Devoir surveillé — Fonctions vectorielles

Consignes générales, valables pour tout le sujet. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La calculatrice n'est pas autorisée. La qualité de la rédaction, la précision des justifications et le soin apporté à la citation des théorèmes utilisés entrent pour une part importante dans l'appréciation des copies. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point ; un résultat admis peut être utilisé dans la suite à condition de le signaler.

Une trajectoire peut être astreinte à rester dans un plan, une matrice qui se déforme peut rester symétrique, un polynôme qui varie peut garder un degré borné. Toutes ces contraintes ont la même forme : la fonction prend ses valeurs dans un sous-espace vectoriel. On établit ici que cette contrainte se transmet à la vitesse, et qu'elle se reconstitue à partir d'elle, puis on mesure exactement ce que l'hypothèse « sous-espace vectoriel » apporte.

Dans tout l'exercice, $E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie $p⩾1$, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point, et $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, de dimension $r$ avec $1⩽r⩽p$.

On rappelle, pour la question 1, que tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normé est une partie fermée de cet espace : ce résultat peut être utilisé sans démonstration.

1. (0,75 pt) Soit $f:I\to E$ une fonction dérivable telle que $f(t)\in F$ pour tout $t\in I$. Montrer que $f^{\mathrm{\prime }}(t)\in F$ pour tout $t\in I$, de deux façons :

a. en complétant une base de $F$ en une base de $E$ et en raisonnant sur les coordonnées de $f$ ;

b. en revenant à la définition de la dérivée comme limite d'un taux d'accroissement.

2. (0,75 pt) Réciproquement, soit $f\in {\mathcal{C}}^1(I,E)$ et $t_0\in I$. On suppose que $f(t_0)\in F$ et que $f^{\mathrm{\prime }}(t)\in F$ pour tout $t\in I$. Montrer d'abord que ${\int }_{t_0}^{t}g(s)\mathrm{d}s\in F$ pour toute fonction $g$ continue sur $I$ à valeurs dans $F$ et tout $t\in I$, puis en déduire que $f(t)\in F$ pour tout $t\in I$. Que peut-on dire de la trajectoire de $f$ si l'on suppose seulement $f^{\mathrm{\prime }}(t)\in F$ pour tout $t$, sans hypothèse sur $f(t_0)$ ?

3. (0,75 pt) Applications matricielles. Soit $A\in {\mathcal{C}}^1(\mathbb{R},{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}))$ avec $n⩾2$. Justifier successivement les trois énoncés suivants, en précisant à chaque fois quel sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ intervient.

a. Si $\mathrm{t}\mathrm{r}(A(t))=0$ pour tout réel $t$, alors $\mathrm{t}\mathrm{r}(A^{\mathrm{\prime }}(t))=0$ pour tout réel $t$.

b. Si $A(t)$ est symétrique pour tout réel $t$, alors $A^{\mathrm{\prime }}(t)$ est symétrique pour tout réel $t$, et la matrice ${\int }_0^{1}A(t)\mathrm{d}t$ est symétrique.

c. Si $A^{\mathrm{\prime }}(t)$ est antisymétrique pour tout réel $t$ et si $A(0)$ est antisymétrique, alors $A(t)$ est antisymétrique pour tout réel $t$.

4. (0,75 pt) L'hypothèse « $F$ est un sous-espace vectoriel » n'est pas décorative. On travaille dans ${\mathbb{R}}^2$ muni de sa norme euclidienne.

a. Soit $\mathcal{C}=\{x\in {\mathbb{R}}^2;\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }=1\}$ le cercle unité, et $f(t)=(\cos (t^2),\sin (t^2))$ pour $t\in \mathbb{R}$. Vérifier que $f$ est à valeurs dans $\mathcal{C}$ et déterminer les réels $t$ pour lesquels $f^{\mathrm{\prime }}(t)\in \mathcal{C}$. Conclure quant à la question 1.

b. Soit $D=\{(x,0);x⩾0\}$ et $f(t)=(t,0)$ pour $t\in \mathbb{R}$. Vérifier que $D$ est stable par addition et par multiplication par un réel positif, que $f(0)\in D$ et que $f^{\mathrm{\prime }}(t)\in D$ pour tout $t$, et constater que la conclusion de la question 2 est pourtant fausse.

Un signal périodique s'intègre au cours du temps : c'est ce que fait un compteur placé en aval. La question est de savoir si le compteur revient périodiquement à son état ou s'il dérive indéfiniment. La réponse tient en un seul vecteur, la valeur moyenne du signal sur une période, et elle se lit aussi bien sur la périodicité de la primitive que sur son caractère borné.

Dans tout l'exercice, $E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie, $T$ est un réel strictement positif, et $f:\mathbb{R}\to E$ est une fonction continue et $T$-périodique, c'est-à-dire vérifiant $f(t+T)=f(t)$ pour tout réel $t$. On pose

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t\text{et}m={\displaystyle \frac{1}{T}}{\int }_0^{T}f(t)\mathrm{d}t\in E\mathrm{.}$$

Le vecteur $m$ s'appelle la valeur moyenne de $f$.

1. (0,75 pt) Montrer que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et préciser $F^{\mathrm{\prime }}$. En étudiant la fonction $\phi :x\mapsto F(x+T)-F(x)$, démontrer que

$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},{\int }_x^{x+T}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{T}f(t)\mathrm{d}t,$$

et en déduire que $F(x+T)=F(x)+Tm$ pour tout réel $x$.

2. (0,5 pt) Démontrer par récurrence que $F(x+nT)=F(x)+nTm$ pour tout réel $x$ et tout $n\in \mathbb{N}$, puis étendre la formule à tout $n\in \mathbb{Z}$.

3. (0,75 pt) Démontrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) $m=0_E$ ; (ii) $F$ est $T$-périodique ; (iii) $F$ est bornée sur $\mathbb{R}$.

4. (0,75 pt) On pose $G(x)=F(x)-xm$ pour tout réel $x$. Montrer que $G$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et $T$-périodique, préciser $G^{\mathrm{\prime }}$, puis établir la majoration

$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\parallel G(x)\parallel ⩽T\underset{t\in [0,T]}{\sup }\parallel f(t)-m\parallel \mathrm{.}$$

En déduire que ${\displaystyle \frac{F(x)}{x}}$ tend vers $m$ lorsque $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, et commenter la décomposition $F(x)=xm+G(x)$.

5. (0,75 pt) Application. On prend $E={\mathbb{R}}^3$ muni de sa norme euclidienne, un réel $c$, et

$$f(t)=(\cos t,\sin t,c),T=2\pi \mathrm{.}$$

Calculer $m$, puis $F(x)$ explicitement. Discuter selon $c$ le caractère borné de $F$ et vérifier la cohérence avec la question 3. Calculer enfin $G$, déterminer la valeur exacte de ${\sup }_{\mathbb{R}}\mathrm{\parallel }G\mathrm{\parallel }$ et la comparer au majorant de la question 4.

Multiplier un signal par une sinusoïde de fréquence croissante, puis intégrer, c'est ce que fait un analyseur de spectre. Le résultat tend vers zéro, et toute la question est de savoir à quelle vitesse : une intégration par parties donne la réponse, une seconde intégration par parties montre que la régularité du signal aux bords change l'ordre de grandeur.

Dans tout l'exercice, $E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie, $[a,b]$ est un segment de $\mathbb{R}$ avec $a<b$, et $n$ désigne un entier naturel non nul. Pour $f\in {\mathcal{C}}^1([a,b],E)$, on pose

$$I_n(f)={\int }_a^b\sin (nt)f(t)\mathrm{d}t\in E\mathrm{.}$$

On rappelle la formule d'intégration par parties pour le produit d'une fonction réelle par une fonction vectorielle : si $u\in {\mathcal{C}}^1([a,b],\mathbb{R})$ et $g\in {\mathcal{C}}^1([a,b],E)$, alors

$${\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}(t)g(t)\mathrm{d}t={[u(t)g(t)]}_a^b-{\int }_a^{b}u(t)g^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

1. (1 pt) Justifier que $I_n(f)$ est bien défini, puis démontrer que

$$I_n(f)={\displaystyle \frac{\cos (na)f(a)-\cos (nb)f(b)}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}{\int }_a^b\cos (nt)f^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

On précisera la fonction $u$ choisie.

2. (0,75 pt) On pose $C(f)=\mathrm{\parallel }f(a)\mathrm{\parallel }+\mathrm{\parallel }f(b)\mathrm{\parallel }+{\displaystyle {\int }_a^b\mathrm{\parallel }{f}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\parallel }\mathrm{d}t}$. Montrer que $C(f)$ est un réel bien défini, puis établir

$$\parallel I_n(f)\parallel ⩽{\displaystyle \frac{C(f)}{n}}\mathrm{.}$$

En déduire que $I_n(f)$ tend vers $0_E$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

3. (0,75 pt) L'ordre $1\mathrm{/}n$ n'est pas améliorable en général. On prend ici $[a,b]=[0,\pi ]$ et $f$ constante égale à un vecteur $u\mathrm{\ne }{0}_E$. Calculer $I_n(f)$ exactement, en distinguant la parité de $n$, puis comparer $\mathrm{\parallel }{I}_n(f)\mathrm{\parallel }$ au majorant de la question 2. Que constate-t-on pour $n$ impair ?

4. (0,75 pt) On suppose maintenant $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $[a,b]$ et telle que $f(a)=f(b)=0_E$. En reprenant l'identité de la question 1 et en intégrant une seconde fois par parties, démontrer que

$$\parallel I_n(f)\parallel ⩽{\displaystyle \frac{1}{n^2}}(\parallel f^{\mathrm{\prime }}(a)\parallel +\parallel f^{\mathrm{\prime }}(b)\parallel +{\int }_a^b\parallel f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)\parallel \mathrm{d}t)\mathrm{.}$$

5. (0,75 pt) Application. On prend $E={\mathbb{R}}^2$ muni de sa norme euclidienne, $[a,b]=[0,\pi ]$ et

$$f(t)=(t,t(\pi -t))\mathrm{.}$$

Calculer $I_n(f)$ exactement pour tout $n⩾1$, expliciter $I_1(f)$, $I_2(f)$ et $I_3(f)$, puis vérifier la majoration de la question 2 pour $n=3$ en utilisant le majorant simple ${\int }_0^{\pi }\mathrm{\parallel }{f}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\parallel }⩽\pi \sqrt{1+{\pi }^2}$. Expliquer enfin pourquoi les deux coordonnées ne décroissent pas à la même vitesse.

Dériver la puissance $k$-ième d'une fonction à valeurs matricielles ne donne pas $k{A}^{k-1}{A}^{\mathrm{\prime }}$ : les matrices ne commutent pas, et la formule scalaire est fausse. On établit ici la formule correcte, une somme de $k$ termes tous différents, puis on observe que la trace, elle, ne voit pas la différence. On en tire pour finir un résultat de rigidité sur les familles de projecteurs.

Dans tout l'exercice, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point, $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$, et $A$ est une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ de $I$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, espace vectoriel de dimension finie muni d'une norme quelconque. Pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose

$${\psi }_k(t)=\mathrm{t}\mathrm{r}(A(t{)}^k)\mathrm{.}$$

On rappelle deux résultats d'algèbre linéaire de première année, utilisables sans démonstration : la trace est une forme linéaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $\mathrm{t}\mathrm{r}(MN)=\mathrm{t}\mathrm{r}(NM)$ pour toutes matrices $M$ et $N$ ; et la trace de la matrice d'un projecteur est égale au rang de ce projecteur.

1. (0,75 pt) Démontrer par récurrence sur $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ que $t\mapsto A(t{)}^k$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ et que

$${\left(A^k\right)}^{\mathrm{\prime }}(t)=\sum _{i=0}^{k-1}A(t{)}^i{A}^{\mathrm{\prime }}(t)A(t{)}^{k-1-i},$$

avec la convention $A(t{)}^0=I_n$.

2. (0,75 pt) En déduire que ${\psi }_k$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ et que

$${\psi }_k^{\mathrm{\prime }}(t)=k\mathrm{t}\mathrm{r}(A(t{)}^{k-1}{A}^{\mathrm{\prime }}(t))\mathrm{.}$$

Commenter : la formule scalaire, fausse au niveau des matrices, redevient vraie une fois la trace prise.

3. (1 pt) Vérification complète sur un exemple. On prend $I=\mathbb{R}$, $n=2$ et

$$A(t)=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ t^2& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Calculer $A(t{)}^2$ puis $(A^2{)}^{\mathrm{\prime }}(t)$, calculer $A(t)A^{\mathrm{\prime }}(t)$ et $A^{\mathrm{\prime }}(t)A(t)$, vérifier l'identité de la question 1 pour $k=2$, constater que $(A^2{)}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\ne }2A(t)A^{\mathrm{\prime }}(t)$, et vérifier enfin que les traces de ces deux matrices coïncident et valent bien ${\psi }_2^{\mathrm{\prime }}(t)$.

4. (0,5 pt) Les rotations. On pose, pour $t\in \mathbb{R}$,

$$R(t)=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Montrer que $R(s)R(t)=R(s+t)$ pour tous réels $s$ et $t$, en déduire $R(t{)}^k=R(kt)$ puis ${\psi }_k(t)$, et vérifier la formule de la question 2 sur cet exemple.

5. (0,5 pt) Une famille de projecteurs ne change pas de rang. Soit $A\in {\mathcal{C}}^1(I,{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}))$ telle que $A(t{)}^2=A(t)$ pour tout $t\in I$. Démontrer que la fonction $t\mapsto \mathrm{r}\mathrm{g}(A(t))$ est constante sur $I$. Illustrer sur la famille $A(t)=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Comment mesure-t-on la longueur d'une courbe quand on ne dispose que d'une règle ? On place des jalons le long du trajet, on mesure les segments qui les relient, et on additionne. Ce problème établit que ce procédé élémentaire converge, qu'il converge vers l'intégrale de la vitesse, et à quelle vitesse il le fait. La toute dernière partie applique le résultat au cercle et retrouve, sans y toucher, la méthode par laquelle Archimède a encadré $\pi$.

Dans tout le problème, $E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie, de norme $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$, et $[a,b]$ est un segment de $\mathbb{R}$ avec $a<b$. On appelle subdivision de $[a,b]$ toute famille finie $\sigma =(t_0,t_1,\dots ,t_N)$ de réels vérifiant

$$a=t_0<t_1<\cdots <t_N=b\mathrm{.}$$

Pour une fonction $f:[a,b]\to E$ et une subdivision $\sigma$ comme ci-dessus, on pose

$$L(f,\sigma )=\sum _{k=1}^N\parallel f(t_k)-f(t_{k-1})\parallel \mathrm{.}$$

C'est la longueur de la ligne brisée qui joint successivement les points $f(t_0),f(t_1),\dots ,f(t_N)$. On dit qu'une subdivision ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$ est plus fine que $\sigma$ lorsque tous les points de $\sigma$ figurent parmi ceux de ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$.

Les trois parties sont largement indépendantes : la partie B se traite sans aucun résultat de la partie A, et la partie C n'utilise que les résultats des questions A.1 et B.3.

Partie A — La ligne brisée est plus courte que le trajet

Dans toute cette partie, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$.

A.1. (0,5 pt) Montrer que $\mathrm{\parallel }f(v)-f(u)\mathrm{\parallel }⩽{\displaystyle {\int }_u^v\mathrm{\parallel }{f}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\parallel }\mathrm{d}t}$ pour tous $u,v$ tels que $a⩽u⩽v⩽b$. En déduire que

$$L(f,\sigma )⩽{\int }_a^b\parallel f^{\mathrm{\prime }}(t)\parallel \mathrm{d}t\text{pour toute subdivision }\sigma \text{ de }[a,b]\mathrm{.}$$

A.2. (0,75 pt) Soit ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$ une subdivision plus fine que $\sigma$. Démontrer que $L(f,\sigma )⩽L(f,{\sigma }^{\mathrm{\prime }})$. On traitera d'abord le cas où ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$ s'obtient en ajoutant un seul point à $\sigma$, puis on conclura par récurrence sur le nombre de points ajoutés. Quelle hypothèse sur $f$ cette question utilise-t-elle réellement ?

A.3. (0,5 pt) Soient $u\in E$ et $\phi \in {\mathcal{C}}^1([a,b],\mathbb{R})$ croissante. On pose $f(t)=\phi (t)u$. Montrer que, pour toute subdivision $\sigma$ de $[a,b]$,

$$L(f,\sigma )={\int }_a^b\parallel f^{\mathrm{\prime }}(t)\parallel \mathrm{d}t=(\phi (b)-\phi (a))\mathrm{\parallel }u\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

Montrer sur l'exemple $E={\mathbb{R}}^2$ euclidien, $f(t)=(\cos t,\sin t)$, $[a,b]=[0,\pi ]$ et $\sigma =(0,\pi )$ que l'inégalité de la question A.1 peut être stricte.

Partie B — La convergence, et à quelle vitesse

Dans toute cette partie, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $[a,b]$. On pose $M_2={\displaystyle \underset{t\in [a,b]}{\sup }\mathrm{\parallel }{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\parallel }}$, et pour $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ on note ${\sigma }_N$ la subdivision régulière de pas $h={\displaystyle \frac{b-a}{N}}$, définie par $t_k=a+kh$ pour $0⩽k⩽N$. On abrège $L_N=L(f,{\sigma }_N)$.

B.1. (0,5 pt) Justifier que $M_2$ est fini, puis montrer que

$$\mathrm{\forall }k\in \{0,\dots ,N-1\},\mathrm{\forall }s\in [t_k,t_{k+1}],\parallel f^{\mathrm{\prime }}(s)-f^{\mathrm{\prime }}(t_k)\parallel ⩽M_2(s-t_k)⩽M_{2}h\mathrm{.}$$

B.2. (1 pt) Soit $k\in \{0,\dots ,N-1\}$. Démontrer les deux majorations

$$\mid \parallel f(t_{k+1})-f(t_k)\parallel -h\parallel f^{\mathrm{\prime }}(t_k)\parallel \mid ⩽{\displaystyle \frac{M_2{h}^2}{2}}\text{et}\mid {\int }_{t_k}^{t_{k+1}}\parallel f^{\mathrm{\prime }}(s)\parallel \mathrm{d}s-h\parallel f^{\mathrm{\prime }}(t_k)\parallel \mid ⩽{\displaystyle \frac{M_2{h}^2}{2}}\mathrm{.}$$

On utilisera la seconde inégalité triangulaire $\mid \mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }\mid ⩽\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$, valable dans tout espace vectoriel normé.

B.3. (0,75 pt) En déduire que

$$\mid L_N-{\int }_a^b\parallel f^{\mathrm{\prime }}(t)\parallel \mathrm{d}t\mid ⩽{\displaystyle \frac{M_2(b-a{)}^2}{N}},$$

puis que $L_N$ converge vers ${\displaystyle {\int }_a^b\mathrm{\parallel }{f}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\parallel }\mathrm{d}t}$ quand $N$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

B.4. (0,5 pt) Soit $\varphi :[c,d]\to [a,b]$ une bijection de classe ${\mathcal{C}}^1$, strictement croissante, avec $\varphi (c)=a$ et $\varphi (d)=b$. Montrer que $g=f\circ \varphi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[c,d]$ et que

$${\int }_c^d\parallel g^{\mathrm{\prime }}(v)\parallel \mathrm{d}v={\int }_a^b\parallel f^{\mathrm{\prime }}(t)\parallel \mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Quelle conclusion en tire-t-on sur la limite obtenue à la question B.3 ?

Partie C — Le cercle, et le calcul d'Archimède

On prend ici $E={\mathbb{R}}^2$ muni de sa norme euclidienne, $[a,b]=[0,2\pi ]$ et $f(t)=(\cos t,\sin t)$.

C.1. (0,5 pt) Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\mathrm{\parallel }{f}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\parallel }\mathrm{d}t}$, puis démontrer que, pour tout $N⩾1$,

$$L_N=2N\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{N}}\right)\mathrm{.}$$

C.2. (0,5 pt) Vérifier que $L_N<2\pi$ pour tout $N⩾1$ et que $L_N\to 2\pi$. Calculer le majorant fourni par la question B.3 pour $N=10$, le comparer à l'écart réel $2\pi -L_{10}$ (on donne $\sin (\pi \mathrm{/}10)=\mathrm{0,309017}$ à ${10}^{-6}$ près) et commenter.

C.3. (0,5 pt) La ligne brisée ${\sigma }_N$ joint $N$ points régulièrement répartis sur le cercle unité : $L_N$ est donc le périmètre du polygone régulier à $N$ côtés inscrit dans ce cercle, et $L_N\mathrm{/}2$ est une valeur approchée de $\pi$ par défaut. Calculer $L_6\mathrm{/}2$ et $L_{12}\mathrm{/}2$ sous forme exacte, puis $L_{96}\mathrm{/}2$ à ${10}^{-5}$ près, sachant que $\sin (\pi \mathrm{/}96)=\mathrm{0,0327191}$ à ${10}^{-7}$ près. Comparer la précision réellement obtenue pour $N=96$ à la garantie de la question B.3.