}\mathrm{p}({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A)=\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$, et en déduire une seconde localisation du spectre, par des disques lus cette fois sur les colonnes de $A$.

Partie B — Les matrices à diagonale strictement dominante

On dit que $A$ est à diagonale strictement dominante lorsque $\mathrm{\mid }{a}_{i,i}\mathrm{\mid }>r_i(A)$ pour tout $i\in \{1,\dots ,n\}$.

B.1. (0,5 pt) Démontrer qu'une matrice à diagonale strictement dominante est inversible.

B.2. (0,5 pt) Démontrer que toute valeur propre $\lambda$ d'une matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ quelconque vérifie

$$\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }⩽\underset{1⩽i⩽n}{\max }\sum _{j=1}^n\mid a_{i,j}\mid \mathrm{.}$$

B.3. (0,5 pt) On suppose désormais $A$ à diagonale strictement dominante et tous ses coefficients diagonaux réels strictement positifs. Démontrer que toute valeur propre $\lambda$ de $A$ vérifie $\mathrm{R}\mathrm{e}(\lambda )>0$.

B.4. (0,5 pt) On suppose de plus $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Démontrer que $\det A>0$.

Partie C — Mise en œuvre et raffinement par similitude

On pose désormais

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 0\\ 3& 8& 1\\ 0& 2& 5\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

C.1. (0,5 pt) Écrire les trois disques-lignes de $A$, en déduire une localisation de $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$ et un majorant de $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }$ pour $\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}(A)$. Expliquer pourquoi cette localisation ne permet pas de conclure que $A$ est inversible.

C.2. (0,5 pt) Reprendre la question précédente avec les disques-colonnes de la question A.4., puis donner la localisation obtenue en croisant les deux, en exhibant un complexe éliminé par ce croisement.

C.3. (0,75 pt) Soit $\mathrm{\Delta }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(2,1,1)$. Calculer $B={\mathrm{\Delta }}^{-1}A\mathrm{\Delta }$ et vérifier que $B$ est à diagonale strictement dominante. En déduire que $A$ est inversible, que toutes ses valeurs propres sont de partie réelle strictement positive, et que $\det A>0$. Contrôler cette dernière conclusion par le calcul direct de $\det A$.

C.4. (0,25 pt) Démontrer sur un exemple de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ que, dans la définition de la partie B, l'inégalité stricte ne peut pas être remplacée par une inégalité large.