Exercices — Algèbre linéaire : espaces vectoriels et applications linéaires

On rappelle la définition utilisée dans tout l'exercice. Une famille $(u_1,\dots ,u_p)$ de vecteurs d'un espace vectoriel $E$ est libre lorsque la seule combinaison linéaire nulle de ces vecteurs est celle dont tous les coefficients sont nuls, autrement dit lorsque

$${\lambda }_1{u}_1+\cdots +{\lambda }_p{u}_p=0⟹{\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_p=0.$$

Dans le cas contraire la famille est liée, et toute égalité ${\lambda }_1{u}_1+\cdots +{\lambda }_p{u}_p=0$ dont l'un au moins des coefficients est non nul s'appelle une relation de liaison.

Pour chacune des six familles suivantes, dire si elle est libre ou liée. Si elle est liée, écrire explicitement une relation de liaison.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on pose

$$e_1=(1,1,1),e_2=(1,1,0),e_3=(1,0,0),\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)\mathrm{.}$$

1. Montrer que la famille $\mathcal{B}$ est libre, puis en déduire que $\mathcal{B}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Déterminer les coordonnées du vecteur $u=(3,5,2)$ dans la base $\mathcal{B}$, et vérifier le résultat.

3. Déterminer les coordonnées du vecteur $v=(-1,4,4)$ dans la base $\mathcal{B}$.

4. Déterminer les coordonnées d'un vecteur quelconque $(x,y,z)$ de ${\mathbb{R}}^3$ dans la base $\mathcal{B}$. Retrouver les résultats des questions 2. et 3., et donner les coordonnées du deuxième vecteur ${\epsilon }_2=(0,1,0)$ de la base canonique.

On rappelle qu'une application $f$ d'un espace vectoriel $E$ dans un espace vectoriel $F$ est linéaire lorsque

$$\mathrm{\forall }(u,v)\in E^2,\mathrm{\forall }(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2,f(\lambda u+\mu v)=\lambda f(u)+\mu f(v)\mathrm{.}$$

Pour chacune des six applications suivantes, dire si elle est linéaire. Si elle l'est, le démontrer ; sinon, le prouver par un contre-exemple chiffré. On note ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ l'ensemble des suites réelles.

a. $f_1:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^3$ définie par $f_1(x,y)=(x+y,2x-3y,-y)$.

b. $f_2:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^3$ définie par $f_2(x,y)=(x+1,y-x,2y)$.

c. $f_3:{\mathbb{R}}_2[X]⟶{\mathbb{R}}_2[X]$ définie par $f_3(P)=2P-X{P}^{\mathrm{\prime }}$.

d. $f_4:{\mathbb{R}}_2[X]⟶\mathbb{R}$ définie par $f_4(P)=(P(1){)}^2$.

e. $f_5:{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})⟶\mathbb{R}$ définie par $f_5(M)=a_{1,1}+a_{2,2}$, où $M=(a_{i,j})$.

f. $f_6:{\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}⟶{\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ qui, à une suite $u=(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, associe la suite $v$ définie par $v_n=u_{n+1}-2u_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

On admet que les trois applications suivantes sont linéaires. Pour chacune d'elles, on demande :

• de déterminer une base de son noyau et la dimension de ce noyau ;
• de déterminer une base de son image et la dimension de cette image ;
• de dire si elle est injective, et si elle est surjective.

On note $({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$.

1. $f:{\mathbb{R}}^3⟶{\mathbb{R}}^2$ définie par $f(x,y,z)=(x+y-z,2x-y+z)$.

2. $g:{\mathbb{R}}^3⟶{\mathbb{R}}^3$ définie par $g(x,y,z)=(x-y,y-z,z-x)$.

3. $h:{\mathbb{R}}^3⟶{\mathbb{R}}^3$ définie par $h(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z)$.

Dans ${\mathbb{R}}^4$, on considère les deux ensembles

$$F=\{(x,y,z,t)\in {\mathbb{R}}^4;x+y-z+2t=0\}$$

et

$$G=\{(x,y,z,t)\in {\mathbb{R}}^4;x+y+z+t=0\text{ et }x-y+2z=0\}\mathrm{.}$$

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$, en donner une base et préciser $\dim F$.

2. Mêmes questions pour $G$.

3. Le vecteur $w=(1,2,3,0)$ appartient-il à $F$ ? À $G$ ? Lorsque la réponse est positive, donner ses coordonnées dans la base trouvée.

4. Justifier, sans nouveau calcul, que $F\mathrm{\ne }{\mathbb{R}}^4$ et que $G\mathrm{\ne }F$.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère les deux sous-espaces vectoriels

$$F=\mathrm{Vect}(u_1,u_2)\text{avec}{u}_1=(1,0,1)\text{ et }{u}_2=(0,1,1),$$

et $G=\mathrm{Vect}(v)$, où $v=(1,1,0)$.

On rappelle que la somme de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ d'un même espace vectoriel $E$ est l'ensemble

$$F+G=\{a+b;a\in F\text{ et }b\in G\}\mathrm{.}$$

1. Montrer que $(u_1,u_2)$ est une base de $F$ et préciser $\dim F$. Faire de même pour $G$.

2. Déterminer une équation cartésienne de $F$, c'est-à-dire une équation liant $x$, $y$ et $z$ dont les solutions sont exactement les éléments de $F$.

3. Déterminer $F\cap G$.

4. Montrer que $F+G=\mathrm{Vect}(u_1,u_2,v)$, puis déterminer $F+G$ et sa dimension.

5. Vérifier sur cet exemple la formule

$$\dim (F+G)=\dim F+\dim G-\dim (F\cap G)\mathrm{.}$$

On rappelle que la matrice d'une application linéaire dans un couple de bases se construit colonne par colonne : la $j$-ième colonne est la colonne des coordonnées de l'image du $j$-ième vecteur de la base de départ, exprimée dans la base d'arrivée. Si $X$ est la colonne des coordonnées de $u$ et $Y$ celle des coordonnées de $f(u)$, alors $Y=AX$.

Les trois premières questions portent sur des applications linéaires (on admet leur linéarité). Dans chacune, on demande d'écrire la matrice de l'application dans les bases canoniques, puis de vérifier la relation $Y=AX$ sur le vecteur indiqué.

1. $f:{\mathbb{R}}^3⟶{\mathbb{R}}^2$ définie par $f(x,y,z)=(2x-y+3z,x+4y-z)$ ; vérification sur $u=(1,2,-1)$.

2. $g:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^3$ définie par $g(x,y)=(x+y,x-y,2x)$ ; vérification sur $u=(3,-2)$.

3. $h:{\mathbb{R}}_2[X]⟶{\mathbb{R}}_2[X]$ définie par $h(P)=P+P^{\mathrm{\prime }}$, la base canonique de ${\mathbb{R}}_2[X]$ étant $(1,X,X^2)$ ; vérification sur $P=2X^2-3X+1$.

4. Lecture en sens inverse : déterminer l'application linéaire $\mathrm{\ell }$ de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique est

$$D=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

On rappelle que les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice ne modifient pas son rang, et que le rang d'une matrice échelonnée est égal à son nombre de lignes non nulles.

Calculer le rang de chacune des quatre matrices suivantes par la méthode du pivot de Gauss, en écrivant les opérations effectuées. Pour les matrices carrées, conclure quant à leur inversibilité.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 1& 1\\ -1& 1& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& 1& 1\\ 1& 5& -4\end{array}\right),$$ $$C=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2& 4& 1& 3\\ -1& -2& 2& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 3& 6\\ 2& 1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

On rappelle le théorème du rang : si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et si $f\in \mathcal{L}(E,F)$, alors

$$\dim E=\dim \mathrm{Ker}f+\mathrm{rg}(f),\text{o}\grave{\text{u}}\mathrm{rg}(f)=\dim \mathrm{Im}f\mathrm{.}$$

1. Soit $f\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^5,{\mathbb{R}}^3)$ telle que $\dim \mathrm{Ker}f=2$. Déterminer $\mathrm{rg}(f)$, puis dire si $f$ est surjective.

2. Soit $g\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^4,{\mathbb{R}}^7)$ telle que $\mathrm{rg}(g)=4$. Déterminer $\dim \mathrm{Ker}g$, puis dire si $g$ est injective, si elle est surjective.

3. Une application linéaire de ${\mathbb{R}}^4$ dans ${\mathbb{R}}^2$ peut-elle être injective ? Justifier.

4. Une application linéaire de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^4$ peut-elle être surjective ? Justifier.

5. On considère enfin l'application $\phi :{\mathbb{R}}^4⟶{\mathbb{R}}^3$ définie par

$$\phi (x,y,z,t)=(x+y+z+t,x-y+z-t,2x+2z),$$

dont on admet la linéarité. Déterminer une base de $\mathrm{Ker}\phi$, en déduire $\mathrm{rg}(\phi )$ par le théorème du rang, puis donner une base de $\mathrm{Im}\phi$. L'application $\phi$ est-elle injective ? surjective ?

Dans ${\mathbb{R}}^4$, on considère les cinq vecteurs

$$v_1=(1,1,0,1),v_2=(2,1,1,0),v_3=(0,1,-1,2),v_4=(1,0,2,1),v_5=(3,1,3,1),$$

et l'on pose $F=\mathrm{Vect}(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)$.

1. Déterminer le rang de la famille $(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)$ par la méthode du pivot de Gauss.

2. Montrer que la famille $(v_1,v_2,v_4)$ est libre, et en déduire que c'est une base de $F$. Préciser $\dim F$.

3. Exprimer $v_3$ et $v_5$ en fonction de $v_1$, $v_2$ et $v_4$.

4. Montrer que tout vecteur $(x,y,z,t)$ de $F$ vérifie l'équation $3x-4y-2z+t=0$.

5. En déduire que $F=\{(x,y,z,t)\in {\mathbb{R}}^4;3x-4y-2z+t=0\}$, puis que $F\mathrm{\ne }{\mathbb{R}}^4$.

Dans l'espace vectoriel ${\mathbb{R}}_3[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à $3$, on pose

$$Q_0=1,Q_1=X-1,Q_2=(X-1{)}^2,Q_3=(X-1{)}^3,\mathcal{B}=(Q_0,Q_1,Q_2,Q_3)\mathrm{.}$$

1. Justifier que les quatre polynômes $Q_0$, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ appartiennent bien à ${\mathbb{R}}_3[X]$, et rappeler la dimension de ${\mathbb{R}}_3[X]$.

2. Montrer que la famille $\mathcal{B}$ est libre, puis en déduire que c'est une base de ${\mathbb{R}}_3[X]$.

3. Déterminer les coordonnées du polynôme $P=X^3-2X^2+3X-1$ dans la base $\mathcal{B}$, et vérifier le résultat en développant.

4. Déterminer les coordonnées du polynôme $R=X^2-1$ dans la base $\mathcal{B}$.

5. Montrer que, pour tout polynôme $S$ de ${\mathbb{R}}_3[X]$, la première coordonnée de $S$ dans la base $\mathcal{B}$ est égale à $S(1)$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'application

$$D:{\mathbb{R}}_n[X]⟶{\mathbb{R}}_n[X],P⟼P^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

1. Montrer que $D$ est bien définie, puis que $D$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_n[X]$.

2. Déterminer $\mathrm{Ker}D$ et sa dimension. L'application $D$ est-elle injective ?

3. En déduire $\mathrm{rg}(D)$ par le théorème du rang, puis montrer que $\mathrm{Im}D={\mathbb{R}}_{n-1}[X]$. L'application $D$ est-elle surjective ?

4. Dans le cas $n=3$, écrire la matrice de $D$ dans la base canonique $(1,X,X^2,X^3)$ et vérifier que son rang est bien celui trouvé à la question 3.

5. Montrer que $D^{n+1}=0$, c'est-à-dire que $D^{n+1}$ est l'endomorphisme nul de ${\mathbb{R}}_n[X]$.

6. Montrer que $D^n\mathrm{\ne }0$. Que peut-on dire de $D$ ?

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on pose

$$e_1=(1,1,1),e_2=(0,1,1),e_3=(0,0,1),\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3),$$

et l'on cherche une application linéaire $f$ de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ vérifiant

$$f(e_1)=(1,0,1),f(e_2)=(1,1,2),f(e_3)=(0,1,1)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\mathcal{B}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, puis justifier qu'il existe une unique application linéaire $f$ vérifiant les trois égalités ci-dessus.

2. Déterminer les coordonnées d'un vecteur $(x,y,z)$ de ${\mathbb{R}}^3$ dans la base $\mathcal{B}$, puis en déduire l'expression de $f(x,y,z)$. Vérifier le résultat sur $e_2$.

3. Déterminer une base de $\mathrm{Ker}f$ et une base de $\mathrm{Im}f$. L'application $f$ est-elle injective ? surjective ?

4. Écrire la matrice $A={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(f)$ de $f$ dans la base $\mathcal{B}$, puis vérifier la relation $Y=AX$ sur le vecteur $u=e_1+2e_2-e_3$.

Pour $1⩽i⩽3$ et $1⩽j⩽3$, on note $E_{i,j}$ la matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ dont le coefficient d'indice $(i,j)$ vaut $1$ et dont tous les autres coefficients sont nuls. On rappelle que la famille des neuf matrices $E_{i,j}$ est la base canonique de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, et donc que $\dim {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})=9$.

Une matrice $M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ est dite symétrique lorsque ${}^{t}M=M$, et antisymétrique lorsque ${}^{t}M=-M$. On pose

$$\mathcal{S}=\{M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R});{}^{t}M=M\},\mathcal{A}=\{M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R});{}^{t}M=-M\}\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\mathcal{S}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

2. Soit $M=(m_{i,j})\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Traduire la condition ${}^{t}M=M$ par des égalités entre coefficients, puis écrire la forme générale d'un élément de $\mathcal{S}$.

3. En déduire une famille génératrice de $\mathcal{S}$ formée de six matrices, montrer qu'elle est libre, et conclure que $\dim \mathcal{S}=6$.

4. Reprendre le raisonnement dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ : montrer que le sous-espace ${\mathcal{S}}_n$ des matrices symétriques d'ordre $n$ est de dimension ${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$.

5. Montrer de même que $\mathcal{A}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, en donner une base et la dimension. Quelle est la dimension du sous-espace des matrices antisymétriques de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ ?

6. Déterminer $\mathcal{S}\cap \mathcal{A}$.

7. Déduire des questions 3, 5 et 6 que $\mathcal{S}$ et $\mathcal{A}$ sont supplémentaires dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, c'est-à-dire que

$${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})=\mathcal{S}\oplus \mathcal{A}\mathrm{.}$$

Vérifier ensuite que toute matrice $M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ s'écrit

$$M=\frac{M+{}^{t}M}{2}+\frac{M-{}^{t}M}{2},$$

où le premier terme est symétrique et le second antisymétrique, puis effectuer cette décomposition pour

$$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Chacune des affirmations suivantes est soit vraie, soit fausse. Dans le premier cas, la démontrer ; dans le second, donner un contre-exemple explicite et vérifier qu'il convient.

1. Il existe une application linéaire injective de ${\mathbb{R}}^5$ dans ${\mathbb{R}}^3$.

2. Il existe une application linéaire surjective de ${\mathbb{R}}^5$ dans ${\mathbb{R}}^3$.

3. Il existe une application linéaire surjective de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^4$.

4. Il existe une application linéaire injective de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^4$.

5. Toute application linéaire injective de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ est bijective.

6. Toute application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ est injective ou surjective.

7. Application. On pose $f(x,y,z)=(x+y,y+z,x-z)$ pour tout $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$. Déterminer $\mathrm{Ker}f$, puis $\mathrm{rg}f$ et $\mathrm{Im}f$. L'application $f$ est-elle injective ? surjective ?

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère le plan

$$P=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x+y+z=0\}$$

et la droite $D=\mathrm{Vect}(u)$, où $u=(1,1,1)$.

1. Montrer que $P$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$, en donner une base et préciser sa dimension.

2. Vérifier que $u\mathrm{\notin }P$, puis en déduire que $P\cap D=\{(0,0,0)\}$ : la somme $P+D$ est directe.

3. En déduire que ${\mathbb{R}}^3=P\oplus D$, c'est-à-dire que $P$ et $D$ sont supplémentaires dans ${\mathbb{R}}^3$.

4. Montrer que la famille obtenue en concaténant la base de $P$ trouvée à la question 1 et la base $(u)$ de $D$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

5. Décomposer le vecteur $w=(1,2,3)$ sous la forme $w=a+b$ avec $a\in P$ et $b\in D$, puis justifier que cette écriture est la seule possible.

6. On pose $D^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{Vect}(e_1)$, où $e_1=(1,0,0)$. Montrer que $P$ et $D^{\mathrm{\prime }}$ sont eux aussi supplémentaires dans ${\mathbb{R}}^3$, et décomposer à nouveau $w$ sur $P$ et $D^{\mathrm{\prime }}$. Qu'en conclure sur l'unicité d'un supplémentaire ?

On note ${\mathcal{B}}_0=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et on considère l'application

$$f:(x,y,z)⟼(2x-y,x+z,y+z)\mathrm{.}$$

On pose enfin

$$u_1=(1,1,1),u_2=(1,1,0),u_3=(1,0,0),\mathcal{B}=(u_1,u_2,u_3)\mathrm{.}$$

1. Justifier que $f$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Déterminer $A={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}_0}(f)$, la matrice de $f$ dans la base canonique.

3. Montrer que $\mathcal{B}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

4. Soit $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$. Déterminer les coordonnées de $(a,b,c)$ dans la base $\mathcal{B}$.

5. Calculer $f(u_1)$, $f(u_2)$ et $f(u_3)$, les exprimer dans la base $\mathcal{B}$, puis écrire $B={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(f)$.

6. Contrôle. Soit $v=u_1+u_2+u_3$. Calculer $f(v)$ de deux façons : à l'aide de $B$ et des coordonnées de $v$ dans $\mathcal{B}$, puis directement avec la formule de $f$. Les deux résultats doivent coïncider.

On note $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et on pose

$$u_1=(1,0,1),u_2=(1,1,0),u_3=(1,1,1),{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(u_1,u_2,u_3)\mathrm{.}$$

On rappelle que la matrice de passage $P_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$ de la base $\mathcal{B}$ à la base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ est la matrice dont les colonnes sont les colonnes de coordonnées des vecteurs de ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ exprimées dans la base $\mathcal{B}$, et que pour tout vecteur $w$ de ${\mathbb{R}}^3$,

$$X_{\mathcal{B}}=P_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}{X}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}},$$

où $X_{\mathcal{B}}$ et $X_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$ désignent les colonnes de coordonnées de $w$ dans $\mathcal{B}$ et dans ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$.

1. Montrer que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Écrire la matrice de passage $P=P_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$.

3. Calculer $P^{-1}$ par la méthode du pivot de Gauss, puis contrôler le résultat en calculant le produit $P{P}^{-1}$.

4. Soit $w=(2,3,1)$. Déterminer les coordonnées de $w$ dans la base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$.

5. Vérifier ce résultat de deux façons : par le produit $P{X}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$, puis en calculant directement la combinaison linéaire correspondante de $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

6. Que représente la matrice $P^{-1}$ en termes de changement de base ? Le vérifier sur le vecteur $e_1$.

On considère l'endomorphisme $f$ de ${\mathbb{R}}^3$ défini par

$$f(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z),$$

et l'on note ${\mathcal{B}}_0=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$.

Le but de l'exercice est d'établir de trois manières différentes que $f$ est un isomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$, puis de comparer ces trois méthodes.

1. Première méthode : par le noyau. Déterminer $\mathrm{Ker}f$ et en déduire que $f$ est bijective.

2. Deuxième méthode : par la matrice. Écrire $A={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}_0}(f)$, montrer que $A$ est inversible par la méthode du pivot de Gauss et calculer $A^{-1}$. Conclure.

3. Troisième méthode : par la réciproque. Résoudre, pour $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$ fixé, l'équation $f(x,y,z)=(a,b,c)$ d'inconnue $(x,y,z)$. En déduire une application $g$ telle que $f\circ g=g\circ f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathbb{R}}^3}$.

4. Vérifier que la matrice de $g$ dans la base canonique est bien la matrice $A^{-1}$ trouvée à la question 2.

5. Déterminer l'unique antécédent de $(2,4,6)$ par $f$.

6. Comparer les trois méthodes : que fournit chacune, et laquelle choisir selon la question posée ?

On note ${\mathcal{B}}_3=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et ${\mathcal{B}}_2=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)$ celle de ${\mathbb{R}}^2$. On considère les deux applications linéaires

$$f:{\mathbb{R}}^3⟶{\mathbb{R}}^2,f(x,y,z)=(x+2y-z,3y+z),$$ $$g:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^3,g(s,t)=(s-4t,t,s-2t)\mathrm{.}$$

1. Écrire $A={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}_3,{\mathcal{B}}_2}(f)$ et $B={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}_2,{\mathcal{B}}_3}(g)$, en précisant leur format.

2. Calculer $(g\circ f)(x,y,z)$ à partir des formules, en déduire ${\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}_3}(g\circ f)$, puis vérifier que cette matrice est égale au produit $BA$.

3. Faire de même pour $f\circ g$ et le produit $AB$.

4. Déterminer $\mathrm{rg}f$ et $\mathrm{rg}g$. Chacune de ces deux applications est-elle injective ? surjective ?

5. Déterminer le rang et le noyau de $f\circ g$, puis le rang et le noyau de $g\circ f$.

6. Que constate-t-on en comparant $f\circ g$ et $g\circ f$ ?

Pour tout réel $m$, on pose

$$A_m=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. Échelonner $A_m$ par la méthode du pivot de Gauss, en n'utilisant que des opérations valables pour toute valeur de $m$.

2. En déduire le rang de $A_m$ en fonction de $m$.

3. Contrôler directement, sur la matrice $A_m$ elle-même, le rang obtenu dans chacun des deux cas particuliers.

4. Pour quelles valeurs de $m$ la matrice $A_m$ est-elle inversible ?

5. Décrire, dans chacun des cas, l'ensemble des solutions du système homogène $A_{m}X=0_{3,1}$ d'inconnue $X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$ : dimension et base.

Dans ${\mathbb{R}}^4$, on considère

$$F=\{(x,y,z,t)\in {\mathbb{R}}^4;x+y+z+t=0\text{ et }x-y+z-t=0\}$$

et $G=\mathrm{Vect}(w_1,w_2,w_3)$, où

$$w_1=(1,1,0,0),w_2=(0,1,-1,-2),w_3=(2,3,-1,-2)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$, en donner une base et préciser sa dimension.

2. Montrer que la famille $(w_1,w_2,w_3)$ est liée, déterminer son rang, puis en déduire une base de $G$ et $\dim G$.

3. Le vecteur $w_1$ appartient-il à $F$ ? Que peut-on en conclure sur les deux sous-espaces ?

4. Déterminer $F\cap G$ : en donner une base et la dimension.

5. Vérifier que la dimension trouvée est compatible avec les inclusions $F\cap G\subset F$ et $F\cap G\subset G$.

6. Les vecteurs $a=(3,4,-3,-4)$ et $b=(2,4,-2,-4)$ appartiennent-ils à $F$ ? à $G$ ? à $F\cap G$ ?

On appelle forme linéaire sur un espace vectoriel réel $E$ toute application linéaire de $E$ dans $\mathbb{R}$, et hyperplan de $E$ tout sous-espace vectoriel de dimension $\dim E-1$, lorsque $E$ est de dimension finie. Dans ${\mathbb{R}}^3$, un hyperplan est donc un plan.

On considère l'application

$$\phi :{\mathbb{R}}^3⟶\mathbb{R},\phi (x,y,z)=2x-y+3z\mathrm{.}$$

On note ${\mathcal{B}}_0=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et $\mathcal{C}=(1)$ la base canonique de $\mathbb{R}$.

1. Montrer que $\phi$ est une forme linéaire sur ${\mathbb{R}}^3$.

2. Écrire la matrice $A={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}_0,\mathcal{C}}(\phi )$. Quel est son format ?

3. Déterminer $\mathrm{Im}\phi$, puis $\mathrm{rg}\phi$.

4. En déduire, par le théorème du rang, la dimension de $\mathrm{Ker}\phi$. Pourquoi peut-on affirmer que $\mathrm{Ker}\phi$ est un hyperplan de ${\mathbb{R}}^3$ ?

5. Déterminer une base de $\mathrm{Ker}\phi$ et vérifier que les vecteurs obtenus annulent bien $\phi$.

6. La réciproque, sur un exemple. On pose $H=\mathrm{Vect}(h_1,h_2)$ avec $h_1=(1,1,1)$ et $h_2=(1,0,-1)$. Déterminer une forme linéaire non nulle $\psi$ sur ${\mathbb{R}}^3$ telle que $\mathrm{Ker}\psi =H$.

7. Soient ${\phi }_1$ et ${\phi }_2$ deux formes linéaires non nulles sur ${\mathbb{R}}^3$.

a. Montrer que s'il existe $\lambda \in {\mathbb{R}}^{\ast }$ tel que ${\phi }_2=\lambda {\phi }_1$, alors $\mathrm{Ker}{\phi }_1=\mathrm{Ker}{\phi }_2$.

b. Réciproquement, on suppose $\mathrm{Ker}{\phi }_1=\mathrm{Ker}{\phi }_2$, et on note $H$ ce noyau commun. Justifier qu'il existe un vecteur $u$ tel que ${\mathbb{R}}^3=H\oplus \mathrm{Vect}(u)$, puis que ${\phi }_1(u)\mathrm{\ne }0$. On pose $\lambda ={\displaystyle \frac{{\phi }_2(u)}{{\phi }_1(u)}}$ : montrer que ${\phi }_2=\lambda {\phi }_1$.

c. Donner une forme linéaire distincte de $\phi$ ayant le même noyau que $\phi$.

On note ${\mathbb{R}}_3[X]$ l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $3$, muni de sa base canonique $\mathcal{C}=(1,X,X^2,X^3)$, et l'on rappelle que $\dim {\mathbb{R}}_3[X]=4$.

On considère l'application

$$\mathrm{\Delta }:P⟼P(X+1)-P(X)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\mathrm{\Delta }$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_3[X]$.

2. Calculer $\mathrm{\Delta }(1)$, $\mathrm{\Delta }(X)$, $\mathrm{\Delta }(X^2)$ et $\mathrm{\Delta }(X^3)$, puis écrire la matrice $D={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{C}}(\mathrm{\Delta })$.

3. Soit $P$ un polynôme de degré $n$ avec $1⩽n⩽3$. Montrer que $\mathrm{\Delta }(P)$ est de degré $n-1$.

4. Déterminer $\mathrm{Ker}\mathrm{\Delta }$, en donner une base et la dimension.

5. En déduire $\mathrm{rg}\mathrm{\Delta }$, puis montrer que $\mathrm{Im}\mathrm{\Delta }={\mathbb{R}}_2[X]$.

6. Montrer que ${\mathrm{\Delta }}^4=\mathrm{\Delta }\circ \mathrm{\Delta }\circ \mathrm{\Delta }\circ \mathrm{\Delta }$ est l'endomorphisme nul, de deux façons : par les degrés, puis en calculant les puissances de $D$.

On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\mathrm{\Phi }:M⟼AM\mathrm{.}$$

On rappelle que $\dim {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})=4$ et que sa base canonique est $\mathcal{E}=(E_{1,1},E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2})$, où

$$E_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),E_{1,2}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),E_{2,1}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),E_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

2. Calculer $\mathrm{\Phi }(M)$ pour $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, puis déterminer $\mathrm{Ker}\mathrm{\Phi }$ : base et dimension.

3. Déterminer $\mathrm{Im}\mathrm{\Phi }$ : base et dimension. En déduire $\mathrm{rg}\mathrm{\Phi }$ et vérifier le théorème du rang.

4. Écrire la matrice $N={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{E}}(\mathrm{\Phi })$, et retrouver son rang par le pivot.

5. L'application $\mathrm{\Phi }$ est-elle injective ? surjective ?

6. Que deviennent ces réponses si l'on remplace $A$ par une matrice inversible de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ?

On note ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ l'espace vectoriel des suites réelles, et l'on considère

$$\mathcal{E}=\{u\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}};\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n\}\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\mathcal{E}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$.

2. On pose $\phi (u)=(u_0,u_1)$ pour toute suite $u\in \mathcal{E}$. Montrer que $\phi$ est un isomorphisme de $\mathcal{E}$ sur ${\mathbb{R}}^2$, et en déduire que $\dim \mathcal{E}=2$.

3. Déterminer les réels $q$ non nuls tels que la suite géométrique $(q^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ appartienne à $\mathcal{E}$.

4. On note $g$ la suite de terme général $2^n$ et $h$ celle de terme général $3^n$. Montrer que $(g,h)$ est une base de $\mathcal{E}$.

5. Déterminer le terme général de la suite $u\in \mathcal{E}$ vérifiant $u_0=1$ et $u_1=4$, puis contrôler le résultat sur $u_2$ et $u_3$.

6. Déterminer une base et la dimension de ${\mathcal{E}}_0=\{u\in \mathcal{E};u_0=0\}$.

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie et $p$ un endomorphisme de $E$ vérifiant

$$p\circ p=p\mathrm{.}$$

Un tel endomorphisme est appelé un projecteur de $E$.

1. Montrer que $p(x)=x$ pour tout $x\in \mathrm{Im}p$, puis que $\mathrm{Im}p$ est exactement l'ensemble des vecteurs invariants par $p$, autrement dit que $\mathrm{Im}p=\mathrm{Ker}(p-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$.

2. Montrer que $\mathrm{Ker}p\cap \mathrm{Im}p=\{0_E\}$.

3. Que donne le théorème du rang appliqué à $p$ ? En déduire, avec la question 2, que $\mathrm{Im}p$ et $\mathrm{Ker}p$ sont supplémentaires dans $E$, c'est-à-dire que $E=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Ker}p$.

4. Soit $x\in E$. Montrer que $x=p(x)+(x-p(x))$ est une écriture de $x$ comme somme d'un vecteur de $\mathrm{Im}p$ et d'un vecteur de $\mathrm{Ker}p$, puis montrer qu'il n'y en a pas d'autre. On redémontre ainsi, sans passer par les dimensions, la somme directe de la question 3.

5. Exemple. On pose, pour tout $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$, $p(x,y,z)=(x,y,x+y)$. Écrire la matrice $P$ de $p$ dans la base canonique, vérifier que $P^2=P$, puis déterminer $\mathrm{Ker}p$ et $\mathrm{Im}p$ (base et dimension de chacun).

6. Vérifier sur cet exemple les résultats des questions 1 à 4, en décomposant explicitement le vecteur $v=(1,2,0)$.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère le plan $F=\mathrm{Vect}(f_1,f_2)$ et la droite $G=\mathrm{Vect}(u)$, où

$$f_1=(1,1,0),f_2=(0,1,1),u=(1,1,1)\mathrm{.}$$

Le but de l'exercice est de construire l'application qui, à un vecteur de ${\mathbb{R}}^3$, associe sa composante sur $F$ dans la décomposition ${\mathbb{R}}^3=F\oplus G$.

1. Montrer que $(f_1,f_2)$ est une base de $F$, que $F$ admet pour équation cartésienne $x-y+z=0$, et que $u\mathrm{\notin }F$. En déduire que ${\mathbb{R}}^3=F\oplus G$.

2. Soit $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$. Déterminer les uniques réels $a$, $b$ et $\lambda$ tels que

$$(x,y,z)=a{f}_1+b{f}_2+\lambda u\mathrm{.}$$

3. On note $p(x,y,z)=a{f}_1+b{f}_2$ la composante sur $F$ obtenue à la question précédente : par définition, $p$ est le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$. Donner l'expression de $p(x,y,z)$ et montrer que $p$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$.

4. Écrire la matrice $P$ de $p$ dans la base canonique, puis vérifier par le calcul matriciel que $P^2=P$.

5. Déterminer $\mathrm{Im}p$ et $\mathrm{Ker}p$. Que constate-t-on ?

6. On pose $q={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathbb{R}}^3}-p$. Donner l'expression de $q$ et sa matrice $Q$, montrer que $q$ est le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$, et vérifier les relations

$$p+q={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathbb{R}}^3},p\circ q=q\circ p=0.$$

7. Décomposer explicitement le vecteur $w=(1,2,3)$.

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n⩾1$, et soit $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant

$$f\circ f=0,$$

où $0$ désigne l'endomorphisme nul de $E$.

1. Montrer que $\mathrm{Im}f\subset \mathrm{Ker}f$.

2. En déduire que $\mathrm{rg}f⩽{\displaystyle \frac{n}{2}}$.

3. Montrer que $f$ n'est pas bijective.

4. On suppose dans cette question que $n=3$. Quelles sont les valeurs possibles de $\mathrm{rg}f$ ? Caractériser le cas $\mathrm{rg}f=0$.

5. Construire une matrice $N\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ de rang $1$ telle que $N^2=0_3$. Déterminer le noyau et l'image de l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ associé, et vérifier sur cet exemple les questions 1 et 2.

6. Montrer que ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-f$ est un automorphisme de $E$, de réciproque ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E+f$.

Soit $E$ un espace vectoriel réel et soit $s$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $s\circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. Un tel endomorphisme s'appelle une symétrie vectorielle de $E$. On pose

$$F=\mathrm{Ker}(s-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\text{et}G=\mathrm{Ker}(s+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $s$ est un automorphisme de $E$ et que $s^{-1}=s$.

2. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$, et que

$$F=\{x\in E;s(x)=x\},G=\{x\in E;s(x)=-x\}\mathrm{.}$$

3. Montrer que $F\cap G=\{0_E\}$.

4. Soit $x\in E$. Vérifier l'identité $x={\displaystyle \frac{x+s(x)}{2}}+{\displaystyle \frac{x-s(x)}{2}}$, puis montrer que le premier terme appartient à $F$ et le second à $G$. En déduire que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$, c'est-à-dire que

$$E=\mathrm{Ker}(s-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\oplus \mathrm{Ker}(s+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\mathrm{.}$$

5. On prend $E={\mathbb{R}}^3$ et $s(x,y,z)=(x,-y,2x-z)$. Justifier que $s$ est linéaire, écrire sa matrice $A$ dans la base canonique, et vérifier que $A^2=I_3$.

6. Déterminer $F$ et $G$ pour cette symétrie : une base et la dimension de chacun.

7. Décomposer le vecteur $u=(1,2,3)$ comme à la question 4.

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, et soient $p$ et $q$ deux endomorphismes de $E$ vérifiant les deux relations

$$p+q={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\text{et}p\circ q=0,$$

où $0$ désigne l'endomorphisme nul de $E$.

1. Justifier que $q={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-p$, puis montrer que $p\circ q=q\circ p$. En déduire que $q\circ p=0$.

2. Montrer que $p\circ p=p$ et que $q\circ q=q$ : les endomorphismes $p$ et $q$ sont des projecteurs.

3. Montrer que $\mathrm{Im}p=\mathrm{Ker}q$, puis que $\mathrm{Im}q=\mathrm{Ker}p$.

4. Montrer que $E=\mathrm{Im}p\oplus \mathrm{Im}q$.

5. En déduire que $\mathrm{rg}p+\mathrm{rg}q=\dim E$, puis retrouver ce résultat par le théorème du rang.

Soit $n\in \mathbb{N}$ et soient $P_0,P_1,\dots ,P_n$ des polynômes tels que $\mathrm{deg}{P}_k=k$ pour tout $k\in \{0,1,\dots ,n\}$. On dit qu'une telle famille est échelonnée en degré. Le but de l'exercice est de démontrer que $(P_0,P_1,\dots ,P_n)$ est une base de ${\mathbb{R}}_n[X]$, puis de s'en servir.

1. Justifier que ces polynômes appartiennent tous à ${\mathbb{R}}_n[X]$, et rappeler la dimension de ${\mathbb{R}}_n[X]$.

2. Soient ${\lambda }_0,\dots ,{\lambda }_n$ des réels non tous nuls tels que ${\lambda }_0{P}_0+{\lambda }_1{P}_1+\cdots +{\lambda }_n{P}_n=0$. On note $m$ le plus grand indice tel que ${\lambda }_m\mathrm{\ne }0$. Quel est le degré du polynôme ${\lambda }_0{P}_0+\cdots +{\lambda }_m{P}_m$ ? Conclure à une contradiction.

3. En déduire que $(P_0,P_1,\dots ,P_n)$ est une base de ${\mathbb{R}}_n[X]$.

4. Première application. On pose $P_0=1$, $P_1=X-1$ et $P_2=(X-1{)}^2$. Justifier que $(P_0,P_1,P_2)$ est une base de ${\mathbb{R}}_2[X]$, puis décomposer $Q=X^2+X+1$ dans cette base.

5. Seconde application. On pose $R_0=1$, $R_1=X$, $R_2=X(X-1)$ et $R_3=X(X-1)(X-2)$. Justifier que $(R_0,R_1,R_2,R_3)$ est une base de ${\mathbb{R}}_3[X]$, puis décomposer $X^3$ dans cette base. On pourra comparer les coefficients de $X^3$, puis évaluer en $0$, en $1$ et en $2$.

6. Les familles $(1,1+X,1+X+X^2)$ et $(1,X+X^2,X^2)$ sont-elles des bases de ${\mathbb{R}}_2[X]$ ? Que peut-on en conclure sur le critère démontré à la question 3 ?

Pour tout polynôme $P\in {\mathbb{R}}_3[X]$, on pose $\phi (P)=X{P}^{\mathrm{\prime }}-P$, où $P^{\mathrm{\prime }}$ désigne le polynôme dérivé de $P$.

1. Soit $P=a+bX+c{X}^2+d{X}^3$ un élément quelconque de ${\mathbb{R}}_3[X]$. Calculer $\phi (P)$ et vérifier que $\phi (P)\in {\mathbb{R}}_3[X]$. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_3[X]$.

2. Écrire la matrice $A$ de $\phi$ dans la base canonique $\mathcal{B}=(1,X,X^2,X^3)$.

3. Déterminer $\mathrm{Ker}\phi$ : en donner une base et la dimension.

4. En déduire $\mathrm{rg}\phi$ par le théorème du rang, puis donner une base de $\mathrm{Im}\phi$.

5. L'endomorphisme $\phi$ est-il bijectif ? Montrer que l'équation $\phi (P)=X$ n'a aucune solution.

6. Résoudre l'équation $\phi (P)=1+3X^2+4X^3$, d'inconnue $P\in {\mathbb{R}}_3[X]$.