Exercices — Probabilités : variables aléatoires réelles

Une pièce truquée tombe sur pile avec la probabilité $p=\mathrm{0,4}$ et sur face avec la probabilité $1-p=\mathrm{0,6}$. On la lance autant de fois qu'il le faut, en s'arrêtant dès que pile apparaît pour la première fois. Les lancers successifs sont indépendants.

Pour tout entier $k⩾1$, on note $A_k$ l'événement « le premier pile apparaît au $k$-ième lancer ». On note de plus $A_{\mathrm{\infty }}$ l'événement « on n'obtient jamais pile ».

1. Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ associé à cette expérience. Est-il fini ?

2. Justifier que la famille formée des événements $A_k$, pour $k⩾1$, et de l'événement $A_{\mathrm{\infty }}$ est un système complet d'événements.

3. Calculer $P(A_k)$ pour tout entier $k⩾1$.

4. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}P(A_k)}$ pour tout entier $n⩾1$, puis déterminer la limite de cette somme quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. En déduire la valeur de $P\left(A_{\mathrm{\infty }}\right)$.

5. Écrire chacun des événements suivants à l'aide des $A_k$, puis calculer sa probabilité.

a. $B$ : « le premier pile apparaît au plus tard au troisième lancer ».

b. $C$ : « le premier pile apparaît strictement après le troisième lancer ».

c. $D$ : « le premier pile apparaît à un rang pair ».

Un magasin enregistre chaque jour le nombre de retours de marchandise effectués par ses clients. On note $X$ le nombre de retours enregistrés au cours d'une journée prise au hasard. Une étude statistique conduit à modéliser $X$ par une variable aléatoire telle que $X(\mathrm{\Omega })=[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,5]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, dont la loi est donnée par le tableau suivant.

1. Vérifier que ce tableau définit bien la loi d'une variable aléatoire, puis justifier que la famille ${([X=k])}_{0⩽k⩽5}$ est un système complet d'événements.

2. Traduire chacune des phrases suivantes par un événement écrit à l'aide de $X$, puis calculer sa probabilité.

a. « La journée se passe sans aucun retour. »

b. « Il y a au moins un retour dans la journée. »

c. « Il y a au plus trois retours dans la journée. »

d. « Il y a entre deux et quatre retours, bornes comprises. »

3. Réciproquement, traduire en français les événements $[X⩾4]$ et $[X⩽1]$, puis calculer leur probabilité.

4. Le magasin déclenche une procédure de contrôle qualité dès qu'une journée compte au moins trois retours. Calculer la probabilité de cet événement de deux façons : directement, puis en passant par l'événement contraire.

5. Écrire plus simplement les événements $[X⩽3]\cap [X⩾2]$ et $[X⩽1]\cup [X⩾4]$, puis calculer leur probabilité. Que remarque-t-on ?

1. Rappeler à quelles conditions une famille de nombres réels ${\left(p_k\right)}_{k\in I}$, où $I$ est une partie finie ou infinie de $\mathbb{N}$, est la loi d'une variable aléatoire discrète $X$ telle que $X(\mathrm{\Omega })=I$.

2. Pour chacune des familles suivantes, dire si c'est la loi d'une variable aléatoire discrète. Justifier soigneusement dans chaque cas.

3. Déterminer le réel $a$ pour lequel la famille ${(a\times {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^k)}_{k\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est la loi d'une variable aléatoire discrète.

Une urne contient six jetons, tous indiscernables au toucher : trois jetons portent le numéro $0$, deux jetons portent le numéro $1$ et un jeton porte le numéro $4$.

Partie A. On tire un jeton au hasard dans l'urne et on note $X$ le numéro inscrit dessus.

1. Déterminer $X(\mathrm{\Omega })$.

2. Déterminer la loi de $X$ et présenter le résultat dans un tableau. Vérifier la somme des probabilités.

3. Calculer $P(X⩾1)$.

Partie B. On remet le jeton dans l'urne, puis on tire cette fois deux jetons simultanément. On note $Y$ la somme des deux numéros obtenus.

4. Déterminer $Y(\mathrm{\Omega })$.

5. Déterminer la loi de $Y$.

6. Calculer $P(Y⩾4)$.

Une boutique en ligne vend deux produits $A$ et $B$. On note $X$ le nombre de commandes du produit $A$ reçues dans une journée et $Y$ le nombre de commandes du produit $B$. Les lois de ces deux variables aléatoires, établies à partir des ventes de l'année écoulée, sont les suivantes.

1. Vérifier que ces deux tableaux définissent bien des lois de probabilité.

2. Calculer $E(X)$ et $E(Y)$.

3. Calculer $E\left(X^2\right)$ et $E\left(Y^2\right)$.

4. En déduire $V(X)$ et $V(Y)$ à l'aide de la formule de Kœnig-Huygens, puis $\sigma (X)$ et $\sigma (Y)$ sous forme exacte et en valeur approchée à ${10}^{-2}$ près.

5. Comparer les deux produits du point de vue du gérant de la boutique.

Un artisan propose une prestation facturée $45$ euros. On note $X$ le nombre de prestations qu'il vend au cours d'une journée, dont la loi est donnée par le tableau suivant.

Chaque journée d'activité lui coûte par ailleurs $120$ euros de charges fixes, qu'il vende ou non. Son résultat de la journée, exprimé en euros, est donc la variable aléatoire

$$R=45X-120$$

1. Vérifier que le tableau définit bien une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.

2. Déterminer $R(\mathrm{\Omega })$, puis la loi de $R$.

3. Calculer $E(R)$ et $V(R)$ en utilisant la loi de $R$ obtenue à la question précédente.

4. Retrouver ces deux résultats à l'aide des formules $E(aX+b)=aE(X)+b$ et $V(aX+b)=a^{2}V(X)$.

5. Calculer $\sigma (R)$, en valeur exacte puis approchée à ${10}^{-2}$ près. Préciser l'unité de $E(R)$, de $V(R)$ et de $\sigma (R)$.

1. Pour chacune des six situations ci-dessous, dire si la variable aléatoire considérée suit l'une des lois usuelles finies du cours. Si oui, préciser la loi et ses paramètres avec la notation $\hookrightarrow$, puis donner son espérance et sa variance. Sinon, expliquer précisément pourquoi.

a. On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$ et on note $X$ le numéro obtenu.

b. Un atelier produit des pièces dont $97\mathrm{\%}$ sont conformes. On prélève une pièce au hasard en fin de chaîne et on pose $X=1$ si elle est conforme, $X=0$ sinon.

c. Une urne contient $20$ boules, dont $8$ rouges. On effectue $20$ tirages successifs avec remise et on note $X$ le nombre de boules rouges obtenues.

d. Dans la même urne, on tire $5$ boules successivement et sans remise, et on note $X$ le nombre de boules rouges obtenues.

e. On lance un dé équilibré à six faces et on pose $X=1$ si le résultat est un multiple de $3$, $X=0$ sinon.

f. Une administration a numéroté ses dossiers de $200$ à $259$. On en tire un au hasard et on note $X$ son numéro.

2. Dans la situation d., calculer $P(X=0)$ par dénombrement, puis comparer à la valeur qu'aurait donnée la loi binomiale $\mathcal{B}(5;\mathrm{0,4})$. Que peut-on en conclure ?

Un centre d'appels contacte $12$ prospects au cours d'une matinée. Chaque prospect contacté accepte un rendez-vous avec la probabilité $\mathrm{0,25}$, indépendamment des autres. On note $X$ le nombre de rendez-vous obtenus au cours de la matinée.

Sauf mention contraire, les valeurs approchées seront données à ${10}^{-4}$ près.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres, puis donner $X(\mathrm{\Omega })$ et l'expression de $P(X=k)$.

2. Calculer $P(X=0)$ et $P(X=3)$.

3. Calculer la probabilité d'obtenir au moins un rendez-vous.

4. Calculer $P(X⩽2)$.

5. Donner $E(X)$ et $V(X)$, puis interpréter la valeur de $E(X)$.

6. Le responsable du centre souhaite que le nombre moyen de rendez-vous obtenus atteigne $5$. Combien de prospects faut-il contacter, les conditions de l'expérience étant inchangées ?

Les deux parties sont indépendantes. Les valeurs approchées seront données à ${10}^{-4}$ près.

Partie A. Un technicien teste un à un des composants sortant d'une chaîne de production, et s'arrête dès qu'il en trouve un défectueux. Chaque composant testé est défectueux avec la probabilité $\mathrm{0,05}$, indépendamment des autres. On note $T$ le rang du premier composant défectueux.

1. Justifier que $T\hookrightarrow \mathcal{G}(\mathrm{0,05})$ et préciser $T(\mathrm{\Omega })$ ainsi que $P(T=k)$.

2. Calculer $P(T=4)$.

3. Calculer $P(T>10)$ de deux façons : en décrivant l'événement, puis en sommant une série.

4. Donner $E(T)$ et $V(T)$, puis interpréter $E(T)$.

Partie B. Le nombre $N$ de pannes hebdomadaires d'un serveur suit la loi de Poisson de paramètre $\mathrm{1,5}$.

5. Rappeler $N(\mathrm{\Omega })$ et l'expression de $P(N=k)$.

6. Calculer $P(N=0)$ et $P(N=2)$.

7. Calculer $P(N⩾2)$.

8. Donner $E(N)$ et $V(N)$, puis interpréter.

Le service après-vente d'une entreprise enregistre, pour chaque dossier ouvert, le nombre de contacts (appels ou courriels) échangés avec le client avant la clôture du dossier. Il y a toujours au moins un contact. On note $X$ ce nombre de contacts, et une étude interne conduit à modéliser $X$ par une variable aléatoire à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ pour laquelle il existe un réel $c$ tel que

$$\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{\ast },P(X=k)=c{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^k$$

1. Justifier que la série ${\displaystyle \sum _{k⩾1}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^k}$ converge, calculer sa somme, puis en déduire la valeur de $c$. Vérifier que le modèle obtenu définit bien une loi de probabilité.

2. Calculer $P(X⩽3)$, sous forme de fraction irréductible puis en valeur approchée à ${10}^{-4}$.

3. Calculer $P(X>5)$ de deux façons différentes.

4. Montrer qu'il existe un réel $p$ de $]0,1[$ tel que, pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $P(X=k)=p(1-p{)}^{k-1}$. Quelle loi usuelle $X$ suit-elle ? Préciser son paramètre.

5. En déduire $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$, cette dernière valeur étant donnée à ${10}^{-4}$ près.

6. Interpréter $E(X)$ pour le service après-vente. Le responsable annonce que « moins d'un dossier sur dix demande plus de cinq contacts ». Cette affirmation est-elle exacte ?

Un site marchand analyse son activité. Les deux parties peuvent être traitées séparément.

Partie A. Le nombre de commandes reçues en une heure

On note $Y$ le nombre de commandes reçues pendant une heure donnée. Cette variable aléatoire est à valeurs dans $\mathbb{N}$, et le service statistique retient le modèle suivant : il existe un réel $c$ tel que

$$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},P(Y=k)=c{\displaystyle \frac{3^k}{k!}}$$

1. Déterminer la valeur de $c$.

2. En déduire que $Y$ suit une loi usuelle, que l'on identifiera en précisant son paramètre.

3. Calculer $P(Y⩽2)$ puis $P(Y⩾3)$, en valeurs approchées à ${10}^{-4}$.

4. Donner $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma (Y)$, cette dernière à ${10}^{-4}$ près. Interpréter $E(Y)$.

Partie B. Le nombre d'articles d'une commande

On note maintenant $Z$ le nombre d'articles contenus dans une commande. Une commande contient toujours au moins un article, donc $Z$ est à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$. Le service retient le modèle : il existe un réel $c^{\mathrm{\prime }}$ tel que

$$\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{\ast },P(Z=k)=c^{\mathrm{\prime }}{\displaystyle \frac{2^k}{k!}}$$

5. Déterminer la valeur exacte de $c^{\mathrm{\prime }}$, puis une valeur approchée à ${10}^{-4}$.

6. Calculer $P(Z=1)$ et $P(Z⩽2)$, en valeurs exactes puis approchées à ${10}^{-4}$.

7. La variable $Z$ suit-elle une loi de Poisson de paramètre $2$ ? Justifier de deux façons.

8. Montrer que $Z$ admet une espérance et que $E(Z)={\displaystyle \frac{2e^2}{e^2-1}}$. Donner une valeur approchée à ${10}^{-4}$ et comparer à l'espérance d'une loi $\mathcal{P}(2)$.

Le gérant d'une boutique relève chaque soir l'écart $X$ entre le nombre de ventes réalisées dans la journée et l'objectif fixé, exprimé en dizaines d'articles. Un relevé de plusieurs mois conduit à la loi suivante :

1. Vérifier que ce tableau définit bien la loi d'une variable aléatoire, puis calculer $E(X)$ et interpréter le résultat.

2. Déterminer la loi de la variable aléatoire $Y=X^2$.

3. Déterminer la loi de la variable aléatoire $Z=\mathrm{\mid }X-1\mathrm{\mid }$.

4. Calculer $E(Y)$ de deux façons : d'abord à partir de la loi de $Y$ obtenue à la question 2., ensuite par le théorème de transfert appliqué directement à $X$. Vérifier que les deux résultats coïncident.

5. En déduire $V(X)$ par la formule de Kœnig-Huygens, puis $\sigma (X)$ à ${10}^{-4}$ près.

6. Calculer $E(Z)$ et comparer avec $\mid E(X)-1\mid$. Que faut-il en conclure ?

Pour une animation commerciale, un magasin propose un sac opaque contenant $10$ jetons indiscernables au toucher, dont $4$ sont gagnants. Chaque client tire simultanément $3$ jetons du sac, et remporte un cadeau par jeton gagnant obtenu. On note $X$ le nombre de jetons gagnants obtenus par un client.

1. Justifier que l'on peut se placer dans une situation d'équiprobabilité, préciser le nombre de tirages possibles, puis déterminer $X(\mathrm{\Omega })$.

2. Déterminer la loi de $X$ et vérifier que la somme des probabilités obtenues vaut $1$.

3. Calculer $E(X)$ à partir de la définition de l'espérance.

4. Calculer $E\left(X^2\right)$, puis $V(X)$ et $\sigma (X)$ à ${10}^{-4}$ près.

5. Le stagiaire du magasin affirme : « on compte le nombre de succès sur $3$ tirages, chaque jeton ayant $4$ chances sur $10$ d'être gagnant, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\text{\hspace{0.17em}⁣}(3;\mathrm{0,4})$ ». Expliquer pourquoi ce raisonnement est faux.

6. On note $B$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{B}\text{\hspace{0.17em}⁣}(3;\mathrm{0,4})$, qui correspondrait au même jeu mais avec remise du jeton après chaque tirage. Comparer les lois de $X$ et de $B$, puis leurs espérances et leurs variances. Commenter.

Une machine produit en grande série des pièces métalliques. Le réglage actuel garantit que chaque pièce produite est conforme avec la probabilité $\mathrm{0,92}$, indépendamment de toutes les autres. À la sortie de la chaîne, le service qualité prélève un échantillon de $15$ pièces et note $X$ le nombre de pièces défectueuses de cet échantillon.

1. Justifier avec précision que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. On vérifiera explicitement les trois conditions du schéma de Bernoulli.

2. Donner l'expression de $P(X=k)$ pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,15]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$.

3. Calculer $P(X=0)$, la probabilité que l'échantillon ne contienne aucune pièce défectueuse, en valeur approchée à ${10}^{-4}$.

4. Calculer $P(X⩾2)$ en valeur approchée à ${10}^{-4}$.

5. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$, cette dernière à ${10}^{-4}$ près. Interpréter $E(X)$.

6. Le lot dont provient l'échantillon est refusé dès que celui-ci contient au moins $3$ pièces défectueuses. Calculer la probabilité de refus à ${10}^{-4}$ près. Le service qualité s'est fixé pour objectif un taux de refus inférieur à $5\mathrm{\%}$ : l'objectif est-il atteint ?

Un candidat se présente à un test de certification professionnelle. À chaque tentative, il réussit avec la probabilité $p=\mathrm{0,3}$, indépendamment des tentatives précédentes, et il repasse le test autant de fois que nécessaire jusqu'à sa première réussite. On note $T$ le rang de la tentative où il réussit pour la première fois. On pose $q=1-p=\mathrm{0,7}$.

Pour tout entier $i⩾1$, on note $R_i$ l'événement « le candidat réussit le test à la $i$-ème tentative ».

1. Préciser $T(\mathrm{\Omega })$, puis exprimer l'événement $[T=k]$, pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, à l'aide des événements $R_i$ et de leurs contraires. En déduire que

$$\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{\ast },P(T=k)=p(1-p{)}^{k-1}$$

2. Vérifier que la somme des $P(T=k)$ pour $k$ parcourant ${\mathbb{N}}^{\ast }$ vaut bien $1$.

3. Soit $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Calculer $P(T>k)$ et interpréter le résultat obtenu.

4. Calculer $P(T⩽3)$.

5. Calculer $E(T)$ et $V(T)$, puis $\sigma (T)$ à ${10}^{-4}$ près. Interpréter $E(T)$.

6. Le candidat souhaite savoir combien de tentatives il doit prévoir pour avoir au moins $95\mathrm{\%}$ de chances d'avoir réussi. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(T⩽n)⩾\mathrm{0,95}$, et vérifier le résultat numériquement.

Cet exercice établit, par le calcul, les formules donnant l'espérance et la variance des deux premières lois usuelles du chapitre. Dans tout l'énoncé, $p$ désigne un réel de $[0,1]$ et on pose $q=1-p$.

Partie A. La loi de Bernoulli

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{B}(p)$.

1. Rappeler $X(\mathrm{\Omega })$ et la loi de $X$, puis calculer $E(X)$.

2. Déterminer la loi de $X^2$, en déduire $E\left(X^2\right)$, puis démontrer par la formule de Kœnig-Huygens que $V(X)=p(1-p)$.

3. On note $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $f(p)=p(1-p)$. Étudier les variations de $f$ et déterminer la valeur de $p$ pour laquelle la variance est maximale. Interpréter ce résultat, ainsi que les cas $p=0$ et $p=1$.

Partie B. La loi binomiale

Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{B}(n,p)$.

4. Démontrer que pour tout entier $k$ tel que $1⩽k⩽n$ :

$$k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)$$

5. En déduire, à l'aide d'un changement d'indice et de la formule du binôme de Newton, que $E(X)=np$.

6. On suppose ici $n⩾2$. Démontrer que pour tout entier $k$ tel que $2⩽k⩽n$ :

$$k(k-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=n(n-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-2}{k-2}\right)$$

7. En déduire que $E(X(X-1))=n(n-1)p^2$, puis que $V(X)=np(1-p)$. Traiter à part le cas $n=1$.

8. Application. Un centre d'appels contacte $200$ prospects. Chacun souscrit à l'offre proposée avec la probabilité $\mathrm{0,03}$, indépendamment des autres. On note $N$ le nombre de souscriptions obtenues. Déterminer la loi de $N$, puis $E(N)$, $V(N)$ et $\sigma (N)$ à ${10}^{-4}$ près.

Cet exercice établit par le calcul les formules donnant l'espérance et la variance d'une loi uniforme sur un intervalle d'entiers.

Partie A. La loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$

Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{U}([\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$.

1. Rappeler $X(\mathrm{\Omega })$ et la loi de $X$, ainsi que les valeurs des sommes ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}$ et ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2}$.

2. Démontrer que $E(X)={\displaystyle \frac{n+1}{2}}$.

3. Calculer $E\left(X^2\right)$, puis démontrer par la formule de Kœnig-Huygens que $V(X)={\displaystyle \frac{n^2-1}{12}}$. On détaillera la simplification algébrique.

Partie B. La loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[a,b]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$

Soient $a$ et $b$ deux entiers tels que $a⩽b$, et soit $Y$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{U}([\text{\hspace{0.17em}⁣}[a,b]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$. On pose $n=b-a+1$ et $Z=Y-a+1$.

4. Déterminer $Z(\mathrm{\Omega })$ et la loi de $Z$. En déduire que $Z\hookrightarrow \mathcal{U}([\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}])$.

5. En exprimant $Y$ en fonction de $Z$, démontrer que

$$E(Y)={\displaystyle \frac{a+b}{2}}\text{et}V(Y)={\displaystyle \frac{(b-a+1{)}^2-1}{12}}$$

6. Applications numériques. Un jeu de rôle utilise un dé équilibré à $20$ faces numérotées de $1$ à $20$, et on note $D$ le résultat d'un lancer. Par ailleurs, un atelier expédie des colis contenant chacun un nombre entier d'articles compris entre $5$ et $14$, toutes ces valeurs étant équiprobables, et on note $C$ le nombre d'articles d'un colis. Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de $D$ puis de $C$, les écarts-types étant donnés à ${10}^{-4}$ près.

Un commercial d'une agence immobilière signe chaque jour un nombre $X$ de mandats. L'historique de l'agence conduit à la loi suivante :

1. Vérifier que ce tableau définit bien la loi d'une variable aléatoire, puis calculer $E(X)$.

2. Calculer les quantités suivantes à l'aide du théorème de transfert, c'est-à-dire sans déterminer la loi de la variable transformée.

3. Retrouver le résultat de la question 2.a. par la linéarité de l'espérance, puis celui de la question 2.d. à partir de $E\left(X^2\right)$ et de $E(X)$.

4. Comparer $E\left({\displaystyle \frac{1}{X+1}}\right)$ et ${\displaystyle \frac{1}{E(X)+1}}$. Expliquer en une phrase le phénomène observé.

5. Calculer $E\left({(X-E(X))}^2\right)$ par le théorème de transfert. En déduire $V(X)$ et $\sigma (X)$ à ${10}^{-4}$ près, et vérifier la cohérence avec la formule de Kœnig-Huygens.

Une boutique en ligne étudie le contenu des commandes qu'elle reçoit. On choisit une commande au hasard et on note $X$ le nombre d'articles qu'elle contient. Une étude statistique conduit à retenir la loi suivante :

1. Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$.

2. Calculer $E\left(X^2\right)$, en déduire $V(X)$ par la formule de Kœnig-Huygens, puis $\sigma (X)$.

3. On pose $X^{\ast }={\displaystyle \frac{X-E(X)}{\sigma (X)}}$. Déterminer $X^{\ast }(\mathrm{\Omega })$ et la loi de $X^{\ast }$. On donnera les valeurs exactes sous forme de fractions irréductibles, puis des valeurs approchées à ${10}^{-3}$.

4. Calculer $E\left(X^{\ast }\right)$ et $V\left(X^{\ast }\right)$ à partir de la loi obtenue à la question 3.

5. On revient au cas général. Soit $Y$ une variable aléatoire discrète admettant une espérance et une variance non nulle, et soit $Y^{\ast }={\displaystyle \frac{Y-E(Y)}{\sigma (Y)}}$.

a. Écrire $Y^{\ast }$ sous la forme $aY+b$ en explicitant les réels $a$ et $b$.

b. En utilisant $E(aY+b)=aE(Y)+b$ et $V(aY+b)=a^{2}V(Y)$, démontrer que $E\left(Y^{\ast }\right)=0$ et $V\left(Y^{\ast }\right)=1$.

6. Dans une classe, on choisit une copie au hasard. On note $M$ la note de mathématiques de cette copie, notée sur $20$, et $A$ sa note d'anglais, notée sur $100$. On sait que

$$E(M)=12,\sigma (M)=2,E(A)=70,\sigma (A)=10$$

Un élève a obtenu $14$ en mathématiques et $78$ en anglais. Dans quelle matière sa performance est-elle la meilleure par rapport à sa classe ? Expliquer en quoi le passage à la variable centrée réduite rend les deux notes comparables, alors qu'elles ne le sont pas telles quelles.

À la fête foraine, un stand propose le jeu suivant. Le joueur verse une mise de $2$ euros, puis tire au hasard un jeton dans une urne qui en contient $100$, tous indissociables au toucher. Le jeton tiré indique la somme que l'organisateur lui remet immédiatement :

• $2$ jetons portent la mention « $25$ euros » ;
• $10$ jetons portent la mention « $5$ euros » ;
• $25$ jetons portent la mention « $2$ euros » ;
• les $63$ jetons restants portent la mention « perdu » et ne rapportent rien.

Le jeton est remis dans l'urne après chaque partie. On note $G$ le gain algébrique du joueur pour une partie, c'est-à-dire la somme qu'il reçoit diminuée de sa mise.

1. Déterminer $G(\mathrm{\Omega })$, puis la loi de $G$. Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

2. Calculer $E(G)$. Le jeu est-il favorable au joueur ou à l'organisateur ?

3. L'organisateur souhaite rendre le jeu équitable, c'est-à-dire d'espérance de gain nulle pour le joueur, sans modifier le contenu de l'urne. On note $m$ la nouvelle mise, exprimée en euros. Exprimer l'espérance du gain algébrique en fonction de $m$, puis résoudre l'équation qui traduit l'équité. Quelle mise faut-il afficher ?

4. Revenons à la mise de $2$ euros. Calculer $V(G)$ puis $\sigma (G)$, sous forme exacte puis en valeur approchée à ${10}^{-3}$.

5. L'organisateur accueille $500$ joueurs dans la journée. Il annonce qu'il peut « espérer un bénéfice moyen de $\mathrm{0,50}$ euro par joueur, soit $250$ euros sur la journée ».

a. D'où vient ce chiffre de $\mathrm{0,50}$ euro ?

b. Pourquoi cette phrase est-elle, à ce stade du programme, un abus de langage ? Que faudrait-il pour la justifier vraiment ?

Partie A. La variable indicatrice

Soit $(\mathrm{\Omega },\mathcal{A},P)$ un espace probabilisé et soit $A$ un événement. On appelle indicatrice de $A$ l'application ${\mathbf{1}}_A$ définie sur $\mathrm{\Omega }$ par

$${\mathbf{1}}_A(\omega )=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }\omega \in A\\ 0& \text{si }\omega \mathrm{\notin }A\end{array}$$

On admet que ${\mathbf{1}}_A$ est une variable aléatoire réelle.

1. Déterminer ${\mathbf{1}}_A(\mathrm{\Omega })$ dans le cas où $A$ est un événement quelconque, puis traduire les événements $[{\mathbf{1}}_A=1]$ et $[{\mathbf{1}}_A=0]$ en fonction de $A$. En déduire que ${\mathbf{1}}_A\hookrightarrow \mathcal{B}(P(A))$.

2. Établir, en revenant à la définition de l'espérance et de la variance, que

$$E\left({\mathbf{1}}_A\right)=P(A)\text{et}V\left({\mathbf{1}}_A\right)=P(A)(1-P(A))$$

Partie B. Un contrôle de production

Une usine produit des pièces métalliques. On prélève une pièce au hasard dans la production et on considère les deux événements suivants :

• $A$ : « la pièce présente un défaut d'aspect » ;
• $B$ : « la pièce présente un défaut de dimension ».

On sait que $P(A)=\mathrm{0,08}$, que $P(B)=\mathrm{0,05}$, et que les deux types de défauts proviennent de deux postes de la chaîne indépendants l'un de l'autre, ce qui permet de supposer que $A$ et $B$ sont indépendants.

3. Donner la loi, l'espérance et la variance de ${\mathbf{1}}_A$ et de ${\mathbf{1}}_B$.

4. Montrer que ${\mathbf{1}}_{\bar{A}}=1-{\mathbf{1}}_A$, en tant qu'égalité entre applications définies sur $\mathrm{\Omega }$. En déduire la loi de ${\mathbf{1}}_{\bar{A}}$, puis son espérance et sa variance. Comparer $V\left({\mathbf{1}}_{\bar{A}}\right)$ et $V\left({\mathbf{1}}_A\right)$ et commenter.

5. Montrer de même que ${\mathbf{1}}_{A\cap B}={\mathbf{1}}_A{\mathbf{1}}_B$, puis donner la loi de ${\mathbf{1}}_{A\cap B}$ et son espérance.

6. Que vaut ${\left({\mathbf{1}}_A\right)}^2$ ? Qu'en déduit-on immédiatement sur $E\left({\left({\mathbf{1}}_A\right)}^2\right)$, et comment retrouve-t-on alors la variance de la question 2. en une ligne ?

Un service client doit obtenir une réponse d'un client au sujet d'un dossier. Il lui envoie des relances successives, numérotées $1$, $2$, $3$, et ainsi de suite, jusqu'à obtenir une réponse. Pour tout entier $k⩾1$, on note $R_k$ l'événement « le client répond à la $k$-ième relance », et on pose

$$N_n=\overline{R_1}\cap \overline{R_2}\cap \cdots \cap \overline{R_n}$$

qui est donc l'événement « le client n'a toujours pas répondu après $n$ relances ». On note enfin $T$ le numéro de la relance à laquelle le client répond pour la première fois.

Partie A. Un client qui se lasse

L'expérience du service montre que plus on relance un client, moins il réagit. On modélise cela ainsi :

$$P\left(R_1\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{et, pour tout }k⩾2,P_{N_{k-1}}\left(R_k\right)={\displaystyle \frac{1}{k+1}}$$

Autrement dit, sachant qu'il n'a pas répondu aux $k-1$ premières relances, le client répond à la $k$-ième avec la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{k+1}}$.

1. Calculer $P\left(N_1\right)$ et $P\left(N_2\right)$.

2. Démontrer, par la formule des probabilités composées, que pour tout entier $n⩾1$,

$$P\left(N_n\right)={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$$

3. Pour $n⩾1$, exprimer l'événement $[T=n]$ à l'aide de $N_{n-1}$ et de $R_n$ (on conviendra que $N_0=\mathrm{\Omega }$), puis montrer que

$$P(T=n)={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$$

4. Vérifier que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}P(T=n)=1}$. On pourra commencer par vérifier que ${\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}={\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$.

5. On note $J$ l'événement « le client ne répond jamais ». Montrer que pour tout $n⩾1$ on a $J\subset N_n$, puis en déduire que $P(J)=0$.

Partie B. Un client qui ne se lasse pas

On reprend la même situation, mais avec un autre modèle : cette fois, la probabilité de répondre est la même à chaque relance. On suppose que les événements $R_1$, $R_2$, $R_3$, et ainsi de suite forment une suite d'événements mutuellement indépendants, et que $P\left(R_k\right)=p$ pour tout $k⩾1$, avec $p\in ]0,1[$. On pose $q=1-p$.

6. Calculer $P\left(N_n\right)$ pour tout $n⩾1$.

7. Déterminer $P(T=n)$ pour tout $n⩾1$, puis reconnaître la loi de $T$.

8. Vérifier que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}P(T=n)=1}$, puis montrer que la probabilité que le client ne réponde jamais est nulle.

Partie C. Comparaison des deux modèles

9. Dans chacun des deux modèles, calculer $P_{N_n}\left(N_{n+k}\right)$ pour $n⩾1$ et $k⩾1$. Que constate-t-on ?

10. On prend $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$ dans la partie B, de sorte que les deux modèles donnent la même probabilité de réponse à la première relance. Comparer $P(T⩽5)$ et $P(T>10)$ dans les deux modèles, et interpréter.

On lance simultanément $n$ dés équilibrés à six faces, numérotées de $1$ à $6$, les lancers étant indépendants les uns des autres. On note $M$ le plus grand des résultats obtenus.

Pour tout $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ et tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on note $A_i^{(k)}$ l'événement « le $i$-ième dé donne un résultat inférieur ou égal à $k$ ».

Partie A. Le cas de trois dés

Dans cette partie, $n=3$.

1. Déterminer $M(\mathrm{\Omega })$.

2. Soit $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Justifier que

$$[M⩽k]=A_1^{(k)}\cap A_2^{(k)}\cap A_3^{(k)}$$

puis en déduire $P(M⩽k)$ en fonction de $k$.

3. En déduire $P(M=k)$ pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, et donner la loi de $M$ sous forme de tableau. Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

4. Calculer $E(M)$ sous forme de fraction irréductible, puis en donner une valeur approchée à ${10}^{-3}$. Commenter.

Partie B. Le cas général

On revient à $n$ dés, avec $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

5. Établir que, pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$,

$$P(M⩽k)={\left({\displaystyle \frac{k}{6}}\right)}^n\text{puis}P(M=k)={\left({\displaystyle \frac{k}{6}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{k-1}{6}}\right)}^n$$

6. Vérifier par un calcul télescopique que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{6}P(M=k)=1}$.

7. Un joueur veut être « presque sûr » d'obtenir au moins un $6$, c'est-à-dire vouloir $P(M=6)⩾\mathrm{0,99}$. Combien de dés doit-il lancer au minimum ? On donnera la réponse à l'aide de la fonction logarithme népérien.

Partie C. Le minimum

On note maintenant $m$ le plus petit des résultats obtenus par les $n$ dés.

8. Par la même démarche, exprimer $P(m⩾k)$ pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, puis en déduire $P(m=k)$.

9. Pour $n=3$, donner la loi de $m$ et calculer $E(m)$. Vérifier la cohérence avec le résultat de la question 4.

Un site de vente en ligne reçoit chaque jour un nombre aléatoire de commandes. On note $N$ ce nombre pour une journée donnée, et on admet que

$$N\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda )\text{avec}\lambda =4$$

Par ailleurs, chaque commande porte, indépendamment des autres, sur un produit momentanément en rupture de stock avec la probabilité $\mathrm{0,1}$.

On note $A$ l'événement « aucune commande de la journée ne porte sur un produit en rupture » et $B$ l'événement « exactement une commande de la journée porte sur un produit en rupture ».

1. Rappeler la loi de $N$, puis justifier que la famille ${([N=n])}_{n\in \mathbb{N}}$ est un système complet d'événements. Vérifier également que $P(N=n)\mathrm{\ne }0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et dire pourquoi ce point est indispensable ici.

2. Soit $n\in \mathbb{N}$. Déterminer $P_{[N=n]}(A)$ en justifiant soigneusement. On traitera à part le cas $n=0$.

3. À l'aide de la formule des probabilités totales, calculer $P(A)$. On reconnaîtra une série exponentielle et on montrera que

$$P(A)=e^{-\lambda \times \mathrm{0,1}}$$

Donner la valeur approchée à ${10}^{-4}$.

4. Par la même méthode, calculer $P(B)$ et en donner la valeur approchée à ${10}^{-4}$.

5. En déduire la probabilité qu'au moins deux commandes de la journée portent sur un produit en rupture, à ${10}^{-4}$ près.

6. Comparer $P(A)$ à $P(N=0)$ et interpréter. Que remarque-t-on par ailleurs sur la forme des résultats des questions 3. et 4. ?

Soit $p\in ]0,1[$ et soit $T$ une variable aléatoire telle que $T\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$. On pose $q=1-p$, de sorte que $q\in ]0,1[$.

Partie A. Le calcul de référence

1. Rappeler $T(\mathrm{\Omega })$ et $P(T=k)$ pour $k\in T(\mathrm{\Omega })$.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel $k$,

$$P(T>k)=q^k$$

par les deux méthodes suivantes.

a. Par le calcul. En sommant la série ${\displaystyle \sum _{n⩾k+1}P(T=n)}$.

b. Par l'interprétation. En traduisant l'événement $[T>k]$ à l'aide des épreuves de Bernoulli successives du processus.

3. En déduire $P(T⩽k)$, et vérifier la cohérence des cas $k=0$ et $k\to +\mathrm{\infty }$.

Partie B. L'absence de mémoire

4. Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels. Justifier que $P(T>n)\mathrm{\ne }0$, puis démontrer que

$$P_{[T>n]}([T>n+k])=P(T>k)$$

5. Un composant électronique tombe en panne au bout d'un nombre entier de mois de fonctionnement. On modélise par $T\hookrightarrow \mathcal{G}(\mathrm{0,05})$ le numéro du mois au cours duquel survient la panne.

a. Calculer $P(T>12)$ à ${10}^{-4}$ près.

b. Le composant fonctionne encore après $24$ mois. Calculer la probabilité qu'il fonctionne encore $12$ mois plus tard. Commenter en français ce que dit ce résultat sur l'usure du composant.

Partie C. La réciproque

On considère maintenant une variable aléatoire $S$ à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ telle que $P(S>n)\mathrm{\ne }0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et vérifiant la propriété d'absence de mémoire :

$$\mathrm{\forall }(n,k)\in {\mathbb{N}}^2,P_{[S>n]}([S>n+k])=P(S>k)$$

On pose $u_k=P(S>k)$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.

6. Calculer $u_0$.

7. Montrer que $u_{n+k}=u_n{u}_k$ pour tous entiers naturels $n$ et $k$.

8. En déduire par récurrence que $u_k={\left(u_1\right)}^k$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.

9. On pose $q=u_1$. Montrer que $q\in ]0,1[$, puis calculer $P(S=k)$ pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et conclure.

10. Application. Un service administratif constate que le nombre $S$ de jours ouvrés nécessaires au traitement d'un dossier est sans mémoire, et que $60\mathrm{\%}$ des dossiers ne sont pas traités au bout d'un jour. Déterminer la loi de $S$, puis calculer $P(S=3)$ et $P(S>5)$ à ${10}^{-4}$ près.

Soit $p\in ]0,1[$ et soit $T$ une variable aléatoire telle que $T\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$. On pose $q=1-p$, de sorte que $q\in ]0,1[$ et $p=1-q$.

On rappelle les deux résultats sur les séries dérivées, valables pour tout réel $x$ tel que $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ :

$$\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}k{x}^{k-1}={\displaystyle \frac{1}{(1-x{)}^2}}\text{et}\sum _{k=2}^{+\mathrm{\infty }}k(k-1)x^{k-2}={\displaystyle \frac{2}{(1-x{)}^3}}$$

1. Rappeler $T(\mathrm{\Omega })$ et $P(T=k)$. Justifier que $T$ admet une espérance, puis démontrer que

$$E(T)={\displaystyle \frac{1}{p}}$$

2. On s'intéresse maintenant à la variance.

a. Justifier l'existence de $E(T(T-1))$ et démontrer, par le théorème de transfert, que

$$E(T(T-1))={\displaystyle \frac{2q}{p^2}}$$

b. En déduire $E\left(T^2\right)$.

c. Démontrer, par la formule de Kœnig-Huygens, que

$$V(T)={\displaystyle \frac{1-p}{p^2}}$$

en détaillant la mise au même dénominateur.

3. Un commercial appelle des prospects les uns après les autres, jusqu'à obtenir une signature. Chaque appel aboutit à une signature avec la probabilité $p$, indépendamment des autres. On note $T$ le rang du premier appel qui aboutit.

a. Compléter le tableau suivant en donnant, pour chacune des trois valeurs de $p$, l'espérance, la variance et l'écart-type de $T$. Les écarts-types seront donnés à ${10}^{-3}$ près.

b. Interpréter la ligne $p=\mathrm{0,05}$ : que dit-elle au commercial sur le nombre d'appels à prévoir, et sur la confiance qu'il peut accorder à cette moyenne ? On pourra calculer $P(T>40)$, en admettant le résultat $P(T>k)=q^k$.

4. On suppose maintenant $p=1$. Déterminer directement la loi de $T$, son espérance et sa variance, et vérifier que les formules des questions 1. et 2. restent valables.

Soit $\lambda$ un réel strictement positif et soit $X$ une variable aléatoire telle que $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda )$.

On rappelle le développement en série de l'exponentielle, valable pour tout réel $x$ :

$$\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}=e^x$$

1. Rappeler $X(\mathrm{\Omega })$ et $P(X=k)$, puis vérifier que

$$\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}P(X=k)=1$$

2. Justifier que $X$ admet une espérance, puis démontrer que $E(X)=\lambda$. On simplifiera ${\displaystyle \frac{k}{k!}}$ avant de procéder à un changement d'indice.

3. On passe à la variance.

a. Démontrer, par le théorème de transfert, que $E(X(X-1))={\lambda }^2$.

b. En déduire $E\left(X^2\right)$, puis $V(X)$ par la formule de Kœnig-Huygens.

4. Calculer $E((X+1{)}^2)$ en fonction de $\lambda$, sans reprendre aucun calcul de série : on n'utilisera que la linéarité et les résultats des questions précédentes.

5. Une compagnie d'assurance suit un portefeuille de contrats automobiles. Le nombre $X$ de sinistres déclarés en une semaine est modélisé par une loi de Poisson de paramètre $\lambda =\mathrm{2,5}$.

a. Donner $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$, ce dernier à ${10}^{-3}$ près.

b. Calculer la probabilité qu'aucun sinistre ne soit déclaré dans la semaine, puis la probabilité qu'il y en ait au moins trois. On donnera les deux valeurs à ${10}^{-4}$ près.

c. Commenter le fait, remarquable, que l'espérance et la variance de $X$ coïncident. Quel usage pratique un actuaire peut-il en faire ?

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ pour laquelle il existe un réel $c$ tel que

$$\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}^{\ast },P(X=k)={\displaystyle \frac{c}{k(k+1)}}$$

1. Détermination de la constante.

a. Vérifier que, pour tout entier $k⩾1$, ${\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}={\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$.

b. En déduire la somme partielle ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}}$, puis montrer que la série ${\displaystyle \sum _{k⩾1}{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}}$ converge et que sa somme vaut $1$.

c. En déduire la valeur de $c$, et vérifier que la loi obtenue est bien une loi de probabilité.

2. La question centrale : $X$ admet-elle une espérance ? On pose, pour $n⩾1$, $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}}$.

a. Montrer que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}kP(X=k)=H_{n+1}-1}$.

b. Montrer que, pour tout $n⩾1$, $H_{2n}-H_n⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

c. En déduire par récurrence que $H_{2^m}⩾1+{\displaystyle \frac{m}{2}}$ pour tout entier $m⩾0$, puis que $H_n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

d. Conclure : $X$ admet-elle une espérance ?

3. Calculer $P(X⩽n)$ puis $P(X>n)$ pour tout entier $n⩾1$. Vérifier que $P(X>n)$ tend vers $0$. Ce résultat est-il en contradiction avec la question 2. ?

4. Une variable construite sur $X$ qui, elle, a une espérance.

a. On pose $Y={\displaystyle \frac{1}{X}}$. Justifier que $Y$ admet une espérance, et établir l'encadrement ${\displaystyle \frac{1}{2}}⩽E(Y)⩽{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

b. On pose $Z=\min (X,3)$. Déterminer la loi de $Z$ et calculer $E(Z)$.

c. Que faut-il retenir de cet exercice avant d'écrire « $E(X)=\dots$ » dans une copie ?

Dans tout l'exercice, on cherche à calculer l'espérance de ${\displaystyle \frac{1}{X+1}}$ pour deux lois usuelles. C'est un grand classique de la filière : le calcul repose à chaque fois sur une réécriture du terme général qui fait réapparaître la loi de départ.

Partie A. Cas d'une loi binomiale. Soient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $p\in ]0,1[$ et $X\hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)$. On note $q=1-p$.

1. Justifier que la variable ${\displaystyle \frac{1}{X+1}}$ est bien définie, et qu'elle admet une espérance sans aucune vérification de convergence.

2. Démontrer, en revenant aux factorielles, que pour tout $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ :

$${\displaystyle \frac{1}{k+1}}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)={\displaystyle \frac{1}{n+1}}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{k+1}\right)$$

3. À l'aide du théorème de transfert et de la question 2., démontrer que

$$E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{X+1}}\right)={\displaystyle \frac{1-(1-p{)}^{n+1}}{(n+1)p}}$$

4. Application numérique : calculer $E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{X+1}}\right)$ pour $n=5$ et $p=\mathrm{0,4}$, à ${10}^{-4}$ près.

Partie B. Cas d'une loi de Poisson. Soient $\lambda >0$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda )$.

5. Justifier que ${\displaystyle \frac{1}{Y+1}}$ admet une espérance.

6. En utilisant l'égalité ${\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{(k+1)!}}={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\times {\displaystyle \frac{{\lambda }^{k+1}}{(k+1)!}}$ et la série exponentielle, démontrer que

$$E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{Y+1}}\right)={\displaystyle \frac{1-e^{-\lambda }}{\lambda }}$$

7. Application numérique : calculer $E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{Y+1}}\right)$ pour $\lambda =2$, à ${10}^{-4}$ près.

Partie C. La morale de l'histoire.

8. Dans les deux applications numériques précédentes, comparer le résultat obtenu avec ${\displaystyle \frac{1}{E(X)+1}}$, puis avec ${\displaystyle \frac{1}{E(Y)+1}}$.

9. Soit $X$ une variable aléatoire positive admettant une espérance, et telle que ${\displaystyle \frac{1}{X+1}}$ admette elle aussi une espérance. En étudiant la convexité de la fonction $g:t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+t}}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et en comparant la courbe à sa tangente au point d'abscisse $E(X)$, démontrer que

$$E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{X+1}}\right)⩾{\displaystyle \frac{1}{E(X)+1}}$$

On se propose de retrouver la formule du binôme de Newton en la lisant dans la loi binomiale, puis d'en tirer des identités sur les coefficients binomiaux. Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. On pose $p={\displaystyle \frac{a}{a+b}}$.

a. Justifier que $p$ est bien défini et que $p\in ]0,1[$.

b. Vérifier que $1-p={\displaystyle \frac{b}{a+b}}$.

2. Soit $X\hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)$, avec le $p$ de la question 1.

a. Rappeler pourquoi ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}P(X=k)=1}$, et écrire cette égalité en fonction de $a$, de $b$ et de $n$.

b. En multipliant par $(a+b{)}^n$, en déduire que

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)a^k{b}^{n-k}$$

3. La formule est-elle démontrée ?

a. Expliquer pourquoi la démonstration de la question 2. ne prouve pas la formule pour tous les réels $a$ et $b$, et donner deux exemples de couples $(a,b)$ auxquels elle ne s'applique pas.

b. Démontrer la formule du binôme de Newton pour tous réels $a$ et $b$, par récurrence sur $n$, en utilisant la relation de Pascal $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{j-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{j}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{j}\right)$. La rédaction complète de la récurrence est attendue.

4. Deux identités obtenues en calculant une espérance. Dans cette question, $X\hookrightarrow \mathcal{B}\text{\hspace{0.17em}⁣}(n,{\displaystyle \frac{1}{2}})$.

a. Écrire $E(X)$ comme une somme, puis en déduire que

$$\sum _{k=0}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=n{2}^{n-1}$$

b. Soit $X\hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)$ avec $p$ quelconque dans $]0,1[$. À l'aide de la formule de Kœnig-Huygens et des valeurs connues de $E(X)$ et de $V(X)$, montrer que $E(X(X-1))=n(n-1)p^2$.

c. En appliquant b. avec $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$, démontrer que, pour $n⩾2$,

$$\sum _{k=0}^{n}k(k-1)\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=n(n-1)2^{n-2}$$

d. Vérifier les deux identités pour $n=4$ par un calcul direct.

Une entreprise installe une machine neuve. Chaque mois, indépendamment des mois précédents, la machine tombe en panne avec la probabilité $p=\mathrm{0,08}$. On note $T$ le rang du mois de la première panne, de sorte que $T\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$. On pose $q=1-p=\mathrm{0,92}$.

Le constructeur propose un contrat de maintenance qui couvre les $12$ premiers mois. Pour facturer ce contrat, il retient la variable

$$Y=\min (T,13)$$

autrement dit : $Y$ vaut $T$ si la première panne survient au cours des $12$ premiers mois, et $Y$ vaut $13$ dans tous les autres cas, la formule signifiant « au-delà d'un an, on ne compte plus ».

1. Loi de $Y$.

a. Déterminer $Y(\mathrm{\Omega })$.

b. Pour $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,12]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, exprimer $P(Y=k)$.

c. Justifier que $P(Y=13)=P(T>12)=q^{12}$, et donner une valeur approchée de ce nombre à ${10}^{-4}$ près.

d. Vérifier que la somme des probabilités trouvées vaut $1$.

2. Espérance de $Y$. On pose $A={\displaystyle \sum _{k=1}^{12}k{q}^{k-1}}$.

a. Montrer que $(1-q)A={\displaystyle \sum _{k=1}^{12}{q}^{k-1}-12q^{12}}$, puis en déduire une expression de $A$ en fonction de $p$ et de $q^{12}$.

b. En déduire que $E(Y)={\displaystyle \frac{1-q^{12}}{p}}+q^{12}$, puis donner la valeur approchée de $E(Y)$ à ${10}^{-3}$ près.

3. Rappeler la valeur de $E(T)$, la comparer à $E(Y)$ et expliquer le sens de l'écart.

4. Le coût du contrat. Le contrat est facturé $C=40Y+250$ euros : un forfait de $250$ euros, augmenté de $40$ euros par mois effectivement décompté. On pose $B={\displaystyle \sum _{k=1}^{12}{k}^2{q}^{k-1}}$.

a. Par la méthode de la question 2. a., montrer que $(1-q)B=2A-{\displaystyle \sum _{k=1}^{12}{q}^{k-1}-144q^{12}}$.

b. En déduire $E\left(Y^2\right)$ par le théorème de transfert, puis $V(Y)$ et $\sigma (Y)$ à ${10}^{-3}$ près.

c. Calculer $E(C)$ et $\sigma (C)$, arrondis au centime.

Cet exercice explique d'où vient la loi de Poisson, et pourquoi on l'utilise pour modéliser les événements rares dans une très grande population.

Soit $\lambda$ un réel strictement positif, fixé une fois pour toutes. Pour tout entier $n>\lambda$, on considère une variable aléatoire $X_n\hookrightarrow \mathcal{B}\text{\hspace{0.17em}⁣}(n,{\displaystyle \frac{\lambda }{n}})$.

1. Vérifier que ${\displaystyle \frac{\lambda }{n}}$ appartient bien à $]0,1[$, puis calculer $E(X_n)$. Que remarque-t-on ? Interpréter le modèle : que représentent $n$, ${\displaystyle \frac{\lambda }{n}}$ et $X_n$ ?

2. Soit $k$ un entier naturel fixé. On suppose désormais $n>\max (\lambda ,k)$. Écrire $P(X_n=k)$, puis montrer que

$$P(X_n=k)={\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}\times {\displaystyle \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}}\times {(1-{\displaystyle \frac{\lambda }{n}})}^n\times {(1-{\displaystyle \frac{\lambda }{n}})}^{-k}$$

3. Déterminer, quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ et à $k$ fixé, la limite de chacun des trois derniers facteurs.

a. Montrer que ${\displaystyle \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}}$ est un produit de $k$ facteurs tendant chacun vers $1$, et conclure.

b. Montrer, en écrivant ${(1-{\displaystyle \frac{\lambda }{n}})}^n=\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}(n\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1-{\displaystyle \frac{\lambda }{n}}))$ et en utilisant ${\displaystyle \underset{u\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln (1+u)}{u}}=1}$, que ce facteur tend vers $e^{-\lambda }$.

c. Déterminer la limite de ${(1-{\displaystyle \frac{\lambda }{n}})}^{-k}$.

4. Conclure que, pour tout entier naturel $k$ fixé,

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }P(X_n=k)=e^{-\lambda }{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}$$

5. Application. Une compagnie d'assurance a en portefeuille $5000$ contrats. Chaque contrat donne lieu à un sinistre dans l'année avec la probabilité $\mathrm{0,0006}$, indépendamment des autres. On note $S$ le nombre de sinistres de l'année.

a. Donner la loi exacte de $S$, puis $E(S)$.

b. Calculer $P(S=2)$ avec la loi exacte, à ${10}^{-5}$ près.

c. Calculer la valeur approchée de $P(S=2)$ fournie par la loi de Poisson de paramètre $3$, à ${10}^{-5}$ près.

d. Comparer, calculer l'écart relatif et commenter la qualité de l'approximation.