Devoir surveillé — Fonctions réelles définies sur Rⁿ

Consignes valables pour tout le sujet. La calculatrice est interdite. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; à l'intérieur d'un exercice, le résultat d'une question peut toujours être admis pour traiter les suivantes. Deux réflexes seront particulièrement surveillés. D'abord, aucune dérivée partielle ne se calcule avant qu'on ait dit sur quel ouvert on travaille et pourquoi la fonction y est de classe ${\mathcal{C}}^1$. Ensuite, l'annulation du gradient ne fournit que des candidats : toute conclusion sur un extremum, et a fortiori sur son caractère global, doit être démontrée par une étude directe du signe de $f(x)-f(a)$.

Les cinq questions ci-dessous sont indépendantes. Chaque réponse est soit une démonstration, soit un contre-exemple entièrement traité.

1. « L'intersection d'une infinité de parties ouvertes de ${\mathbb{R}}^2$ est encore une partie ouverte. » Vrai ou faux ? (0,75 point)

2. « Soient $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et $a\in {\mathbb{R}}^2$. Si $\mathrm{\nabla }f(a)\mathrm{\ne }(0,0)$, alors $f$ n'admet pas d'extremum local en $a$. » Vrai ou faux ? (0,5 point)

3. « Il existe une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, minorée, qui n'admet aucun point critique. » Vrai ou faux ? Si l'affirmation est vraie, on exhibera une telle fonction et l'on précisera si elle atteint sa borne inférieure. (0,75 point)

4. Soit $g(x,y,z)=x{e}^{y-z}+z^2$. Justifier que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^3$, puis calculer $\mathrm{\nabla }g(2,1,1)$. (0,5 point)

5. Soit $f(x,y)=x^{2}y-y^3+4y$. Déterminer l'ensemble des points de ${\mathbb{R}}^2$ en lesquels $\mathrm{\nabla }f(x,y)$ est orthogonal au vecteur $u=(1,0)$, et décrire géométriquement cet ensemble. (0,5 point)

Un atelier assemble des vélos. Chaque vélo terminé demande exactement un cadre et une paire de roues : ces deux composants sont strictement complémentaires, aucun ne remplace l'autre. L'atelier reçoit dans le mois $x$ centaines de cadres et $y$ centaines de paires de roues, et il assemble

$$f(x,y)=\min (x,y)$$

centaines de vélos. On travaille sur $U={]0,+\mathrm{\infty }[}^2$, dont on admet que c'est une partie ouverte de ${\mathbb{R}}^2$.

1. Montrer que pour tous réels $a$ et $b$, $\min (a,b)={\displaystyle \frac{a+b-\mid a-b\mid }{2}}$. En déduire que $f$ est continue sur $U$. (0,5 point)

2. Soit $c>0$. Déterminer la ligne de niveau $N_c=\{(x,y)\in U;f(x,y)=c\}$, la décrire géométriquement, et dire ce que sa forme signifie pour l'atelier. (0,75 point)

3. On pose $U_1=\{(x,y)\in U;x<y\}$ et $U_2=\{(x,y)\in U;x>y\}$. Montrer que $U_1$ est une partie ouverte de ${\mathbb{R}}^2$, puis que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U_1$ et sur $U_2$, et calculer $\mathrm{\nabla }f$ sur chacun de ces deux ouverts. Interpréter le résultat en termes de productivités marginales des deux composants. (1 point)

4. Soit $a>0$. Montrer que $f$ n'admet pas de dérivée partielle par rapport à sa première variable au point $(a,a)$. On explicitera le taux d'accroissement et l'on calculera ses limites à droite et à gauche. (0,75 point)

5. En déduire que $f$ n'est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur aucune partie ouverte de ${\mathbb{R}}^2$ contenant un point de la forme $(a,a)$ avec $a>0$. Que reste-t-il alors de la recherche des extremums de $f$ par les points critiques ? (0,5 point)

Un capital de $C$ euros est placé pendant deux ans au taux annuel $r$, les intérêts de la première année produisant eux-mêmes des intérêts la seconde. La valeur acquise au bout des deux ans est

$$V(C,r)=C(1+r{)}^2\mathrm{.}$$

On travaille sur $U=]0,+\mathrm{\infty }[\times ]-1,+\mathrm{\infty }[$, dont on admet que c'est une partie ouverte de ${\mathbb{R}}^2$.

1. Justifier que $V$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ et calculer $\mathrm{\nabla }V(C,r)$. (0,5 point)

2. Un client place $C_0=10000$ euros au taux $r_0=\mathrm{0,05}$. Calculer $V(C_0,r_0)$ puis $\mathrm{\nabla }V(C_0,r_0)$. Interpréter concrètement chacune des deux coordonnées du gradient, en précisant à chaque fois de quelle grandeur il s'agit. (0,75 point)

3. Écrire le développement limité d'ordre $1$ de $V$ au point $(C_0,r_0)$, puis en déduire une valeur approchée de $V(10500;\mathrm{0,06})$. Calculer la valeur exacte, sachant que ${\mathrm{1,06}}^2=\mathrm{1,1236}$, et donner l'écart. Établir enfin que pour tout $h=(h_1,h_2)$ tel que $(C_0+h_1,r_0+h_2)\in U$,

$$V(C_0+h_1,r_0+h_2)-V(C_0,r_0)-⟨\mathrm{\nabla }V(C_0,r_0),h⟩=(C_0+h_1)h_2^2+2(1+r_0)h_1{h}_2,$$

retrouver l'écart numérique par cette formule, et en déduire que l'approximation affine sous-estime toujours la valeur acquise lorsque le capital et le taux augmentent tous les deux. (1 point)

4. La banque propose au client l'aménagement suivant : pour chaque tranche de $100$ euros versée en plus, le taux baisse de $\mathrm{0,001}$. On pose, pour $t\in [0,10]$,

$$\psi (t)=V(C_0+100t,r_0-\mathrm{0,001}t)\mathrm{.}$$

Calculer ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(0)$ à l'aide du gradient, puis retrouver le résultat en dérivant l'expression explicite de $\psi$. Le client a-t-il intérêt à accepter la première tranche ? On raisonnera sur son enrichissement, c'est-à-dire sur la valeur acquise diminuée du capital effectivement versé, et non sur la seule valeur acquise. (0,75 point)

5. Montrer que $\mathrm{\nabla }V$ ne s'annule en aucun point de $U$. Qu'en déduit-on quant aux extremums locaux de $V$ sur $U$ ? Ce résultat était-il prévisible ? (0,5 point)

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=x^4+y^4-4xy+2.$$

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ et calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$. Montrer ensuite que le système des points critiques équivaut à $y=x^3$ et $x=x^9$, puis déterminer tous les points critiques de $f$. (1 point)

2. Calculer la valeur de $f$ en chacun de ses points critiques. (0,25 point)

3. Vérifier que pour tous réels $x$ et $y$,

$$f(x,y)={(x^2-y^2)}^2+2{(xy-1)}^2\mathrm{.}$$

(0,75 point)

4. En déduire que $f$ admet un minimum global sur ${\mathbb{R}}^2$, préciser sa valeur, puis déterminer l'ensemble des points en lesquels il est atteint. Ce minimum est-il atteint en un unique point ? (0,75 point)

5. Montrer que $f$ n'admet pas d'extremum local en $(0,0)$. On étudiera le signe de $f(t,0)-f(0,0)$ et celui de $f(t,t)-f(0,0)$. (0,75 point)

6. La fonction $f$ est-elle majorée sur ${\mathbb{R}}^2$ ? Dresser le bilan complet : en quels points $f$ admet-elle un extremum local, et de quelle nature ? (0,5 point)

Pour disqualifier un point critique, le cours propose de restreindre la fonction à des droites passant par ce point et d'y trouver deux comportements contradictoires. Ce problème montre que la réciproque de cette méthode est fausse, et de la pire façon qui soit : on y construit une fonction dont toutes les restrictions aux droites passant par l'origine admettent en $0$ un minimum local strict, et qui n'admet pourtant aucun extremum local en l'origine. Ce contre-exemple est dû à Peano.

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)\mathrm{.}$$

Partie A. Le théorème, redémontré le long des droites.

1. Soient $n⩾1$ un entier, $U$ une partie ouverte de ${\mathbb{R}}^n$, $g$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $U$ et $a\in U$. Pour tout vecteur unitaire $v$ de ${\mathbb{R}}^n$, on pose ${\phi }_v(t)=g(a+tv)$.

a. Justifier qu'il existe un réel $r>0$, le même pour tous les vecteurs unitaires $v$, tel que ${\phi }_v$ soit définie et dérivable sur $]-r,r[$, et rappeler la valeur de ${\phi }_v^{\mathrm{\prime }}(0)$. (0,25 point)

b. On suppose que $g$ admet un extremum local en $a$. Montrer que, pour tout vecteur unitaire $v$, la fonction ${\phi }_v$ admet un extremum local en $0$, puis en déduire que $\mathrm{\nabla }g(a)=0$. (0,75 point)

2. Montrer que $f(x,y)=y^2-3x^{2}y+2x^4$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$, calculer $\mathrm{\nabla }f(x,y)$, puis montrer que $(0,0)$ est l'unique point critique de $f$. Donner $f(0,0)$. (0,75 point)

Partie B. Toutes les droites disent « minimum ».

Dans toute cette partie, $v=(\alpha ,\beta )$ désigne un vecteur unitaire de ${\mathbb{R}}^2$, de sorte que ${\alpha }^2+{\beta }^2=1$, et l'on pose ${\phi }_v(t)=f(tv)=f(t\alpha ,t\beta )$ pour $t\in \mathbb{R}$.

3. Montrer que pour tout réel $t$, ${\phi }_v(t)={\beta }^2{t}^2-3{\alpha }^2\beta t^3+2{\alpha }^4{t}^4$. (0,5 point)

4. Traiter le cas $\beta =0$ : montrer que ${\phi }_v(t)>{\phi }_v(0)$ pour tout $t\mathrm{\ne }0$. (0,25 point)

5. On suppose $\beta \mathrm{\ne }0$. Montrer que pour tout réel $t$ vérifiant $0<\mid t\mid ⩽{\displaystyle \frac{\mid \beta \mid }{6}}$, on a

$${\phi }_v(t)⩾\frac{{\beta }^2{t}^2}{2}>0.$$

(0,75 point)

6. Conclure : pour tout vecteur unitaire $v$, la fonction ${\phi }_v$ admet en $0$ un minimum local strict. Que conclurait-on si l'on se contentait de ce test ? (0,25 point)

Partie C. La parabole qui tranche.

7. Calculer $f(x,{\displaystyle \frac{3x^2}{2}})$ pour tout réel $x$. (0,25 point)

8. Soit $r>0$. Montrer que la boule $B((0,0),r)$ contient un point en lequel $f$ est strictement négative et un point en lequel $f$ est strictement positive. On pourra utiliser l'inégalité $\sqrt{u^2+w^2}⩽\mid u\mid +\mid w\mid$, valable pour tous réels $u$ et $w$. (0,75 point)

9. En déduire que $f$ n'admet pas d'extremum local en $(0,0)$, puis que $f$ n'admet aucun extremum local sur ${\mathbb{R}}^2$. On détaillera les trois maillons du raisonnement. (0,75 point)

Partie D. Où $f$ est négative, et ce que ce contre-exemple enseigne.

10. Montrer que

$$\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;f(x,y)<0\}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x\mathrm{\ne }0\text{ et }{x}^2<y<2x^2\},$$

décrire géométriquement cette partie du plan, et en déduire que $f$ n'est pas minorée sur ${\mathbb{R}}^2$. (0,5 point)

11. Synthèse. Tout point du plan appartient pourtant à une droite passant par l'origine. Expliquer précisément pourquoi le test des droites de la partie B ne permet malgré tout pas de conclure à un minimum local, et dire ce qu'il faudrait établir pour conclure positivement. (0,25 point)