Exercices — Fonctions vectorielles

Dans tout l'exercice, $E$ désigne un espace vectoriel normé de dimension finie et $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$.

1. Justifier que chacune des fonctions suivantes est dérivable sur $\mathbb{R}$, et calculer sa dérivée. On précisera à chaque fois dans quel espace la fonction prend ses valeurs et quelle base on utilise.

2. On a calculé ces dérivées « coordonnée par coordonnée ». Il ne s'agit pas d'un abus de notation, mais de l'application d'un théorème.

a. Énoncer précisément ce théorème.

b. Le démontrer.

3. Soit $E$ un espace vectoriel normé réel de dimension $2$ et $(e_1,e_2)$ une base quelconque de $E$. On pose, pour $t\in \mathbb{R}$,

$$f(t)=(1+t)e_1+t^2{e}_2$$

a. Montrer que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $f^{\mathrm{\prime }}(t)$, $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$, puis $f^{(k)}(t)$ pour $k⩾3$.

b. On pose ${\epsilon }_1=e_1+e_2$ et ${\epsilon }_2=e_1-e_2$. Vérifier que $({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)$ est une base de $E$, exprimer $f(t)$ dans cette base, dériver, et constater que l'on retrouve le même vecteur $f^{\mathrm{\prime }}(t)$.

On rappelle la caractérisation de la dérivabilité en un point par le développement limité d'ordre $1$ : pour $f:I\to E$ et $a\in I$, la fonction $f$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe un vecteur $B\in E$ tel que

$$f(a+h)=f(a)+hB+o(h)(h\to 0)$$

et dans ce cas $B=f^{\mathrm{\prime }}(a)$. Cet exercice fait fonctionner cette caractérisation dans les deux sens.

1. Dans chacun des cas suivants, on suppose donné le développement limité indiqué au voisinage de $h=0$. En déduire la valeur de la fonction et de sa dérivée au point considéré.

Justifier au préalable que la lecture est légitime, c'est-à-dire que ces égalités déterminent bien $f(2)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(2)$, etc.

2. Soit $f$ définie sur $]-\frac{1}{2},+\mathrm{\infty }[$ par $f(t)=(\sqrt{1+t},\ln (1+2t),\cos t)\in {\mathbb{R}}^3$. Montrer que $f$ est dérivable en $0$ en produisant son développement limité d'ordre $1$, et donner $f^{\mathrm{\prime }}(0)$. Contrôler le résultat en dérivant coordonnée par coordonnée.

3. Un point mobile du plan a pour position à l'instant $t$

$$M(t)=(t-\sin t,1-\cos t)\in {\mathbb{R}}^2$$

le plan étant muni de sa structure euclidienne canonique.

a. Déterminer le vecteur vitesse $v(t)=M^{\mathrm{\prime }}(t)$, puis la vitesse scalaire $\mathrm{\parallel }v(t)\mathrm{\parallel }$ sous forme simplifiée.

b. Donner la position, le vecteur vitesse et la vitesse scalaire à l'instant $t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

c. À quels instants le mobile est-il à l'arrêt ?

d. Utiliser le développement limité d'ordre $1$ en ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ pour donner une valeur approchée de la position à l'instant ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\mathrm{0,01}$, et comparer à la valeur exacte.

4. Soit $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ dont on sait que

$$f(1+h)=(3,-2)+h(1,4)+h^2(5,0)+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(h^2\right)$$

a. Déterminer $f(1)$, $f^{\mathrm{\prime }}(1)$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)$.

b. Donner une représentation paramétrique, puis une équation cartésienne, de la tangente à la courbe au point de paramètre $1$, c'est-à-dire de la droite affine $t\mapsto f(1)+(t-1)f^{\mathrm{\prime }}(1)$.

Soit $E$ un espace euclidien, de produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de norme associée $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }=\sqrt{⟨x,x⟩}$. Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f,g:I\to E$ deux fonctions dérivables sur $I$.

1. Montrer que la fonction $\phi :t\mapsto ⟨f(t),g(t)⟩$ est dérivable sur $I$ et que

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)=⟨f^{\mathrm{\prime }}(t),g(t)⟩+⟨f(t),g^{\mathrm{\prime }}(t)⟩$$

On donnera deux justifications : une démonstration directe par le taux d'accroissement, puis l'application du théorème du cours sur les applications bilinéaires.

2. En déduire la dérivée de $N:t\mapsto \mathrm{\parallel }f(t){\mathrm{\parallel }}^2$.

3. On suppose de plus que $f$ ne s'annule pas sur $I$. Montrer que $n:t\mapsto \mathrm{\parallel }f(t)\mathrm{\parallel }$ est dérivable sur $I$ et que

$$n^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{⟨f^{\mathrm{\prime }}(t),f(t)⟩}{\mathrm{\parallel }f(t)\mathrm{\parallel }}$$

a. Où l'hypothèse « $f$ ne s'annule pas » intervient-elle ? Donner un exemple de fonction $f$ dérivable pour laquelle $t\mapsto \mathrm{\parallel }f(t)\mathrm{\parallel }$ n'est pas dérivable.

b. En déduire que $\mid n^{\mathrm{\prime }}(t)\mid ⩽\parallel f^{\mathrm{\prime }}(t)\parallel$ pour tout $t\in I$.

4. Application numérique. On prend $E={\mathbb{R}}^3$ muni de son produit scalaire canonique et $f(t)=(\cos t,\sin t,t)$ pour $t\in \mathbb{R}$. Calculer $\mathrm{\parallel }f(t)\mathrm{\parallel }$, puis la dérivée de $t\mapsto \mathrm{\parallel }f(t)\mathrm{\parallel }$ de deux façons différentes, et vérifier que les deux résultats coïncident. Contrôler enfin l'inégalité de la question 3.b.

5. Montrer que $\mathrm{\parallel }f\mathrm{\parallel }$ est constante sur $I$ si et seulement si $⟨f^{\mathrm{\prime }}(t),f(t)⟩=0$ pour tout $t\in I$. Interpréter cinématiquement.

On considère les deux fonctions $A,B:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ définies par

$$A(t)=\left(\begin{array}{cc}t& 1\\ 0& t^2\end{array}\right)\text{et}B(t)=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ t& 1\end{array}\right)$$

1. Justifier que $A$ et $B$ sont de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $A^{\mathrm{\prime }}(t)$ et $B^{\mathrm{\prime }}(t)$.

2. Calculer $(AB{)}^{\mathrm{\prime }}(t)$ de deux façons :

a. en développant d'abord le produit $A(t)B(t)$, puis en dérivant coefficient par coefficient ;

b. en appliquant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions matricielles. On énoncera cette formule et on précisera le théorème qui la justifie.

Vérifier que les deux résultats coïncident.

3. On s'intéresse maintenant à $A^2:t\mapsto A(t{)}^2$.

a. Écrire la formule donnant ${\left(A^2\right)}^{\mathrm{\prime }}$ en fonction de $A$ et $A^{\mathrm{\prime }}$.

b. Calculer ${\left(A^2\right)}^{\mathrm{\prime }}(t)$ puis $2A(t)A^{\mathrm{\prime }}(t)$ pour la matrice $A$ de l'énoncé, et constater que ces deux matrices sont différentes. Pour quelle unique valeur de $t$ y a-t-il égalité ?

c. Expliquer l'origine du phénomène en calculant $A(t)A^{\mathrm{\prime }}(t)-A^{\mathrm{\prime }}(t)A(t)$.

4. Établir la formule donnant ${\left(A^3\right)}^{\mathrm{\prime }}$, puis la vérifier sur la matrice $A$ de l'énoncé en calculant ${\left(A^3\right)}^{\mathrm{\prime }}(t)$ des deux manières.

5. On pose $C(t)=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right)$. Montrer que, cette fois, ${\left(C^2\right)}^{\mathrm{\prime }}=2C{C}^{\mathrm{\prime }}$, et dire à quelle condition générale ce phénomène se produit.

1. Calculer les intégrales suivantes. On précisera à chaque fois l'espace d'arrivée et la base utilisée.

2. Soit $f:[0,2]\to {\mathbb{R}}^2$ définie par

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}(t,1)& \text{si }t\in [0,1]\\ (1,t^2)& \text{si }t\in ]1,2]\end{array}$$

a. Montrer que $f$ est continue sur $[0,2]$.

b. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{2}f(t)\mathrm{d}t}$.

3. On rappelle que si $L$ est une application linéaire de $E$ dans $F$ ($E$ et $F$ de dimension finie) et si $f:[a,b]\to E$ est continue par morceaux, alors

$$L\text{\hspace{0.17em}⁣}({\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t)={\int }_a^{b}L\text{\hspace{0.17em}⁣}(f(t))\mathrm{d}t$$

a. On pose $M(t)=\left(\begin{array}{cc}{t}^2& {\mathrm{e}}^t\\ 1& \cos t\end{array}\right)$. Calculer $\mathrm{t}\mathrm{r}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle {\int }_0^{1}M(t)\mathrm{d}t}\right)$ de deux façons.

b. Le déterminant, lui, n'est pas linéaire. Le vérifier en calculant $\det \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle {\int }_0^{1}P(t)\mathrm{d}t}\right)$ et ${\displaystyle {\int }_0^1\det \text{\hspace{0.17em}⁣}(P(t))\mathrm{d}t}$ pour $P(t)=\left(\begin{array}{cc}t& 0\\ 0& 1-t\end{array}\right)$.

1. Déterminer, dans chacun des cas suivants, l'unique fonction vérifiant à la fois l'équation et la condition initiale donnée.

a. $F:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$ telle que $F^{\mathrm{\prime }}(t)=(\cos t,{\mathrm{e}}^{2t},3t^2)$ et $F(0)=(1,0,-1)$.

b. $M:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que $M^{\mathrm{\prime }}(t)=\left(\begin{array}{cc}2t& \sin t\\ 0& {\mathrm{e}}^{-t}\end{array}\right)$ et $M(0)=I_2$.

c. $z:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ telle que $z^{\mathrm{\prime }}(t)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}$ et $z(0)=0$.

2. Soit $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $f(t)=(t{\mathrm{e}}^t,{\displaystyle \frac{1}{1+t^2}})$, et $F(x)={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t}$.

a. Justifier que $F$ est bien définie sur $\mathbb{R}$, puis calculer $F(x)$ explicitement.

b. Vérifier par le calcul que $F^{\mathrm{\prime }}=f$ et que $F(0)=0_{{\mathbb{R}}^2}$. Quelle est la classe de $F$ ?

3. On suppose maintenant que $f$ est seulement continue par morceaux sur un segment $[a,b]$, et l'on pose toujours $F(x)={\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}$.

a. Montrer que $F$ est lipschitzienne sur $[a,b]$, donc continue.

b. Soit $g:[-1,1]\to {\mathbb{R}}^2$ la fonction en escalier définie par

$$g(t)=\{\begin{array}{ll}(1,0)& \text{si }t\in [-1,0[\\ (0,1)& \text{si }t\in [0,1]\end{array}$$

Calculer explicitement $G(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^{x}g(t)\mathrm{d}t}$ pour tout $x\in [-1,1]$.

c. En quels points $G$ est-elle dérivable, et que vaut alors $G^{\mathrm{\prime }}$ ? Conclure sur la régularité de $x\mapsto {\int }_a^{x}f$ lorsque $f$ est continue par morceaux.

On rappelle l'inégalité triangulaire pour les intégrales : si $f:[a,b]\to E$ est continue par morceaux, avec $a⩽b$ et $E$ de dimension finie muni d'une norme $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$, alors $t\mapsto \mathrm{\parallel }f(t)\mathrm{\parallel }$ est continue par morceaux sur $[a,b]$ et

$$\parallel {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t\parallel ⩽{\int }_a^b\mathrm{\parallel }f(t)\mathrm{\parallel }\mathrm{d}t$$

On considère les trois situations suivantes. À chaque fois, la norme utilisée est indiquée : ce n'est pas la même dans les trois cas, et le membre de droite en dépend.

1. Dans chacun des trois cas, calculer le majorant ${\displaystyle {\int }_a^b\mathrm{\parallel }f(t)\mathrm{\parallel }\mathrm{d}t}$ fourni par l'inégalité.

2. Dans chacun des trois cas, calculer la valeur exacte de $\parallel {\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t}\parallel$ et comparer au majorant obtenu à la question 1. Que constate-t-on ? Comment l'expliquer ?

3. Un cas d'égalité. Soit $u\in E$ un vecteur fixé et $\phi :[a,b]\to {\mathbb{R}}_{+}$ une fonction continue positive. On pose $f(t)=\phi (t)u$.

a. Montrer que l'inégalité est alors une égalité.

b. Illustrer avec $E={\mathbb{R}}^2$ euclidien, $u=(3,-4)$, $\phi (t)=t$ et $[a,b]=[0,1]$.

c. Montrer que l'hypothèse $\phi ⩾0$ est indispensable, en considérant $\phi (t)=t$ sur $[-1,1]$.

4. La réciproque de la question 3.a est-elle vraie ? On étudiera $f(t)=(t,1-t)$ sur $[0,1]$ dans ${\mathbb{R}}^2$ muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$.

On rappelle l'inégalité des accroissements finis : si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$ à valeurs dans un espace vectoriel normé $E$ de dimension finie, et s'il existe $M⩾0$ tel que $\parallel f^{\mathrm{\prime }}(t)\parallel ⩽M$ pour tout $t\in [a,b]$, alors

$$\parallel f(b)-f(a)\parallel ⩽M(b-a)$$

1. Soit $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $f(t)=({\mathrm{e}}^{-t},\sin t)$, l'espace ${\mathbb{R}}^2$ étant muni de la norme euclidienne.

a. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et majorer $\parallel f^{\mathrm{\prime }}(t)\parallel$ sur $[0,1]$.

b. En déduire une majoration de $\parallel f(1)-f(0)\parallel$, puis comparer à la valeur exacte.

2. Soit $g:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$ définie par $g(t)=(t^2,\cos t,{\mathrm{e}}^{-t})$, l'espace ${\mathbb{R}}^3$ étant muni de la norme euclidienne. Montrer que $g$ est lipschitzienne sur $[0,2]$ et en donner un rapport de Lipschitz explicite.

3. Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to E$ de classe ${\mathcal{C}}^1$.

a. Montrer que si $f^{\mathrm{\prime }}=0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

b. Montrer, sur un exemple à valeurs dans ${\mathbb{R}}^2$, que la conclusion tombe en défaut si l'on remplace $I$ par ${\mathbb{R}}^{\ast }=]-\mathrm{\infty },0[\cup ]0,+\mathrm{\infty }[$. Où exactement la démonstration de la question 3.a échoue-t-elle ?

On rappelle que, pour $f:I\to E$ et $a$ intérieur à $I$, les dérivées à droite et à gauche de $f$ en $a$ sont, lorsqu'elles existent,

$$f_d^{\mathrm{\prime }}(a)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{et}{f}_g^{\mathrm{\prime }}(a)=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

et que $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si ces deux limites existent et sont égales.

1. Soit $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ définie par

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}(t^2,t)& \text{si }t⩾0\\ (t,2t)& \text{si }t<0\end{array}$$

a. Montrer que $f$ est continue en $0$.

b. Calculer $f_d^{\mathrm{\prime }}(0)$ et $f_g^{\mathrm{\prime }}(0)$. La fonction $f$ est-elle dérivable en $0$ ?

2. Soit $g:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ définie par

$$g(t)=\{\begin{array}{ll}(\sin t,t^2)& \text{si }t⩾0\\ (t,-t^2)& \text{si }t<0\end{array}$$

a. Montrer que $g$ est dérivable en $0$ et donner $g^{\mathrm{\prime }}(0)$.

b. La fonction $g$ est-elle de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ ?

c. Soit $h:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $h(0)=(0,0)$ et $h(t)=(t^2\sin {\displaystyle \frac{1}{t}},t)$ pour $t\mathrm{\ne }0$. Montrer que $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ mais qu'elle n'est pas de classe ${\mathcal{C}}^1$.

3. Soit $k:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $k(t)=(t^2,\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid })$, l'espace ${\mathbb{R}}^2$ étant muni de la norme euclidienne.

a. Montrer que $k$ admet en $0$ une dérivée à droite et une dérivée à gauche, mais qu'elle n'est pas dérivable en $0$. Retrouver ce résultat par le théorème de traduction par les coordonnées.

b. La fonction $t\mapsto \mathrm{\parallel }k(t)\mathrm{\parallel }$ est-elle dérivable en $0$ ?

c. On pose maintenant $m(t)=(\cos t,\sin \mathrm{\mid }t\mathrm{\mid })$. Montrer que $m$ n'est pas dérivable en $0$, alors que $t\mapsto \mathrm{\parallel }m(t)\mathrm{\parallel }$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}$.

d. Que peut-on finalement dire du lien entre la dérivabilité de $f$ et celle de $\mathrm{\parallel }f\mathrm{\parallel }$ ?

Soient $a$, $b$, $c$, $p$, $q$ cinq nombres réels. On considère la fonction $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ définie par

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}({\mathrm{e}}^t,\cos t)& \text{si }t⩽0,\\ (a+bt+c{t}^2,p+qt+t^3)& \text{si }t>0.\end{array}$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, puis déterminer pour quelles valeurs des paramètres $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

2. Déterminer pour quelles valeurs des paramètres $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$.

3. Montrer qu'aucun choix des paramètres ne rend $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$. Quelle modification de la seconde coordonnée permettrait d'y remédier ?

4. Soit $g:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $g(0)=(0,0)$ et, pour $t\mathrm{\ne }0$,

$$g(t)=(t^2\sin \left(\frac{1}{t}\right),t^2)$$

Montrer que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier, mais qu'elle n'est pas de classe ${\mathcal{C}}^1$.

Soient $E$, $F$, $G$ trois espaces vectoriels normés de dimension finie sur $\mathbb{K}$, $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $B:E\times F\to G$ une application bilinéaire (non supposée symétrique). On rappelle le résultat du cours : si $f:I\to E$ et $g:I\to F$ sont dérivables, alors $t\mapsto B(f(t),g(t))$ est dérivable sur $I$ et

$${(B(f,g))}^{\mathrm{\prime }}=B(f^{\mathrm{\prime }},g)+B(f,g^{\mathrm{\prime }})$$

1. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, si $f\in {\mathcal{C}}^n(I,E)$ et $g\in {\mathcal{C}}^n(I,F)$, alors $B(f,g)\in {\mathcal{C}}^n(I,G)$ et

$${(B(f,g))}^{(n)}=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)B(f^{(k)},g^{(n-k)})$$

2. Expliquer pourquoi, contrairement à la formule de Leibniz usuelle pour un produit de fonctions réelles, on ne peut pas échanger les deux arguments de $B$ dans cette somme.

3. On pose, pour $t\in \mathbb{R}$,

$$A(t)=\left(\begin{array}{cc}{t}^2& 1\\ 0& t\end{array}\right),C(t)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^t& 0\\ 0& {\mathrm{e}}^{-t}\end{array}\right)$$

Calculer ${\left(AC\right)}^{(n)}(t)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis vérifier le résultat par un calcul direct. Les fonctions $AC$ et $CA$ ont-elles la même dérivée $n$-ième ?

4. Soient $f(t)=(\cos t,\sin t)$ et $g(t)=(t,1)$ dans ${\mathbb{R}}^2$ muni de son produit scalaire canonique. Calculer ${\phi }^{(n)}(t)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, où $\phi (t)=⟨f(t),g(t)⟩$, puis vérifier le résultat pour $n=1$ et $n=2$.

Soit $E$ un espace euclidien, de produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de norme associée $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }=\sqrt{⟨x,x⟩}$. Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to E$ une fonction dérivable.

1. Montrer que la fonction $t\mapsto \mathrm{\parallel }f(t)\mathrm{\parallel }$ est constante sur $I$ si et seulement si

$$\mathrm{\forall }t\in I,⟨f(t),f^{\mathrm{\prime }}(t)⟩=0$$

Donner l'interprétation cinématique de ce résultat.

2. Vérifier ce résultat sur la fonction $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$, $f(t)=(\cos t,\sin t)$.

3. Soit $A:I\to {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ telle que $A(t{)}^{\mathsf{T}}A(t)=I_n$ pour tout $t\in I$, avec $0\in I$. Montrer que la matrice $S=A(0{)}^{\mathsf{T}}{A}^{\mathrm{\prime }}(0)$ est antisymétrique, puis illustrer sur l'exemple des matrices de rotation.

4. L'équivalence de la question 1 subsiste-t-elle si la norme de $E$ n'est pas euclidienne ? On étudiera ${\mathbb{R}}^2$ muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ et de la fonction $h(t)=(1,t)$ pour $t\in [0,1]$.

On munit ${\mathbb{R}}^2$ de sa norme euclidienne canonique et on considère

$$f:[0,2\pi ]\to {\mathbb{R}}^2,f(t)=(\cos t,\sin t)$$

1. Montrer que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, que $f(0)=f(2\pi )$, et calculer $\mathrm{\parallel }{f}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\parallel }$ pour tout $t$. Qu'en conclure sur le théorème de Rolle pour les fonctions à valeurs vectorielles ?

2. Montrer que l'égalité des accroissements finis est fausse elle aussi : il n'existe pas de réel $c\in ]0,2\pi [$ tel que $f(2\pi )-f(0)=2\pi f^{\mathrm{\prime }}(c)$. Établir le même échec sur le segment $[0,\pi ]$, où pourtant $f(\pi )-f(0)\mathrm{\ne }0$.

3. Reprendre la démonstration du théorème de Rolle vue en première année et identifier précisément l'étape qui s'effondre lorsque la fonction est à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension $⩾2$.

4. Vérifier en revanche que l'inégalité des accroissements finis est bien satisfaite sur cet exemple, sur $[0,2\pi ]$ puis sur $[0,\pi ]$.

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie.

1. Soit $f\in {\mathcal{C}}^1(I,E)$ telle que $f^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ pour tout $t\in I$. Démontrer, à l'aide de l'inégalité des accroissements finis, que $f$ est constante sur $I$.

2. Soit maintenant $f:I\to E$ seulement dérivable, de dérivée nulle sur $I$. Montrer que $f$ est encore constante, en travaillant coordonnée par coordonnée.

3. Montrer sur un exemple que l'hypothèse « $I$ est un intervalle » ne peut pas être supprimée.

4. En déduire les trois énoncés suivants.

a. Si $f,g:I\to E$ sont dérivables et vérifient $f^{\mathrm{\prime }}=g^{\mathrm{\prime }}$ sur $I$, alors $f-g$ est constante.

b. Si $f:I\to E$ est dérivable, de dérivée nulle, et s'il existe $t_0\in I$ et $v\in E$ tels que $f(t_0)=v$, alors $f$ est la fonction constante égale à $v$.

c. Soient $u\in E$ un vecteur fixé, $\lambda :I\to \mathbb{R}$ une fonction continue et $f\in {\mathcal{C}}^1(I,E)$ vérifiant $f^{\mathrm{\prime }}(t)=\lambda (t)u$ pour tout $t\in I$. Montrer que la trajectoire de $f$ est contenue dans une droite affine de $E$, puis expliciter $f$ dans le cas $E={\mathbb{R}}^2$, $I=\mathbb{R}$, $u=(1,3)$, $\lambda (t)={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}$ et $f(0)=(0,0)$.

Soient $E$, $F$, $G$ des espaces vectoriels normés de dimension finie et $[a,b]$ un segment de $\mathbb{R}$.

1. Soient $u\in {\mathcal{C}}^1([a,b],\mathbb{R})$ et $g\in {\mathcal{C}}^1([a,b],E)$. Démontrer la formule d'intégration par parties

$${\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}(t)g(t)\mathrm{d}t={[u(t)g(t)]}_a^b-{\int }_a^{b}u(t)g^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t$$

2. Soient $B:E\times F\to G$ bilinéaire, $f\in {\mathcal{C}}^1([a,b],E)$ et $g\in {\mathcal{C}}^1([a,b],F)$. Démontrer la version bilinéaire

$${\int }_a^{b}B(f^{\mathrm{\prime }}(t),g(t))\mathrm{d}t={\left[B(f(t),g(t))\right]}_a^b-{\int }_a^{b}B(f(t),g^{\mathrm{\prime }}(t))\mathrm{d}t$$

3. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{1}t({\mathrm{e}}^t,\cos t)\mathrm{d}t}$.

4. On pose $M(t)=\left(\begin{array}{cc}t& 1\\ 0& t\end{array}\right)$ et $N(t)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ t& 1\end{array}\right)$. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1{M}^{\mathrm{\prime }}(t)N(t)\mathrm{d}t}$ par intégration par parties, puis vérifier le résultat par un calcul direct. Comparer ${\displaystyle {\int }_0^{1}M(t)N^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t}$ et ${\displaystyle {\int }_0^1{N}^{\mathrm{\prime }}(t)M(t)\mathrm{d}t}$.

5. Énoncer et démontrer la formule de changement de variable pour une fonction vectorielle continue, puis l'appliquer au calcul de ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sin t({\cos }^{2}t,{\mathrm{e}}^{\cos t})\mathrm{d}t}$.

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $A:I\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ : autrement dit, $A$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ à valeurs dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et $A(t)$ est inversible pour tout $t\in I$. On note $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}(M)$ la comatrice de $M$.

1. Démontrer que la fonction $t\mapsto A(t{)}^{-1}$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$. Que dire si $A$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$ ?

2. En dérivant la relation $A(t)A(t{)}^{-1}=I_n$, établir que

$${\left(A^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(t)=-A(t{)}^{-1}{A}^{\mathrm{\prime }}(t)A(t{)}^{-1}$$

3. Expliquer pourquoi l'écriture $-{\displaystyle \frac{A^{\mathrm{\prime }}(t)}{A(t{)}^2}}$ n'a aucun sens, et pourquoi même la formule $-A^{\mathrm{\prime }}(t)A(t{)}^{-2}$ est en général fausse. Sous quelle hypothèse devient-elle correcte ?

4. On pose, pour $t\in \mathbb{R}$,

$$A(t)=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ t& 1+t^2\end{array}\right)$$

Montrer que $A(t)\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R})$ pour tout $t$, calculer $A(t{)}^{-1}$, puis calculer ${\left(A^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(t)$ de deux façons : directement, et par la formule de la question 2. Vérifier enfin numériquement en $t=1$ que la formule naïve de la question 3 conduit à un résultat faux.

On rappelle la formule de Taylor avec reste intégral : si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$ sur un intervalle $I$ à valeurs dans un espace vectoriel normé $E$ de dimension finie, alors pour tous $a,x\in I$,

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{(x-a{)}^k}{k!}{f}^{(k)}(a)+{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t$$

1. Écrire cette formule à l'ordre $n=2$, au point $a=0$, pour la fonction $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $f(t)=({\mathrm{e}}^t,\cos t)$.

2. Calculer explicitement l'intégrale du reste obtenue à la question 1, et vérifier que l'égalité annoncée est bien satisfaite, coordonnée par coordonnée.

3. On pose $M(t)=\left(\begin{array}{cc}1+t& t^2\\ -t& 2\end{array}\right)$.

a. Écrire la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $2$ au point $a=1$ pour $M$, et montrer que le reste est nul. Vérifier l'égalité obtenue par un calcul direct.

b. Écrire la formule à l'ordre $1$ au point $a=1$ et calculer le reste, qui cette fois n'est pas nul.

4. Redémontrer la formule au rang $n=1$, c'est-à-dire

$$f(x)=f(a)+(x-a)f^{\mathrm{\prime }}(a)+{\int }_a^x(x-t)f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t$$

en partant de $f(x)-f(a)={\int }_a^x{f}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t$ et en intégrant par parties avec la primitive $t\mapsto t-x$ de la fonction constante $1$. Pourquoi le choix de la primitive $t\mapsto t$ ne mène-t-il à rien ?

Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. On rappelle l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $n$ : si $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, si $f:I\to E$ est de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur l'intervalle $I$ et si $a,x\in I$, alors, en notant $M_n$ le supremum de $\parallel f^{(n)}\parallel$ sur le segment d'extrémités $a$ et $x$,

$$\parallel f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(x-a{)}^k}{k!}{f}^{(k)}(a)\parallel ⩽\frac{\mathrm{\mid }x-a{\mathrm{\mid }}^n}{n!}{M}_n$$

1. Retrouver cette inégalité à partir de la formule de Taylor avec reste intégral, dans le cas $a⩽x$. Pourquoi la valeur absolue $\mathrm{\mid }x-a{\mathrm{\mid }}^n$ est-elle nécessaire dans l'énoncé général ?

2. On munit ${\mathbb{R}}^2$ de la norme $\mathrm{\parallel }(x,y){\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\max (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })$ et l'on pose $f(t)=({\mathrm{e}}^t,\sin t)$. Soit $P$ le polynôme de Taylor de $f$ à l'ordre $3$ en $0$. Expliciter $P$, puis majorer ${\parallel f(\mathrm{0,1})-P(\mathrm{0,1})\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ par un nombre décimal simple.

3. On munit ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ de la norme $\mathrm{\parallel }M\mathrm{\parallel }={\max }_{1⩽i,j⩽2}\mid m_{ij}\mid$ et l'on pose $R(t)=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right)$. Majorer l'erreur commise en remplaçant $R(\mathrm{0,3})$ par le polynôme de Taylor de $R$ à l'ordre $2$ en $0$.

4. Soit $h(t)=({\mathrm{e}}^t,{\mathrm{e}}^{-t})$, dans ${\mathbb{R}}^2$ muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$, et soit $P_n$ son polynôme de Taylor d'ordre $n$ en $0$. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'inégalité de Taylor-Lagrange garantit

$$\mathrm{\forall }t\in [0,1],{\parallel h(t)-P_n(t)\parallel }_{\mathrm{\infty }}⩽{10}^{-3}$$

5. Existe-t-il, pour une fonction vectorielle, une égalité de Taylor-Lagrange, c'est-à-dire un point intermédiaire $c$ situé entre $a$ et $x$ tel que

$$f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(x-a{)}^k}{k!}{f}^{(k)}(a)+\frac{(x-a{)}^n}{n!}{f}^{(n)}(c)\text{ ?}$$

Dans tout l'exercice, $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé de dimension finie $p⩾1$, muni d'une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_p)$ et d'une norme $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$. Toute fonction $\phi$ à valeurs dans $E$ s'écrit de manière unique $\phi ={\sum }_{i=1}^p{\phi }_i{e}_i$, où les fonctions ${\phi }_i$ sont à valeurs réelles : ce sont les coordonnées de $\phi$ dans $\mathcal{B}$.

Soit $n\in \mathbb{N}$ et soit $\phi$ une fonction définie sur un intervalle $J$ contenant $0$, à valeurs dans $E$. On pose la définition suivante :

1. À propos de cette définition.

a. Montrer qu'elle ne dépend pas de la norme choisie sur $E$.

b. Montrer que $\phi (h)=o\left(h^n\right)$ si et seulement si chacune des coordonnées vérifie ${\phi }_i(h)=o\left(h^n\right)$ au sens réel usuel.

2. Soit $I$ un intervalle, $a\in I$ et $f\in {\mathcal{C}}^n(I,E)$. Démontrer la formule de Taylor-Young vectorielle :

en admettant la formule de Taylor-Young pour les fonctions à valeurs réelles.

3. Écrire le développement limité à l'ordre $3$ en $0$ des deux fonctions suivantes, sous la forme $c_0+h{c}_1+h^2{c}_2+h^3{c}_3+o(h^3)$ où les $c_k$ sont des vecteurs constants.

4. Soit $M:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ définie par

$$M(t)=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right)$$

Écrire le développement limité de $M$ à l'ordre $3$ en $0$, en faisant apparaître les matrices $I_2$ et $J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$. En déduire $M^{\mathrm{\prime }}(0)$, $M^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$ et $M^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$.

5. Levée d'indétermination.

a. Soit $I$ un intervalle contenant $0$ et $f\in {\mathcal{C}}^2(I,E)$. Déterminer

$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t^2}(f(t)-f(0)-t{f}^{\mathrm{\prime }}(0))$$

b. Calculer cette limite pour les fonctions $f$, $g$ et $M$ des questions 3 et 4, et vérifier la cohérence avec les dérivées secondes.

Partie A. Une fonction en escalier à valeurs dans ${\mathbb{R}}^2$

On munit ${\mathbb{R}}^2$ de sa norme euclidienne $\mathrm{\parallel }(x,y)\mathrm{\parallel }=\sqrt{x^2+y^2}$ et on définit $f:[0,3]\to {\mathbb{R}}^2$ par

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}(1,2)& \text{si }0⩽t<1\\ (5,-7)& \text{si }t=1\\ (-2,3)& \text{si }1<t<2\\ (0,0)& \text{si }t=2\\ (4,0)& \text{si }2<t⩽3\end{array}$$

1. Justifier que $f$ est en escalier sur $[0,3]$, puis calculer ${\displaystyle {\int }_0^{3}f(t)\mathrm{d}t}$ à l'aide de la relation de Chasles.

2. Soit $\tilde{f}:[0,3]\to {\mathbb{R}}^2$ la fonction qui coïncide avec $f$ partout sauf en $1$ et en $2$, où l'on pose $\tilde{f}(1)=(0,0)$ et $\tilde{f}(2)=(100,100)$. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^3\tilde{f}={\int }_0^{3}f}$. Que peut-on en conclure sur le rôle des valeurs prises aux points de discontinuité ?

3. Calculer $\parallel {\displaystyle {\int }_0^{3}f(t)\mathrm{d}t}\parallel$ et ${\displaystyle {\int }_0^3\parallel f(t)\parallel \mathrm{d}t}$, puis comparer.

Partie B. Une fonction continue par morceaux à valeurs matricielles

On munit ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ de la norme $\mathrm{\parallel }A{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}={\max }_{1⩽i,j⩽2}\mid a_{ij}\mid$ et on définit $g:[0,3]\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ par

$$g(t)=\{\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right)& \text{si }0⩽t⩽1\\ \left(\begin{array}{cc}t& 0\\ 1& -1\end{array}\right)& \text{si }1<t⩽2\\ \left(\begin{array}{cc}0& 2\\ t^2& 0\end{array}\right)& \text{si }2<t⩽3\end{array}$$

4. Justifier que $g$ est continue par morceaux sur $[0,3]$, puis calculer ${\displaystyle {\int }_0^{3}g(t)\mathrm{d}t}$.

5. On pose, pour $x\in [0,3]$, ${\displaystyle G(x)={\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t}$.

a. Montrer que $G$ est lipschitzienne sur $[0,3]$, et préciser une constante de Lipschitz.

b. Montrer que $G$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,1]$, sur $[1,2]$ et sur $[2,3]$, avec $G^{\mathrm{\prime }}=g$ à l'intérieur de chacun de ces segments.

c. Calculer la dérivée à gauche et la dérivée à droite de $G$ en $1$. Conclure quant à la dérivabilité de $G$ en $1$, puis en $2$.

6. Calculer ${\parallel {\displaystyle {\int }_0^{3}g(t)\mathrm{d}t}\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ et ${\displaystyle {\int }_0^3{\parallel g(t)\parallel }_{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}t}$, puis comparer.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. On rappelle que l'application

$$\det :{\left({\mathbb{R}}^n\right)}^n⟶\mathbb{R},(x_1,\dots ,x_n)⟼\det (x_1,\dots ,x_n)$$

qui à $n$ vecteurs associe le déterminant de la matrice dont ils sont les colonnes (dans la base canonique) est $n$-linéaire et alternée.

1. Soient $u,v:I\to {\mathbb{R}}^2$ deux fonctions dérivables. Démontrer que $t\mapsto \det (u(t),v(t))$ est dérivable sur $I$ et que

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\det (u(t),v(t))=\det (u^{\mathrm{\prime }}(t),v(t))+\det (u(t),v^{\mathrm{\prime }}(t))$$

2. Vérifier cette formule sur l'exemple $u(t)=(\cos t,\sin t)$ et $v(t)=(t,t^2)$, en développant d'abord le déterminant puis en dérivant.

3. Énoncer et justifier la formule analogue pour trois fonctions dérivables $u,v,w:I\to {\mathbb{R}}^3$, puis la vérifier sur l'exemple

$$u(t)=(t,1,0),v(t)=(0,t,1),w(t)=(1,0,t)$$

4. Application géométrique.

a. Soient $u,v:I\to {\mathbb{R}}^2$ dérivables telles que la fonction $t\mapsto \det (u(t),v(t))$ soit constante. Quelle relation lie alors $u$, $v$, $u^{\mathrm{\prime }}$ et $v^{\mathrm{\prime }}$ ? Interpréter géométriquement l'hypothèse.

b. Soit $u\in {\mathcal{C}}^2(I,{\mathbb{R}}^2)$ telle que, pour tout $t\in I$, le vecteur $u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$ soit colinéaire à $u(t)$. Montrer que $t\mapsto \det (u(t),u^{\mathrm{\prime }}(t))$ est constante. Interpréter.

5. Soit $M:\mathbb{R}\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ définie par

$$M(t)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^t& t\\ t^2& \cos t\end{array}\right)$$

Calculer ${(\det M)}^{\mathrm{\prime }}(t)$ de deux façons : en développant d'abord le déterminant, puis en appliquant la formule de la question 1 aux colonnes de $M$. Vérifier l'accord des deux résultats.

Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie $p⩾1$, soit $[a,b]$ un segment de $\mathbb{R}$ avec $a<b$, et soit $f:[a,b]\to E$. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose

$$S_n(f)=\frac{b-a}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f(a+k\frac{b-a}{n})$$

la somme de Riemann de $f$ associée à la subdivision régulière de $[a,b]$ en $n$ segments, les points étant pris à gauche.

1. On suppose $f$ continue sur $[a,b]$. Démontrer que

$$S_n(f)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$$

en se ramenant, coordonnée par coordonnée, au résultat connu pour les fonctions à valeurs réelles.

2. On suppose maintenant $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$ et on pose $M_1={\sup }_{t\in [a,b]}\parallel f^{\mathrm{\prime }}(t)\parallel$.

a. Justifier que $M_1$ est bien défini (c'est-à-dire fini).

b. Démontrer directement, sans passer par les coordonnées, la majoration

$$\parallel S_n(f)-{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t\parallel ⩽\frac{M_1(b-a{)}^2}{2n}$$

On pourra écrire la différence comme une somme de $n$ intégrales et utiliser l'inégalité des accroissements finis.

3. Application. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose

$$v_n=(\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{n+k},\sum _{k=0}^{n-1}\frac{n}{n^2+k^2})\in {\mathbb{R}}^2$$

a. Déterminer ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}{v}_n$.

b. Majorer ${\parallel v_n-\lim v_n\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ à l'aide de la question 2, où $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ désigne la norme $\mathrm{\parallel }(x,y){\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\max (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })$. Que vaut cette majoration pour $n=10$ ? La comparer à l'écart réellement observé, sachant que $v_{10}\approx (\mathrm{0,7188};\mathrm{0,8100})$.