Exercices — Fonctions réelles définies sur Rⁿ

Lorsqu'une fonction de deux variables est donnée par une expression, son domaine de définition est l'ensemble

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;\text{l’expression }f(x,y)\text{ a un sens}\}$$

On rappelle les trois contraintes usuelles : un dénominateur doit être non nul, l'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle, l'argument d'un logarithme doit être strictement positif.

1. Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes, puis décrire géométriquement la partie du plan obtenue (demi-plan, disque, réunion de quadrants, plan privé d'une courbe, etc.).

2. Parmi ces six domaines, lesquels contiennent le point $A(2,1)$ ?

3. Écrire le domaine de définition de $k$ à l'aide de la norme euclidienne de ${\mathbb{R}}^2$. S'agit-il de la boule ouverte $B(0,2)$ ?

On rappelle les définitions, où $\parallel x\parallel =\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}$ désigne la norme euclidienne de ${\mathbb{R}}^n$ et $B(a,r)=\{x\in {\mathbb{R}}^n;\parallel x-a\parallel <r\}$ la boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r>0$.

• Une partie $U$ de ${\mathbb{R}}^n$ est ouverte lorsque, pour tout $a\in U$, il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subset U$.
• Une partie $F$ de ${\mathbb{R}}^n$ est fermée lorsque son complémentaire ${\mathbb{R}}^n\setminus F$ est ouvert.
• Une partie $X$ de ${\mathbb{R}}^n$ est bornée lorsqu'il existe un réel $M⩾0$ tel que $\parallel u\parallel ⩽M$ pour tout $u\in X$.

On utilisera librement les résultats suivants du cours. Si $\phi$ est une fonction continue sur ${\mathbb{R}}^n$ et $c$ un réel, alors $\{x;\phi (x)<c\}$ et $\{x;\phi (x)>c\}$ sont des parties ouvertes, tandis que $\{x;\phi (x)⩽c\}$, $\{x;\phi (x)⩾c\}$ et $\{x;\phi (x)=c\}$ sont des parties fermées. Une intersection de deux ouverts est ouverte, une réunion de deux ouverts est ouverte, une intersection de deux fermés est fermée. Enfin, toute fonction polynomiale est continue sur ${\mathbb{R}}^n$.

1. Pour chacune des six parties suivantes du plan, dire si elle est ouverte, si elle est fermée, si elle est bornée. Chaque réponse doit être justifiée.

2. Montrer que $A_1$ est exactement la boule ouverte $B(0,2)$, puis écrire $A_2$ à l'aide de la norme euclidienne.

3. Une partie de ${\mathbb{R}}^2$ qui n'est pas ouverte est-elle nécessairement fermée ? Répondre en s'appuyant sur la liste précédente.

Soit $f$ une fonction définie sur une partie $D$ de ${\mathbb{R}}^2$ et soit $k$ un réel. On appelle ligne de niveau $k$ de $f$ la partie du plan

$${\mathcal{C}}_k=\{(x,y)\in D;f(x,y)=k\}$$

Les quatre fonctions étudiées ci-dessous sont définies sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier.

1. Soit $f(x,y)=2x+y$. Déterminer ${\mathcal{C}}_k$ pour tout réel $k$ et préciser la nature géométrique de cette ligne de niveau.

2. Soit $g(x,y)=x^2+y^2$. Déterminer ${\mathcal{C}}_k$ en discutant selon le signe de $k$, et préciser à chaque fois la nature géométrique de l'ensemble obtenu.

3. Soit $h(x,y)=xy$. Déterminer ${\mathcal{C}}_k$ en distinguant le cas $k=0$ des cas $k\mathrm{\ne }0$.

4. Soit $p(x,y)=y-x^2$. Déterminer ${\mathcal{C}}_k$ pour tout réel $k$ et préciser sa nature géométrique.

5. Pour chacune de ces quatre fonctions, déterminer le niveau de la ligne de niveau qui passe par le point $A(3,4)$, puis donner l'équation de cette ligne.

On rappelle les résultats du cours qui permettent de conclure à la continuité sans jamais revenir à la définition.

• Toute fonction polynomiale de $n$ variables est continue sur ${\mathbb{R}}^n$ (résultat admis). En particulier, les fonctions coordonnées $(x,y)\mapsto x$ et $(x,y)\mapsto y$ sont continues sur ${\mathbb{R}}^2$.
• La somme et le produit de deux fonctions continues sur une partie $D$ sont continus sur $D$.
• Le quotient de deux fonctions continues sur $D$ est continu sur $D$, à condition que le dénominateur ne s'annule en aucun point de $D$.
• Si $u$ est continue sur $D$ à valeurs dans un intervalle $I$ et si $\phi$ est une fonction d'une variable continue sur $I$, alors la composée $\phi \circ u$ est continue sur $D$.

1. Pour chacune des cinq fonctions suivantes, déterminer le plus grand domaine $D$ sur lequel l'expression a un sens, puis justifier entièrement la continuité de la fonction sur $D$ en n'invoquant que les théorèmes opératoires.

a. $f(x,y)=x^3-2x{y}^2+5y+1$

b. $g(x,y)={\displaystyle \frac{x-y}{x^2+y^2+1}}$

c. $h(x,y)=e^{x^2-y}$

d. $k(x,y)={\displaystyle \frac{\ln (x+y)}{x-y}}$

e. $\mathrm{\ell }(x,y,z)={\displaystyle \frac{xyz}{x^2+y^2+z^2}}$

2. Soit $\phi (x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$. Déterminer son domaine de définition $D$ et le décrire géométriquement. Les théorèmes opératoires permettent-ils de conclure à la continuité de $\phi$ sur $D$ tout entier, bord compris ?

3. Soit $P$ une fonction polynomiale de deux variables. Rappeler pourquoi $P$ est continue sur ${\mathbb{R}}^2$, puis en déduire que la fonction $(x,y)\mapsto {\displaystyle \frac{1}{P(x,y)}}$ est continue sur $U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;P(x,y)\mathrm{\ne }0\}$.

On rappelle la définition. Soit $f$ une fonction de deux variables définie sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^2$ et soit $a=(a_1,a_2)\in U$. La première fonction partielle de $f$ en $a$ est la fonction d'une variable $t\mapsto f(t,a_2)$, et la dérivée partielle ${\mathrm{\partial }}_{1}f(a)$ est, lorsqu'elle existe, le nombre dérivé de cette fonction partielle en $t=a_1$. On définit de même ${\mathrm{\partial }}_{2}f(a)$ à partir de $t\mapsto f(a_1,t)$.

En pratique, cela signifie que l'on calcule ${\mathrm{\partial }}_{1}f$ en dérivant l'expression par rapport à $x$, la variable $y$ étant traitée comme une constante, et réciproquement pour ${\mathrm{\partial }}_{2}f$.

1. Calculer les deux dérivées partielles d'ordre $1$ de chacune des fonctions suivantes. On précisera au préalable l'ouvert sur lequel on travaille lorsque ce n'est pas ${\mathbb{R}}^2$.

2. Pour la fonction $k$ de l'item d, écrire explicitement la première fonction partielle $t\mapsto k(t,3)$, la dériver comme une fonction d'une seule variable, et vérifier que le résultat coïncide avec ${\mathrm{\partial }}_{1}k(x,3)$.

3. Vérifier que la fonction $m$ de l'item f satisfait, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$x{\mathrm{\partial }}_{1}m(x,y)+y{\mathrm{\partial }}_{2}m(x,y)=\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$$

On rappelle que si $f$ admet des dérivées partielles d'ordre $1$ en un point $a$ d'un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^n$, son gradient en $a$ est le vecteur de ${\mathbb{R}}^n$

$$\mathrm{\nabla }f(a)=({\mathrm{\partial }}_{1}f(a),\dots ,{\mathrm{\partial }}_{n}f(a))$$

1. Soit $f(x,y)=x^3-3xy+y^2$. Calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, puis $\mathrm{\nabla }f(2,1)$.

2. Soit $g(x,y)=e^{2x-y}$. Calculer $\mathrm{\nabla }g(x,y)$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, puis $\mathrm{\nabla }g(1,2)$.

3. Soit $h(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$. Préciser un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^2$ sur lequel $h$ admet des dérivées partielles d'ordre $1$, calculer $\mathrm{\nabla }h(x,y)$ sur $U$, puis $\mathrm{\nabla }h(3,4)$.

4. Soit $p(x,y,z)=xy+yz+zx$. Calculer $\mathrm{\nabla }p(x,y,z)$ pour tout $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$, puis $\mathrm{\nabla }p(3,1,1)$.

5. Calculer les deux normes euclidiennes $\parallel \mathrm{\nabla }h(3,4)\parallel$ et $\parallel \mathrm{\nabla }p(3,1,1)\parallel$.

On rappelle la définition. Une fonction $f$ est dite de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^n$ lorsqu'elle admet des dérivées partielles d'ordre $1$ en tout point de $U$ et que les $n$ fonctions ${\mathrm{\partial }}_{1}f,\dots ,{\mathrm{\partial }}_{n}f$ sont continues sur $U$.

Les théorèmes opératoires sont les mêmes que pour la continuité. Toute fonction polynomiale est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^n$. Une somme, un produit de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ ; un quotient l'est également, à condition que le dénominateur ne s'annule pas sur $U$. Enfin, si $u$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ à valeurs dans un intervalle ouvert $I$ et si $\phi$ est une fonction d'une variable de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$, alors $\phi \circ u$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$.

1. Pour chacune des cinq fonctions suivantes, déterminer le plus grand ouvert $U$ sur lequel elle est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et rédiger entièrement la justification : quel est cet ouvert, pourquoi est-ce un ouvert, et quels théorèmes opératoires permettent de conclure.

a. $f(x,y)=x^{3}y-2x+y^2$

b. $g(x,y)={\displaystyle \frac{x^2+y}{x-y}}$

c. $h(x,y)=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1-x^2-y^2)$

d. $k(x,y)=\sqrt{x+2y}$

e. $q(x,y,z)=z{e}^{xy}+\ln (z)$

2. Pour la fonction $k$ de l'item d, calculer $\mathrm{\nabla }k(x,y)$ sur l'ouvert trouvé et vérifier directement que les deux composantes du gradient y sont continues.

3. Pourquoi la définition d'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ exige-t-elle de se placer sur un ouvert ?

1. Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^n$. Rappeler ce qu'est un point critique de $f$, puis énoncer la condition nécessaire d'ordre $1$ vérifiée par un extremum local.

2. Déterminer tous les points critiques de chacune des quatre fonctions suivantes, définies sur ${\mathbb{R}}^2$. On ne demande pas de déterminer la nature de ces points.

a. $f(x,y)=x^2+y^2-4x+6y+1$

b. $g(x,y)=x^2+xy+y^2-3x-3y$

c. $h(x,y)=x^3-3x+y^2$

d. $p(x,y)=x^3+y^3-3xy$

3. Vrai ou faux ? Si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $U$ et si $a\in U$ vérifie $\mathrm{\nabla }f(a)=0$, alors $f$ admet un extremum local en $a$. On justifiera la réponse, au besoin en étudiant la fonction $q(x,y)=xy$ au point $(0,0)$ le long de deux directions bien choisies.

On rappelle le théorème. Si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^n$ et si $a\in U$, alors $f$ admet un développement limité d'ordre $1$ en $a$ :

$$f(a+h)=f(a)+⟨\mathrm{\nabla }f(a),h⟩+\parallel h\parallel \epsilon (h)$$

où $\epsilon (h)$ tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$. En négligeant le dernier terme, on obtient l'approximation affine de $f$ au voisinage de $a$ :

$$f(a+h)\approx f(a)+⟨\mathrm{\nabla }f(a),h⟩\text{pour }h\text{ proche de }0$$

1. Soit $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ et $a=(3,4)$.

a. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert contenant $a$, puis calculer $f(a)$ et $\mathrm{\nabla }f(a)$.

b. Écrire le développement limité d'ordre $1$ de $f$ en $a$.

c. En déduire une valeur approchée de $\sqrt{{\mathrm{3,02}}^2+{\mathrm{3,96}}^2}$. Comparer à la valeur exacte arrondie à ${10}^{-5}$ près et préciser l'écart commis.

2. Soit $g(x,y)={\displaystyle \frac{x}{y}}$ et $a=(6,3)$.

a. Déterminer un ouvert $U$ sur lequel $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et contenant $a$, puis calculer $g(a)$ et $\mathrm{\nabla }g(a)$.

b. Écrire le développement limité d'ordre $1$ de $g$ en $a$.

c. En déduire une valeur approchée de ${\displaystyle \frac{\mathrm{6,03}}{\mathrm{2,97}}}$. Comparer à la valeur exacte, qui est un rationnel simple, et donner l'écart exact.

3. Dans chacun des deux cas, comparer l'écart commis à $\parallel h\parallel$. Commenter au regard du terme $\parallel h\parallel \epsilon (h)$ du développement limité.

Dans tout l'exercice, ${\mathbb{R}}^n$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨x,y⟩={\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i$ et de la norme euclidienne associée $\parallel x\parallel =\sqrt{⟨x,x⟩}$. Pour $a\in {\mathbb{R}}^n$ et $r>0$, on note

$$B(a,r)=\{x\in {\mathbb{R}}^n;\parallel x-a\parallel <r\}$$

1. Calculer les normes suivantes.

2. Calculer la distance $\parallel a-c\parallel$ entre $a=(1,2)$ et $c=(4,6)$, puis la distance entre $P=(1,0,2)$ et $Q=(3,-2,4)$.

3. On pose $a=(1,2)$. Dire, en justifiant, lesquels des trois points $(3,3)$, $(4,5)$ et $(1,5)$ appartiennent à la boule $B(a,3)$.

4. On note $H=\{(x_1,x_2)\in {\mathbb{R}}^2;x_1+x_2<6\}$ et on garde $a=(1,2)$.

a. Montrer que pour tout $h=(h_1,h_2)$ de ${\mathbb{R}}^2$, on a $\mid h_1+h_2\mid ⩽\sqrt{2}\parallel h\parallel$.

b. Déterminer le plus grand réel $r>0$ tel que $B(a,r)\subset H$.

5. On garde $a=(1,2)$ et $c=(4,6)$. Déterminer le plus grand réel $r>0$ tel que $B(a,r)\subset B(c,8)$.

6. Soient $a$ et $c$ deux points de ${\mathbb{R}}^n$, et soient $r>0$ et $R>0$. Montrer que si $\parallel a-c\parallel +r⩽R$, alors $B(a,r)\subset B(c,R)$.

7. Montrer que les deux boules $B((1,2),3)$ et $B((6,6),2)$ sont disjointes.

Le plan ${\mathbb{R}}^2$ est muni de sa norme euclidienne. On considère les cinq parties suivantes.

1. Rappeler les définitions d'une partie ouverte, d'une partie fermée et d'une partie bornée de ${\mathbb{R}}^2$. Montrer ensuite que si $f$ est continue sur ${\mathbb{R}}^2$ et si $c$ est un réel, alors $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;f(x,y)<c\}$ est ouverte, puis en déduire que $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;f(x,y)⩾c\}$ est fermée.

2. Décrire géométriquement chacune des cinq parties.

3. Pour $D_1$ : déterminer si elle est ouverte, si elle est fermée, si elle est bornée.

4. Mêmes questions pour $D_2$.

5. Mêmes questions pour $D_3$.

6. Mêmes questions pour $D_4$.

7. Mêmes questions pour $D_5$, puis répondre par vrai ou faux, avec justification.

a. L'intersection de deux parties de ${\mathbb{R}}^2$ dont aucune n'est fermée ne peut pas être fermée.

b. Toute partie bornée de ${\mathbb{R}}^2$ est fermée.

c. Si $f$ et $g$ sont continues sur ${\mathbb{R}}^2$, alors $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;f(x,y)>0\text{ et }g(x,y)>0\}$ est ouverte.

Une entreprise produit un bien à partir de deux facteurs : le capital, en quantité $K>0$, et le travail, en quantité $L>0$. La quantité produite est donnée par la fonction de Cobb-Douglas

$$f(K,L)=K^{1\mathrm{/}2}{L}^{1\mathrm{/}2}$$

définie sur $D={]0,+\mathrm{\infty }[}^2$. En économie, une ligne de niveau de $f$ s'appelle une isoquante : c'est l'ensemble des combinaisons de facteurs qui produisent la même quantité.

1. Justifier que $f(K,L)=\sqrt{KL}$ pour tout $(K,L)\in D$, que $D$ est une partie ouverte de ${\mathbb{R}}^2$, et calculer $f(4,9)$, $f(16,25)$ et $f(6,6)$.

2. Soit $t>0$. Calculer $f(tK,tL)$ en fonction de $t$ et de $f(K,L)$. Interpréter en termes de rendements d'échelle : que devient la production si l'on double simultanément les deux facteurs ?

3. Soit $c$ un réel. Déterminer la ligne de niveau $N_c=\{(K,L)\in D;f(K,L)=c\}$ en discutant selon le signe de $c$. Lorsqu'elle est non vide, l'expliciter sous la forme $L=\phi (K)$ avec $K>0$.

4. On fixe $c=6$ et on note $\phi (K)={\displaystyle \frac{36}{K}}$ pour $K>0$. Étudier les variations de $\phi$, sa convexité et ses limites en $0^{+}$ et en $+\mathrm{\infty }$. Décrire alors l'allure de l'isoquante de niveau $6$, puis expliquer comment se placent les unes par rapport aux autres les isoquantes de niveaux $3$, $6$ et $12$.

5. Vérifier que les couples $(4,9)$ et $(12,3)$ appartiennent à la même isoquante. Commenter le sens économique de cette égalité.

6. On appelle taux marginal de substitution au point $K$ le nombre $\tau (K)=-{\phi }^{\mathrm{\prime }}(K)$.

a. Calculer $\tau (4)$ et l'interpréter concrètement.

b. Comparer la baisse de travail prévue par $\tau (4)$ lorsque le capital passe de $4$ à $5$ à la baisse réellement observée, puis expliquer l'écart.

On considère les cinq fonctions de deux variables suivantes.

1. Rappeler les théorèmes opératoires sur les fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$, et la méthode pratique de calcul de ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)$.

2. Pour chacune des cinq fonctions, déterminer le plus grand ouvert $U_i$ de ${\mathbb{R}}^2$ sur lequel elle est définie et de classe ${\mathcal{C}}^1$, en justifiant que $U_i$ est bien un ouvert.

3. Calculer ${\mathrm{\partial }}_1{f}_i$ et ${\mathrm{\partial }}_2{f}_i$ pour $i\in \{1,2,3\}$.

4. Calculer ${\mathrm{\partial }}_1{f}_i$ et ${\mathrm{\partial }}_2{f}_i$ pour $i\in \{4,5\}$.

5. Calculer les gradients $\mathrm{\nabla }{f}_1(1,0)$, $\mathrm{\nabla }{f}_2(1,2)$, $\mathrm{\nabla }{f}_3(3,5)$, $\mathrm{\nabla }{f}_4(3,1)$ et $\mathrm{\nabla }{f}_5(2,3)$.

6. Montrer que $\parallel \mathrm{\nabla }{f}_2(x,y)\parallel ⩽1$ pour tout $(x,y)\in U_2$, et déterminer l'ensemble des points en lesquels cette inégalité est une égalité.

Partie A. Un quotient.

On pose $g(x,y)={\displaystyle \frac{x}{1+y}}$.

1. Déterminer un ouvert $U$ contenant le point $a=(2,1)$ sur lequel $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, puis calculer $g(a)$ et $\mathrm{\nabla }g(a)$.

2. Écrire le développement limité d'ordre $1$ de $g$ au point $a$, c'est-à-dire une égalité de la forme $g(a+h)=g(a)+⟨\mathrm{\nabla }g(a),h⟩+\parallel h\parallel \epsilon (h)$ pour $h=(h_1,h_2)$ voisin de $(0,0)$.

3. En déduire une équation du plan tangent à la surface d'équation $z=g(x,y)$ au point de coordonnées $(2,1,1)$.

4. À l'aide de la question 3, donner une valeur approchée de $g(\mathrm{2,1};\mathrm{1,05})$. Comparer à la valeur exacte et commenter la qualité de l'approximation.

Partie B. Une racine.

On pose $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$.

5. Déterminer l'ouvert maximal sur lequel $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, puis calculer $f(3,4)$ et $\mathrm{\nabla }f(3,4)$. Écrire le développement limité d'ordre $1$ de $f$ au point $(3,4)$.

6. Montrer qu'une équation du plan tangent à la surface d'équation $z=f(x,y)$ au point de coordonnées $(3,4,5)$ est $z={\displaystyle \frac{3x+4y}{5}}$. En déduire une valeur approchée de $\sqrt{{\mathrm{3,1}}^2+{\mathrm{3,9}}^2}$, puis comparer à la valeur exacte.

7. Montrer, à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ on a ${\displaystyle \frac{3x+4y}{5}}⩽\sqrt{x^2+y^2}$. Qu'en déduit-on sur la position de la surface par rapport à son plan tangent, et sur le sens de l'erreur commise à la question 6 ?

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=(x+y)e^{x-y}$$

et le point $a=(1,1)$. Pour un vecteur $v=(v_1,v_2)$ de ${\mathbb{R}}^2$, on pose

$${\phi }_v(t)=f(a+tv)\text{pour }t\in \mathbb{R}$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)$, puis $\mathrm{\nabla }f(a)$.

2. On prend $v=(1,1)$. Expliciter ${\phi }_v(t)$ en fonction de $t$, puis calculer ${\phi }_v^{\mathrm{\prime }}(t)$ par dérivation directe de l'expression obtenue.

3. Retrouver ${\phi }_v^{\mathrm{\prime }}(t)$ par la formule ${\phi }_v^{\mathrm{\prime }}(t)=⟨\mathrm{\nabla }f(a+tv),v⟩$, et vérifier que les deux méthodes donnent le même résultat. Que vaut ${\phi }_v^{\mathrm{\prime }}(0)$ ?

4. On prend maintenant $w=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$. Vérifier que $w$ est unitaire, expliciter ${\phi }_w(t)$, puis calculer ${\phi }_w^{\mathrm{\prime }}(t)$ par les deux méthodes de la question précédente.

5. On pose $u=(1,-1)$. Calculer ${\phi }_u^{\mathrm{\prime }}(0)$ et comparer à ${\phi }_w^{\mathrm{\prime }}(0)$. Expliquer pourquoi la définition de la dérivée directionnelle impose de choisir un vecteur unitaire.

6. Montrer que pour tout vecteur unitaire $s$ de ${\mathbb{R}}^2$, on a $\mid {\phi }_s^{\mathrm{\prime }}(0)\mid ⩽\parallel \mathrm{\nabla }f(a)\parallel$. Déterminer le vecteur unitaire $s$ pour lequel ${\phi }_s^{\mathrm{\prime }}(0)$ est maximal, ainsi que cette valeur maximale, et vérifier la cohérence avec la valeur trouvée à la question 4.

Partie A. Une fonction de coût.

Une entreprise fabrique trois produits, en quantités respectives $x$, $y$ et $z$ exprimées en tonnes. Son coût total de production, en milliers d'euros, est

$$C(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-4x-8y-6z+20$$

la fonction $C$ étant considérée sur l'ouvert $U_1={]0,+\mathrm{\infty }[}^3$.

1. Justifier que $U_1$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^3$ et que $C$ y est de classe ${\mathcal{C}}^1$. Calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}C$, ${\mathrm{\partial }}_{2}C$ et ${\mathrm{\partial }}_{3}C$, puis $\mathrm{\nabla }C(1,1,1)$. Interpréter économiquement le signe de chaque coordonnée obtenue.

2. Déterminer les points de $U_1$ en lesquels $\mathrm{\nabla }C$ s'annule. Vérifier ensuite que pour tout $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$,

$$C(x,y,z)=(x-2{)}^2+2(y-2{)}^2+3(z-1{)}^2+5$$

et en déduire un minorant du coût total.

Partie B. Un logarithme.

On pose $g(x,y,z)=\ln (x+y+z)$.

3. Déterminer le domaine de définition $U_2$ de $g$, justifier que c'est un ouvert de ${\mathbb{R}}^3$ et que $g$ y est de classe ${\mathcal{C}}^1$. Calculer les trois dérivées partielles de $g$, puis $\mathrm{\nabla }g(1,2,3)$.

4. Montrer que $\mathrm{\nabla }g(x,y,z)$ est colinéaire au vecteur $(1,1,1)$ en tout point de $U_2$, et qu'il ne s'annule jamais. Déterminer l'ensemble des points de $U_2$ en lesquels $\mathrm{\nabla }g(x,y,z)=({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$.

Partie C. Un produit avec exponentielle.

On pose $h(x,y,z)=xyz{e}^{-x}$ sur ${\mathbb{R}}^3$.

5. Justifier que $h$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^3$, calculer ses trois dérivées partielles, puis $\mathrm{\nabla }h(1,2,3)$.

6. Déterminer l'ensemble des points de ${\mathbb{R}}^3$ en lesquels $\mathrm{\nabla }h$ s'annule, et le décrire géométriquement.

On note $D={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ et l'on considère les deux fonctions définies sur $D$ par

$$f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}\text{et}g(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\mathrm{.}$$

On rappelle qu'une fonction $h$ continue sur $D$ est prolongeable par continuité en $(0,0)$ lorsqu'il existe un réel $\mathrm{\ell }$ tel que $h(x,y)$ tende vers $\mathrm{\ell }$ quand $(x,y)$ tend vers $(0,0)$. Le prolongement $\tilde{h}$ est alors défini par $\tilde{h}(x,y)=h(x,y)$ pour $(x,y)\in D$, et $\tilde{h}(0,0)=\mathrm{\ell }$.

1. Justifier que $f$ et $g$ sont continues sur $D$.

2. Montrer que, pour tout $(x,y)\in D$, $\mid f(x,y)\mid ⩽\parallel (x,y)\parallel$.

3. En revenant à la définition quantifiée de la limite, en déduire que $f$ est prolongeable par continuité en $(0,0)$. Préciser le prolongement $\tilde{f}$ et l'ensemble sur lequel il est continu.

4. Calculer $g(t,0)$, puis $g(t,t)$, pour tout réel $t\mathrm{\ne }0$. Donner la limite de chacune de ces deux expressions quand $t$ tend vers $0$, et interpréter géométriquement.

5. En déduire que $g$ n'est pas prolongeable par continuité en $(0,0)$.

6. Montrer que, pour tout $(x,y)\in D$, $\mid g(x,y)\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$. La fonction $g$ est-elle bornée sur $D$ ? Qu'en conclure sur le lien entre « être bornée » et « avoir une limite » ?

7. Synthèse. Décrire les deux méthodes utilisées : celle qui établit l'existence d'une limite en $(0,0)$, celle qui établit sa non-existence.

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^2+2y^2-2xy-4x+2y+7.$$

1. Justifier que ${\mathbb{R}}^2$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

2. Calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)$, puis donner $\mathrm{\nabla }f(x,y)$.

3. Montrer que $f$ admet un unique point critique $a$, que l'on déterminera. Vérifier le résultat en substituant $a$ dans les deux dérivées partielles, puis calculer $f(a)$.

4. Que permet d'affirmer la condition nécessaire d'ordre $1$ ? Cette condition suffit-elle à conclure que $f$ admet un extremum en $a$ ?

5. En considérant $f(x,y)$ comme un trinôme du second degré en la variable $x$, à $y$ fixé, montrer que pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$f(x,y)=(x-y-2{)}^2+(y-1{)}^2+2.$$

Vérifier cette identité en développant le membre de droite.

6. En déduire que $f$ admet un minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$, préciser sa valeur, et montrer qu'il est atteint en un unique point.

7. La fonction $f$ admet-elle un maximum sur ${\mathbb{R}}^2$ ? Justifier.

On considère la fonction $f$ définie par

$$f(x,y)=e^x+e^y-x-y\mathrm{.}$$

1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$ et justifier que c'est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$.

2. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $D$ en citant les théorèmes opératoires utilisés, puis calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$.

3. Montrer que $f$ admet un unique point critique $a$, que l'on déterminera, et calculer $f(a)$.

4. On pose, pour tout réel $u$, $\psi (u)=e^u-1-u$. Étudier les variations de $\psi$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire que

$$\mathrm{\forall }u\in \mathbb{R},e^u⩾1+u,$$

avec égalité si et seulement si $u=0$.

5. En écrivant $f(x,y)-f(a)$ à l'aide de $\psi$, montrer que $f$ admet un minimum global sur $D$. Préciser sa valeur et le point où il est atteint. Ce minimum est-il strict ?

6. La fonction $f$ admet-elle un maximum sur $D$ ? Justifier.

7. Synthèse. Expliquer pourquoi la seule condition nécessaire d'ordre $1$ ne permettait pas de répondre à la question 5.

Une entreprise fabrique deux biens, notés A et B, en quantités respectives $x$ et $y$ exprimées en tonnes. Son coût total de production, exprimé en milliers d'euros, est donné sur l'ouvert $U={]0,+\mathrm{\infty }[}^2$ par

$$C(x,y)=2x^2+y^2+2xy-12x-10y+60.$$

1. Justifier que $U$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et que $C$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$.

2. Calculer les coûts marginaux ${\mathrm{\partial }}_{1}C(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}C(x,y)$, et rappeler leur interprétation économique.

3. Calculer les deux coûts marginaux au point $(2,4)$. En utilisant le coût marginal, estimer la variation du coût total lorsque la production du bien A passe de $2$ à $\mathrm{2,1}$ tonnes, celle du bien B restant fixée à $4$ tonnes. Comparer à la variation exacte.

4. Déterminer l'unique point critique de $C$ sur $U$, et vérifier le résultat obtenu.

5. Montrer que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$C(x,y)=34+(x+y-5{)}^2+(x-1{)}^2\mathrm{.}$$

6. En déduire que $C$ admet un minimum global sur $U$, atteint en un unique point. Préciser le plan de production optimal et le coût minimal en euros.

7. Interpréter économiquement : le signe des coûts marginaux de part et d'autre de l'optimum, et le rôle du terme croisé $2xy$.

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=xy(1-x-y)\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'ouvert ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)$ et ${\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)$ en présentant chacune de ces dérivées sous forme factorisée.

2. Déterminer tous les points critiques de $f$. On résoudra le système complètement, en distinguant les cas, et l'on vérifiera chaque solution obtenue.

3. Montrer que $f$ n'admet pas d'extremum local en $(0,0)$. On pourra étudier le signe de $f$ le long des droites d'équations $y=x$ et $y=-x$.

4. Montrer de même que $f$ n'admet pas d'extremum local en $(1,0)$, puis en $(0,1)$.

5. On note $T=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x>0,y>0\text{ et }x+y<1\}$. Montrer que $B(({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}}),{\displaystyle \frac{1}{6}})\subset T$.

6. Soit $(x,y)\in T$. On pose $s=x+y$. Établir successivement que $s\in ]0,1[$, que $xy⩽{\displaystyle \frac{s^2}{4}}$, puis que $f(x,y)⩽{\displaystyle \frac{s^2(1-s)}{4}}$. En étudiant la fonction $\phi :s\mapsto {\displaystyle \frac{s^2(1-s)}{4}}$ sur $]0,1[$, en déduire que $f$ admet un maximum local en $({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$.

7. La fonction $f$ admet-elle un maximum global sur ${\mathbb{R}}^2$ ?

Un consommateur répartit sa consommation entre deux biens, A et B, achetés en quantités $x>0$ et $y>0$. Sa satisfaction est mesurée par la fonction d'utilité définie sur $U={]0,+\mathrm{\infty }[}^2$ par

$$u(x,y)=\ln (x)+2\ln (y)\mathrm{.}$$

On appelle utilités marginales les deux dérivées partielles d'ordre $1$ de $u$, et taux marginal de substitution du bien A au bien B au point $(x,y)$ le rapport

$$\mathrm{T}\mathrm{M}\mathrm{S}(x,y)=\frac{{\mathrm{\partial }}_{1}u(x,y)}{{\mathrm{\partial }}_{2}u(x,y)}\mathrm{.}$$

1. Justifier que $U$ est un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ et que $u$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$.

2. Calculer les utilités marginales, puis $\mathrm{\nabla }u(x,y)$. Donner $\mathrm{\nabla }u(4,4)$. Commenter le signe des utilités marginales et leur sens de variation.

3. Montrer que $u$ n'admet aucun point critique sur $U$. Qu'en déduire quant aux extremums de $u$ ? Interpréter économiquement.

4. Montrer que $\mathrm{T}\mathrm{M}\mathrm{S}(x,y)={\displaystyle \frac{y}{2x}}$, puis calculer $\mathrm{T}\mathrm{M}\mathrm{S}(4,4)$.

5. À l'aide du développement limité d'ordre $1$ de $u$ en $(4,4)$, interpréter la valeur obtenue : de combien d'unités du bien B le consommateur peut-il se séparer, à satisfaction inchangée, s'il reçoit $\mathrm{0,1}$ unité supplémentaire du bien A ?

6. Déterminer la courbe d'indifférence de $u$ passant par le point $(4,4)$, c'est-à-dire la ligne de niveau de $u$ contenant ce point. On montrera qu'elle est le graphe de la fonction $\phi$ définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $\phi (x)={\displaystyle \frac{8}{\sqrt{x}}}$, et l'on vérifiera que $\phi (4)=4$.

7. Calculer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(4)$ et comparer à $\mathrm{T}\mathrm{M}\mathrm{S}(4,4)$. Calculer enfin $\mathrm{T}\mathrm{M}\mathrm{S}(1,8)$ et $\mathrm{T}\mathrm{M}\mathrm{S}(16,2)$, deux autres points de cette même courbe, et interpréter économiquement l'évolution observée.

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}}& \text{si }(x,y)\mathrm{\ne }(0,0),\\ 0& \text{si }(x,y)=(0,0)\mathrm{.}\end{array}$$

On note $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$.

1. Montrer que $U$ est une partie ouverte de ${\mathbb{R}}^2$.

2. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$, puis établir que, pour tout $(x,y)\in U$,

$${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)=\frac{y(y^2-x^2)}{{(x^2+y^2)}^2},{\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)=\frac{x(x^2-y^2)}{{(x^2+y^2)}^2}\mathrm{.}$$

3. Montrer que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, $\mid f(x,y)\mid \le {\displaystyle \frac{1}{2}}$.

4. Soit $m\in \mathbb{R}$. Calculer $f(x,mx)$ pour $x\mathrm{\ne }0$. Que remarque-t-on ?

5. En déduire que $f$ n'est pas continue en $(0,0)$.

6. Montrer que $f$ admet des dérivées partielles en $(0,0)$ et calculer $\mathrm{\nabla }f(0,0)$. On écrira explicitement les deux taux d'accroissement.

7. La fonction $f$ est-elle de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ ? Quelle leçon générale tirer de cet exercice ?

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}}& \text{si }(x,y)\mathrm{\ne }(0,0),\\ 0& \text{si }(x,y)=(0,0)\mathrm{.}\end{array}$$

On note $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$, dont on admettra que c'est une partie ouverte de ${\mathbb{R}}^2$.

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ et montrer que, pour tout $(x,y)\in U$,

$${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)=\frac{x^4+3x^2{y}^2+2x{y}^3}{{(x^2+y^2)}^2}\mathrm{.}$$

2. Montrer que, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, $\mid f(x,y)\mid \le 2\parallel (x,y)\parallel$. En déduire que $f$ est continue en $(0,0)$, puis que $f$ est continue sur ${\mathbb{R}}^2$.

3. Montrer que $f$ admet des dérivées partielles en $(0,0)$ et calculer $\mathrm{\nabla }f(0,0)$. On écrira explicitement les deux taux d'accroissement.

4. Calculer ${\mathrm{\partial }}_{1}f(x,0)$ pour $x\mathrm{\ne }0$, puis ${\mathrm{\partial }}_{1}f(0,y)$ pour $y\mathrm{\ne }0$. En déduire que ${\mathrm{\partial }}_{1}f$ n'admet pas de limite en $(0,0)$.

5. La fonction $f$ est-elle de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ ?

6. Montrer que, pour tout $h=(h_1,h_2)\mathrm{\ne }(0,0)$,

$$f(h)-f(0,0)-⟨\mathrm{\nabla }f(0,0),h⟩=\frac{h_1{h}_2(h_1-h_2)}{\parallel h{\parallel }^2}\mathrm{.}$$

En prenant $h=(t,-t)$ avec $t>0$, montrer que $f$ n'admet pas de développement limité d'ordre $1$ en $(0,0)$.

Dans tout l'exercice, on pose $U={]0,+\mathrm{\infty }[}^2$.

Soit $r\in \mathbb{R}$. On dit qu'une fonction $f$ définie sur $U$ est homogène de degré $r$ lorsque

$$\mathrm{\forall }t>0,\mathrm{\forall }(x,y)\in U,f(tx,ty)=t^{r}f(x,y)\mathrm{.}$$

Partie A. Le cas d'une fonction de Cobb-Douglas

Soient $\alpha >0$ et $\beta >0$. On pose, pour $(x,y)\in U$, $f(x,y)=x^{\alpha }{y}^{\beta }$.

1. Montrer que $f$ est homogène de degré $\alpha +\beta$.

2. Calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ pour $(x,y)\in U$, puis vérifier par le calcul direct que

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in U,x{\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)+y{\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)=(\alpha +\beta )f(x,y)\mathrm{.}$$

Partie B. Le cas général

3. Montrer que $U$ est une partie ouverte de ${\mathbb{R}}^2$.

Dans les questions 4 à 6, $f$ désigne une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$, à valeurs réelles. On fixe $(x,y)\in U$ et l'on pose $\phi (t)=f(tx,ty)$ pour $t>0$.

4. Justifier que $\phi$ est bien définie et dérivable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, et que

$$\mathrm{\forall }t>0,{\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)=x{\mathrm{\partial }}_{1}f(tx,ty)+y{\mathrm{\partial }}_{2}f(tx,ty)\mathrm{.}$$

5. On suppose $f$ homogène de degré $r$. En dérivant la relation d'homogénéité, établir la relation d'Euler :

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in U,x{\mathrm{\partial }}_{1}f(x,y)+y{\mathrm{\partial }}_{2}f(x,y)=rf(x,y)\mathrm{.}$$

6. Réciproquement, on suppose que $f$ vérifie la relation d'Euler ci-dessus. On pose $\psi (t)=t^{-r}\phi (t)$ pour $t>0$. Calculer ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(t)$ et en déduire que $f$ est homogène de degré $r$.

Partie C. Lecture économique

Une entreprise produit $f(K,L)$ unités d'un bien à partir d'un capital $K>0$ et d'un travail $L>0$, la fonction $f$ étant de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ et homogène de degré $r$.

7. Interpréter le degré $r$ en termes de rendements d'échelle. Puis, en supposant que chaque facteur est rémunéré à sa productivité marginale, interpréter la relation d'Euler selon que $r$ vaut $1$, est inférieur à $1$ ou supérieur à $1$.

8. Application numérique : $f(K,L)=K^{1\mathrm{/}2}{L}^{1\mathrm{/}2}$ et $(K,L)=(4,9)$. Déterminer $r$, calculer $f(4,9)$ et $\mathrm{\nabla }f(4,9)$, puis vérifier numériquement la relation d'Euler et la relation d'homogénéité pour $t=2$.

Dans tout l'exercice, $U={]0,+\mathrm{\infty }[}^2$, dont on admettra que c'est une partie ouverte de ${\mathbb{R}}^2$. On considère une fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$, à valeurs strictement positives, qui modélise une production : $f(K,L)$ est la quantité produite à partir d'un capital $K>0$ et d'un travail $L>0$.

On appelle élasticités partielles de $f$ au point $(K,L)$ les deux réels

$$e_K(K,L)=\frac{K}{f(K,L)}{\mathrm{\partial }}_{1}f(K,L),e_L(K,L)=\frac{L}{f(K,L)}{\mathrm{\partial }}_{2}f(K,L)\mathrm{.}$$

Partie A. Une fonction de Cobb-Douglas

Soient $A>0$, $\alpha >0$ et $\beta >0$. On pose $f_1(K,L)=A{K}^{\alpha }{L}^{\beta }$ pour $(K,L)\in U$.

1. Calculer $\mathrm{\nabla }{f}_1(K,L)$, puis montrer que $e_K(K,L)=\alpha$ et $e_L(K,L)=\beta$ en tout point de $U$.

2. Revenons à une fonction $f$ quelconque vérifiant les hypothèses du préambule. Écrire le développement limité d'ordre $1$ de $f$ en $(K,L)$, puis en déduire que, pour un accroissement $h=(h_1,h_2)$ petit,

$$\frac{f(K+h_1,L+h_2)-f(K,L)}{f(K,L)}\simeq e_K(K,L)\frac{h_1}{K}+e_L(K,L)\frac{h_2}{L}\mathrm{.}$$

Que signifie concrètement « $e_K(K,L)=\mathrm{0,3}$ » en termes de pourcentages ?

3. Application numérique : $A=100$, $\alpha =\mathrm{0,3}$, $\beta =\mathrm{0,7}$ et $K=L=1000$. Calculer $f_1(1000,1000)$ et $\mathrm{\nabla }{f}_1(1000,1000)$. Le capital augmente de $2\mathrm{\%}$ et le travail diminue de $1\mathrm{\%}$ : estimer la nouvelle production par le développement limité d'ordre $1$, en valeur et en variation relative. On donne $1{020}^{\mathrm{0,3}}\times {990}^{\mathrm{0,7}}\approx \mathrm{998,906}$ : comparer à la valeur exacte.

4. Toujours avec $\alpha =\mathrm{0,3}$ et $\beta =\mathrm{0,7}$ : le capital augmentant de $2\mathrm{\%}$, de quel pourcentage le travail peut-il diminuer pour que la production reste approximativement inchangée ?

Partie B. Une production comportant un terme autonome

On pose maintenant $f_2(K,L)=\sqrt{KL}+10$ pour $(K,L)\in U$ : la production comporte une partie $\sqrt{KL}$ dépendant des facteurs et une partie autonome de $10$ unités. Dans cette partie, $e_K$ et $e_L$ désignent les élasticités de $f_2$.

5. Calculer $\mathrm{\nabla }{f}_2(K,L)$, puis montrer que, en posant $s=\sqrt{KL}$,

$$e_K(K,L)=e_L(K,L)=\frac{s}{2(s+10)}\mathrm{.}$$

Calculer ces élasticités aux points $(40,10)$ et $(90,10)$.

6. Montrer qu'il n'existe aucun réel $r$ tel que $f_2(tK,tL)=t^r{f}_2(K,L)$ pour tout $t>0$ et tout $(K,L)\in U$. Que deviennent $e_K$ et $e_L$ lorsque l'échelle de production devient grande ? Interpréter.