Devoir surveillé — Algèbre linéaire : espaces vectoriels et applications linéaires

Consignes valables pour tout le sujet. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La calculatrice n'est pas autorisée. La qualité de la rédaction et la précision des justifications entrent dans la notation : une réponse juste sans démonstration ne rapporte aucun point.

On travaille dans $E={\mathbb{R}}_3[X]$, espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $3$, dont on rappelle que $\dim E=4$ et que $\mathcal{C}=(1,X,X^2,X^3)$ en est une base. Pour $P\in E$, on note $P^{\mathrm{\prime }}$ le polynôme dérivé de $P$. On considère les deux applications

$$\phi :E⟶\mathbb{R},P⟼P(1)\text{et}\psi :E⟶\mathbb{R},P⟼P^{\mathrm{\prime }}(1),$$

et l'on pose

$$H_{\phi }=\mathrm{Ker}\phi ,H_{\psi }=\mathrm{Ker}\psi ,F=H_{\phi }\cap H_{\psi }\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\phi$ et $\psi$ sont des formes linéaires non nulles sur $E$. En déduire, par le théorème du rang, que $H_{\phi }$ et $H_{\psi }$ sont des hyperplans de $E$, et préciser leur dimension. (0,5 point)

2. a. Soit $P=a+bX+c{X}^2+d{X}^3$. Écrire le système que traduisent les deux conditions $P\in H_{\phi }$ et $P\in H_{\psi }$, le résoudre, et en déduire $\dim F$. b. Vérifier que $(X-1{)}^2$ et $(X-1{)}^3$ appartiennent à $F$, que cette famille est libre, et conclure que $((X-1{)}^2,(X-1{)}^3)$ est une base de $F$. (0,75 point)

3. Montrer que $H_{\phi }\mathrm{\ne }{H}_{\psi }$. En déduire, à l'aide de la formule $\dim (H_{\phi }+H_{\psi })=\dim H_{\phi }+\dim H_{\psi }-\dim F$, que $H_{\phi }+H_{\psi }=E$. Cette somme est-elle directe ? (0,5 point)

4. On pose $G=\mathrm{Vect}(1,X)$. Démontrer que $E=F\oplus G$. (0,75 point)

5. Décomposer le polynôme $X^3$ selon la somme directe précédente, c'est-à-dire écrire $X^3=R+L$ avec $R\in F$ et $L\in G$. (0,5 point)

6. Soit $Q\in E$ quelconque, de décomposition $Q=R+L$ avec $R\in F$ et $L\in G$. Démontrer que $L=Q(1)+Q^{\mathrm{\prime }}(1)(X-1)$. Interpréter graphiquement ce résultat, et le contrôler sur la décomposition de la question 5. (0,5 point)

Dans tout l'exercice, on note ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$ l'espace des matrices colonnes à trois lignes et ${\mathcal{M}}_{1,3}(\mathbb{R})$ celui des matrices lignes à trois colonnes. On identifie une matrice de ${\mathcal{M}}_1(\mathbb{R})$, c'est-à-dire de taille $1\times 1$, au réel qui la compose.

On pose

$$C=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R}),L=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{1,3}(\mathbb{R}),M=CL\mathrm{.}$$

1. Calculer la matrice $M$ et le réel $LC$. Déterminer $\mathrm{rg}(M)$ et donner une base de l'image de l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ canoniquement associé à $M$. (0,5 point)

2. Déterminer le noyau de cet endomorphisme : en donner une base et la dimension, puis vérifier le théorème du rang. (0,5 point)

3. Démontrer l'égalité $M^2=(LC)M$ sans effectuer le produit des deux matrices $3\times 3$, en utilisant uniquement l'associativité du produit matriciel. En déduire, par récurrence, l'expression de $M^k$ pour tout entier $k⩾1$. (0,75 point)

4. La matrice $M$ est-elle inversible ? Démontrer en revanche que $I_3+M$ est inversible, et calculer son inverse sous la forme $I_3+\lambda M$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$ à déterminer. (0,5 point)

5. La réciproque. Soit $N\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ une matrice de rang $1$. Démontrer qu'il existe une colonne $C^{\mathrm{\prime }}\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$ non nulle et une ligne $L^{\mathrm{\prime }}\in {\mathcal{M}}_{1,3}(\mathbb{R})$ non nulle telles que $N=C^{\mathrm{\prime }}{L}^{\mathrm{\prime }}$. (0,75 point)

6. Application. On pose

$$N=\left(\begin{array}{ccc}3& -6& 9\\ -1& 2& -3\\ 2& -4& 6\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Justifier que $\mathrm{rg}(N)=1$, écrire $N$ sous la forme $C^{\mathrm{\prime }}{L}^{\mathrm{\prime }}$, et en déduire $N^k$ pour tout entier $k⩾1$. (0,5 point)

On note $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, dont on admet la structure d'espace vectoriel réel. On y considère les trois fonctions définies, pour tout $x\in \mathbb{R}$, par

$$f_0(x)=1,f_1(x)=\cos x,f_2(x)=\cos (2x),$$

et l'on pose $E=\mathrm{Vect}(f_0,f_1,f_2)$ ainsi que $\mathcal{B}=(f_0,f_1,f_2)$.

1. Démontrer que $\mathcal{B}$ est libre. On pourra évaluer une combinaison linéaire nulle en $0$, en ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ et en $\pi$. En déduire que $\mathcal{B}$ est une base de $E$ et préciser $\dim E$. (0,5 point)

2. On note $g$ la fonction définie par $g(x)={\cos }^{2}x$. Démontrer que $g\in E$, puis que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(f_0,f_1,g)$ est une base de $E$. (0,5 point)

3. Écrire la matrice de passage $P=P_{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$, puis calculer $P^{-1}$ et contrôler le résultat. (0,75 point)

4. Soit $h$ la fonction définie par $h(x)={\cos }^{2}x+3\cos x-2$. Donner les coordonnées de $h$ dans ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$, en déduire par un produit matriciel ses coordonnées dans $\mathcal{B}$, et contrôler le résultat par un calcul direct. (0,5 point)

5. On considère l'application

$$\mathrm{\Phi }:E⟶{\mathbb{R}}^2,f⟼(f(0),f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\pi }{2}\right))\mathrm{.}$$

Justifier qu'elle est linéaire, écrire sa matrice dans les bases $\mathcal{B}$ et canonique de ${\mathbb{R}}^2$, déterminer son rang, dire si elle est surjective, puis donner une base de $\mathrm{Ker}\mathrm{\Phi }$. (0,75 point)

On note ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ l'espace vectoriel des suites réelles, dont on admet la structure d'espace vectoriel. Une suite $u$ y est notée $u={\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$. On considère les deux applications $D$ et $S$ de ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ dans lui-même définies ainsi : pour toute suite $u$,

• $D(u)$ est la suite $v$ définie par $v_n=u_{n+1}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ (on oublie le premier terme et on décale vers la gauche) ;
• $S(u)$ est la suite $w$ définie par $w_0=0$ et $w_n=u_{n-1}$ pour tout $n⩾1$ (on insère un $0$ en tête et on décale vers la droite).

1. Démontrer que $D$ et $S$ sont des endomorphismes de ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$. (0,25 point)

2. Démontrer que $D\circ S=\mathrm{i}\mathrm{d}$, puis que $S\circ D\mathrm{\ne }\mathrm{i}\mathrm{d}$ en exhibant une suite explicite pour laquelle l'égalité est fausse. (0,5 point)

3. Déterminer $\mathrm{Ker}D$ et $\mathrm{Im}D$. L'application $D$ est-elle injective ? surjective ? (0,5 point)

4. Mêmes questions pour $S$. (0,5 point)

5. En déduire, en raisonnant par l'absurde, que ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ n'est pas un espace vectoriel de dimension finie. (0,75 point)

6. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. Déterminer l'ensemble $\mathrm{Ker}(D-\lambda \mathrm{i}\mathrm{d})$ des suites $u$ telles que $D(u)=\lambda u$, et préciser sa dimension. Commenter. (0,5 point)

Ce problème est composé de trois parties. Les parties A et B préparent la partie C, qui les exploite ; les résultats des parties précédentes peuvent être utilisés même si l'on n'a pas réussi à les démontrer.

On travaille dans $E={\mathbb{R}}_3[X]$, muni de sa base canonique $\mathcal{C}=(1,X,X^2,X^3)$, et l'on rappelle que $\dim E=4$. Comme le programme y invite, on identifie un polynôme à la fonction polynomiale qui lui est associée.

Pour tout $P\in E$, on définit une fonction $T(P)$ en posant

$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},T(P)(x)={\int }_x^{x+1}P(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Partie A — l'opérateur $T$ est un automorphisme de ${\mathbb{R}}_3[X]$

A.1. Calculer $T(1)$, $T(X)$, $T\left(X^2\right)$ et $T\left(X^3\right)$. (0,5 point)

A.2. En déduire que $T(P)$ appartient à ${\mathbb{R}}_3[X]$ pour tout $P\in E$, puis démontrer que $T$ est un endomorphisme de $E$. (0,5 point)

A.3. Écrire la matrice $A={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{C}}(T)$. (0,5 point)

A.4. Déterminer $\mathrm{rg}(A)$ et en déduire que $T$ est un automorphisme de $E$. (0,5 point)

Partie B — la structure « identité plus nilpotent »

On pose $N=T-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

B.1. Démontrer que pour tout $k\in \{0,1,2,3\}$, le polynôme $N\left(X^k\right)$ est de degré $k-1$ lorsque $k⩾1$, et nul lorsque $k=0$. En déduire que $N$ envoie ${\mathbb{R}}_k[X]$ dans ${\mathbb{R}}_{k-1}[X]$ pour $k\in \{1,2,3\}$. (0,75 point)

B.2. En déduire que $N^4$ est l'endomorphisme nul de $E$. (0,5 point)

B.3. Écrire la matrice $B={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{C}}(N)$, puis calculer $B^2$, $B^3$ et $B^4$. Le résultat est-il cohérent avec la question B.2 ? (0,75 point)

B.4. Démontrer l'identité $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E+N)\circ ({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-N+N^2-N^3)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. En déduire l'expression de $T^{-1}$ en fonction de $N$, puis calculer $A^{-1}$. (0,5 point)

Partie C — retrouver un signal à partir de sa moyenne

Un capteur mesure une grandeur qui évolue au cours du temps selon une loi polynomiale $P\in {\mathbb{R}}_3[X]$. L'appareil de lecture n'affiche pas $P$ : à l'instant $x$, il affiche la valeur moyenne de la grandeur sur la fenêtre de temps $[x,x+1]$.

C.1. Justifier que l'affichage de l'appareil à l'instant $x$ vaut exactement $T(P)(x)$. (0,25 point)

C.2. On observe que l'affichage suit exactement la loi $x⟼x^3$. Déterminer l'unique polynôme $P\in {\mathbb{R}}_3[X]$ correspondant, c'est-à-dire l'unique solution de $T(P)=X^3$. (0,5 point)

C.3. Vérifier ce résultat en calculant directement ${\displaystyle {\int }_x^{x+1}P(t)\mathrm{d}t}$. Factoriser $P$ et comparer ses racines à celles de $X^3$. (0,5 point)

C.4. Soit $Q\in {\mathbb{R}}_3[X]$ quelconque et soit $F$ la primitive de $Q$ qui s'annule en $0$. Démontrer que $T(Q)(x)=F(x+1)-F(x)$ pour tout réel $x$, puis que pour tout entier $n⩾1$,

$$\sum _{k=0}^{n-1}T(Q)(k)={\int }_0^{n}Q(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

(0,5 point)

C.5. Appliquer la question C.4 au polynôme $P$ trouvé en C.2 pour établir, pour tout entier $n⩾1$, la formule

$$\sum _{k=0}^{n-1}{k}^3={\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)}^2\mathrm{.}$$

(0,75 point)