Exercices — Fonctions réelles d'une variable réelle

On rappelle les trois conditions d'existence à surveiller systématiquement :

• un quotient exige un dénominateur non nul ;
• une racine carrée exige un radicande positif ou nul ;
• un logarithme népérien exige un argument strictement positif.

Lorsque plusieurs de ces conditions apparaissent dans une même expression, l'ensemble de définition est l'intersection des ensembles qu'elles décrivent.

1. Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes, définies par la formule indiquée.

2. Écrire chacune des fonctions suivantes comme composée de deux fonctions usuelles, en précisant l'ordre de composition.

3. Dans chacun des deux cas suivants, expliciter $f\circ g$ et $g\circ f$, puis déterminer ${\mathcal{D}}_{f\circ g}$ et ${\mathcal{D}}_{g\circ f}$.

a. $f(x)=\sqrt{x}$ et $g(x)=4-x^2$.

b. $f(x)=\ln x$ et $g(x)=x^2-1$.

4. Vrai ou faux, avec justification. « Pour toutes fonctions $f$ et $g$, les ensembles ${\mathcal{D}}_{f\circ g}$ et ${\mathcal{D}}_{g\circ f}$ sont égaux. »

Les trois parties sont indépendantes.

Partie A. Parité

On rappelle qu'une fonction ne peut être dite paire ou impaire que si son ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l'ensemble de définition, puis dire si la fonction est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre.

2. Question de cours. Soit $f$ une fonction définie sur une partie de $\mathbb{R}$ symétrique par rapport à $0$. Quelle propriété géométrique la courbe ${\mathcal{C}}_f$ possède-t-elle lorsque $f$ est paire ? lorsque $f$ est impaire ?

3. Existe-t-il une fonction définie sur $\mathbb{R}$ qui soit à la fois paire et impaire ? Les déterminer toutes.

Partie B. Monotonie par composition

Dans cette partie, aucune dérivée n'est autorisée : on raisonne uniquement à partir de la monotonie des fonctions usuelles et de la règle des signes de la composition.

4. Déterminer le sens de variation de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué, en détaillant la chaîne de composition utilisée.

5. Vrai ou faux, avec justification.

a. La somme de deux fonctions croissantes sur un intervalle $I$ est croissante sur $I$.

b. Le produit de deux fonctions croissantes sur un intervalle $I$ est croissant sur $I$.

Partie C. Fonctions bornées

6. Démontrer que chacune des fonctions suivantes est bornée sur $\mathbb{R}$, en exhibant à chaque fois une majoration et une minoration explicites. Préciser si les bornes obtenues sont atteintes.

On rappelle que, pour $a>0$ et $x$ réel, $a^x=e^{x\ln a}$, et que $\exp$ et $\ln$ sont deux bijections réciproques l'une de l'autre, strictement croissantes.

Consigne impérative pour tout l'exercice : commencer par déterminer le domaine de validité de l'équation ou de l'inéquation, c'est-à-dire l'ensemble des réels pour lesquels les deux membres ont un sens. Toute solution obtenue en dehors de ce domaine doit être écartée.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes.

2. On s'intéresse à l'inéquation $e^x⩾2-x$, d'inconnue $x\in \mathbb{R}$. On pose $\phi (x)=e^x+x-2$.

a. Justifier, sans dériver, que $\phi$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

b. Calculer $\phi (0)$ et $\phi (1)$. On admet qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $\phi (\alpha )=0$ ; ce point sera établi plus loin dans le chapitre à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires. Encadrer $\alpha$ par deux entiers consécutifs.

c. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $e^x⩾2-x$.

3. Vrai ou faux, avec justification. « Pour tout réel $x$ tel que les deux membres sont définis, $\ln \left(x^2\right)=2\ln x$. »

On utilisera librement les limites usuelles du cours et les théorèmes d'opérations sur les limites (somme, produit, quotient, composition).

1. Déterminer, en justifiant brièvement par le théorème d'opération employé, chacune des limites suivantes.

2. Pour chacune des trois expressions suivantes, nommer d'abord la forme indéterminée rencontrée, puis la lever et conclure.

3. Question de cours. Citer les quatre formes indéterminées vues en cours.

4. Vrai ou faux, avec justification. « Si ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=0}$ et ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)=+\mathrm{\infty }}$, alors ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)g(x)=0}$. »

En $+\mathrm{\infty }$ et en $-\mathrm{\infty }$, une somme de puissances de $x$ est dominée par son terme de plus haut degré. La méthode systématique consiste à factoriser ce terme dominant au numérateur et au dénominateur, puis à simplifier : l'indétermination disparaît.

On rappelle que pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, donc $\sqrt{x^2}=x$ si $x⩾0$ et $\sqrt{x^2}=-x$ si $x⩽0$.

1. Déterminer les limites suivantes en factorisant le terme dominant.

2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ par $f(x)={\displaystyle \frac{(2x+1{)}^3}{x^3+8}}$. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$ et ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$.

3. Question de cours. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls, de degrés respectifs $p$ et $q$, de coefficients dominants $a_p$ et $b_q$. Énoncer la règle donnant ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}}$ selon la comparaison de $p$ et $q$.

4. Un étudiant écrit : « pour tout réel $x$ non nul, $\sqrt{9x^2+1}=3x\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{9x^2}}}$ ». Cette égalité est-elle correcte ? La corriger si nécessaire, et indiquer laquelle des questions 1.f et 1.g l'erreur ferait échouer.

On rappelle le théorème des croissances comparées. Pour tous réels $\alpha >0$ et $\beta >0$ :

$$\frac{(\ln x{)}^{\beta }}{x^{\alpha }}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,\frac{e^x}{x^{\alpha }}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty },x^{\alpha }\ln x\underset{x\to 0^{+}}{\overset{}{\to }}0,x^{\alpha }{e}^{-x}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0$$

Toutes ces limites sont à savoir par cœur : dans une confrontation entre un logarithme, une puissance et une exponentielle, c'est toujours le plus « fort » des deux qui impose la conclusion.

1. Déterminer les limites suivantes, en précisant à chaque fois laquelle des quatre croissances comparées est utilisée.

Pour la question j, on commencera par écrire $x^{1\mathrm{/}x}$ sous la forme $e^{u(x)}$.

2. Déterminer les limites suivantes, en factorisant d'abord le terme dominant.

3. Classer les trois familles de fonctions $x\mapsto \ln x$, $x\mapsto x^{\alpha }$ (avec $\alpha >0$) et $x\mapsto e^x$ par « ordre de force » croissante au voisinage de $+\mathrm{\infty }$. Énoncer en une phrase la règle pratique qui permet de conclure sur un quotient dont le numérateur et le dénominateur appartiennent à cette liste.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser d'abord l'ensemble sur lequel elle est dérivable, puis calculer sa dérivée et simplifier le résultat autant que possible.

Pour la question h, on écrira au préalable $x^x$ sous la forme $e^{u(x)}$, la fonction étant considérée sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$.

2. Question de cours. Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Donner les dérivées de $e^u$, de $u^n$, puis, sous l'hypothèse supplémentaire que $u$ est strictement positive sur $I$, celles de $\ln u$ et de $\sqrt{u}$.

3. Vrai ou faux, avec justification. « Pour tout $x>0$, la dérivée de $x\mapsto x^x$ vaut $x\cdot x^{x-1}$. »

4. On reprend la fonction $f_9$ de la question 1.i. Démontrer, sans utiliser sa dérivée, que $f_9$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. On pourra commencer par écrire $f_9(x)$ sous la forme $1-{\displaystyle \frac{c}{e^x+1}}$ pour une constante $c$ à déterminer.

On rappelle les formes à reconnaître, $u$ désignant une fonction dérivable sur l'intervalle considéré :

$$u^{\mathrm{\prime }}{u}^n⟶\frac{u^{n+1}}{n+1},\frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}⟶\ln u(u>0),u^{\mathrm{\prime }}{e}^u⟶e^u,\frac{u^{\mathrm{\prime }}}{\sqrt{u}}⟶2\sqrt{u}(u>0)$$

Partie A. Reconnaître une primitive

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué, en nommant la forme reconnue.

2. Déterminer l'unique primitive $F$ de $f_4$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(0)=1$.

Partie B. Intégrales immédiates

3. Calculer les intégrales suivantes. On donnera à chaque fois la valeur exacte, et l'on vérifiera au préalable que la fonction intégrée est bien continue sur le segment d'intégration.

4. Vrai ou faux, avec justification. Un étudiant écrit :

$${\int }_{-1}^1\frac{\mathrm{d}t}{t^2}={[-\frac{1}{t}]}_{-1}^1=-1-1=-2$$

Deux arguments distincts permettent de repérer l'erreur : les donner tous les deux.

Les trois parties sont indépendantes. Dans chacune, on attend la même démarche : calcul de la dérivée, factorisation puis étude de son signe, limites aux bornes, tableau de variations complet, extremums.

Partie A. Une fonction polynomiale

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$.

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et le factoriser.

2. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$ et ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$.

3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$, valeurs des extremums comprises.

4. La fonction $f$ admet-elle un maximum sur $\mathbb{R}$ ? Préciser la nature, locale ou globale, de chacun des deux extremums trouvés.

Partie B. Une fonction rationnelle

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ par $g(x)={\displaystyle \frac{x^2+3}{x-1}}$. On admet les quatre limites suivantes :

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g(x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g(x)=+\mathrm{\infty },\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=+\mathrm{\infty }$$

5. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ et vérifier que le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ est celui de $(x-3)(x+1)$.

6. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

7. Justifier que $g$ admet un minimum sur l'intervalle $]1,+\mathrm{\infty }[$ et en donner la valeur. La fonction $g$ admet-elle un minimum sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ tout entier ?

Partie C. Une fonction avec exponentielle

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=(x-1)e^x$.

8. Calculer $h^{\mathrm{\prime }}(x)$ et montrer que son signe est celui de $x$.

9. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }h(x)}$ et ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }h(x)}$. On justifiera la première par une croissance comparée.

10. Dresser le tableau de variations de $h$, puis en déduire que pour tout réel $x$, $(x-1)e^x⩾-1$.

11. Combien l'équation $h(x)=-1$ admet-elle de solutions ? Les donner.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $[-3,2]$. La courbe tracée ci-dessous est celle de sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$, et non celle de $f$. On lira les valeurs remarquables sur la figure, et l'on utilisera en plus la seule donnée numérique de l'énoncé : $f(-2)=-1$.

1. Dresser le tableau de signes de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour $x$ parcourant $[-3,2]$.

2. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[-3,2]$. On y fera figurer la valeur $f(-2)$, seule valeur de $f$ connue.

3. En quels points la courbe de $f$ admet-elle une tangente horizontale ? Pour chacun, préciser s'il s'agit d'un extremum local de $f$ et de quelle nature.

4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $-2$.

5. Lire sur la figure les abscisses des points de la courbe de $f$ en lesquels la tangente a pour coefficient directeur $1$.

6. Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie, fausse, ou impossible à trancher avec les seules informations données ? Justifier à chaque fois.

On rappelle que la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ lorsque $f$ admet une limite infinie en $a$, à droite ou à gauche. Toute la difficulté consiste à déterminer le signe du dénominateur de part et d'autre de la valeur interdite : c'est lui, et lui seul, qui décide entre $+\mathrm{\infty }$ et $-\mathrm{\infty }$.

On considère les cinq fonctions suivantes.

1. Déterminer l'ensemble de définition de chacune de ces cinq fonctions.

2. Étude de $f_1$ au voisinage de $3$.

a. Préciser la limite de $x+2$ en $3$, ainsi que le signe de $x-3$ selon que $x<3$ ou $x>3$.

b. En déduire ${\displaystyle \underset{x\to 3^{-}}{\lim }{f}_1(x)}$ et ${\displaystyle \underset{x\to 3^{+}}{\lim }{f}_1(x)}$, puis les asymptotes verticales de ${\mathcal{C}}_{f_1}$.

3. Étude de $f_2$ au voisinage de $-2$ et de $2$.

a. Factoriser $x^2-4$ et dresser le tableau de signes de cette expression.

b. Déterminer les quatre limites de $f_2$ en $-2^{-}$, en $-2^{+}$, en $2^{-}$ et en $2^{+}$, puis conclure.

4. Étude de $f_3$ au voisinage de $1$. En écrivant $f_3(x)={\displaystyle \frac{\ln x-\ln 1}{x-1}}$, reconnaître un taux d'accroissement et en déduire ${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }{f}_3(x)}$. La droite d'équation $x=1$ est-elle asymptote à ${\mathcal{C}}_{f_3}$ ?

5. Étude de $f_4$ au voisinage de $0$.

a. En posant $t={\displaystyle \frac{1}{x}}$, déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}_4(x)}$. On utilisera la croissance comparée ${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{e^t}{t}}=+\mathrm{\infty }}$.

b. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{f}_4(x)}$. Y a-t-il, de ce côté, une forme indéterminée ?

c. Conclure quant aux asymptotes de ${\mathcal{C}}_{f_4}$.

6. Étude de $f_5$. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }{f}_5(x)}$, ${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{f}_5(x)}$ et ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}_5(x)}$, puis conclure.

7. Synthèse.

a. Dresser la liste des asymptotes verticales des cinq courbes.

b. Pour laquelle des cinq fonctions la valeur interdite donne-t-elle une limite finie de part et d'autre ? Que peut-on dire de l'allure de la courbe en ce point ?

c. Pour laquelle des cinq fonctions la droite obtenue n'est-elle asymptote que d'un seul côté de la courbe ?

Toutes les limites de cet exercice conduisent à une forme indéterminée que l'on lèvera en multipliant et en divisant par la quantité conjuguée, à l'aide de l'identité $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$.

1. Préliminaire, en vue de la limite 2. e.

a. Déterminer l'ensemble des réels $x$ tels que $x^2+3x⩾0$.

b. Démontrer que, pour tout réel $x⩽-3$, $\sqrt{x^2+3x}=-x\sqrt{1+{\displaystyle \frac{3}{x}}}$. On prendra garde au fait que $\sqrt{x^2}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$.

2. Déterminer les six limites suivantes, en rédigeant intégralement.

3. Expliquer en quelques lignes pourquoi la multiplication par la quantité conjuguée lève l'indétermination. On précisera quelle forme indéterminée disparaît, et par quelle autre forme, connue, elle est remplacée.

4. Comparer les résultats de 2. a. et de 2. e. Pourquoi la limite en $-\mathrm{\infty }$ ne s'obtient-elle pas en changeant simplement $x$ en $-x$ dans le calcul fait en $+\mathrm{\infty }$ ?

5. Démontrer que ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{x^2+x}-x-{\displaystyle \frac{1}{2}})=0}$, puis interpréter ce résultat pour la courbe de la fonction $x\mapsto \sqrt{x^2+x}$. Préciser la position de cette courbe par rapport à la droite d'équation $y=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Partie A. La partie entière

On rappelle que, pour tout réel $t$, $\lfloor t\rfloor$ désigne l'unique entier $m$ vérifiant $m⩽t<m+1$.

1. Démontrer que, pour tout réel $t$, $t-1<\lfloor t\rfloor ⩽t$.

2. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\lfloor x\rfloor }{x}}}$.

3. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\lfloor {\displaystyle \frac{1}{x}}\rfloor }$.

4. On pose $\phi (x)={\displaystyle \frac{\lfloor 3x\rfloor }{x}}$ pour $x\mathrm{\ne }0$.

a. Écrire l'encadrement de la question 1. appliqué à $t=3x$, puis le diviser par $x>0$. Expliquer pourquoi il ne permet pas de conclure quant à la limite de $\phi$ en $0^{+}$.

b. Démontrer que $\lfloor 3x\rfloor =0$ pour tout $x\in ]0,{\displaystyle \frac{1}{3}}[$, puis en déduire ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\phi (x)}$.

c. Par la même méthode, déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\phi (x)}$. La fonction $\phi$ admet-elle une limite en $0$ ?

Partie B. Encadrement par une fonction bornée

Soit $g$ une fonction définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ et bornée : il existe un réel $M>0$ tel que $\mathrm{\mid }g(x)\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

5. a. Démontrer que ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{x}^{2}g(x)=0}$.

b. Démontrer que ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{g(x)}{x}}=0}$.

c. Ces deux résultats subsistent-ils si l'on suppose seulement que $g$ est majorée ?

6. On pose $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$. Démontrer que $0⩽\{x\}<1$ pour tout réel $x$, puis déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x+\lfloor x\rfloor }{x^2+1}}}$.

7. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{x}^2(\lfloor {\displaystyle \frac{1}{x}}\rfloor -{\displaystyle \frac{1}{x}})}$.

Partie A. Une parabole et un logarithme

Soient $a$ et $b$ deux réels. On définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+ax& \text{si }x⩽1\\ b\ln x+3& \text{si }x>1\end{array}$$

1. Justifier que, quels que soient $a$ et $b$, $f$ est continue et dérivable sur $]-\mathrm{\infty },1[$ et sur $]1,+\mathrm{\infty }[$. Quel est donc le seul point qui demande une étude ?

2. a. Calculer $f(1)$ et ${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)}$.

b. En déduire la valeur de $a$ pour laquelle $f$ est continue en $1$. Le réel $b$ intervient-il ?

3. Dans toute la suite de la partie A, $a$ prend la valeur trouvée à la question 2. On rappelle que ${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x-1}}=1}$.

a. Démontrer que ${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)-f(1)}{x-1}}=4}$.

b. Exprimer ${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)-f(1)}{x-1}}}$ en fonction de $b$.

c. En déduire la valeur de $b$ pour laquelle $f$ est dérivable en $1$, ainsi que $f^{\mathrm{\prime }}(1)$.

4. Pour ces valeurs de $a$ et de $b$, donner une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $1$.

Partie B. Un recollement impossible

Soit $c$ un réel. On définit la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ par

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+c& \text{si }x⩽1\\ {\displaystyle \frac{1}{x}}& \text{si }x>1\end{array}$$

5. Déterminer l'unique valeur de $c$ pour laquelle $g$ est continue en $1$.

6. Cette valeur de $c$ étant désormais fixée :

a. calculer les limites à gauche et à droite en $1$ du taux d'accroissement ${\displaystyle \frac{g(x)-g(1)}{x-1}}$ ;

b. la fonction $g$ est-elle dérivable en $1$ ? Justifier ;

c. donner les équations des deux demi-tangentes à ${\mathcal{C}}_g$ au point d'abscisse $1$. On dit que la courbe présente en ce point un point anguleux : interpréter.

7. Une fonction peut-elle être dérivable en un point sans y être continue ? Justifier, et expliquer pourquoi la question de la continuité doit toujours être réglée avant celle de la dérivabilité.

On rappelle qu'une fonction $f$, continue sur $I\setminus \{a\}$, est prolongeable par continuité en $a$ si et seulement si $f$ admet en $a$ une limite finie $\mathrm{\ell }$. Le prolongement $\tilde{f}$ est alors défini par $\tilde{f}(x)=f(x)$ pour $x\mathrm{\ne }a$ et $\tilde{f}(a)=\mathrm{\ell }$.

On considère les cinq fonctions suivantes, chacune accompagnée du point $a$ en lequel on cherche à la prolonger.

1. Pour chacune de ces cinq fonctions, préciser l'ensemble de définition et justifier brièvement la continuité sur cet ensemble.

2. Étudier la limite de $f_1$ en $0$ et conclure quant au prolongement. On citera la croissance comparée utilisée.

3. Les fonctions $f_2$ et $f_3$ font apparaître un taux d'accroissement, que l'on identifiera précisément. En déduire les limites de $f_2$ en $0$ et de $f_3$ en $1$, ainsi que les prolongements correspondants.

4. Simplifier l'expression de $f_4$, puis conclure quant au prolongement en $2$.

5. a. Déterminer séparément ${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{f}_5(x)}$ et ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}_5(x)}$.

b. La fonction $f_5$ est-elle prolongeable par continuité en $0$ ? Justifier soigneusement.

c. La restriction de $f_5$ à $]-\mathrm{\infty },0[$ est-elle, elle, prolongeable par continuité en $0$ ? Si oui, préciser la valeur du prolongement.

6. Pour chacun des prolongements obtenus aux questions 2. à 4., préciser l'ensemble sur lequel la fonction prolongée est continue.

7. Synthèse. Énoncer en une phrase le critère qui décide de l'existence d'un prolongement par continuité, et expliquer pourquoi une limite infinie, même identique des deux côtés, ne permet jamais de prolonger.

Partie A. Une équation avec une exponentielle

On s'intéresse à l'équation $(E)$ : $e^x=3-x$, d'inconnue $x\in \mathbb{R}$.

1. Démontrer que $(E)$ équivaut à $f(x)=0$, où $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x+x-3$. Justifier que $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

2. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$ et ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$. En déduire, en citant précisément le théorème utilisé, que $(E)$ admet une unique solution réelle, notée $\alpha$.

3. Calculer $f(0)$ et $f(1)$, et en déduire un premier encadrement de $\alpha$.

4. On applique la méthode de dichotomie en partant de l'intervalle $[0,1]$ : à chaque étape, on calcule le signe de $f$ au milieu de l'intervalle courant, puis on conserve la moitié aux extrémités de laquelle $f$ change de signe.

a. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous jusqu'à obtenir un intervalle d'amplitude strictement inférieure à ${10}^{-1}$.

b. En déduire un encadrement de $\alpha$ d'amplitude strictement inférieure à ${10}^{-1}$, puis une valeur approchée de $\alpha$ à ${10}^{-1}$ près.

c. L'amplitude de l'intervalle obtenu après $n$ étapes vaut $2^{-n}$. Combien d'étapes faudrait-il pour obtenir un encadrement d'amplitude inférieure à ${10}^{-3}$ ?

Partie B. Deux équations polynomiales

5. On pose $g(x)=x^3+x-5$.

a. Étudier les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ et déterminer ses limites en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$.

b. Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution réelle $\beta$, et que $\beta \in ]1,2[$.

c. Déterminer un encadrement de $\beta$ d'amplitude ${10}^{-1}$.

6. On pose $h(x)=x^3-3x+1$.

a. Calculer $h^{\mathrm{\prime }}(x)$, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations complet de $h$, limites comprises.

b. En déduire que l'équation $h(x)=0$ admet exactement trois solutions réelles.

c. Déterminer, pour chacune de ces trois solutions, deux entiers consécutifs entre lesquels elle est comprise.

7. Expliquer pourquoi la stricte monotonie de $f$ était indispensable, dans la partie A, pour conclure à l'unicité de la solution, alors que le théorème des valeurs intermédiaires n'en fournit que l'existence. Illustrer avec la fonction $h$ de la question 6.

Partie A. Deux bijections sans expression explicite

1. On pose $f(x)=x^3+3x-1$ pour $x\in \mathbb{R}$.

a. Démontrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.

b. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, puis démontrer que $\alpha \in ]\mathrm{0,3};\mathrm{0,4}[$.

c. Préciser l'ensemble de définition, le sens de variation et la continuité de $f^{-1}$.

d. Calculer $f^{-1}(-1)$, $f^{-1}(3)$, et exprimer $f^{-1}(0)$.

2. On pose $g(x)=\ln x+x$ pour $x\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$.

a. Étudier les variations de $g$ et déterminer ses limites en $0^{+}$ et en $+\mathrm{\infty }$.

b. En déduire que $g$ réalise une bijection de ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ sur un intervalle $J^{\mathrm{\prime }}$ que l'on précisera.

c. Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\beta$, et que $\mathrm{0,5}<\beta <\mathrm{0,6}$.

d. Préciser l'ensemble de définition, le sens de variation et la continuité de $g^{-1}$, puis calculer $g^{-1}(1)$ et $g^{-1}(e+1)$.

Partie B. Une réciproque que l'on sait calculer

On pose $h(x)={\displaystyle \frac{2x-1}{x+3}}$.

3. Déterminer ${\mathcal{D}}_h$, calculer $h^{\mathrm{\prime }}(x)$ et étudier son signe.

4. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to -3^{+}}{\lim }h(x)}$ et ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }h(x)}$.

5. Démontrer que $h$ réalise une bijection de $I=]-3,+\mathrm{\infty }[$ sur un intervalle $J^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ que l'on précisera.

6. Soit $y\in J^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$. Résoudre l'équation $h(x)=y$, d'inconnue $x\in I$, et en déduire une expression de $h^{-1}(y)$.

7. Vérifier le résultat sur l'exemple $x=1$, préciser le sens de variation de $h^{-1}$, et dire ce que l'on peut affirmer des courbes de $h$ et de $h^{-1}$ dans un repère orthonormé.

On rappelle que, pour comparer une courbe ${\mathcal{C}}_f$ et une droite d'équation $y=ax+b$, on étudie le signe de la différence $f(x)-(ax+b)$ : la courbe est au-dessus de la droite là où cette différence est positive, en dessous là où elle est négative.

Partie A. La courbe du logarithme et sa tangente en $0$

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=\ln (1+x)$.

1. Calculer $f(0)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis donner une équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$.

2. On pose $\phi (x)=f(x)-x$ pour $x\in ]-1,+\mathrm{\infty }[$.

a. Démontrer que ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-x}{1+x}}$, puis étudier le signe de ${\phi }^{\mathrm{\prime }}$ sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$.

b. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to -1^{+}}{\lim }\phi (x)}$. On admettra que ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\phi (x)=-\mathrm{\infty }}$. Dresser le tableau de variations de $\phi$.

c. En déduire le signe de $\phi$ sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$, puis la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $T$. Préciser les points de contact.

d. Énoncer l'inégalité ainsi démontrée.

Partie B. La courbe de l'exponentielle et sa tangente en $0$

3. Soit $g$ la fonction $x\mapsto e^x$. Donner une équation de la tangente $T^{\mathrm{\prime }}$ à ${\mathcal{C}}_g$ au point d'abscisse $0$.

4. En étudiant les variations de $\psi (x)=e^x-x-1$ sur $\mathbb{R}$, démontrer que ${\mathcal{C}}_g$ est située au-dessus de $T^{\mathrm{\prime }}$, et énoncer l'inégalité obtenue.

5. Retrouver l'inégalité de la partie A en appliquant celle de la partie B à un réel bien choisi.

Partie C. Une tangente astreinte à passer par un point donné

Soit $p$ la fonction $x\mapsto x^2$ et soit $A$ le point de coordonnées $(1;-3)$.

6. Vérifier que $A$ n'appartient pas à ${\mathcal{C}}_p$.

7. Soit $a$ un réel. Donner une équation de la tangente $T_a$ à ${\mathcal{C}}_p$ au point d'abscisse $a$.

8. Déterminer tous les réels $a$ pour lesquels $T_a$ passe par $A$, et donner les équations des tangentes correspondantes.

9. Soit $A_0$ un point de coordonnées $(x_0;y_0)$. Discuter, selon la position de $A_0$ par rapport à ${\mathcal{C}}_p$, le nombre de tangentes à ${\mathcal{C}}_p$ passant par $A_0$.

Dans tout cet exercice, l'étude de la dérivabilité au point considéré doit être menée par le taux d'accroissement, sans utiliser les formules de dérivation. On rappelle que $f$ est dérivable en $a$ lorsque ${\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $a$, et que cette limite est alors $f^{\mathrm{\prime }}(a)$.

1. Soit $f_1$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_1(x)=\mid x^2-1\mid$.

a. Écrire $f_1(x)$ sans valeur absolue, en distinguant les cas $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩽1$ et $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩾1$.

b. Calculer ${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{f_1(x)-f_1(1)}{x-1}}}$ et ${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{f_1(x)-f_1(1)}{x-1}}}$. La fonction $f_1$ est-elle dérivable en $1$ ?

c. Reprendre la question b. au point $-1$.

d. Donner les équations des deux demi-tangentes à ${\mathcal{C}}_{f_1}$ au point d'abscisse $1$.

2. Soit $f_2$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^{+}$ par $f_2(x)=\sqrt{x}$. Étudier la limite du taux d'accroissement de $f_2$ en $0$, conclure quant à la dérivabilité, et interpréter graphiquement.

3. Soit $f_3$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_3(x)=x\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$. Étudier la dérivabilité de $f_3$ en $0$ et, le cas échéant, donner $f_3^{\mathrm{\prime }}(0)$ ainsi qu'une équation de la tangente correspondante.

4. Soit $f_4$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_4(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$, c'est-à-dire $f_4(x)=\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^{3\mathrm{/}2}$. Étudier la dérivabilité de $f_4$ en $0$.

5. Justifier que les quatre fonctions étudiées sont continues au point considéré. Qu'en conclure sur la réciproque de l'implication « $f$ dérivable en $a$ » $⟹$ « $f$ continue en $a$ » ?

6. Synthèse. Classer les quatre situations rencontrées selon le comportement du taux d'accroissement : deux limites latérales finies distinctes, limite infinie, limite finie. Préciser dans chaque cas si ${\mathcal{C}}_f$ admet une tangente au point étudié, et laquelle.

Partie A. Une fraction rationnelle

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x-1}}$, et on note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. Déterminer ${\mathcal{D}}_f$.

2. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$, $f(x)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x-1}}$.

3. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de ${\mathcal{D}}_f$, en distinguant la limite à gauche et la limite à droite en $1$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu en $1$.

4. Montrer que, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2-3}{(x-1{)}^2}}$, puis étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

5. Dresser le tableau de variations complet de $f$, en faisant apparaître les valeurs exactes des extremums locaux.

6. Montrer que la droite $\mathrm{\Delta }$ d'équation $y=x+2$ est asymptote à ${\mathcal{C}}_f$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$, puis étudier la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $\mathrm{\Delta }$.

7. Déterminer les points de ${\mathcal{C}}_f$ en lesquels la tangente est horizontale. Écrire enfin une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$.

Partie B. Une fonction avec une racine carrée

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x+\sqrt{x^2+1}$, de courbe représentative ${\mathcal{C}}_g$.

8. Justifier que $g$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ et démontrer que $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

9. Démontrer que, pour tout réel $x$, $g(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}}$. En déduire ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)}$ et l'asymptote correspondante.

10. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)}$, puis démontrer que la droite $D$ d'équation $y=2x$ est asymptote à ${\mathcal{C}}_g$ en $+\mathrm{\infty }$. Préciser la position de ${\mathcal{C}}_g$ par rapport à $D$.

11. Dresser le tableau de variations de $g$ et préciser l'ensemble $g(\mathbb{R})$.

On rappelle la formule d'intégration par parties : si $u$ et $v$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un segment $[a,b]$, alors

$${\int }_a^{b}u(t)v^{\mathrm{\prime }}(t)dt=[u(t)v(t){]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}(t)v(t)dt$$

Dans chaque calcul, on précisera les fonctions $u$ et $v^{\mathrm{\prime }}$ choisies et on vérifiera qu'elles sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur le segment considéré.

Partie A. Le modèle « polynôme fois exponentielle »

1. Calculer les intégrales suivantes.

Pour la question 1.c., deux intégrations par parties successives sont nécessaires ; on pourra réutiliser le résultat de la question 1.a.

Partie B. Le modèle « logarithme »

2. Calculer les intégrales suivantes.

Pour la question 2.a., on écrira $\ln t=1\times \ln t$.

3. En déduire la valeur de ${\displaystyle {\int }_1^e(\ln t{)}^{2}dt}$.

Partie C. Questions de méthode

4. Dans les six calculs précédents, préciser quel facteur a été pris pour $u$ et lequel pour $v^{\mathrm{\prime }}$. Énoncer la règle de choix qui s'en dégage, en distinguant le cas où l'un des facteurs est un logarithme.

5. On reprend le calcul de ${\displaystyle {\int }_0^{1}x{e}^{x}dx}$ avec le choix inverse : $u(x)=e^x$ et $v^{\mathrm{\prime }}(x)=x$. Écrire l'égalité obtenue. Est-elle fausse ? Pourquoi ce choix ne permet-il pas de conclure directement ?

6. Calculer ${\displaystyle {\int }_1^e{\displaystyle \frac{\ln t}{t}}dt}$. Une intégration par parties est-elle ici la bonne méthode ?

Partie A. Le théorème

1. Énoncer le théorème de changement de variable pour une intégrale sur un segment, en précisant les hypothèses de régularité portant sur la fonction intégrée et sur le changement de variable, ainsi que la transformation subie par les bornes.

Partie B. Cinq changements de variable

2. Calculer les intégrales suivantes à l'aide du changement de variable indiqué.

3. Pour les changements de variable des questions 2.b. et 2.c., vérifier explicitement que les hypothèses du théorème de la question 1. sont satisfaites.

Partie C. Ne pas oublier les bornes

4. Un étudiant rédige ainsi la question 2.a. : « on pose $u=2t+1$, donc $du=2dt$, d'où ${\displaystyle {\int }_0^1(2t+1{)}^{4}dt={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^1{u}^{4}du}$ ». Calculer la valeur qu'il obtient, la comparer à la valeur exacte, et expliquer l'erreur commise.

5. Retrouver le résultat de la question 2.c. sans changement de variable, en reconnaissant une expression de la forme ${\displaystyle \frac{{\phi }^{\mathrm{\prime }}}{\phi }}$. Faire de même pour la question 2.d. en reconnaissant une expression de la forme ${\phi }^{\mathrm{\prime }}{\phi }^2$.

6. Calculer ${\displaystyle {\int }_1^3{\displaystyle \frac{dt}{(2t-1{)}^2}}}$ en choisissant soi-même le changement de variable.