ECG approfondies · Chapitre 08 · Second semestre

Exercices — Compléments d'analyse

36 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

Sommaire

36 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Suites négligeables et croissances comparées

Suites négligeables : notation o et croissances comparées

Définition. Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles, la suite $(v_{n})$ ne s'annulant pas à partir d'un certain rang. On dit que $(u_{n})$ est négligeable devant $(v_{n})$ , et on note $u_{n} = o (v_{n})$ , lorsque

\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = 0

Théorème des croissances comparées. Toutes les limites étant prises quand $n$ tend vers $+ \infty$ :

pour tous $α > 0$ et $β > 0$ : $\frac{(\ln n)^{α}}{n^{β}} ⟶ 0$ , autrement dit $(\ln n)^{α} = o ⁣ (n^{β})$ ;
pour tous $β > 0$ et $q > 1$ : $\frac{n^{β}}{q^{n}} ⟶ 0$ , autrement dit $n^{β} = o ⁣ (q^{n})$ ;
pour tout $a > 0$ : $\frac{a^{n}}{n!} ⟶ 0$ , autrement dit $a^{n} = o (n!)$ ;
enfin $\frac{n!}{n^{n}} ⟶ 0$ , autrement dit $n! = o ⁣ (n^{n})$ .

1. Pour chacun des couples suivants, montrer que $u_{n} = o (v_{n})$ en revenant à la définition, c'est-à-dire en calculant $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ puis sa limite. On précisera à chaque fois quel point du théorème est utilisé.

a. $u_{n} = n^{2}$ et $v_{n} = n^{3}$

b. $u_{n} = n^{10}$ et $v_{n} = 2^{n}$

c. $u_{n} = (\ln n)^{3}$ et $v_{n} = \sqrt{n}$

d. $u_{n} = 5^{n}$ et $v_{n} = n!$

e. $u_{n} = n!$ et $v_{n} = n^{n}$

f. $u_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ et $v_{n} = \frac{1}{n}$

2. Ranger les neuf suites suivantes de la plus lente à la plus rapide, c'est-à-dire écrire une chaîne $a_{n} = o (b_{n})$ , $b_{n} = o (c_{n})$ , et ainsi de suite, en justifiant chaque maillon.

a. $\sqrt{n}$

b. $n!$

c. $(\ln n)^{5}$

d. $n^{3}$

e. $2^{n}$

f. $n \ln n$

g. $n^{n}$

h. $\ln n$

i. $3^{n}$

3. Déterminer la limite de chacune des suites suivantes.

a. $\frac{n^{5}}{e^{n}}$

b. $\frac{n^{2} + 3^{n}}{4^{n}}$

c. $\frac{2^{n}}{n^{2}}$

d. $\frac{\ln ⁣ (n^{3})}{n}$

e. $\frac{n! + n^{10}}{n!}$

f. $\frac{(\ln n)^{10}}{\sqrt[3]{n}}$

4. Traduire chacun des énoncés suivants dans l'autre langage : une limite s'écrit avec la notation $o$ , une négligeabilité s'écrit comme une limite.

a. $\frac{n^{2}}{e^{n}} ⟶ 0$

b. $\frac{1}{n} ⟶ 0$

c. $(\ln n)^{4} = o (n)$

d. $n^{3} = o ⁣ (n^{4})$

5. Vrai ou faux ? Justifier par une démonstration si l'énoncé est vrai, par un contre-exemple explicite s'il est faux.

a. Si $u_{n} = o (v_{n})$ , alors $u_{n} ⟶ 0$ .

b. Si $u_{n} ⟶ 0$ , alors $u_{n} = o (1)$ .

c. Si $u_{n} ⟶ 0$ et $v_{n} ⟶ 0$ , alors $u_{n} = o (v_{n})$ .

d. Si $u_{n} = o (v_{n})$ et si la suite $(v_{n})$ est bornée, alors $u_{n} ⟶ 0$ .

e. Si $u_{n} = o (v_{n})$ et $v_{n} = o (w_{n})$ , alors $u_{n} = o (w_{n})$ .

f. Si $u_{n} = o (w_{n})$ et $v_{n} = o (w_{n})$ , alors $u_{n} + v_{n} = o (w_{n})$ .

6. On pose, pour tout $n ⩾ 1$ , $u_{n} = 3 n^{2} + n \ln n + 5$ .

a. Montrer que $n \ln n + 5 = o ⁣ (n^{2})$ .

b. En déduire la limite de $\frac{u_{n}}{n^{2}}$ , puis la limite de $\frac{u_{n}}{n^{3}}$ .

Exercice 2 ★★★★ — Premiers équivalents de suites et calculs de limites

Suites équivalentes : notation ~, opérations autorisées et interdites

Définition. Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles, la suite $(v_{n})$ ne s'annulant pas à partir d'un certain rang. On dit que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont équivalentes, et on note $u_{n} \sim v_{n}$ , lorsque

\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = 1

Équivalents usuels. Si $(u_{n})$ tend vers $0$ et ne s'annule pas à partir d'un certain rang, alors

$\ln (1 + u_{n}) \sim u_{n}$

$e^{u_{n}} - 1 \sim u_{n}$

$\sin (u_{n}) \sim u_{n}$

$1 - \cos (u_{n}) \sim \frac{u_{n}^{2}}{2}$

${(1 + u_{n})}^{α} - 1 \sim α u_{n} (α \neq 0)$

$\frac{1}{1 - u_{n}} - 1 \sim u_{n}$

Opérations. L'équivalence est compatible avec le produit, le quotient et les puissances, mais pas avec la somme, ni avec la composition par $\ln$ ou par $\exp$ .

1. Donner un équivalent simple, quand $n$ tend vers $+ \infty$ , de chacune des suites suivantes.

a. $3 n^{2} - 5 n + 7$

b. $\frac{2 n^{3} + n}{5 n^{3} - n^{2} + 1}$

c. $\frac{n^{2} + \ln n}{n + 1}$

d. $\sqrt{n^{2} + n}$

e. $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$

f. $2^{n} + n^{5}$

2. Donner un équivalent simple de chacune des suites suivantes, en précisant à chaque fois quel équivalent usuel est utilisé et pourquoi il s'applique.

a. $\ln ⁣ (1 + \frac{3}{n})$

b. $e^{1 / n^{2}} - 1$

c. $\sin ⁣ (\frac{2}{n})$

d. $1 - \cos ⁣ (\frac{1}{n})$

e. $\sqrt{1 + \frac{1}{n}} - 1$

f. $\ln ⁣ (\frac{n + 2}{n})$

3. En déduire la limite de chacune des suites suivantes.

a. $n \ln ⁣ (1 + \frac{3}{n})$

b. $n^{2} (e^{1 / n^{2}} - 1)$

c. $n^{2} (1 - \cos ⁣ (\frac{1}{n}))$

d. $\frac{\ln ⁣ (1 + \frac{1}{n})}{\sin ⁣ (\frac{1}{n})}$

e. $n (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} - 1)$

f. $\sqrt{n} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$

4. On veut comprendre pourquoi certaines opérations sont permises et d'autres non.

a. Soient $u_{n} \sim a_{n}$ et $v_{n} \sim b_{n}$ . Démontrer que $u_{n} v_{n} \sim a_{n} b_{n}$ , puis que $\frac{u_{n}}{v_{n}} \sim \frac{a_{n}}{b_{n}}$ lorsque les quotients ont un sens.

b. Soit $p$ un entier naturel non nul. Démontrer que $u_{n} \sim a_{n}$ entraîne $u_{n}^{p} \sim a_{n}^{p}$ .

c. Vérifier sur l'exemple $u_{n} = n^{2} + n$ , $a_{n} = n^{2}$ , $v_{n} = - n^{2}$ , $b_{n} = - n^{2}$ que l'on ne peut pas additionner deux équivalences.

d. Vérifier sur l'exemple $u_{n} = n + \ln n$ et $a_{n} = n$ que l'on ne peut pas composer une équivalence par l'exponentielle.

5. Vrai ou faux ? Justifier par une démonstration si l'énoncé est vrai, par un contre-exemple explicite s'il est faux.

a. Si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors $u_{n} - v_{n} ⟶ 0$ .

b. Si $u_{n} \sim v_{n}$ et si $v_{n} ⟶ ℓ$ avec $ℓ$ réel, alors $u_{n} ⟶ ℓ$ .

c. Si $u_{n} ⟶ 0$ , on peut écrire $u_{n} \sim 0$ .

d. On a $u_{n} \sim v_{n}$ si et seulement si $u_{n} - v_{n} = o (v_{n})$ .

e. Si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors $u_{n}^{3} \sim v_{n}^{3}$ .

f. Si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors $\ln (u_{n}) \sim \ln (v_{n})$ .

6. Déterminer, en détaillant les équivalents utilisés, la limite de la suite de terme général

w_{n} = n^{2} \ln ⁣ (1 + \frac{1}{n}) \sin ⁣ (\frac{1}{n})

Exercice 3 ★★★★ — Équivalents de fonctions en 0 et en l'infini

Comparaison des fonctions au voisinage d'un point ou de l'infini : o et équivalents

Définition. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage d'un point $a$ (éventuellement $a = + \infty$ ou $a = - \infty$ ), la fonction $g$ ne s'annulant pas sur un voisinage de $a$ sauf peut-être en $a$ . On dit que $f$ et $g$ sont équivalentes en $a$ , et on note $f (x) \underset{a}{\sim} g (x)$ , lorsque

\lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = 1

Comme pour les suites, l'équivalence est compatible avec le produit, le quotient et les puissances, mais pas avec la somme, ni avec la composition par $\ln$ ou par $\exp$ .

Équivalents usuels en $0$ . Ces équivalents restent valables lorsqu'on y remplace $x$ par n'importe quelle quantité tendant vers $0$ .

$\sin x \underset{0}{\sim} x$

$1 - \cos x \underset{0}{\sim} \frac{x^{2}}{2}$

$\ln (1 + x) \underset{0}{\sim} x$

$e^{x} - 1 \underset{0}{\sim} x$

$(1 + x)^{α} - 1 \underset{0}{\sim} α x (α \neq 0)$

Croissances comparées pour les fonctions. Pour tous réels $p > 0$ et $q > 0$ :

\lim_{x \to + \infty} \frac{(\ln x)^{q}}{x^{p}} = 0, \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{p}}{e^{q x}} = 0, \lim_{x \to 0^{+}} x^{p} {∣ \ln x ∣}^{q} = 0, \lim_{x \to - \infty} ∣ x ∣^{p} e^{q x} = 0

Partie A. Au voisinage de $0$ .

1. Donner un équivalent simple en $0$ de chacune des fonctions suivantes, en précisant l'équivalent usuel utilisé.

a. $\sin (3 x)$

b. $\ln ⁣ (1 + x^{2})$

c. $e^{2 x} - 1$

d. $1 - \cos (2 x)$

e. $\sqrt{1 + x} - 1$

f. $x^{2} + 3 x$

2. En déduire les limites suivantes.

a. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{x}$

b. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x)}{x^{2}}$

c. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln ⁣ (1 + x^{2})}{x \sin x}$

d. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{\sin (5 x)}$

e. $\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - x}$

f. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x}$

3. On revient sur les deux équivalents trigonométriques du catalogue.

a. Démontrer que $\sin x \underset{0}{\sim} x$ en reconnaissant un taux d'accroissement.

b. En utilisant l'identité $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ , montrer que pour tout $x$ tel que $\cos x \neq - 1$ ,

1 - \cos x = \frac{\sin^{2} x}{1 + \cos x}

puis en déduire que $1 - \cos x \underset{0}{\sim} \frac{x^{2}}{2}$ .

c. En déduire $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ , puis $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} - 1$ .

Partie B. Au voisinage de $+ \infty$ .

4. Donner un équivalent simple en $+ \infty$ de chacune des fonctions suivantes.

a. $3 x^{2} - 5 x + 1$

b. $\frac{2 x^{3} + x}{x^{2} + 1}$

c. $\sqrt{x^{2} + x}$

d. $e^{x} + x^{100}$

e. $\ln ⁣ (x^{2} + x)$

5. Déterminer les limites suivantes en invoquant précisément la croissance comparée utilisée.

a. $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3}}{e^{2 x}}$

b. $\lim_{x \to + \infty} \frac{(\ln x)^{4}}{\sqrt{x}}$

c. $\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x$

d. $\lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} (\ln x)^{2}$

e. $\lim_{x \to + \infty} x^{2} e^{- x}$

f. $\lim_{x \to - \infty} ∣ x ∣^{3} e^{x}$

g. $\lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{10}}$

h. $\lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \ln x$

6. Déterminer les limites suivantes, en ramenant chaque expression à un équivalent usuel en $0$ .

a. $\lim_{x \to + \infty} x \ln ⁣ (1 + \frac{1}{x})$

b. $\lim_{x \to + \infty} x (e^{1 / x} - 1)$

c. $\lim_{x \to + \infty} x^{2} (1 - \cos ⁣ (\frac{1}{x}))$

Exercice 4 ★★★★ — Nature d'une série : divergence grossière et séries de Riemann

Séries numériques : sommes partielles, convergence, somme et resteSéries usuelles : Riemann, géométrique et ses deux premières dérivées, exponentielle

Vocabulaire. Étant donnée une suite réelle $(u_{n})_{n ⩾ n_{0}}$ , on appelle somme partielle de rang $n$ le nombre

S_{n} = \sum_{k = n_{0}}^{n} u_{k}

La série $\sum u_{n}$ converge lorsque la suite $(S_{n})$ converge ; sa limite est alors appelée somme de la série et notée $\sum_{n = n_{0}}^{+ \infty} u_{n}$ . Dans ce cas, le reste de rang $n$ est le nombre

R_{n} = S - S_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} u_{k}

Théorème (divergence grossière). Si la série $\sum u_{n}$ converge, alors $u_{n} ⟶ 0$ . Par contraposée : si $(u_{n})$ ne tend pas vers $0$ , alors la série $\sum u_{n}$ diverge. On dit qu'elle diverge grossièrement.

Séries usuelles. Les séries de Riemann $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n^{α}}$ convergent si et seulement si $α > 1$ . Les séries géométriques $\sum q^{n}$ convergent si et seulement si $∣ q ∣ < 1$ , ainsi que leur série dérivée $\sum_{n ⩾ 1} n q^{n - 1}$ , de somme $\frac{1}{(1 - q)^{2}}$ . Enfin, si $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge : c'est la convergence absolue.

Partie A. Le test de divergence grossière.

1. Pour chacune des suites suivantes, déterminer $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ lorsqu'elle existe.

a. $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$

b. $u_{n} = \frac{1}{n^{2}}$

c. $u_{n} = (- 1)^{n}$

d. $u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{2 n^{2} + n}$

e. $u_{n} = {(\frac{3}{2})}^{n}$

f. $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}$

g. $u_{n} = \frac{n}{2^{n}}$

h. $u_{n} = \ln ⁣ (1 + \frac{1}{n})$

i. $u_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{n}$

j. $u_{n} = \frac{n!}{2^{n}}$

k. $u_{n} = \cos ⁣ (\frac{1}{n})$

l. $u_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{n^{2}}$

2. En déduire la liste des séries $\sum u_{n}$ de la question précédente qui divergent grossièrement.

Partie B. Reconnaître une série usuelle.

3. Pour chacune des séries restantes de la question 1, dire si la reconnaissance d'une série usuelle permet de conclure immédiatement, et conclure lorsque c'est le cas. On laissera de côté les cas h et i, traités séparément.

4. On s'intéresse aux deux séries de signe alterné.

a. Étudier la nature de $\sum_{n ⩾ 1} \frac{(- 1)^{n}}{n^{2}}$ .

b. Expliquer pourquoi la même méthode échoue pour $\sum_{n ⩾ 1} \frac{(- 1)^{n}}{n}$ .

Partie C. Le contre-exemple fondamental.

5. Un élève écrit : « $\frac{1}{n}$ tend vers $0$ , donc la série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n}$ converge. » Repérer l'erreur de logique.

6. On note $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ la $n$ -ième somme partielle de la série harmonique. On admet que la fonction $t \mapsto \frac{1}{t}$ est continue sur $] 0, + \infty [$ et que, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $0 < a < b$ ,

\int_{a}^{b} \frac{d t}{t} = \ln b - \ln a

a. Montrer que pour tout entier $k ⩾ 1$ , $\int_{k}^{k + 1} \frac{d t}{t} ⩽ \frac{1}{k}$ .

b. En sommant cette inégalité, montrer que $H_{n} ⩾ \ln (n + 1)$ pour tout $n ⩾ 1$ .

c. En déduire la nature de la série harmonique. Que conclure sur la réciproque du théorème de divergence grossière ?

7. On considère la série $\sum_{n ⩾ 1} \ln ⁣ (1 + \frac{1}{n})$ , dont le terme général tend vers $0$ d'après la question 1. h.

a. Montrer que pour tout $k ⩾ 1$ , $\ln ⁣ (1 + \frac{1}{k}) = \ln (k + 1) - \ln (k)$ .

b. En déduire une expression simple de la somme partielle $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \ln ⁣ (1 + \frac{1}{k})$ , puis la nature de la série.

Partie D. Somme partielle, somme et reste.

8. On considère la série géométrique $\sum_{n ⩾ 0} {(\frac{1}{3})}^{n}$ .

a. Calculer la somme partielle $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(\frac{1}{3})}^{k}$ , puis en déduire la nature de la série et sa somme $S$ .

b. Exprimer le reste $R_{n} = S - S_{n}$ en fonction de $n$ , et retrouver ce résultat en calculant directement $\sum_{k = n + 1}^{+ \infty} {(\frac{1}{3})}^{k}$ .

c. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $R_{n} ⩽ 10^{- 3}$ .

Exercice 5 ★★★★ — Sommes de séries géométriques et de la série exponentielle

Séries usuelles : Riemann, géométrique et ses deux premières dérivées, exponentielle

Séries géométriques et leurs deux premières dérivées. Pour tout réel $q$ tel que $∣ q ∣ < 1$ , les trois séries suivantes convergent et

\sum_{n = 0}^{+ \infty} q^{n} = \frac{1}{1 - q}, \sum_{n = 1}^{+ \infty} n q^{n - 1} = \frac{1}{(1 - q)^{2}}, \sum_{n = 2}^{+ \infty} n (n - 1) q^{n - 2} = \frac{2}{(1 - q)^{3}}

Série exponentielle. Pour tout réel $x$ , la série $\sum_{k ⩾ 0} \frac{x^{k}}{k!}$ converge et

\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{x^{k}}{k!} = e^{x}

Dans tout l'exercice, on justifiera la convergence avant de calculer une somme, et l'on donnera à la fin de chaque calcul une valeur numérique approchée à $10^{- 3}$ près quand la réponse fait intervenir $e$ .

Partie A. Séries géométriques.

1. Calculer les sommes suivantes.

a. $\sum_{n = 0}^{+ \infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

b. $\sum_{n = 1}^{+ \infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

c. $\sum_{n = 3}^{+ \infty} {(\frac{1}{3})}^{n}$

d. $\sum_{n = 0}^{+ \infty} {(- \frac{2}{3})}^{n}$

e. $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{2^{n}}{5^{n + 1}}$

f. $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{3^{n} + 2^{n}}{4^{n}}$

2. Soient $q$ un réel tel que $∣ q ∣ < 1$ et $n_{0}$ un entier naturel. Démontrer, par un changement d'indice, que

\sum_{n = n_{0}}^{+ \infty} q^{n} = \frac{q^{n_{0}}}{1 - q}

puis retrouver le résultat de la question 1. c.

3. Calculer les sommes suivantes.

a. $\sum_{n = 1}^{+ \infty} n {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

b. $\sum_{n = 1}^{+ \infty} n {(\frac{1}{2})}^{n}$

c. $\sum_{n = 2}^{+ \infty} n (n - 1) {(\frac{1}{3})}^{n - 2}$

d. $\sum_{n = 2}^{+ \infty} n (n - 1) {(\frac{1}{3})}^{n}$

4. En écrivant $n^{2} = n (n - 1) + n$ , calculer $\sum_{n = 0}^{+ \infty} n^{2} {(\frac{1}{3})}^{n}$ .

Partie B. Série exponentielle.

5. Calculer les sommes suivantes.

a. $\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{1}{k!}$

b. $\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{2^{k}}{k!}$

c. $\sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{k!}$

d. $\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{k}}{k!}$

e. $\sum_{k = 2}^{+ \infty} \frac{3^{k}}{k!}$

f. $\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{2^{k + 1}}{k!}$

6. Montrer que pour tout entier $k ⩾ 1$ , $\frac{k}{k!} = \frac{1}{(k - 1)!}$ , puis calculer $\sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{k}{k!}$ .

7. En écrivant $k^{2} = k (k - 1) + k$ , calculer $\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{k^{2}}{k!}$ .

8. Calculer $\sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{k 2^{k}}{k!}$ .

9. Calculer $\sum_{n = 0}^{+ \infty} (\frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{n!})$ en justifiant soigneusement l'emploi de la linéarité.

Exercice 6 ★★★★ — Convergence d'une intégrale impropre par calcul de primitive

Intégrale sur un intervalle quelconque : convergence et calcul par une primitive

Définition. Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b [$ , où $b$ est un réel ou $+ \infty$ . On dit que l'intégrale $\int_{a}^{b} f (t) d t$ converge lorsque la fonction

X ⟼ \int_{a}^{X} f (t) d t

admet une limite finie quand $X$ tend vers $b$ par valeurs inférieures. Cette limite est alors la valeur de l'intégrale. On procède symétriquement lorsque c'est la borne de gauche qui pose problème, en faisant tendre $ε$ vers $a$ par valeurs supérieures.

Méthode. Pour chaque intégrale, on suivra toujours les quatre mêmes étapes : repérer la ou les bornes impropres, écrire l'intégrale sur un segment, calculer une primitive, puis passer à la limite et conclure.

On étudie dans cet exercice les sept intégrales suivantes.

$I_{1} = \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t^{3}}$

$I_{2} = \int_{0}^{+ \infty} e^{- 3 t} d t$

$I_{3} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{t}}$

$I_{4} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{t}{{(1 + t^{2})}^{2}} d t$

$I_{5} = \int_{2}^{+ \infty} \frac{d t}{t (\ln t)^{2}}$

$I_{6} = \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t}$

$I_{7} = \int_{0}^{1} \ln t d t$

1. Pour chacune de ces sept intégrales, préciser l'intervalle sur lequel la fonction intégrée est continue, et indiquer quelle borne rend l'intégrale impropre.

2. Étudier la convergence de $I_{1}$ et, en cas de convergence, donner sa valeur.

3. Même question pour $I_{2}$ .

4. Même question pour $I_{3}$ .

5. Même question pour $I_{4}$ . On pourra reconnaître une expression de la forme $\frac{u^{'} (t)}{u (t)^{2}}$ , à une constante multiplicative près.

6. Même question pour $I_{5}$ , en utilisant la même remarque.

7. Même question pour $I_{6}$ . Commenter en comparant avec $I_{1}$ .

8. Même question pour $I_{7}$ . On effectuera une intégration par parties sur le segment $[ε, 1]$ , avec $ε \in] 0, 1 [$ , avant de faire tendre $ε$ vers $0$ .

9. Un élève rédige le calcul de $I_{7}$ ainsi : « $\int_{0}^{1} \ln t d t = [t \ln t - t]_{0}^{1} = (0 - 1) - (0 - 0) = - 1$ . » Le résultat est juste. Expliquer néanmoins pourquoi cette rédaction n'est pas recevable.

Exercice 7 ★★★★ — Les intégrales de référence : reconnaître et conclure

Intégrales de référence : Riemann en l'infini, Riemann en un point, exponentielleCritères de convergence : comparaison, équivalence, négligeabilité, convergence absolue

Partie A. Les trois familles de référence.

1. Énoncer précisément la condition de convergence de chacune des trois familles d'intégrales de référence : les intégrales de Riemann en $+ \infty$ , les intégrales de Riemann en un point, et les intégrales de l'exponentielle. Démontrer la première en calculant une primitive, en distinguant les cas $α = 1$ et $α \neq 1$ .

2. Déterminer la nature de chacune des intégrales suivantes par simple reconnaissance d'une intégrale de référence. On précisera à chaque fois la famille et la valeur du paramètre.

a. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t^{3 / 2}}$

b. $\int_{0}^{1} \frac{d t}{t^{2}}$

c. $\int_{3}^{+ \infty} e^{- t / 2} d t$

d. $\int_{1}^{2} \frac{d t}{(t - 1)^{1 / 3}}$

e. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{\sqrt{t}}$

f. $\int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt[3]{t}}$

g. $\int_{2}^{+ \infty} \frac{d t}{t}$

h. $\int_{0}^{+ \infty} e^{t} d t$

i. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t^{0,99}}$

j. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t^{1,01}}$

k. $\int_{0}^{2} \frac{d t}{(2 - t)^{2}}$

Partie B. Une intégrale impropre aux deux bornes.

3. On considère $J = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{t^{3 / 2}}$ .

a. Justifier que cette intégrale est impropre aux deux bornes, et rappeler la convention qui permet de lui donner un sens.

b. Étudier séparément $\int_{0}^{1} \frac{d t}{t^{3 / 2}}$ et $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t^{3 / 2}}$ , puis conclure sur la nature de $J$ .

4. Montrer que, quel que soit le réel $α$ , l'intégrale $\int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{t^{α}}$ diverge.

Partie C. Les critères de comparaison.

5. Rappeler les trois critères de comparaison pour les intégrales de fonctions positives, ainsi que le théorème de convergence absolue.

6. Déterminer la nature de chacune des intégrales suivantes en utilisant un critère de comparaison. On justifiera à chaque fois la positivité (ou l'on précisera que l'on raisonne en valeur absolue).

a. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t^{2} + t}$

b. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{\sqrt{t^{3} + 1}}$

c. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{2 + \sin t}{t^{2}} d t$

d. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{\ln t}{t^{2}} d t$

e. $\int_{1}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$

f. $\int_{2}^{+ \infty} \frac{d t}{\ln t}$

g. $\int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{t} + t}$

h. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{\sin t}{t^{2}} d t$

7. Étudier la nature de $K = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e^{- t}}{\sqrt{t}} d t$ , qui est impropre aux deux bornes.

8. Vrai ou faux ? Justifier.

a. Les intégrales $\int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{t}}$ et $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{\sqrt{t}}$ ont la même nature.

b. Si $f$ est continue et positive sur $[1, + \infty [$ et si $f (t) ⟶ 0$ quand $t \to + \infty$ , alors $\int_{1}^{+ \infty} f (t) d t$ converge.

c. Si $\int_{1}^{+ \infty} f (t) d t$ converge et si $0 ⩽ g ⩽ f$ sur $[1, + \infty [$ avec $g$ continue, alors $\int_{1}^{+ \infty} g (t) d t$ converge.

d. L'intégrale $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t^{1,0001}}$ converge.

Exercice 8 ★★★★ — Dérivées successives, classes de régularité et formule de Leibniz

Dérivées successives, classes de régularité et formule de Leibniz

Vocabulaire. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On note $f^{(0)} = f$ , et pour $n ⩾ 1$ , $f^{(n)} = {(f^{(n - 1)})}^{'}$ lorsque cette dérivée existe. La fonction $f$ est dite de classe $C^{p}$ sur $I$ lorsque $f^{(p)}$ existe et est continue sur $I$ , et de classe $C^{\infty}$ lorsqu'elle est de classe $C^{p}$ pour tout entier $p$ .

Formule de Leibniz. Si $u$ et $v$ sont de classe $C^{n}$ sur $I$ , alors leur produit $u v$ l'est aussi et

(u v)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) u^{(k)} v^{(n - k)}

Partie A. Quatre dérivées $n$ -ièmes de référence.

1. Soit $a$ un réel et $f : x \mapsto e^{a x}$ , définie sur $R$ . Calculer $f^{'}$ , $f^{''}$ et $f^{'''}$ , conjecturer une expression de $f^{(n)}$ , puis la démontrer par récurrence.

2. Soit $g : x \mapsto \frac{1}{1 - x}$ , définie sur $I =] - \infty, 1 [$ . Calculer $g^{'}$ et $g^{''}$ , conjecturer une expression de $g^{(n)}$ , puis la démontrer par récurrence.

3. Soit $h : x \mapsto \ln (1 + x)$ , définie sur $J =] - 1, + \infty [$ . Calculer $h^{'}$ , $h^{''}$ et $h^{'''}$ , puis démontrer que pour tout $n ⩾ 1$ ,

h^{(n)} (x) = \frac{(- 1)^{n - 1} (n - 1)!}{(1 + x)^{n}}

4. Soit $m$ un entier naturel et $p : x \mapsto x^{m}$ .

a. Déterminer $p^{(n)}$ pour $n ⩽ m$ , puis pour $n > m$ .

b. En déduire que si $P$ est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à $n$ , alors $P^{(n + 1)}$ est la fonction nulle.

5. Justifier que les fonctions $f$ , $g$ et $h$ des questions 1, 2 et 3 sont de classe $C^{\infty}$ sur leur intervalle de définition.

Partie B. La formule de Leibniz.

6. Dans la formule de Leibniz appliquée à un produit $u v$ , expliquer pourquoi il est judicieux de choisir pour $u$ le facteur dont les dérivées successives finissent par s'annuler.

7. Soit $F : x \mapsto x^{2} e^{x}$ , définie sur $R$ .

a. Montrer, à l'aide de la formule de Leibniz, que pour tout $n ⩾ 0$ ,

F^{(n)} (x) = (x^{2} + 2 n x + n (n - 1)) e^{x}

b. Vérifier cette formule pour $n = 0$ , $n = 1$ et $n = 2$ par un calcul direct.

c. En déduire $F^{(5)}$ et la valeur de $F^{(n)} (0)$ pour tout $n ⩾ 0$ .

8. Soit $G : x \mapsto (x^{2} + 1) \ln (1 + x)$ , définie sur $J =] - 1, + \infty [$ . Calculer $G^{(n)} (x)$ pour tout entier $n ⩾ 3$ , et montrer que le résultat se met sous la forme

G^{(n)} (x) = \frac{2 (- 1)^{n - 1} (n - 3)! (x^{2} + n x + (n - 1)^{2})}{(1 + x)^{n}}

9. Soit $H : x \mapsto (2 x + 1) e^{- x}$ , définie sur $R$ . Calculer $H^{(n)} (x)$ pour tout $n ⩾ 0$ , et vérifier le résultat pour $n = 1$ et $n = 2$ .

Exercice 9 ★★★★ — Développements limités usuels : somme et produit

Développements limités en 0 : Taylor-Young, DL usuels, unicité, somme et produit

Dans tout l'exercice, les développements limités sont pris au voisinage de $0$ .

Rappel. Une fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ lorsqu'il existe des réels $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ tels que

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} + o ⁣ (x^{n})

Ces coefficients sont uniques. Si $f$ est de classe $C^{n}$ au voisinage de $0$ , la formule de Taylor-Young donne $a_{k} = \frac{f^{(k)} (0)}{k!}$ .

Les seules opérations utilisées dans cet exercice sont la somme et le produit de développements limités.

Partie A. Le catalogue.

1. Écrire les développements limités usuels en $0$ à l'ordre $4$ des fonctions $x \mapsto e^{x}$ , $x \mapsto \ln (1 + x)$ , $x \mapsto \frac{1}{1 - x}$ , $x \mapsto \frac{1}{1 + x}$ , $x \mapsto \sin x$ et $x \mapsto \cos x$ , ainsi que celui de $x \mapsto (1 + x)^{α}$ à l'ordre $3$ . En déduire le développement limité de $x \mapsto \sqrt{1 + x}$ à l'ordre $3$ .

Partie B. Sommes.

2. Déterminer les développements limités suivants.

a. $x e^{x} + \sin x$ à l'ordre $4$ .

b. $\cos x + \frac{1}{1 - x}$ à l'ordre $4$ .

c. $e^{x} - 1 - x$ à l'ordre $3$ , puis en déduire $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}}$ .

Partie C. Produits.

3. Déterminer les développements limités suivants.

a. $e^{x} \ln (1 + x)$ à l'ordre $4$ .

b. $\sqrt{1 + x} \cos x$ à l'ordre $3$ .

c. $\frac{1}{1 - x} \times \frac{1}{1 + x}$ à l'ordre $4$ , en effectuant le produit des deux développements usuels.

d. $e^{x} \cos x$ à l'ordre $3$ .

e. $\sin x \ln (1 + x)$ à l'ordre $4$ .

4. On admet le développement limité $\ln ⁣ (1 + x^{2}) = x^{2} - \frac{x^{4}}{2} + o ⁣ (x^{4})$ . En déduire, par un produit, le développement limité de $x \mapsto e^{x} \ln ⁣ (1 + x^{2})$ à l'ordre $4$ . À quel ordre suffit-il de connaître le développement de $e^{x}$ pour ce calcul ? Justifier.

Partie D. Ce que le développement limité fait lire.

5. Soit $f$ une fonction admettant en $0$ le développement limité $f (x) = a_{0} + a_{1} x + o (x)$ .

a. Que valent $f (0)$ et $f^{'} (0)$ ? Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ ?

b. Appliquer ce résultat à $f : x \mapsto e^{x} \ln (1 + x)$ et à $g : x \mapsto \sqrt{1 + x} \cos x$ .

6. À l'aide de la formule de Taylor-Young, déterminer $f^{''} (0)$ et $f^{'''} (0)$ pour la fonction $f : x \mapsto e^{x} \ln (1 + x)$ , puis $g^{''} (0)$ pour $g : x \mapsto \sqrt{1 + x} \cos x$ . Vérifier la valeur de $g^{''} (0)$ par un calcul direct de dérivées.

7. Déterminer $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} \ln (1 + x) - x}{x^{2}}$ .

Exercice 10 ★★★★ — Lever des formes indéterminées avec les équivalents

Suites équivalentes : notation ~, opérations autorisées et interditesSuites négligeables : notation o et croissances comparées

On utilisera librement les résultats suivants du cours.

Ce qui est permis. Si $u_{n} \sim v_{n}$ et $w_{n} \sim t_{n}$ , alors $u_{n} w_{n} \sim v_{n} t_{n}$ et $\frac{u_{n}}{w_{n}} \sim \frac{v_{n}}{t_{n}}$ (sous réserve que les quotients aient un sens). Si de plus les termes sont strictement positifs et si $α$ est un réel fixe, alors $u_{n}^{α} \sim v_{n}^{α}$ . Enfin, deux suites équivalentes ont la même limite, finie ou infinie.

Ce qui est interdit. On n'ajoute pas, on ne soustrait pas des équivalents, et on ne compose pas un équivalent par $\exp$ , par $\ln$ ou par une puissance dont l'exposant dépend de $n$ . Ces pièges sont détaillés à l'exercice suivant.

Équivalents usuels. Si $(u_{n})$ est une suite de réels non nuls qui tend vers $0$ , alors

\ln (1 + u_{n}) \sim u_{n}, e^{u_{n}} - 1 \sim u_{n}, {(1 + u_{n})}^{α} - 1 \sim α u_{n} (α \neq 0),

\sin (u_{n}) \sim u_{n}, 1 - \cos (u_{n}) \sim \frac{u_{n}^{2}}{2} .

Terme dominant. Une somme de puissances de $n$ est équivalente à son terme de plus haut degré. Plus généralement, si $a_{n} = o (b_{n})$ , alors $a_{n} + b_{n} \sim b_{n}$ .

Croissances comparées. Pour tous réels $α > 0$ , $β > 0$ et tout réel $q > 1$ ,

{(\ln n)}^{β} = o (n^{α}), n^{α} = o (q^{n}), q^{n} = o (n!) .

Partie A. Termes dominants

1. Déterminer la limite de chacune des suites suivantes.

a. $u_{n} = \frac{3 n^{3} - 5 n + 2}{7 n^{3} + n^{2} - 1}$

b. $v_{n} = \frac{2 n^{2} + n \ln n}{n^{3} + 4}$

c. $w_{n} = \frac{(n + 1)^{4} - n^{4}}{n^{3} + \sqrt{n}}$

d. $x_{n} = \frac{\sqrt{9 n^{2} + n}}{2 n + 3}$

2. Même question, après avoir fait apparaître la quantité conjuguée.

a. $a_{n} = \sqrt{n^{2} + 3 n} - n$

b. $b_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$

c. $c_{n} = n (\sqrt{n^{2} + 1} - n)$

d. $d_{n} = \sqrt{n^{2} + n} - \sqrt{n^{2} + 1}$

Partie B. Les équivalents usuels

3. Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour $n ⩾ 1$ .

a. $p_{n} = n \ln (1 + \frac{2}{n})$

b. $q_{n} = n (e^{1 / n} - 1)$

c. $r_{n} = n (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} - 1)$

d. $s_{n} = \frac{\ln (1 + \frac{1}{n^{2}})}{e^{1 / n} - 1}$

e. $t_{n} = n ({(1 + \frac{1}{n})}^{3} - 1)$

f. $y_{n} = n^{2} (1 - \cos \frac{1}{n})$

Partie C. Une puissance dont l'exposant dépend de $n$

Soit $a$ un réel fixé. On étudie la suite $(z_{n})$ définie, pour $n > ∣ a ∣$ , par $z_{n} = {(1 + \frac{a}{n})}^{n}$ .

4. a. Un élève écrit : « $1 + \frac{a}{n} \sim 1$ , donc $z_{n} \sim 1^{n} = 1$ , donc $z_{n} \to 1$ . » En prenant $a = 1$ et en calculant $z_{10}$ , $z_{100}$ et $z_{1000}$ à $10^{- 4}$ près, expliquer pourquoi cette conclusion est fausse.

4. b. Justifier que $z_{n} = \exp (n \ln (1 + \frac{a}{n}))$ , puis déterminer la limite de l'exposant.

4. c. En déduire $\lim_{n \to + \infty} z_{n}$ .

5. Appliquer la méthode de la question 4 aux quatre suites suivantes.

a. $α_{n} = {(1 - \frac{3}{n})}^{n}$

b. $β_{n} = {(\frac{n + 2}{n - 1})}^{n}$

c. $γ_{n} = {(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n}$

d. $δ_{n} = {(1 + \frac{1}{\sqrt{n}})}^{n}$

Partie D. Synthèse : factoriser d'abord le terme dominant

6. Déterminer la limite de chacune des suites suivantes. Aucune ne se traite sans avoir d'abord factorisé le terme dominant.

a. $A_{n} = \frac{3^{n} + n^{10}}{3^{n + 1} + 2^{n}}$

b. $B_{n} = \ln (n^{2} + n) - 2 \ln n$

c. $C_{n} = \frac{\ln (n^{2} + n)}{\ln (n^{3} + 1)}$

7. Déterminer la limite de $D_{n} = {(\frac{n^{2} + 3 n}{n^{2} + 1})}^{n}$ et celle de $E_{n} = {(\frac{2 n + 1}{2 n + 3})}^{n}$ .

Exercice 11 ★★★★ — Les pièges des équivalents : somme, exponentielle, logarithme

Comparaison des fonctions au voisinage d'un point ou de l'infini : o et équivalentsSuites équivalentes : notation ~, opérations autorisées et interdites

Définition rappelée. Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles. On dit que $u_{n}$ est équivalente à $v_{n}$ , et on écrit $u_{n} \sim v_{n}$ , lorsqu'il existe une suite $(ε_{n})$ de limite $1$ telle que $u_{n} = ε_{n} v_{n}$ à partir d'un certain rang. Lorsque $v_{n}$ est non nul à partir d'un certain rang, cela revient à

\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = 1.

Chacune des affirmations des parties B et C est un raisonnement d'élève. Pour chacune : dire si elle est vraie ou fausse, la démontrer si elle est vraie, en donner un contre-exemple explicite si elle est fausse, et dans tous les cas énoncer la règle correcte à retenir.

Partie A. Ce qui est permis

1. a. Démontrer que si $u_{n} \sim v_{n}$ et si $(v_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ , alors $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ .

1. b. Démontrer que si $u_{n} \sim v_{n}$ et $w_{n} \sim t_{n}$ , alors $u_{n} w_{n} \sim v_{n} t_{n}$ .

1. c. En déduire la règle sur les quotients. On admettra par ailleurs que, pour des suites à termes strictement positifs et un réel $α$ fixé, $u_{n} \sim v_{n}$ entraîne $u_{n}^{α} \sim v_{n}^{α}$ .

Partie B. Cinq raisonnements à examiner

2. La somme. « Si $u_{n} \sim u_{n}^{'}$ et $v_{n} \sim v_{n}^{'}$ , alors $u_{n} + v_{n} \sim u_{n}^{'} + v_{n}^{'}$ . »

3. La différence. « On a $n + \sqrt{n} \sim n$ et $n \sim n$ . En soustrayant, $(n + \sqrt{n}) - n \sim n - n = 0$ , autrement dit $\sqrt{n} \sim 0$ , donc $\sqrt{n}$ tend vers $0$ . »

4. La composition par l'exponentielle. « Si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors $e^{u_{n}} \sim e^{v_{n}}$ . » On pourra examiner le cas $u_{n} = n + \ln n$ et $v_{n} = n$ .

5. La composition par le logarithme. Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites à termes strictement positifs telles que $u_{n} \sim v_{n}$ .

5. a. On suppose de plus que $(v_{n})$ admet une limite $ℓ$ , avec $ℓ \in [0, + \infty]$ et $ℓ \neq 1$ . Démontrer que $\ln (u_{n}) \sim \ln (v_{n})$ . On pourra partir de l'égalité $\ln (u_{n}) = \ln (v_{n}) + \ln (\frac{u_{n}}{v_{n}})$ .

5. b. Montrer que la conclusion tombe en défaut lorsque $ℓ = 1$ , à l'aide des suites $u_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ et $v_{n} = 1 + \frac{1}{n^{2}}$ .

6. La puissance $n$ -ième. « On a $1 + \frac{1}{n} \sim 1$ , donc ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} \sim 1^{n} = 1$ , donc cette suite tend vers $1$ . »

Partie C. Les bons calculs

7. Déterminer les limites suivantes, en n'utilisant que des règles licites.

a. $\frac{e^{\sqrt{n^{2} + n}}}{e^{n}}$

b. $\frac{\ln (n^{2} + 3 n)}{\ln (5 n)}$

c. ${(1 + \frac{\ln n}{n})}^{n}$

Exercice 12 ★★★★ — Séries à termes positifs : comparaison et équivalence

Séries à termes positifs : comparaison, équivalence, négligeabilitéSéries usuelles : Riemann, géométrique et ses deux premières dérivées, exponentielle

On rappelle les résultats du cours utilisés dans tout l'exercice.

Critère fondamental. Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Comparaison. Si $0 ⩽ u_{n} ⩽ v_{n}$ à partir d'un certain rang, alors la convergence de $\sum v_{n}$ entraîne celle de $\sum u_{n}$ , et la divergence de $\sum u_{n}$ entraîne celle de $\sum v_{n}$ .

Équivalence. Si $u_{n} \sim v_{n}$ et si $(v_{n})$ est de signe constant à partir d'un certain rang, alors $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature.

Séries de Riemann. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ .

Séries géométriques et leurs deux premières dérivées. Pour $∣ q ∣ < 1$ ,

\sum_{n = 0}^{+ \infty} q^{n} = \frac{1}{1 - q}, \sum_{n = 1}^{+ \infty} n q^{n - 1} = \frac{1}{(1 - q)^{2}}, \sum_{n = 2}^{+ \infty} n (n - 1) q^{n - 2} = \frac{2}{(1 - q)^{3}} .

Série exponentielle. Pour tout réel $x$ , $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n!} = e^{x}$ .

Inégalité admise. Pour tout entier $n ⩾ 1$ , $n! ⩾ 2^{n - 1}$ .

Partie A. Comparaison

1. Démontrer que chacune des séries suivantes converge, par majoration par une série de référence.

a. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n^{2} + n}$

b. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{2 + \cos n}{n^{3}}$

c. $\sum_{n ⩾ 0} \frac{1}{n!}$

2. Démontrer que chacune des séries suivantes diverge, par minoration par une série de référence.

a. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{\sqrt{n} + 1}$

b. $\sum_{n ⩾ 3} \frac{\ln n}{n}$

c. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{n}{n^{2} + 1}$

Partie B. Équivalence

3. Déterminer la nature de chacune des séries suivantes par la méthode « équivalent, puis Riemann ». On n'oubliera pas de vérifier le signe des termes avant d'appliquer le critère.

a. $\sum_{n ⩾ 2} \frac{n + 1}{n^{3} - 2}$

b. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{3 n^{2} + 1}{2 n^{4} + n}$

c. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2}$

d. $\sum_{n ⩾ 1} \sin (\frac{1}{n})$

e. $\sum_{n ⩾ 1} \ln (1 + \frac{1}{n^{2}})$

f. $\sum_{n ⩾ 1} (e^{1 / n} - 1)$

4. Démontrer que les séries suivantes convergent, et calculer leur somme.

a. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{n}{2^{n}}$

b. $\sum_{n ⩾ 0} \frac{2^{n} + n}{3^{n}}$

c. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{n^{2}}{3^{n}}$

5. On admet les deux développements limités suivants, valables au voisinage de $0$ :

\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + o ⁣ (x^{2}), \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} + o ⁣ (x^{2}) .

Déterminer la nature des deux séries suivantes.

5. a. $\sum_{n ⩾ 1} u_{n}$ où $u_{n} = \frac{1}{n} - \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

5. b. $\sum_{n ⩾ 1} v_{n}$ où $v_{n} = \sqrt{1 + \frac{1}{n}} - 1 - \frac{1}{2 n}$ .

Partie C. Pourquoi le signe constant

6. a. Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites telles que $u_{n} \sim v_{n}$ , avec $v_{n} > 0$ à partir d'un certain rang. Démontrer qu'il existe un rang $N$ tel que

\forall n ⩾ N, \frac{1}{2} v_{n} ⩽ u_{n} ⩽ \frac{3}{2} v_{n},

et expliquer comment on en déduit le critère d'équivalence.

6. b. Identifier précisément l'étape de la démonstration précédente qui utilise le signe de $v_{n}$ .

6. c. On pose, pour $n ⩾ 1$ ,

u_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n} et v_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}} .

Montrer que $u_{n} \sim v_{n}$ . On admet (c'est l'objet de l'exercice consacré à la convergence absolue) que $\sum v_{n}$ converge. Montrer alors que $\sum u_{n}$ diverge, et conclure.

Exercice 13 ★★★★ — Séries à termes positifs : négligeabilité et règle en n puissance alpha

Séries à termes positifs : comparaison, équivalence, négligeabilitéSéries usuelles : Riemann, géométrique et ses deux premières dérivées, exponentielle

Critère de négligeabilité (cours). Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites à termes positifs telles que $u_{n} = o (v_{n})$ . Si $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge.

On rappelle aussi les séries de Riemann ( $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ ), les croissances comparées, et l'on admet que $n! ⩾ 2^{n - 1}$ pour tout $n ⩾ 1$ .

Partie A. Deux règles pratiques, et leurs limites

1. Soit $(u_{n})$ une suite à termes positifs. On suppose qu'il existe un réel $α > 1$ tel que

\lim_{n \to + \infty} n^{α} u_{n} = 0.

Démontrer, à partir du critère de négligeabilité, que $\sum u_{n}$ converge.

2. Soit $(u_{n})$ une suite à termes positifs telle que $n u_{n} \to ℓ$ , où $ℓ$ est un réel strictement positif. Démontrer que $\sum u_{n}$ diverge.

3. On veut comprendre pourquoi la question 1 exige $α > 1$ strictement. Pour $n ⩾ 2$ , on pose

w_{n} = \ln (\ln (n + 1)) - \ln (\ln n) .

3. a. Calculer $\sum_{k = 2}^{n} w_{k}$ en simplifiant les termes deux à deux, puis en déduire la nature de $\sum_{n ⩾ 2} w_{n}$ .

3. b. Montrer que $w_{n} = \ln (1 + h_{n})$ avec $h_{n} = \frac{\ln (1 + \frac{1}{n})}{\ln n}$ , puis que $w_{n} \sim \frac{1}{n \ln n}$ . En déduire $\lim_{n \to + \infty} n w_{n}$ .

3. c. Conclure : la règle de la question 1 resterait-elle vraie avec $α = 1$ ?

Partie B. Applications

4. Démontrer que chacune des séries suivantes converge, en appliquant la règle de la question 1. On précisera à chaque fois la valeur de $α$ choisie.

a. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{\ln n}{n^{2}}$

b. $\sum_{n ⩾ 1} n^{3} e^{- n}$

c. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{n^{10}}{2^{n}}$

d. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{n^{4}}{n!}$

e. $\sum_{n ⩾ 2} \frac{{(\ln n)}^{2}}{n^{3 / 2}}$

f. $\sum_{n ⩾ 1} e^{- \sqrt{n}}$

5. Démontrer que chacune des séries suivantes diverge, en appliquant la règle de la question 2.

a. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{2 n + 1}{n^{2} + 3}$

b. $\sum_{n ⩾ 1} \ln (1 + \frac{2}{n})$

c. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}}$

6. Déterminer la nature des trois séries suivantes, en choisissant à chaque fois l'outil adapté.

6. a. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{n^{2} + 1}{n^{3} + n}$

6. b. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n} \ln (1 + \frac{1}{n})$

6. c. $\sum_{n ⩾ 1} {(\frac{n}{n + 1})}^{n^{2}}$ . On pourra étudier $\ln (n^{2} u_{n})$ .

Exercice 14 ★★★★ — Convergence absolue et séries de signe non constant

Convergence absolue d'une sérieSéries numériques : sommes partielles, convergence, somme et reste

Définition. La série $\sum u_{n}$ converge absolument lorsque la série $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge.

Théorème (cours). Toute série absolument convergente est convergente.

Résultat du chapitre sur les suites, admis ici. Si les suites $(S_{2 n})$ et $(S_{2 n + 1})$ convergent vers la même limite $S$ , alors la suite $(S_{n})$ converge vers $S$ .

Suites adjacentes (rappel). Si $(A_{n})$ est décroissante, $(B_{n})$ croissante et $A_{n} - B_{n} \to 0$ , alors les deux suites convergent vers une même limite $S$ , et pour tout $n$ , $B_{n} ⩽ S ⩽ A_{n}$ .

Partie A. Convergence absolue

1. Démontrer que les trois séries suivantes convergent, en établissant leur convergence absolue.

a. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{(- 1)^{n}}{n^{2}}$

b. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{\cos n}{n^{2}}$

c. $\sum_{n ⩾ 2} \frac{(- 1)^{n} \ln n}{n^{2}}$

2. On considère la série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{(- 1)^{n} n}{n^{2} + 1}$ . Étudier sa convergence absolue. Que peut-on en conclure sur la convergence de la série ?

Partie B. Une série qui converge sans converger absolument

Pour $n ⩾ 1$ , on pose

u_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}} et S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{\sqrt{k}} .

3. Démontrer que la série $\sum_{n ⩾ 1} u_{n}$ ne converge pas absolument.

4. Calculer $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ , $S_{5}$ et $S_{6}$ , en valeurs approchées à $10^{- 6}$ près. Que constate-t-on sur les termes de rang pair, puis sur ceux de rang impair ?

5. a. Calculer $S_{2 n + 2} - S_{2 n}$ en fonction de $n$ , et en déduire que la suite ${(S_{2 n})}_{n ⩾ 1}$ est décroissante.

5. b. Calculer $S_{2 n + 3} - S_{2 n + 1}$ en fonction de $n$ , et en déduire que la suite ${(S_{2 n + 1})}_{n ⩾ 0}$ est croissante.

5. c. Calculer $S_{2 n} - S_{2 n + 1}$ et déterminer sa limite.

5. d. En déduire que les suites $(S_{2 n})$ et $(S_{2 n + 1})$ convergent vers une même limite, que l'on notera $S$ .

6. En déduire que la série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}}$ converge, puis donner un encadrement de sa somme $S$ à l'aide des valeurs calculées à la question 4.

Partie C. Bilan

7. La convergence absolue est-elle une condition nécessaire de convergence ? Justifier à l'aide de la partie B.

8. Soit $α$ un réel. Déterminer, en fonction de $α$ , la nature de la série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{(- 1)^{n}}{n^{α}}$ et préciser dans quels cas la convergence est absolue. On reprendra la méthode de la partie B pour les valeurs de $α$ qui l'exigent.

Exercice 15 ★★★★ — Séries télescopiques et convergence d'une suite

Série de terme général u(n+1) - u(n) et étude de la suite (u(n))Séries numériques : sommes partielles, convergence, somme et reste

Partie A. Le principe du télescopage

Soit ${(u_{n})}_{n \in N}$ une suite réelle quelconque. On pose, pour tout $n \in N$ , $v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$ .

1. Démontrer que, pour tout $n \in N$ ,

\sum_{k = 0}^{n} v_{k} = u_{n + 1} - u_{0} .

2. En déduire que la série $\sum_{n ⩾ 0} v_{n}$ converge si et seulement si la suite $(u_{n})$ converge, et exprimer alors $\sum_{n = 0}^{+ \infty} v_{n}$ en fonction de $u_{0}$ et de $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ .

Partie B. Quatre exemples

3. Vérifier que, pour tout $k ⩾ 1$ , $\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ . En déduire la nature de $\sum_{k ⩾ 1} \frac{1}{k (k + 1)}$ et, en cas de convergence, la valeur de sa somme.

4. Vérifier que, pour tout $k ⩾ 1$ , $\ln (1 + \frac{1}{k}) = \ln (k + 1) - \ln (k)$ . En déduire la nature de $\sum_{k ⩾ 1} \ln (1 + \frac{1}{k})$ . Comparer avec l'équivalent du terme général.

5. Vérifier que, pour tout $k ⩾ 1$ , $\frac{1}{k (k + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$ . En déduire la nature de $\sum_{k ⩾ 1} \frac{1}{k (k + 2)}$ et la valeur de sa somme. On prendra garde au fait que la simplification ne laisse pas les mêmes termes que dans la question 3.

6. Vérifier que, pour tout $k ⩾ 1$ , $\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} = \sqrt{k + 1} - \sqrt{k}$ . En déduire la nature de $\sum_{k ⩾ 1} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}$ .

Partie C. Prouver qu'une suite converge sans connaître sa limite

On considère la suite définie par

u_{0} = 0 et \forall n \in N, u_{n + 1} = \frac{1}{2 + u_{n}} .

On note $f$ la fonction définie sur $[0, \frac{1}{2}]$ par $f (x) = \frac{1}{2 + x}$ .

7. a. Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , $u_{4}$ et $u_{5}$ sous forme de fractions irréductibles, puis en valeurs approchées à $10^{- 7}$ près. La suite est-elle monotone ?

7. b. Démontrer que, pour tout $n \in N$ , $u_{n}$ est bien défini et $0 ⩽ u_{n} ⩽ \frac{1}{2}$ .

7. c. Calculer $f^{'} (x)$ et démontrer que $∣ f^{'} (x) ∣ ⩽ \frac{1}{4}$ pour tout $x \in [0, \frac{1}{2}]$ . En déduire que, pour tout $n ⩾ 1$ ,

∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣ ⩽ \frac{1}{4} ∣ u_{n} - u_{n - 1} ∣ .

7. d. En déduire par récurrence que, pour tout $n \in N$ , $∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣ ⩽ \frac{1}{2} {(\frac{1}{4})}^{n}$ .

7. e. En déduire que $\sum_{n ⩾ 0} ∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣$ converge, puis que la suite $(u_{n})$ converge.

7. f. Déterminer la limite de $(u_{n})$ , puis la somme $\sum_{n = 0}^{+ \infty} (u_{n + 1} - u_{n})$ .

Exercice 16 ★★★★ — Intégrales impropres : comparaison et équivalence aux bornes

Critères de convergence : comparaison, équivalence, négligeabilité, convergence absolueIntégrales de référence : Riemann en l'infini, Riemann en un point, exponentielle

Définition rappelée. Soit $f$ continue sur $[a, b [$ , où $b$ est un réel ou $+ \infty$ . L'intégrale $\int_{a}^{b} f (t) d t$ converge lorsque la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ admet une limite finie quand $x \to b^{-}$ . Si $f$ est continue sur $] a, b [$ et que les deux bornes posent problème, on fixe un point $c$ de $] a, b [$ et l'on demande la convergence de $\int_{a}^{c} f$ et de $\int_{c}^{b} f$ ; la conclusion ne dépend pas du choix de $c$ .

Intégrales de référence. Pour $a < b$ réels et $α$ réel,

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t^{α}} converge ⟺ α > 1, \int_{a}^{b} \frac{d t}{(t - a)^{α}} converge ⟺ α < 1, \int_{0}^{+ \infty} e^{- α t} d t converge ⟺ α > 0.

Le deuxième résultat, lu dans l'autre sens, donne aussi la convergence de $\int_{a}^{b} \frac{d t}{(b - t)^{α}}$ si et seulement si $α < 1$ .

Critères (fonctions continues, de signe constant au voisinage de la borne impropre). Comparaison : si $0 ⩽ f ⩽ g$ au voisinage de la borne, la convergence de $\int g$ entraîne celle de $\int f$ , et la divergence de $\int f$ entraîne celle de $\int g$ . Équivalence : si $f \sim g$ en la borne et si $g$ est de signe constant au voisinage de celle-ci, les deux intégrales sont de même nature. Négligeabilité : si $0 ⩽ f$ , $0 ⩽ g$ , $f = o (g)$ en la borne et $\int g$ converge, alors $\int f$ converge. Convergence absolue : si $\int ∣ f ∣$ converge, alors $\int f$ converge.

Partie A. Repérer les bornes impropres

1. Pour chacune des intégrales suivantes, indiquer sur quel intervalle la fonction intégrée est continue, et préciser quelle borne (ou quelles bornes) rend l'intégrale impropre. On ne demande pas encore la nature.

a. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t^{2} + t}$

b. $\int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{t}}$

c. $\int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{\sqrt{t} (1 + t)}$

d. $\int_{1}^{2} \frac{d t}{t - 1}$

e. $\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t^{2}}$

f. $\int_{0}^{1} \frac{\sin t}{t} d t$

Partie B. Comparaison et équivalence en l'infini

2. Déterminer la nature de chacune des intégrales suivantes.

a. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t^{2} + t}$

b. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{\ln t}{t^{2}} d t$

c. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{t + 1}{t^{3} + 2} d t$

d. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{\sqrt{t^{2} + 1}}$

e. $\int_{1}^{+ \infty} \ln (1 + \frac{1}{t}) d t$

f. $\int_{1}^{+ \infty} \sin (\frac{1}{t^{2}}) d t$

Partie C. En une borne finie

3. Déterminer la nature de chacune des intégrales suivantes.

a. $\int_{1}^{2} \frac{d t}{t - 1}$

b. $\int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{1 - t}}$

c. $\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{\sqrt{t}} d t$

d. $\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 - t^{2}}$

Partie D. Deux bornes impropres

4. Déterminer la nature des deux intégrales suivantes, en traitant chaque borne séparément.

4. a. $\int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{\sqrt{t} (1 + t)}$

4. b. $\int_{0}^{+ \infty} \frac{e^{- t}}{\sqrt{t}} d t$

Partie E. Pourquoi le signe constant

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, b [$ telles que $f (t) \underset{t \to b^{-}}{\sim} g (t)$ , avec $g (t) > 0$ au voisinage de $b$ .

5. a. Démontrer qu'il existe un réel $c \in [a, b [$ tel que

\forall t \in [c, b [, \frac{1}{2} g (t) ⩽ f (t) ⩽ \frac{3}{2} g (t),

et expliquer comment on en déduit le critère d'équivalence.

5. b. Repérer les endroits de la démonstration où le signe de $g$ est utilisé, et expliquer pourquoi la notion même de convergence d'une intégrale de fonction positive repose sur ce signe.

Exercice 17 ★★★★ — Intégration par parties sur un intervalle non borné

Intégration par parties avec passage à la limite et changement de variableIntégrale sur un intervalle quelconque : convergence et calcul par une primitive

Règle absolue. Le théorème d'intégration par parties est un théorème sur les segments : si $u$ et $v$ sont de classe $C^{1}$ sur $[a, X]$ , alors

\int_{a}^{X} u (t) v^{'} (t) d t = [u (t) v (t)]_{a}^{X} - \int_{a}^{X} u^{'} (t) v (t) d t .

Sur une intégrale impropre, on l'applique donc toujours sur un segment, puis on fait tendre la borne vers la valeur interdite. Écrire un crochet directement entre des bornes impropres, avant d'avoir prouvé que les limites existent, est une faute lourde. Toutes les rédactions ci-dessous doivent respecter ce schéma scrupuleusement.

On utilisera librement les croissances comparées $\lim_{X \to + \infty} X^{p} e^{- X} = 0$ (pour tout $p$ ), $\lim_{X \to + \infty} \frac{\ln X}{X} = 0$ et $\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0$ .

Partie A. Quatre calculs modèles

1. Démontrer que $\int_{0}^{+ \infty} t e^{- t} d t$ converge et calculer sa valeur.

2. a. Démontrer que $\int_{0}^{+ \infty} t^{2} e^{- t} d t$ converge et calculer sa valeur.

2. b. Pour $n \in N$ , on pose $I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- t} d t$ . Démontrer que $I_{n}$ converge pour tout $n$ , calculer $I_{0}$ , établir une relation entre $I_{n}$ et $I_{n - 1}$ pour $n ⩾ 1$ , puis en déduire l'expression de $I_{n}$ .

3. Démontrer que $\int_{0}^{1} \ln t d t$ converge et calculer sa valeur.

4. Démontrer que $\int_{1}^{+ \infty} \frac{\ln t}{t^{2}} d t$ converge et calculer sa valeur.

Partie B. Ce qui arrive quand on saute l'étape du segment

5. a. Expliquer pourquoi les deux écritures suivantes n'ont, telles quelles, aucun sens :

[t \ln t]_{0}^{1} et [- t e^{- t}]_{0}^{+ \infty} .

5. b. On s'intéresse à $\int_{1}^{+ \infty} \frac{\ln t}{t} d t$ . Déterminer d'abord sa nature en calculant $\int_{1}^{X} \frac{\ln t}{t} d t$ à l'aide d'une primitive. Écrire ensuite l'intégration par parties menée « directement » entre $1$ et $+ \infty$ avec $u (t) = \ln t$ et $v^{'} (t) = \frac{1}{t}$ , et dire ce que vaut l'égalité obtenue. Reprendre enfin le même calcul sur le segment $[1, X]$ et comparer.

Partie C. Une intégrale que seule l'intégration par parties permet de traiter

6. a. Démontrer que $\int_{1}^{+ \infty} \frac{\cos t}{t^{2}} d t$ converge.

6. b. Soit $X > 1$ . À l'aide d'une intégration par parties sur $[1, X]$ avec $u (t) = \frac{1}{t}$ et $v^{'} (t) = \sin t$ , exprimer $\int_{1}^{X} \frac{\sin t}{t} d t$ .

6. c. En déduire que $\int_{1}^{+ \infty} \frac{\sin t}{t} d t$ converge et exprimer sa valeur en fonction de $\cos 1$ et de l'intégrale de la question 6. a.

Exercice 18 ★★★★ — Changement de variable dans une intégrale impropre

Intégration par parties avec passage à la limite et changement de variableIntégrale sur un intervalle quelconque : convergence et calcul par une primitive

Dans tout l'exercice, on utilisera librement les résultats suivants : $\int_{0}^{+ \infty} e^{- u} d u = 1$ ; $Arctan$ est une primitive de $u \mapsto \frac{1}{1 + u^{2}}$ sur $R$ , avec $Arctan (0) = 0$ , $Arctan (1) = \frac{π}{4}$ et $\lim_{u \to + \infty} Arctan (u) = \frac{π}{2}$ ; enfin, l'intégrale $\int_{0}^{+ \infty} \frac{e^{- u}}{\sqrt{u}} d u$ converge (résultat établi à l'exercice sur les critères de comparaison).

Partie A. Le théorème

1. Énoncer le théorème de changement de variable pour une intégrale sur un intervalle quelconque, en précisant les trois hypothèses à vérifier sur la fonction de changement de variable, et en indiquant comment se transforment les bornes.

Partie B. Changements de variable affines

2. Dans chacun des cas suivants, effectuer le changement de variable indiqué, puis en déduire la nature de l'intégrale et sa valeur.

2. a. $\int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 t} d t$ , avec $u = 2 t$ .

2. b. $\int_{1}^{2} \frac{d t}{\sqrt{t - 1}}$ , avec $u = t - 1$ .

2. c. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{1 + (t - 1)^{2}}$ , avec $u = t - 1$ .

3. Soient $a < b$ deux réels et $α$ un réel. À l'aide du changement de variable $u = t - a$ , démontrer que $\int_{a}^{b} \frac{d t}{(t - a)^{α}}$ et $\int_{0}^{b - a} \frac{d u}{u^{α}}$ sont de même nature.

Partie C. Deux changements de variable non affines

4. On considère $\int_{0}^{+ \infty} \frac{e^{- \sqrt{t}}}{\sqrt{t}} d t$ . Effectuer le changement de variable $u = \sqrt{t}$ , en vérifiant soigneusement les hypothèses du théorème. En déduire la nature de l'intégrale et sa valeur.

5. On considère $\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t^{2}}$ .

5. a. Cette intégrale est-elle impropre ? Que vaut-elle ?

5. b. Effectuer le changement de variable $u = \frac{1}{t}$ , en vérifiant les hypothèses du théorème et en prenant garde au sens de variation. Montrer que

\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t^{2}} = \int_{1}^{+ \infty} \frac{d u}{1 + u^{2}} .

5. c. En déduire la valeur de $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d u}{1 + u^{2}}$ , puis celle de $\int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{1 + t^{2}}$ . Vérifier ce dernier résultat par un calcul direct.

5. d. Commenter : l'intégrale de gauche et celle de droite sont-elles impropres aux mêmes endroits ? Est-ce contradictoire avec le théorème ?

Partie D. Conclure sans savoir calculer

Le théorème affirme que les deux intégrales sont de même nature. C'est parfois tout ce dont on a besoin : cela permet de démontrer qu'une intégrale converge même lorsqu'on ne sait pas la calculer.

6. a. Démontrer que $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$ converge, à l'aide du changement de variable $u = t^{2}$ .

6. b. Démontrer que $\int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{- \ln t}}$ converge, à l'aide du changement de variable $u = - \ln t$ .

7. Démontrer que $\int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{\sqrt{t} (1 + t)}$ converge et calculer sa valeur, à l'aide du changement de variable $u = \sqrt{t}$ .

Exercice 19 ★★★★ — Formule de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange

Formule de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-LagrangeDérivées successives, classes de régularité et formule de Leibniz

Partie A. La formule, démontrée aux premiers ordres

Soit $I$ un intervalle contenant $0$ et soit $f$ une fonction de classe $C^{3}$ sur $I$ . On fixe $x \in I$ .

1. Justifier que $f (x) = f (0) + \int_{0}^{x} f^{'} (t) d t$ . C'est la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $0$ .

2. Dans l'intégrale précédente, écrire $f^{'} (t) = f^{'} (t) \times 1$ et intégrer par parties en choisissant $t \mapsto - (x - t)$ comme primitive de la fonction constante $1$ . En déduire

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \int_{0}^{x} (x - t) f^{''} (t) d t .

3. Recommencer une intégration par parties sur $\int_{0}^{x} (x - t) f^{''} (t) d t$ , en prenant cette fois $t \mapsto - \frac{(x - t)^{2}}{2}$ comme primitive de $t \mapsto x - t$ . En déduire

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{''} (0)}{2} x^{2} + \int_{0}^{x} \frac{(x - t)^{2}}{2} f^{'''} (t) d t .

4. Énoncer, par analogie, la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $n$ pour une fonction de classe $C^{n + 1}$ sur $I$ . On admettra qu'elle se démontre par récurrence sur $n$ , en répétant l'intégration par parties ci-dessus.

5. Soit $f$ de classe $C^{n + 1}$ sur $I$ et soit $M_{n + 1}$ un réel tel que $∣ f^{(n + 1)} (t) ∣ ⩽ M_{n + 1}$ pour tout $t$ compris entre $0$ et $x$ . Démontrer, à partir de la question 4., l'inégalité de Taylor-Lagrange :

∣ f (x) - \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} ∣ ⩽ \frac{∣ x ∣^{n + 1}}{(n + 1)!} M_{n + 1} .

On traitera d'abord le cas $x ⩾ 0$ , puis le cas $x < 0$ .

Partie B. Application à l'exponentielle

6. Justifier que $\exp$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ et donner $\exp^{(k)} (0)$ pour tout $k \in N$ . Écrire la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $n$ pour $\exp$ en $0$ .

7. Soit $x$ un réel et $n \in N$ . Montrer que $e^{t} ⩽ e^{∣ x ∣}$ pour tout $t$ compris entre $0$ et $x$ , puis en déduire

∣ e^{x} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} ∣ ⩽ \frac{∣ x ∣^{n + 1}}{(n + 1)!} e^{∣ x ∣} .

8. Soit $a > 0$ fixé. On pose $w_{n} = \frac{a^{n}}{n!}$ pour $n \in N$ .

a. Exprimer $\frac{w_{n + 1}}{w_{n}}$ en fonction de $n$ et de $a$ .

b. Justifier qu'il existe un entier $N$ tel que $w_{n + 1} ⩽ \frac{1}{2} w_{n}$ pour tout $n ⩾ N$ .

c. En déduire que $0 ⩽ w_{n} ⩽ w_{N} {(\frac{1}{2})}^{n - N}$ pour tout $n ⩾ N$ , puis que $w_{n} ⟶ 0$ .

9. Déduire des questions 7. et 8. que la série $\sum_{k ⩾ 0} \frac{x^{k}}{k!}$ converge pour tout réel $x$ et que sa somme vaut $e^{x}$ .

10. Prendre $x = 1$ et $n = 4$ . Donner la valeur exacte de $\sum_{k = 0}^{4} \frac{1}{k!}$ , majorer l'erreur commise en l'utilisant comme valeur approchée de $e$ (on pourra utiliser $e ⩽ 3$ ), et comparer à l'erreur réelle sachant que $e \approx 2,718282$ .

Partie C. Application au logarithme sur $[0, 1]$

Soit $f$ la fonction définie sur $] - 1, + \infty [$ par $f (x) = \ln (1 + x)$ .

11. Démontrer par récurrence que, pour tout $k ⩾ 1$ et tout $x > - 1$ ,

f^{(k)} (x) = \frac{(- 1)^{k - 1} (k - 1)!}{(1 + x)^{k}} .

En déduire $\frac{f^{(k)} (0)}{k!}$ .

12. Soit $x \in [0, 1]$ et $n \in N^{*}$ . Majorer $∣ f^{(n + 1)} (t) ∣$ pour $t \in [0, x]$ , puis démontrer que

∣ \ln (1 + x) - \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} x^{k} ∣ ⩽ \frac{x^{n + 1}}{n + 1} .

13. En déduire que $\lim_{n \to + \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} = \ln 2$ , puis majorer l'erreur commise en approchant $\ln 2$ par la somme de ses $9$ premiers termes.

Partie D. Application au sinus

14. Justifier que $\sin$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ et que $∣ \sin^{(k)} (t) ∣ ⩽ 1$ pour tout $k \in N$ et tout réel $t$ . Donner $\sin^{(k)} (0)$ pour $k \in {0, 1, 2, 3, 4}$ .

15. En déduire les deux inégalités suivantes, valables pour tout réel $x$ :

∣ \sin x - x ∣ ⩽ \frac{∣ x ∣^{3}}{6} et ∣ \sin x - x + \frac{x^{3}}{6} ∣ ⩽ \frac{∣ x ∣^{5}}{120} .

16. Application numérique : donner une valeur approchée de $\sin (0,1)$ à l'aide de $x - \frac{x^{3}}{6}$ et majorer l'erreur commise.

Exercice 20 ★★★★ — Développements limités et calculs de limites

Développements limités en 0 : Taylor-Young, DL usuels, unicité, somme et produitComparaison des fonctions au voisinage d'un point ou de l'infini : o et équivalents

On rappelle les développements limités usuels en $0$ , seuls autorisés ici, ainsi que les deux seules opérations disponibles sur les développements limités : la somme et le produit.

\begin{aligned} e^{x} & = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + o ⁣ (x^{4}) \\ e^{- x} & = 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + o ⁣ (x^{4}) \\ \ln (1 + x) & = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + o ⁣ (x^{4}) \\ \cos x & = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o ⁣ (x^{4}) \\ \sin x & = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + o ⁣ (x^{5}) \\ \frac{1}{1 + x} & = 1 - x + x^{2} - x^{3} + o ⁣ (x^{3}) \end{aligned}

Partie A. Six limites qui se lèvent à l'ordre $2$

1. Calculer les limites suivantes en écrivant à chaque fois le développement limité du numérateur à l'ordre $2$ en $0$ .

a. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}}$

b. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - x}{x^{2}}$

c. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}}$

d. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{x^{2}}$

e. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - \sin x}{x^{2}}$

f. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) + \cos x - 1 - x}{x^{2}}$

Partie B. Choisir le bon ordre

2. On veut calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^{3}}$ .

a. Écrire le développement limité de $\sin$ à l'ordre $1$ en $0$ . Expliquer pourquoi il ne permet pas de conclure.

b. Reprendre avec le développement limité à l'ordre $3$ et conclure.

c. Énoncer en une phrase la règle qui donne l'ordre auquel il faut développer le numérateur d'un quotient dont le dénominateur est équivalent à $x^{p}$ .

3. Calculer les limites suivantes en poussant chaque développement limité à l'ordre nécessaire.

a. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - x + \frac{x^{2}}{2}}{x^{3}}$

b. $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Partie C. Deux limites qui demandent un produit

4. Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x \cos x}{x^{3}}$ .

5. Écrire le développement limité de $e^{x} \sin x$ à l'ordre $3$ en $0$ , puis en déduire $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} \sin x - x - x^{2}}{x^{3}}$ .

Partie D. Trois limites après changement de variable

6. On veut calculer $L = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x - (x - 1)}{(x - 1)^{2}}$ . On pose $x = 1 + h$ .

a. Justifier que $h ⟶ 0$ lorsque $x ⟶ 1$ , et exprimer le quotient en fonction de $h$ seul.

b. En déduire $L$ .

7. On veut calculer $\lim_{x \to + \infty} x (\ln (x + 1) - \ln x)$ . On pose $h = \frac{1}{x}$ , de sorte que $h ⟶ 0^{+}$ quand $x ⟶ + \infty$ .

a. Montrer que, pour $x > 0$ , $\ln (x + 1) - \ln x = \ln ⁣ (1 + \frac{1}{x})$ .

b. Exprimer $x (\ln (x + 1) - \ln x)$ en fonction de $h$ seul, puis conclure.

8. Par la même substitution $h = \frac{1}{x}$ , calculer $\lim_{x \to + \infty} x^{2} (e^{1 / x} - 1 - \frac{1}{x})$ .

Partie E. L'unicité du développement limité

9. Déterminer, en justifiant par l'unicité du développement limité, les réels $a$ , $b$ et $c$ tels que

e^{x} \sin x = a x + b x^{2} + c x^{3} + o ⁣ (x^{3}) .

10. Soit $f$ une fonction paire définie au voisinage de $0$ et admettant en $0$ un développement limité à l'ordre $3$ :

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + o ⁣ (x^{3}) .

a. Écrire le développement limité de $x \mapsto f (- x)$ à l'ordre $3$ en $0$ .

b. En utilisant $f (- x) = f (x)$ et l'unicité du développement limité, démontrer que $a_{1} = a_{3} = 0$ .

c. Vérifier ce résultat sur le développement limité de $\cos$ , et énoncer le résultat analogue pour une fonction impaire.

Exercice 21 ★★★★ — Tangente et position locale de la courbe

Allure locale du graphe : tangente et position de la courbe par le DLDéveloppements limités en 0 : Taylor-Young, DL usuels, unicité, somme et produit

On rappelle les développements limités usuels en $0$ dont on aura besoin, ainsi que les deux seules opérations autorisées, la somme et le produit.

\begin{aligned} e^{x} & = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + o ⁣ (x^{3}) \\ \ln (1 + x) & = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o ⁣ (x^{3}) \\ \cos x & = 1 - \frac{x^{2}}{2} + o ⁣ (x^{3}) \\ \sin x & = x - \frac{x^{3}}{6} + o ⁣ (x^{3}) \end{aligned}

Partie A. Le principe

Soit $f$ une fonction admettant en $0$ un développement limité de la forme

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{k} x^{k} + o ⁣ (x^{k}),

où $k ⩾ 2$ est un entier et $a_{k}$ un réel non nul. On note $C$ la courbe de $f$ et $T$ sa tangente au point d'abscisse $0$ .

1. Justifier que $f$ est dérivable en $0$ , donner $f (0)$ et $f^{'} (0)$ , puis en déduire une équation de $T$ .

2. Exprimer $f (x) - (a_{0} + a_{1} x)$ à l'aide de $x^{k}$ , et justifier que cette quantité est du signe de $a_{k} x^{k}$ au voisinage de $0$ (pour $x \neq 0$ ).

3. En déduire la discussion suivante, à recopier et compléter.

a. Si $k$ est pair et $a_{k} > 0$ : position de $C$ par rapport à $T$ ?

b. Si $k$ est pair et $a_{k} < 0$ : position de $C$ par rapport à $T$ ?

c. Si $k$ est impair : que se passe-t-il en $x = 0$ ?

d. Dans quel cas le point d'abscisse $0$ est-il un point d'inflexion de $C$ ?

Partie B. Six études locales

Pour chacune des fonctions suivantes, écrire le développement limité en $0$ à l'ordre utile, en déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $0$ , puis la position locale de la courbe par rapport à $T$ .

4. $f_{1} (x) = e^{x}$ .

5. $f_{2} (x) = \ln (1 + x)$ .

6. $f_{3} (x) = \cos x$ . Que retrouve-t-on sur la nature du point d'abscisse $0$ ?

7. $f_{4} (x) = \sin x$ .

8. $f_{5} (x) = \ln (1 + x) + \frac{x^{2}}{2}$ .

9. $f_{6} (x) = e^{x} \sin x$ .

10. Parmi les six fonctions précédentes, lesquelles présentent un point d'inflexion en $0$ ?

Partie C. Synthèse : associer une allure à un développement limité

11. On considère quatre fonctions $g_{1}$ , $g_{2}$ , $g_{3}$ , $g_{4}$ admettant en $0$ les développements limités suivants.

(i) $g_{1} (x) = 2 + 3 x + 5 x^{2} + o ⁣ (x^{2})$

(ii) $g_{2} (x) = - 1 + x - 4 x^{2} + o ⁣ (x^{2})$

(iii) $g_{3} (x) = 1 - 2 x + 7 x^{3} + o ⁣ (x^{3})$

(iv) $g_{4} (x) = 3 + x - 2 x^{3} + o ⁣ (x^{3})$

Associer à chacune l'une des quatre allures locales ci-dessous, en justifiant. Préciser à chaque fois l'équation de la tangente en $0$ .

Allure $α$ . La courbe est strictement au-dessus de sa tangente à gauche comme à droite de $0$ .

Allure $β$ . La courbe est strictement au-dessous de sa tangente à gauche comme à droite de $0$ .

Allure $γ$ . La courbe est au-dessous de sa tangente à gauche de $0$ , au-dessus à droite.

Allure $δ$ . La courbe est au-dessus de sa tangente à gauche de $0$ , au-dessous à droite.

12. Une élève affirme : « le point d'abscisse $0$ est un point d'inflexion de la courbe de $g_{1}$ , car le coefficient de $x^{2}$ est non nul ». Corriger cette affirmation.

Exercice 22 ★★★★ — Extremum sur un segment, extremum sur un intervalle ouvert

Extremum sur un segment et sur un intervalle ouvert, point critique, condition d'ordre 2

Cet exercice a un seul but : ne plus jamais confondre les deux situations. Sur un segment, l'existence des extremums est garantie mais ils peuvent être atteints aux bornes ; sur un intervalle ouvert, rien n'est garanti mais la dérivée s'annule nécessairement en un extremum.

Partie A. Sur un segment

Soit $f$ la fonction définie sur le segment $[- 2, 3]$ par $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

1. Énoncer le théorème qui garantit que $f$ admet un maximum et un minimum sur $[- 2, 3]$ , et vérifier que ses hypothèses sont satisfaites.

2. Calculer $f^{'} (x)$ , étudier son signe sur $[- 2, 3]$ et dresser le tableau de variations de $f$ .

3. Déterminer les points critiques de $f$ dans $] - 2, 3 [$ , c'est-à-dire les réels $c$ de cet intervalle ouvert tels que $f^{'} (c) = 0$ .

4. Calculer les valeurs de $f$ aux points critiques et aux deux bornes du segment, puis en déduire le maximum global et le minimum global de $f$ sur $[- 2, 3]$ , en précisant en quels points ils sont atteints.

5. Expliquer pourquoi il aurait été faux de chercher les extremums globaux uniquement parmi les points critiques.

Partie B. Sur un intervalle ouvert

6. Énoncer la condition nécessaire d'ordre $1$ : que peut-on dire de $g^{'} (a)$ si $g$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local en $a \in I$ ?

7. Énoncer la condition suffisante d'ordre $2$ pour une fonction $g$ de classe $C^{2}$ sur un intervalle ouvert $I$ , en un point $a \in I$ tel que $g^{'} (a) = 0$ . Préciser le cas où elle ne permet pas de conclure.

8. Soit $g$ la fonction définie sur $] 0, + \infty [$ par $g (x) = x + \frac{1}{x}$ .

a. Calculer $g^{'} (x)$ et déterminer l'unique point critique $a$ de $g$ sur $] 0, + \infty [$ .

b. Calculer $g^{''} (x)$ , puis $g^{''} (a)$ . Conclure sur la nature de l'extremum local en $a$ à l'aide de la condition suffisante d'ordre $2$ .

c. Déterminer les limites de $g$ en $0^{+}$ et en $+ \infty$ , dresser le tableau de variations et en déduire que l'extremum trouvé est en fait global. La fonction $g$ admet-elle un maximum sur $] 0, + \infty [$ ?

9. Soit $h$ la fonction définie sur $] 0, + \infty [$ par $h (x) = \frac{\ln x}{x}$ . Mener la même étude : point critique, signe de $h^{''}$ en ce point, nature de l'extremum, puis tableau de variations et conclusion globale.

Partie C. Trois contre-exemples à connaître

10. Soit $u$ la fonction définie sur $[0, 1]$ par $u (x) = x$ . Déterminer le maximum et le minimum de $u$ sur $[0, 1]$ et les points où ils sont atteints. Calculer $u^{'}$ en ces points. Pourquoi cela ne contredit-il pas la condition nécessaire d'ordre $1$ ?

11. Soit $v$ la fonction définie sur $R$ par $v (x) = x^{3}$ . Montrer que $0$ est un point critique de $v$ mais que $v$ n'admet pas d'extremum local en $0$ . Que vaut $v^{''} (0)$ ? Qu'illustre cet exemple ?

12. Soit $w$ la fonction définie sur $R$ par $w (x) = x^{4}$ . Montrer que $w^{''} (0) = 0$ et que pourtant $w$ admet un minimum global en $0$ . Conclure sur la portée exacte de la condition d'ordre $2$ .

13. Soit $s$ la fonction définie sur l'intervalle ouvert borné $] 0, 1 [$ par $s (x) = x$ . Montrer que $s$ est continue et bornée sur $] 0, 1 [$ , mais qu'elle n'admet ni maximum ni minimum. Quelle hypothèse du théorème de la partie A est en défaut ?

14. Compléter le tableau de synthèse suivant, à recopier, en indiquant pour chaque situation si l'énoncé est vrai ou faux.

Énoncé	Vrai ou faux ?
Une fonction continue sur un segment atteint ses bornes
Une fonction continue sur un intervalle ouvert borné atteint ses bornes
En un extremum local intérieur, la dérivée s'annule
Si la dérivée s'annule en $a$ , alors $f$ a un extremum local en $a$

Exercice 23 ★★★★ — Convexité : lecture graphique, caractérisations et points d'inflexion

Fonctions convexes : inégalité de convexité, caractérisations par les dérivées, point d'inflexionÉtude complète d'un graphe : asymptotes, position, points d'inflexion

On rappelle les résultats du cours, tous admis, qu'il s'agit ici d'appliquer.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

Définition. $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ et tout $λ \in [0, 1]$ , $f (λ a + (1 - λ) b) ⩽ λ f (a) + (1 - λ) f (b)$ . Graphiquement : la courbe est au-dessous de ses cordes. $f$ est concave si $- f$ est convexe, et sa courbe est alors au-dessus de ses cordes.

Caractérisation $C^{1}$ . Si $f$ est dérivable sur $I$ , alors $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes : pour tous $x$ et $a$ de $I$ , $f (x) ⩾ f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ . Pour une fonction concave, la courbe est au-dessous de toutes ses tangentes.

Caractérisation $C^{2}$ . Si $f$ est de classe $C^{2}$ sur $I$ , alors $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{''} ⩾ 0$ sur $I$ , et concave si et seulement si $f^{''} ⩽ 0$ sur $I$ .

Point d'inflexion. Un point de la courbe en lequel $f^{''}$ s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion : la courbe y traverse sa tangente et change de convexité.

Partie A. Lecture graphique

Courbe d'une fonction sur laquelle lire convexité, concavité et points d'inflexion

La courbe $C_{f}$ ci-dessus est celle d'une fonction $f$ de classe $C^{2}$ sur l'intervalle $[- 2,6; 2,6]$ , tracée dans un repère gradué. Ses deux points d'inflexion $I_{1}$ et $I_{2}$ y sont marqués. On lit sur le graphique que la courbe passe par l'origine $O$ , qu'elle admet deux minimums de valeur $- 9$ aux abscisses $- \sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ , et que les deux points marqués ont pour abscisses $- 1$ et $1$ et pour ordonnée $- 5$ .

1. Lire sur le graphique les intervalles sur lesquels $f$ est convexe et ceux sur lesquels $f$ est concave.

2. Donner les coordonnées des deux points d'inflexion de la courbe et justifier, à partir de la question 1., qu'il s'agit bien de points d'inflexion.

3. Sur chacun des trois intervalles trouvés à la question 1., dire si la courbe est au-dessus ou au-dessous de ses tangentes.

4. Comparer, sans calculer $f$ , les deux quantités $f ⁣ (\frac{a + b}{2})$ et $\frac{f (a) + f (b)}{2}$ dans les deux cas suivants. Justifier à chaque fois par la convexité ou la concavité lue à la question 1., et interpréter graphiquement en termes de corde.

a. $a = - 1$ et $b = 0$

b. $a = 1$ et $b = 2$

Partie B. Vérification par le calcul

On admet désormais que la fonction représentée est $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ , définie sur $[- 2,6; 2,6]$ .

5. Vérifier que la courbe passe par l'origine et que $f (\sqrt{3}) = - 9$ .

6. Calculer $f^{'} (x)$ puis $f^{''} (x)$ , et factoriser $f^{''} (x)$ .

7. Dresser le tableau de signe de $f^{''}$ sur $[- 2,6; 2,6]$ , et en déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$ . Comparer avec la lecture graphique de la question 1.

8. Retrouver par le calcul les coordonnées des deux points d'inflexion.

9. Vérifier numériquement les deux comparaisons de la question 4.

Partie C. Deux inégalités classiques par la caractérisation $C^{1}$

10. Soit $g$ la fonction $\ln$ , définie sur $] 0, + \infty [$ .

a. Calculer $g^{''} (x)$ et en déduire la convexité ou la concavité de $g$ sur $] 0, + \infty [$ .

b. Écrire une équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $1$ .

c. En déduire que $\ln x ⩽ x - 1$ pour tout $x > 0$ , et préciser le cas d'égalité.

11. Soit $h$ la fonction $\exp$ , définie sur $R$ .

a. Calculer $h^{''} (x)$ et en déduire la convexité ou la concavité de $h$ sur $R$ .

b. Écrire une équation de la tangente à la courbe de $h$ au point d'abscisse $0$ .

c. En déduire que $e^{x} ⩾ 1 + x$ pour tout réel $x$ , et préciser le cas d'égalité.

12. Déduire de la question 10. que, pour tout réel $u > - 1$ , $\ln (1 + u) ⩽ u$ . Retrouver ce résultat à partir de la question 11.

Exercice 24 ★★★★ — Étude complète d'une fonction avec asymptote oblique

Étude complète d'un graphe : asymptotes, position, points d'inflexionFonctions convexes : inégalité de convexité, caractérisations par les dérivées, point d'inflexionAllure locale du graphe : tangente et position de la courbe par le DL

On considère la fonction $f$ définie par

f (x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1},

et l'on note $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

Partie A. Étude globale

1. Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$ .

2. Démontrer que, pour tout $x \in D$ ,

f (x) = x + 2 + \frac{3}{x - 1} .

3. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D$ , en distinguant les limites à gauche et à droite en $1$ . En déduire l'existence d'une asymptote verticale, dont on donnera une équation.

4. Montrer que $f$ est dérivable sur $D$ et que, pour tout $x \in D$ ,

f^{'} (x) = \frac{(x - 1)^{2} - 3}{(x - 1)^{2}} .

5. Étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur $D$ , puis dresser le tableau de variations complet de $f$ en faisant apparaître les valeurs exactes des extremums locaux.

6. Montrer que la droite $Δ$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à $C$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ . Étudier la position de $C$ par rapport à $Δ$ selon le signe de $x - 1$ , et préciser si $C$ coupe $Δ$ .

7. Déterminer les points d'intersection de $C$ avec les axes du repère.

Partie B. Convexité

8. Calculer $f^{''} (x)$ pour tout $x \in D$ .

9. Dresser le tableau de signe de $f^{''}$ et en déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$ .

10. La courbe $C$ admet-elle un point d'inflexion ? Justifier soigneusement.

11. Démontrer que le point $Ω (1, 3)$ est un centre de symétrie de $C$ , c'est-à-dire que pour tout réel $h \neq 0$ , $f (1 + h) + f (1 - h) = 6$ . Vérifier que ce résultat est cohérent avec les questions 5. et 9.

Partie C. Étude locale en $0$ par un développement limité

On rappelle le développement limité usuel $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + o ⁣ (x^{3})$ .

12. En remarquant que $\frac{3}{x - 1} = \frac{- 3}{1 - x}$ , écrire le développement limité de $f$ à l'ordre $3$ en $0$ .

13. En déduire une équation de la tangente $T_{0}$ à $C$ au point d'abscisse $0$ , ainsi que la position locale de $C$ par rapport à $T_{0}$ .

14. Vérifier que ce résultat est cohérent avec le signe de $f^{''} (0)$ trouvé en partie B.

Partie D. Tracé

15. Décrire précisément le tracé de $C$ : allure de chacune des deux branches, asymptotes, extremums, tangente en $0$ , et fenêtre de tracé conseillée.

Exercice 25 ★★★★ — Comparaison série-intégrale : nature et équivalent d'une somme

Séries à termes positifs : comparaison, équivalence, négligeabilitéCritères de convergence : comparaison, équivalence, négligeabilité, convergence absolue

C'est la méthode reine pour étudier une série dont le terme général est $f (k)$ , avec $f$ monotone : on encadre chaque terme par des aires, on somme, et l'on obtient à la fois la nature de la série et, quand elle diverge, un équivalent de ses sommes partielles.

Partie A. L'encadrement fondamental

Soit $f$ une fonction continue, décroissante et positive sur $[1, + \infty [$ .

1. Soit $k$ un entier tel que $k ⩾ 1$ .

a. Justifier que, pour tout $t \in [k, k + 1]$ , on a $f (t) ⩽ f (k)$ . En intégrant cette inégalité entre $k$ et $k + 1$ , démontrer que

\int_{k}^{k + 1} f (t) d t ⩽ f (k) .

b. Soit maintenant $k ⩾ 2$ . Démontrer de même que

f (k) ⩽ \int_{k - 1}^{k} f (t) d t .

c. Interpréter ces deux inégalités en termes d'aires de rectangles.

2. Soit $n ⩾ 1$ . On pose $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} f (k)$ .

a. En sommant l'inégalité 1. a. pour $k$ allant de $1$ à $n$ et en utilisant la relation de Chasles, démontrer que $\int_{1}^{n + 1} f (t) d t ⩽ S_{n}$ .

b. En sommant l'inégalité 1. b. pour $k$ allant de $2$ à $n$ , démontrer que $S_{n} ⩽ f (1) + \int_{1}^{n} f (t) d t$ .

c. Conclure par l'encadrement

\int_{1}^{n + 1} f (t) d t ⩽ \sum_{k = 1}^{n} f (k) ⩽ f (1) + \int_{1}^{n} f (t) d t .

Partie B. Les séries de Riemann, redémontrées

Soit $α$ un réel. On s'intéresse à la nature de la série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n^{α}}$ .

3. Traiter d'abord le cas $α ⩽ 0$ à l'aide de la condition nécessaire de convergence d'une série.

4. On suppose désormais $α > 0$ et l'on pose $f (t) = \frac{1}{t^{α}}$ pour $t ⩾ 1$ . Vérifier que $f$ satisfait les hypothèses de la partie A.

5. Calculer $\int_{1}^{X} \frac{d t}{t^{α}}$ pour $X > 1$ , en distinguant les cas $α = 1$ et $α \neq 1$ .

6. En déduire la nature de $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n^{α}}$ dans chacun des cas suivants, en justifiant à chaque fois par l'encadrement de la question 2.

a. $α > 1$

b. $α = 1$

c. $0 < α < 1$

7. Énoncer le résultat obtenu sous la forme d'un théorème, et donner dans le cas $α > 1$ une majoration explicite de la somme de la série.

Partie C. Un équivalent de $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}$

On pose $U_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}$ pour $n ⩾ 1$ .

8. À l'aide de la partie A appliquée à $f (t) = \frac{1}{\sqrt{t}}$ , démontrer que, pour tout $n ⩾ 1$ ,

2 \sqrt{n + 1} - 2 ⩽ U_{n} ⩽ 2 \sqrt{n} - 1.

9. En divisant cet encadrement par $2 \sqrt{n}$ , démontrer que $U_{n} \sim 2 \sqrt{n}$ quand $n \to + \infty$ .

10. Vérifier numériquement pour $n = 100$ , sachant que $U_{100} \approx 18,5896$ .

Partie D. Un équivalent de $\sum_{k = 1}^{n} \ln k$

On pose $V_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \ln k$ pour $n ⩾ 1$ .

11. La fonction $\ln$ est croissante : l'encadrement de la partie A ne s'applique pas tel quel. Démontrer que, pour une fonction $g$ continue, croissante et positive sur $[1, + \infty [$ et pour tout entier $k ⩾ 2$ ,

\int_{k - 1}^{k} g (t) d t ⩽ g (k) ⩽ \int_{k}^{k + 1} g (t) d t .

12. Calculer $\int_{1}^{X} \ln t d t$ pour $X > 1$ , par une intégration par parties.

13. En sommant l'encadrement de la question 11. pour $k$ allant de $2$ à $n$ , et en remarquant que $\ln 1 = 0$ , démontrer que pour tout $n ⩾ 2$ ,

n \ln n - n + 1 ⩽ V_{n} ⩽ (n + 1) \ln (n + 1) - n .

Pour la majoration, on pourra majorer $\int_{2}^{n + 1} \ln t d t$ par $\int_{1}^{n + 1} \ln t d t$ .

14. En divisant par $n \ln n$ , démontrer que $V_{n} \sim n \ln n$ .

15. En déduire un équivalent de $\ln (n!)$ .

Exercice 26 ★★★★ — Série harmonique et constante d'Euler

Série de terme général u(n+1) - u(n) et étude de la suite (u(n))Suites équivalentes : notation ~, opérations autorisées et interditesSéries usuelles : Riemann, géométrique et ses deux premières dérivées, exponentielle

Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on pose

H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} .

La suite $(H_{n})_{n ⩾ 1}$ s'appelle la suite harmonique. On utilisera librement l'inégalité $\ln (1 + x) ⩽ x$ , valable pour tout $x > - 1$ .

Partie A. Un équivalent de $H_{n}$

1. Soit $k$ un entier tel que $k ⩾ 1$ .

a. Calculer $\int_{k}^{k + 1} \frac{d t}{t}$ .

b. Démontrer que, pour tout $t \in [k, k + 1]$ , $\frac{1}{k + 1} ⩽ \frac{1}{t} ⩽ \frac{1}{k}$ , puis en déduire

\frac{1}{k + 1} ⩽ \ln (k + 1) - \ln (k) ⩽ \frac{1}{k} .

2. En sommant convenablement l'encadrement précédent, démontrer que pour tout $n ⩾ 1$ ,

\ln (n + 1) ⩽ H_{n} ⩽ 1 + \ln (n) .

Pour la majoration, on sommera l'inégalité de gauche écrite à l'indice $k - 1$ , pour $k$ allant de $2$ à $n$ .

3. En déduire $\lim_{n \to + \infty} H_{n}$ , puis démontrer que $H_{n} \sim \ln (n)$ quand $n \to + \infty$ .

4. Quelle est la nature de la série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n}$ ? Cet exemple contredit-il la condition nécessaire de convergence d'une série ?

Partie B. La constante d'Euler

Pour $n ⩾ 1$ , on pose $u_{n} = H_{n} - \ln (n)$ .

5. Démontrer que, pour tout $n ⩾ 1$ ,

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} - \ln ⁣ (\frac{n + 1}{n}) .

6. Appliquer l'inégalité $\ln (1 + x) ⩽ x$ au réel $x = - \frac{1}{n + 1}$ , et en déduire que $\ln ⁣ (\frac{n + 1}{n}) ⩾ \frac{1}{n + 1}$ . Conclure que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

7. Démontrer, à l'aide de la question 2., que $u_{n} ⩾ 0$ pour tout $n ⩾ 1$ .

8. En déduire que la suite $(u_{n})$ converge. Sa limite est notée $γ$ : c'est la constante d'Euler. Justifier que $0 ⩽ γ ⩽ 1$ .

9. En déduire que $H_{n} = \ln (n) + γ + o (1)$ quand $n \to + \infty$ , et expliquer pourquoi ce résultat est strictement plus précis que l'équivalent $H_{n} \sim \ln (n)$ de la question 3.

Partie C. Un encadrement numérique de $γ$

Pour $n ⩾ 1$ , on pose $v_{n} = H_{n} - \ln (n + 1)$ .

10. Démontrer, par un calcul analogue à celui de la question 5. et en appliquant cette fois l'inégalité $\ln (1 + x) ⩽ x$ au réel $x = \frac{1}{n + 1}$ , que la suite $(v_{n})$ est croissante.

11. Calculer $u_{n} - v_{n}$ et démontrer que $u_{n} - v_{n} ⟶ 0$ . En déduire que $(v_{n})$ converge vers $γ$ , puis que

\forall n ⩾ 1, v_{n} ⩽ γ ⩽ u_{n} .

12. On donne $H_{50} \approx 4,499205$ , $\ln (50) \approx 3,912023$ et $\ln (51) \approx 3,931826$ . En déduire un encadrement numérique de $γ$ à trois décimales, et vérifier qu'il contient la valeur usuelle $γ \approx 0,577$ .

13. Démontrer que $0 ⩽ u_{n} - γ ⩽ \frac{1}{n}$ . Combien de termes de la suite harmonique faudrait-il calculer pour obtenir $γ$ à $10^{- 3}$ près par cette méthode ?

Partie D. Une application

14. À l'aide de la question 9., démontrer que

\lim_{n \to + \infty} (H_{2 n} - H_{n}) = \ln 2.

15. Retrouver ce résultat en écrivant $H_{2 n} - H_{n}$ comme une somme de $n$ termes, puis vérifier numériquement pour $n = 100$ , sachant que $H_{200} - H_{100} \approx 0,690653$ .

Exercice 27 ★★★★ — Une suite d'intégrales impropres et la factorielle

Intégration par parties avec passage à la limite et changement de variableIntégrale sur un intervalle quelconque : convergence et calcul par une primitive

Pour tout entier $n \in N$ , on considère l'intégrale impropre

I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- t} d t .

Partie A. Convergence

1. Soit $n \in N$ . Justifier que la fonction $f_{n} : t \mapsto t^{n} e^{- t}$ est continue et positive sur $[0, + \infty [$ , et préciser en quelle borne l'intégrale est impropre.

2. Montrer que $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t / 2} d t$ converge et calculer sa valeur, en intégrant d'abord sur un segment $[0, X]$ puis en faisant tendre $X$ vers $+ \infty$ .

3. Soit $n \in N$ .

a. Démontrer, par croissance comparée, que $\lim_{t \to + \infty} t^{n} e^{- t / 2} = 0$ .

b. En déduire qu'il existe un réel $M_{n} > 0$ tel que $t^{n} e^{- t / 2} ⩽ M_{n}$ pour tout $t ⩾ 0$ .

c. En écrivant $e^{- t} = e^{- t / 2} \times e^{- t / 2}$ , démontrer que $0 ⩽ f_{n} (t) ⩽ M_{n} e^{- t / 2}$ pour tout $t ⩾ 0$ .

4. Conclure que $I_{n}$ converge pour tout $n \in N$ , en citant précisément le critère utilisé.

Partie B. Calcul de $I_{n}$

5. Calculer $I_{0}$ .

6. Soit $n \in N$ et $X > 0$ .

a. À l'aide d'une intégration par parties sur le segment $[0, X]$ , démontrer que

\int_{0}^{X} t^{n + 1} e^{- t} d t = - X^{n + 1} e^{- X} + (n + 1) \int_{0}^{X} t^{n} e^{- t} d t .

b. Faire tendre $X$ vers $+ \infty$ et en déduire la relation de récurrence

I_{n + 1} = (n + 1) I_{n} .

7. Démontrer par récurrence que $I_{n} = n!$ pour tout $n \in N$ .

8. Vérifier le résultat en calculant directement $I_{1}$ par une intégration par parties sur $[0, X]$ .

Partie C. Deux applications

9. On pose $J = \int_{0}^{+ \infty} t^{3} e^{- 2 t} d t$ .

a. Pour $X > 0$ , effectuer dans $\int_{0}^{X} t^{3} e^{- 2 t} d t$ le changement de variable affine $u = 2 t$ .

b. En déduire que $J$ converge et donner sa valeur exacte.

10. Soit $α$ un réel. On considère $K_{α} = \int_{0}^{+ \infty} t^{α} e^{- t} d t$ , où $t^{α}$ désigne $e^{α \ln t}$ pour $t > 0$ .

a. Préciser, selon le signe de $α$ , en quelle ou quelles bornes l'intégrale est impropre.

b. Étudier la convergence au voisinage de $0$ à l'aide d'un équivalent et des intégrales de référence.

c. Étudier la convergence au voisinage de $+ \infty$ en montrant que $t^{α} e^{- t} = o ⁣ (\frac{1}{t^{2}})$ .

d. Conclure : pour quelles valeurs de $α$ l'intégrale $K_{α}$ converge-t-elle ? Vérifier la cohérence avec la partie B.

Exercice 28 ★★★★ — La suite des intégrales de t puissance n fois logarithme

Intégration par parties avec passage à la limite et changement de variableSéries usuelles : Riemann, géométrique et ses deux premières dérivées, exponentielle

Une intégrale impropre, une intégration par parties menée proprement sur un segment, une suite à étudier, une série à sommer : cet exercice enchaîne les quatre outils du chapitre sur un même objet. C'est un grand classique des écrits.

Pour tout entier naturel $n$ , on pose

J_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} \ln t d t .

On admet dans tout l'exercice la valeur de la somme de la série de Riemann d'exposant $2$ :

\sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6} .

Partie A. Convergence.

1. Soit $n \in N$ . Justifier que $t ⟼ t^{n} \ln t$ est continue sur $] 0, 1]$ et préciser en quelle borne l'intégrale $J_{n}$ est impropre.

2. On pose $g_{n} (t) = - t^{n} \ln t$ pour $t \in] 0, 1]$ . Montrer que $g_{n}$ est positive sur $] 0, 1]$ , puis que $\sqrt{t} g_{n} (t) ⟶ 0$ lorsque $t \to 0^{+}$ .

3. En déduire, par comparaison avec l'intégrale de Riemann $\int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{t}}$ , que $J_{n}$ converge.

Partie B. Calcul de $J_{n}$ .

4. Soit $ε \in] 0, 1 [$ et $n \in N$ . À l'aide d'une intégration par parties sur le segment $[ε, 1]$ , montrer que

\int_{ε}^{1} t^{n} \ln t d t = - \frac{ε^{n + 1} \ln ε}{n + 1} - \frac{1 - ε^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} .

5. En faisant tendre $ε$ vers $0^{+}$ , en déduire que

J_{n} = - \frac{1}{(n + 1)^{2}} .

6. Contrôler le résultat en calculant directement $J_{0}$ par une autre primitive, puis donner les valeurs de $J_{1}$ , $J_{2}$ et $J_{3}$ .

Partie C. Étude de la suite $(J_{n})$ .

7. Déterminer le signe de $J_{n}$ , le sens de variation de la suite $(J_{n})_{n ⩾ 0}$ et sa limite. Retrouver le sens de variation sans utiliser la formule de la question 5, en comparant directement les intégrandes.

Partie D. La série $\sum J_{n}$ .

8. Déterminer la nature de la série $\sum_{n ⩾ 0} J_{n}$ , puis calculer sa somme.

9. Soit $N ⩾ 1$ . Montrer, par comparaison avec des intégrales, que

\frac{1}{N + 1} ⩽ \sum_{n = N}^{+ \infty} \frac{1}{(n + 1)^{2}} ⩽ \frac{1}{N} .

10. En déduire un encadrement de l'erreur commise en remplaçant $\sum_{n = 0}^{+ \infty} J_{n}$ par $\sum_{n = 0}^{9} J_{n}$ . Donner la valeur de cette somme partielle à $10^{- 6}$ près et commenter la qualité de l'approximation.

Exercice 29 ★★★★ — Inégalité de convexité : moyenne arithmétique et moyenne géométrique

Fonctions convexes : inégalité de convexité, caractérisations par les dérivées, point d'inflexion

La concavité du logarithme est un résultat de cours qu'on se contente d'ordinaire d'énoncer. Cet exercice montre ce qu'on peut en tirer : d'abord la version à $n$ points de l'inégalité de convexité, puis la célèbre comparaison entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique, enfin l'inégalité de Young, qui est le point de départ de toutes les inégalités d'analyse.

On rappelle les résultats de cours suivants, admis :

la fonction $\ln$ est concave sur $] 0, + \infty [$ ;
inégalité de convexité (deux points) : pour tous $x > 0$ , $y > 0$ et tout $t \in [0, 1]$ ,

\ln ⁣ (t x + (1 - t) y) ⩾ t \ln x + (1 - t) \ln y;

la courbe d'une fonction concave et dérivable est située au-dessous de chacune de ses tangentes.

Pour $a > 0$ et $n ⩾ 1$ , on note $\sqrt[n]{a} = a^{1 / n} = e^{\frac{1}{n} \ln a}$ .

Partie A. L'inégalité de convexité à $n$ points.

1. Retrouver la concavité de $\ln$ sur $] 0, + \infty [$ par un calcul de dérivée seconde.

2. Pour $n ⩾ 1$ , on note $P (n)$ la propriété suivante : pour tous réels $x_{1}, \dots, x_{n}$ strictement positifs et tous réels $t_{1}, \dots, t_{n}$ positifs ou nuls de somme $1$ ,

\ln ⁣ (\sum_{i = 1}^{n} t_{i} x_{i}) ⩾ \sum_{i = 1}^{n} t_{i} \ln x_{i} .

Démontrer $P (n)$ par récurrence sur $n$ . Indication pour l'hérédité : traiter à part le cas $t_{n + 1} = 1$ ; sinon, poser $s = 1 - t_{n + 1} > 0$ et $y = \frac{1}{s} \sum_{i = 1}^{n} t_{i} x_{i}$ .

3. En choisissant tous les $t_{i}$ égaux, en déduire l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous réels $x_{1}, \dots, x_{n}$ strictement positifs,

\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} ⩽ \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} .

Partie B. L'inégalité $\ln x ⩽ x - 1$ et le cas d'égalité.

4. a. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $1$ , et en déduire par concavité que $\ln x ⩽ x - 1$ pour tout $x > 0$ .

4. b. Retrouver cette inégalité en étudiant la fonction $δ$ définie sur $] 0, + \infty [$ par $δ (x) = x - 1 - \ln x$ , et préciser pour quelles valeurs de $x$ l'égalité $\ln x = x - 1$ a lieu.

5. Soient $x_{1}, \dots, x_{n}$ des réels strictement positifs et $m = \frac{x_{1} + \dots + x_{n}}{n}$ . En appliquant la question 4 à chacun des réels $\frac{x_{i}}{m}$ , redémontrer l'inégalité arithmético-géométrique, puis montrer que l'égalité a lieu si et seulement si $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ .

6. Comparer moyenne géométrique et moyenne arithmétique dans les six cas suivants, en donnant les valeurs exactes puis, si besoin, une valeur approchée à $10^{- 6}$ près.

a. $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 4$ .

b. $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 8$ .

c. $x_{1} = 4$ , $x_{2} = 9$ .

d. $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ , $x_{3} = 4$ .

e. $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 3$ , $x_{3} = 9$ .

f. $x_{1} = x_{2} = x_{3} = 5$ .

Partie C. L'inégalité de Young.

Soit $p > 1$ . On définit $q$ par la relation $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ .

7. Exprimer $q$ en fonction de $p$ et montrer que $q > 1$ .

8. Soient $a > 0$ et $b > 0$ . En appliquant la question 2 avec $n = 2$ , aux poids $t_{1} = \frac{1}{p}$ et $t_{2} = \frac{1}{q}$ et aux réels $x_{1} = a^{p}$ et $x_{2} = b^{q}$ , démontrer l'inégalité de Young :

a b ⩽ \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q} .

Étendre ensuite le résultat au cas où $a = 0$ ou $b = 0$ .

9. Que devient cette inégalité pour $p = q = 2$ ? Retrouver ce cas particulier par un calcul direct, puis vérifier l'inégalité de Young sur les trois exemples suivants.

a. $a = 3$ , $b = 2$ , $p = q = 2$ .

b. $a = 2$ , $b = 1$ , $p = 3$ .

c. $a = 1$ , $b = 1$ , $p = q = 2$ .

Exercice 30 ★★★★ — Inégalité de Taylor-Lagrange et approximation du nombre e

Formule de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-LagrangeSéries usuelles : Riemann, géométrique et ses deux premières dérivées, exponentielle

L'inégalité de Taylor-Lagrange sert à majorer une erreur. Appliquée à la fonction exponentielle, elle fournit d'un seul coup une méthode de calcul de $e$ , la convergence de la série exponentielle, et même la preuve que $e$ n'est pas un nombre rationnel.

Pour $n \in N$ , on pose

S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} et R_{n} = e - S_{n} .

On rappelle l'encadrement $2 < e < 3$ , qui sera utilisé sans être redémontré.

Partie A. La majoration de l'erreur.

1. Justifier que $\exp$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ et que, pour tout $j \in N$ , $\exp^{(j)} = \exp$ . En déduire que

\forall t \in [0, 1], ∣ \exp^{(n + 1)} (t) ∣ ⩽ 3.

2. En appliquant l'inégalité de Taylor-Lagrange à $\exp$ entre $0$ et $1$ à l'ordre $n$ , démontrer que

∣ e - \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} ∣ ⩽ \frac{3}{(n + 1)!} .

3. En déduire que la série $\sum_{k ⩾ 0} \frac{1}{k!}$ converge et préciser sa somme.

Partie B. Combien de termes pour six décimales ?

4. Dresser le tableau des valeurs de $(n + 1)!$ et de $\frac{3}{(n + 1)!}$ pour $n$ allant de $6$ à $10$ .

5. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que la majoration de la question 2 garantisse une erreur inférieure ou égale à $10^{- 6}$ . Justifier la minimalité.

6. Donner les valeurs de $S_{0}, S_{1}, \dots, S_{9}$ arrondies à $10^{- 9}$ , et comparer à $e \approx 2,718281828$ . L'erreur réelle est-elle conforme à la majoration ?

Partie C. Le nombre $e$ est irrationnel.

7. En écrivant la formule de Taylor avec reste intégral pour $\exp$ entre $0$ et $1$ à l'ordre $n$ , montrer que

R_{n} = \int_{0}^{1} \frac{(1 - t)^{n}}{n!} e^{t} d t, puis que R_{n} > 0.

8. Soit $n \in N$ . Montrer que $n! S_{n}$ est un entier naturel.

9. On suppose par l'absurde qu'il existe deux entiers $p ⩾ 1$ et $q ⩾ 1$ tels que $e = \frac{p}{q}$ . Soit $n$ un entier vérifiant $n ⩾ q$ et $n ⩾ 3$ .

9. a. Montrer que $n! e$ est un entier naturel, puis que $n! R_{n}$ est un entier relatif.

9. b. Montrer que $0 < n! R_{n} ⩽ \frac{3}{n + 1} < 1$ .

9. c. Conclure.

Exercice 31 ★★★★ — Les deux dérivées de la série géométrique et leurs sommes

Séries usuelles : Riemann, géométrique et ses deux premières dérivées, exponentielleSéries numériques : sommes partielles, convergence, somme et reste

Le cours donne trois sommes de référence pour $∣ q ∣ < 1$ : celle de $\sum q^{n}$ , celle de $\sum n q^{n - 1}$ et celle de $\sum n (n - 1) q^{n - 2}$ . Les deux dernières s'appellent les dérivées de la série géométrique. On les utilise sans arrêt, mais on les redémontre rarement. C'est l'objet de cet exercice, où tout est obtenu à partir de sommes partielles finies, sans jamais dériver une somme infinie.

Dans tout l'exercice, $q$ désigne un réel vérifiant $∣ q ∣ < 1$ . On pose, pour $n ⩾ 1$ ,

A_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k q^{k - 1} et, pour n ⩾ 2, B_{n} = \sum_{k = 2}^{n} k (k - 1) q^{k - 2} .

On rappelle que, pour $∣ q ∣ < 1$ , les croissances comparées donnent $n^{α} q^{n} ⟶ 0$ pour tout $α > 0$ .

Partie A. Les deux formules par sommes partielles.

1. Soit $n ⩾ 1$ . En calculant $(1 - q) A_{n}$ et en effectuant un changement d'indice dans l'une des deux sommes, démontrer que

(1 - q) A_{n} = \sum_{k = 1}^{n} q^{k - 1} - n q^{n} .

2. En déduire une expression close de $A_{n}$ , puis montrer que la série $\sum_{n ⩾ 1} n q^{n - 1}$ converge, de somme

\sum_{n = 1}^{+ \infty} n q^{n - 1} = \frac{1}{(1 - q)^{2}} .

3. Soit $n ⩾ 2$ . Par la même méthode, montrer que $(1 - q) B_{n} = 2 A_{n - 1} - n (n - 1) q^{n - 1}$ .

4. En déduire que la série $\sum_{n ⩾ 2} n (n - 1) q^{n - 2}$ converge, de somme

\sum_{n = 2}^{+ \infty} n (n - 1) q^{n - 2} = \frac{2}{(1 - q)^{3}} .

Partie B. Les sommes dérivées.

5. Montrer que $\sum_{n ⩾ 1} n q^{n}$ converge et que sa somme vaut $\frac{q}{(1 - q)^{2}}$ .

6. En écrivant $n^{2} = n (n - 1) + n$ , montrer que $\sum_{n ⩾ 1} n^{2} q^{n}$ converge et que

\sum_{n = 1}^{+ \infty} n^{2} q^{n} = \frac{q (1 + q)}{(1 - q)^{3}} .

7. Applications numériques : donner les valeurs exactes des quatre sommes précédentes pour $q = \frac{1}{2}$ , puis pour $q = \frac{1}{3}$ .

a. Cas $q = \frac{1}{2}$ .

b. Cas $q = \frac{1}{3}$ .

Partie C. Un coût moyen pondéré.

Un atelier remplace une pièce d'usure par paliers successifs, numérotés $n = 1, 2, 3, \dots$ Le palier de rang $n$ intervient dans le budget annuel avec le coefficient de pondération

p_{n} = (1 - q) q^{n - 1}, o \overset{ˋ}{u} q \in] 0, 1 [est un param \overset{ˋ}{e} tre d’usure fix \overset{ˊ}{e},

et le coût attaché au palier de rang $n$ vaut $C_{n} = 200 n + 50 n^{2}$ euros. On appelle coût moyen pondéré le réel

C (q) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} p_{n} C_{n} .

8. Vérifier que les coefficients $p_{n}$ sont positifs et que $\sum_{n = 1}^{+ \infty} p_{n} = 1$ . Justifier que $C (q)$ est bien défini.

9. Établir les deux formules

\sum_{n = 1}^{+ \infty} n p_{n} = \frac{1}{1 - q} et \sum_{n = 1}^{+ \infty} n^{2} p_{n} = \frac{1 + q}{(1 - q)^{2}} .

10. En déduire une expression de $C (q)$ , puis calculer $C ⁣ (\frac{1}{2})$ , $C ⁣ (\frac{1}{3})$ et $C (0,8)$ . Commenter l'influence du paramètre $q$ .

Exercice 32 ★★★★ — Vitesse de convergence d'une suite récurrente par le développement limité

Développements limités en 0 : Taylor-Young, DL usuels, unicité, somme et produitSuites équivalentes : notation ~, opérations autorisées et interdites

Montrer qu'une suite récurrente converge vers $0$ est une chose ; savoir à quelle vitesse en est une autre. La méthode qui suit, dite « du passage à l'inverse », est le grand classique du sujet : elle transforme une convergence très lente en une croissance affine, que l'on sait décrire.

Soit $u_{0} \in] 0, 1]$ . On définit la suite $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ par

\forall n \in N, u_{n + 1} = \ln ⁣ (1 + u_{n}) .

On rappelle deux résultats.

Développement limité de $\ln (1 + x)$ en $0$ à l'ordre $3$ :

\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o ⁣ (x^{3}) .

Théorème de Cesàro (démontré dans la fiche du chapitre sur les suites, ici admis) : si une suite réelle $(w_{n})_{n ⩾ 0}$ converge vers un réel $ℓ$ , alors

\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} w_{k} \to_{n \to + \infty}^{} ℓ .

Partie A. La suite est bien définie et converge vers $0$ .

1. Montrer par récurrence que, pour tout $n \in N$ , $u_{n}$ est bien défini et $u_{n} > 0$ .

2. Démontrer que $\ln (1 + x) ⩽ x$ pour tout $x > - 1$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ .

3. En déduire que la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.

4. Montrer que $(u_{n})$ converge, puis que sa limite vaut $0$ .

Partie B. La vitesse de convergence.

On pose, pour tout $n \in N$ , $v_{n} = \frac{1}{u_{n}}$ .

5. Justifier que $v_{n}$ est bien défini pour tout $n$ , et que $v_{n} ⟶ + \infty$ .

6. On considère la fonction $g$ définie pour $x \in] 0, 1]$ par

g (x) = \frac{1}{\ln (1 + x)} - \frac{1}{x} .

6. a. Justifier que $g$ est bien définie sur $] 0, 1]$ et montrer que

g (x) = \frac{x - \ln (1 + x)}{x \ln (1 + x)} .

6. b. À l'aide du développement limité rappelé plus haut, écrire le numérateur $N (x) = x - \ln (1 + x)$ et le dénominateur $D (x) = x \ln (1 + x)$ sous la forme $x^{2} \times (\dots)$ , puis en déduire

\lim_{x \to 0^{+}} g (x) = \frac{1}{2} .

On veillera à ne jamais composer ni diviser deux développements limités : on calcule séparément les limites de $\frac{N (x)}{x^{2}}$ et de $\frac{D (x)}{x^{2}}$ , puis on conclut par quotient de limites.

7. En déduire que $v_{n + 1} - v_{n} ⟶ \frac{1}{2}$ .

8. À l'aide du théorème de Cesàro appliqué à la suite $(v_{n + 1} - v_{n})$ , montrer que $\frac{v_{n}}{n} ⟶ \frac{1}{2}$ , puis conclure que

v_{n} \sim \frac{n}{2} et u_{n} \sim \frac{2}{n} .

9. Contrôle numérique. On prend $u_{0} = 1$ . Calculer $u_{1}, \dots, u_{5}$ à $10^{- 6}$ près, puis comparer $n u_{n}$ à $2$ pour $n = 5$ , $n = 10$ et, à l'aide des valeurs fournies ci-dessous, pour $n = 100$ et $n = 1 000$ :

u_{100} \approx 0,019857233, u_{1000} \approx 0,002000091.

Exercice 33 ★★★★ — Développement asymptotique du reste d'une série de Riemann

Séries à termes positifs : comparaison, équivalence, négligeabilitéCritères de convergence : comparaison, équivalence, négligeabilité, convergence absolueSuites équivalentes : notation ~, opérations autorisées et interdites

Quand une série converge, on sait rarement calculer sa somme, mais on sait presque toujours estimer son reste. Ce problème mène l'estimation jusqu'au deuxième ordre sur l'exemple le plus classique de tous, celui de la série de Riemann d'exposant $2$ . La technique, un encadrement par des sommes télescopiques, se transpose telle quelle à d'autres séries.

Pour $n ⩾ 1$ , on pose

R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{k^{2}} .

Partie A. Existence et premier encadrement.

1. Justifier que la série $\sum_{k ⩾ 1} \frac{1}{k^{2}}$ converge, et que $R_{n}$ est bien défini pour tout $n ⩾ 1$ .

2. Soit $k ⩾ 2$ . Montrer que

\int_{k}^{k + 1} \frac{d t}{t^{2}} ⩽ \frac{1}{k^{2}} ⩽ \int_{k - 1}^{k} \frac{d t}{t^{2}} .

3. En sommant ces inégalités pour $k$ variant de $n + 1$ à $M$ , puis en faisant tendre $M$ vers $+ \infty$ , démontrer que

\frac{1}{n + 1} ⩽ R_{n} ⩽ \frac{1}{n} .

4. En déduire $R_{n} \sim \frac{1}{n}$ , puis que $R_{n} - \frac{1}{n} ⟶ 0$ .

Partie B. Un cran plus loin.

Le premier encadrement ne suffit pas : ses deux bornes $\frac{1}{n + 1}$ et $\frac{1}{n}$ diffèrent d'un terme d'ordre $\frac{1}{n^{2}}$ , exactement l'ordre du terme que l'on cherche. Il faut donc l'affiner.

5. Montrer que, pour tout $k ⩾ 1$ ,

\frac{1}{k^{2}} = \frac{1}{k (k + 1)} + \frac{1}{k^{2} (k + 1)} .

6. Calculer $\sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{k (k + 1)}$ par télescopage, et en déduire que

R_{n} = \frac{1}{n + 1} + T_{n}, o \overset{ˋ}{u} T_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{k^{2} (k + 1)} .

On justifiera au passage la convergence de la série définissant $T_{n}$ .

7. Soit $k ⩾ 2$ . Établir l'encadrement

\frac{1}{k (k + 1) (k + 2)} ⩽ \frac{1}{k^{2} (k + 1)} ⩽ \frac{1}{(k - 1) k (k + 1)} .

8. Vérifier les deux identités, valables pour $k ⩾ 2$ :

\frac{1}{k (k + 1) (k + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k (k + 1)} - \frac{1}{(k + 1) (k + 2)}), \frac{1}{(k - 1) k (k + 1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{(k - 1) k} - \frac{1}{k (k + 1)}) .

En déduire par télescopage que

\frac{1}{2 (n + 1) (n + 2)} ⩽ T_{n} ⩽ \frac{1}{2 n (n + 1)} .

9. On pose $L_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{2 (n + 1) (n + 2)}$ et $U_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{2 n (n + 1)}$ , de sorte que $L_{n} ⩽ R_{n} ⩽ U_{n}$ . Démontrer les deux identités

U_{n} - \frac{1}{n} + \frac{1}{2 n^{2}} = \frac{1}{2 n^{2} (n + 1)} et L_{n} - \frac{1}{n} + \frac{1}{2 n^{2}} = \frac{2 - n}{2 n^{2} (n + 1) (n + 2)} .

10. En déduire que

R_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2 n^{2}} + o ⁣ (\frac{1}{n^{2}}) .

11. Applications numériques pour $n = 10$ et $n = 100$ . On donne les valeurs exactes arrondies à $10^{- 9}$ :

R_{10} \approx 0,095166336, R_{100} \approx 0,009950167.

Comparer avec $\frac{1}{n}$ , avec $\frac{1}{n} - \frac{1}{2 n^{2}}$ , et avec l'encadrement $L_{n} ⩽ R_{n} ⩽ U_{n}$ de la question 9. Commenter.

Exercice 34 ★★★★ — Suite définie implicitement : existence, limite et développement asymptotique

Suites équivalentes : notation ~, opérations autorisées et interditesSuites négligeables : notation o et croissances comparéesÉtude complète d'un graphe : asymptotes, position, points d'inflexion

Aucune formule ne donne $x_{n}$ : chaque terme est défini comme la solution d'une équation. On va pourtant en obtenir un développement asymptotique à trois termes, uniquement en réinjectant l'équation dans elle-même. C'est le schéma type des problèmes de concours sur les suites implicites.

Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on considère l'équation d'inconnue $x > 0$

x + \ln x = n . (E_{n})

Partie A. Existence, unicité et premières propriétés.

On note $φ$ la fonction définie sur $] 0, + \infty [$ par $φ (x) = x + \ln x$ .

1. Étudier $φ$ : dérivée, sens de variation, limites en $0^{+}$ et en $+ \infty$ . Dresser son tableau de variations.

2. En déduire que, pour tout $n ⩾ 1$ , l'équation $(E_{n})$ admet une unique solution, notée $x_{n}$ , dans $] 0, + \infty [$ .

3. Déterminer $x_{1}$ .

4. Montrer que $x_{n} ⩾ 1$ pour tout $n ⩾ 1$ , puis que $x_{n} ⩽ n$ .

5. Démontrer que la suite $(x_{n})_{n ⩾ 1}$ est strictement croissante.

6. Montrer que $x_{n} ⟶ + \infty$ .

Partie B. Développement asymptotique.

7. À partir de l'égalité $x_{n} = n - \ln x_{n}$ , montrer que $\frac{\ln x_{n}}{n} ⟶ 0$ , puis que

x_{n} \sim n .

8. On pose $ε_{n} = x_{n} - n + \ln n$ . Montrer que

ε_{n} = - \ln ⁣ (\frac{x_{n}}{n}),

puis que $ε_{n} ⟶ 0$ . En déduire le développement asymptotique à deux termes

x_{n} = n - \ln n + o (1) .

9. On pose maintenant $h_{n} = \frac{x_{n}}{n} - 1$ , de sorte que $ε_{n} = - \ln ⁣ (1 + h_{n})$ .

9. a. Exprimer $h_{n}$ en fonction de $n$ , $\ln n$ et $ε_{n}$ , et vérifier que $h_{n} ⟶ 0$ .

9. b. Montrer que $\frac{ε_{n}}{n} = o ⁣ (\frac{\ln n}{n})$ , puis que $h_{n} \sim - \frac{\ln n}{n}$ .

9. c. En utilisant l'équivalent $\ln (1 + u) \sim u$ quand $u \to 0$ , en déduire que

ε_{n} \sim \frac{\ln n}{n}, c’est- \overset{ˋ}{a} -dire x_{n} = n - \ln n + \frac{\ln n}{n} + o ⁣ (\frac{\ln n}{n}) .

10. Contrôle numérique. On donne les valeurs de $x_{n}$ arrondies à $10^{- 6}$ :

x_{10} \approx 7,929420, x_{100} \approx 95,441487, x_{1000} \approx 993,099169.

Comparer, pour ces trois valeurs de $n$ , les trois approximations successives $n$ , $n - \ln n$ et $n - \ln n + \frac{\ln n}{n}$ . Commenter.

Exercice 35 ★★★★ — Une fonction définie par une intégrale impropre

Critères de convergence : comparaison, équivalence, négligeabilité, convergence absolueIntégration par parties avec passage à la limite et changement de variableExtremum sur un segment et sur un intervalle ouvert, point critique, condition d'ordre 2

La fonction étudiée ici est définie par une intégrale impropre dépendant d'un paramètre, et elle ne s'exprime à l'aide d'aucune fonction usuelle. On l'étudie pourtant complètement : existence, signe, variations, comportement aux deux bouts, équivalent en $+ \infty$ . Tout est obtenu par des encadrements explicites de l'intégrande, jamais en dérivant sous le signe intégral.

Pour $x > 0$ , on pose

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e^{- t}}{t + x} d t .

Partie A. Existence, signe et variations.

1. Soit $x > 0$ . Justifier que $t ⟼ \frac{e^{- t}}{t + x}$ est continue sur $[0, + \infty [$ , et préciser en quelle borne l'intégrale est impropre.

2. Montrer que $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t$ converge et vaut $1$ , puis en déduire par comparaison que $F (x)$ est bien défini pour tout $x > 0$ .

3. Soient $0 < x < y$ . Établir l'égalité

F (x) - F (y) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{(y - x) e^{- t}}{(t + x) (t + y)} d t,

puis, en minorant l'intégrande sur $[0, 1]$ , montrer que

F (x) - F (y) ⩾ \frac{(y - x) e^{- 1}}{(1 + x) (1 + y)} > 0.

Conclure sur le sens de variation de $F$ et sur son signe.

4. Soit $[a, b]$ un segment inclus dans $] 0, + \infty [$ . Justifier que $F$ admet sur $[a, b]$ un maximum et un minimum, et préciser en quels points ils sont atteints.

5. Démontrer que $F$ n'admet ni maximum ni minimum sur l'intervalle ouvert $] 0, + \infty [$ .

Partie B. Comportement en $+ \infty$ .

6. Montrer que, pour tout $A > 0$ ,

\int_{0}^{A} t e^{- t} d t = 1 - (A + 1) e^{- A},

à l'aide d'une intégration par parties sur le segment $[0, A]$ . En déduire que $\int_{0}^{+ \infty} t e^{- t} d t$ converge et vaut $1$ .

7. Soient $x > 0$ et $t ⩾ 0$ . Démontrer l'encadrement

\frac{1}{x} - \frac{t}{x^{2}} ⩽ \frac{1}{t + x} ⩽ \frac{1}{x} .

8. En intégrant cet encadrement, en déduire que

\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} ⩽ F (x) ⩽ \frac{1}{x} pour tout x > 0.

9. En déduire $\lim_{x \to + \infty} F (x)$ , puis l'équivalent $F (x) \sim \frac{1}{x}$ en $+ \infty$ .

Partie C. Comportement en $0^{+}$ .

10. Soit $x > 0$ . Montrer que

F (x) ⩾ e^{- 1} \ln ⁣ (\frac{1 + x}{x}),

en minorant l'intégrande sur le segment $[0, 1]$ .

11. En déduire $\lim_{x \to 0^{+}} F (x)$ .

12. Établir également la majoration

F (x) ⩽ \ln ⁣ (\frac{1 + x}{x}) + e^{- 1},

et commenter la vitesse à laquelle $F$ explose en $0^{+}$ .

13. Dresser le tableau de variations complet de $F$ , et vérifier la cohérence de l'ensemble avec les valeurs approchées suivantes, obtenues par calcul numérique :

$x$	$0,1$	$1$	$2$	$10$	$100$
$F (x)$	$2,014643$	$0,596347$	$0,361329$	$0,091563$	$0,009902$

Exercice 36 ★★★★ — Synthèse : convexité, Taylor-Lagrange et étude d'une suite récurrente

Fonctions convexes : inégalité de convexité, caractérisations par les dérivées, point d'inflexionFormule de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-LagrangeSérie de terme général u(n+1) - u(n) et étude de la suite (u(n))

Ce problème rassemble presque tout le chapitre autour d'un seul objet : une fonction concave, la suite récurrente qu'elle engendre, la série télescopique qui en découle, et l'inégalité de Taylor-Lagrange qui donne la vitesse. On terminera par un contrôle exact, qui permet de vérifier chaque résultat obtenu par la méthode générale.

On note $f$ la fonction définie sur $[0, + \infty [$ par

f (x) = \frac{x}{1 + x} .

Soit $u_{0} > 0$ . On définit la suite $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ par $u_{n + 1} = f ⁣ (u_{n})$ pour tout $n \in N$ .

Consigne importante. Jusqu'à la question 15 incluse, on n'utilisera aucune formule explicite donnant $u_{n}$ en fonction de $n$ : c'est seulement à la question 16 qu'on en découvrira une, et elle servira alors de vérification.

Partie A. Étude de $f$ .

1. Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $[0, + \infty [$ et vérifier l'écriture $f (x) = 1 - \frac{1}{1 + x}$ .

2. Calculer $f^{'}$ , $f^{''}$ et $f^{'''}$ . En déduire que $f$ est strictement croissante et concave sur $[0, + \infty [$ .

3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ , et en déduire par concavité que

f (x) ⩽ x pour tout x ⩾ 0.

4. Retrouver cette inégalité par un calcul direct de $x - f (x)$ , et préciser le cas d'égalité.

Partie B. La suite $(u_{n})$ .

5. Montrer par récurrence que $u_{n} > 0$ pour tout $n \in N$ .

6. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.

7. En déduire que $(u_{n})$ converge, et montrer que sa limite vaut $0$ .

Partie C. Une série télescopique.

8. Calculer $u_{n} - u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ , et vérifier que

u_{n} - u_{n + 1} = \frac{u_{n}^{2}}{1 + u_{n}} .

9. Calculer la somme partielle $\sum_{k = 0}^{n} (u_{k} - u_{k + 1})$ et en déduire la nature et la somme de la série $\sum_{n ⩾ 0} (u_{n} - u_{n + 1})$ .

10. En déduire que la série $\sum_{n ⩾ 0} \frac{u_{n}^{2}}{1 + u_{n}}$ converge, et donner sa somme.

11. Montrer que $\frac{u_{n}^{2}}{1 + u_{n}} \sim u_{n}^{2}$ , puis en déduire la nature de la série $\sum_{n ⩾ 0} u_{n}^{2}$ .

Partie D. Vitesse de convergence par Taylor-Lagrange.

12. Montrer que $∣ f^{'''} (t) ∣ ⩽ 6$ pour tout $t ⩾ 0$ .

13. En appliquant l'inégalité de Taylor-Lagrange à $f$ entre $0$ et $x$ à l'ordre $2$ , démontrer que

∣ f (x) - x + x^{2} ∣ ⩽ x^{3} pour tout x ⩾ 0.

14. En déduire qu'il existe une suite $(r_{n})$ telle que

u_{n} - u_{n + 1} = u_{n}^{2} + r_{n} avec ∣ r_{n} ∣ ⩽ u_{n}^{3} .

15. On pose $v_{n} = \frac{1}{u_{n}}$ .

15. a. Justifier que $v_{n}$ est bien défini, et montrer que

v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1 + \frac{r_{n}}{u_{n}^{2}}}{1 - u_{n} - \frac{r_{n}}{u_{n}}} .

15. b. En déduire que $v_{n + 1} - v_{n} ⟶ 1$ .

15. c. À l'aide du théorème de Cesàro (démontré dans la fiche du chapitre sur les suites, ici admis : si $w_{n} ⟶ ℓ$ , alors $\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} w_{k} ⟶ ℓ$ ), montrer que $v_{n} \sim n$ , puis que

u_{n} \sim \frac{1}{n} .

16. Contrôle exact. Montrer que $v_{n + 1} - v_{n} = 1$ exactement, en déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et de $u_{0}$ , et retrouver l'équivalent de la question 15. c.

17. Déterminer la nature de la série $\sum_{n ⩾ 0} u_{n}$ et comparer avec le résultat de la question 11.

18. Application numérique : on prend $u_{0} = 1$ . Donner $u_{0}, u_{1}, \dots, u_{5}$ , puis $u_{100}$ , et vérifier la cohérence avec les questions 16 et 9.

Les exercices(PDF, 261 Ko)Les corrigés(PDF, 1012 Ko)

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