Devoir surveillé — Suites de nombres réels

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A. On considère l'ensemble

$$A=\{\frac{2n-1}{n+3};n\in \mathbb{N}\}\mathrm{.}$$

Pour tout entier naturel $n$, on pose $a_n={\displaystyle \frac{2n-1}{n+3}}$, de sorte que $A=\{a_n;n\in \mathbb{N}\}$.

1. Calculer $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$ et $a_4$ sous forme de fractions irréductibles. Démontrer ensuite que, pour tout entier naturel $n$, $a_n=2-{\displaystyle \frac{7}{n+3}}$. (0,5 point)

2. Démontrer que la suite $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est strictement croissante. (0,5 point)

3. Démontrer que $A$ est une partie bornée de $\mathbb{R}$. On établira précisément que, pour tout entier naturel $n$, $-{\displaystyle \frac{1}{3}}⩽a_n<2$. (0,5 point)

4. L'ensemble $A$ admet-il un minimum ? Si oui, le préciser, et donner $\inf (A)$. (0,25 point)

5. Rappeler la caractérisation de la borne supérieure d'une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ à l'aide des $\epsilon$, puis démontrer que $\sup (A)=2$. On pourra, pour un réel $\epsilon >0$ fixé, considérer l'entier $n_0=\lfloor {\displaystyle \frac{7}{\epsilon }}\rfloor$. (0,5 point)

6. L'ensemble $A$ admet-il un maximum ? Justifier soigneusement. (0,25 point)

Partie B. On rappelle que, pour tout réel $y$, la partie entière $\lfloor y\rfloor$ est l'unique entier relatif vérifiant

$$\lfloor y\rfloor ⩽y<\lfloor y\rfloor +1,$$

et que c'est aussi le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $y$.

Dans toute cette partie, $x$ désigne un réel fixé. Pour tout entier $n⩾1$, on pose

$$v_n=\frac{\lfloor nx\rfloor }{n}\mathrm{.}$$

1. Démontrer que, pour tout entier $n⩾1$, $nx-1<\lfloor nx\rfloor ⩽nx$. (0,25 point)

2. Démontrer que, pour tout réel $x$ et tout entier $n⩾1$,

$$\lfloor \frac{\lfloor nx\rfloor }{n}\rfloor =\lfloor x\rfloor \mathrm{.}$$

Autrement dit : $\lfloor v_n\rfloor =\lfloor x\rfloor$ pour tout $n⩾1$. (0,75 point)

3. On prend dans cette question $x={\displaystyle \frac{7}{4}}$. Recopier et compléter le tableau suivant, les valeurs de $v_n$ étant données sous forme de fractions irréductibles. La suite $(v_n{)}_{n⩾1}$ est-elle monotone ? (0,25 point)

4. Démontrer que la suite $(v_n{)}_{n⩾1}$ converge et préciser sa limite. Quelle propriété de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ ce résultat illustre-t-il ? (0,25 point)

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par

$$u_0=\frac{1}{2}\text{et}{u}_{n+1}=\frac{3u_n}{u_n+2}\text{pour tout }n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fractions irréductibles. (0,25 point)

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ est bien défini et vérifie $u_n>0$. (0,5 point)

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$. (0,25 point)

4. Justifier que l'on peut poser $v_n={\displaystyle \frac{1}{u_n}}$ pour tout entier naturel $n$, puis démontrer que

$$v_{n+1}=\frac{2}{3}{v}_n+\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Quelle est la nature de la suite $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ? (0,5 point)

5. Déterminer l'unique réel $\mathrm{\ell }$ vérifiant $\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{\ell }+{\displaystyle \frac{1}{3}}$. On pose alors $w_n=v_n-\mathrm{\ell }$. Démontrer que $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique, préciser sa raison et son premier terme, puis donner l'expression de $w_n$ et celle de $v_n$ en fonction de $n$. (0,5 point)

6. En déduire que, pour tout entier naturel $n$,

$$u_n=\frac{3^n}{3^n+2^n}\mathrm{.}$$

(0,5 point)

7. Vérifier cette formule explicite sur les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$ calculés à la question 1. (0,25 point)

8. Déterminer la limite de la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$. (0,25 point)

9. Étudier la monotonie de la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par deux méthodes différentes : l'une utilisant la relation de récurrence, l'autre l'expression explicite. (0,5 point)

10. Déterminer le plus petit entier naturel $n_0$ tel que

$$1-u_{n_0}⩽{10}^{-2}\mathrm{.}$$

On justifiera à la fois que $n_0$ convient et qu'aucun rang plus petit ne convient. On pourra utiliser les valeurs $2^{11}=2048$, $2^{12}=4096$, $3^{11}=177147$ et $3^{12}=531441$. (0,5 point)

Une exploitation maraîchère dispose de deux cuves de récupération d'eau de pluie, notées $R$ et $R^{\mathrm{\prime }}$, reliées par un système de pompes. Chaque nuit, ce système transvase un quart du contenu de chaque cuve dans l'autre cuve, simultanément.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le volume d'eau (en litres) contenu dans la cuve $R$ au matin du jour $n$, et $b_n$ celui de la cuve $R^{\mathrm{\prime }}$. Le premier relevé, au matin du jour $0$, donne

$$a_0=300\text{et}{b}_0=100.$$

On admet qu'aucune autre entrée ni sortie d'eau n'a lieu, et que le système fonctionne indéfiniment.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$,

$$a_{n+1}=\frac{3a_n+b_n}{4}\text{et}{b}_{n+1}=\frac{a_n+3b_n}{4},$$

puis calculer $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$, $a_3$ et $b_3$. (0,5 point)

2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $s_n=a_n+b_n$. Démontrer que la suite $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est constante et donner sa valeur. Interpréter ce résultat dans le contexte. (0,25 point)

3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n=a_n-b_n$. Démontrer que $(d_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique, préciser sa raison et son premier terme, puis exprimer $d_n$ en fonction de $n$. (0,5 point)

4. En déduire que, pour tout entier naturel $n$,

$$a_n=200+\frac{100}{2^n}\text{et}{b}_n=200-\frac{100}{2^n}\mathrm{.}$$

Vérifier ces deux formules pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$. (0,5 point)

5. Étudier la monotonie des suites $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, et démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $b_n<200<a_n$. (0,5 point)

6. Démontrer que les suites $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. Que peut-on en conclure ? Déterminer leur limite commune. (0,5 point)

7. Interpréter le résultat de la question 6. dans le contexte de l'exploitation. (0,25 point)

8. Au bout de combien de jours l'écart de volume entre les deux cuves devient-il, pour la première fois, strictement inférieur à un litre ? (0,5 point)

9. Autre méthode. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2}}+100$, et retrouver par cette relation l'expression explicite de $a_n$ obtenue à la question 4. (0,5 point)

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

$$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}\text{et}{T}_n=S_n+\frac{1}{n}\mathrm{.}}$$

1. Calculer $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ puis $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$ sous forme de fractions irréductibles, et en donner une valeur approchée à ${10}^{-4}$ près. (0,5 point)

2. Démontrer que la suite $(S_n{)}_{n⩾1}$ est strictement croissante. (0,25 point)

3. Démontrer que, pour tout entier $n⩾1$,

$$\frac{1}{(n+1{)}^2}⩽\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\mathrm{.}$$

(0,5 point)

4. En déduire que la suite $(T_n{)}_{n⩾1}$ est strictement décroissante. (0,5 point)

5. Démontrer que $T_n-S_n$ tend vers $0$, puis conclure que les suites $(S_n{)}_{n⩾1}$ et $(T_n{)}_{n⩾1}$ convergent vers une même limite, que l'on notera $L$. (0,5 point)

6. Démontrer que, pour tout entier $n⩾1$, $S_n⩽L⩽T_n$. En déduire un premier encadrement de $L$ par deux entiers. (0,5 point)

7. Donner l'encadrement de $L$ fourni par le rang $n=4$, d'abord sous forme de fractions, puis sous forme décimale à ${10}^{-3}$ près. Quelle est l'amplitude de cet encadrement ? (0,5 point)

8. Déterminer un entier $n$ à partir duquel $S_n$ est une valeur approchée de $L$ à ${10}^{-2}$ près. (0,5 point)

9. Combien de termes faudrait-il sommer pour obtenir, par la même méthode, une valeur approchée de $L$ à ${10}^{-6}$ près ? Commenter. (0,25 point)

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A. Pour tout entier $n⩾1$, on pose

$$U_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\mathrm{.}}$$

Dans toute cette partie, on utilisera librement les deux propriétés suivantes de la fonction racine carrée, admises ici : elle est croissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, et si une suite $(x_n)$ de réels positifs converge vers un réel $\mathrm{\ell }>0$, alors la suite $\left(\sqrt{x_n}\right)$ converge vers $\sqrt{\mathrm{\ell }}$.

1. Calculer $U_1$, $U_2$ et $U_3$, et en donner une valeur approchée à ${10}^{-4}$ près. Quelle conjecture peut-on formuler sur la limite de $(U_n)$ ? On utilisera $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4142}$, $\sqrt{5}\approx \mathrm{2,2361}$, $\sqrt{6}\approx \mathrm{2,4495}$, $\sqrt{10}\approx \mathrm{3,1623}$, $\sqrt{11}\approx \mathrm{3,3166}$ et $\sqrt{12}\approx \mathrm{3,4641}$. (0,25 point)

2. Démontrer que, pour tout entier $n⩾1$ et tout entier $k$ tel que $1⩽k⩽n$,

$$\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}⩽\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}⩽\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\mathrm{.}$$

(0,5 point)

3. En déduire que, pour tout entier $n⩾1$,

$$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}⩽U_n⩽\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\mathrm{.}$$

(0,5 point)

4. Déterminer les limites des deux suites encadrantes. (0,5 point)

5. Conclure quant à la limite de $(U_n{)}_{n⩾1}$, et vérifier la cohérence avec la question 1. (0,25 point)

Partie B. Pour tout entier $n⩾1$, on pose

$$w_n=\frac{2^n}{n!}\mathrm{.}$$

On utilisera librement la croissance comparée suivante : pour tout réel $\alpha$ et tout réel $q>1$,

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{\alpha }}{q^n}=0.$$

1. Calculer $w_1$, $w_2$, $w_3$, $w_4$ et $w_5$ sous forme de fractions irréductibles. (0,25 point)

2. Démontrer que, pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle \frac{w_{n+1}}{w_n}}={\displaystyle \frac{2}{n+1}}$. En déduire que la suite $(w_n{)}_{n⩾1}$ est décroissante, puis que

$$\frac{w_{n+1}}{w_n}⩽\frac{1}{2}\text{pour tout entier }n⩾3.$$

(0,5 point)

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾3$,

$$w_n⩽\frac{4}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-3}\mathrm{.}$$

(0,5 point)

4. En déduire la limite de la suite $(w_n{)}_{n⩾1}$. (0,25 point)

5. Déterminer la limite de la suite de terme général

$$z_n=\frac{n^3+2^n}{n!+3^n}\mathrm{.}$$

(0,5 point)