ECG approfondies · Chapitre 13 · Quatrième semestre

Exercices — Compléments d'algèbre bilinéaire

34 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

Sommaire

34 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Reconnaître un endomorphisme symétrique sur sa matrice

Endomorphisme symétrique d'un espace euclidien : définition et premières propriétésCaractérisation matricielle : symétrique si et seulement si sa matrice en base orthonormée l'est

Dans tout l'exercice, $R^{n}$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , les vecteurs de $R^{n}$ étant identifiés aux matrices colonnes. La base canonique $B_{0} = (e_{1}, \dots, e_{n})$ est orthonormée pour ce produit scalaire.

On rappelle qu'un endomorphisme $f$ d'un espace euclidien $E$ est dit symétrique lorsque

\forall (x, y) \in E^{2}, ⟨ f (x), y ⟩ = ⟨ x, f (y) ⟩,

et que $f$ est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est une matrice symétrique. Tout l'objet de cet exercice est de manipuler ce va-et-vient entre l'endomorphisme et sa matrice, et de comprendre pourquoi l'hypothèse « base orthonormée » n'est pas décorative.

Partie A. Repérer une matrice symétrique

1. Parmi les matrices d'ordre $2$ suivantes, indiquer celles qui sont symétriques. Pour chaque matrice non symétrique, citer un couple de coefficients $(a_{i j}, a_{j i})$ qui ne se correspondent pas.

a. $A_{1} = (\begin{array}{cc} 2 & - 5 \\ - 5 & 7 \end{array})$

b. $A_{2} = (\begin{array}{cc} 0 & 3 \\ - 3 & 0 \end{array})$

c. $A_{3} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 4 \end{array})$

d. $A_{4} = (\begin{array}{cc} 6 & 6 \\ 0 & 6 \end{array})$

e. $A_{5} = (\begin{array}{cc} - 3 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array})$

f. $A_{6} = (\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array})$

2. Même question pour les matrices d'ordre $3$ suivantes.

g. $A_{7} = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & - 1 \\ 3 & - 1 & 0 \end{array})$

h. $A_{8} = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & - 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{array})$

i. $A_{9} = (\begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{array})$

j. $A_{10} = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array})$

3. Même question pour les deux matrices d'ordre $4$ suivantes.

A_{11} = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 4 \\ - 1 & 0 & 4 & 6 \end{array}) et A_{12} = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 4 \\ 1 & 0 & 4 & 6 \end{array}) .

4. Déterminer les réels $α$ , $β$ et $γ$ pour lesquels la matrice suivante est symétrique.

B = (\begin{array}{ccc} 3 & α & - 2 \\ 5 & 1 & β \\ γ & 4 & 0 \end{array}) .

5. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour lesquels la matrice suivante est symétrique.

C = (\begin{array}{ccc} a & 2 & a + b \\ 2 & 0 & 3 \\ 7 & b & - 1 \end{array}) .

6. Déterminer les réels $t$ pour lesquels la matrice $M (t) = (\begin{array}{cc} 1 & t^{2} \\ 4 & 1 \end{array})$ est symétrique.

Partie B. Stabilité de $S_{n} (R)$ par combinaison linéaire

On pose

S = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & - 3 \end{array}) et T = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ - 1 & 5 \end{array}) .

7. Calculer $S + T$ , $3 S$ et $2 S - T$ , et vérifier sur ces trois exemples que le résultat est encore une matrice symétrique.

8. Démontrer, pour tout $n \in N^{*}$ , que $S_{n} (R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_{n} (R)$ .

9. Donner une base de $S_{2} (R)$ et en déduire sa dimension.

Partie C. Le produit, lui, ne suit pas

10. On pose $U = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array})$ et $V = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ . Vérifier que $U$ et $V$ sont symétriques, puis calculer $U V$ et $V U$ . Le produit de deux matrices symétriques est-il symétrique ?

11. Soient $S$ et $T$ deux matrices symétriques d'ordre $n$ . Exprimer $(S T)^{⊤}$ en fonction de $S$ et de $T$ , puis démontrer l'équivalence

S T \in S_{n} (R) ⟺ S T = T S .

12. En revanche, démontrer que si $S$ est symétrique, alors $S^{2}$ est symétrique.

Partie D. Retour à la définition

13. On pose $A = (\begin{array}{cc} 2 & - 1 \\ - 1 & 3 \end{array})$ , $X = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array})$ et $Y = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \end{array})$ . Calculer $⟨ A X, Y ⟩$ et $⟨ X, A Y ⟩$ , et comparer.

14. Soit $A \in M_{n} (R)$ . Exprimer $⟨ A X, Y ⟩$ et $⟨ X, A Y ⟩$ à l'aide de $X^{⊤}$ , $A$ , $A^{⊤}$ et $Y$ , puis démontrer que

(\forall (X, Y), ⟨ A X, Y ⟩ = ⟨ X, A Y ⟩) ⟺ A \in S_{n} (R) .

Indication pour le sens direct : appliquer l'hypothèse à $X = e_{i}$ et $Y = e_{j}$ .

Partie E. Pourquoi la base doit être orthonormée

On travaille dans $R^{2}$ et on pose $v_{1} = (1, 0)$ , $v_{2} = (1, 1)$ , puis $B^{'} = (v_{1}, v_{2})$ .

15. Vérifier que $B^{'}$ est une base de $R^{2}$ , mais qu'elle n'est pas orthonormée.

16. Soit $f$ l'endomorphisme de $R^{2}$ défini par $f (x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, 0)$ . Écrire la matrice de $f$ dans $B_{0}$ et justifier que $f$ est un endomorphisme symétrique.

17. Calculer $f (v_{1})$ et $f (v_{2})$ , les exprimer dans la base $B^{'}$ , et écrire la matrice de $f$ dans $B^{'}$ . Est-elle symétrique ? Conclure.

18. Réciproquement, soit $g$ l'endomorphisme de $R^{2}$ dont la matrice dans $B^{'}$ est $(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ . Déterminer $g (e_{1})$ et $g (e_{2})$ , puis calculer $⟨ g (e_{1}), e_{2} ⟩$ et $⟨ e_{1}, g (e_{2}) ⟩$ . L'endomorphisme $g$ est-il symétrique ?

19. Énoncer en une phrase la conclusion des questions 17. et 18.

Exercice 2 ★★★★ — Matrices orthogonales : premiers réflexes

Matrices orthogonales : colonnes orthonormées, inverse égale à la transposée

L'espace $R^{n}$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , les vecteurs étant identifiés aux matrices colonnes.

On rappelle qu'une matrice $P \in M_{n} (R)$ est dite orthogonale lorsque

P^{⊤} P = I_{n},

ce qui équivaut à dire que $P$ est inversible d'inverse $P^{- 1} = P^{⊤}$ , ou encore que les colonnes de $P$ forment une base orthonormée de $R^{n}$ .

Le piège de cet exercice est annoncé dès maintenant : des colonnes deux à deux orthogonales ne suffisent pas, il faut aussi qu'elles soient de norme $1$ .

Partie A. Reconnaître

1. Pour chacune des matrices d'ordre $2$ suivantes, calculer $P^{⊤} P$ et dire si la matrice est orthogonale.

a. $P_{1} = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})$

b. $P_{2} = \frac{1}{5} (\begin{array}{cc} 3 & - 4 \\ 4 & 3 \end{array})$

c. $P_{3} = (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array})$

d. $P_{4} = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})$

e. $P_{5} = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array})$

2. Même question pour les matrices d'ordre $3$ suivantes. On pourra se contenter de calculer les normes des colonnes et leurs produits scalaires deux à deux.

f. $P_{6} = \frac{1}{3} (\begin{array}{ccc} 2 & - 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & - 2 \end{array})$

g. $P_{7} = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & - 2 \\ - 2 & 2 & - 1 \end{array})$

h. $P_{8} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})$

3. Parmi les matrices précédentes, lesquelles ont des colonnes deux à deux orthogonales sans être orthogonales ? Quelle est l'erreur de vocabulaire que cette question invite à ne plus commettre ?

Partie B. Fabriquer, puis inverser

4. Normaliser les colonnes de $P_{3}$ , puis celles de $P_{7}$ , afin d'obtenir dans chaque cas une matrice orthogonale. On notera $Q_{3}$ et $Q_{7}$ les matrices obtenues.

5. Donner, sans aucun pivot de Gauss, les inverses de $P_{2}$ , de $P_{6}$ et de $P_{8}$ .

6. Vérifier par le calcul que la matrice trouvée à la question 5. pour $P_{2}$ est bien son inverse.

Partie C. Une matrice orthogonale conserve le produit scalaire

On pose dans cette partie $P = P_{6} = \frac{1}{3} (\begin{array}{ccc} 2 & - 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & - 2 \end{array})$ , ainsi que $X = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$ et $Y = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .

7. Calculer $P X$ et $P Y$ , puis $∥ X ∥$ , $∥ P X ∥$ , $∥ Y ∥$ et $∥ P Y ∥$ . Que constate-t-on ?

8. Calculer $⟨ X, Y ⟩$ et $⟨ P X, P Y ⟩$ . Que constate-t-on ?

9. Démontrer, pour $P$ orthogonale quelconque et $X$ , $Y$ quelconques dans $R^{n}$ , les deux égalités

⟨ P X, P Y ⟩ = ⟨ X, Y ⟩ et ∥ P X ∥ = ∥ X ∥ .

Partie D. Quelques propriétés à savoir refaire

10. Démontrer que le produit de deux matrices orthogonales d'ordre $n$ est une matrice orthogonale. Vérifier ensuite ce résultat en calculant $P_{1} P_{2}$ et en contrôlant que la matrice obtenue est orthogonale.

11. Démontrer que si $P$ est orthogonale, alors $P^{⊤}$ est orthogonale.

12. Démontrer que si $P$ est orthogonale, alors les lignes de $P$ forment elles aussi une base orthonormée de $R^{n}$ .

13. Démontrer que tous les coefficients d'une matrice orthogonale appartiennent à $[- 1, 1]$ .

14. Démontrer qu'une matrice diagonale $D = diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ est orthogonale si et seulement si $d_{i} \in {- 1, 1}$ pour tout $i$ . Combien y a-t-il de telles matrices ? Que devient alors le cas de $P_{5}$ ?

15. Soit $P$ une matrice orthogonale et $λ$ une valeur propre réelle de $P$ . Démontrer que $λ \in {- 1, 1}$ .

Exercice 3 ★★★★ — Projeté orthogonal sur une droite

Projection orthogonale sur un sous-espace : expression en base orthonormée et matrice

L'espace $R^{3}$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , les vecteurs étant identifiés aux matrices colonnes. On pose

a = (1, 2, 2) et D = Vect (a) .

Partie A. La formule de projection sur une droite

1. Calculer $∥ a ∥$ , puis donner un vecteur $u$ tel que $(u)$ soit une base orthonormée de la droite $D$ .

2. Soit $x \in R^{3}$ . On cherche $p_{D} (x)$ , l'unique vecteur de $D$ tel que $x - p_{D} (x)$ appartienne à $D^{⊥}$ . En écrivant $p_{D} (x) = t a$ avec $t \in R$ et en traduisant la condition d'orthogonalité, démontrer que

p_{D} (x) = \frac{⟨ a, x ⟩}{∥ a ∥^{2}} a = \frac{⟨ a, x ⟩}{9} a .

3. Vérifier que cette formule s'écrit aussi $p_{D} (x) = ⟨ u, x ⟩ u$ , où $u$ est le vecteur unitaire de la question 1.

Partie B. Cinq projections

4. Calculer $p_{D} (x)$ pour chacun des vecteurs suivants.

a. $x_{1} = (3, 0, 0)$

b. $x_{2} = (1, 1, 1)$

c. $x_{3} = (0, 1, - 1)$

d. $x_{4} = (2, 4, 4)$

e. $x_{5} = (5, 2, 0)$

5. Interpréter les résultats obtenus pour $x_{3}$ et pour $x_{4}$ : que peut-on dire de ces deux vecteurs vis-à-vis de $D$ ?

6. Pour $x_{1}$ , $x_{2}$ et $x_{5}$ , vérifier que le vecteur $x - p_{D} (x)$ est bien orthogonal à $a$ .

Partie C. La matrice de la projection

7. En repartant de la formule de la question 2. et en identifiant $a$ à une matrice colonne, démontrer que la matrice de $p_{D}$ dans la base canonique est

P_{D} = \frac{1}{9} a a^{⊤} .

Écrire explicitement cette matrice.

8. Retrouver les projetés de $x_{2}$ et de $x_{5}$ en calculant $P_{D} X_{2}$ et $P_{D} X_{5}$ .

9. Vérifier que $P_{D}^{⊤} = P_{D}$ , puis démontrer que $P_{D}^{2} = P_{D}$ de deux façons : par le calcul matriciel direct, puis en utilisant l'écriture $P_{D} = \frac{1}{9} a a^{⊤}$ et l'égalité $a^{⊤} a = 9$ .

10. Calculer la trace de $P_{D}$ . Que reconnaît-on ?

11. Écrire la matrice de la projection orthogonale sur $D^{⊥}$ et vérifier sur $x_{3}$ que le résultat est cohérent avec la question 4.c.

12. Vérifier sur $x_{2}$ l'égalité de Pythagore $∥ x ∥^{2} = ∥ p_{D} (x) ∥^{2} + ∥ x - p_{D} (x) ∥^{2}$ , puis en déduire l'inégalité $∥ p_{D} (x) ∥ ⩽ ∥ x ∥$ dans le cas général.

Partie D. Une droite de $R^{4}$

L'espace $R^{4}$ est muni de son produit scalaire canonique. On pose $b = (1, 1, 1, 1)$ et $Δ = Vect (b)$ .

13. Calculer $∥ b ∥$ , puis $p_{Δ} (y)$ pour $y_{1} = (4, 0, 0, 0)$ , $y_{2} = (1, 2, 3, 4)$ et $y_{3} = (1, - 1, 2, - 2)$ .

14. Écrire la matrice $P_{Δ}$ dans la base canonique de $R^{4}$ .

15. Pour $y = (y^{(1)}, y^{(2)}, y^{(3)}, y^{(4)})$ quelconque, exprimer le coefficient $t$ tel que $p_{Δ} (y) = t b$ en fonction des coordonnées de $y$ . Quelle quantité statistique reconnaît-on ?

Exercice 4 ★★★★ — Projeté orthogonal sur un plan de l'espace

Projection orthogonale sur un sous-espace : expression en base orthonormée et matrice

L'espace $R^{3}$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , les vecteurs étant identifiés aux matrices colonnes. On considère

F = {(x, y, z) \in R^{3}; x + y + z = 0} .

L'exercice consiste à projeter orthogonalement sur $F$ de deux manières différentes, puis à comparer. On notera $n = (1, 1, 1)$ et $J_{3}$ la matrice d'ordre $3$ dont tous les coefficients valent $1$ .

Partie A. Le plan, sa base orthonormée, son orthogonal

1. Justifier que $F$ est un sous-espace vectoriel de $R^{3}$ de dimension $2$ , et vérifier que $v_{1} = (1, - 1, 0)$ et $v_{2} = (1, 1, - 2)$ forment une base de $F$ .

2. Vérifier que $v_{1}$ et $v_{2}$ sont orthogonaux, calculer leurs normes, puis en déduire une base orthonormée $(u_{1}, u_{2})$ de $F$ .

3. Rappeler la formule donnant $p_{F} (x)$ à partir d'une base orthonormée $(u_{1}, u_{2})$ de $F$ .

4. Démontrer que $F^{⊥} = Vect (n)$ .

Partie B. Méthode A, par une base orthonormée de $F$

5. Calculer $p_{F} (w_{1})$ pour $w_{1} = (1, 0, 0)$ en utilisant la base orthonormée $(u_{1}, u_{2})$ .

6. Faire de même pour $w_{2} = (1, 2, 3)$ .

7. Faire de même pour $w_{3} = (2, - 1, - 1)$ . Le résultat pouvait-il être prévu ?

Partie C. Méthode B, en passant par $F^{⊥}$

8. Justifier l'égalité $p_{F} = id - p_{F^{⊥}}$ , puis en déduire l'expression

p_{F} (x) = x - \frac{⟨ n, x ⟩}{3} n .

9. Recalculer $p_{F} (w_{1})$ , $p_{F} (w_{2})$ et $p_{F} (w_{3})$ par cette deuxième méthode et vérifier que l'on retrouve les résultats de la partie B.

10. Pour chacun des trois vecteurs, vérifier que $p_{F} (w)$ appartient bien à $F$ et que $w - p_{F} (w)$ est colinéaire à $n$ .

Partie D. La matrice de la projection

11. À l'aide de la question 8., démontrer que la matrice de $p_{F}$ dans la base canonique est

P_{F} = I_{3} - \frac{1}{3} J_{3},

et écrire cette matrice explicitement.

12. Retrouver $P_{F}$ par la méthode A, en calculant $u_{1} u_{1}^{⊤} + u_{2} u_{2}^{⊤}$ .

13. Vérifier que $P_{F}$ est symétrique, puis démontrer que $P_{F}^{2} = P_{F}$ . On pourra commencer par calculer $J_{3}^{2}$ .

14. Calculer $tr (P_{F})$ , puis déterminer $Im (p_{F})$ et $\ker (p_{F})$ .

15. Des deux méthodes, laquelle est la plus rapide ici ? Et si l'on avait dû projeter sur une droite de $R^{3}$ ? Énoncer la règle pratique à retenir.

Exercice 5 ★★★★ — Distance d'un vecteur à une droite puis à un plan

Distance d'un vecteur à un sous-espace et caractérisation du projeté par minimisationProjection orthogonale sur un sous-espace : expression en base orthonormée et matrice

Les espaces $R^{3}$ et $R^{4}$ sont munis de leur produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , les vecteurs étant identifiés aux matrices colonnes.

On rappelle que, pour un sous-espace $F$ d'un espace euclidien $E$ et un vecteur $x \in E$ , la distance de $x$ à $F$ est

d (x, F) = \min_{y \in F} ∥ x - y ∥ = ∥ x - p_{F} (x) ∥ .

L'exercice fait fonctionner en parallèle cette formule et sa variante

d (x, F)^{2} = ∥ x ∥^{2} - ∥ p_{F} (x) ∥^{2},

et vérifie numériquement que le minimum est bien atteint en $p_{F} (x)$ .

Partie A. Distance à une droite de $R^{3}$

On pose $a = (2, - 1, 2)$ et $D = Vect (a)$ .

1. Calculer $∥ a ∥$ .

2. Pour $x = (3, 0, 0)$ , calculer $p_{D} (x)$ , puis $d (x, D)$ à l'aide de la formule $d (x, D) = ∥ x - p_{D} (x) ∥$ .

3. Recalculer $d (x, D)$ à l'aide de la formule $d (x, D)^{2} = ∥ x ∥^{2} - ∥ p_{D} (x) ∥^{2}$ et vérifier que l'on trouve la même valeur.

4. Mener les deux mêmes calculs pour $x^{'} = (1, 1, 1)$ .

Partie B. Distance à un plan de $R^{3}$

On pose maintenant

F = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in R^{3}; 2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = 0} .

5. Justifier que $F = D^{⊥}$ , où $D$ est la droite de la partie A.

6. Pour $x = (3, 0, 0)$ , calculer $p_{F} (x)$ et vérifier que le résultat appartient bien à $F$ .

7. En déduire $d (x, F)$ par la formule $d (x, F) = ∥ x - p_{F} (x) ∥$ , puis retrouver la valeur par la formule $d (x, F)^{2} = ∥ x ∥^{2} - ∥ p_{F} (x) ∥^{2}$ .

8. Démontrer que, pour un hyperplan $H$ de vecteur normal $n$ (c'est-à-dire $H = {(Vect (n))}^{⊥}$ avec $n \neq 0$ ), on a

d (x, H) = \frac{∣ ⟨ n, x ⟩ ∣}{∥ n ∥},

et vérifier cette formule sur le calcul de la question 7.

9. Vérifier l'égalité $d (x, D)^{2} + d (x, F)^{2} = ∥ x ∥^{2}$ et l'expliquer.

Partie C. Vérifier que c'est bien le minimum

10. Vérifier que $y_{1} = (1, 0, - 1)$ et $y_{2} = (2, 2, - 1)$ appartiennent à $F$ , puis calculer $∥ x - y_{1} ∥$ et $∥ x - y_{2} ∥$ avec $x = (3, 0, 0)$ . Comparer à $d (x, F)$ .

11. Pour chacun de ces deux vecteurs, vérifier numériquement l'égalité

∥ x - y ∥^{2} = ∥ x - p_{F} (x) ∥^{2} + ∥ p_{F} (x) - y ∥^{2},

et expliquer d'où elle vient.

Partie D. Dans $R^{4}$

On pose $b = (1, 1, 1, 1)$ , $Δ = Vect (b)$ , $m = (1, 1, - 1, - 1)$ ,

H = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in R^{4}; x_{1} + x_{2} - x_{3} - x_{4} = 0} et z = (3, 1, - 1, 1) .

12. Calculer $d (z, Δ)$ par les deux formules.

13. Calculer $p_{H} (z)$ , vérifier qu'il appartient à $H$ , puis calculer $d (z, H)$ par les deux formules ainsi que par la formule de la question 8.

14. Le vecteur $z$ est-il plus proche de $Δ$ ou de $H$ ?

Partie E. Trois questions de cours

15. Soit $F$ un sous-espace d'un espace euclidien $E$ et $x \in E$ . Démontrer que, pour tout $y \in F$ ,

∥ x - y ∥^{2} = ∥ x - p_{F} (x) ∥^{2} + ∥ p_{F} (x) - y ∥^{2} .

En déduire que la borne inférieure de $∥ x - y ∥$ pour $y \in F$ est atteinte, et qu'elle l'est en un unique point.

16. Démontrer la formule $d (x, F)^{2} = ∥ x ∥^{2} - ∥ p_{F} (x) ∥^{2}$ .

17. Démontrer que $d (x, F) = 0$ si et seulement si $x \in F$ .

Exercice 6 ★★★★ — Diagonalisation orthogonale d'une matrice symétrique d'ordre deux

Pratique de la diagonalisation orthogonale : éléments propres et construction de P orthogonaleThéorème spectral : diagonalisation en base orthonormée et écriture A = P D transposée de PMatrices orthogonales : colonnes orthonormées, inverse égale à la transposée

L'espace $R^{2}$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , les vecteurs étant identifiés aux matrices colonnes. On considère les trois matrices

A = (\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 5 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array}) .

Il s'agit de les diagonaliser en base orthonormée, c'est-à-dire de trouver dans chaque cas une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que la matrice s'écrive $P D P^{⊤}$ . On suivra à chaque fois exactement le même plan, jusqu'à ce qu'il devienne un réflexe.

Partie A. La méthode

1. Énoncer le théorème spectral pour une matrice symétrique réelle d'ordre $n$ , en précisant la forme de la matrice de passage.

2. Soit $M \in M_{2} (R)$ et $λ \in R$ . Rappeler pourquoi $λ$ est valeur propre de $M$ si et seulement si le système $(M - λ I_{2}) X = 0$ admet une solution non nulle, et décrire la méthode de résolution par pivot avec discussion.

Partie B. La matrice $A$

3. Écrire le système $(A - λ I_{2}) X = 0$ et le résoudre par pivot en discutant selon $λ$ . En déduire $Sp (A)$ .

4. Déterminer les sous-espaces propres $E_{2} (A)$ et $E_{4} (A)$ , en donner une base, et vérifier chaque vecteur propre trouvé par un produit matriciel.

5. Vérifier que les deux vecteurs propres obtenus sont orthogonaux. Ce résultat était-il prévisible ?

6. Normaliser ces deux vecteurs pour obtenir une base orthonormée $(u_{1}, u_{2})$ de $R^{2}$ formée de vecteurs propres de $A$ .

7. Écrire les matrices $P$ et $D$ correspondantes, et vérifier que $P^{⊤} P = I_{2}$ .

8. Vérifier par le calcul que $A = P D P^{⊤}$ .

Partie C. La matrice $B$

9. Mener la recherche des valeurs propres de $B$ par la même méthode et donner $Sp (B)$ .

10. Déterminer $E_{- 1} (B)$ et $E_{3} (B)$ , vérifier l'orthogonalité des vecteurs propres, puis en déduire une base orthonormée de vecteurs propres.

11. Écrire $P$ et $D$ , vérifier $P^{⊤} P = I_{2}$ , puis vérifier $B = P D P^{⊤}$ .

12. Comparer les vecteurs propres de $A$ et de $B$ . Expliquer la coïncidence en écrivant $A$ et $B$ à l'aide de $I_{2}$ et de $K = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ .

Partie D. La matrice $C$

13. Mener la recherche des valeurs propres de $C$ par la même méthode et donner $Sp (C)$ .

14. Déterminer $E_{1} (C)$ et $E_{6} (C)$ et vérifier chaque vecteur propre par un produit matriciel.

15. Vérifier l'orthogonalité, normaliser, puis écrire $P$ et $D$ . Vérifier $P^{⊤} P = I_{2}$ .

16. Vérifier par le calcul que $C = P D P^{⊤}$ .

Partie E. Bilan

17. Vérifier pour les trois matrices que la trace est égale à la somme des valeurs propres.

18. Pour la matrice $A$ , donner deux autres couples $(P, D)$ convenant. La matrice $P$ du théorème spectral est-elle unique ?

19. Déduire de $A = P D P^{⊤}$ l'égalité $P^{⊤} A P = D$ , et récapituler la méthode en cinq étapes.

Exercice 7 ★★★★ — Le théorème spectral : vrai ou faux

Théorème spectral : diagonalisation en base orthonormée et écriture A = P D transposée de POrthogonalité deux à deux des sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique

Dans tout l'exercice, $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$ , toutes les matrices sont réelles, et $R^{n}$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ .

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, en donner une démonstration courte ; si elle est fausse, donner un contre-exemple explicite et, quand c'est utile, l'énoncé correct qui s'en rapproche.

1. Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.

2. Toute matrice diagonalisable est symétrique.

3. Il existe une base orthonormée de $R^{n}$ formée de vecteurs propres de $A$ si et seulement si $A \in S_{n} (R)$ .

4. Si $A$ est symétrique et inversible, alors toutes ses valeurs propres sont non nulles.

5. Toute matrice symétrique est inversible.

6. Deux vecteurs propres d'une matrice symétrique sont toujours orthogonaux.

7. Si $A$ est symétrique et si $X$ et $Y$ sont deux vecteurs propres de $A$ associés à des valeurs propres distinctes, alors $X$ et $Y$ sont orthogonaux.

8. Si $A$ est symétrique, alors $A^{2}$ est symétrique.

9. Si $A$ et $B$ sont symétriques, alors $A B$ est symétrique.

10. Si $A$ et $B$ sont symétriques, alors $A + B$ est diagonalisable.

11. Si $A$ est symétrique et si toutes ses valeurs propres sont égales à un même réel $λ$ , alors $A = λ I_{n}$ .

12. La matrice orthogonale $P$ du théorème spectral est unique.

13. Si $A$ est symétrique et $A^{2} = 0$ , alors $A = 0$ .

14. Une matrice symétrique d'ordre $n$ possède exactement $n$ valeurs propres distinctes.

15. Si $A$ est symétrique et $P$ orthogonale, alors $P^{⊤} A P$ est symétrique et a le même spectre que $A$ .

16. Pour conclure, énoncer les trois confusions les plus fréquentes que cet exercice permet de lever.

Exercice 8 ★★★★ — Orthogonalité des sous-espaces propres sur un exemple

Orthogonalité deux à deux des sous-espaces propres d'un endomorphisme symétriquePratique de la diagonalisation orthogonale : éléments propres et construction de P orthogonale

L'espace $R^{3}$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , les vecteurs étant identifiés aux matrices colonnes. On considère la matrice

A = (\begin{array}{ccc} 3 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 5 \end{array})

et les trois vecteurs

v_{1} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}), v_{2} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}), v_{3} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{array}) .

On admet que $Sp (A) = {2, 3, 6}$ , que $v_{1}$ est un vecteur propre associé à $3$ , $v_{2}$ un vecteur propre associé à $2$ et $v_{3}$ un vecteur propre associé à $6$ . Tout l'exercice consiste à exploiter ces données, puis à comprendre d'où vient l'orthogonalité qu'on va constater.

Partie A. Vérifications et sous-espaces propres

1. Vérifier que $A$ est symétrique.

2. Vérifier par un produit matriciel que $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{3}$ sont bien des vecteurs propres de $A$ , associés respectivement à $3$ , $2$ et $6$ .

3. Calculer les trois produits scalaires $⟨ v_{1}, v_{2} ⟩$ , $⟨ v_{1}, v_{3} ⟩$ et $⟨ v_{2}, v_{3} ⟩$ . Ce résultat était-il prévisible ?

4. En déduire que $(v_{1}, v_{2}, v_{3})$ est une base de $R^{3}$ .

5. Donner $E_{3} (A)$ , $E_{2} (A)$ et $E_{6} (A)$ ainsi que leurs dimensions, et vérifier la cohérence avec $\dim R^{3} = 3$ .

Partie B. Base orthonormée de vecteurs propres et matrice $P$

6. Calculer $∥ v_{1} ∥$ , $∥ v_{2} ∥$ et $∥ v_{3} ∥$ , puis en déduire une base orthonormée $B = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ de $R^{3}$ formée de vecteurs propres de $A$ .

7. Écrire les matrices $P$ et $D$ du théorème spectral associées à ce choix, et justifier que $P^{⊤} P = I_{3}$ .

8. Vérifier l'égalité $A P = P D$ en raisonnant colonne par colonne, et en déduire $A = P D P^{⊤}$ .

9. Vérifier que la trace de $A$ est égale à la somme de ses valeurs propres.

10. Décomposer le vecteur $x = (1, 2, 3)$ dans la base $(v_{1}, v_{2}, v_{3})$ , puis utiliser cette décomposition pour calculer $A x$ . Vérifier le résultat par un produit matriciel direct.

Partie C. D'où vient l'orthogonalité

11. Calculer $⟨ A v_{1}, v_{2} ⟩$ de deux façons : d'abord en utilisant $A v_{1} = 3 v_{1}$ , puis en utilisant la symétrie de $A$ pour faire passer $A$ de l'autre côté du produit scalaire. Qu'en déduit-on sur $⟨ v_{1}, v_{2} ⟩$ ?

12. Refaire le même raisonnement avec le couple $(v_{2}, v_{3})$ .

13. Énoncer et démontrer le théorème général : si $A \in S_{n} (R)$ et si $λ \neq μ$ sont deux valeurs propres de $A$ , alors $E_{λ} (A)$ et $E_{μ} (A)$ sont orthogonaux.

Partie D. Sans symétrie, tout s'écroule

On pose $M = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array})$ .

14. La matrice $M$ est-elle symétrique ? Déterminer $Sp (M)$ et justifier que $M$ est diagonalisable.

15. Déterminer $E_{1} (M)$ et $E_{2} (M)$ , puis calculer le produit scalaire d'un vecteur propre de chacun. Conclure.

16. Quelle hypothèse du théorème de la question 13. est en défaut ? Rédiger en une phrase la mise en garde correspondante.

Exercice 9 ★★★★ — Lire la positivité d'une matrice symétrique sur son spectre

Matrices symétriques positives et définies positives : signe des valeurs propres

L'espace $R^{n}$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , les vecteurs étant identifiés aux matrices colonnes, et $B_{0} = (e_{1}, \dots, e_{n})$ désigne la base canonique.

On rappelle les définitions. Soit $A \in S_{n} (R)$ .

$A$ est dite positive, et l'on note $A \in S_{n}^{+} (R)$ , lorsque $⟨ A X, X ⟩ ⩾ 0$ pour tout $X \in R^{n}$ .
$A$ est dite définie positive, et l'on note $A \in S_{n}^{+ +} (R)$ , lorsque $⟨ A X, X ⟩ > 0$ pour tout $X \in R^{n}$ non nul.

On rappelle aussi que $⟨ A X, X ⟩ = (A X)^{⊤} X = X^{⊤} A^{⊤} X = X^{⊤} A X$ lorsque $A$ est symétrique.

Partie A. Lire la positivité sur le spectre

1. Énoncer la caractérisation d'une matrice symétrique positive, puis définie positive, par son spectre. En s'appuyant sur le théorème spectral, indiquer en une phrase pourquoi cette caractérisation existe.

2. Pour chacun des spectres suivants, dire si la matrice symétrique correspondante est définie positive, positive sans être définie positive, ou ni l'une ni l'autre.

a. $Sp (A_{1}) = {1, 4, 9}$

b. $Sp (A_{2}) = {0, 2, 5}$

c. $Sp (A_{3}) = {- 1, 3}$

d. $Sp (A_{4}) = {0}$

e. $Sp (A_{5}) = {7}$

f. $Sp (A_{6}) = {- 2, 0}$

g. $Sp (A_{7}) = {\frac{1}{2}, 3}$

h. $Sp (A_{8}) = {- 5, - 1}$

3. Parmi les huit matrices de la question 2., lesquelles sont inversibles ?

Partie B. Revenir à la définition

4. Soit $A = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array})$ et $X = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ . Développer $⟨ A X, X ⟩$ , puis l'écrire comme une somme de carrés. En déduire que $A$ est définie positive, et vérifier la cohérence avec $Sp (A) = {1, 3}$ .

5. Même travail avec $B = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ . Cette matrice est-elle définie positive ? Déterminer un vecteur non nul $X$ tel que $⟨ B X, X ⟩ = 0$ .

6. Même travail avec $C = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array})$ . Exhiber un vecteur $X$ tel que $⟨ C X, X ⟩ < 0$ .

7. Démontrer le sens facile de la caractérisation : si $A \in S_{n}^{+} (R)$ et si $λ \in Sp (A)$ , alors $λ ⩾ 0$ . Démontrer ensuite la réciproque à l'aide du théorème spectral.

Partie C. Trois conséquences immédiates

8. Soit $A \in S_{n}^{+} (R)$ . En testant la définition sur $X = e_{i}$ , démontrer que tous les coefficients diagonaux de $A$ sont positifs ou nuls. En déduire, sans aucun calcul de valeur propre, que la matrice

N = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 3 & - 1 & - 4 \end{array})

n'est pas positive.

9. En déduire que $tr (A) ⩾ 0$ pour toute matrice $A \in S_{n}^{+} (R)$ . Donner une seconde démonstration à partir du spectre.

10. Démontrer qu'une matrice définie positive est inversible.

11. La réciproque est-elle vraie ? Donner un exemple de matrice symétrique positive non inversible.

Partie D. Deux pièges et deux stabilités

12. La matrice $C$ de la question 6. a tous ses coefficients strictement positifs. Est-elle positive ? Que faut-il en conclure sur le « test » consistant à regarder le signe des coefficients ?

13. Réciproquement, montrer que $S = (\begin{array}{cc} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array})$ , qui a des coefficients négatifs, est définie positive.

14. Démontrer que la somme de deux matrices de $S_{n}^{+} (R)$ est dans $S_{n}^{+} (R)$ , et que $α A \in S_{n}^{+} (R)$ pour $A \in S_{n}^{+} (R)$ et $α ⩾ 0$ . L'ensemble $S_{n}^{+} (R)$ est-il un sous-espace vectoriel de $M_{n} (R)$ ?

15. Soit $A \in S_{n}^{+} (R)$ . Démontrer que $A + I_{n}$ est définie positive, et en déduire qu'elle est inversible.

Exercice 10 ★★★★ — Vérifier la symétrie par la définition

Endomorphisme symétrique d'un espace euclidien : définition et premières propriétés

Dans tout l'exercice, on utilise uniquement la définition : un endomorphisme $f$ d'un espace euclidien $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ est symétrique lorsque

\forall (x, y) \in E^{2}, ⟨ f (x), y ⟩ = ⟨ x, f (y) ⟩ .

Aucune matrice n'est donnée : c'est cette égalité, et elle seule, qu'il faut établir ou mettre en défaut.

Partie A. Dans $R^{n}$ euclidien canonique

Soit $n ⩾ 2$ . On munit $R^{n}$ de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , de base canonique $B_{0} = (e_{1}, \dots, e_{n})$ . On fixe deux vecteurs $a$ et $b$ de $R^{n}$ tels que

∥ a ∥ = ∥ b ∥ = 1 et ⟨ a, b ⟩ = 0.

1. On pose, pour tout $x \in R^{n}$ , $f (x) = ⟨ a, x ⟩ a$ .

a. Justifier que $f$ est un endomorphisme de $R^{n}$ .

b. Montrer que $f$ est symétrique.

c. Calculer $f \circ f$ et reconnaître géométriquement l'application $f$ .

2. On pose, pour tout $x \in R^{n}$ , $s (x) = x - 2 ⟨ a, x ⟩ a$ .

a. Montrer que $s$ est un endomorphisme symétrique de $R^{n}$ .

b. Calculer $⟨ a, s (x) ⟩$ , puis en déduire $s \circ s$ .

c. Montrer que $∥ s (x) ∥ = ∥ x ∥$ pour tout $x \in R^{n}$ .

d. On note $S$ la matrice de $s$ dans la base canonique $B_{0}$ . Déduire des questions précédentes que $S^{⊤} = S$ et que $S^{⊤} S = I_{n}$ : la matrice $S$ est à la fois symétrique et orthogonale.

3. On pose, pour tout $x \in R^{n}$ , $h (x) = ⟨ a, x ⟩ b$ . Montrer que $h$ n'est pas symétrique, en exhibant deux vecteurs explicites qui mettent l'égalité en défaut.

4. On pose, pour tout $x \in R^{n}$ , $g (x) = ⟨ a, x ⟩ b + ⟨ b, x ⟩ a$ . Montrer que $g$ est symétrique.

5. On prend $n = 3$ , $a = e_{1}$ et $b = e_{2}$ . Écrire les matrices $H$ et $G$ de $h$ et $g$ dans la base canonique, et vérifier sur ces matrices les conclusions des questions 3. et 4.

Partie B. Dans $M_{n} (R)$

On munit maintenant $M_{n} (R)$ , avec $n ⩾ 2$ , de son produit scalaire canonique

⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B) .

On rappelle les deux identités classiques de la trace, utilisables sans démonstration : $tr (M^{⊤}) = tr (M)$ et $tr (M N) = tr (N M)$ .

6. Vérifier, à l'aide de ces identités, que $⟨ A, B ⟩ = ⟨ B, A ⟩$ pour toutes matrices $A$ et $B$ de $M_{n} (R)$ .

7. On considère l'application $φ : M_{n} (R) \to M_{n} (R)$ définie par $φ (M) = M^{⊤}$ .

a. Montrer que $φ$ est un endomorphisme symétrique de $M_{n} (R)$ .

b. Calculer $φ \circ φ$ et en déduire que $Sp (φ) \subset {- 1, 1}$ .

c. Déterminer $E_{1} (φ)$ et $E_{- 1} (φ)$ , puis retrouver le fait que ces deux sous-espaces sont orthogonaux, d'abord comme conséquence de la question a., ensuite par un calcul direct de $tr (S^{⊤} A)$ avec $S$ symétrique et $A$ antisymétrique.

8. Soit $S \in S_{n} (R)$ fixée. On pose $ψ_{S} (M) = S M$ pour toute $M \in M_{n} (R)$ . Montrer que $ψ_{S}$ est un endomorphisme symétrique de $M_{n} (R)$ .

9. Réciproquement, soit $B \in M_{n} (R)$ telle que $ψ_{B} : M \mapsto B M$ soit un endomorphisme symétrique de $M_{n} (R)$ . Montrer que $B$ est symétrique. (On pourra appliquer l'égalité de symétrie à un couple de matrices bien choisi.)

Exercice 11 ★★★★ — Le piège de la base non orthonormée

Caractérisation matricielle : symétrique si et seulement si sa matrice en base orthonormée l'estEndomorphisme symétrique d'un espace euclidien : définition et premières propriétés

Le théorème du cours affirme qu'un endomorphisme est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique. Cet exercice montre, sur deux exemples explicites, que l'hypothèse « orthonormée » n'est pas décorative : sans elle, l'énoncé est faux dans les deux sens.

On travaille dans $R^{2}$ muni du produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , de base canonique $B_{0} = (e_{1}, e_{2})$ . On pose

v_{1} = (1, 0) et v_{2} = (1, 1),

et $C = (v_{1}, v_{2})$ .

Partie A. Une matrice symétrique qui ne donne pas un endomorphisme symétrique

1. Montrer que $C$ est une base de $R^{2}$ , puis calculer $∥ v_{1} ∥$ , $∥ v_{2} ∥$ et $⟨ v_{1}, v_{2} ⟩$ . La base $C$ est-elle orthonormée ?

2. Soit $f$ l'endomorphisme de $R^{2}$ dont la matrice dans la base $C$ est

N = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) .

Traduire cette donnée par les images de $v_{1}$ et $v_{2}$ par $f$ .

3. On note $P$ la matrice de passage de $B_{0}$ à $C$ . Écrire $P$ , calculer $P^{- 1}$ , puis déterminer la matrice $A$ de $f$ dans la base canonique $B_{0}$ . La matrice $A$ est-elle symétrique ?

4. Contrôler le résultat de deux façons : en vérifiant que $A$ et $N$ ont la même trace, et en vérifiant à partir de $A$ que l'on retrouve bien $f (v_{1}) = v_{2}$ et $f (v_{2}) = v_{1}$ .

5. Calculer $f (e_{1})$ et $f (e_{2})$ , puis $⟨ f (e_{1}), e_{2} ⟩$ et $⟨ e_{1}, f (e_{2}) ⟩$ . Conclure : $f$ est-il un endomorphisme symétrique ?

Partie B. Un endomorphisme symétrique dont la matrice n'est pas symétrique

6. Soit $g$ l'endomorphisme de $R^{2}$ de matrice, dans la base canonique,

S = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}) .

Justifier en une ligne que $g$ est symétrique.

7. Déterminer la matrice $N^{'}$ de $g$ dans la base $C$ , d'abord par la formule de changement de base, puis en recalculant directement les coordonnées de $g (v_{1})$ et $g (v_{2})$ dans $C$ . La matrice $N^{'}$ est-elle symétrique ?

Partie C. Où se cache l'hypothèse

8. Énoncer précisément le théorème de caractérisation matricielle des endomorphismes symétriques, puis le démontrer. On mettra en évidence l'unique endroit où l'hypothèse « base orthonormée » est utilisée.

9. Pour $x = α v_{1} + β v_{2}$ et $y = γ v_{1} + δ v_{2}$ , exprimer $⟨ x, y ⟩$ en fonction de $α, β, γ, δ$ . Comparer avec $α γ + β δ$ et commenter.

10. Soient $B$ et $B^{'}$ deux bases orthonormées d'un espace euclidien $E$ de dimension $n$ , et $P$ la matrice de passage de $B$ à $B^{'}$ .

a. Montrer que $P$ est une matrice orthogonale, c'est-à-dire $P^{⊤} P = I_{n}$ .

b. Soit $f$ un endomorphisme de $E$ , de matrice $A$ dans $B$ et $A^{'}$ dans $B^{'}$ . Montrer que $A^{'} = P^{⊤} A P$ , puis que $A^{'}$ est symétrique dès que $A$ l'est.

c. Expliquer pourquoi ce résultat n'est pas contredit par la partie A.

Exercice 12 ★★★★ — Un projecteur est orthogonal si et seulement s'il est symétrique

Caractérisation d'un projecteur orthogonal : p rond p = p et p symétriqueProjection orthogonale sur un sous-espace : expression en base orthonormée et matrice

Un projecteur de $R^{n}$ est un endomorphisme $p$ vérifiant $p \circ p = p$ ; on sait alors que $R^{n} = Im p \oplus \ker p$ et que $p$ est la projection sur $Im p$ parallèlement à $\ker p$ . Parmi tous ces projecteurs, un seul par sous-espace image mérite le nom de projection orthogonale : celui dont le noyau est l'orthogonal de l'image. L'objet de l'exercice est de reconnaître ce cas particulier à un simple coup d'œil sur la matrice.

Partie A. Deux projecteurs de même image

On munit $R^{3}$ du produit scalaire canonique et l'on considère le plan

F = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in R^{3}; x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0} .

On note $p$ la projection orthogonale sur $F$ , et $q$ la projection sur $F$ parallèlement à la droite $D = Vect (e_{3})$ .

1. Déterminer $F^{⊥}$ et en donner une base. En déduire $\dim F$ .

2. Justifier que $R^{3} = F \oplus D$ , ce qui légitime la définition de $q$ .

3. Pour $x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ , exprimer $p (x)$ , puis écrire la matrice $P_{F}$ de $p$ dans la base canonique. Vérifier que $P_{F}$ est symétrique et que $P_{F}^{2} = P_{F}$ .

4. Pour $x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ , exprimer $q (x)$ , puis écrire la matrice $Q$ de $q$ dans la base canonique. Vérifier que $Q^{2} = Q$ . La matrice $Q$ est-elle symétrique ?

5. Vérifier que $p$ et $q$ ont bien la même image $F$ , et déterminer $\ker p$ et $\ker q$ .

6. Mettre en défaut la symétrie de $q$ en calculant $⟨ q (e_{1}), e_{3} ⟩$ et $⟨ e_{1}, q (e_{3}) ⟩$ .

7. Calculer $∥ e_{3} - p (e_{3}) ∥$ et $∥ e_{3} - q (e_{3}) ∥$ . Commenter en une phrase.

Partie B. La caractérisation générale

Soit $E$ un espace euclidien et $p$ un projecteur de $E$ ( $p \circ p = p$ ). On pose $F = Im p$ .

8. On suppose que $p$ est la projection orthogonale sur $F$ , c'est-à-dire $\ker p = F^{⊥}$ . Montrer que $p$ est un endomorphisme symétrique.

9. Réciproquement, on suppose $p$ symétrique. Montrer que $\ker p \subset F^{⊥}$ , puis conclure par un argument de dimension que $\ker p = F^{⊥}$ : $p$ est la projection orthogonale sur son image.

10. Énoncer le résultat obtenu sous forme matricielle, dans une base orthonormée.

Partie C. Reconnaître des matrices de projections orthogonales

11. Parmi les quatre matrices suivantes, déterminer lesquelles sont des matrices de projections orthogonales de $R^{3}$ (base canonique, produit scalaire canonique).

a. $M_{1} = \frac{1}{3} (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array})$

b. $M_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array})$

c. $M_{3} = \frac{1}{5} (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

d. $M_{4} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})$

12. Montrer que la trace d'un projecteur est égale à son rang.

13. Pour chacune des matrices retenues à la question 11., déterminer le sous-espace sur lequel elle projette et sa dimension, en utilisant la question 12.

Exercice 13 ★★★★ — Projection orthogonale sur un sous-espace de R4

Projection orthogonale sur un sous-espace : expression en base orthonormée et matriceDistance d'un vecteur à un sous-espace et caractérisation du projeté par minimisation

On munit $R^{4}$ de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ et de sa base canonique $B_{0} = (e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4})$ , qui est orthonormée. On considère le sous-espace

F = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in R^{4}; x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 et x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} = 0} .

On note $p_{F}$ la projection orthogonale sur $F$ et $P_{F}$ sa matrice dans $B_{0}$ . On pose enfin

u = (3, 1, 1, 3) et v = (1, 2, 3, 4) .

Partie A. Le sous-espace $F$ et une base orthonormée

1. Résoudre le système définissant $F$ et en déduire une base $(w_{1}, w_{2})$ de $F$ , puis $\dim F$ .

2. Calculer $⟨ w_{1}, w_{2} ⟩$ , $∥ w_{1} ∥$ et $∥ w_{2} ∥$ . En déduire une base orthonormée $(f_{1}, f_{2})$ de $F$ .

Partie B. Projeté, distance, matrice

3. Calculer $p_{F} (u)$ à l'aide de la formule du cours en base orthonormée, puis vérifier que $p_{F} (u) \in F$ et que $u - p_{F} (u) \in F^{⊥}$ .

4. En déduire $d (u, F)$ . Contrôler le résultat par le théorème de Pythagore.

5. Soit $y = (2, - 2, - 2, 2)$ . Vérifier que $y \in F$ et calculer $∥ u - y ∥$ . Que confirme cette valeur ?

6. Déterminer $P_{F}$ . Vérifier que $P_{F}$ est symétrique, que $P_{F}^{2} = P_{F}$ et que $tr (P_{F}) = \dim F$ .

7. Utiliser $P_{F}$ pour calculer $p_{F} (v)$ et $d (v, F)$ .

Partie C. La route par $F^{⊥}$

8. Montrer que $F^{⊥} = Vect (n_{1}, n_{2})$ avec $n_{1} = (1, 1, 1, 1)$ et $n_{2} = (1, - 1, 1, - 1)$ , puis en donner une base orthonormée $(h_{1}, h_{2})$ .

9. Calculer $p_{F^{⊥}} (u)$ , puis retrouver $p_{F} (u)$ et $d (u, F)$ par la relation $p_{F} = id - p_{F^{⊥}}$ . Comparer le coût des deux méthodes et dire, dans le cas général, laquelle choisir.

10. Déterminer $P_{F^{⊥}}$ et vérifier que $P_{F} + P_{F^{⊥}} = I_{4}$ .

Partie D. La base orthonormée n'est pas unique, la projection si

11. On considère les vecteurs $b_{1} = (1, 1, - 1, - 1)$ et $b_{2} = (1, 0, - 1, 0)$ .

a. Vérifier que $(b_{1}, b_{2})$ est une base de $F$ , non orthogonale.

b. Lui appliquer le procédé de Gram-Schmidt pour obtenir une base orthonormée $(g_{1}, g_{2})$ de $F$ .

c. Recalculer la matrice de $p_{F}$ à partir de $(g_{1}, g_{2})$ et conclure.

Exercice 14 ★★★★ — Diagonalisation orthogonale avec une valeur propre double

On munit $R^{3}$ de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , pour lequel la base canonique $B_{0} = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ est orthonormée. On considère

A = (\begin{array}{ccc} 5 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 5 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 5 \end{array}) .

L'objectif est de diagonaliser $A$ en base orthonormée, c'est-à-dire d'écrire $A = P D P^{⊤}$ avec $D$ diagonale et $P$ orthogonale. La difficulté, et tout l'intérêt de l'exercice, tient à la présence d'une valeur propre double.

Partie A. Les éléments propres

1. Justifier que le théorème spectral s'applique à $A$ : que garantit-il exactement ?

2. Soit $λ \in R$ . On pose $μ = 5 - λ$ et l'on cherche les $X = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ tels que $(A - λ I_{3}) X = 0$ . Écrire le système correspondant, puis l'échelonner par la méthode du pivot de Gauss en discutant selon la valeur de $μ$ .

3. En déduire $Sp (A)$ , ainsi que $E_{λ} (A)$ et $\dim E_{λ} (A)$ pour chaque valeur propre $λ$ .

4. Contrôler le résultat par la trace, puis justifier que $A$ est diagonalisable.

5. Vérifier que les deux sous-espaces propres sont orthogonaux. Ce résultat était-il prévisible ?

Partie B. Construction de $P$

6. Donner une base $(w_{1}, w_{2})$ du sous-espace propre de dimension $2$ . Est-elle orthogonale ? Appliquer si nécessaire le procédé de Gram-Schmidt pour en déduire une base orthonormée de ce sous-espace.

7. Construire une base orthonormée $B = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ de $R^{3}$ formée de vecteurs propres de $A$ . Expliquer pourquoi il n'y a aucune orthonormalisation à faire entre vecteurs de sous-espaces propres différents.

8. Écrire les matrices $P$ et $D$ correspondantes, puis vérifier que $P^{⊤} P = I_{3}$ .

9. Vérifier l'égalité $A = P D P^{⊤}$ . (On pourra utiliser l'identité $P D P^{⊤} = λ_{1} u_{1} u_{1}^{⊤} + λ_{2} u_{2} u_{2}^{⊤} + λ_{3} u_{3} u_{3}^{⊤}$ , où les $u_{i}$ sont vus comme colonnes.)

Partie C. Ce que l'unicité n'est pas

10. On pose $v_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, - 1)$ et $v_{3} = \frac{1}{\sqrt{6}} (- 1, 2, - 1)$ .

a. Vérifier que $(u_{1}, v_{2}, v_{3})$ est encore une base orthonormée de vecteurs propres de $A$ .

b. Écrire la matrice orthogonale $P^{'}$ associée et vérifier que $A = P^{'} D P^{' ⊤}$ avec la même matrice $D$ .

11. Recenser toutes les sources de non-unicité de $P$ , puis identifier ce qui, dans cette diagonalisation, est en revanche parfaitement déterminé par $A$ .

Exercice 15 ★★★★ — La matrice dont tous les coefficients valent un

Pratique de la diagonalisation orthogonale : éléments propres et construction de P orthogonaleThéorème spectral : diagonalisation en base orthonormée et écriture A = P D transposée de PApplications : puissances, racine carrée, transposée de A fois A, encadrement du produit scalaire Ax scalaire x

Soit $n ⩾ 2$ . On note $J_{n} \in M_{n} (R)$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$ , et

U = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{array}) \in M_{n, 1} (R) .

On munit $R^{n}$ , identifié à $M_{n, 1} (R)$ , du produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ . C'est la matrice symétrique classique du programme : toute son étude tient dans une seule identité, $J_{n} = U U^{⊤}$ .

Partie A. La structure de $J_{n}$

1. Vérifier que $J_{n} = U U^{⊤}$ , puis que $J_{n}$ est symétrique. Calculer $U^{⊤} U$ .

2. En déduire $J_{n}^{2}$ en fonction de $J_{n}$ , et donner un polynôme annulateur de $J_{n}$ .

3. En déduire que $Sp (J_{n}) \subset {0, n}$ .

4. Pour $X \in M_{n, 1} (R)$ , exprimer $J_{n} X$ à l'aide de $⟨ U, X ⟩$ et de $U$ . En déduire :

a. que $n$ est valeur propre de $J_{n}$ et que $E_{n} (J_{n}) = Vect (U)$ ;

b. que $0$ est valeur propre de $J_{n}$ et que $E_{0} (J_{n}) = Vect (U)^{⊥}$ , de dimension $n - 1$ .

5. Conclure que $J_{n}$ est diagonalisable en utilisant la somme des dimensions des sous-espaces propres. Contrôler par la trace, et donner $rg (J_{n})$ .

6. Vérifier que les deux sous-espaces propres sont orthogonaux, et dire ce que le théorème spectral prévoyait.

Partie B. Le cas $n = 3$ , entièrement explicite

7. Écrire $J_{3}$ , puis construire une base orthonormée $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ de $R^{3}$ formée de vecteurs propres de $J_{3}$ .

8. En déduire une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $J_{3} = P D P^{⊤}$ . Vérifier $P^{⊤} P = I_{3}$ et l'égalité $J_{3} = P D P^{⊤}$ .

Partie C. Un projecteur et des puissances

9. Montrer que $\frac{1}{n} J_{n}$ est la matrice d'une projection orthogonale, et préciser sur quelle droite. Donner l'interprétation de $\frac{1}{n} J_{n} X$ en termes de moyenne des coordonnées de $X$ .

10. Calculer $J_{n}^{k}$ pour tout entier $k ⩾ 1$ , par récurrence puis en retrouvant le résultat par la diagonalisation.

11. Soit $X = (x_{1}, \dots, x_{n})$ et $\overset{ˉ}{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ . Exprimer $d {(X, Vect (U))}^{2}$ , puis retrouver, par le théorème de Pythagore, la formule $\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {\overset{ˉ}{x}}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \overset{ˉ}{x})}^{2}$ .

Exercice 16 ★★★★ — Les matrices à diagonale et hors-diagonale constantes

Applications : puissances, racine carrée, transposée de A fois A, encadrement du produit scalaire Ax scalaire xPratique de la diagonalisation orthogonale : éléments propres et construction de P orthogonale

Soit $n ⩾ 2$ et soient $a, b$ deux réels. On note $J_{n} \in M_{n} (R)$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$ , $U \in M_{n, 1} (R)$ la colonne dont toutes les coordonnées valent $1$ , et l'on pose

A = a I_{n} + b J_{n} .

C'est la matrice dont tous les coefficients diagonaux valent $a + b$ et tous les coefficients hors diagonale valent $b$ . On munit $R^{n}$ , identifié à $M_{n, 1} (R)$ , du produit scalaire canonique.

Partie A. Les trois faits utiles sur $J_{n}$

1. Redémontrer rapidement les trois propriétés suivantes :

a. $J_{n} = U U^{⊤}$ et $J_{n}^{2} = n J_{n}$ ;

b. $J_{n} X = ⟨ U, X ⟩ U$ pour toute colonne $X$ , et en particulier $J_{n} U = n U$ ;

c. $\ker J_{n} = Vect (U)^{⊥}$ , de dimension $n - 1$ .

Partie B. Éléments propres et diagonalisation de $A$

2. Justifier que le théorème spectral s'applique à $A$ .

3. Calculer $A U$ , puis $A X$ pour $X \in Vect (U)^{⊥}$ . En déduire deux valeurs propres de $A$ et des sous-espaces propres associés.

4. Déterminer $Sp (A)$ ainsi que la dimension de chaque sous-espace propre, en distinguant les cas $b \neq 0$ et $b = 0$ . Contrôler par la trace.

5. Soit $P$ une matrice orthogonale telle que $J_{n} = P Δ P^{⊤}$ avec $Δ = diag (n, 0, \dots, 0)$ . Montrer que la même matrice $P$ diagonalise $A$ , et préciser la matrice diagonale obtenue.

Partie C. Inverse et puissances

6. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $a$ et $b$ pour que $A$ soit inversible.

7. Sous cette condition, chercher $A^{- 1}$ dans la famille des matrices de la forme $α I_{n} + β J_{n}$ , et donner son expression. Vérifier le résultat sur les vecteurs propres.

8. Montrer que, pour tout entier $k ⩾ 1$ ,

A^{k} = a^{k} I_{n} + \frac{(a + n b)^{k} - a^{k}}{n} J_{n} .

Vérifier la formule pour $k = 1$ , et constater qu'elle redonne $A^{- 1}$ si on l'applique formellement à $k = - 1$ .

Partie D. Application numérique

9. On prend $n = 4$ , $a = 2$ et $b = 1$ .

a. Écrire la matrice $A$ .

b. Donner $Sp (A)$ , les sous-espaces propres et leurs dimensions ; contrôler par la trace.

c. Construire une base orthonormée de vecteurs propres et la matrice orthogonale $P$ correspondante.

d. Calculer $A^{- 1}$ , puis $A^{2}$ et $A^{3}$ , sous forme de matrices explicites.

Partie E. Positivité

10. À quelle condition sur $a$ et $b$ la matrice $A$ est-elle définie positive ? Donner deux justifications : l'une par les valeurs propres, l'autre par le calcul direct de $X^{⊤} A X$ . Conclure pour l'application numérique de la partie D.

Exercice 17 ★★★★ — Les matrices symétriques de rang un

Applications : puissances, racine carrée, transposée de A fois A, encadrement du produit scalaire Ax scalaire xProjection orthogonale sur un sous-espace : expression en base orthonormée et matrice

Soit $n ⩾ 2$ . On munit $R^{n}$ , identifié à $M_{n, 1} (R)$ , du produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ . Soit $X \in M_{n, 1} (R)$ une colonne non nulle, et l'on pose

A = X X^{⊤} \in M_{n} (R) .

Ces matrices sont la brique élémentaire de tout le chapitre : la matrice $J_{n}$ en est un cas particulier, et le théorème spectral affirme précisément que toute matrice symétrique est une combinaison linéaire de telles briques.

Partie A. Étude générale

1. Montrer que $A$ est symétrique, et exprimer son coefficient d'indice $(i, j)$ .

2. Montrer que, pour toute colonne $Y$ , $A Y = ⟨ X, Y ⟩ X$ . En déduire $Im A$ puis $rg (A)$ .

3. Montrer que $A^{2} = ∥ X ∥^{2} A$ et en déduire un polynôme annulateur de $A$ , puis que $Sp (A) \subset {0, ∥ X ∥^{2}}$ .

4. Déterminer $E_{∥ X ∥^{2}} (A)$ et $E_{0} (A)$ , ainsi que leurs dimensions. Conclure sur $Sp (A)$ et sur la diagonalisabilité de $A$ .

5. Calculer $tr (A)$ de deux façons : directement sur les coefficients, et à partir des valeurs propres.

6. Décrire une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = P D P^{⊤}$ .

7. Montrer que $\frac{1}{∥ X ∥^{2}} A$ est la matrice de la projection orthogonale sur $Vect (X)$ .

Partie B. Application numérique

8. On prend $n = 3$ et $X = (1, 2, 2)^{⊤}$ .

a. Calculer $∥ X ∥$ et écrire $A$ .

b. Donner $Sp (A)$ , les sous-espaces propres, leurs dimensions, et vérifier la trace.

c. Construire une base orthonormée de vecteurs propres de $A$ , puis $P$ et $D$ .

d. Calculer le projeté orthogonal de $Y_{0} = (1, 1, 1)^{⊤}$ sur $Vect (X)$ ainsi que $d (Y_{0}, Vect (X))$ , et contrôler par le théorème de Pythagore.

Partie C. La réciproque

9. Soit $M \in S_{n} (R)$ de rang $1$ . Montrer qu'il existe $ε \in {- 1, 1}$ et une colonne non nulle $Y$ tels que $M = ε Y Y^{⊤}$ . Préciser comment lire $ε$ sur $M$ .

10. Donner un exemple de matrice symétrique de rang $1$ pour chacun des deux signes de $ε$ .

Exercice 18 ★★★★ — Projection orthogonale dans un espace de polynômes

Projection orthogonale sur un sous-espace : expression en base orthonormée et matriceDistance d'un vecteur à un sous-espace et caractérisation du projeté par minimisation

Dans tout l'exercice, $E = R_{2} [X]$ désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus $2$ , et l'on pose, pour $P$ et $Q$ dans $E$ ,

⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t .

On note $F = R_{1} [X]$ , sous-espace vectoriel de $E$ formé des polynômes de degré au plus $1$ .

1. Vérifier que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $E$ . On soignera en particulier le caractère défini.

2. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la famille $(1, X)$ pour construire une base orthonormée $B = (u_{1}, u_{2})$ de $F$ .

3. En déduire le projeté orthogonal $p_{F} ⁣ (X^{2})$ de $X^{2}$ sur $F$ .

4. Calculer la distance $d ⁣ (X^{2}, F)$ . On donnera d'abord $d ⁣ {(X^{2}, F)}^{2}$ sous forme de fraction irréductible, puis $d ⁣ (X^{2}, F)$ sous forme simplifiée.

5. Contrôle par les équations normales. On cherche directement les réels $a$ et $b$ tels que $X^{2} - a - b X$ soit orthogonal à $F$ .

a. Justifier qu'il suffit d'écrire les deux conditions $⟨ X^{2} - a - b X, 1 ⟩ = 0$ et $⟨ X^{2} - a - b X, X ⟩ = 0$ .

b. Traduire ces deux conditions en un système linéaire d'inconnues $a$ et $b$ , le résoudre, et vérifier que l'on retrouve le résultat de la question 3.

6. Interpréter le résultat obtenu en termes d'approximation de la fonction $t \mapsto t^{2}$ sur $[0, 1]$ , et préciser en quel sens exact l'approximation trouvée est la meilleure possible.

Exercice 19 ★★★★ — La droite des moindres carrés

Problème des moindres carrés : système surdéterminé, équations normales, ajustement

Une expérience fournit quatre couples de mesures $(x_{i}, y_{i})$ :

$x_{i}$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y_{i}$	$2$	$3$	$7$	$8$

On cherche la droite d'équation $y = a + b x$ qui ajuste au mieux ce nuage, au sens des moindres carrés : on veut minimiser la somme des carrés des écarts verticaux

S (a, b) = \sum_{i = 1}^{4} {(y_{i} - a - b x_{i})}^{2} .

Nuage des quatre points, droite des moindres carrés et résidus verticaux

1. Écrire le système de quatre équations à deux inconnues qu'il faudrait résoudre pour qu'une droite passe exactement par les quatre points, et montrer que ce système n'a pas de solution.

2. Mettre ce système sous la forme matricielle $A X = B$ avec

A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}), X = (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}), B = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 7 \\ 8 \end{array}),

puis interpréter $S (a, b)$ comme le carré d'une norme dans $R^{4}$ muni de son produit scalaire canonique.

3. Justifier que minimiser $S$ revient à projeter orthogonalement $B$ sur $Im (A)$ , et en déduire que le couple optimal $\hat{X}$ est caractérisé par les équations normales $A^{⊤} A \hat{X} = A^{⊤} B$ .

4. Calculer $A^{⊤} A$ et $A^{⊤} B$ , puis montrer que $A^{⊤} A$ est inversible.

5. Résoudre les équations normales et en déduire l'équation de la droite des moindres carrés.

6. Retrouver ces deux coefficients par les formules statistiques

b = \frac{\sum_{i = 1}^{4} (x_{i} - \overset{ˉ}{x}) (y_{i} - \overset{ˉ}{y})}{\sum_{i = 1}^{4} {(x_{i} - \overset{ˉ}{x})}^{2}}, a = \overset{ˉ}{y} - b \overset{ˉ}{x} .

7. Calculer les quatre résidus $r_{i} = y_{i} - a - b x_{i}$ . Vérifier que leur somme est nulle et calculer $\sum_{i = 1}^{4} r_{i}^{2}$ .

8. Vérifier la traduction géométrique du résultat : le vecteur résidu $R = B - A \hat{X}$ est orthogonal aux deux colonnes de $A$ . Vérifier également le théorème de Pythagore sur $∥ B ∥^{2}$ .

9. Calculer la somme des carrés des écarts pour la droite d'équation $y = 2 x$ et comparer avec la valeur obtenue à la question 7. Qu'illustre cette comparaison ?

Exercice 20 ★★★★ — Puissances d'une matrice symétrique

On considère la matrice

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}) \in M_{3} (R) .

1. Justifier, sans aucun calcul, que $A$ est diagonalisable en base orthonormée.

2. Déterminer $Sp (A)$ et les sous-espaces propres de $A$ , en résolvant le système $(A - λ I_{3}) X = 0$ et en discutant selon $λ$ .

3. Vérifier directement que les sous-espaces propres sont orthogonaux, puis construire une base orthonormée $B = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ de $R^{3}$ formée de vecteurs propres de $A$ . En déduire une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = P D P^{⊤}$ , et vérifier que $P^{⊤} P = I_{3}$ .

4. Montrer que, pour tout $k \in N$ , $A^{k} = P D^{k} P^{⊤}$ , et expliciter les neuf coefficients de $A^{k}$ en fonction de $k$ . Contrôler le résultat pour $k = 1$ et $k = 2$ .

5. Étudier la convergence de la suite de matrices ${(\frac{1}{3^{k}} A^{k})}_{k \in N}$ , c'est-à-dire la convergence de chacun de ses neuf coefficients, et interpréter la limite obtenue.

6. Montrer que $A$ est inversible et calculer $A^{- 1}$ de deux façons : par la diagonalisation, puis à l'aide d'un polynôme annulateur de $A$ . Vérifier au passage que la formule de la question 4. reste valable pour $k = - 1$ .

7. Racines carrées.

a. Montrer que si une matrice symétrique $R$ vérifie $R^{2} = A$ , alors $A$ est nécessairement positive. En déduire que $A$ n'admet aucune racine carrée symétrique.

b. Montrer en revanche que $A^{2}$ admet une racine carrée symétrique positive, la calculer explicitement, et constater qu'elle est différente de $A$ .

Exercice 21 ★★★★ — Minimiser une distance sans dériver

Distance d'un vecteur à un sous-espace et caractérisation du projeté par minimisationProjection orthogonale sur un sous-espace : expression en base orthonormée et matrice

Les trois problèmes de minimisation qui suivent sont posés sous forme analytique. Aucun ne demande le moindre calcul de dérivée : chacun est, une fois traduit, un problème de projection orthogonale. Pour chacun, la démarche est la même en trois temps : identifier l'espace euclidien, identifier le sous-espace et le vecteur à projeter, puis appliquer la caractérisation du projeté orthogonal par minimisation de la norme.

Partie A. Une minimisation sous contrainte dans $R^{3}$

On munit $R^{3}$ de son produit scalaire canonique et l'on cherche à minimiser

φ (x, y, z) = (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} sous la contrainte x + y + z = 0.

1. Montrer que l'ensemble $F$ des triplets vérifiant la contrainte est un sous-espace vectoriel de $R^{3}$ , préciser sa dimension et déterminer $F^{⊥}$ .

2. Exprimer $φ (x, y, z)$ comme le carré d'une distance et reformuler le problème en termes de projection orthogonale.

3. Calculer le projeté orthogonal $p_{F} (V)$ du vecteur $V = (1, 2, 3)$ , en déduire la valeur minimale de $φ$ sous la contrainte, et le point unique où elle est atteinte.

4. Vérifier le résultat en calculant directement la valeur de $φ$ en ce point.

Partie B. Une minimisation dans un espace de polynômes

On munit $E = R_{3} [X]$ du produit scalaire $⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t$ , et l'on cherche à minimiser

ψ (a, b) = \int_{0}^{1} {(t^{3} - a - b t)}^{2} d t pour (a, b) \in R^{2} .

5. Reformuler ce problème comme un calcul de distance de $X^{3}$ à un sous-espace $F$ de $E$ que l'on précisera, et justifier l'existence et l'unicité du couple optimal.

6. Écrire les équations normales, les résoudre, et donner la valeur minimale de $ψ$ .

Partie C. La moyenne, vue comme une projection

Soient $n ⩾ 1$ et $x_{1}, \dots, x_{n}$ des réels fixés. On cherche à minimiser

θ (c) = \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - c)}^{2} pour c \in R .

7. Identifier l'espace euclidien, le vecteur à projeter et le sous-espace de projection, puis déterminer la valeur de $c$ qui réalise le minimum.

8. Exprimer la valeur minimale de $θ$ à l'aide des $x_{i}$ et de leur moyenne $\overset{ˉ}{x}$ , puis traiter le cas numérique $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (2, 5, 6, 7)$ .

9. Commenter l'interprétation statistique de ces deux résultats.

Partie D. Et si l'on avait dérivé ?

10. Reprendre la question 3. par la méthode des dérivées partielles : éliminer $z$ grâce à la contrainte, chercher le point critique de la fonction de deux variables obtenue, et comparer le travail fourni.

11. Expliquer pourquoi la voie géométrique donne, elle, la certitude immédiate qu'il s'agit d'un minimum global, et non seulement d'un candidat.

Exercice 22 ★★★★ — La matrice transposée de A fois A

Matrices symétriques positives et définies positives : signe des valeurs propresApplications : puissances, racine carrée, transposée de A fois A, encadrement du produit scalaire Ax scalaire x

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls, $A \in M_{n, p} (R)$ et

S = A^{⊤} A .

Les vecteurs de $R^{p}$ et de $R^{n}$ sont identifiés aux matrices colonnes correspondantes, et les deux espaces sont munis de leur produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ . Cette matrice $S$ est l'une des plus importantes de tout le chapitre : c'est elle qui gouverne le problème des moindres carrés.

Partie A. Les propriétés générales

1. Préciser le format de $S$ et montrer que $S$ est symétrique.

2. Montrer que, pour tout $X \in R^{p}$ , $⟨ S X, X ⟩ = ∥ A X ∥^{2}$ . En déduire que $S$ est une matrice symétrique positive.

3. Montrer que $\ker S = \ker A$ . On démontrera séparément les deux inclusions, la seconde reposant sur la question 2.

4. En déduire que $rg (A^{⊤} A) = rg (A)$ .

5. Montrer l'équivalence : $S$ est inversible si et seulement si les colonnes de $A$ forment une famille libre. Montrer que, dans ce cas, $S$ est définie positive.

6. Expliquer en une phrase le lien avec les équations normales $A^{⊤} A \hat{X} = A^{⊤} B$ du problème des moindres carrés.

Partie B. Deux exemples numériques

7. On pose $A_{1} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array})$ . Calculer $S_{1} = A_{1}^{⊤} A_{1}$ , déterminer $\ker S_{1}$ , en déduire $rg (S_{1})$ , et vérifier que $S_{1}$ est définie positive en explicitant $⟨ S_{1} X, X ⟩$ comme une somme de carrés.

8. On pose $A_{2} = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{array})$ . Mener la même étude. Que peut-on dire de $0$ vis-à-vis du spectre de $S_{2}$ ?

Partie C. La trace

9. Montrer que $tr (A^{⊤} A)$ est la somme des carrés de tous les coefficients de $A$ , et vérifier cette formule sur $A_{1}$ et $A_{2}$ .

10. En déduire que $tr (A^{⊤} A) = 0$ entraîne $A = 0$ , puis que $A^{⊤} A = 0$ entraîne $A = 0$ .

Exercice 23 ★★★★ — Racine carrée d'une matrice symétrique positive

Matrices symétriques positives et définies positives : signe des valeurs propresThéorème spectral : diagonalisation en base orthonormée et écriture A = P D transposée de P

On dit qu'une matrice $R \in M_{n} (R)$ est une racine carrée de $M \in M_{n} (R)$ lorsque $R^{2} = M$ . L'objet de cet exercice est de montrer que toute matrice symétrique positive admet une racine carrée symétrique positive, de savoir la calculer, et de comprendre exactement de quelle unicité on dispose.

Partie A. Existence

Soit $A \in S_{n}^{+} (R)$ , c'est-à-dire $A$ symétrique et positive.

1. Justifier l'existence d'une matrice orthogonale $P$ et d'une matrice diagonale $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ telles que $A = P D P^{⊤}$ , puis montrer que $λ_{i} ⩾ 0$ pour tout $i$ .

2. On pose $Δ = diag (\sqrt{λ_{1}}, \dots, \sqrt{λ_{n}})$ et $R = P Δ P^{⊤}$ . Montrer que $R$ est symétrique, que $R$ est positive, et que $R^{2} = A$ .

3. Montrer que si $A$ est définie positive, alors $R$ l'est aussi.

Partie B. Calculs explicites

4. Soit $A = (\begin{array}{cc} 5 & - 2 \\ - 2 & 8 \end{array})$ . Déterminer $Sp (A)$ et les sous-espaces propres de $A$ en résolvant $(A - λ I_{2}) X = 0$ , puis construire une matrice orthogonale $P$ diagonalisant $A$ .

5. En déduire la racine carrée symétrique positive $R$ de $A$ , et vérifier par le calcul que $R^{2} = A$ .

6. Mener le même travail pour $B = (\begin{array}{ccc} 5 & - 4 & 0 \\ - 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array})$ : spectre, sous-espaces propres, base orthonormée de vecteurs propres, racine carrée symétrique positive, vérification.

Partie C. Questions de finesse

7. Montrer qu'une matrice symétrique qui n'est pas positive n'admet aucune racine carrée symétrique. Donner un exemple explicite de matrice symétrique de $M_{2} (R)$ sans racine carrée symétrique.

8. Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a^{2} + b^{2} = 1$ , la matrice $(\begin{array}{cc} a & b \\ b & - a \end{array})$ est une racine carrée de $I_{2}$ . Combien $I_{2}$ admet-elle de racines carrées symétriques ? Combien en admet-elle qui soient symétriques positives ? Donner enfin une racine carrée de $I_{2}$ qui ne soit pas symétrique.

9. Expliquer précisément à quel endroit intervient l'unicité. On admettra le résultat suivant : une matrice symétrique positive admet une unique racine carrée symétrique positive, que l'on note $\sqrt{A}$ .

10. Montrer que $A$ et $R$ commutent.

Exercice 24 ★★★★ — Encadrement par les valeurs propres extrêmes

Applications : puissances, racine carrée, transposée de A fois A, encadrement du produit scalaire Ax scalaire xThéorème spectral : diagonalisation en base orthonormée et écriture A = P D transposée de P

Soit $n ⩾ 1$ et soit $A \in S_{n} (R)$ une matrice symétrique. D'après le théorème spectral, il existe une base orthonormée $B = (u_{1}, \dots, u_{n})$ de $R^{n}$ formée de vecteurs propres de $A$ ; on note $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ les valeurs propres associées, rangées dans l'ordre croissant :

λ_{1} ⩽ λ_{2} ⩽ \dots ⩽ λ_{n}, A u_{i} = λ_{i} u_{i} pour tout i .

L'objectif est d'établir l'encadrement fondamental

\forall X \in R^{n}, λ_{1} ∥ X ∥^{2} ⩽ ⟨ A X, X ⟩ ⩽ λ_{n} ∥ X ∥^{2},

puis d'en tirer plusieurs conséquences.

Partie A. L'encadrement et ses cas d'égalité

Soit $X \in R^{n}$ . On pose $y_{i} = ⟨ X, u_{i} ⟩$ pour tout $i \in {1, \dots, n}$ .

1. Justifier que $X = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} u_{i}$ et que $∥ X ∥^{2} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2}$ .

2. Calculer $A X$ en fonction des $λ_{i}$ , des $y_{i}$ et des $u_{i}$ , puis montrer que

⟨ A X, X ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} y_{i}^{2} .

3. En déduire l'encadrement annoncé.

4. Montrer que les deux bornes sont atteintes, en précisant en quels vecteurs. En déduire les valeurs de $\max_{∥ X ∥ = 1} ⟨ A X, X ⟩$ et de $\min_{∥ X ∥ = 1} ⟨ A X, X ⟩$ .

5. En déduire la caractérisation des matrices symétriques positives et définies positives par le signe des valeurs propres.

Partie B. Application numérique

On pose $A = (\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})$ .

6. Déterminer $Sp (A)$ et les sous-espaces propres de $A$ en résolvant $(A - λ I_{3}) X = 0$ , puis donner une base orthonormée de vecteurs propres.

7. En déduire un encadrement de $⟨ A X, X ⟩$ valable pour tout $X$ , puis le maximum de $⟨ A X, X ⟩$ sur la sphère unité et les vecteurs unitaires qui le réalisent.

8. Retrouver directement cet encadrement en écrivant $⟨ A X, X ⟩ - 2 ∥ X ∥^{2}$ et $4 ∥ X ∥^{2} - ⟨ A X, X ⟩$ comme des sommes de carrés, et vérifier que les cas d'égalité redonnent bien les sous-espaces propres.

Partie C. Deux conséquences

9. Montrer que $tr (A) ⩽ n λ_{n}$ , et préciser le cas d'égalité. Vérifier l'inégalité sur la matrice de la partie B.

10. Montrer que si $A$ est définie positive, alors $⟨ A X, X ⟩ ⩾ λ_{1} ∥ X ∥^{2} > 0$ pour tout $X \neq 0$ . Commenter l'intérêt de cette minoration par rapport à la seule inégalité $⟨ A X, X ⟩ > 0$ .

Partie D. La symétrie est indispensable

11. On pose $N = (\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{array})$ . Déterminer $Sp (N)$ , puis exhiber deux vecteurs $X$ pour lesquels l'encadrement de la partie A est mis en défaut. Identifier précisément l'étape de la démonstration qui tombe.

Exercice 25 ★★★★ — Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable

Endomorphisme symétrique d'un espace euclidien : définition et premières propriétésOrthogonalité deux à deux des sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique

Soit $E$ un espace euclidien et $f$ un endomorphisme symétrique de $E$ , c'est-à-dire vérifiant

\forall (x, y) \in E^{2}, ⟨ f (x), y ⟩ = ⟨ x, f (y) ⟩ .

On rappelle qu'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est dit stable par $f$ lorsque $f (F) \subset F$ , c'est-à-dire lorsque $f (x) \in F$ pour tout $x \in F$ .

Partie A. Le théorème

1. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $f$ . Démontrer que $F^{⊥}$ est également stable par $f$ .

2. Soit $F$ un sous-espace stable par $f$ . Montrer que l'application $f_{F} : F \to F$ , $x \mapsto f (x)$ , est bien définie, et que c'est un endomorphisme symétrique de l'espace euclidien $F$ .

3. En déduire ce que devient la matrice de $f$ dans une base orthonormée de $E$ obtenue en concaténant une base orthonormée de $F$ et une base orthonormée de $F^{⊥}$ .

Partie B. Un exemple dans $R^{3}$

On munit $R^{3}$ de son produit scalaire canonique et l'on note $f$ l'endomorphisme de $R^{3}$ dont la matrice dans la base canonique $B_{0} = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ est

A = (\begin{array}{ccc} 5 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 2 \\ 0 & - 2 & 5 \end{array}) .

On pose $F = {(x, y, z) \in R^{3}; x + y - 2 z = 0}$ .

4. Justifier que $f$ est un endomorphisme symétrique de $R^{3}$ .

5. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $R^{3}$ , préciser sa dimension, puis montrer que $F$ est stable par $f$ .

6. Déterminer $F^{⊥}$ et vérifier par le calcul qu'il est stable par $f$ , conformément à la question 1.

7. Construire une base orthonormée $(c_{1}, c_{2})$ de $F$ , puis écrire la matrice $M$ de $f_{F}$ dans cette base. Vérifier que $M$ est symétrique.

8. Déterminer les valeurs propres de $M$ et en déduire, sans jamais résoudre de système $3 \times 3$ , le spectre de $A$ ainsi qu'une base orthonormée de $R^{3}$ formée de vecteurs propres de $A$ . Contrôler les résultats.

Partie C. Une conséquence : l'orthogonalité des sous-espaces propres

9. Soient $λ$ et $μ$ deux valeurs propres distinctes de $f$ . Montrer que $E_{λ}$ est stable par $f$ , puis, en utilisant la partie A et la décomposition $E = E_{λ} \oplus E_{λ}^{⊥}$ , montrer que $E_{μ} \subset E_{λ}^{⊥}$ . Conclure.

Partie D. La symétrie est indispensable

10. Soit $g$ l'endomorphisme de $R^{2}$ de matrice $(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array})$ dans la base canonique. Vérifier que $g$ n'est pas symétrique, exhiber un sous-espace $F$ stable par $g$ dont l'orthogonal n'est pas stable, et dire précisément où la démonstration de la question 1. échoue.

Exercice 26 ★★★★ — Une matrice symétrique qui vérifie A au carré égale A

Caractérisation d'un projecteur orthogonal : p rond p = p et p symétriqueThéorème spectral : diagonalisation en base orthonormée et écriture A = P D transposée de P

On munit $R^{n}$ de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , les vecteurs étant identifiés aux matrices colonnes, et on note $B_{0} = (e_{1}, \dots, e_{n})$ sa base canonique, qui est orthonormée.

Cet exercice établit le résultat le plus utile du chapitre : une matrice symétrique idempotente n'est rien d'autre qu'un projecteur orthogonal, et réciproquement. C'est ce théorème qui permet, en pratique, de reconnaître un projecteur orthogonal d'un simple coup d'œil sur sa matrice.

Dans les parties A et B, $A$ désigne une matrice de $S_{n} (R)$ vérifiant $A^{2} = A$ , et $u$ l'endomorphisme de $R^{n}$ canoniquement associé à $A$ , c'est-à-dire défini par $u (X) = A X$ .

Partie A. Le spectre et la diagonalisation

1. Soit $λ$ une valeur propre de $A$ et $X$ un vecteur propre associé. En calculant $A^{2} X$ de deux façons, montrer que $λ^{2} = λ$ , puis en déduire que $Sp (A) \subset {0, 1}$ .

2. Justifier qu'il existe une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = P D P^{⊤}$ , et préciser la forme exacte de $D$ .

3. En déduire que $tr (A) = rg (A)$ .

Partie B. L'interprétation géométrique

4. Montrer que $Im u = \ker (u - id)$ , puis que $R^{n} = Im u \oplus \ker u$ et que $u$ est le projecteur sur $Im u$ parallèlement à $\ker u$ .

5. Soient $X \in Im u$ et $Y \in \ker u$ . En utilisant la symétrie de $A$ , montrer que $⟨ X, Y ⟩ = 0$ . En déduire que $\ker u = (Im u)^{⊥}$ , puis que $u$ est le projecteur orthogonal sur $F = Im A$ .

6. Montrer que $I_{n} - A$ vérifie les mêmes hypothèses que $A$ , et identifier le projecteur orthogonal dont elle est la matrice.

7. Établir la réciproque : si $p_{F}$ est le projecteur orthogonal sur un sous-espace $F$ de $R^{n}$ et si $P_{F}$ est sa matrice dans la base canonique, alors $P_{F}$ est symétrique et vérifie $P_{F}^{2} = P_{F}$ .

8. Énoncer, en une phrase, la caractérisation obtenue.

Partie C. Applications

9. Pour chacune des trois matrices suivantes, dire si elle est la matrice d'un projecteur orthogonal de $R^{2}$ ou de $R^{3}$ , et le cas échéant préciser le sous-espace sur lequel il projette.

M_{1} = \frac{1}{5} (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array}), M_{2} = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}), M_{3} = \frac{1}{3} (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array})

10. Soient $A$ et $B$ deux matrices de projecteurs orthogonaux de $R^{n}$ , sur les sous-espaces $F$ et $G$ respectivement, et on suppose que $A B = B A$ .

a. Montrer que $A B$ est encore la matrice d'un projecteur orthogonal.

b. Montrer que $Im (A B) = F \cap G$ , et conclure.

c. Illustrer le résultat dans $R^{3}$ avec $A = diag (1, 1, 0)$ et $B = diag (0, 1, 1)$ .

Exercice 27 ★★★★ — Meilleure approximation affine d'une fonction

Distance d'un vecteur à un sous-espace et caractérisation du projeté par minimisationProjection orthogonale sur un sous-espace : expression en base orthonormée et matriceProblème des moindres carrés : système surdéterminé, équations normales, ajustement

On note $E = C ([0, 1], R)$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0, 1]$ dans $R$ , que l'on munit du produit scalaire

⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t .

On cherche à approcher la fonction exponentielle par une fonction affine « au mieux en moyenne quadratique », c'est-à-dire à déterminer le couple $(a, b) \in R^{2}$ qui rend la quantité

Φ (a, b) = \int_{0}^{1} {(e^{t} - a - b t)}^{2} d t

la plus petite possible. On note $f : t \mapsto e^{t}$ , $u_{0} : t \mapsto 1$ et $u_{1} : t \mapsto t$ .

Partie A. Traduction géométrique du problème

1. Montrer que la famille $(u_{0}, u_{1})$ est libre, et en déduire que $F = Vect (u_{0}, u_{1})$ est un sous-espace de $E$ de dimension $2$ .

2. Exprimer $Φ (a, b)$ à l'aide de la norme associée au produit scalaire, et reformuler le problème posé comme un problème de distance de $f$ au sous-espace $F$ .

3. L'espace $E$ est de dimension infinie. Expliquer pourquoi le minimum cherché existe malgré tout, et pourquoi il est atteint en un unique couple $(a, b)$ . On énoncera précisément le théorème utilisé, et on en rappellera la démonstration.

Partie B. Les équations normales

4. Montrer que le couple $(a, b)$ cherché est caractérisé par le système de deux équations

⟨ f - a u_{0} - b u_{1}, u_{0} ⟩ = 0 et ⟨ f - a u_{0} - b u_{1}, u_{1} ⟩ = 0.

5. Calculer $⟨ u_{0}, u_{0} ⟩$ , $⟨ u_{0}, u_{1} ⟩$ et $⟨ u_{1}, u_{1} ⟩$ .

6. Calculer $\int_{0}^{1} e^{t} d t$ , puis $\int_{0}^{1} t e^{t} d t$ par une intégration par parties soigneusement justifiée.

7. Écrire le système $2 \times 2$ vérifié par $a$ et $b$ , le résoudre, et donner des valeurs décimales approchées à $10^{- 4}$ près des deux coefficients.

Partie C. Qualité de l'approximation

8. Calculer $\int_{0}^{1} e^{2 t} d t$ , puis la valeur exacte de $d (f, F)^{2}$ , et enfin une valeur approchée de $d (f, F)$ .

9. Compléter un tableau de valeurs comparant $e^{t}$ et $a + b t$ pour $t \in {0; 0,25; 0,5; 0,75; 1}$ . Commenter la répartition des écarts.

Partie D. Application

10. Reprendre l'étude, calculs complets, pour la fonction $g : t \mapsto t^{3}$ à la place de l'exponentielle : meilleure approximation affine sur $[0, 1]$ et distance associée. Commenter le signe de la valeur prise en $t = 0$ par cette approximation.

Exercice 28 ★★★★ — Matrice de projection et équations normales

Projection orthogonale sur un sous-espace : expression en base orthonormée et matriceProblème des moindres carrés : système surdéterminé, équations normales, ajustement

L'espace $R^{n}$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , les vecteurs étant identifiés aux matrices colonnes.

Soient $n$ et $p$ deux entiers avec $1 ⩽ p ⩽ n$ , et $A \in M_{n, p} (R)$ une matrice dont les $p$ colonnes $C_{1}, \dots, C_{p}$ forment une famille libre de $R^{n}$ . On note $F = Im A = Vect (C_{1}, \dots, C_{p})$ .

Le but de l'exercice est d'établir, puis d'exploiter, la formule qui donne la matrice du projecteur orthogonal sur $F$ à partir de $A$ seule :

P_{F} = A {(A^{⊤} A)}^{- 1} A^{⊤} .

Partie A. La formule générale

1. Montrer que pour tout $X \in R^{p}$ , ${∥ A X ∥}^{2} = X^{⊤} A^{⊤} A X$ . En déduire que $\ker (A^{⊤} A) = \ker A$ , puis que la matrice $A^{⊤} A \in M_{p} (R)$ est inversible.

2. On pose $P = A {(A^{⊤} A)}^{- 1} A^{⊤}$ . Vérifier que $P \in M_{n} (R)$ , puis montrer que $P^{⊤} = P$ .

3. Montrer que $P^{2} = P$ .

4. Montrer que $Im P = F$ . (On montrera les deux inclusions, la seconde en calculant $P (A X)$ .)

5. Conclure que $P$ est la matrice du projecteur orthogonal sur $F$ . Donner ensuite une seconde démonstration, directe, en vérifiant que $X - P X$ est orthogonal à $F$ pour tout $X \in R^{n}$ .

6. Montrer que $tr (P_{F}) = p$ , et interpréter.

Partie B. Application numérique

Dans cette partie $n = 3$ , $p = 2$ , et

A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}), b = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) .

7. Vérifier que les colonnes de $A$ sont libres, calculer $A^{⊤} A$ , puis son inverse par la méthode du pivot de Gauss.

8. Calculer $P_{F}$ , et vérifier sur le résultat les trois propriétés démontrées en partie A (symétrie, idempotence, trace).

9. Calculer le projeté orthogonal $p_{F} (b)$ , puis la distance $d (b, F)$ .

10. Déterminer une équation cartésienne du plan $F$ , et retrouver la distance $d (b, F)$ par la formule de la distance à un plan.

Partie C. Le cas d'une base orthonormée

11. On suppose maintenant que les colonnes de $A$ forment une famille orthonormée. Que vaut $A^{⊤} A$ ? Que devient la formule ? Retrouver, à partir de cette écriture, l'expression $p_{F} (X) = \sum_{k = 1}^{p} ⟨ X, C_{k} ⟩ C_{k}$ vue en cours.

Exercice 29 ★★★★ — Un endomorphisme construit sur deux vecteurs

Endomorphisme symétrique d'un espace euclidien : définition et premières propriétésPratique de la diagonalisation orthogonale : éléments propres et construction de P orthogonale

Soit $n ⩾ 3$ . On munit $R^{n}$ de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , les vecteurs étant identifiés aux matrices colonnes. On se donne deux vecteurs $a$ et $b$ de $R^{n}$ non colinéaires, et l'on définit l'application

f : R^{n} ⟶ R^{n}, f (x) = ⟨ a, x ⟩ b + ⟨ b, x ⟩ a .

On note $F = Vect (a, b)$ , qui est un plan de $R^{n}$ .

Partie A. Structure de $f$

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $R^{n}$ , puis qu'il est symétrique. On donnera deux démonstrations de la symétrie : l'une par la définition, l'autre en écrivant la matrice de $f$ dans la base canonique sous la forme $A = a b^{⊤} + b a^{⊤}$ .

2. Déterminer $\ker f$ et préciser sa dimension.

3. En déduire $Im f$ .

4. Donner une valeur propre évidente de $f$ ainsi que le sous-espace propre associé, et sa dimension.

5. Montrer que $F$ est stable par $f$ , puis écrire la matrice de l'endomorphisme induit par $f$ sur $F$ dans la base $(a, b)$ . Cette matrice est-elle symétrique ? Commenter.

6. En déduire la valeur de $tr (f)$ .

Partie B. Le cas de deux vecteurs unitaires

Dans cette partie, on suppose de plus que $∥ a ∥ = ∥ b ∥ = 1$ , et l'on pose $c = ⟨ a, b ⟩$ .

7. Montrer que $- 1 < c < 1$ .

8. Calculer $f (a + b)$ et $f (a - b)$ . En déduire deux vecteurs propres de $f$ et les valeurs propres associées.

9. Vérifier que ces deux vecteurs sont orthogonaux et calculer leurs normes.

10. Conclure : donner une base orthonormée de $R^{n}$ formée de vecteurs propres de $f$ , et le spectre complet de $f$ avec les dimensions des sous-espaces propres.

Partie C. Application numérique

On prend $n = 3$ , $a = (1, 0, 0)$ et $b = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0)$ .

11. Vérifier que $a$ et $b$ sont unitaires et non colinéaires, et calculer $c$ .

12. Déterminer la matrice $A$ de $f$ dans la base canonique.

13. Déterminer les valeurs propres de $f$ et une base orthonormée de vecteurs propres, puis écrire explicitement une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = P D P^{⊤}$ .

14. Vérifier le résultat en contrôlant la trace et en calculant $A P$ .

Exercice 30 ★★★★ — Somme et comparaison de matrices positives

Matrices symétriques positives et définies positives : signe des valeurs propres

On rappelle les définitions. Une matrice $A \in S_{n} (R)$ est dite positive lorsque

\forall X \in M_{n, 1} (R), X^{⊤} A X ⩾ 0,

et définie positive lorsque de plus $X^{⊤} A X > 0$ pour tout $X \neq 0$ . On note $S_{n}^{+} (R)$ et $S_{n}^{+ +} (R)$ les ensembles correspondants. On rappelle également que la symétrie fait partie de la définition : parler de la positivité d'une matrice non symétrique n'a pas de sens.

Partie A. Opérations sur les matrices positives

1. Soient $A, B \in S_{n}^{+} (R)$ et $μ \in R_{+}$ . Montrer que $A + B \in S_{n}^{+} (R)$ et que $μ A \in S_{n}^{+} (R)$ .

2. Soient $A \in S_{n}^{+} (R)$ et $B \in S_{n}^{+ +} (R)$ . Montrer que $A + B \in S_{n}^{+ +} (R)$ .

3. On pose

A = (\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) et B = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}) .

a. Vérifier que $A$ et $B$ appartiennent à $S_{2}^{+} (R)$ .

b. Calculer $A B$ et $B A$ . Que peut-on en conclure quant à la stabilité de $S_{n}^{+} (R)$ par produit ?

c. Montrer de plus que la quantité $X^{⊤} (A B) X$ prend des valeurs strictement négatives.

Partie B. Congruence

4. Soient $A \in S_{n}^{+} (R)$ et $M \in M_{n} (R)$ quelconque. Montrer que $M^{⊤} A M \in S_{n}^{+} (R)$ .

5. Montrer que si de plus $A \in S_{n}^{+ +} (R)$ et $M$ est inversible, alors $M^{⊤} A M \in S_{n}^{+ +} (R)$ . Montrer sur un exemple que l'hypothèse d'inversibilité ne peut pas être supprimée.

6. En déduire que pour toute matrice $M \in M_{n} (R)$ , la matrice $M^{⊤} M$ est positive, et qu'elle est définie positive si et seulement si $M$ est inversible.

Partie C. Diagnostics et inégalités

7. Déterminer le spectre de chacune des quatre matrices suivantes, en cherchant à chaque fois les $λ$ pour lesquels le système $(M - λ I) X = 0$ admet une solution non nulle, ou en exploitant un polynôme annulateur. Dire ensuite si la matrice est positive, définie positive, ou ni l'un ni l'autre ; dans les cas non positifs ou non définis, exhiber un vecteur $X$ qui le prouve.

M_{1} = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}), M_{2} = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}), M_{3} = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}), M_{4} = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array})

8. Soit $A \in S_{n}^{+} (R)$ telle que $tr (A) = 0$ . Montrer que $A = 0$ .

9. Soit $A = (a_{i j}) \in S_{n}^{+} (R)$ .

a. Montrer que $a_{i i} ⩾ 0$ pour tout $i$ .

b. Soient $i \neq j$ . En appliquant la définition au vecteur $X = t e_{i} + e_{j}$ , où $t$ décrit $R$ , montrer que

a_{i i} a_{j j} ⩾ a_{i j}^{2} .

c. En déduire que si un coefficient diagonal de $A$ est nul, alors toute la ligne et toute la colonne correspondantes sont nulles. Retrouver ainsi le résultat de la question 8.

Exercice 31 ★★★★ — Un système surdéterminé au sens des moindres carrés

Problème des moindres carrés : système surdéterminé, équations normales, ajustementProjection orthogonale sur un sous-espace : expression en base orthonormée et matriceDistance d'un vecteur à un sous-espace et caractérisation du projeté par minimisation

L'espace $R^{5}$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , les vecteurs étant identifiés aux matrices colonnes.

Une expérience fournit cinq mesures $b_{i}$ effectuées aux instants $t_{i}$ :

$t_{i}$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$b_{i}$	$3$	$1$	$0$	$1$	$5$

On cherche des réels $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ tels que la parabole d'équation $y = x_{1} + x_{2} t + x_{3} t^{2}$ passe par les cinq points, c'est-à-dire vérifiant le système

(S) {\begin{aligned} x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} & = 3 \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} & = 1 \\ x_{1} & = 0 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} & = 1 \\ x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} & = 5 \end{aligned}

de matrice et de second membre

A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 4 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}) \in M_{5, 3} (R), b = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 5 \end{array}) \in R^{5} .

Partie A. Un système sans solution

1. Résoudre $(S)$ par la méthode du pivot de Gauss et montrer qu'il n'admet aucune solution.

2. Lire sur le pivot le rang de $A$ , et en déduire que les colonnes de $A$ sont libres. Quelle est la dimension de $Im A$ dans $R^{5}$ ?

3. Expliquer pourquoi, géométriquement, il était prévisible que le système n'ait « en général » pas de solution.

4. On appelle solution de $(S)$ au sens des moindres carrés tout vecteur $X \in R^{3}$ qui minimise $∥ A X - b ∥^{2}$ . Justifier qu'un tel vecteur existe, qu'il est unique, et traduire le problème en termes de projection orthogonale.

Partie B. Résolution par les équations normales

5. Montrer que $X$ est solution au sens des moindres carrés si et seulement si $A^{⊤} A X = A^{⊤} b$ .

6. Calculer $A^{⊤} A$ et $A^{⊤} b$ .

7. Résoudre le système des équations normales et donner la solution $X^{⋆}$ .

8. Calculer $A X^{⋆}$ , le résidu $r = b - A X^{⋆}$ , puis la valeur minimale de $∥ A X - b ∥^{2}$ .

9. Retrouver cette valeur minimale par le calcul de $∥ b ∥^{2} - ∥ A X^{⋆} ∥^{2}$ , et justifier cette formule.

Partie C. Interprétation géométrique

10. Vérifier explicitement que le résidu $r$ est orthogonal à chacune des trois colonnes de $A$ , et expliquer pourquoi ce contrôle est équivalent aux équations normales.

11. En déduire la distance $d (b, Im A)$ , et énoncer en une phrase ce que le vecteur $A X^{⋆}$ représente.

Partie D. Le cas dégénéré

On reprend les mêmes données, mais avec la matrice

A^{'} = (\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}),

dont la troisième colonne est la somme des deux premières.

12. Déterminer $Im A^{'}$ et sa dimension. Que dire de $A^{' ⊤} A^{'}$ ?

13. Écrire et résoudre les équations normales $A^{' ⊤} A^{'} X = A^{' ⊤} b$ . Combien y a-t-il de solutions ?

14. Calculer $A^{'} X$ pour une solution quelconque, et constater que le résultat ne dépend pas de la solution choisie. Expliquer ce phénomène.

15. Calculer le résidu et la distance $d (b, Im A^{'})$ , et comparer avec la partie B. Interpréter l'écart.

Exercice 32 ★★★★ — Autour de la preuve du théorème spectral

Théorème spectral : diagonalisation en base orthonormée et écriture A = P D transposée de POrthogonalité deux à deux des sous-espaces propres d'un endomorphisme symétriqueEndomorphisme symétrique d'un espace euclidien : définition et premières propriétés

Le théorème spectral est admis par le programme : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée. Cet exercice a pour but de démonter la machine qui l'entoure, et de séparer clairement ce qui se démontre à la main de ce qui est réellement admis.

Dans tout l'exercice, $E$ désigne un espace euclidien de dimension $n ⩾ 1$ , et $R^{n}$ est muni de son produit scalaire canonique $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ , les vecteurs étant identifiés aux matrices colonnes.

Partie A. Les sous-espaces propres sont orthogonaux

1. Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $E$ , et soient $λ$ et $μ$ deux valeurs propres distinctes de $f$ . Montrer que $E_{λ} (f) ⊥ E_{μ} (f)$ .

2. Rédiger la même démonstration en langage matriciel, pour $A \in S_{n} (R)$ , en calculant $X^{⊤} A Y$ de deux façons.

3. En déduire que si $A \in S_{n} (R)$ admet $n$ valeurs propres deux à deux distinctes, alors elle est diagonalisable en base orthonormée, sans invoquer le théorème spectral.

Partie B. Le cas $2 \times 2$ , intégralement démontré

Soit

A = (\begin{array}{cc} α & β \\ β & γ \end{array}) \in S_{2} (R) .

L'objectif est de démontrer complètement, sans admettre quoi que ce soit, que $A$ est diagonalisable en base orthonormée.

4. Traiter d'abord le cas $β = 0$ .

On suppose désormais $β \neq 0$ .

5. Écrire le système $(A - λ I_{2}) X = 0$ et le résoudre par le pivot de Gauss, en discutant selon $λ$ . Montrer que ce système admet une solution non nulle si et seulement si

λ^{2} - (α + γ) λ + (α γ - β^{2}) = 0.

6. Calculer le discriminant $Δ$ de ce trinôme du second degré et montrer que $Δ = (α - γ)^{2} + 4 β^{2}$ . En déduire que $A$ possède deux valeurs propres réelles $λ_{1}$ et $λ_{2}$ , distinctes.

7. Étudier le cas $Δ = 0$ (que l'on n'a pas rencontré ici) : montrer qu'il impose $β = 0$ et $α = γ$ , c'est-à-dire $A = α I_{2}$ .

8. Vérifier que $X_{1} = (\begin{array}{c} β \\ λ_{1} - α \end{array})$ et $X_{2} = (\begin{array}{c} β \\ λ_{2} - α \end{array})$ sont des vecteurs propres de $A$ , puis, en utilisant les relations entre coefficients et racines, montrer directement que $⟨ X_{1}, X_{2} ⟩ = 0$ .

9. Conclure : toute matrice de $S_{2} (R)$ est diagonalisable en base orthonormée. Appliquer la méthode complète à $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & - 2 \end{array})$ et donner explicitement $P$ orthogonale et $D$ diagonale telles que $A = P D P^{⊤}$ .

Partie C. Le passage en dimension $n$

On admet le résultat suivant, qui est le seul point réellement admis de la démonstration : tout endomorphisme symétrique d'un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à $1$ possède au moins une valeur propre réelle.

10. Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $E$ , $λ_{1}$ une valeur propre de $f$ et $u_{1}$ un vecteur propre unitaire associé. On pose $H = (Vect (u_{1}))^{⊥}$ . Montrer que $\dim H = n - 1$ et que $H$ est stable par $f$ .

11. Montrer que l'endomorphisme induit par $f$ sur $H$ est symétrique pour le produit scalaire induit.

12. Rédiger la récurrence qui en découle et conclure.

13. Expliquer honnêtement pourquoi le point admis en tête de partie n'a pas été démontré ici, et ce que la partie B apporte malgré tout.

Partie D. Ce que la symétrie apporte : deux contre-exemples

14. Soit $N = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})$ . Déterminer $Sp (N)$ et les sous-espaces propres en résolvant $(N - λ I_{2}) X = 0$ , puis montrer que $N$ n'est pas diagonalisable.

15. Soit $M = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{array})$ . Montrer que $M$ est diagonalisable, mais qu'il n'existe aucune base orthonormée de $R^{2}$ formée de vecteurs propres de $M$ . On donnera deux arguments : un argument général, et une vérification explicite sur les sous-espaces propres.

16. Résumer en deux phrases ce que chacun de ces deux exemples démontre.

Exercice 33 ★★★★ — Un ordre sur les matrices symétriques

Matrices symétriques positives et définies positives : signe des valeurs propresApplications : puissances, racine carrée, transposée de A fois A, encadrement du produit scalaire Ax scalaire x

Sur l'ensemble $S_{n} (R)$ des matrices symétriques réelles d'ordre $n$ , on définit la relation $≼$ par

A ≼ B lorsque B - A \in S_{n}^{+} (R),

c'est-à-dire lorsque $X^{⊤} (B - A) X ⩾ 0$ pour tout $X \in M_{n, 1} (R)$ . On remarquera d'emblée que $B - A$ est automatiquement symétrique quand $A$ et $B$ le sont, de sorte que la définition a bien un sens.

Pour $A \in S_{n} (R)$ , on note $λ_{\min} (A)$ et $λ_{\max} (A)$ la plus petite et la plus grande de ses valeurs propres, qui existent puisque $A$ en possède exactement $n$ comptées avec multiplicité, toutes réelles, d'après le théorème spectral.

Partie A. C'est bien une relation d'ordre

1. Montrer que $≼$ est réflexive.

2. Montrer que $≼$ est transitive.

3. Soit $S \in S_{n} (R)$ telle que $X^{⊤} S X = 0$ pour tout $X$ . En prenant successivement $X = e_{i}$ puis $X = e_{i} + e_{j}$ , montrer que $S = 0$ .

4. En déduire que $≼$ est antisymétrique, et conclure.

Partie B. Premières conséquences

5. Montrer que $A ≼ B$ entraîne $a_{i i} ⩽ b_{i i}$ pour tout $i$ , puis $tr (A) ⩽ tr (B)$ .

6. L'encadrement fondamental. Soit $A \in S_{n} (R)$ . Montrer que

\forall X \in M_{n, 1} (R), λ_{\min} (A) ∥ X ∥^{2} ⩽ X^{⊤} A X ⩽ λ_{\max} (A) ∥ X ∥^{2},

et que les deux inégalités sont des égalités pour des vecteurs bien choisis.

7. En déduire que $A ≼ B$ entraîne $λ_{\min} (A) ⩽ λ_{\min} (B)$ et $λ_{\max} (A) ⩽ λ_{\max} (B)$ .

Partie C. Deux pièges

8. On pose

A = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) et B = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}) .

a. Vérifier que $A$ et $B$ sont positives et que $A ≼ B$ .

b. Calculer $A^{2}$ et $B^{2}$ , puis montrer que $A^{2} ≼ B^{2}$ est fausse.

c. Où le raisonnement « on élève au carré » échoue-t-il ? On pourra utiliser l'identité $B^{2} - A^{2} = B (B - A) + (B - A) A$ .

9. Montrer que $≼$ n'est pas un ordre total : exhiber deux matrices de $S_{2} (R)$ non comparables.

Partie D. Encadrement par des multiples de l'identité

10. Montrer que pour toute $A \in S_{n} (R)$ ,

λ_{\min} (A) I_{n} ≼ A ≼ λ_{\max} (A) I_{n},

et que ces deux bornes sont les meilleures possibles au sens suivant : si $μ I_{n} ≼ A$ , alors $μ ⩽ λ_{\min} (A)$ .

11. Appliquer à $A = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array})$ : déterminer son spectre, écrire l'encadrement obtenu, et le vérifier sur les vecteurs $(1, 1, 1)^{⊤}$ , $(1, - 1, 0)^{⊤}$ et $(1, 2, 3)^{⊤}$ .

Exercice 34 ★★★★ — Approximation polynomiale au sens des moindres carrés

Projection orthogonale sur un sous-espace : expression en base orthonormée et matriceDistance d'un vecteur à un sous-espace et caractérisation du projeté par minimisationProblème des moindres carrés : système surdéterminé, équations normales, ajustement

On note $E = C ([- 1, 1], R)$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[- 1, 1]$ dans $R$ , muni du produit scalaire

⟨ f, g ⟩ = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t .

On identifie un polynôme à la fonction polynomiale qu'il définit sur $[- 1, 1]$ , de sorte que $R_{1} [X]$ et $R_{2} [X]$ sont des sous-espaces de $E$ , de dimensions respectives $2$ et $3$ .

Ce problème de synthèse traite d'un bout à l'autre la question suivante : quel est le meilleur polynôme de degré au plus $2$ approchant une fonction donnée, au sens de la moyenne quadratique ?

Partie A. Une base orthonormée de $R_{2} [X]$

1. Calculer $\int_{- 1}^{1} t^{k} d t$ pour $k \in {0, 1, 2, 3, 4}$ . Quelle remarque générale sur la parité permet d'aller plus vite ?

2. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la famille $(1, X, X^{2})$ pour construire une base orthogonale $(q_{0}, q_{1}, q_{2})$ de $R_{2} [X]$ . Vérifier que $q_{2} = X^{2} - \frac{1}{3}$ .

3. Calculer $∥ q_{0} ∥$ , $∥ q_{1} ∥$ et $∥ q_{2} ∥$ , et en déduire la base orthonormée $B = (e_{0}, e_{1}, e_{2})$ de $R_{2} [X]$ .

4. Remarque culturelle. Les polynômes $1$ , $X$ et $X^{2} - \frac{1}{3}$ sont, à une constante multiplicative près, les trois premiers polynômes de Legendre. Justifier en une phrase pourquoi tout autre procédé d'orthogonalisation de $(1, X, X^{2})$ aurait donné les mêmes droites.

Partie B. Deux projections

5. Soit $f : t \mapsto t^{3}$ . Calculer $⟨ f, e_{0} ⟩$ , $⟨ f, e_{1} ⟩$ et $⟨ f, e_{2} ⟩$ en exploitant systématiquement la parité, puis en déduire le projeté orthogonal de $f$ sur $R_{2} [X]$ .

6. Calculer $d (f, R_{2} [X])$ pour cette fonction.

7. Soit maintenant $g : t \mapsto ∣ t ∣$ . Calculer $⟨ g, e_{0} ⟩$ , $⟨ g, e_{1} ⟩$ et $⟨ g, e_{2} ⟩$ , puis montrer que

p_{R_{2} [X]} (g) : t ⟼ \frac{15 t^{2} + 3}{16} .

8. Calculer $d (g, R_{2} [X])$ .

Partie C. Plus le sous-espace est grand, meilleure est l'approximation

9. Déterminer le projeté orthogonal de $g : t \mapsto ∣ t ∣$ sur $R_{1} [X]$ , puis $d (g, R_{1} [X])$ .

10. Comparer les deux distances obtenues et commenter.

11. Démontrer le résultat général : si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces de dimension finie d'un espace préhilbertien $E$ avec $F \subset G$ , alors $d (x, G) ⩽ d (x, F)$ pour tout $x \in E$ .

12. Dresser un tableau de valeurs comparant $∣ t ∣$ , son approximation affine et son approximation par un polynôme de degré $2$ , pour $t \in {0; 0,25; 0,5; 0,75; 1}$ .

Partie D. Recul

13. Expliquer en quoi ce problème est le même que celui de la droite des moindres carrés ajustée à un nuage de points, et ce que la théorie de la projection orthogonale permet de traiter d'un seul geste.

Les exercices(PDF, 219 Ko)Les corrigés(PDF, 881 Ko)

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