Devoir surveillé — Compléments d'analyse

Consignes générales. Calculatrice interdite. Les cinq exercices sont indépendants, et le résultat d'une question peut toujours être admis pour traiter les suivantes. La rédaction est notée : on justifie la convergence d'une série ou d'une intégrale avant d'en manipuler la somme, et toute intégration par parties sur une intégrale impropre se mène sur un segment, suivie d'un passage à la limite. Les six questions ci-dessous sont indépendantes et appellent chacune une justification d'une ou deux lignes.

1. Donner un équivalent simple de chacune des expressions suivantes, à la limite indiquée. (0,5 point)

2. Déterminer la nature de chacune des séries suivantes. (0,75 point)

3. Déterminer la nature de chacune des intégrales suivantes. (0,5 point)

4. Déterminer, par somme et produit de développements limités usuels, le développement limité à l'ordre $3$ en $0$ de chacune des fonctions suivantes. (0,5 point)

5. Soit $g:x⟼\sqrt{1+x^2}$, définie sur $\mathbb{R}$. Démontrer que $g$ est convexe, puis que sa courbe admet une asymptote en $+\mathrm{\infty }$ et une en $-\mathrm{\infty }$, dont on donnera les équations et la position relative. (0,5 point)

6. Vrai ou faux ? Démontrer, ou donner un contre-exemple explicite. On admettra que ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}}$ converge. (0,25 point)

a. Si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ divergent toutes les deux, alors $\sum (u_n+v_n)$ diverge.

b. Si $\sum u_n$ converge et si la suite $(v_n)$ est bornée, alors $\sum u_n{v}_n$ converge.

Les deux parties sont indépendantes. On utilisera librement l'inégalité $\ln (1+u)⩽u$, valable pour tout $u>-1$.

Partie A. Une fonction positive, et un piège de rédaction.

On considère l'intégrale

$$J={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{(t+1)(t+2)}\mathrm{.}$$

1. Démontrer que $J$ converge. (0,5 point)

2. Démontrer que les deux intégrales ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t+1}}$ et ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t+2}}$ divergent. Un élève écrit alors :

« Puisque ${\displaystyle \frac{1}{(t+1)(t+2)}}={\displaystyle \frac{1}{t+1}}-{\displaystyle \frac{1}{t+2}}$, on a $J={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t+1}-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}t}{t+2}}$. »

Expliquer précisément pourquoi cette écriture n'a aucun sens. (0,75 point)

3. Soit $A>0$. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^A\frac{\mathrm{d}t}{(t+1)(t+2)}}$, puis, en faisant tendre $A$ vers $+\mathrm{\infty }$, en déduire la valeur de $J$. (0,75 point)

4. Pour $A>0$, on note $\rho (A)=J-{\displaystyle {\int }_0^A\frac{\mathrm{d}t}{(t+1)(t+2)}}$ l'erreur commise en tronquant l'intégrale en $A$. Exprimer $\rho (A)$, en donner un équivalent simple quand $A$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, et démontrer que $A⩾99$ suffit à garantir $\rho (A)⩽{10}^{-2}$. (0,5 point)

Partie B. Une fonction qui change de signe.

On considère l'intégrale

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t}\sin t\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

5. Démontrer que $I$ converge. On précisera pourquoi les critères de comparaison de la partie A ne s'appliquent pas directement ici. (0,5 point)

6. Soit $A>0$. On pose $I_A={\displaystyle {\int }_0^A{e}^{-t}\sin t\mathrm{d}t}$ et $K_A={\displaystyle {\int }_0^A{e}^{-t}\cos t\mathrm{d}t}$. À l'aide de deux intégrations par parties menées sur le segment $[0,A]$, démontrer que

$$I_A=\frac{1-e^{-A}(\sin A+\cos A)}{2}\mathrm{.}$$

(0,75 point)

7. En déduire la valeur de $I$. On soignera la justification du passage à la limite. (0,25 point)

Pour tout réel $x>0$, on pose

$$f(x)=x^x=e^{x\ln x}\mathrm{.}$$

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Justifier que $f$ est bien définie, strictement positive et de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, puis déterminer ses limites en $0^{+}$ et en $+\mathrm{\infty }$. (0,5 point)

2. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, limites comprises. On précisera la valeur exacte du minimum et le point où il est atteint. (0,75 point)

3. Déterminer un équivalent simple de $f(x)-1$ quand $x$ tend vers $0^{+}$. En déduire la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite d'équation $y=1$ au voisinage de $0^{+}$. (0,5 point)

4. Démontrer que, pour tout $x>0$,

$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=x^x(\frac{1}{x}+(1+\ln x{)}^2),$$

et en déduire la convexité de $f$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ ainsi que le nombre de points d'inflexion de $\mathcal{C}$. (0,75 point)

5. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$, puis en déduire que

$$x^x⩾x\text{pour tout }x>0,$$

en précisant le cas d'égalité. (0,5 point)

6. La fonction $f$ admet-elle un minimum sur l'intervalle ouvert $]0,+\mathrm{\infty }[$ ? Un maximum ? Commenter au regard du théorème des bornes atteintes. (0,25 point)

7. Déterminer la nature des deux séries suivantes. (0,25 point)

On utilisera librement l'encadrement $0⩽\ln (1+u)⩽u$, valable pour tout $u⩾0$.

Partie A. Un produit que l'on sait calculer.

Pour tout entier $n⩾2$, on pose

$$P_n=\prod _{k=2}^n(1-\frac{1}{k^2})\mathrm{.}$$

1. Vérifier que, pour tout entier $k⩾2$, $1-{\displaystyle \frac{1}{k^2}}={\displaystyle \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}}$, puis, en séparant le produit en deux, démontrer que $P_n={\displaystyle \frac{n+1}{2n}}$. (0,75 point)

2. En déduire le sens de variation de la suite $(P_n{)}_{n⩾2}$ et sa limite. (0,25 point)

Partie B. Un produit que l'on ne sait pas calculer.

Soit $(a_k{)}_{k⩾1}$ une suite de réels strictement positifs. On pose, pour $n⩾1$,

$${\mathrm{\Pi }}_n=\prod _{k=1}^n(1+a_k)\text{et}{L}_n=\ln {\mathrm{\Pi }}_n\mathrm{.}$$

3. Justifier que ${\mathrm{\Pi }}_n>0$, que $L_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\ln (1+a_k)}$, et que les suites $(L_n)$ et $({\mathrm{\Pi }}_n)$ sont croissantes. (0,25 point)

4. On suppose que la série ${\displaystyle \sum _{k⩾1}{a}_k}$ converge, de somme $S$. Démontrer que la suite $({\mathrm{\Pi }}_n)$ converge vers un réel $L$ vérifiant $1<L⩽e^S$. (0,5 point)

5. On suppose maintenant que $a_k⟶0$ et que la série ${\displaystyle \sum _{k⩾1}{a}_k}$ diverge. Démontrer que ${\mathrm{\Pi }}_n⟶+\mathrm{\infty }$. (0,75 point)

Partie C. Deux applications, et une mise en garde.

6. Application avec $a_k={\displaystyle \frac{1}{k}}$. Déterminer la limite de ${\mathrm{\Pi }}_n$ de deux façons : d'abord par la question 5., puis par un calcul direct de ${\mathrm{\Pi }}_n$ analogue à celui de la partie A. (0,5 point)

7. Application avec $a_k={\displaystyle \frac{1}{2^k}}$. Justifier que $({\mathrm{\Pi }}_n)$ converge et donner un encadrement de sa limite. (0,25 point)

8. Expliquer pourquoi la partie B ne s'applique pas au produit $P_n$ de la partie A, et dire ce que le calcul de la partie A permet néanmoins d'affirmer sur la nature de la série ${\displaystyle \sum _{k⩾2}\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1-\frac{1}{k^2})}$ et sur sa somme. (0,25 point)

Résoudre une équation à la main est rarement possible ; l'approcher l'est presque toujours. Ce problème étudie la méthode la plus utilisée pour cela, dite méthode de Newton, sur une équation dont aucune formule ne donne la solution. Le but n'est pas de montrer que la méthode marche, mais de mesurer à quelle vitesse elle marche.

Les parties se donnent la main, mais on pourra admettre le résultat d'une question pour traiter les suivantes.

On rappelle la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $1$, admise ici sous la forme suivante : si $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un intervalle $I$ et si $a$ et $b$ sont deux points de $I$, alors

$$g(b)=g(a)+g^{\mathrm{\prime }}(a)(b-a)+{\int }_a^b(b-t)g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

La calculatrice est interdite. Les seules valeurs numériques autorisées sont

$$e\approx \mathrm{2,7183},e^{\mathrm{0,4}}\approx \mathrm{1,4918},e^{\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{1,6487.}$$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)=e^x+x-2.$$

Partie A. L'équation et sa solution.

1. Justifier que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}$, calculer $f^{\mathrm{\prime }}$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, et en déduire que $f$ est strictement croissante et convexe sur $\mathbb{R}$. Déterminer les limites de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$. (0,5 point)

2. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution réelle, notée $\alpha$, puis que $\mathrm{0,4}<\alpha <\mathrm{0,5}$. (0,75 point)

Partie B. La suite de Newton converge vers $\alpha$.

On définit la suite $(u_n{)}_{n⩾0}$ par

$$u_0=\mathrm{0,5}\text{et}{u}_{n+1}=u_n-\frac{f(u_n)}{f^{\mathrm{\prime }}(u_n)}=u_n-\frac{e^{u_n}+u_n-2}{e^{u_n}+1}\text{pour tout }n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

3. Justifier que la suite $(u_n)$ est bien définie. Interpréter géométriquement $u_{n+1}$ à partir de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $u_n$. Calculer une valeur approchée de $u_1$ à ${10}^{-3}$ près. (0,5 point)

4. Soit $x$ un réel quelconque. On pose

$$R(x)={\int }_x^{\alpha }(\alpha -t)f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

a. À l'aide de la formule de Taylor rappelée ci-dessus, démontrer que $f(x)+f^{\mathrm{\prime }}(x)(\alpha -x)=-R(x)$. (0,25 point)

b. Démontrer que $R(x)⩾0$, en distinguant les cas $x⩽\alpha$ et $x>\alpha$. (0,5 point)

c. En déduire que, pour tout réel $x$, $x-{\displaystyle \frac{f(x)}{f^{\mathrm{\prime }}(x)}}⩾\alpha$, puis que $u_n⩾\alpha$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. (0,25 point)

5. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, puis que $\alpha ⩽u_n⩽\mathrm{0,5}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. (0,25 point)

6. En déduire que $(u_n)$ converge, puis que sa limite est $\alpha$. (0,5 point)

Partie C. La vitesse de convergence.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $d_n=u_n-\alpha$, qui est positif d'après la partie B.

7. Démontrer que, pour tout $t\in [0;\mathrm{0,5}]$, on a $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)⩽2$ et $f^{\mathrm{\prime }}(t)⩾2$. (0,25 point)

8. En reprenant la question 4., démontrer que $R(u_n)⩽d_n^2$, puis que

$$0⩽d_{n+1}⩽\frac{d_n^2}{2}\text{pour tout }n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

(0,75 point)

9. On pose ${\epsilon }_n={\displaystyle \frac{d_n}{2}}$. Démontrer que ${\epsilon }_0⩽\mathrm{0,05}$ et que ${\epsilon }_{n+1}⩽{\epsilon }_n^2$, puis établir par récurrence que

$$0⩽d_n⩽2\times (\mathrm{0,05}{)}^{2^n}\text{pour tout }n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

(0,75 point)

10. En déduire une majoration de $d_3$, et conclure sur le nombre de décimales exactes de $\alpha$ que fournit $u_3$. (0,25 point)

Partie D. Ce que la vitesse change.

11. Démontrer que $2^n⩾n+1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis en déduire que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{d}_n}$ converge et que sa somme est majorée par ${\displaystyle \frac{2}{19}}$. Comparer avec une méthode d'approximation dont l'erreur vérifierait $d_n\sim {\displaystyle \frac{2}{n}}$. (0,5 point)