Devoir surveillé — Fonctions réelles d'une variable réelle

Consignes générales. La calculatrice est interdite. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; à l'intérieur d'un exercice, le résultat d'une question peut toujours être admis pour traiter les suivantes. La rédaction est notée : on justifie l'existence d'une limite avant de la manipuler, et toute application d'un théorème s'accompagne de la vérification explicite de ses hypothèses.

Un capital $C_0>0$ placé au taux annuel $r>0$ à intérêts composés vaut $C_0(1+r{)}^t$ au bout de $t$ années, où l'on autorise $t$ à prendre n'importe quelle valeur réelle positive. On cherche s'il existe un réel $t⩾0$ au bout duquel le capital initial a exactement doublé : la question 1. établira qu'un tel réel existe et qu'il est unique. On l'appellera le temps de doublement au taux $r$ et on le notera $T(r)$.

Les professionnels de la finance utilisent une règle de calcul mental, dite règle des 72 : au taux de $p\mathrm{\%}$ par an, un capital double en ${\displaystyle \frac{72}{p}}$ années environ. Cet exercice explique d'où sort ce nombre, et pourquoi ce n'est pas celui qu'un calcul exact donnerait.

On donne $\ln 2\approx \mathrm{0,6931}$, $\ln (\mathrm{1,05})\approx \mathrm{0,0488}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{0,6931}}{\mathrm{0,0488}}}\approx \mathrm{14,20}$. On utilisera librement l'encadrement classique, établi au cours comme application de l'inégalité des accroissements finis : pour tout réel $u>0$,

$$\frac{u}{1+u}⩽\ln (1+u)⩽u\mathrm{.}$$

1. Démontrer que, pour tout $r>0$, un tel réel existe, est unique, et vaut $T(r)={\displaystyle \frac{\ln 2}{\ln (1+r)}}$. (0,25 point)

2. Démontrer que $T$ est strictement décroissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, déterminer ses limites en $0^{+}$ et en $+\mathrm{\infty }$, puis interpréter ces deux limites dans le contexte du placement. (0,5 point)

3. On admet la limite usuelle ${\displaystyle \underset{u\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+u)}{u}=1}$. En déduire que ${\displaystyle \underset{r\to 0^{+}}{\lim }rT(r)=\ln 2}$, puis que, pour un taux faible de $p\mathrm{\%}$ par an, $T$ est proche de ${\displaystyle \frac{\mathrm{69,31}}{p}}$. Quel nombre le calcul exact désigne-t-il donc, à la place de $72$ ? (0,5 point)

4. (0,5 point) Démontrer que, pour tout $r>0$,

$$\frac{\ln 2}{r}⩽T(r)⩽\frac{(1+r)\ln 2}{r}\mathrm{.}$$

5. Application au taux de $5\mathrm{\%}$ par an. Donner l'encadrement de $T(\mathrm{0,05})$ fourni par la question 4., la valeur annoncée par la règle des 72 et la valeur exacte. La règle des 72 est-elle compatible avec l'encadrement ? Proposer deux raisons pour lesquelles les financiers ont retenu $72$ plutôt que $69$. (0,75 point)

Une entreprise met en vente un logiciel. Une étude de marché établit que, si le prix de vente est fixé à $x$ euros avec $x⩾0$, le nombre d'exemplaires vendus dans le mois est

$$q(x)=1000e^{-x\mathrm{/}4}\mathrm{.}$$

Produire et livrer un exemplaire coûte $c$ euros à l'entreprise, où $c⩾0$. La partie A ne fait pas intervenir $c$. La partie B utilise la valeur $c=2$, sauf à la question 5. qui revient à un $c$ quelconque.

On donne $e^{-1}\approx \mathrm{0,3679}$, $e^{-3\mathrm{/}2}\approx \mathrm{0,2231}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{156,6}}{\mathrm{892,4}}}\approx \mathrm{0,175}$.

Partie A — La recette

La recette mensuelle est le produit du prix par le nombre d'exemplaires vendus : $R(x)=xq(x)$.

1. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }R(x)}$ en citant la croissance comparée utilisée, puis interpréter ce résultat dans le contexte. (0,25 point)

2. Calculer $R^{\mathrm{\prime }}(x)$, démontrer que son signe est celui de $4-x$, puis dresser le tableau de variations de $R$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. En déduire le prix $x_R$ qui maximise la recette, la valeur exacte de cette recette maximale, puis une valeur approchée à l'euro près. (0,75 point)

Partie B — Le profit

Le profit mensuel est ce que l'entreprise gagne réellement : chaque exemplaire vendu rapporte $x$ et lui coûte $c$, donc

$$\mathrm{\Pi }(x)=(x-c)q(x),x⩾0.$$

3. On prend $c=2$. Calculer ${\mathrm{\Pi }}^{\mathrm{\prime }}(x)$ et démontrer que son signe est celui de $6-x$. Dresser le tableau de variations de $\mathrm{\Pi }$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, puis en déduire le prix $x_{\mathrm{\Pi }}$ qui maximise le profit et la valeur exacte du profit maximal. (0,75 point)

4. Toujours avec $c=2$, calculer $\mathrm{\Pi }(x_R)$ et $\mathrm{\Pi }(x_{\mathrm{\Pi }})$, puis en déduire, avant tout arrondi, le manque à gagner mensuel d'une entreprise qui fixerait son prix au niveau qui maximise sa recette, en euros puis en pourcentage du profit maximal. On donnera enfin les trois résultats arrondis à l'unité. (0,75 point)

5. On revient à un coût unitaire $c⩾0$ quelconque. Démontrer que le profit est maximal pour $x_{\mathrm{\Pi }}=c+4$, et que $x_{\mathrm{\Pi }}=x_R$ si et seulement si $c=0$. (0,5 point)

6. Les questions 2. et 5. ne diffèrent que par la fonction que l'on dérive. Expliquer, à partir de ce seul écart, pourquoi le prix qui maximise la recette est systématiquement trop bas, et de combien. (0,5 point)

Le calcul d'une intégrale ne passe pas nécessairement par une primitive. On exploite ici la symétrie de l'intervalle d'intégration, ce qui donne la valeur exacte de plusieurs intégrales sans qu'aucune primitive n'intervienne.

1. (0,75 point) Soient $a<b$ deux réels et soit $h$ une fonction continue sur $[a,b]$. À l'aide du changement de variable $u=a+b-t$, dont on vérifiera soigneusement les hypothèses, démontrer que

$${\int }_a^{b}h(t)\mathrm{d}t={\int }_a^{b}h(a+b-t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

2. Soit $g$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $g(t)+g(1-t)>0$ pour tout $t\in [0,1]$. On pose

$$I={\int }_0^1\frac{g(t)}{g(t)+g(1-t)}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

a. Justifier que cette intégrale est bien définie. (0,25 point)

b. Démontrer que $I={\displaystyle \frac{1}{2}}$. (0,75 point)

3. Justifier que la question 2. s'applique à $g:t\mapsto e^t$, et en déduire la valeur de ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{e^t}{e^t+e^{1-t}}\mathrm{d}t}$. (0,5 point)

4. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Justifier que la question 2. s'applique à $g:t\mapsto t^n$, en déduire la valeur de ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{t^n}{t^n+(1-t{)}^n}\mathrm{d}t}$, puis contrôler ce résultat en traitant directement le cas $n=1$. (0,75 point)

5. La question 1. sert aussi dans un tout autre contexte. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{1}t(1-t{)}^7\mathrm{d}t}$ sans développer $(1-t{)}^7$. (0,5 point)

La fonction $t\mapsto e^{-t^2}$ est au cœur du calcul des probabilités, et l'on démontre qu'aucune de ses primitives ne s'exprime à l'aide des fonctions usuelles. Cet exercice établit malgré tout, et sans jamais la calculer, que l'aire sous sa courbe reste finie.

Pour tout réel $x⩾0$, on pose

$$F(x)={\int }_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

On donne $e^{-1}\approx \mathrm{0,3679}$. On utilisera librement le résultat du cours : $e^v⩾1+v$ pour tout réel $v$.

Partie A — Premières propriétés

1. Justifier que $F$ est définie et dérivable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, préciser $F^{\mathrm{\prime }}$, donner $F(0)$ et en déduire le sens de variation de $F$. (0,5 point)

Partie B — La fonction $F$ est majorée

2. Démontrer que $e^{-t^2}⩽e^{-t}$ pour tout $t⩾1$. (0,25 point)

3. En déduire que $F(x)⩽1+e^{-1}$ pour tout $x⩾0$. On distinguera les cas $0⩽x⩽1$ et $x>1$. (1 point)

Partie C — La limite

4. Démontrer que $F$ admet en $+\mathrm{\infty }$ une limite finie, notée $\mathrm{\ell }$, et que $\mathrm{\ell }={\displaystyle \underset{[0,+\mathrm{\infty }[}{\sup }F}$. On citera précisément le théorème utilisé. (0,5 point)

5. Démontrer que ${\displaystyle \frac{2}{3}}⩽\mathrm{\ell }⩽1+e^{-1}$, puis en donner un encadrement décimal dont les bornes ont deux décimales. (0,75 point)

6. Démontrer que $F$ réalise une bijection de $[0,+\mathrm{\infty }[$ sur $[0,\mathrm{\ell }[$. En déduire qu'il existe un unique réel $a>0$ tel que $F(a)={\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }}{2}}$, et interpréter géométriquement. (0,5 point)

Une fonction dérivée n'a aucune raison d'être continue, et le cours ne fournit d'ailleurs aucun moyen d'en exhiber une qui ne le soit pas. Rien ne garantit donc a priori qu'une dérivée prenne toutes les valeurs comprises entre deux de ses valeurs, puisque le théorème des valeurs intermédiaires ne s'applique qu'aux fonctions continues. Ce problème démontre qu'elle les prend malgré tout, puis en tire deux conséquences que rien n'annonce : une fonction en escalier n'est la dérivée de personne, et une fonction dont la dérivée ne prend que des valeurs entières est forcément affine.

Dans tout le problème, « $f$ est dérivable sur $[a,b]$ » signifie que $f$ est dérivable en tout point de $]a,b[$, dérivable à droite en $a$ et dérivable à gauche en $b$ ; on note encore $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(b)$ ces deux nombres dérivés.

On utilisera librement le résultat suivant, démontré dans le cours du chapitre, dont la démonstration n'est donc pas demandée :

si $g$ est définie sur un intervalle $I$, dérivable en un point $c$ intérieur à $I$, et si $g$ admet en $c$ un extremum local, alors $g^{\mathrm{\prime }}(c)=0$.

Les quatre parties s'enchaînent, mais le résultat d'une question peut être admis pour traiter les suivantes.

Partie A — Descendre depuis une borne

1. Soient $a<b$ deux réels et soit $f$ une fonction dérivable sur $[a,b]$ telle que $f^{\mathrm{\prime }}(a)<0$. En revenant à la définition de $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ comme limite d'un taux d'accroissement, démontrer qu'il existe un réel $x_1\in ]a,b]$ tel que $f(x_1)<f(a)$. (0,75 point)

2. Énoncer le résultat analogue portant sur la borne $b$, pour une fonction dérivable sur $[a,b]$ telle que $f^{\mathrm{\prime }}(b)>0$. Sa démonstration étant symétrique de la précédente, on pourra se contenter d'indiquer précisément les modifications à apporter au raisonnement de la question 1., en soignant le point où le signe de $x_2-b$ intervient. (0,5 point)

Partie B — Une dérivée qui change de signe s'annule

Dans toute cette partie, $a<b$ sont deux réels et $f$ est une fonction dérivable sur $[a,b]$ telle que

$$f^{\mathrm{\prime }}(a)<0<f^{\mathrm{\prime }}(b)\mathrm{.}$$

On ne dispose d'aucune information sur $f^{\mathrm{\prime }}$ en dehors de ses valeurs en $a$ et en $b$ : en particulier, rien ne permet de la supposer continue, et c'est bien pour cela que le théorème des valeurs intermédiaires ne servira à aucun moment.

3. Justifier que $f$ est continue sur $[a,b]$, puis qu'il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)={\displaystyle \underset{[a,b]}{\min }f}$. (0,5 point)

4. À l'aide de la partie A, démontrer que $c\mathrm{\ne }a$, puis que $c\mathrm{\ne }b$. (0,75 point)

5. En déduire que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$. On vérifiera explicitement chacune des hypothèses du résultat rappelé en préambule, en précisant à quelle question celle qui porte sur la position de $c$ a été acquise. (0,5 point)

Partie C — Le théorème

6. Soient $a<b$ deux réels, $f$ une fonction dérivable sur $[a,b]$ et $y$ un réel strictement compris entre $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(b)$. En appliquant la partie B à une fonction auxiliaire bien choisie, démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=y$. On traitera les deux cas $f^{\mathrm{\prime }}(a)<y<f^{\mathrm{\prime }}(b)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(b)<y<f^{\mathrm{\prime }}(a)$. (1 point)

7. Le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à $f^{\mathrm{\prime }}$, aurait donné la même conclusion en une ligne. Pourquoi n'a-t-on pas le droit de l'invoquer ici ? (0,5 point)

Partie D — Ce que ce théorème interdit

8. Soit $s$ la fonction définie sur $[-1,1]$ par $s(x)=-1$ si $x<0$, $s(0)=0$, et $s(x)=1$ si $x>0$. Démontrer qu'il n'existe aucune fonction $F$ dérivable sur $[-1,1]$ telle que $F^{\mathrm{\prime }}=s$. (0,75 point)

9. Soit $I$ un intervalle non réduit à un point et soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ telle que $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ soit un entier relatif pour tout $x\in I$. Démontrer que $f^{\mathrm{\prime }}$ est constante, puis que $f$ est affine sur $I$. (1,25 point)

10. En déduire que la fonction partie entière n'est la dérivée d'aucune fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. (0,5 point)