Devoir surveillé — Compléments de probabilités : couples et n-uplets de variables aléatoires réelles

Une entreprise héberge son application sur un serveur. On appelle temps de réponse la durée, exprimée en secondes, qui sépare l'arrivée d'une requête de l'envoi de la réponse correspondante. Ce temps de réponse est modélisé par une variable aléatoire $X$ dont une densité est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{c}{(1+x{)}^3}}& \text{si }x⩾0,\\ 0& \text{si }x<0,\end{array}$$

où $c$ désigne un réel.

On donne $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4142}$.

1. (0,5 point) Déterminer la valeur de $c$ pour laquelle $f$ est une densité de probabilité. On justifiera la convergence de l'intégrale utilisée.

2. (0,5 point) Déterminer la fonction de répartition $F_X$ de $X$ en tout réel $x$.

3. (0,25 point) Calculer la probabilité que le temps de réponse dépasse une seconde.

4. (0,25 point) Calculer $P(1<X⩽3)$.

5. (0,5 point) Déterminer la médiane de $X$, c'est-à-dire l'unique réel $m$ tel que $F_X(m)={\displaystyle \frac{1}{2}}$. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à ${10}^{-4}$ près.

6. (0,5 point) Montrer que $X$ admet une espérance et que $E(X)=1$.

7. (0,5 point) Montrer que $X$ n'admet pas de moment d'ordre $2$. En déduire que $X$ n'admet pas de variance, puis commenter ce résultat en une ou deux phrases dans le contexte du serveur.

Une compagnie d'assurance range les sinistres qu'elle indemnise en trois catégories : légers, moyens et graves. On tire au hasard un dossier de sinistre dans le portefeuille et l'on note :

• $A$ l'événement « le sinistre est léger », de probabilité $P(A)=\mathrm{0,6}$ ;
• $B$ l'événement « le sinistre est moyen », de probabilité $P(B)=\mathrm{0,3}$ ;
• $C$ l'événement « le sinistre est grave », de probabilité $P(C)=\mathrm{0,1}$.

On note $M$ le montant de l'indemnisation du sinistre tiré, exprimé en milliers d'euros. Conditionnellement à la catégorie du sinistre, la loi de $M$ est donnée par :

• sachant $A$, la variable $M$ suit la loi uniforme $\mathcal{U}([0,2])$ ;
• sachant $B$, la variable $M$ suit la loi exponentielle $\mathcal{E}\left(\frac{1}{5}\right)$ ;
• sachant $C$, la variable $M$ suit la loi exponentielle $\mathcal{E}\left(\frac{1}{40}\right)$.

On admet la formule de l'espérance totale pour une variable à densité : si $M$ admet une espérance et si $(A,B,C)$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles, alors

$$E(M)=P(A)E(M\mid A)+P(B)E(M\mid B)+P(C)E(M\mid C),$$

où $E(M\mid A)$ désigne l'espérance de $M$ pour la loi conditionnelle sachant $A$, et de même pour $B$ et $C$.

On donne ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}}\approx \mathrm{0,778801}$ et ${\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{0,135335}$.

1. (0,25 point) Justifier que $(A,B,C)$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles, puis écrire, pour chacune des trois catégories, la fonction de répartition conditionnelle du montant.

2. (0,75 point) Déterminer la fonction de répartition $F_M$ de $M$ en tout réel $x$, en distinguant les cas $x<0$, $0⩽x⩽2$ et $x>2$.

3. (0,5 point) Justifier que $M$ est une variable à densité, puis déterminer une densité $f_M$ de $M$.

4. (0,5 point) Calculer $E(M)$ à l'aide de la formule de l'espérance totale rappelée ci-dessus. Interpréter le résultat.

5. (0,75 point) Retrouver la valeur de $E(M)$ par intégration directe de $x{f}_M(x)$, en justifiant la convergence des intégrales utilisées.

6. (0,5 point) Calculer la probabilité qu'un sinistre pris au hasard dépasse $10$ milliers d'euros. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à ${10}^{-4}$ près.

7. (0,5 point) Un dossier est tiré au hasard et l'on constate que son montant dépasse $10$ milliers d'euros. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un sinistre grave ? Valeur approchée à ${10}^{-4}$ près.

8. (0,25 point) Quelle part du coût moyen d'un sinistre les sinistres graves représentent-ils ? Commenter en deux ou trois phrases le poids des sinistres rares dans le coût du portefeuille.

Une station de recharge pour véhicules électriques met plusieurs bornes à la disposition des automobilistes. La durée de recharge d'un véhicule, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre $\lambda ={\displaystyle \frac{1}{45}}$. Les durées de recharge des différents véhicules sont supposées mutuellement indépendantes.

On note $T$ la durée de recharge d'un véhicule quelconque, de sorte que $T\hookrightarrow \mathcal{E}\left(\frac{1}{45}\right)$.

On donne les valeurs approchées suivantes :

$${\mathrm{e}}^{-2\mathrm{/}3}\approx \mathrm{0,513417};{\mathrm{e}}^{-4\mathrm{/}3}\approx \mathrm{0,263597};{\mathrm{e}}^{-8\mathrm{/}3}\approx \mathrm{0,069483};{\mathrm{e}}^{-10\mathrm{/}3}\approx \mathrm{0,035674};$$ $${\mathrm{0,930517}}^4\approx \mathrm{0,749717};\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4142.}$$

1. (0,25 point) Rappeler la fonction de répartition $F_T$ de $T$, ainsi que $E(T)$ et $V(T)$.

2. (0,25 point) Calculer $P(T>60)$ et $P(30⩽T⩽60)$ à ${10}^{-4}$ près.

3. (0,5 point) Montrer que, pour tous réels $s>0$ et $t>0$,

$$P_{(T>s)}(T>s+t)=P(T>t)\mathrm{.}$$

Interpréter ce résultat pour un automobiliste qui attend une borne libre.

4. (0,75 point) À un instant donné, les $4$ bornes de la station sont occupées et l'on note $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$ les durées de recharge restantes des quatre véhicules, supposées mutuellement indépendantes et de même loi que $T$. On pose $D=\min (T_1,T_2,T_3,T_4)$, instant de la première libération d'une borne. Déterminer la loi de $D$, puis $E(D)$.

5. (0,75 point) On pose $G=\max (T_1,T_2,T_3,T_4)$, instant à partir duquel les quatre bornes sont toutes libres. Déterminer la fonction de répartition de $G$, puis une densité de $G$. Calculer enfin $P(G>120)$ à ${10}^{-4}$ près.

6. (0,75 point) Un automobiliste effectuant un long trajet doit enchaîner deux recharges, de durées $R_1$ et $R_2$ indépendantes et de même loi que $T$. On pose $S=R_1+R_2$. Déterminer une densité de $S$ à l'aide du produit de convolution.

7. (0,5 point) Montrer que $\lambda S$ suit la loi $\gamma (2)$. En déduire $E(S)$ et $V(S)$, puis $\sigma (S)$ à ${10}^{-2}$ près.

8. (0,25 point) Calculer $P(S>150)$ à ${10}^{-4}$ près et interpréter.

Un entrepôt logistique prépare chaque jour des commandes. Le volume total préparé au cours d'une journée, exprimé en mètres cubes, est modélisé par une variable aléatoire $V$ suivant la loi normale $\mathcal{N}(500,900)$. L'écart-type vaut donc $\sigma (V)=30$.

On note $\mathrm{\Phi }$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, et l'on donne :

$$\mathrm{\Phi }(1)=\mathrm{0,8413};\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,83})=\mathrm{0,9664};\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,96})=\mathrm{0,9750};$$ $$\mathrm{\Phi }(2)=\mathrm{0,9772};\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,33})=\mathrm{0,9901};\sqrt{30}\approx \mathrm{5,4772.}$$

On rappelle que, pour tout réel $t$, $\mathrm{\Phi }(-t)=1-\mathrm{\Phi }(t)$.

1. (0,5 point) Calculer la probabilité que le volume préparé au cours d'une journée dépasse $560$ mètres cubes.

2. (0,5 point) Calculer la probabilité que ce volume soit compris entre $470$ et $530$ mètres cubes.

3. (0,75 point) L'entrepôt souhaite dimensionner sa capacité de stockage journalière de manière à n'être saturé qu'un jour sur cent au plus. Déterminer la plus petite capacité entière convenable.

4. (0,75 point) On observe $30$ jours d'activité. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,30]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $V_i$ le volume préparé le $i$-ième jour. Les variables $V_1,\dots ,V_{30}$ sont supposées mutuellement indépendantes et de même loi que $V$. On pose

$$S=\sum _{i=1}^{30}{V}_i\mathrm{.}$$

Déterminer la loi de $S$, en précisant le résultat de cours utilisé, puis donner $\sigma (S)$ à ${10}^{-2}$ près.

5. (0,5 point) Calculer $P(S>15300)$ à ${10}^{-4}$ près.

6. (0,5 point) On pose $\bar{V}={\displaystyle \frac{S}{30}}$, volume moyen préparé par jour sur la période. Déterminer la loi de $\bar{V}$.

7. (0,5 point) Déterminer un intervalle centré en $500$ dans lequel $\bar{V}$ se trouve avec la probabilité $\mathrm{0,95}$. Comparer sa demi-largeur à celle de l'intervalle analogue pour une seule journée, et commenter.

Partie A. La hauteur de pluie d'un mois

Une station météorologique enregistre chaque mois la hauteur de pluie tombée, exprimée en millimètres. Cette hauteur est modélisée par une variable aléatoire $H$ dont une densité est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x}{{\theta }^2}}{\mathrm{e}}^{-x^2\mathrm{/}\left(2{\theta }^2\right)}& \text{si }x>0,\\ 0& \text{si }x⩽0,\end{array}$$

où $\theta$ désigne un réel strictement positif fixé.

1. (0,5 point) Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité.

2. (0,5 point) Déterminer la fonction de répartition $F_H$ de $H$ en tout réel $x$.

3. (0,75 point) On pose $Y=H^2$. Montrer que $Y$ suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

4. (0,5 point) En déduire $E\left(H^2\right)$ et $V\left(H^2\right)$ en fonction de $\theta$.

5. (0,75 point) Soit $U$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $]0,1[$. Déterminer une fonction $g$ telle que $g(U)$ suive la même loi que $H$, et le démontrer. On attend une réponse mathématique : aucun langage de programmation n'est demandé.

Partie B. Les relevés de plusieurs mois

On relève désormais les hauteurs de pluie de $n$ mois, avec $n⩾1$. On note $H_1,\dots ,H_n$ ces hauteurs, supposées mutuellement indépendantes et de même loi que $H$. On pose

$$R_n=\max (H_1,\dots ,H_n)\text{et}{T}_n=\sum _{i=1}^n{H}_i^2\mathrm{.}$$

6. (0,75 point) Déterminer la fonction de répartition de $R_n$, puis une densité de $R_n$.

7. (0,5 point) Soit $s>0$. Exprimer $P(R_n>s)$ en fonction de $s$, $n$ et $\theta$. Calculer cette probabilité à ${10}^{-4}$ près pour $\theta =40$, $n=12$ et $s=100$, puis interpréter.

8. (0,75 point) Calculer $E\left(T_n\right)$ et $V\left(T_n\right)$ en fonction de $n$ et $\theta$, en précisant les hypothèses utilisées. Donner les valeurs numériques pour $\theta =40$ et $n=12$, ainsi que $\sigma \left(T_n\right)$ arrondi à l'unité.

On donne les valeurs approchées suivantes :

$${\mathrm{e}}^{-\mathrm{3,125}}\approx \mathrm{0,043937};{\mathrm{0,956063}}^{12}\approx \mathrm{0,583228};\sqrt{12}\approx \mathrm{3,4641.}$$