Devoir surveillé — Compléments d'algèbre bilinéaire

Consignes générales, valables pour l'ensemble du devoir et non pour le seul exercice 1. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La rédaction, la citation des théorèmes utilisés et la vérification des résultats interviennent dans la notation. Calculatrice interdite : tous les calculs numériques ont été conçus pour être menés à la main. L'espace ${\mathbb{R}}^n$ est muni de son produit scalaire canonique, noté $⟨\cdot ,\cdot ⟩$, et de la norme associée $\parallel \cdot \parallel$.

On pose

$$w_1=(2,2,1),w_2=(1,-2,2),w_3=(2,-1,-2),$$

puis $u_i={\displaystyle \frac{1}{3}}{w}_i$ pour $i\in \{1,2,3\}$.

On cherche à construire une matrice $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ dont on impose non pas les coefficients, mais le comportement géométrique : ses axes propres doivent être les trois droites $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u_1)$, $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u_2)$, $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u_3)$, avec les facteurs de dilatation respectifs $3$, $6$ et $9$.

1. (0,5 pt) Montrer que $\mathcal{B}=(u_1,u_2,u_3)$ est une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^3$. On note $P$ la matrice dont les colonnes sont les coordonnées de $u_1$, $u_2$, $u_3$ dans la base canonique : que peut-on dire de $P$ ?

2. (1 pt) On note $D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(3,6,9)$ et l'on pose $A=PD{P}^{\mathrm{\top }}$. Justifier sans calcul que $A$ est symétrique, puis établir l'identité

   $$A=3u_1{u}_1^{\mathrm{\top }}+6u_2{u}_2^{\mathrm{\top }}+9u_3{u}_3^{\mathrm{\top }}$$

   (les $u_i$ étant vus comme des vecteurs colonnes) et en déduire les coefficients de $A$. Vérifier le résultat sur la trace, puis en calculant $A{w}_1$.

3. (0,5 pt) Sans aucun calcul supplémentaire, dire si $A$ est inversible, si $A$ est positive, si $A$ est définie positive. Justifier chaque réponse par un théorème du cours.

4. (0,5 pt) Soit $X=(1,1,1)$. Calculer $⟨AX,X⟩$ directement, puis retrouver le résultat en décomposant $X$ dans la base $\mathcal{B}$.

5. (0,5 pt) On pose $B=A-3I_3$. Donner les coefficients de $B$, son spectre, ses sous-espaces propres, son rang et son noyau. La matrice $B$ est-elle positive ? définie positive ?

Une ligne de production comporte quatre postes, réglés aux cadences $y_1,y_2,y_3,y_4$ (en pièces par minute). Le cahier des charges impose deux contraintes exactes :

$$({\mathcal{C}}_1):y_1+2y_2+2y_3+y_4=120,({\mathcal{C}}_2):2y_1-y_2+y_3-2y_4=0.$$

On note $n_1=(1,2,2,1)$ et $n_2=(2,-1,1,-2)$, de sorte que ${\mathcal{C}}_1$ s'écrit $⟨n_1,y⟩=120$ et ${\mathcal{C}}_2$ s'écrit $⟨n_2,y⟩=0$. On pose

$$V=\{y\in {\mathbb{R}}^4:⟨n_1,y⟩=120\text{ et }⟨n_2,y⟩=0\},G=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(n_1,n_2)\mathrm{.}$$

La ligne est actuellement réglée sur $x=(20,20,20,10)$, qui ne respecte pas le cahier des charges. Le technicien doit la ramener dans $V$ en modifiant les réglages le moins possible, c'est-à-dire en choisissant $y\in V$ qui minimise $\parallel y-x\parallel$.

1. (0,75 pt) Vérifier que $x\mathrm{\notin }V$, et que $y_0=12n_1$ appartient à $V$. Montrer que $V=y_0+G^{\perp }$, puis donner $\dim G$ et $\dim G^{\perp }$.

2. (1 pt) Soit $y\in V$ quelconque et $v=x-y_0$. Montrer que $\parallel y-x\parallel =\parallel (y-y_0)-v\parallel$ avec $y-y_0\in G^{\perp }$, puis en déduire qu'il existe un unique $y^{\star }\in V$ réalisant le minimum et qu'il vérifie

   $$y^{\star }=x-p_G(v),$$

   où $p_G$ désigne la projection orthogonale sur $G$. Interpréter : dans quelle direction la correction se fait-elle ?

3. (0,75 pt) Calculer $p_G(v)$, puis $y^{\star }$. Vérifier que $y^{\star }\in V$.

4. (0,75 pt) Donner la distance de $x$ à $V$ sous forme exacte. Vérifier l'optimalité sur deux réglages conformes concrets : $z_1=y_0$ et $z_2=(20,20,20,20)$. Pour $z_2$, retrouver $\parallel x-z_2{\parallel }^2$ par le théorème de Pythagore.

5. (0,75 pt) Établir, dans le cas général de deux contraintes $⟨n_1,y⟩=c_1$ et $⟨n_2,y⟩=c_2$ avec $n_1$ et $n_2$ orthogonaux et non nuls, la formule

   $$y^{\star }=x+\frac{c_1-⟨n_1,x⟩}{\parallel n_1{\parallel }^2}{n}_1+\frac{c_2-⟨n_2,x⟩}{\parallel n_2{\parallel }^2}{n}_2,$$

   et la vérifier sur les données de l'énoncé. Que faudrait-il faire si $n_1$ et $n_2$ n'étaient pas orthogonaux ?

On note $E={\mathcal{S}}_2(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques réelles de taille $2$, et l'on pose pour $M,N\in E$

$$⟨M,N⟩=\mathrm{t}\mathrm{r}(MN)\mathrm{.}$$

On introduit

$$F_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),F_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right),F_3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$$

ainsi que l'application $\mathrm{\Phi }$ définie sur $E$ par

$$\mathrm{\Phi }(M)=M+\mathrm{t}\mathrm{r}(M)I_2\mathrm{.}$$

1. (1 pt) Montrer que pour $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$ et $N=\left(\begin{array}{cc}{a}^{\mathrm{\prime }}& b^{\mathrm{\prime }}\\ b^{\mathrm{\prime }}& c^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)$ de $E$, on a $⟨M,N⟩=a{a}^{\mathrm{\prime }}+2b{b}^{\mathrm{\prime }}+c{c}^{\mathrm{\prime }}$, et en déduire que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $E$. Montrer que $\mathcal{B}=(F_1,F_2,\frac{1}{\sqrt{2}}{F}_3)$ est une base orthonormée de $E$ et donner $\dim E$.

2. (0,75 pt) Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est un endomorphisme de $E$, écrire sa matrice $N_{\mathrm{\Phi }}$ dans la base $\mathcal{B}$, et en déduire que $\mathrm{\Phi }$ est un endomorphisme symétrique. On précisera l'hypothèse sans laquelle cette conclusion serait fausse.

3. (0,75 pt) Déterminer le spectre de $\mathrm{\Phi }$ et ses sous-espaces propres, décrits intrinsèquement (c'est-à-dire par une propriété des matrices, pas seulement par des coordonnées). Vérifier leur orthogonalité et contrôler le résultat sur la trace.

4. (0,5 pt) En déduire une décomposition orthogonale de $E$ en somme directe de deux sous-espaces, puis montrer que la projection orthogonale sur $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(I_2)$ est donnée par $p(M)=\frac{\mathrm{t}\mathrm{r}(M)}{2}{I}_2$. Application : pour $M_0=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 4& -1\end{array}\right)$, calculer $p(M_0)$ et la distance de $M_0$ à $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(I_2)$, puis contrôler par Pythagore.

5. (0,5 pt) Justifier que $\mathrm{\Phi }$ est bijective, expliciter ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$, et donner pour tout $k\in \mathbb{N}$ une expression de ${\mathrm{\Phi }}^k(M)$ ne faisant intervenir que $M$, $\mathrm{t}\mathrm{r}(M)$ et $I_2$.

Dans tout l'exercice, $E$ désigne un espace euclidien et l'on appelle projecteur tout endomorphisme $p$ de $E$ vérifiant $p\circ p=p$ (sans hypothèse d'orthogonalité).

Un projecteur $p$ est dit orthogonal lorsqu'il projette sur $\mathrm{I}\mathrm{m}p$ parallèlement à $(\mathrm{I}\mathrm{m}p{)}^{\perp }$, autrement dit lorsque $\ker p=(\mathrm{I}\mathrm{m}p{)}^{\perp }$.

L'objet de l'exercice est de démontrer qu'un projecteur est orthogonal si et seulement s'il ne fait jamais grandir la norme.

Partie A — un projecteur qui agrandit.

On travaille dans ${\mathbb{R}}^3$ muni du produit scalaire canonique, et l'on pose

$$q(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_3,x_2,0)\mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Écrire la matrice $Q$ de $q$ dans la base canonique. Montrer que $q$ est un projecteur, déterminer $\mathrm{I}\mathrm{m}q$ et $\ker q$, et vérifier que ${\mathbb{R}}^3=\mathrm{I}\mathrm{m}q\oplus \ker q$. Le projecteur $q$ est-il orthogonal ? Justifier de deux façons.

2. (0,25 pt) Exhiber un vecteur $v$ tel que $\parallel q(v)\parallel >\parallel v\parallel$. Calculer $\parallel p(v)\parallel$, où $p$ est la projection orthogonale sur $\mathrm{I}\mathrm{m}q$, et commenter.

Partie B — le théorème.

3. (0,5 pt) Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $p$ la projection orthogonale sur $F$. Montrer que $\parallel p(x)\parallel ⩽\parallel x\parallel$ pour tout $x\in E$, et préciser le cas d'égalité.

4. Réciproquement, soit $p$ un projecteur de $E$ tel que $\parallel p(x)\parallel ⩽\parallel x\parallel$ pour tout $x\in E$. On pose $F=\mathrm{I}\mathrm{m}p$ et $G=\ker p$.

   a. (0,75 pt) Soient $y\in F$ et $z\in G$. Calculer $p(y+tz)$ pour $t\in \mathbb{R}$, puis montrer que

   $$\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R},t^2\parallel z{\parallel }^2+2t⟨y,z⟩⩾0.$$

   b. (0,5 pt) En déduire $⟨y,z⟩=0$, puis conclure que $p$ est la projection orthogonale sur $F$.

5. (0,5 pt) Énoncer la caractérisation obtenue, et la traduire en termes de matrices : pour $Q\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $Q^2=Q$, à quelle condition sur $Q$ a-t-on $\parallel QX\parallel ⩽\parallel X\parallel$ pour tout $X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ ?

Partie C — retour sur l'exemple.

6. (0,25 pt) Reprendre le projecteur $q$ de la partie A. Exhiber $y\in \mathrm{I}\mathrm{m}q$ et $z\in \ker q$ non orthogonaux, puis, en suivant exactement le calcul de la question 4, produire sans tâtonner un vecteur $w$ tel que $\parallel q(w)\parallel >\parallel w\parallel$. Comparer au vecteur trouvé à la question 2.

Un géomètre relève au théodolite la position de cinq bornes censées être alignées. Il obtient, dans le plan ${\mathbb{R}}^2$ muni du produit scalaire canonique, les cinq points

$$p_1=(2,3),p_2=(3,2),p_3=(4,2),p_4=(5,4),p_5=(6,4)\mathrm{.}$$

Les deux coordonnées provenant du même instrument et étant entachées de la même incertitude, l'erreur commise sur une borne n'est ni horizontale ni verticale : c'est la distance de la borne à la droite. On cherche donc la droite $\mathcal{D}$ du plan qui minimise

$$\sum _{i=1}^{5}d(p_i,\mathcal{D}{)}^2\mathrm{.}$$

On notera $g$ l'isobarycentre des cinq points, $m_i=p_i-g$ les points recentrés, et l'on rappelle que pour une droite affine $\mathcal{D}=c+\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u)$ avec $\parallel u\parallel =1$, la distance d'un point $a$ à $\mathcal{D}$ est donnée par $d(a,\mathcal{D}{)}^2=\parallel a-c{\parallel }^2-⟨a-c,u{⟩}^2$.

Partie A — mise en équation.

A.1. (0,25 pt) Calculer $g$, puis les cinq vecteurs $m_i$. Vérifier que ${\sum }_{i=1}^5{m}_i=0$.

A.2. (0,25 pt) Pour $u$ unitaire, on note ${\mathcal{D}}_u=g+\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u)$. Justifier que $d(p_i,{\mathcal{D}}_u{)}^2=\parallel m_i{\parallel }^2-⟨m_i,u{⟩}^2$.

A.3. (0,75 pt) On pose $T={\sum }_{i=1}^5\parallel m_i{\parallel }^2$ (l'inertie totale du nuage), $S={\sum }_{i=1}^5{m}_i{m}_i^{\mathrm{\top }}\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ (les $m_i$ étant vus en colonnes), et

$$E(u)=\sum _{i=1}^{5}d(p_i,{\mathcal{D}}_u{)}^2\mathrm{.}$$

Montrer que $E(u)=T-⟨Su,u⟩$ pour tout $u$ unitaire. Calculer $T$ et $S$. Montrer que $S$ est symétrique positive, et vérifier que $\mathrm{t}\mathrm{r}(S)=T$.

A.4. (0,75 pt) Il reste à justifier que la meilleure droite passe par $g$. Soit $u$ unitaire, $c\in {\mathbb{R}}^2$ et $h=c-g$. Montrer que

$$\sum _{i=1}^{5}d(p_i,c+\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u){)}^2=E(u)+5(\parallel h{\parallel }^2-⟨h,u{⟩}^2),$$

et en déduire qu'à direction fixée, aucune droite ne fait mieux que celle qui passe par $g$.

Partie B — le minimum se lit sur le spectre.

B.1. (0,75 pt) Déterminer les valeurs propres de $S$ et ses sous-espaces propres, en résolvant directement les systèmes. En déduire une base orthonormée $(u_1,u_2)$ de vecteurs propres de $S$, avec ${\lambda }_1>{\lambda }_2$. Pourquoi cette base orthonormée devait-elle exister ?

B.2. (0,5 pt) Soit $u=\alpha u_1+\beta u_2$ unitaire. Exprimer $⟨Su,u⟩$ en fonction de $\alpha$ et $\beta$, puis établir l'encadrement ${\lambda }_2⩽⟨Su,u⟩⩽{\lambda }_1$ en précisant les cas d'égalité.

B.3. (0,5 pt) En déduire la valeur du minimum de $E$, les directions qui le réalisent, et une équation cartésienne de la droite optimale $\mathrm{\Delta }$. Vérifier que $g\in \mathrm{\Delta }$.

B.4. (0,25 pt) Donner de même la pire droite passant par $g$ et la valeur correspondante de $E$. Quelle relation géométrique lie la meilleure et la pire droite ?

Partie C — lecture du résultat.

C.1. (0,5 pt) Vérifier directement le résultat de B.3 : calculer les cinq distances $d(p_i,\mathrm{\Delta })$ et contrôler que la somme de leurs carrés vaut bien le minimum annoncé.

C.2. (0,5 pt) Montrer que pour toute direction unitaire $u$, en notant $u^{\perp }$ un vecteur unitaire orthogonal à $u$, on a $E(u)+E(u^{\perp })=T$. Quelle proportion de l'inertie totale l'axe $\mathrm{\Delta }$ « capte »-t-il ?

C.3. (0,25 pt) Que se passe-t-il si $S=\lambda I_2$ ? Donner un nuage de quatre points pour lequel c'est le cas, et interpréter.

Partie D — ce n'est pas la droite des moindres carrés.

On rappelle que la droite des moindres carrés ordinaires $y=a+bx$, qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux ${\sum }_i(y_i-a-b{x}_i{)}^2$, est donnée par

$$b=\frac{\sum _i(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum _i(x_i-\bar{x}{)}^2},a=\bar{y}-b\bar{x}\mathrm{.}$$

D.1. (0,25 pt) Déterminer cette droite $\mathcal{R}$ pour les cinq bornes, en réutilisant les coefficients de $S$. Est-elle égale à $\mathrm{\Delta }$ ?

D.2. (0,5 pt) Calculer, pour $\mathcal{R}$ puis pour $\mathrm{\Delta }$, la somme des carrés des écarts verticaux, puis la somme des carrés des distances. Conclure.