Exercices — Suites de nombres réels

On considère les six parties de $\mathbb{R}$ suivantes.

1. Pour chacune de ces parties, donner un majorant et un minorant lorsqu'il en existe, puis dire si la partie est bornée.

2. Pour chacune de ces parties, déterminer le maximum et le minimum lorsqu'ils existent. Lorsqu'ils n'existent pas, le justifier.

3. Une partie majorée de $\mathbb{R}$ admet-elle toujours un maximum ? Un majorant d'une partie appartient-il toujours à cette partie ? Répondre en s'appuyant sur les exemples précédents.

On admet que toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure, c'est-à-dire un plus petit majorant, et l'énoncé symétrique pour la borne inférieure. On considère les parties suivantes.

1. Pour chacune de ces parties, déterminer $\sup$ et $\inf$ lorsqu'ils existent, et préciser s'ils sont atteints, c'est-à-dire s'ils appartiennent à la partie.

2. Démontrer soigneusement que $\inf (B)=2$, en utilisant la caractérisation suivante : $m=\inf (X)$ si et seulement si $m$ minore $X$ et, pour tout $\epsilon >0$, il existe $x\in X$ tel que $x<m+\epsilon$.

3. Démontrer que $\sup (D)=\sqrt{5}$. On utilisera la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, ainsi que la croissance de la fonction carré sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

On rappelle que $\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$ s'interprète comme la distance entre les réels $x$ et $y$, et que pour $r⩾0$ :

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes.

   a. $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }=5$

   b. $\mathrm{\mid }2x+1\mathrm{\mid }⩽7$

   c. $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }>2$

   d. $\mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }$

   e. $\mathrm{\mid }3-x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x+5\mathrm{\mid }$

   f. $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }=-2$

2. a. Écrire l'intervalle $[-1,7]$ sous la forme $\{x\in \mathbb{R};\mathrm{\mid }x-c\mathrm{\mid }⩽r\}$.

   b. Écrire l'intervalle $]2,8[$ sous la forme $\{x\in \mathbb{R};\mathrm{\mid }x-c\mathrm{\mid }<r\}$.

   c. Réciproquement, écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des réels $x$ tels que $\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }<\mathrm{1,5}$.

3. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $\mathrm{\mid }a-2\mathrm{\mid }⩽\mathrm{0,1}$ et $\mathrm{\mid }b+5\mathrm{\mid }⩽\mathrm{0,2}$.

   a. Montrer que $\mathrm{\mid }a+b+3\mathrm{\mid }⩽\mathrm{0,3}$, puis en déduire un encadrement de $a+b$.

   b. Montrer que $\mathrm{\mid }a-b-7\mathrm{\mid }⩽\mathrm{0,3}$, puis en déduire une majoration de $\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }$.

   c. On aurait pu majorer directement $\mathrm{\mid }a+b\mathrm{\mid }$ par $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$. Que donne cette majoration, et pourquoi est-elle moins bonne que celle de la question a ?

Pour $x\in \mathbb{R}$, on note $\lfloor x\rfloor$ la partie entière de $x$, définie comme le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x$ :

l'existence de ce maximum étant admise. On utilisera librement la croissance de la fonction carré et de la fonction racine carrée sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

1. Calculer les parties entières suivantes.

   a. $\lfloor \mathrm{4,7}\rfloor$

   b. $\lfloor -\mathrm{3,2}\rfloor$

   c. $\lfloor -{\displaystyle \frac{7}{2}}\rfloor$

   d. $\lfloor {\displaystyle \frac{25}{4}}\rfloor$

   e. $\lfloor \sqrt{17}\rfloor$

   f. $\lfloor -\sqrt{17}\rfloor$

2. Démontrer l'encadrement fondamental : pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\lfloor x\rfloor ⩽x<\lfloor x\rfloor +1$.

3. Soient $x\in \mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{N}$. On pose $d_n={\displaystyle \frac{\lfloor {10}^{n}x\rfloor }{{10}^n}}$. Montrer que $0⩽x-d_n<{\displaystyle \frac{1}{{10}^n}}$, puis calculer $d_2$ pour $x=\sqrt{2}$ et commenter.

4. Soit $n\in \mathbb{Z}$. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$.

5. Donner un contre-exemple à l'égalité $\lfloor x+y\rfloor =\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor$.

1. Pour chacune des suites suivantes, dire si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre. Le cas échéant, préciser la raison, le premier terme, et donner l'expression du terme général en fonction de $n$.

   a. $a_n=3n-7$, pour $n\in \mathbb{N}$

   b. $b_0=10$ et $b_{n+1}=b_n-4$

   c. $c_n={\displaystyle \frac{2^{n+3}}{5^n}}$, pour $n\in \mathbb{N}$

   d. $d_0=81$ et $d_{n+1}={\displaystyle \frac{d_n}{3}}$

   e. $e_n=n^2$, pour $n\in \mathbb{N}$

2. Calculer $a_{20}$, $b_{15}$ et $d_5$.

3. Calculer les sommes suivantes.

   a. $S={\displaystyle \sum _{k=4}^{12}{b}_k}$

   b. $T={\displaystyle \sum _{k=0}^5{d}_k}$

Pour étudier la monotonie d'une suite $(u_n)$, on dispose de trois méthodes :

• Méthode 1 : étudier le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$ ;
• Méthode 2 : si tous les termes sont strictement positifs, comparer le quotient ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ à $1$ ;
• Méthode 3 : si $u_n=f(n)$, exploiter la monotonie de $f$.

On utilisera librement la croissance de $t\mapsto \sqrt{t}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et la décroissance de $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{t}}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

Étudier la monotonie des suites suivantes, en choisissant à chaque fois la méthode la plus commode et en justifiant ce choix.

1. Pour chacune des suites suivantes, dire si elle est majorée, minorée, bornée. On exhibera à chaque fois les constantes et on justifiera.

   a. $u_n={\displaystyle \frac{3n+1}{n+2}}$, pour $n\in \mathbb{N}$

   b. $v_n=(-1{)}^n(1+{\displaystyle \frac{1}{n+1}})$, pour $n\in \mathbb{N}$

   c. $w_n=n^2-10n$, pour $n\in \mathbb{N}$

   d. $t_n=5-2^n$, pour $n\in \mathbb{N}$

   e. $s_0=1$ et $s_{n+1}={\displaystyle \frac{s_n}{2}}+1$

2. Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Démontrer que $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est bornée si et seulement s'il existe un réel $M$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Toutes les limites sont prises quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. On utilisera librement les résultats suivants : pour tout $\alpha >0$, ${\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha }}}\to 0$ ; si $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$, alors $q^n\to 0$ ; et si $u_n\to \mathrm{\ell }$ avec $\mathrm{\ell }⩾0$, alors $\sqrt{u_n}\to \sqrt{\mathrm{\ell }}$.

Déterminer, si elle existe, la limite de chacune des suites suivantes.

On rappelle le théorème des croissances comparées, toutes les limites étant prises quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ :

• pour tous $\beta >0$ et $q>1$ : ${\displaystyle \frac{n^{\beta }}{q^n}}⟶0$ ;
• pour tous $\alpha >0$ et $\beta >0$ : ${\displaystyle \frac{(\ln n{)}^{\alpha }}{n^{\beta }}}⟶0$ ;
• pour tout $a>0$ : ${\displaystyle \frac{a^n}{n!}}⟶0$ ;
• enfin ${\displaystyle \frac{n!}{n^n}}⟶0$.

On utilisera aussi librement les propriétés du logarithme népérien vues au lycée, ainsi que le résultat suivant : si $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$, alors $q^n\to 0$.

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes.

On rappelle les deux formules du cours : pour tout $n\in \mathbb{N}$,

On utilisera librement le résultat suivant : si $\mid q\mid <1$, alors $q^n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, et si $q>1$, alors $q^n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

Dans les questions 1., $p$ et $n$ désignent deux entiers naturels vérifiant $p⩽n$.

1. a. Combien y a-t-il d'entiers $k$ tels que $p⩽k⩽n$ ?

   b. Calculer $A_n={\displaystyle \sum _{k=p}^{n}k}$ en fonction de $n$ et de $p$.

   c. Calculer $B_n={\displaystyle \sum _{k=p}^n(2k+1)}$ en fonction de $n$ et de $p$, et donner le résultat sous forme factorisée.

2. Calculer $C_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{1}{3^k}}}$ pour $n\in \mathbb{N}$, puis $D_n={\displaystyle \sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{1}{3^k}}}$ pour $n⩾2$.

3. Calculer $E_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n(2k+3^k)}$ pour $n\in \mathbb{N}$.

4. Soit $q$ un réel quelconque et $n⩾2$. Calculer $F_n(q)={\displaystyle \sum _{k=2}^n{q}^k}$ en distinguant deux cas.

5. Déterminer les limites des suites $(C_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $(D_n{)}_{n⩾2}$, puis celle de $(E_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

On utilisera librement les propriétés suivantes, vues au lycée : la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, elle vérifie $\ln \left(x^n\right)=n\ln (x)$ pour $x>0$ et $n\in \mathbb{N}$, et $\ln (x)<0$ lorsque $0<x<1$. On rappelle enfin que $q^n$ tend vers $0$ si $\mid q\mid <1$ et vers $+\mathrm{\infty }$ si $q>1$.

Partie A. On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=3$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

2. Déterminer l'unique réel $\mathrm{\ell }$ tel que $\mathrm{\ell }=3\mathrm{\ell }-4$. Ce réel est appelé point fixe de la relation.

3. On pose $v_n=u_n-\mathrm{\ell }$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Démontrer que $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique, préciser sa raison et son premier terme.

4. En déduire $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$. Vérifier la formule obtenue sur $u_0$, $u_1$ et $u_2$.

5. Étudier la monotonie de $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, puis déterminer sa limite.

Partie B. On considère la suite $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $w_0=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

6. Déterminer le point fixe ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ de cette relation, puis démontrer que la suite $(t_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $t_n=w_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ est géométrique.

7. En déduire $w_n$ en fonction de $n$, vérifier la formule sur $w_0$, $w_1$ et $w_2$, puis déterminer la limite de $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

8. Déterminer le plus petit entier $N$ tel que, pour tout $n⩾N$, on ait $\mid w_n-{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽{10}^{-3}$.

Partie C. Soit $a$ et $b$ deux réels, et $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite vérifiant $x_{n+1}=a{x}_n+b$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

9. Expliquer pourquoi la méthode des parties A et B tombe en panne lorsque $a=1$ et $b\mathrm{\ne }0$, et déterminer alors directement $x_n$ en fonction de $n$ ainsi que la limite de $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

10. Dans le cas $a\mathrm{\ne }1$, donner sans nouveau calcul l'expression de $x_n$ en fonction de $n$, de $a$, de $b$ et de $x_0$, puis énoncer à quelle condition sur $a$ la suite $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge.

On rappelle le résultat admis du cours : toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure, notée $\sup (A)$, qui est par définition le plus petit des majorants de $A$. On rappelle aussi que $\max (A)$ désigne, lorsqu'il existe, un majorant de $A$ qui appartient à $A$.

1. Soit $A$ une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$, et soit $M$ un réel.

   a. Démontrer que $M=\sup (A)$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

   $$\text{(i)}\mathrm{\forall }a\in A,a⩽M\text{et}\text{(ii)}\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }a\in A,a>M-\epsilon$$

   b. Expliquer en une phrase ce que traduit concrètement la condition (ii).

2. Soit $A=]0,3[$. Démontrer, à l'aide de la caractérisation, que $\sup (A)=3$. La partie $A$ admet-elle un maximum ?

3. Soit $B=\{1-{\displaystyle \frac{1}{n}};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$.

   a. Démontrer que $\sup (B)=1$.

   b. La partie $B$ admet-elle un maximum ? Un minimum ?

4. Soient $A$ et $B$ deux parties de $\mathbb{R}$ telles que $A\subset B$, avec $A$ non vide et $B$ majorée. Justifier que $\sup (A)$ et $\sup (B)$ existent, puis démontrer que $\sup (A)⩽\sup (B)$.

5. Soit $A$ une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$, et $M=\sup (A)$.

   a. Démontrer qu'il existe une suite $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ d'éléments de $A$ qui converge vers $M$.

   b. Donner explicitement une telle suite pour la partie $B$ de la question 3.

On rappelle la définition de la partie entière : pour tout réel $t$, $\lfloor t\rfloor$ est l'unique entier $m$ tel que $m⩽t<m+1$. On utilisera librement la croissance de la fonction racine carrée sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ ainsi que la formule ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}}$.

1. Démontrer que, pour tout réel $t$,

2. Soit $x$ un réel fixé. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $u_n={\displaystyle \frac{\lfloor nx\rfloor }{n}}$.

   a. Démontrer que $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ converge vers $x$.

   b. En déduire que tout réel est la limite d'une suite de nombres rationnels, c'est-à-dire que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

3. Soit $x$ un réel fixé. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $v_n={\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\lfloor kx\rfloor }$. Déterminer la limite de $(v_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$.

4. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $w_n={\displaystyle \frac{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }{\sqrt{n}}}$.

   a. Calculer $w_1$, $w_4$ et $w_5$ (valeur exacte, puis valeur approchée à ${10}^{-4}$ près pour $w_5$). La suite $(w_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est-elle monotone ?

   b. Déterminer la limite de $(w_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$.

Dans tout l'exercice, on n'utilise aucun théorème sur les opérations sur les limites : tout se démontre à partir de la définition quantifiée. On utilisera en revanche librement l'inégalité triangulaire $\mid a+b\mid ⩽\mid a\mid +\mid b\mid$ et la propriété $\lfloor t\rfloor ⩽t<\lfloor t\rfloor +1$ de la partie entière.

1. Écrire, à l'aide de quantificateurs, la proposition « la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers le réel $\mathrm{\ell }$ ».

2. On pose, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n={\displaystyle \frac{2n+1}{n+3}}$.

   a. Calculer $u_n-2$, puis simplifier $\mid u_n-2\mid$.

   b. Déterminer le plus petit entier $N$ tel que, pour tout $n⩾N$, on ait $\mid u_n-2\mid ⩽{10}^{-2}$.

   c. Soit $\epsilon >0$ quelconque. Déterminer, à l'aide de la partie entière, un entier $N$ (dépendant de $\epsilon$) tel que, pour tout $n⩾N$, on ait $\mid u_n-2\mid ⩽\epsilon$. Conclure que $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $2$.

   d. Comparer, pour $\epsilon ={10}^{-2}$, le rang fourni par la formule de la question c. et celui de la question b. Le rang obtenu doit-il être le plus petit possible ?

3. Écrire la négation de la proposition de la question 1.

4. a. Démontrer, en revenant à la définition, que la suite de terme général $(-1{)}^n$ ne converge pas vers $1$. Démontrer ensuite qu'elle ne converge vers aucun réel.

   b. On pose $v_n={\displaystyle \frac{3n+2}{n+1}}$ pour $n\in \mathbb{N}$. Démontrer que $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ne converge pas vers $\mathrm{2,9}$. Vers quel réel converge-t-elle ?

On utilisera librement les résultats suivants, admis à ce stade du programme :

• si une suite $(t_n)$ de réels positifs converge vers $t⩾0$, alors $\left(\sqrt{t_n}\right)$ converge vers $\sqrt{t}$ ; si $(a_n)$ converge vers $a$, alors $\left({\mathrm{e}}^{a_n}\right)$ converge vers ${\mathrm{e}}^a$ ;
• pour tout réel $c>0$ et tout $n\in \mathbb{N}$, $c^n={\mathrm{e}}^{n\ln (c)}$ ;
• la croissance comparée ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln (n)}{n}}=0}$ ;
• si $(t_n)$ est une suite de réels non nuls convergeant vers $0$, alors ${\displaystyle \frac{\ln (1+t_n)}{t_n}}$ converge vers $1$.

Déterminer la limite de chacune des six suites suivantes, en rédigeant intégralement.

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose

On utilisera librement la croissance de la fonction racine carrée sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ ainsi que la formule ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}}$.

1. Calculer les valeurs exactes de $S_2$ et de $T_2$.

2. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et soit $k$ un entier tel que $1⩽k⩽n$. Encadrer $n^2+k$, puis en déduire un encadrement de ${\displaystyle \frac{1}{n^2+k}}$.

3. Déterminer la limite de $(S_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$.

4. Déterminer la limite de $(T_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$.

5. Déterminer la limite de $(U_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$.

6. Un élève écrit : « chaque terme de $T_n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, donc $T_n$ tend vers $0$ ». Expliquer précisément pourquoi ce raisonnement est faux.

On rappelle le théorème de comparaison : si $u_n⩾v_n$ à partir d'un certain rang et si $v_n\to +\mathrm{\infty }$, alors $u_n\to +\mathrm{\infty }$. On utilisera aussi la croissance comparée du cours : pour tout réel $q>1$ et tout réel $\beta >0$,

ainsi que la croissance de la fonction racine carrée sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

1. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $u_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}}}$. Démontrer que $u_n⩾\sqrt{n}$, puis déterminer la limite de $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$.

2. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $v_n=2^n-n^3$.

   a. Calculer $v_5$, $v_9$ et $v_{10}$. Que remarque-t-on ?

   b. Démontrer que $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

3. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $w_n=n+(-1{)}^n\sqrt{n}$. Expliquer pourquoi les théorèmes d'opérations sur les limites ne s'appliquent pas, puis démontrer que $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

4. On considère la suite $(t_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $t_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $t_n⩾1$. Que garantit ce résultat quant à la définition de la suite ?

b. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $t_{n+1}^2⩾t_n^2+2$, puis que $t_n^2⩾2n+1$.

c. En déduire la limite de $(t_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

5. Un élève affirme : « $u_n⩽v_n$ et $v_n\to +\mathrm{\infty }$, donc $u_n\to +\mathrm{\infty }$ ». Réfuter cette affirmation par un contre-exemple, et énoncer précisément ce qu'il faut pour conclure.

On rappelle la méthode du cours. Soit $a$ et $b$ deux réels avec $b\mathrm{\ne }0$, et $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite vérifiant, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

On lui associe son équation caractéristique $r^2=ar+b$, c'est-à-dire $r^2-ar-b=0$, de discriminant $\mathrm{\Delta }$.

• Si $\mathrm{\Delta }>0$, l'équation a deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$, et il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ pour tout $n$.
• Si $\mathrm{\Delta }=0$, l'équation a une racine double $r$, et il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $u_n=(\lambda +\mu n)r^n$ pour tout $n$.

Les constantes $\lambda$ et $\mu$ se déterminent ensuite à l'aide des deux premiers termes. En ECG, les énoncés sont toujours construits de sorte que $\mathrm{\Delta }⩾0$ : le cas $\mathrm{\Delta }<0$ conduirait à des racines complexes, hors programme dans cette filière.

1. Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=1$, $u_1=4$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$.

   a. Calculer $u_2$ et $u_3$.

   b. Écrire et résoudre l'équation caractéristique.

   c. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, et vérifier la formule sur $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

   d. Déterminer la limite de $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

2. Soit $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $v_0=1$, $v_1=6$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_{n+2}=4v_{n+1}-4v_n$. Reprendre les quatre questions précédentes pour cette suite.

3. Soit $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $w_0=0$, $w_1=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

Exprimer $w_n$ en fonction de $n$, vérifier la formule sur les trois premiers termes, puis déterminer la limite de $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

4. Démontrer que, quels que soient les réels $\lambda$ et $\mu$, la suite de terme général $\lambda 3^n+\mu 2^n$ vérifie la relation de récurrence de la question 1. Expliquer alors pourquoi les conditions initiales déterminent $\lambda$ et $\mu$ de façon unique.

On considère la suite de Fibonacci $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et

On utilisera librement la valeur approchée $\sqrt{5}\approx \mathrm{2,2360680}$.

1. Calculer $F_2$, $F_3$, $F_4$, $F_5$, $F_6$, $F_7$, $F_8$, $F_9$ et $F_{10}$.

2. Écrire l'équation caractéristique associée à la relation de récurrence, vérifier que son discriminant est strictement positif, et déterminer ses deux racines. On note $\phi$ la plus grande des deux (c'est le nombre d'or) et $\psi$ l'autre.

3. Vérifier les trois relations $\phi +\psi =1$, $\phi \psi =-1$ et $\phi -\psi =\sqrt{5}$. En déduire que $\psi =1-\phi$ et que $\psi =-{\displaystyle \frac{1}{\phi }}$. Donner les valeurs approchées de $\phi$ et de $\psi$ à ${10}^{-7}$ près.

4. Déterminer les réels $\lambda$ et $\mu$ tels que

Cette égalité s'appelle la formule de Binet.

5. Vérifier la formule de Binet pour $n=2$, $n=3$ et $n=4$ par le calcul exact, sans valeur approchée. On pourra utiliser la relation ${\phi }^2=\phi +1$, et la relation analogue pour $\psi$.

6. Montrer que $\phi >1$ et que $\mid \psi \mid <1$. En déduire que

puis que $F_n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

7. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^2}{F_n}}$.

8. Montrer que, pour tout $n⩾1$, $F_n⩾1$, puis que la suite ${\left({\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}}\right)}_{n⩾1}$ converge vers $\phi$. Comparer avec les valeurs numériques obtenues à la question 1.

9. Montrer que, pour tout $n⩾1$,

autrement dit que $F_n$ est l'entier le plus proche de ${\displaystyle \frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}}$. Vérifier ce résultat pour $n=10$, en admettant d'abord que ${\phi }^n=F_n\phi +F_{n-1}$ pour tout $n⩾1$ (que l'on démontrera).

Dans tout l'exercice, on utilisera librement les propriétés du logarithme népérien et de l'exponentielle connues depuis le lycée : la stricte croissance de $\ln$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et de $\exp$ sur $\mathbb{R}$, la relation $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$ pour $a>0$ et $b>0$, et l'équivalence $\ln (x)⩽y⟺x⩽e^y$ pour $x>0$. On admet également l'inégalité

qui sera démontrée dans le chapitre sur les fonctions d'une variable réelle, postérieur à celui-ci.

Aucune des trois suites étudiées ci-dessous n'a de limite calculable avec les outils de ce chapitre : l'objectif est précisément de démontrer qu'une limite existe sans la connaître.

Partie A. Une somme dont les termes décroissent géométriquement

Pour tout entier $n⩾1$, on pose $u_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k{2}^k}}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$ (valeurs exactes sous forme de fractions irréductibles, puis approchées à ${10}^{-6}$ près).

2. Étudier la monotonie de la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$.

3. Montrer que, pour tout entier $k⩾1$, ${\displaystyle \frac{1}{k{2}^k}}⩽{\displaystyle \frac{1}{2^k}}$. En déduire, à l'aide de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique, que

4. En déduire que $(u_n{)}_{n⩾1}$ converge. Peut-on donner la valeur de sa limite $\mathrm{\ell }$ ? Donner le meilleur encadrement de $\mathrm{\ell }$ que fournissent les questions précédentes.

Partie B. Un produit

Pour tout entier $n⩾1$, on pose $v_n={\displaystyle \prod _{k=1}^n(1+\frac{1}{2^k})}$.

5. Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$ et $v_5$ (valeurs exactes, puis approchées à ${10}^{-6}$ près).

6. Montrer que $v_n>0$ pour tout $n⩾1$, puis que la suite $(v_n{)}_{n⩾1}$ est strictement croissante.

7. On pose $L_n=\ln (v_n)$. Exprimer $L_n$ sous forme d'une somme, puis montrer que $L_n⩽1$ pour tout $n⩾1$. En déduire que $v_n⩽e$.

8. Conclure quant à la convergence de $(v_n{)}_{n⩾1}$ et encadrer sa limite.

Partie C. Une suite définie par récurrence

On considère la suite $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par

9. Calculer $w_1$, $w_2$ et $w_3$ (valeurs exactes), puis $w_4$ et $w_5$ (valeurs approchées à ${10}^{-6}$ près).

10. Montrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, le terme $w_n$ est bien défini et vérifie $w_n⩾1$. En déduire que la suite $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est strictement croissante.

11. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $w_{n+1}-w_n⩽{\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}}$, puis que ${\displaystyle \frac{1}{(j+1)(j+2)}}={\displaystyle \frac{1}{j+1}}-{\displaystyle \frac{1}{j+2}}$ pour tout entier $j⩾0$. En sommant les accroissements, en déduire que

12. Conclure quant à la convergence de $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et encadrer sa limite.

Partie D. Ce que le théorème dit, et ce qu'il ne dit pas

13. Vrai ou faux : « une suite croissante et majorée par $M$ converge vers $M$ » ? Justifier par une démonstration ou par un contre-exemple. Que peut-on affirmer, en revanche, sur la position de la limite par rapport à $M$ et par rapport aux termes de la suite ? Une majoration stricte $u_n<M$ valable pour tout $n$ donne-t-elle $\mathrm{\ell }<M$ ?

Partie A. Préliminaire

1. Rappeler la définition de deux suites adjacentes et l'énoncé du théorème des suites adjacentes.

2. Soient $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante, telles que $v_n-u_n\to 0$. Montrer que $u_n⩽v_n$ pour tout $n$. En notant $\mathrm{\ell }$ la limite commune, en déduire que

Partie B. Un premier couple

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

3. Vérifier les trois conditions de l'adjacence.

4. Que peut-on en déduire ? Ici, la limite commune se calcule directement : la donner.

5. Donner l'encadrement de la limite fourni par le rang $n=10$. À partir de quel rang l'encadrement $u_n⩽\mathrm{\ell }⩽v_n$ a-t-il une amplitude inférieure ou égale à ${10}^{-1}$ ?

Partie C. Une somme alternée

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

puis $a_n=s_{2n}$ et $b_n=s_{2n+1}$.

6. Calculer $s_1$, $s_2$, $s_3$, $s_4$, $s_5$, $s_6$, $s_7$, $s_8$ et $s_9$ sous forme de fractions, puis en valeurs approchées à ${10}^{-6}$ près. Que constate-t-on sur les termes de rang pair, sur ceux de rang impair ?

7. Montrer que $(a_n{)}_{n⩾1}$ est croissante, que $(b_n{)}_{n⩾1}$ est décroissante, et que $b_n-a_n={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}$.

8. En déduire que $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers une même limite $\mathrm{\ell }$, et encadrer $\mathrm{\ell }$ à l'aide du rang $n=4$. À partir de quel rang $n$ l'encadrement obtenu a-t-il une amplitude inférieure ou égale à ${10}^{-2}$ ?

9. On admet le résultat suivant : si les termes de rang pair et les termes de rang impair d'une suite convergent vers une même limite, alors la suite entière converge vers cette limite. Qu'en déduit-on pour $(s_n{)}_{n⩾1}$ ?

Partie D. Les trois conditions sont-elles indispensables ?

10. Pour chacun des deux couples suivants, dire quelle condition de l'adjacence est en défaut, et pourquoi la conclusion du théorème tombe en même temps.

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par

On note $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{2+x}$ pour $x⩾-2$.

On utilisera librement les deux faits suivants, connus depuis le lycée :

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$ (valeurs approchées à ${10}^{-6}$ près). Quelle conjecture peut-on formuler ?

2. Montrer que l'intervalle $[0,2]$ est stable par $f$, c'est-à-dire que $f(x)\in [0,2]$ dès que $x\in [0,2]$. En déduire par récurrence que $u_n$ est bien défini et que $0⩽u_n⩽2$, pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. Pour $n\in \mathbb{N}$, calculer $u_{n+1}^2-u_n^2$ et le factoriser. En déduire que $(u_n)$ est croissante.

4. En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\mathrm{\ell }$, et préciser un encadrement de $\mathrm{\ell }$.

5. Déterminer $\mathrm{\ell }$. On prendra garde à ne retenir que les solutions acceptables de l'équation obtenue.

6. On remplace maintenant la valeur initiale par $u_0=5$, la relation de récurrence étant inchangée. Calculer les cinq premiers termes, puis reprendre l'étude : intervalle stable, monotonie, convergence, limite. Qu'est-ce qui change, qu'est-ce qui ne change pas ?

7. Pour quelles valeurs de $u_0$ la suite est-elle définie pour tout $n$ ? Dans ce cas, que vaut sa limite ?

Aucun théorème général sur les suites extraites n'est disponible : toutes les démonstrations de la partie A doivent revenir à la définition quantifiée de la limite, rappelée ici. Une suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers un réel $\mathrm{\ell }$ lorsque

Partie A. Le résultat

Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle et $\mathrm{\ell }$ un réel.

1. On suppose que $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$. Démontrer que ${\left(u_{2n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ et ${\left(u_{2n+1}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ convergent vers $\mathrm{\ell }$.

2. On suppose réciproquement que $\left(u_{2n}\right)$ et $\left(u_{2n+1}\right)$ convergent vers la même limite $\mathrm{\ell }$. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$. On portera une attention particulière au choix du rang à partir duquel l'inégalité est valable.

3. La convergence de $\left(u_{2n}\right)$ seule suffit-elle à assurer celle de $(u_n)$ ? Justifier.

Partie B. Deux suites qui divergent

4. Soit $u_n=(-1{)}^n$. Démontrer, à l'aide de la partie A, que $(u_n)$ diverge.

5. Soit, pour $n\in \mathbb{N}$,

Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$, puis déterminer les limites de $\left(v_{2n}\right)$ et de $\left(v_{2n+1}\right)$. Conclure.

Partie C. Une suite qui converge

6. Soit, pour $n\in \mathbb{N}$, $w_n={\displaystyle \frac{2n+(-1{)}^n}{n+1}}$. Étudier séparément les termes de rang pair et ceux de rang impair, et en déduire la limite de $(w_n)$.

Partie D. Une suite récurrente

On considère la suite définie par

On note $h$ la fonction définie par $h(x)={\displaystyle \frac{1+x}{2+x}}$ pour $x⩾0$. On utilisera librement la valeur approchée $\sqrt{5}\approx \mathrm{2,2360680}$, ainsi que le fait suivant.

Passage à la limite (admis). La fonction $h$ est continue sur $[0,1]$ : si une suite de termes appartenant à $[0,1]$ converge vers un réel $L$ de $[0,1]$, alors la suite de ses images par $h$ converge vers $h(L)$.

7. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$ et $u_6$ sous forme de fractions irréductibles, puis en valeurs approchées à ${10}^{-7}$ près. La suite semble-t-elle monotone ?

8. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n$ est bien défini et $0⩽u_n⩽1$.

9. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+2}={\displaystyle \frac{1+u_n}{2+u_n}}$, c'est-à-dire $u_{n+2}=h\left(u_n\right)$. Montrer ensuite que, pour $x⩾0$ et $y⩾0$,

et en déduire que $h$ est croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$.

10. En déduire que $\left(u_{2n}\right)$ est croissante et que $\left(u_{2n+1}\right)$ est décroissante, puis que ces deux suites convergent.

11. Montrer que les deux limites sont égales à $\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$, puis conclure sur la limite de $(u_n)$ et en donner une valeur approchée à ${10}^{-7}$ près.

Dans tout l'exercice, $A$ et $B$ désignent deux parties de $\mathbb{R}$ non vides et majorées. On pose $\alpha =\sup (A)$ et $\beta =\sup (B)$, dont l'existence est garantie par la propriété de la borne supérieure (admise). On note

Partie A. Préliminaires

1. Rappeler la définition de $\sup (A)$, puis sa caractérisation par les $\epsilon$. Énoncer de même la caractérisation de $\inf (A)$.

2. Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $x⩽y+\epsilon$ pour tout $\epsilon >0$. Montrer que $x⩽y$.

3. Soient $A$ et $C$ deux parties de $\mathbb{R}$ telles que $\mathrm{\varnothing }\mathrm{\ne }A\subset C$ et $C$ majorée. Montrer que $\sup (A)$ existe et que $\sup (A)⩽\sup (C)$.

Partie B. Réunion

4. Montrer que $A\cup B$ est non vide et majorée, puis que

Partie C. Somme

5. Montrer que $A+B$ est non vide et majorée, puis que

6. Application. On prend $A=[0,1[$ et $B=\{2-{\displaystyle \frac{1}{n}};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$. Déterminer $\sup (A)$, $\sup (B)$ et $\sup (A+B)$. Ces bornes supérieures sont-elles des maximums ?

Partie D. Multiplication par un réel

7. Soit $\lambda >0$. Montrer que $\sup (\lambda A)=\lambda \sup (A)$. Que se passe-t-il pour $\lambda =0$ ?

8. Soit $\lambda <0$. On suppose de plus, dans cette question, que $A$ est bornée. Montrer que $\sup (\lambda A)=\lambda \inf (A)$. Donner un exemple de partie non vide et majorée $A$ pour laquelle $\sup (-A)$ n'existe pas : pourquoi faut-il supposer $A$ bornée ?

Partie E. Intersection

9. On suppose $A\cap B\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$. Montrer que $\sup (A\cap B)⩽\min (\sup (A),\sup (B))$. Donner un contre-exemple montrant que cette inégalité peut être stricte. Que dire si $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ ?

Partie F. Et pour un produit ?

10. On pose $A\cdot B=\{ab;a\in A,b\in B\}$. Montrer, à l'aide de $A=B=\{-2,0\}$, que l'égalité $\sup (A\cdot B)=\sup (A)\times \sup (B)$ est fausse en général.

Soit $a>0$ un réel fixé. On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par un premier terme $u_0>0$ et par

L'idée, connue depuis l'Antiquité, est la suivante : si $u_n$ est une valeur approchée de $\sqrt{a}$ par excès, alors ${\displaystyle \frac{a}{u_n}}$ en est une par défaut, et leur moyenne est une bien meilleure approximation. On utilisera librement la croissance de la fonction racine carrée sur ${\mathbb{R}}_{+}$.

1. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n$ est bien défini et $u_n>0$.

2. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$,