Exercices — Compléments de probabilités : couples et n-uplets de variables aléatoires réelles

Soit $X$ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$, dont la fonction de répartition $F_X$ est donnée par

1. Vérifier que $F_X$ possède les trois propriétés caractéristiques d'une fonction de répartition.

2. Calculer $P(X⩽1)$, $P(X>\mathrm{1,5})$, $P(\mathrm{0,5}⩽X⩽\mathrm{1,5})$ et $P(X=1)$. Préciser à chaque fois ce que l'on lit sur la courbe.

3. Justifier que $X$ est une variable à densité, puis en donner une densité.

4. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

On rappelle qu'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est une densité de probabilité lorsqu'elle vérifie les trois conditions suivantes : $f$ est positive sur $\mathbb{R}$ ; $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ sauf éventuellement en un nombre fini de points ; l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)\mathrm{d}t}$ converge et vaut $1$.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est une densité de probabilité, en vérifiant les trois conditions.

   a. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sur $[-1,1]$, nulle ailleurs.

   b. $f(x)=x$ sur $[0,1]$, nulle ailleurs.

   c. $f(x)=3x^2$ sur $[0,1]$, nulle ailleurs.

   d. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$, nulle ailleurs.

   e. $f(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, nulle ailleurs.

2. Déterminer le réel $c$ pour que la fonction définie par $f(x)=cx(1-x)$ sur $[0,1]$ et nulle ailleurs soit une densité de probabilité.

3. Déterminer le réel $c$ pour que la fonction définie par $f(x)=c{\mathrm{e}}^{-3x}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et nulle ailleurs soit une densité de probabilité. Reconnaître alors la loi dont $f$ est une densité.

Soit $X$ une variable aléatoire réelle admettant pour densité la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2$ si $x\in [0,1]$, et $f(x)=0$ sinon.

1. Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité.

2. Déterminer la fonction de répartition $F_X$ de $X$ sur $\mathbb{R}$, en distinguant les trois cas.

3. Calculer les probabilités suivantes.

   a. $P(X⩽{\displaystyle \frac{1}{2}})$

   b. $P(X⩾{\displaystyle \frac{3}{4}})$

   c. $P({\displaystyle \frac{1}{4}}⩽X⩽{\displaystyle \frac{1}{2}})$

   d. $P(X={\displaystyle \frac{1}{2}})$

4. Calculer la probabilité conditionnelle $P_{(X⩾\frac{1}{2})}(X⩾{\displaystyle \frac{3}{4}})$ et l'interpréter.

Un tramway dessert un arrêt avec une régularité parfaite : il y passe exactement toutes les $12$ minutes. Un voyageur se présente à cet arrêt à un instant quelconque, sans connaître les horaires. On note $X$ son temps d'attente, exprimé en minutes, et on admet que $X\hookrightarrow \mathcal{U}([0,12])$.

1. Donner une densité de $X$, puis sa fonction de répartition $F_X$.

2. Calculer $P(X⩽5)$, $P(X⩾8)$ et $P(3⩽X⩽7)$.

3. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$, puis interpréter ces trois valeurs.

4. Le voyageur attend déjà depuis $4$ minutes. Calculer $P_{(X⩾4)}(X⩾8)$, puis comparer cette valeur à $P(X⩾4)$. Que peut-on en conclure sur la « mémoire » de la loi uniforme ?

La durée de vie, exprimée en heures, d'une ampoule d'un certain modèle est modélisée par une variable aléatoire $X$ telle que $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$, avec $\lambda ={\displaystyle \frac{1}{5000}}$.

On donne les valeurs approchées suivantes : ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}}\approx \mathrm{0,6703}$, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}}\approx \mathrm{0,5488}$, ${\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,3679}$, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,6}}\approx \mathrm{0,2019}$, $\ln (\mathrm{0,9})\approx -\mathrm{0,1054}$ et $\ln (2)\approx \mathrm{0,6931}$.

1. Donner une densité de $X$ et sa fonction de répartition, puis $E(X)$ et $\sigma (X)$.

2. Calculer $P(X>5000)$, $P(X⩽2000)$ et $P(3000⩽X⩽8000)$, en donnant une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

3. Déterminer la durée $t$, en heures, telle que $P(X>t)=\mathrm{0,9}$.

4. La durée de vie moyenne vaut $5000$ heures, et pourtant $P(X>5000)\approx \mathrm{0,37}$ seulement. Expliquer ce phénomène.

On note $\mathrm{\Phi }$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. On dispose de l'extrait de table suivant.

1. Soit $Z\hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)$. Calculer les probabilités suivantes.

   a. $P(Z⩽1)$

   b. $P(Z⩾1)$

   c. $P(-1⩽Z⩽1)$

   d. $P(Z⩽-\mathrm{1,5})$

   e. $P(\mid Z\mid ⩾2)$

2. Soit $Y\hookrightarrow \mathcal{N}(20,16)$. Calculer $P(Y⩽24)$, $P(16⩽Y⩽28)$ et $P(Y⩾30)$ en passant par la variable centrée réduite associée.

3. Déterminer le réel positif $a$ tel que $P(20-a⩽Y⩽20+a)=\mathrm{0,9544}$.

Dans tout l'exercice, la loi d'une transformée se cherche par la méthode de la fonction de répartition : on écrit $F_Y(y)=P(Y⩽y)$, on traduit l'événement en un événement portant sur $X$, on l'exprime à l'aide de $F_X$, puis on dérive.

1. Soit $X\hookrightarrow \mathcal{U}([0,1])$ et $Y=3X+2$. Montrer que $Y\hookrightarrow \mathcal{U}([2,5])$.

2. Soit $\lambda >0$, soit $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$ et $Y=2X$. Montrer que $Y\hookrightarrow \mathcal{E}\left({\displaystyle \frac{\lambda }{2}}\right)$.

3. Soit $X\hookrightarrow \mathcal{E}(1)$ et $Y=-X$. Déterminer une densité de $Y$. On prendra garde au sens des inégalités.

4. Cas général. Soit $X$ une variable à densité, de densité $f$ et de fonction de répartition $F_X$, soient $a$ et $b$ deux réels avec $a\mathrm{\ne }0$, et soit $Y=aX+b$. Établir que $Y$ est une variable à densité et que

en traitant séparément les cas $a>0$ et $a<0$. Retrouver enfin $E(Y)=aE(X)+b$ et $V(Y)=a^{2}V(X)$.

Les deux questions sont indépendantes l'une de l'autre.

1. Soit $X$ une variable aléatoire réelle de densité $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x$ si $x\in [0,1]$, et $f(x)=0$ sinon. Justifier l'existence de $E(X)$, puis calculer $E(X)$, $E\left(X^2\right)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$.

2. Soit $Y$ une variable aléatoire réelle de densité $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(y)={\displaystyle \frac{2}{y^3}}$ si $y⩾1$, et $g(y)=0$ sinon.

   a. Vérifier que $g$ est bien une densité de probabilité.

   b. Montrer que $E(Y)$ existe, puis calculer sa valeur.

   c. Montrer que $E\left(Y^2\right)$ n'existe pas. Qu'en conclut-on quant à la variance de $Y$ ?

Une usine fabrique des pièces dans trois ateliers, qui assurent respectivement $50\mathrm{\%}$, $30\mathrm{\%}$ et $20\mathrm{\%}$ de la production totale. On prélève une pièce au hasard dans cette production, et on note $A_1$, $A_2$ et $A_3$ les événements « la pièce provient du premier atelier », « du deuxième atelier », « du troisième atelier ».

On note $X$ le nombre de défauts de la pièce prélevée, qui vaut $0$ ou $1$. Sachant l'atelier d'origine, $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $\mathrm{0,2}$ pour $A_1$, $\mathrm{0,5}$ pour $A_2$ et $\mathrm{0,8}$ pour $A_3$.

1. Donner $E(X\mid A_1)$, $E(X\mid A_2)$ et $E(X\mid A_3)$.

2. En déduire $E(X)$ par la formule de l'espérance totale.

3. Retrouver ce résultat en déterminant d'abord la loi de $X$.

4. Chaque défaut coûte $3$ euros de reprise, de sorte que le coût de reprise d'une pièce est $Y=3X$ euros. Calculer $E(Y)$.

5. On prélève une pièce et l'on constate qu'elle présente un défaut. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du troisième atelier ?

Soit $c$ un réel. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

1. Déterminer la valeur de $c$ pour laquelle $f$ est une densité de probabilité.

2. Dans toute la suite, $X$ désigne une variable aléatoire à densité admettant $f$ pour densité. Déterminer la fonction de répartition $F_X$ de $X$ sur chacun des trois intervalles $]-\mathrm{\infty },-1[$, $[-1,1]$ et $]1,+\mathrm{\infty }[$.

3. Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.

4. Montrer que $X$ admet une variance et la calculer.

5. Calculer $P(\mid X\mid ⩽\frac{1}{2})$.

6. Calculer la probabilité conditionnelle $P_{(X⩾0)}(X⩾\frac{1}{2})$.

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $X\hookrightarrow \mathcal{U}([0,1])$.

1. On pose $Y=X^2$. Déterminer $Y(\mathrm{\Omega })$, puis la fonction de répartition $F_Y$ de $Y$ sur $\mathbb{R}$. En déduire que $Y$ est une variable à densité et en donner une densité $f_Y$. Vérifier que $f_Y$ est bien une densité de probabilité, bien qu'elle ne soit pas bornée au voisinage de $0$.

2. Calculer $E(Y)$ de deux façons : par le théorème de transfert appliqué à $X$, puis à partir de la densité $f_Y$ obtenue à la question précédente. Les deux résultats doivent coïncider.

3. Calculer $V(Y)$.

4. On pose maintenant $Z=\sqrt{X}$. Déterminer $F_Z$, en déduire une densité $f_Z$, puis calculer $E(Z)$.

5. Expliquer pourquoi on ne peut pas obtenir la loi de $Y=X^2$ en « dérivant la densité de $X$ », et énoncer la méthode correcte.

1. Soit $\lambda >0$ et soit $X$ une variable aléatoire telle que $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$. Démontrer que, pour tous réels $s⩾0$ et $t⩾0$,

2. Interpréter concrètement cette propriété lorsque $X$ modélise la durée de vie d'une machine.

3. La durée de vie, en années, d'un composant électronique est modélisée par une variable $X$ telle que $X\hookrightarrow \mathcal{E}\left(\frac{1}{8}\right)$. Calculer $P(X>4)$, puis $P_{(X>4)}(X>10)$. On donnera les valeurs décimales arrondies à ${10}^{-4}$ près.

4. On remplace le modèle précédent par une variable $Y$ telle que $Y\hookrightarrow \mathcal{U}([0,20])$. Calculer $P_{(Y>4)}(Y>10)$ et comparer à $P(Y>6)$. Que peut-on en conclure sur la propriété de la question 1. ?

5. On revient au modèle exponentiel de la question 3. Montrer que, conditionnellement à l'événement $(X>4)$, la durée de vie résiduelle $X-4$ a la même fonction de répartition qu'une variable de loi $\mathcal{E}\left(\frac{1}{8}\right)$. En déduire l'espérance de vie résiduelle d'un composant qui a déjà fonctionné $4$ ans.

On donne les valeurs approchées suivantes : ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{0,6065}$, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,75}}\approx \mathrm{0,4724}$ et ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,25}}\approx \mathrm{0,2865}$.

Pour $\nu >0$, on pose

1. Montrer que cette intégrale converge pour tout $\nu >0$. On étudiera séparément le comportement au voisinage de $0$ et au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, en utilisant en $+\mathrm{\infty }$ la relation $t^{\nu -1}{\mathrm{e}}^{-t}=o\left(\frac{1}{t^2}\right)$.

2. Calculer $\mathrm{\Gamma }(1)$. Établir ensuite, pour tout $\nu >0$, la relation $\mathrm{\Gamma }(\nu +1)=\nu \mathrm{\Gamma }(\nu )$, par une intégration par parties sur un segment $[a,A]$ suivie d'un passage à la limite. En déduire par récurrence que $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$ pour tout entier $n⩾1$.

3. Soit $\nu >0$. Vérifier que la fonction $f$ définie par

est une densité de probabilité. La loi correspondante est appelée loi gamma de paramètre $\nu$, et notée $\gamma (\nu )$.

4. Soit $X$ une variable aléatoire telle que $X\hookrightarrow \gamma (\nu )$. Montrer que $X$ admet une espérance et une variance, et établir $E(X)=\nu$ puis $V(X)=\nu$.

5. Vérifier que la loi $\gamma (1)$ n'est autre que la loi $\mathcal{E}(1)$. En déduire que si $Y\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$ avec $\lambda >0$, alors $\lambda Y\hookrightarrow \gamma (1)$.

1. Soit $X$ une variable aléatoire telle que $X\hookrightarrow \mathcal{U}([0,1])$. Montrer que les espérances suivantes existent et les calculer.

   a. $E\left({\displaystyle \frac{1}{X+1}}\right)$

   b. $E\left({\mathrm{e}}^X\right)$

   c. $E\left(X^n\right)$ pour $n\in \mathbb{N}$

2. Soit $\lambda >0$ et soit $X$ une variable aléatoire telle que $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$.

   a. Calculer $E\left(X^2\right)$ à l'aide d'une intégration par parties.

   b. Soit $t$ un réel. Discuter, selon la valeur de $t$, l'existence de $E\left({\mathrm{e}}^{tX}\right)$, et calculer cette espérance lorsqu'elle existe.

3. Soit $X$ une variable aléatoire telle que $X\hookrightarrow \mathcal{U}([0,1])$. Calculer $E(-\ln X)$, puis déterminer la loi de la variable $-\ln X$.

4. Expliquer en quoi le théorème de transfert dispense de déterminer la loi de $g(X)$, et préciser dans quelles situations on n'a pas le choix et doit malgré tout déterminer cette loi.

Une machine produit des pièces cylindriques. Le diamètre, exprimé en millimètres, d'une pièce prise au hasard est modélisé par une variable aléatoire $X$ telle que

Le second paramètre est la variance, l'écart-type vaut donc $\sigma =\sqrt{\mathrm{0,04}}=\mathrm{0,2}$ mm. Une pièce est dite conforme lorsque son diamètre appartient à l'intervalle de tolérance $[\mathrm{19,6};\mathrm{20,4}]$.

On note $\mathrm{\Phi }$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$. On donne les valeurs suivantes, à lire dans la table.

1. Calculer la probabilité qu'une pièce soit conforme, puis le pourcentage de rebut.

2. On souhaite fixer un intervalle de tolérance symétrique autour de $20$, de la forme $[20-a;20+a]$, qui accepte $99\mathrm{\%}$ des pièces. Déterminer $a$.

3. La machine se dérègle et produit désormais des pièces de diamètre $X^{\mathrm{\prime }}\hookrightarrow \mathcal{N}(\mathrm{20,1};\mathrm{0,04})$, l'intervalle de tolérance restant $[\mathrm{19,6};\mathrm{20,4}]$. Calculer la nouvelle proportion de rebut.

4. On règle la machine sur une moyenne $m$, l'écart-type restant égal à $\mathrm{0,2}$. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $P(X<\mathrm{19,6})⩽\mathrm{0,001}$.

5. La machine est de nouveau réglée sur $\mathcal{N}(20;\mathrm{0,04})$. On prélève une pièce au hasard parmi les pièces conformes. Quelle est la probabilité que son diamètre dépasse $\mathrm{20,2}$ mm ?

Une entreprise s'approvisionne en composants auprès de deux fournisseurs. Une proportion de $60\mathrm{\%}$ des composants provient du fournisseur $A$, dont la durée de vie, exprimée en années, suit la loi $\mathcal{E}\left(\frac{1}{4}\right)$. Les $40\mathrm{\%}$ restants proviennent du fournisseur $B$, dont la durée de vie suit la loi $\mathcal{E}\left(\frac{1}{6}\right)$.

On prélève un composant au hasard dans le stock et l'on note $X$ sa durée de vie, en années. On note $A$ l'événement « le composant provient du fournisseur $A$ » et $B$ l'événement « le composant provient du fournisseur $B$ ».

1. À l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que pour tout réel $t⩾0$,

Préciser également $F_X(t)$ pour $t<0$.

2. En déduire que $X$ est une variable à densité et en donner une densité. Montrer que $X$ ne suit pas une loi exponentielle.

3. Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer directement à partir de la densité obtenue à la question 2.

4. On admet, pour une variable à densité, la formule de l'espérance totale

Vérifier qu'elle redonne bien le résultat de la question 3.

5. Un composant prélevé au hasard a fonctionné plus de $10$ ans. Quelle est la probabilité qu'il provienne du fournisseur $A$ ? On donnera une valeur arrondie à ${10}^{-4}$ près.

6. Commenter le résultat de la question 5. au regard de la proportion initiale de $60\mathrm{\%}$.

On donne les valeurs approchées suivantes : ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}\approx \mathrm{0,08208}$ et ${\mathrm{e}}^{-5\mathrm{/}3}\approx \mathrm{0,18888}$.

Soit $X$ une variable aléatoire à densité. On appelle médiane de $X$ tout réel $m$ vérifiant

Dans tout l'exercice, on se place dans le cas favorable où $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et strictement croissante sur un intervalle $I$ contenant le support de la loi, avec $F_X$ nulle à gauche de $I$ et égale à $1$ à droite de $I$.

Question préliminaire. Justifier que, sous ces hypothèses, la médiane existe et est unique.

1. Déterminer la médiane de la loi $\mathcal{U}([a,b])$, où $a<b$.

2. Déterminer la médiane de la loi $\mathcal{E}(\lambda )$, où $\lambda >0$. Comparer cette médiane à l'espérance $\frac{1}{\lambda }$ et expliquer le sens de l'inégalité obtenue.

3. Soit $X$ une variable de densité $f(x)=3x^2$ sur $[0,1]$ et $f(x)=0$ ailleurs. Déterminer la médiane de $X$ et en donner une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

4. Le premier quartile $q_1$ et le troisième quartile $q_3$ d'une variable à densité sont définis par $F_X\left(q_1\right)=\frac{1}{4}$ et $F_X\left(q_3\right)=\frac{3}{4}$. Déterminer $q_1$ et $q_3$ pour la loi $\mathcal{E}(\lambda )$.

5. La durée de vie d'un appareil, en années, est modélisée par une variable de loi exponentielle. Une étude établit que la moitié des appareils tombe en panne avant $5$ ans. Déterminer le paramètre $\lambda$, puis la durée de vie moyenne. Commenter l'écart entre ces deux indicateurs.

On donne les valeurs approchées suivantes : $2^{-1\mathrm{/}3}\approx \mathrm{0,794}$, $\ln (2)\approx \mathrm{0,6931}$, $\ln (3)\approx \mathrm{1,0986}$ et ${\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,3679}$.

Soit $U$ une variable aléatoire telle que $U\hookrightarrow \mathcal{U}\left(]0,1[\right)$. On cherche à fabriquer, à partir de $U$ seule, des variables aléatoires de lois imposées. Toutes les réponses sont des formules mathématiques, aucune ne fait appel à un programme informatique.

1. Montrer que la variable $1-U$ suit également la loi $\mathcal{U}\left(]0,1[\right)$.

2. Soit $\lambda >0$. Montrer que la variable $X=-{\displaystyle \frac{\ln U}{\lambda }}$ suit la loi $\mathcal{E}(\lambda )$. On soignera particulièrement le sens des inégalités.

3. Soit $F$ une fonction continue et strictement croissante de $\mathbb{R}$ dans $]0,1[$, admettant donc une bijection réciproque $F^{-1}$ de $]0,1[$ dans $\mathbb{R}$. Montrer que la variable $F^{-1}(U)$ admet $F$ pour fonction de répartition.

4. Soit $X$ une variable de fonction de répartition définie par $F(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ pour $x⩾1$, et $F(x)=0$ pour $x<1$. Construire, à partir de $U$, une variable de même loi que $X$.

5. Soient $a<b$ deux réels. Construire, à partir de $U$, une variable de loi $\mathcal{U}([a,b])$.

Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, et suivent toutes deux la loi uniforme sur $[0,1]$ : $X\hookrightarrow \mathcal{U}([0,1])$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{U}([0,1])$. On pose $S=X+Y$.

1. Déterminer $S(\mathrm{\Omega })$. Sans effectuer aucun calcul de densité, expliquer pourquoi $S$ ne suit pas la loi uniforme sur $S(\mathrm{\Omega })$.

2. À l'aide du produit de convolution, déterminer une densité $f_S$ de $S$. On détaillera très soigneusement la recherche du domaine d'intégration.

3. Vérifier que la fonction obtenue est bien une densité de probabilité.

4. Calculer $E(S)$ et $V(S)$ de deux façons : d'abord par les propriétés de l'espérance et de la variance, puis directement à partir de $f_S$.

5. Calculer $P(S⩽\frac{1}{2})$ et $P(S⩾\frac{3}{2})$.

Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $X\hookrightarrow \mathcal{N}(3,4)$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{N}(-1,9)$.

On rappelle que $\mathrm{\Phi }$ désigne la fonction de répartition de la loi $\mathcal{N}(0,1)$, et on donne les valeurs suivantes.

1. Déterminer la loi de $X+Y$.

2. Déterminer la loi de $2X-Y$, en détaillant le calcul de la variance et en indiquant précisément où intervient l'hypothèse d'indépendance. En déduire $P(2X-Y⩽\mathrm{14,5})$.

3. Calculer $P(X+Y⩽5)$.

4. Calculer $P(X>Y)$ en introduisant la variable $D=X-Y$.

5. Dans cette question, et dans cette seule question, on remplace la seconde variable par $X$ elle-même : on pose $T=X+X$. Déterminer la loi de $T$, puis $P(T⩽10)$. Que donnerait la formule « la variance de la somme est la somme des variances » appliquée à $T$, et pourquoi est-elle en défaut ici ?

Partie A

La variable aléatoire $X$ suit la loi $\mathcal{U}([0,1])$ et on pose $Y=X^2$.

1. Calculer $E(X)$, $E\left(X^2\right)$, $E\left(X^3\right)$ et $E\left(X^4\right)$.

2. En déduire $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$.

3. Calculer $V(X)$ et $V(Y)$, puis le coefficient de corrélation linéaire $\rho (X,Y)$. Interpréter la valeur obtenue.

4. Calculer $V(X+Y)$ à l'aide de la formule générale de la variance d'une somme, et contrôler le résultat par un calcul direct.

Partie B

La variable aléatoire $Z$ suit la loi $\mathcal{U}([-1,1])$ et on pose $W=Z^2$.

5. Montrer que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(Z,W)=0$.

6. Montrer que $Z$ et $W$ ne sont pourtant pas indépendantes.

7. Quelle conclusion générale faut-il retenir des questions 5. et 6. ? Qu'en est-il de l'implication réciproque ?

Deux composants électroniques fonctionnent côte à côte. Leurs durées de vie, exprimées en années, sont modélisées par deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$, avec $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{E}(\mu )$, où $\lambda >0$ et $\mu >0$. On pose

1. Montrer que pour tout réel $t$, $P(M>t)=P(X>t)P(Y>t)$. En déduire la loi de $M$.

2. Déterminer la fonction de répartition de $N$, puis une densité de $N$, et enfin montrer que

3. Justifier que $M+N=X+Y$, et vérifier la cohérence des résultats des questions 1. et 2.

4. Application numérique : $\lambda =\frac{1}{3}$ et $\mu =\frac{1}{6}$. Calculer $E(X)$, $E(Y)$, $E(M)$ et $E(N)$.

5. Les deux composants sont montés dans un même appareil. Interpréter $M$ et $N$ selon que le montage est en série ou en parallèle.

Un guichet traite les clients l'un après l'autre. Le temps de traitement du premier client est modélisé par une variable $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$, celui du second par une variable $Y\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$, avec $\lambda >0$, les deux variables étant indépendantes. Le temps total est $S=X+Y$.

1. Déterminer une densité de $S$ par le produit de convolution. On détaillera la recherche du domaine d'intégration.

2. Vérifier que la fonction obtenue est bien une densité.

3. Calculer $E(S)$ et $V(S)$ de deux façons.

4. Montrer que $\lambda S\hookrightarrow \gamma (2)$.

5. Établir que, pour tout $t⩾0$, $P(S>t)={\mathrm{e}}^{-\lambda t}(1+\lambda t)$. Comparer à $P(X>t)$ et commenter : la variable $S$ possède-t-elle la propriété d'absence de mémoire ?

6. Application numérique avec $\lambda =\frac{1}{10}$, le temps étant compté en minutes : calculer $P(S>20)$.

On donne les valeurs approchées suivantes : ${\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,3679}$ et ${\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{0,1353}$.

Un système est constitué de $n$ composants, avec $n⩾2$. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, la durée de vie du composant numéro $i$, comptée en heures, est une variable aléatoire $X_i\hookrightarrow \mathcal{E}({\lambda }_i)$ avec ${\lambda }_i>0$. Les variables $X_1,\dots ,X_n$ sont mutuellement indépendantes.

Le système est monté en série : il fonctionne tant que tous ses composants fonctionnent. Sa durée de vie est donc

1. Montrer que $M\hookrightarrow \mathcal{E}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\lambda }_i}\right)$.

2. On suppose désormais que tous les composants sont identiques : ${\lambda }_i=\lambda$ pour tout $i$. Donner la loi de $M$ et $E(M)$. Commenter l'évolution de la fiabilité du système quand $n$ augmente.

3. On prend $\lambda =\frac{1}{20000}$. Déterminer le nombre maximal de composants que le système peut comporter pour que $P(M>1000)⩾\mathrm{0,9}$.

4. On monte maintenant les $n$ composants identiques en parallèle : le système fonctionne tant qu'au moins un composant fonctionne, et sa durée de vie est $N=\max (X_1,\dots ,X_n)$. Déterminer la fonction de répartition de $N$, puis montrer que

5. Comparer chiffrément les deux montages pour $n=3$ et $\lambda =\frac{1}{20000}$.

On donne les valeurs approchées suivantes : $\ln (\mathrm{0,9})\approx -\mathrm{0,1054}$, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}}\approx \mathrm{0,9512}$ et ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}}\approx \mathrm{0,8607}$.

Soit $\theta >0$ et $n$ un entier supérieur ou égal à $1$. Les variables aléatoires $X_1,\dots ,X_n$ sont mutuellement indépendantes et suivent toutes la loi $\mathcal{U}([0,\theta ])$ : elles forment un échantillon de taille $n$ de cette loi. On pose

1. Déterminer la fonction de répartition de $M_n$, puis une densité de $M_n$.

2. Calculer $E\left(M_n\right)$ et $V\left(M_n\right)$.

3. Déterminer le réel $a_n$ tel que $E\left(a_n{M}_n\right)=\theta$, puis calculer $V\left(a_n{M}_n\right)$.

4. Déterminer la fonction de répartition, une densité et l'espérance de $m_n$.

5. Étudier les limites de $E\left(M_n\right)$, $V\left(M_n\right)$ et $E\left(m_n\right)$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, et commenter.

La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$. On note $\phi$ sa densité et $\mathrm{\Phi }$ sa fonction de répartition, et on pose $Y=Z^2$.

1. Déterminer $Y(\mathrm{\Omega })$, puis montrer que pour tout $y>0$,

2. En déduire que $Y$ est une variable à densité et qu'une densité de $Y$ est donnée par

3. Montrer que $T=\frac{Y}{2}$ suit la loi $\gamma \left(\frac{1}{2}\right)$.

4. En écrivant que la densité de $T$ est d'intégrale $1$, retrouver la valeur $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$.

5. Calculer $E(Y)$, puis $E\left(Z^4\right)$ à l'aide d'une intégration par parties, et en déduire $V(Y)$.

Soit $\nu >0$. La variable aléatoire $X$ suit la loi $\gamma (\nu )$, c'est-à-dire qu'une densité de $X$ est

On rappelle que $\mathrm{\Gamma }(a)={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{a-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t}$ pour tout $a>0$, et que $\mathrm{\Gamma }(a+1)=a\mathrm{\Gamma }(a)$.

1. Montrer que pour tout entier $k⩾1$, le moment $E\left(X^k\right)$ existe et vaut

2. En déduire $E(X)$, $E\left(X^2\right)$ et $V(X)$.

3. Montrer que $E\left(\frac{1}{X}\right)$ existe si et seulement si $\nu >1$, et qu'elle vaut alors $\frac{1}{\nu -1}$.

4. Montrer que $E\left({\mathrm{e}}^{tX}\right)$ existe si et seulement si $t<1$, et qu'elle vaut alors $(1-t{)}^{-\nu }$.

5. Vérifier la cohérence de tous ces résultats pour $\nu =1$.

Deux tâches sont lancées au même instant, dans deux files séparées et sans influence l'une sur l'autre. On note $X$ la durée de la première et $Y$ celle de la seconde, exprimées dans la même unité de temps. On suppose que $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{E}(\mu )$, avec $\lambda >0$ et $\mu >0$, et que $X$ et $Y$ sont indépendantes.

L'objectif est de calculer la probabilité que la première tâche se termine avant la seconde.

On admet le résultat suivant, dont la justification sort du programme : si $X$ et $Y$ sont indépendantes et si $Y$ admet une densité $f_Y$, alors

sous réserve de convergence de cette intégrale impropre. Cette formule sera utilisée telle quelle dans tout l'exercice, sans être redémontrée.

1. Rappeler l'expression de $F_X(t)$ et celle de $f_Y(t)$ pour tout réel $t$. En déduire que l'intégrale ci-dessus se réduit à une intégrale sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, justifier sa convergence, puis montrer que

2. Donner sans nouveau calcul la valeur de $P(Y<X)$. Vérifier que $P(X<Y)+P(Y<X)=1$ et en déduire la valeur de $P(X=Y)$. Que vaut $P(X<Y)$ lorsque $\lambda =\mu$, et pourquoi était-ce prévisible ?

3. On pose $Z=2Y$.

   a. Déterminer la loi de $Z$ par la méthode de la fonction de répartition.

   b. Justifier que $X$ et $Z$ sont indépendantes.

   c. En déduire la valeur de $P(X<2Y)$.

4. Deux guichets traitent chacun un dossier, de façon indépendante. Le temps de traitement du premier guichet suit une loi exponentielle de durée moyenne $4$ minutes, celui du second une loi exponentielle de durée moyenne $6$ minutes. Calculer la probabilité que le premier guichet termine avant le second, puis la probabilité que le premier termine avant le double du temps mis par le second.

5. On appelle taux d'une loi exponentielle le paramètre $\lambda$, qui est l'inverse de la durée moyenne. Interpréter le résultat ${\displaystyle \frac{\lambda }{\lambda +\mu }}$ à l'aide de ce vocabulaire, puis le réécrire en fonction des seules durées moyennes $a={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$ et $b={\displaystyle \frac{1}{\mu }}$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère $X_1,X_2,\dots ,X_n$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant toutes la même loi $\mathcal{N}(m,{\sigma }^2)$, avec $m$ réel et $\sigma >0$. Un tel $n$-uplet est appelé échantillon de taille $n$ de la loi $\mathcal{N}(m,{\sigma }^2)$.

On pose

Les valeurs suivantes de la fonction de répartition $\mathrm{\Phi }$ de la loi normale centrée réduite sont fournies :

1. Démontrer par récurrence sur $n$ que $S_n\hookrightarrow \mathcal{N}(nm,n{\sigma }^2)$. On précisera à chaque étape le résultat du cours utilisé et l'endroit exact où sert l'indépendance.

2. Calculer $E(M_n)$ et $V(M_n)$. Pour chacun des deux calculs, indiquer si l'hypothèse d'indépendance est nécessaire.

3. En déduire la loi de $M_n$.

4. On prend $m=100$, $\sigma =15$ et $n=25$. Calculer $P(97⩽M_n⩽103)$.

5. On garde $m=100$ et $\sigma =15$, mais $n$ est maintenant inconnu. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que

6. Exprimer l'écart-type de $M_n$ en fonction de $n$. Combien faut-il multiplier la taille de l'échantillon pour diviser par $2$ la dispersion de $M_n$ autour de $m$ ? Commenter le coût pratique de cette exigence.

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$, et soient $X_1,X_2,\dots ,X_n$ des variables aléatoires réelles admettant toutes une variance. On note $S={\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i}$.

On utilisera librement la linéarité de l'espérance, admise par le programme dans le cas général, ainsi que la formule de König-Huygens pour la covariance.

1. En posant $Y_i=X_i-E(X_i)$ pour tout $i$ de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, démontrer la formule générale

2. Que devient cette formule lorsque les variables sont indépendantes deux à deux ? L'indépendance mutuelle est-elle nécessaire pour obtenir ce résultat ?

3. On suppose désormais que $V(X_i)={\sigma }^2$ pour tout $i$, avec $\sigma >0$, et que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_i,X_j)=c$ pour tout couple $(i,j)$ avec $i\mathrm{\ne }j$.

   a. Montrer que $V(S)=n{\sigma }^2+n(n-1)c$.

   b. En utilisant le fait qu'une variance est toujours positive, en déduire que nécessairement

**c.** Exprimer le coefficient de corrélation $\rho\left(X_i, X_j\right)$ pour $i \neq j$, et retrouver la contrainte précédente sous la forme d'une minoration de ce coefficient.

4. Application numérique avec $n=5$ et ${\sigma }^2=4$ : calculer $V(S)$ pour $c=1$, puis pour $c=-1$. Interpréter le second résultat.

5. Soient $X$ et $Y$ deux variables admettant une variance, et $a,b,c,d$ quatre réels.

   a. Calculer $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(aX+b,cY+d)$ en fonction de $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$.

   b. Calculer $V(X-Y)$ à l'aide de la formule de la question 1.

   c. On suppose $a\mathrm{\ne }0$, $c\mathrm{\ne }0$, $V(X)>0$ et $V(Y)>0$. Montrer que

Une usine fabrique des pièces à l'aide de trois machines. La machine $1$ produit $20\mathrm{\%}$ des pièces, la machine $2$ en produit $30\mathrm{\%}$ et la machine $3$ en produit $50\mathrm{\%}$. La durée de vie, exprimée en années, d'une pièce issue de la machine $i$ suit la loi $\mathcal{E}\left({\lambda }_i\right)$, avec

On prélève une pièce au hasard dans la production et on note $X$ sa durée de vie. Pour $i$ dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $M_i$ l'événement « la pièce provient de la machine $i$ ». Les événements $M_1$, $M_2$, $M_3$ forment un système complet d'événements de probabilités non nulles.

1. À l'aide de la formule des probabilités totales appliquée à l'événement $(X⩽t)$, montrer que pour tout réel $t⩾0$,

et préciser la valeur de $F_X(t)$ pour $t < 0$.

2. Justifier que $X$ est une variable à densité et déterminer une densité $f_X$ de $X$. Vérifier que ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(t)\mathrm{d}t=1$.

3. Montrer que $E(X)$ existe et la calculer par intégration directe. On rappelle que pour $a>0$, l'intégrale ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t{\mathrm{e}}^{-at}\mathrm{d}t$ converge et vaut ${\displaystyle \frac{1}{a^2}}$.

4. Montrer que $E\left(X^2\right)$ existe et la calculer, puis en déduire $V(X)$ et $\sigma (X)$. On rappelle que pour $a>0$, l'intégrale ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^2{\mathrm{e}}^{-at}\mathrm{d}t$ converge et vaut ${\displaystyle \frac{2}{a^3}}$.

5. Une pièce prélevée au hasard a duré plus d'un an. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine $1$ ? On donnera les trois probabilités conditionnelles $P_{(X>1)}\left(M_i\right)$ à trois décimales.

6. Calculer $E(X\mid M_i)$ pour chaque machine, puis vérifier la formule de l'espérance totale. Comparer $E(X)$ à la moyenne arithmétique des trois espérances conditionnelles et commenter.

On donne les valeurs approchées suivantes : ${\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,367879}$, ${\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{0,135335}$, ${\mathrm{e}}^{-4}\approx \mathrm{0,018316}$ et $\sqrt{\mathrm{0,386875}}\approx \mathrm{0,622}$.

Le cours établit qu'une variable de loi exponentielle est sans vieillissement. Cet exercice démontre la réciproque : c'est la seule loi à densité qui possède cette propriété.

Soit $X$ une variable aléatoire à densité, à valeurs strictement positives, telle que

et vérifiant la propriété d'absence de mémoire : pour tous réels $s⩾0$ et $t⩾0$,

On pose, pour tout réel $t⩾0$, $G(t)=P(X>t)$.

1. Premières propriétés de $G$.

   a. Exprimer $G$ à l'aide de $F_X$, puis justifier que $G$ est continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, décroissante, que $G(0)=1$ et que ${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }G(t)=0}$.

   b. Montrer que l'inclusion $(X>s+t)\subset (X>s)$ est vraie pour $s⩾0$ et $t⩾0$, puis en déduire l'équation fonctionnelle

2. Résolution sur les rationnels.

   a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $G(n)=G(1{)}^n$.

   b. Soit $q$ un entier naturel non nul. Montrer, par une récurrence analogue, que $G\left({\displaystyle \frac{k}{q}}\right)=G{\left({\displaystyle \frac{1}{q}}\right)}^k$ pour tout entier naturel $k$. En prenant $k=q$, en déduire que $G\left({\displaystyle \frac{1}{q}}\right)=G(1{)}^{1\mathrm{/}q}$.

   c. En déduire que $G(r)=G(1{)}^r$ pour tout rationnel positif $r$.

3. Passage aux réels.

   a. Justifier que $0<G(1)<1$.

   b. On admet que tout réel positif est limite d'une suite de rationnels positifs (densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$). En utilisant la continuité de $G$ et celle de la fonction $x\mapsto G(1{)}^x$, montrer que

4. Conclusion. On pose $\lambda =-\ln (G(1))$. Justifier que $\lambda >0$, puis déterminer $F_X(t)$ pour tout réel $t$ et conclure que $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$.

5. Énoncer en une phrase le théorème que l'on vient de démontrer, en le rapprochant du résultat du cours sur la loi exponentielle.

Soit $X$ une variable aléatoire à densité, à valeurs positives, de densité $f$ et de fonction de répartition $F_X$. On suppose donc $f(t)=0$ et $F_X(t)=0$ pour tout $t<0$.

L'objectif est d'établir une formule qui donne $E(X)$ à partir de la seule fonction de répartition, sans jamais dériver ni utiliser la densité.

1. Soit $A>0$. À l'aide d'une intégration par parties dans laquelle on choisit $t\mapsto -(1-F_X(t))$ comme primitive de $f$, montrer que

2. Dans cette question, on suppose que $E(X)$ existe. On admet que si $E(X)$ existe, alors $A(1-F_X(A))$ tend vers $0$ quand $A$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. En déduire que l'intégrale ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}(1-F_X(t))\mathrm{d}t$ converge et que

3. Retrouver par cette formule l'espérance de la loi $\mathcal{E}(\lambda )$ et celle de la loi $\mathcal{U}\left([0,a]\right)$ avec $a>0$.

4. Soient $U_1,\dots ,U_n$ des variables mutuellement indépendantes, de même loi $\mathcal{U}\left([0,1]\right)$, et $M_n=\max (U_1,\dots ,U_n)$.

   a. Déterminer $F_{M_n}$.

   b. Calculer $E\left(M_n\right)$ par la formule de la question 2.

   c. Refaire le calcul par la densité de $M_n$ et comparer la longueur des deux méthodes.

5. Soient $Y_1,\dots ,Y_n$ mutuellement indépendantes, de même loi $\mathcal{E}(\lambda )$, et $m_n=\min (Y_1,\dots ,Y_n)$. Calculer $P(m_n>t)$ pour $t⩾0$, puis $E\left(m_n\right)$ par la formule de la question 2.

6. On considère enfin la fonction $g$ définie par $g(t)={\displaystyle \frac{1}{t^2}}$ pour $t⩾1$ et $g(t)=0$ pour $t<1$.

   a. Vérifier que $g$ est une densité de probabilité. On note $Z$ une variable admettant $g$ pour densité ; elle est bien à valeurs positives.

   b. Montrer que $E(Z)$ n'existe pas.

   c. Déterminer $1-F_Z(t)$ pour tout $t⩾0$, montrer que l'intégrale ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}(1-F_Z(t))\mathrm{d}t$ diverge, et vérifier que l'hypothèse admise à la question 2. est ici en défaut.

Une installation industrielle tombe en panne de façon répétée. On note $T_1$ le temps écoulé entre la mise en service et la première panne, et plus généralement, pour $k⩾2$, on note $T_k$ le temps écoulé entre la $(k-1)$-ième et la $k$-ième panne. On suppose que les variables $T_1,T_2,\dots$ sont mutuellement indépendantes et suivent toutes la loi $\mathcal{E}(\lambda )$, avec $\lambda >0$.

Pour tout entier $n⩾1$, l'instant de la $n$-ième panne est

On rappelle que la loi $\gamma (\nu )$, avec $\nu >0$, admet pour densité la fonction nulle sur $]-\mathrm{\infty },0]$ et égale à ${\displaystyle \frac{x^{\nu -1}{\mathrm{e}}^{-x}}{\mathrm{\Gamma }(\nu )}}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, que son espérance et sa variance valent toutes deux $\nu$, et que $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$ pour tout entier $n⩾1$.

1. Déterminer une densité de $S_2$ par le produit de convolution. On rappelle que la légitimité de ce produit n'est pas à démontrer.

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾1$, une densité de $S_n$ est donnée par

On précisera où intervient le lemme des coalitions.

3. En déduire que $\lambda S_n\hookrightarrow \gamma (n)$, puis retrouver $E\left(S_n\right)$ et $V\left(S_n\right)$. On contrôlera ces deux valeurs par un calcul direct sur la somme.

4. Montrer, pour tout réel $t⩾0$ et tout entier $n⩾1$,

On pourra raisonner par récurrence sur $n$, en utilisant une intégration par parties dans l'hérédité.

5. Interpréter concrètement cette formule en termes de nombre de pannes survenues avant l'instant $t$, et reconnaître une loi discrète usuelle.

6. Application numérique : l'installation subit en moyenne une panne toutes les $100$ heures, soit $\lambda ={\displaystyle \frac{1}{100}}$ panne par heure. Calculer $P(S_3>200)$ à trois décimales, et commenter le résultat.

On donne la valeur approchée ${\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{0,135335}$.

Pour tout réel $a>0$, on définit la fonction $f_a$ sur $\mathbb{R}$ par

1. Montrer que $f_a$ est une densité de probabilité, pour toute valeur de $a>0$. Dans toute la suite, $X$ désigne une variable aléatoire admettant $f_a$ pour densité.

2. Déterminer la fonction de répartition $F_a$ de $X$ sur $\mathbb{R}$.

3. Montrer que $E(X)$ existe si et seulement si $a>1$, et qu'alors

4. Montrer que $V(X)$ existe si et seulement si $a>2$, et qu'alors

5. On pose $Y=\ln (X)$.

   a. Déterminer la loi de $Y$ par la méthode de la fonction de répartition.

   b. En déduire une méthode permettant de simuler $X$ à partir d'une variable $U\hookrightarrow \mathcal{U}\left([0,1]\right)$. On rédigera la réponse en français et en mathématiques, sans écrire de programme.

6. Soit $b>0$. Déterminer la loi de $Z=X^b$ et reconnaître une loi de la même famille.

7. On prend $a=3$. Calculer $E(X)$, $V(X)$, $\sigma (X)$, la médiane de $X$ (le réel $\mu$ tel que $F_3(\mu )=\mathrm{0,5}$) et $P(X>2)$. Comparer la médiane et l'espérance, et commenter.

On donne les valeurs approchées suivantes : $2^{1\mathrm{/}3}\approx \mathrm{1,260}$ et $\sqrt{3}\approx \mathrm{1,7321}$.

Un atelier exploite des machines dont la durée de vie, exprimée en heures de fonctionnement, suit une loi exponentielle. Les quatre parties sont largement indépendantes les unes des autres.

On donne ${\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,367879}$, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,5}}\approx \mathrm{0,223130}$, ${\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{0,135335}$, ${\mathrm{e}}^{-3}\approx \mathrm{0,049787}$, ${\mathrm{e}}^{-4}\approx \mathrm{0,018316}$, ${\mathrm{e}}^{-5}\approx \mathrm{0,006738}$ et ${\mathrm{e}}^{-8\mathrm{/}7}\approx \mathrm{0,318907}$.