ECG appliquées · Chapitre 09 · Second semestre

Étude élémentaire des séries

1re année

Séries numériques à termes réels, convergence, séries géométriques, séries exponentielles, séries de Riemann.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Séries numériques à termes réels
Convergence
Séries géométriques
Séries exponentielles
Séries de Riemann

Le cours

Additionner deux nombres, ou trois, ou mille, ne pose aucune difficulté de principe. Mais que signifie additionner une infinité de nombres ? L'écriture

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots

n'a, telle quelle, aucun sens : aucune addition ne comporte une infinité d'étapes. Ce chapitre donne un sens précis à ce genre d'écriture, et il le donne de la seule manière rigoureuse possible : on additionne les termes un par un, ce qui produit une suite de résultats intermédiaires, puis on regarde si cette suite converge.

Voilà toute l'idée du chapitre, et il faut la retenir dès maintenant : une série n'est pas un objet nouveau, c'est une suite, celle de ses sommes partielles. Tout ce que vous savez sur les suites (limite, monotonie, théorème de la limite monotone, croissances comparées, suites extraites) s'applique donc immédiatement, sans rien avoir à réapprendre. Le premier réflexe, devant une série qui résiste, sera toujours de revenir à la suite $(S_{n})$ .

Le programme est explicite sur le niveau attendu : « aucune technicité n'est exigible en première année ». Les techniques de comparaison entre séries à termes positifs seront vues en deuxième année. Ce que l'on demande ici, c'est de savoir reconnaître quatre ou cinq séries de référence, de savoir télescoper, et de rédiger proprement.

Une raison très concrète, enfin, de soigner ce chapitre : le chapitre suivant, consacré aux variables aléatoires discrètes, ne peut pas commencer sans lui. Une grandeur aléatoire qui prend une infinité de valeurs conduit à des sommes infinies, et il faut d'abord savoir quand une telle somme a un sens. Les deux applications économiques de la fin du chapitre, la valeur d'une rente perpétuelle et le multiplicateur keynésien, montrent que les séries ne servent pas qu'aux probabilités.

Notations fixées pour tout le chapitre. La lettre $n$ désigne un entier naturel, $(u_{n})$ une suite réelle, $q$ et $x$ des réels. L'indice de départ, souvent $0$ ou $1$ , est noté $n_{0}$ et sera toujours précisé. Le symbole $□$ marque la fin d'une démonstration.

Séries et sommes partielles

Définition d'une série

Définition

Soit $(u_{n})_{n ⩾ n_{0}}$ une suite réelle. Pour tout entier $n ⩾ n_{0}$ , on appelle somme partielle d'ordre $n$ le nombre réel

S_{n} = k = n_{0} \sum n u_{k} = u_{n_{0}} + u_{n_{0} + 1} + \dots + u_{n}

La série de terme général $u_{n}$ est la suite $(S_{n})_{n ⩾ n_{0}}$ de ces sommes partielles. On la note $\sum u_{n}$ , ou $\sum_{n ⩾ n_{0}} u_{n}$ lorsqu'on veut rappeler l'indice de départ.

Insistons sur ce point, car c'est la clé de tout le chapitre : la série $\sum u_{n}$ est la suite $(S_{n})$ . Ce n'est pas une notation pour un nombre mystérieux, c'est une suite parfaitement ordinaire, dont le terme d'indice $n$ se calcule par une somme finie de $n - n_{0} + 1$ termes. Étudier une série, c'est étudier cette suite.

Remarque

La somme partielle est une somme finie : toutes les règles de calcul des sommes finies (linéarité, changement d'indice, télescopage, relation de Chasles sur les indices) s'y appliquent sans précaution particulière. C'est précisément ce qui rend les séries accessibles : on ne manipule jamais l'infini directement, on manipule des sommes finies, et l'infini n'intervient qu'à la toute fin, par un passage à la limite.

Convergence, divergence, somme

Définition

Soit $\sum_{n ⩾ n_{0}} u_{n}$ une série de sommes partielles $(S_{n})$ .

La série converge si la suite $(S_{n})$ admet une limite finie $S$ . Ce réel $S$ s'appelle alors la somme de la série, et l'on note

S = n = n_{0} \sum + \infty u_{n}

La série diverge dans tous les autres cas, c'est-à-dire si $(S_{n})$ tend vers $+ \infty$ , vers $- \infty$ , ou n'a pas de limite.

Déterminer la nature d'une série, c'est dire si elle converge ou si elle diverge.

Trois écritures voisines désignent trois objets différents, et les confondre est la faute la plus fréquente du chapitre.

Écriture	Ce que c'est
$u_{n}$	un nombre réel, le terme d'indice $n$
$\sum u_{n}$	une série, c'est-à-dire la suite $(S_{n})$
$\sum_{n = n_{0}}^{+ \infty} u_{n}$	un nombre réel, qui n'existe que si la série converge

Méthode

Avertissement de rédaction, à lire deux fois. L'écriture $\sum_{n = n_{0}}^{+ \infty} u_{n}$ désigne un nombre réel. Elle n'a de sens qu'après avoir établi la convergence de la série. On ne peut donc jamais commencer une solution par « posons $S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ » avant d'avoir prouvé que ce nombre existe.

L'ordre est toujours le même, sans exception :

1. on démontre que la série converge ; 2. on nomme sa somme et on la calcule.

Une copie qui manipule une somme infinie non justifiée perd les points de la question entière, même si le résultat numérique final est juste.

Méthode

Étudier une série à partir de la définition. Quand aucune série de référence n'est reconnaissable, on revient toujours à la même démarche en quatre temps.

1. Écrire la somme partielle $S_{n} = \sum_{k = n_{0}}^{n} u_{k}$ , en prenant garde à l'indice de départ et en utilisant une lettre d'indice muette ( $k$ ) différente de la borne ( $n$ ).

2. Calculer $S_{n}$ sous forme close, c'est-à-dire sous forme d'une expression de $n$ sans symbole de somme. C'est l'étape difficile, et il n'y a que deux techniques au programme de première année : la somme géométrique, et le télescopage.

3. Chercher la limite de $S_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ , avec les outils du chapitre sur les suites.

4. Conclure en une phrase qui nomme la nature de la série, puis donner la somme si elle converge.

Exemple

Deux exemples fondateurs, traités entièrement.

a. La série $\sum_{n ⩾ 0} (\frac{1}{2})^{n}$ . Sa somme partielle d'ordre $n$ est une somme géométrique de raison $\frac{1}{2}$ , que l'on sait calculer depuis le chapitre sur les suites :

S_{n} = k = 0 \sum n (\frac{1}{2})^{k} = \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 (1 - (\frac{1}{2})^{n + 1}) = 2 - (\frac{1}{2})^{n}

Comme $\frac{1}{2} < 1$ , on sait que $(\frac{1}{2})^{n} ⟶ 0$ , donc $S_{n} ⟶ 2$ . La suite $(S_{n})$ converge vers $2$ : la série converge, et

n = 0 \sum + \infty (\frac{1}{2})^{n} = 2

L'écriture informelle $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = 2$ de l'introduction a maintenant un sens précis, et ce résultat est démontré.

b. La série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n ( n + 1 )}$ . Ici la somme partielle ne ressemble à rien de connu, mais le terme général se décompose. Cherchons deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n ⩾ 1$ ,

\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{a}{n} + \frac{b}{n + 1}

En réduisant le membre de droite au dénominateur commun $n (n + 1)$ , il vient $\frac{a ( n + 1 ) + bn}{n ( n + 1 )} = \frac{( a + b ) n + a}{n ( n + 1 )}$ . Deux fractions de même dénominateur sont égales pour tout $n$ si, et seulement si leurs numérateurs coïncident en tant que polynômes en $n$ , ce qui donne le système

a + b = 0 et a = 1

d'où $a = 1$ et $b = - 1$ . Ainsi $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ , et la somme partielle se télescope :

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )} = k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1}

Tous les termes intermédiaires se détruisent deux à deux, il ne reste que le premier et le dernier. Comme $\frac{1}{n + 1} ⟶ 0$ , on obtient $S_{n} ⟶ 1$ , donc la série converge et

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1

La figure ci-dessous représente les sommes partielles de la série $\sum (\frac{1}{2})^{n}$ . Chaque point est une somme partielle $S_{n}$ ; on voit la suite grimper puis se stabiliser sous la valeur limite $S = 2$ , sans jamais l'atteindre.

Sommes partielles d'une série convergente

Le reste d'une série convergente

Quand une série converge, la différence entre la somme exacte et une somme partielle mesure l'erreur que l'on commet en s'arrêtant au rang $n$ . Cette quantité porte un nom.

Définition

Soit $\sum_{n ⩾ n_{0}} u_{n}$ une série convergente de somme $S$ . Pour tout $n ⩾ n_{0}$ , le reste d'ordre $n$ est le réel

R_{n} = S - S_{n}

Propriété

Soit $\sum_{n ⩾ n_{0}} u_{n}$ une série convergente de somme $S$ et de restes $(R_{n})$ . Alors, pour tout $n ⩾ n_{0}$ , la série $\sum_{k ⩾ n + 1} u_{k}$ converge et

R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k} et n \to + \infty lim R_{n} = 0

Démonstration. Fixons $n ⩾ n_{0}$ et notons, pour $m > n$ , $T_{m} = \sum_{k = n + 1}^{m} u_{k}$ la somme partielle de la série qui démarre au rang $n + 1$ . La relation de Chasles sur les indices d'une somme finie donne $S_{m} = S_{n} + T_{m}$ , c'est-à-dire

T_{m} = S_{m} - S_{n}

Quand $m$ tend vers $+ \infty$ , le réel $S_{n}$ est une constante et $S_{m} ⟶ S$ , donc $T_{m} ⟶ S - S_{n}$ . La suite $(T_{m})$ converge : la série $\sum_{k ⩾ n + 1} u_{k}$ converge, et sa somme vaut $S - S_{n} = R_{n}$ .

Reste à voir que $R_{n} ⟶ 0$ . C'est immédiat : $R_{n} = S - S_{n}$ , où $S$ est une constante et $S_{n} ⟶ S$ , donc $R_{n} ⟶ S - S = 0$ . $□$

Remarque

Cette propriété est le fondement de tout calcul approché de somme. Elle dit que la somme partielle $S_{n}$ est une valeur approchée de $S$ , dont l'erreur exacte est $R_{n}$ , et que cette erreur devient aussi petite que l'on veut. Encore faut-il savoir majorer $R_{n}$ pour garantir une précision donnée : nous le ferons pour les séries géométriques, où le reste se calcule exactement.

L'indice de départ

Propriété

Modifier l'indice de départ d'une série ne change pas sa nature. Précisément, si $n_{1} ⩾ n_{0}$ , les séries $\sum_{n ⩾ n_{0}} u_{n}$ et $\sum_{n ⩾ n_{1}} u_{n}$ sont de même nature. En cas de convergence, les sommes sont reliées par

n = n_{0} \sum + \infty u_{n} = n = n_{0} \sum n_{1} - 1 u_{n} + n = n_{1} \sum + \infty u_{n}

Démonstration. Notons $S_{n}$ et $T_{n}$ les sommes partielles respectives, pour $n ⩾ n_{1}$ . La relation de Chasles donne $S_{n} = C + T_{n}$ avec $C = \sum_{k = n_{0}}^{n_{1} - 1} u_{k}$ , un réel constant qui ne dépend pas de $n$ . Deux suites qui diffèrent d'une constante sont de même nature, et en cas de convergence leurs limites diffèrent de cette même constante. $□$

Remarque

Retenez la distinction, elle est constamment source d'erreurs aux concours : changer l'indice de départ ne change pas la nature, mais change la somme. Écrire $\sum_{n ⩾ 1} q^{n} = \frac{1}{1 - q}$ est une faute ; la bonne valeur est $\frac{q}{1 - q}$ .

Premières propriétés

Combinaison linéaire de séries convergentes

Propriété

Soient $\sum_{n ⩾ n_{0}} u_{n}$ et $\sum_{n ⩾ n_{0}} v_{n}$ deux séries convergentes, de sommes respectives $S$ et $T$ , et soient $λ$ et $μ$ deux réels. Alors la série $\sum_{n ⩾ n_{0}} (λ u_{n} + μ v_{n})$ converge et

n = n_{0} \sum + \infty (λ u_{n} + μ v_{n}) = λ n = n_{0} \sum + \infty u_{n} + μ n = n_{0} \sum + \infty v_{n} = λ S + μ T

Démonstration. Notons $S_{n}$ , $T_{n}$ et $W_{n}$ les sommes partielles d'ordre $n$ des trois séries. La linéarité de la somme finie donne, pour tout $n ⩾ n_{0}$ ,

W_{n} = k = n_{0} \sum n (λ u_{k} + μ v_{k}) = λ k = n_{0} \sum n u_{k} + μ k = n_{0} \sum n v_{k} = λ S_{n} + μ T_{n}

Par hypothèse $S_{n} ⟶ S$ et $T_{n} ⟶ T$ . Les théorèmes d'opérations sur les limites de suites donnent alors $W_{n} ⟶ λ S + μ T$ , qui est un réel. La suite $(W_{n})$ converge, donc la série converge, et sa somme est $λ S + μ T$ . $□$

Remarque

Toute la démonstration tient en une ligne parce que la linéarité est déjà connue pour les sommes finies. C'est le schéma de presque toutes les preuves de ce chapitre : on établit une identité sur la somme partielle, qui est finie, puis on passe à la limite. Ne cherchez jamais à raisonner directement sur la somme infinie.

Le piège : convergente plus divergente

Propriété

Si $\sum u_{n}$ converge et si $\sum v_{n}$ diverge, alors $\sum (u_{n} + v_{n})$ diverge.

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons que la série $\sum (u_{n} + v_{n})$ converge. Posons $w_{n} = u_{n} + v_{n}$ . Alors $v_{n} = w_{n} - u_{n}$ , c'est-à-dire $v_{n} = 1 \times w_{n} + (- 1) \times u_{n}$ : c'est une combinaison linéaire des termes généraux de deux séries convergentes, à savoir $\sum w_{n}$ (supposée convergente) et $\sum u_{n}$ (convergente par hypothèse). La propriété précédente s'applique et donne la convergence de $\sum v_{n}$ , ce qui contredit l'hypothèse. L'hypothèse de départ est donc fausse : la série $\sum (u_{n} + v_{n})$ diverge. $□$

Propriété

Si $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ divergent toutes les deux, on ne peut rien conclure sur la nature de $\sum (u_{n} + v_{n})$ .

Exemple

Deux contre-exemples suffisent à s'en convaincre, et il faut savoir les produire instantanément.

a. Prenons $u_{n} = 1$ et $v_{n} = - 1$ pour tout $n ⩾ 0$ . Les sommes partielles valent $S_{n} = n + 1 ⟶ + \infty$ et $T_{n} = - (n + 1) ⟶ - \infty$ : les deux séries divergent. Pourtant $u_{n} + v_{n} = 0$ pour tout $n$ , donc les sommes partielles de la série somme sont toutes nulles : $\sum (u_{n} + v_{n})$ converge, de somme $0$ .

b. Prenons maintenant $u_{n} = 1$ et $v_{n} = 1$ . Les deux séries divergent, et $u_{n} + v_{n} = 2$ donne des sommes partielles $2 (n + 1) ⟶ + \infty$ : la série somme diverge.

Les deux situations se produisent : aucune règle générale n'existe.

Méthode

Ce qu'il faut retenir pour rédiger. La linéarité s'utilise dans un seul sens, celui de la propriété : on part de séries dont on a déjà prouvé la convergence, et on en déduit celle de la combinaison. On ne l'utilise jamais à l'envers pour « couper » une série en deux morceaux dont on ignore la nature. Écrire

n ⩾ 1 \sum (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n} - n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n + 1}

est une faute grave : la série de gauche converge (nous l'avons calculée), alors qu'aucune des deux séries de droite ne converge, comme nous le verrons. L'égalité met en jeu deux nombres qui n'existent pas.

Les premiers termes ne changent pas la nature

Propriété

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites qui coïncident à partir d'un certain rang $N$ , c'est-à-dire telles que $u_{n} = v_{n}$ pour tout $n ⩾ N$ . Alors les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature.

Démonstration. Pour $n ⩾ N$ , la différence des sommes partielles vaut

S_{n} - T_{n} = k = n_{0} \sum n (u_{k} - v_{k}) = k = n_{0} \sum N - 1 (u_{k} - v_{k})

puisque tous les termes d'indice supérieur ou égal à $N$ sont nuls. Cette quantité est une constante $c$ indépendante de $n$ . On a donc $S_{n} = T_{n} + c$ pour tout $n ⩾ N$ , et deux suites qui diffèrent d'une constante sont de même nature. $□$

Remarque

Autrement dit, la convergence est une propriété du comportement au voisinage de l'infini : modifier, ajouter ou retirer un nombre fini de termes ne change rien à la nature de la série. En revanche, cela change la somme, exactement de la constante $c$ ci-dessus. C'est pourquoi les énoncés se permettent de dire « la série de terme général $\frac{1}{n ^{2}}$ » sans préciser si l'on démarre à $1$ ou à $5$ tant qu'on parle seulement de nature, mais précisent toujours l'indice quand on demande la somme.

La condition nécessaire de convergence

Voici le premier vrai théorème du chapitre, et celui que l'on utilise le plus souvent, presque toujours par sa contraposée.

Propriété

Si la série $\sum u_{n}$ converge, alors son terme général tend vers zéro :

\sum u_{n} converge ⟹ n \to + \infty lim u_{n} = 0

Démonstration. Supposons la série convergente, de somme $S$ , et notons $(S_{n})$ ses sommes partielles, de sorte que $S_{n} ⟶ S$ . Pour tout $n ⩾ n_{0} + 1$ , la relation entre deux sommes partielles consécutives s'écrit

S_{n} = S_{n - 1} + u_{n} donc u_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

La suite $(S_{n - 1})$ est une suite extraite de $(S_{n})$ , ou plus simplement la même suite décalée d'un rang : elle converge donc aussi vers $S$ . Par différence de limites,

u_{n} = S_{n} - S_{n - 1} ⟶ S - S = 0 □

Propriété

Divergence grossière (contraposée). Si le terme général $u_{n}$ ne tend pas vers $0$ , alors la série $\sum u_{n}$ diverge. On dit qu'elle diverge grossièrement.

Méthode

Le tout premier réflexe devant une série. Regardez la limite de $u_{n}$ .

Si $u_{n}$ ne tend pas vers $0$ (limite non nulle, limite infinie, ou pas de limite du tout), concluez immédiatement à la divergence grossière. C'est fini, en une ligne.
Si $u_{n} ⟶ 0$ , ce test ne donne aucune information : il faut poursuivre l'étude par une autre méthode.

Ce réflexe coûte dix secondes et règle un grand nombre de questions.

Exemple

a. $\sum_{n ⩾ 1} \frac{n}{n + 1}$ diverge grossièrement, car $\frac{n}{n + 1} ⟶ 1 \neq = 0$ .

b. $\sum_{n ⩾ 0} (- 1)^{n}$ diverge grossièrement : la suite $((- 1)^{n})$ prend alternativement les valeurs $1$ et $- 1$ , ses suites extraites de rangs pairs et impairs convergent vers des limites différentes, donc elle n'a pas de limite, et en particulier elle ne tend pas vers $0$ . On peut aussi le voir directement : $S_{n}$ vaut $1$ si $n$ est pair et $0$ si $n$ est impair, donc $(S_{n})$ n'a pas de limite.

c. $\sum_{n ⩾ 0} 2^{n}$ diverge grossièrement, car $2^{n} ⟶ + \infty$ .

d. $\sum_{n ⩾ 1} ln n$ diverge grossièrement, car $ln n ⟶ + \infty$ .

Méthode

La réciproque est FAUSSE, et c'est le piège central du chapitre. Le fait que $u_{n} ⟶ 0$ n'entraîne pas la convergence de $\sum u_{n}$ . Le contre-exemple de référence est la série harmonique $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n}$ : son terme général tend vers $0$ , et pourtant elle diverge. Nous le démontrerons de deux manières indépendantes dans la partie consacrée aux séries de référence.

Rédigez donc toujours l'implication dans le bon sens. « $u_{n} ⟶ 0$ donc la série converge » est une phrase fausse, et les correcteurs la sanctionnent lourdement parce qu'elle révèle une incompréhension du chapitre entier.

Séries télescopiques et lien avec les suites

Le programme demande explicitement de « souligner l'intérêt de la série de terme général $u_{n + 1} - u_{n}$ pour l'étude de la suite $(u_{n})$ ». Cette partie exploite le fait qu'une suite et la série de ses accroissements portent exactement la même information.

Le théorème du télescopage

Propriété

Soit $(u_{n})_{n ⩾ n_{0}}$ une suite réelle. La série $\sum_{n ⩾ n_{0}} (u_{n + 1} - u_{n})$ et la suite $(u_{n})$ sont de même nature : l'une converge si, et seulement si l'autre converge.

De plus, en cas de convergence, si $ℓ = lim_{n \to + \infty} u_{n}$ , alors

n = n_{0} \sum + \infty (u_{n + 1} - u_{n}) = ℓ - u_{n_{0}}

Démonstration. Notons $S_{n}$ la somme partielle d'ordre $n$ de la série des accroissements et calculons-la. Pour tout $n ⩾ n_{0}$ ,

S_{n} = k = n_{0} \sum n (u_{k + 1} - u_{k}) = k = n_{0} \sum n u_{k + 1} - k = n_{0} \sum n u_{k} = j = n_{0} + 1 \sum n + 1 u_{j} - k = n_{0} \sum n u_{k} = u_{n + 1} - u_{n_{0}}

Le changement d'indice $j = k + 1$ dans la première somme la transforme en la seconde, décalée d'un cran : tous les termes d'indice compris entre $n_{0} + 1$ et $n$ apparaissent une fois avec le signe $+$ et une fois avec le signe $-$ , et se détruisent. Il ne subsiste que $u_{n + 1}$ , présent seulement dans la première, et $- u_{n_{0}}$ , présent seulement dans la seconde.

L'identité $S_{n} = u_{n + 1} - u_{n_{0}}$ conclut la démonstration. Le réel $u_{n_{0}}$ est une constante, donc la suite $(S_{n})$ converge si, et seulement si la suite $(u_{n + 1})$ converge, c'est-à-dire si, et seulement si la suite $(u_{n})$ converge. Et dans ce cas $S_{n} ⟶ ℓ - u_{n_{0}}$ . $□$

Remarque

Ce théorème se lit dans les deux sens, et les deux sont utiles.

De la suite vers la série. Si l'on connaît la limite de $(u_{n})$ , on obtient gratuitement la somme de la série des accroissements. C'est ainsi que l'on calcule la plupart des sommes exactes de ce chapitre en dehors des séries de référence.
De la série vers la suite. Si l'on sait étudier la série $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ , on en déduit la nature de la suite $(u_{n})$ . C'est l'usage annoncé par le programme : une suite définie par une récurrence additive $u_{n + 1} = u_{n} + a_{n}$ se ramène à l'étude de la série $\sum a_{n}$ .

Reconnaître un télescopage

Méthode

Comment repérer une série télescopique. Trois formes reviennent constamment.

1. Un quotient dont le dénominateur est un produit de facteurs qui se déduisent l'un de l'autre par translation, du type $\frac{1}{n ( n + 1 )}$ , $\frac{1}{n ( n + 2 )}$ , $\frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}$ . On décompose en éléments simples : on cherche $a$ et $b$ tels que

\frac{1}{( n + α ) ( n + β )} = \frac{a}{n + α} + \frac{b}{n + β}

on réduit au même dénominateur, et on identifie les coefficients du polynôme obtenu au numérateur.

2. Un logarithme d'un quotient, du type $ln (\frac{n + 1}{n})$ ou $ln (1 + \frac{1}{n})$ : la propriété $ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$ fait apparaître la différence directement.

3. Une différence déjà écrite, $u_{n + 1} - u_{n}$ , qu'il suffit de reconnaître.

Une fois la différence obtenue, on écrit la somme partielle, on télescope, et on passe à la limite. Attention au décalage : si la différence est $v_{n} - v_{n + 2}$ et non $v_{n} - v_{n + 1}$ , il reste deux termes à chaque bout et non un seul.

Exemple

a. Un télescopage avec décalage de deux crans : $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n ( n + 2 )}$ .

Cherchons $a$ et $b$ réels tels que, pour tout $n ⩾ 1$ ,

\frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{a}{n} + \frac{b}{n + 2}

En réduisant au dénominateur commun, le membre de droite vaut $\frac{a ( n + 2 ) + bn}{n ( n + 2 )} = \frac{( a + b ) n + 2 a}{n ( n + 2 )}$ . L'identification des numérateurs donne le système

a + b = 0 et 2 a = 1

d'où $a = \frac{1}{2}$ et $b = - \frac{1}{2}$ . On a donc

\frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})

Calculons la somme partielle. Pour $n ⩾ 1$ , en séparant les deux sommes puis en effectuant le changement d'indice $j = k + 2$ dans la seconde :

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (k = 1 \sum n \frac{1}{k} - k = 1 \sum n \frac{1}{k + 2}) = \frac{1}{2} (k = 1 \sum n \frac{1}{k} - j = 3 \sum n + 2 \frac{1}{j}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})

À la dernière ligne, les deux sommes partagent les indices de $3$ à $n$ , qui se détruisent ; il reste les indices $1$ et $2$ de la première somme, et les indices $n + 1$ et $n + 2$ de la seconde, affectés du signe moins. Comme $\frac{1}{n + 1} ⟶ 0$ et $\frac{1}{n + 2} ⟶ 0$ ,

S_{n} ⟶ \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

La série converge et $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{3}{4}$ .

b. Un télescopage logarithmique : $\sum_{n ⩾ 1} ln (\frac{n + 1}{n})$ .

Le terme général s'écrit $u_{n} = ln (n + 1) - ln n$ , différence des termes consécutifs de la suite $v_{n} = ln n$ . La somme partielle se télescope :

S_{n} = k = 1 \sum n (ln (k + 1) - ln k) = ln (n + 1) - ln 1 = ln (n + 1)

Or $ln (n + 1) ⟶ + \infty$ , donc la série diverge.

Cet exemple mérite d'être médité : le terme général $ln (1 + \frac{1}{n})$ tend bien vers $0$ , et pourtant la série diverge. Voilà un second contre-exemple, entièrement démontré, à l'idée fausse selon laquelle « $u_{n} ⟶ 0$ suffirait ».

c. De la série vers la suite. Soit $(u_{n})_{n ⩾ 1}$ définie par $u_{1} = 1$ et, pour tout $n ⩾ 1$ ,

u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{n ( n + 1 )}

Cette récurrence ne se résout par aucune des formules du chapitre sur les suites : elle n'est ni arithmétique, ni géométrique, ni arithmético-géométrique. Mais la différence $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )}$ est le terme général d'une série que nous avons déjà étudiée, et dont nous savons qu'elle converge, de somme $1$ .

Par le théorème du télescopage, la suite $(u_{n})$ converge donc, et sa limite $ℓ$ vérifie $ℓ - u_{1} = 1$ , c'est-à-dire

ℓ = 1 + 1 = 2

On peut le retrouver directement : $u_{n} = u_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k ( k + 1 )} = 1 + 1 - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n}$ , qui tend bien vers $2$ . C'est exactement l'usage annoncé par le programme : la série a résolu un problème de suite.

Séries à termes positifs

Les séries dont tous les termes sont positifs se comportent beaucoup plus simplement que les autres, pour une raison très simple : leurs sommes partielles ne peuvent que croître.

Croissance des sommes partielles

Propriété

Soit $\sum_{n ⩾ n_{0}} u_{n}$ une série dont le terme général vérifie $u_{n} ⩾ 0$ pour tout $n ⩾ n_{0}$ . Alors la suite $(S_{n})$ de ses sommes partielles est croissante.

Démonstration. Pour tout $n ⩾ n_{0}$ , $S_{n + 1} - S_{n} = u_{n + 1} ⩾ 0$ . La suite $(S_{n})$ est donc croissante. $□$

Cette remarque, apparemment anodine, a une conséquence décisive lorsqu'on lui applique le théorème de la limite monotone du chapitre sur les suites.

Propriété

Théorème (séries à termes positifs). Soit $\sum_{n ⩾ n_{0}} u_{n}$ une série à termes positifs, de sommes partielles $(S_{n})$ . Alors une seule des deux situations suivantes se produit.

Si la suite $(S_{n})$ est majorée, la série converge, et sa somme $S$ vérifie $S_{n} ⩽ S$ pour tout $n$ .
Si la suite $(S_{n})$ n'est pas majorée, alors $S_{n} ⟶ + \infty$ et la série diverge.

En particulier : une série à termes positifs converge si, et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Démonstration. La suite $(S_{n})$ est croissante d'après la propriété précédente. Le théorème de la limite monotone affirme exactement ceci : une suite croissante et majorée converge, et une suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ . Il n'y a rien de plus à démontrer. La majoration $S_{n} ⩽ S$ vient du fait qu'une suite croissante est toujours majorée par sa limite. $□$

Remarque

Une série à termes positifs n'a donc que deux comportements possibles : converger, ou tendre vers $+ \infty$ . Le cas embarrassant d'une suite de sommes partielles qui oscille sans limite, comme pour $\sum (- 1)^{n}$ , ne peut pas se produire. C'est pourquoi, pour une telle série, on dit indifféremment « la série diverge » et « la série tend vers $+ \infty$ ».

Notez aussi que le reste $R_{n} = S - S_{n}$ d'une série convergente à termes positifs est toujours positif : la somme partielle est une valeur approchée par défaut de la somme.

Ce qui est au programme de première année, et ce qui ne l'est pas

Méthode

Frontière de programme, à connaître pour ne pas perdre son temps. Les techniques de comparaison entre séries à termes positifs, du type « si $0 ⩽ u_{n} ⩽ v_{n}$ et si $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge », relèvent du programme de deuxième année. Il en va de même des comparaisons par équivalents ou par négligeabilité. Vous n'avez ni le droit ni le besoin de les invoquer cette année.

Ce que vous faites à la place, en première année : vous majorez à la main la somme partielle $S_{n}$ , sur l'exemple précis proposé par l'énoncé, en écrivant explicitement les inégalités terme à terme puis en sommant. L'énoncé vous guide toujours vers la bonne majoration, souvent par une question préliminaire du type « montrer que pour tout $k ⩾ 2$ , ... ». L'exemple ci-dessous en est le modèle exact.

Exemple

La série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n ^{2}}$ converge.

Ses termes sont positifs : d'après le théorème précédent, il suffit de majorer les sommes partielles par une constante.

Étape 1, la majoration terme à terme. Soit $k ⩾ 2$ . Comme $k - 1 ⩾ 1$ , on a $k (k - 1) ⩽ k \times k = k^{2}$ , et ces deux quantités sont strictement positives, donc en passant aux inverses (ce qui renverse l'inégalité) :

\frac{1}{k ^{2}} ⩽ \frac{1}{k ( k - 1 )}

Étape 2, la décomposition du majorant. Le même calcul d'éléments simples que précédemment donne, pour $k ⩾ 2$ ,

\frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}

ce que l'on vérifie immédiatement en réduisant le membre de droite au même dénominateur : $\frac{k - ( k - 1 )}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k ( k - 1 )}$ .

Étape 3, la sommation. Pour $n ⩾ 2$ , on isole le terme d'indice $1$ puis on somme les inégalités de l'étape 1 :

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2}} = 1 + k = 2 \sum n \frac{1}{k ^{2}} ⩽ 1 + k = 2 \sum n (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}) = 1 + (1 - \frac{1}{n}) = 2 - \frac{1}{n}

la somme du milieu s'étant télescopée. On en déduit $S_{n} ⩽ 2$ pour tout $n ⩾ 1$ (l'inégalité est immédiate pour $n = 1$ , puisque $S_{1} = 1$ ).

Conclusion. La suite $(S_{n})$ est croissante (termes positifs) et majorée par $2$ : elle converge. La série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n ^{2}}$ converge, et sa somme vérifie $S ⩽ 2$ .

Remarquez ce que cette méthode donne et ce qu'elle ne donne pas : elle établit la convergence et fournit un encadrement de la somme, mais elle ne calcule pas la somme. La valeur exacte de $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{2}}$ est connue depuis Euler, elle vaut $\frac{π ^{2}}{6}$ , soit environ $1, 6449$ , mais sa démonstration dépasse très largement le programme des deux années. Elle n'est jamais exigible : seule la convergence l'est.

Les séries de référence

Cette partie est le cœur pratique du chapitre. Les séries qui suivent doivent être reconnues instantanément, avec leur condition de convergence et leur somme.

La série géométrique

Propriété

Soit $q$ un réel. La série $\sum_{n ⩾ 0} q^{n}$ converge si, et seulement si $∣ q ∣ < 1$ . Dans ce cas,

n = 0 \sum + \infty q^{n} = \frac{1}{1 - q}

Plus généralement, pour tout entier $n_{0} ⩾ 0$ et tout réel $q$ tel que $∣ q ∣ < 1$ ,

n = n_{0} \sum + \infty q^{n} = \frac{q ^{n_{0}}}{1 - q}

Démonstration. Traitons séparément les deux cas.

Cas $∣ q ∣ ⩾ 1$ . Alors $∣ q^{n} ∣ = ∣ q ∣^{n} ⩾ 1$ pour tout $n$ , donc la suite $(q^{n})$ ne tend pas vers $0$ . La série diverge grossièrement. Ce cas englobe $q = 1$ (où $S_{n} = n + 1 ⟶ + \infty$ ) et $q = - 1$ (où $(S_{n})$ vaut alternativement $1$ et $0$ ).

Cas $∣ q ∣ < 1$ . Alors $q \neq = 1$ , et la formule de la somme géométrique finie, connue depuis le chapitre sur les suites, donne pour tout $n ⩾ 0$

S_{n} = k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}

Comme $∣ q ∣ < 1$ , on sait que $q^{n} ⟶ 0$ , donc $q^{n + 1} ⟶ 0$ et

S_{n} ⟶ \frac{1 - 0}{1 - q} = \frac{1}{1 - q}

La série converge et sa somme vaut $\frac{1}{1 - q}$ .

Cas d'un indice de départ quelconque. Toujours pour $∣ q ∣ < 1$ , la somme partielle à partir de $n_{0}$ se factorise :

k = n_{0} \sum n q^{k} = q^{n_{0}} j = 0 \sum n - n_{0} q^{j} = q^{n_{0}} \times \frac{1 - q ^{n - n_{0} + 1}}{1 - q} ⟶ \frac{q ^{n_{0}}}{1 - q} □

Méthode

La formule à retenir sous sa forme parlante. Pour $∣ q ∣ < 1$ ,

somme = \frac{premier terme}{1 - raison}

Cette formulation évite l'erreur d'indice la plus fréquente du chapitre. Par exemple $\sum_{n ⩾ 3} (\frac{1}{2})^{n}$ a pour premier terme $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ et pour raison $\frac{1}{2}$ , donc vaut $\frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4}$ .

Propriété

Reste d'une série géométrique. Pour $∣ q ∣ < 1$ et $n ⩾ 0$ ,

R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty q^{k} = \frac{q ^{n + 1}}{1 - q}

Démonstration. C'est la formule précédente appliquée à l'indice de départ $n + 1$ . On peut aussi la retrouver par soustraction :

R_{n} = S - S_{n} = \frac{1}{1 - q} - \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} = \frac{1 - ( 1 - q ^{n + 1} )}{1 - q} = \frac{q ^{n + 1}}{1 - q} □

Remarque

C'est la seule série de ce chapitre dont on sache calculer le reste exactement. Cette formule est donc l'outil de tous les calculs approchés, et nous l'utiliserons dans la partie consacrée au calcul de sommes.

Les deux séries dérivées

Propriété

Soit $q$ un réel tel que $∣ q ∣ < 1$ . Les deux séries suivantes convergent et

n = 1 \sum + \infty n q^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}} et n = 2 \sum + \infty n (n - 1) q^{n - 2} = \frac{2}{( 1 - q ) ^{3}}

Le nom de « séries dérivées » vient de ce que $n q^{n - 1}$ est la dérivée de $q^{n}$ et $n (n - 1) q^{n - 2}$ sa dérivée seconde : les deux formules s'obtiennent en dérivant une fois puis deux fois l'égalité $\sum q^{n} = \frac{1}{1 - q}$ par rapport à $q$ . Ce raisonnement, qui consiste à dériver terme à terme une somme infinie, n'est pas justifiable avec les outils de première année, et le programme se contente d'admettre les résultats. Mais on peut parfaitement les démontrer à la main, et c'est ce que nous faisons ici.

Démonstration de la première formule. Posons, pour $n ⩾ 1$ ,

T_{n} = k = 1 \sum n k q^{k - 1}

L'idée est de multiplier par $1 - q$ pour faire apparaître un télescopage. Écrivons

(1 - q) T_{n} = k = 1 \sum n k q^{k - 1} - k = 1 \sum n k q^{k}

Dans la seconde somme, effectuons le changement d'indice $j = k + 1$ , de sorte que $k = j - 1$ et que $j$ varie de $2$ à $n + 1$ :

k = 1 \sum n k q^{k} = j = 2 \sum n + 1 (j - 1) q^{j - 1}

Les deux sommes portent maintenant sur la même puissance $q^{k - 1}$ . En isolant le terme $k = 1$ de la première et le terme $k = n + 1$ de la seconde, il vient

(1 - q) T_{n} = 1 \times q^{0} + k = 2 \sum n (k - (k - 1)) q^{k - 1} - n q^{n} = 1 + k = 2 \sum n q^{k - 1} - n q^{n} = k = 1 \sum n q^{k - 1} - n q^{n} = \frac{1 - q ^{n}}{1 - q} - n q^{n}

en reconnaissant à la dernière ligne une somme géométrique finie de premier terme $1$ et de raison $q \neq = 1$ . En divisant par $1 - q$ , qui est non nul,

T_{n} = \frac{1 - q ^{n}}{( 1 - q ) ^{2}} - \frac{n q ^{n}}{1 - q}

Il ne reste qu'à passer à la limite. Comme $∣ q ∣ < 1$ , on a $q^{n} ⟶ 0$ ; et par croissances comparées, $n q^{n} ⟶ 0$ également (la puissance $∣ q ∣^{n}$ , qui tend vers $0$ géométriquement, l'emporte sur le facteur $n$ ). Donc

T_{n} ⟶ \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}} □

Démonstration de la seconde formule. La technique est identique. Posons, pour $n ⩾ 2$ ,

U_{n} = k = 2 \sum n k (k - 1) q^{k - 2}

et multiplions par $1 - q$ . Le changement d'indice $j = k + 1$ dans la seconde somme donne

(1 - q) U_{n} = k = 2 \sum n k (k - 1) q^{k - 2} - j = 3 \sum n + 1 (j - 1) (j - 2) q^{j - 2}

En isolant le terme $k = 2$ de la première somme, qui vaut $2 \times 1 \times q^{0} = 2$ , et le terme $j = n + 1$ de la seconde, qui vaut $n (n - 1) q^{n - 1}$ , il reste des indices de $3$ à $n$ communs aux deux sommes, avec le coefficient

k (k - 1) - (k - 1) (k - 2) = (k - 1) (k - (k - 2)) = 2 (k - 1)

d'où

(1 - q) U_{n} = 2 + k = 3 \sum n 2 (k - 1) q^{k - 2} - n (n - 1) q^{n - 1} = 2 k = 2 \sum n (k - 1) q^{k - 2} - n (n - 1) q^{n - 1} = 2 T_{n - 1} - n (n - 1) q^{n - 1}

la dernière égalité s'obtenant par le changement d'indice $i = k - 1$ , qui transforme $\sum_{k = 2}^{n} (k - 1) q^{k - 2}$ en $\sum_{i = 1}^{n - 1} i q^{i - 1} = T_{n - 1}$ .

On passe à la limite : $T_{n - 1} ⟶ \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}}$ d'après la première partie, et $n (n - 1) q^{n - 1} ⟶ 0$ par croissances comparées (une puissance de $n$ face à une suite géométrique de raison de valeur absolue strictement inférieure à $1$ ). Donc

(1 - q) U_{n} ⟶ \frac{2}{( 1 - q ) ^{2}} puis U_{n} ⟶ \frac{2}{( 1 - q ) ^{3}} □

Méthode

Ramener une série au catalogue. Toute série de la forme $\sum P (n) q^{n}$ , où $P$ est un polynôme, se ramène aux trois séries de référence en deux gestes.

1. Ajuster la puissance de $q$ en factorisant. Les formules du cours portent sur $q^{n - 1}$ et $q^{n - 2}$ , alors que les énoncés proposent presque toujours $q^{n}$ . On écrit donc $q^{n} = q \times q^{n - 1}$ et $q^{n} = q^{2} \times q^{n - 2}$ , ce qui donne les deux formules dérivées les plus utiles en pratique :

n = 1 \sum + \infty n q^{n} = \frac{q}{( 1 - q ) ^{2}} et n = 2 \sum + \infty n (n - 1) q^{n} = \frac{2 q ^{2}}{( 1 - q ) ^{3}}

2. Décomposer le polynôme dans la base $1$ , $n$ , $n (n - 1)$ , plutôt que dans la base $1$ , $n$ , $n^{2}$ . La décomposition clé est

n^{2} = n (n - 1) + n

On applique ensuite la linéarité, après avoir constaté que chacune des séries obtenues converge.

Vérifiez toujours l'indice de départ après ces manipulations : les termes d'indice $0$ ou $1$ sont souvent nuls, ce qui permet d'ajuster les bornes sans changer la somme.

Exemple

a. Calcul de $\sum_{n ⩾ 0} n^{2} q^{n}$ pour $∣ q ∣ < 1$ .

Le terme d'indice $0$ est nul, donc on peut aussi bien sommer à partir de $n = 1$ . Utilisons $n^{2} = n (n - 1) + n$ :

n^{2} q^{n} = n (n - 1) q^{n} + n q^{n}

Les deux séries $\sum n (n - 1) q^{n}$ et $\sum n q^{n}$ convergent d'après la propriété (le terme d'indice $1$ de la première est nul, on peut la faire démarrer à $n = 1$ sans rien changer). Par linéarité, la série $\sum n^{2} q^{n}$ converge et

n = 0 \sum + \infty n^{2} q^{n} = n = 2 \sum + \infty n (n - 1) q^{n} + n = 1 \sum + \infty n q^{n} = \frac{2 q ^{2}}{( 1 - q ) ^{3}} + \frac{q}{( 1 - q ) ^{2}} = \frac{2 q ^{2} + q ( 1 - q )}{( 1 - q ) ^{3}} = \frac{q ^{2} + q}{( 1 - q ) ^{3}} = \frac{q ( 1 + q )}{( 1 - q ) ^{3}}

Appliquons cette formule à $q = \frac{1}{3}$ :

n = 0 \sum + \infty \frac{n ^{2}}{3 ^{n}} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{3}}{( \frac{2}{3} ) ^{3}} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{27}} = \frac{4}{9} \times \frac{27}{8} = \frac{3}{2}

b. Une série du type $\sum (an + b) q^{n}$ : calcul de $\sum_{n ⩾ 0} (2 n + 3) (\frac{1}{2})^{n}$ .

Les séries $\sum n (\frac{1}{2})^{n}$ et $\sum (\frac{1}{2})^{n}$ convergent, la seconde comme série géométrique de raison $\frac{1}{2}$ , la première comme série dérivée. Par linéarité, la série proposée converge et

n = 0 \sum + \infty (2 n + 3) (\frac{1}{2})^{n} = 2 n = 1 \sum + \infty n (\frac{1}{2})^{n} + 3 n = 0 \sum + \infty (\frac{1}{2})^{n} = 2 \times \frac{\frac{1}{2}}{( \frac{1}{2} ) ^{2}} + 3 \times \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \times 2 + 3 \times 2 = 10

La série exponentielle

Propriété

Résultat admis. Pour tout réel $x$ , la série $\sum_{n ⩾ 0} \frac{x ^{n}}{n !}$ converge et

n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{n !} = e^{x}

En particulier, pour $x = 1$ ,

n = 0 \sum + \infty \frac{1}{n !} = e

Le programme précise que la convergence et la valeur de la somme sont admises en première année. On peut toutefois vérifier que le résultat est plausible : le terme général $\frac{x ^{n}}{n !}$ tend bien vers $0$ pour tout réel $x$ , par croissances comparées, la factorielle l'emportant sur toute puissance. La condition nécessaire de convergence est donc satisfaite, ce qui ne prouve rien mais ne contredit rien.

Remarque

Cette série converge pour tout réel $x$ , sans aucune condition, à la différence de la série géométrique. C'est ce qui la rend si commode. Notez aussi les premières valeurs, qui donnent une idée de la vitesse :

1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} \approx 2, 7167 alors que e \approx 2, 7183

Six termes donnent déjà deux décimales exactes, et huit termes en donnent quatre : la factorielle au dénominateur fait chuter les termes très vite.

Méthode

Les deux simplifications à connaître par cœur. Elles servent chaque fois qu'un polynôme en $n$ multiplie $\frac{x ^{n}}{n !}$ .

Pour $n ⩾ 1$ : $\frac{n}{n !} = \frac{n}{n \times ( n - 1 )!} = \frac{1}{( n - 1 )!}$

Pour $n ⩾ 2$ : $\frac{n ( n - 1 )}{n !} = \frac{n ( n - 1 )}{n ( n - 1 ) \times ( n - 2 )!} = \frac{1}{( n - 2 )!}$

La démarche pour traiter $\sum P (n) \frac{x ^{n}}{n !}$ est alors la suivante.

1. Décomposer $P (n)$ dans la base $1$ , $n$ , $n (n - 1)$ , comme pour les séries dérivées. 2. Simplifier chaque quotient avec les deux formules ci-dessus, ce qui fait baisser l'indice de la factorielle. 3. Changer d'indice pour se ramener à $\sum_{m ⩾ 0} \frac{x ^{m}}{m !}$ , en sortant la puissance de $x$ excédentaire. 4. Conclure par linéarité, chacune des séries obtenues étant convergente.

Exemple

Calcul de $\sum_{n ⩾ 0} \frac{n ^{2} + 1}{n !} x^{n}$ pour $x$ réel.

Étape 1, la décomposition. On écrit $n^{2} + 1 = n (n - 1) + n + 1$ , ce que l'on vérifie en développant : $n (n - 1) + n + 1 = n^{2} - n + n + 1 = n^{2} + 1$ .

Étape 2, les trois morceaux. Traitons-les séparément.

Le premier, en remarquant que les termes d'indice $0$ et $1$ sont nuls, puis avec le changement d'indice $m = n - 2$ :

n ⩾ 0 \sum \frac{n ( n - 1 )}{n !} x^{n} = n ⩾ 2 \sum \frac{x ^{n}}{( n - 2 )!} = m ⩾ 0 \sum \frac{x ^{m + 2}}{m !} = x^{2} m ⩾ 0 \sum \frac{x ^{m}}{m !} = x^{2} e^{x}

Le deuxième, en remarquant que le terme d'indice $0$ est nul, puis avec $m = n - 1$ :

n ⩾ 0 \sum \frac{n}{n !} x^{n} = n ⩾ 1 \sum \frac{x ^{n}}{( n - 1 )!} = m ⩾ 0 \sum \frac{x ^{m + 1}}{m !} = x e^{x}

Le troisième est la série exponentielle elle-même : $n ⩾ 0 \sum \frac{x ^{n}}{n !} = e^{x}$ .

Étape 3, la conclusion. Les trois séries convergent, donc par linéarité la série proposée converge et

n = 0 \sum + \infty \frac{n ^{2} + 1}{n !} x^{n} = x^{2} e^{x} + x e^{x} + e^{x} = (x^{2} + x + 1) e^{x}

Pour $x = 1$ , on obtient en particulier

n = 0 \sum + \infty \frac{n ^{2} + 1}{n !} = 3 e \approx 8, 1548

La série harmonique et les séries de Riemann

Définition

La série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n}$ s'appelle la série harmonique.

Propriété

La série harmonique diverge. Comme elle est à termes positifs, ses sommes partielles tendent vers $+ \infty$ :

H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k} ⟶ + \infty

Voici deux démonstrations indépendantes, toutes deux au programme des outils de première année. La première est la plus classique, la seconde donne en prime une minoration explicite.

Première démonstration, par la différence $H_{2 n} - H_{n}$ . Soit $n ⩾ 1$ . Écrivons

H_{2 n} - H_{n} = k = n + 1 \sum 2 n \frac{1}{k}

Cette somme comporte exactement $n$ termes (les indices de $n + 1$ à $2 n$ ). Chacun d'eux est minoré par le plus petit d'entre eux, qui est $\frac{1}{2 n}$ , puisque $k ⩽ 2 n$ entraîne $\frac{1}{k} ⩾ \frac{1}{2 n}$ . Donc

H_{2 n} - H_{n} ⩾ n \times \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2}

Supposons maintenant, par l'absurde, que la série converge, c'est-à-dire que $H_{n} ⟶ ℓ$ pour un certain réel $ℓ$ . La suite $(H_{2 n})$ est une suite extraite de $(H_{n})$ , elle converge donc vers la même limite $ℓ$ . Par différence,

H_{2 n} - H_{n} ⟶ ℓ - ℓ = 0

Or le passage à la limite dans l'inégalité $H_{2 n} - H_{n} ⩾ \frac{1}{2}$ , valable pour tout $n$ , donne $0 ⩾ \frac{1}{2}$ , ce qui est absurde. La série harmonique diverge donc. $□$

Seconde démonstration, par télescopage logarithmique. Établissons d'abord l'inégalité auxiliaire

ln (1 + t) ⩽ t pour tout t > - 1

La fonction $ln$ est concave sur $] 0, + \infty [$ (sa dérivée seconde $- \frac{1}{x ^{2}}$ est négative), donc sa courbe est située sous chacune de ses tangentes. La tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y = x - 1$ , d'où $ln x ⩽ x - 1$ pour tout $x > 0$ . En posant $x = 1 + t$ , on obtient l'inégalité annoncée.

Appliquons-la à $t = \frac{1}{k}$ pour $k ⩾ 1$ :

\frac{1}{k} ⩾ ln (1 + \frac{1}{k}) = ln (\frac{k + 1}{k}) = ln (k + 1) - ln k

Sommons ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$ . Le membre de droite se télescope :

H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k} ⩾ k = 1 \sum n (ln (k + 1) - ln k) = ln (n + 1) - ln 1 = ln (n + 1)

Comme $ln (n + 1) ⟶ + \infty$ , le théorème de minoration donne $H_{n} ⟶ + \infty$ . La série harmonique diverge. $□$

Remarque

La seconde démonstration est plus riche que la première : elle fournit la minoration explicite $H_{n} ⩾ ln (n + 1)$ , qui montre à quel point la divergence est lente. Pour dépasser $10$ , il faut environ $n = 12367$ termes ; pour dépasser $20$ , il en faut plus de $250$ millions. Une divergence peut être imperceptible sur les premiers milliers de termes, ce qui doit vous rendre très méfiant vis-à-vis des conclusions tirées d'un calcul numérique.

C'est exactement ce que montre la figure ci-dessous : les sommes partielles montent, mais de plus en plus lentement, et pourtant elles finissent par dépasser n'importe quelle valeur.

Sommes partielles de la série harmonique

La série harmonique est le contre-exemple annoncé plus haut : son terme général $\frac{1}{n}$ tend vers $0$ , et pourtant elle diverge. La condition nécessaire de convergence n'est donc pas suffisante.

Propriété

Séries de Riemann (résultat admis). Soit $α$ un réel. La série

n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{α}}

converge si, et seulement si $α > 1$ .

Ce critère est admis en première année : il sera démontré en deuxième année, à l'aide des techniques de comparaison entre séries à termes positifs. Trois cas particuliers sont toutefois à votre portée dès maintenant, et il est bon de les avoir vus.

a. $α ⩽ 0$ : divergence grossière

b. $α = 1$ : série harmonique, divergente

c. $α = 2$ : convergente, $S ⩽ 2$

Le premier cas se justifie en une ligne : pour $α ⩽ 0$ , le terme $\frac{1}{n ^{α}} = n^{- α}$ ne tend pas vers $0$ . Le deuxième est la série harmonique, dont nous venons de démontrer la divergence de deux façons. Le troisième a été traité par majoration à la main dans la partie sur les séries à termes positifs.

Le cas $0 < α ⩽ 1$ se traite aussi à la main sur cet exemple précis. Pour $k ⩾ 1$ , l'inégalité $α ⩽ 1$ donne $k^{α} ⩽ k$ , donc $\frac{1}{k ^{α}} ⩾ \frac{1}{k}$ , et en sommant ces inégalités puis en utilisant la minoration obtenue plus haut,

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{α}} ⩾ k = 1 \sum n \frac{1}{k} = H_{n} ⩾ ln (n + 1)

d'où $S_{n} ⟶ + \infty$ et la divergence. Notez bien la nature de cet argument : c'est une minoration explicite de la somme partielle, écrite entièrement à la main sur cet exemple, et non l'invocation d'un théorème de comparaison, qui n'est pas au programme de première année. Seul le cas $α > 1$ avec $α \neq = 2$ reste admis.

Convergence absolue

Jusqu'ici, les séries dont nous savons calculer la somme sont soit à termes positifs, soit géométriques. Comment traiter une série dont les termes changent de signe de manière quelconque ? Le programme introduit pour cela une notion, dont l'unique but en première année est de préparer la définition de l'espérance d'une variable aléatoire discrète au chapitre suivant.

Définition

Une série $\sum u_{n}$ est dite absolument convergente si la série $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge.

Remarque

La série $\sum ∣ u_{n} ∣$ est à termes positifs : tout ce que nous savons de ces séries s'y applique. En particulier, d'après le théorème des séries à termes positifs, $\sum u_{n}$ converge absolument si, et seulement si la suite $(\sum_{k = n_{0}}^{n} ∣ u_{k} ∣)$ est majorée. Étudier la convergence absolue d'une série revient donc toujours à étudier une série à termes positifs, c'est-à-dire un cas plus simple.

Propriété

Résultat admis. Toute série absolument convergente est convergente :

\sum ∣ u_{n} ∣ converge ⟹ \sum u_{n} converge

De plus, on a alors l'inégalité triangulaire

n = n_{0} \sum + \infty u_{n} ⩽ n = n_{0} \sum + \infty ∣ u_{n} ∣

L'implication est admise, conformément au programme. L'inégalité, en revanche, se démontre en une ligne une fois l'implication acquise.

Démonstration de l'inégalité. Notons $S_{n} = \sum_{k = n_{0}}^{n} u_{k}$ et $A_{n} = \sum_{k = n_{0}}^{n} ∣ u_{k} ∣$ . L'inégalité triangulaire pour une somme finie donne, pour tout $n$ ,

∣ S_{n} ∣ ⩽ A_{n}

Par hypothèse $A_{n}$ converge vers $A = \sum_{n = n_{0}}^{+ \infty} ∣ u_{n} ∣$ , et par le résultat admis $S_{n}$ converge vers $S = \sum_{n = n_{0}}^{+ \infty} u_{n}$ . La fonction valeur absolue étant continue, $∣ S_{n} ∣ ⟶ ∣ S ∣$ . Le passage à la limite dans une inégalité large la conserve, donc $∣ S ∣ ⩽ A$ . $□$

Méthode

Attention à la réciproque, et à la manière d'en parler. La réciproque est fausse : il existe des séries qui convergent sans converger absolument. L'exemple classique est $\sum_{n ⩾ 1} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ , dont la série des valeurs absolues est la série harmonique, donc divergente, alors que la série elle-même converge.

Seulement, la convergence de cette série ne peut pas être établie avec les outils de première année : elle repose sur le critère spécial des séries alternées, qui n'est pas au programme. Retenez donc simplement, sans chercher à le justifier, que la convergence absolue est strictement plus forte que la convergence. Dans un devoir, n'affirmez jamais la convergence de $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ comme si elle allait de soi ; si un énoncé vous y conduit, il vous guidera par des questions intermédiaires.

Méthode

La démarche pour une série de signe quelconque. En première année, elle est unique.

1. Écrire $∣ u_{n} ∣$ et l'identifier : c'est une série à termes positifs, en général géométrique, dérivée ou exponentielle. 2. Prouver la convergence de $\sum ∣ u_{n} ∣$ . 3. Conclure à la convergence de $\sum u_{n}$ par le théorème admis. 4. Calculer alors la somme, en reconnaissant une série de référence de raison négative.

Le point $4$ est souvent le plus rapide : les formules de la série géométrique et de ses dérivées sont valables pour tout $q$ tel que $∣ q ∣ < 1$ , y compris $q$ négatif. Il n'y a donc aucune formule nouvelle à apprendre.

Exemple

a. La série $\sum_{n ⩾ 0} \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n}}$ .

Son terme général s'écrit $u_{n} = (- \frac{1}{2})^{n}$ . La série des valeurs absolues est $\sum (\frac{1}{2})^{n}$ , série géométrique de raison $\frac{1}{2}$ dans $] - 1, 1 [$ : elle converge. La série $\sum u_{n}$ converge donc absolument, donc converge.

Sa somme se calcule par la formule géométrique avec $q = - \frac{1}{2}$ , qui vérifie bien $∣ q ∣ < 1$ :

n = 0 \sum + \infty (- \frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{1 - ( - \frac{1}{2} )} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}

Vérifions l'inégalité triangulaire : $\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ , tandis que la somme des valeurs absolues vaut $\frac{1}{1 - 1/2} = 2$ . On a bien $\frac{2}{3} ⩽ 2$ .

b. La série $\sum_{n ⩾ 1} \frac{( - 1 ) ^{n} n}{3 ^{n}}$ .

Son terme général s'écrit $u_{n} = n (- \frac{1}{3})^{n}$ . La série des valeurs absolues est $\sum_{n ⩾ 1} \frac{n}{3 ^{n}}$ , qui converge comme série dérivée de raison $\frac{1}{3}$ , de somme

n = 1 \sum + \infty n (\frac{1}{3})^{n} = \frac{\frac{1}{3}}{( 1 - \frac{1}{3} ) ^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{3}{4}

La série $\sum u_{n}$ converge donc absolument, donc converge. Sa somme s'obtient par la même formule appliquée à $q = - \frac{1}{3}$ :

n = 1 \sum + \infty n (- \frac{1}{3})^{n} = \frac{- \frac{1}{3}}{( 1 + \frac{1}{3} ) ^{2}} = \frac{- \frac{1}{3}}{\frac{16}{9}} = - \frac{3}{16}

L'inégalité triangulaire est bien vérifiée : $- \frac{3}{16} = \frac{3}{16} ⩽ \frac{3}{4}$ .

Remarque

Pourquoi cette notion figure au programme de première année. Le programme le dit sans détour : la convergence absolue « est abordée uniquement pour permettre une définition de l'espérance d'une variable aléatoire discrète ». Au chapitre suivant, vous rencontrerez des sommes infinies dont les termes peuvent être de signes quelconques, et il faudra un critère qui garantisse que la somme a un sens sans dépendre de l'ordre dans lequel on additionne les termes. La convergence absolue est ce critère, et c'est la raison pour laquelle vous devez la connaître dès maintenant.

Calculer une somme, exactement ou approximativement

Les cinq réflexes

Méthode

Devant une série à étudier, parcourez cette liste dans l'ordre. Elle couvre l'intégralité de ce qui est exigible en première année.

1. Le terme général tend-il vers $0$ ? S'il ne tend pas vers $0$ , la série diverge grossièrement et c'est terminé en une ligne. Ce test se fait de tête, toujours en premier.

2. Est-ce une géométrique ou l'une de ses dérivées ? Cherchez la forme $q^{n}$ , $n q^{n}$ , $n (n - 1) q^{n}$ , ou un polynôme en $n$ multipliant $q^{n}$ . Vérifiez $∣ q ∣ < 1$ , ajustez la puissance de $q$ et l'indice de départ, décomposez le polynôme dans la base $1$ , $n$ , $n (n - 1)$ .

3. Est-ce une exponentielle ? La présence d'une factorielle au dénominateur est le signal. Simplifiez $\frac{n}{n !}$ et $\frac{n ( n - 1 )}{n !}$ , changez d'indice, sortez la puissance de $x$ excédentaire.

4. Peut-on télescoper ? Le signal est un quotient dont le dénominateur est un produit de facteurs décalés, ou un logarithme de quotient. Décomposez en éléments simples, écrivez la somme partielle, comptez soigneusement les termes qui survivent à chaque bout.

5. Sinon, s'agit-il seulement de déterminer la nature ? Si la série est à termes positifs, majorez la somme partielle à la main en suivant les indications de l'énoncé, et concluez par le théorème de la limite monotone. Si les termes changent de signe, passez par la convergence absolue.

Si aucun de ces cinq réflexes n'aboutit, relisez l'énoncé : en première année, il contient nécessairement une indication que vous n'avez pas exploitée.

Le calcul approché d'une somme

Quand on ne sait pas calculer la somme exactement, ou quand on veut une valeur numérique, on remplace $S$ par une somme partielle $S_{n}$ . Encore faut-il savoir quelle erreur on commet. La règle est toujours la même : l'erreur est exactement le reste $R_{n}$ , il faut donc le majorer.

Méthode

Obtenir une valeur approchée à $ε$ près.

1. Établir la convergence de la série et exprimer, ou majorer, le reste $R_{n}$ . 2. Résoudre l'inéquation $∣ R_{n} ∣ ⩽ ε$ d'inconnue $n$ , en passant au logarithme si nécessaire. 3. Choisir le plus petit entier $n$ solution, et annoncer que $S_{n}$ est une valeur approchée de $S$ à $ε$ près.

Pour une série à termes positifs, $R_{n} ⩾ 0$ : la somme partielle est une valeur approchée par défaut, et l'on peut même encadrer $S$ par $S_{n} ⩽ S ⩽ S_{n} + ε$ .

Exemple

Une valeur approchée de $\sum_{n ⩾ 0} (\frac{1}{3})^{n}$ à $1 0^{- 3}$ près.

La série est géométrique de raison $q = \frac{1}{3}$ , avec $∣ q ∣ < 1$ : elle converge, et sa somme exacte vaut

S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}

Ici la somme exacte est connue, ce qui permettra de vérifier la méthode, mais appliquons quand même la démarche générale. Le reste vaut

R_{n} = \frac{q ^{n + 1}}{1 - q} = \frac{( \frac{1}{3} ) ^{n + 1}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3 ^{n + 1}} = \frac{1}{2 \times 3 ^{n}}

Cherchons les entiers $n$ tels que $R_{n} ⩽ 1 0^{- 3}$ :

\frac{1}{2 \times 3 ^{n}} ⩽ 1 0^{- 3} ⟺ 2 \times 3^{n} ⩾ 1000 ⟺ 3^{n} ⩾ 500

Comme $3^{5} = 243 < 500$ et $3^{6} = 729 ⩾ 500$ , et comme la suite $(3^{n})$ est strictement croissante, la condition équivaut à $n ⩾ 6$ .

Le plus petit entier convenable est donc $n = 6$ , et

S_{6} = \frac{1 - ( \frac{1}{3} ) ^{7}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{2187}) = \frac{1093}{729} \approx 1, 499314

Contrôlons : l'erreur réelle vaut $S - S_{6} = \frac{3}{2} - \frac{1093}{729} = \frac{1}{1458} \approx 6, 86 \times 1 0^{- 4}$ , effectivement inférieure à $1 0^{- 3}$ . Et l'ordre $5$ n'aurait pas suffi, puisque $R_{5} = \frac{1}{486} \approx 2, 06 \times 1 0^{- 3}$ .

Un calcul en Python

Le programme prévoit l'usage de Python. Voici la fonction que l'on écrit pour approcher la somme d'une série en accumulant les termes jusqu'à ce qu'ils deviennent négligeables.

def somme_approchee(u, tol):
    """Somme les termes u(0), u(1), ... tant que |u(n)| >= tol.

    u   : fonction qui a un entier n associe le terme u(n)
    tol : seuil d'arret sur la valeur absolue du terme
    Renvoie le couple (somme partielle calculee, dernier indice somme).
    """
    S = 0.0
    n = 0
    while abs(u(n)) >= tol:
        S += u(n)
        n += 1
    return S, n - 1


# Serie geometrique de raison 1/3, dont la somme exacte vaut 3/2.
S, n = somme_approchee(lambda k: (1 / 3) ** k, 1e-3)
print(S, n)        # 1.4993141289437586   6
print(3 / 2 - S)   # 0.000685871056241405

Remarque

Ce que ce programme garantit, et ce qu'il ne garantit pas. Il garantit une seule chose : la boucle s'arrête au premier rang où le terme passe sous le seuil, et il renvoie la somme partielle correspondante.

Il ne garantit pas que l'erreur commise soit inférieure à tol. La confusion entre « le terme est petit » et « le reste est petit » est précisément l'erreur que la série harmonique dénonce : ses termes $\frac{1}{n}$ deviennent aussi petits que l'on veut, et pourtant ses restes n'existent même pas, puisque la série diverge. Appliquée à cette série en démarrant à $n = 1$ , la fonction s'arrêterait au rang $1000$ pour tol = 1e-3 et renverrait une valeur qui n'approche rien du tout.

La garantie ne peut venir que d'une majoration mathématique du reste, établie avant de lancer le calcul, comme nous l'avons fait pour la série géométrique. Le programme exécute le calcul, il ne le justifie pas. Une copie qui conclut à une précision à partir du seul comportement numérique commet une faute de raisonnement.

Deux applications économiques

Les séries géométriques ne sont pas un objet de curiosité : elles sont l'outil de base du calcul financier et de la macroéconomie élémentaire. Voici deux modèles que vous rencontrerez en économie et dans les sujets de concours.

Valeur actuelle d'une rente perpétuelle

Un euro disponible dans un an vaut moins qu'un euro disponible aujourd'hui, puisque l'euro d'aujourd'hui, placé au taux annuel $r > 0$ , deviendrait $1 + r$ dans un an. Pour comparer des sommes disponibles à des dates différentes, on les ramène toutes à aujourd'hui : c'est l'actualisation. La valeur actuelle d'un flux $F$ perçu dans $n$ années est

\frac{F}{( 1 + r ) ^{n}}

Cas d'un flux constant. Considérons un actif qui verse un flux constant $F > 0$ à la fin de chaque année, indéfiniment : un loyer, un coupon d'obligation perpétuelle, un dividende supposé stable. Sa valeur actuelle est la somme de toutes les valeurs actualisées :

V = n = 1 \sum + \infty \frac{F}{( 1 + r ) ^{n}}

Posons $q = \frac{1}{1 + r}$ . Comme $r > 0$ , on a $0 < q < 1$ , donc $∣ q ∣ < 1$ : la série géométrique converge, et l'on peut écrire

V = F n = 1 \sum + \infty q^{n} = F \times \frac{q}{1 - q} = F \times \frac{\frac{1}{1 + r}}{1 - \frac{1}{1 + r}} = F \times \frac{\frac{1}{1 + r}}{\frac{r}{1 + r}} = \frac{F}{r}

Exemple

Un garage loué $100$ euros par mois rapporte $F = 1200$ euros par an. Avec un taux d'actualisation $r = 0, 04$ , soit $4$ pour cent, sa valeur actuelle est

V = \frac{1200}{0 , 04} = 30000 euros

La lecture économique est immédiate : au-delà de ce prix, l'achat du garage rapporte moins que le placement au taux $r$ . Notez que la valeur est finie bien que les flux soient infinis en nombre, parce que l'actualisation les écrase géométriquement.

Cas d'un flux à croissance géométrique. Supposons maintenant que le flux croisse au taux annuel $g$ , de sorte que le versement de l'année $n$ vaut $F (1 + g)^{n - 1}$ , avec $- 1 < g < r$ . La valeur actuelle est

V = n = 1 \sum + \infty \frac{F ( 1 + g ) ^{n - 1}}{( 1 + r ) ^{n}}

Factorisons pour faire apparaître une série géométrique. En écrivant $(1 + r)^{n} = (1 + r) \times (1 + r)^{n - 1}$ :

V = \frac{F}{1 + r} n = 1 \sum + \infty (\frac{1 + g}{1 + r})^{n - 1}

Posons $q = \frac{1 + g}{1 + r}$ . L'hypothèse $g < r$ donne $1 + g < 1 + r$ , donc $q < 1$ , et l'hypothèse $g > - 1$ donne $q > 0$ : la condition $∣ q ∣ < 1$ est satisfaite, la série converge, et sa somme vaut $\frac{1}{1 - q}$ puisqu'elle démarre à l'exposant $0$ . D'où

V = \frac{F}{1 + r} \times \frac{1}{1 - \frac{1 + g}{1 + r}} = \frac{F}{1 + r} \times \frac{1 + r}{( 1 + r ) - ( 1 + g )} = \frac{F}{r - g}

Remarque

On retrouve la formule dite de Gordon et Shapiro, utilisée pour évaluer une action à partir de ses dividendes. La condition $g < r$ n'est pas une commodité de calcul, c'est une condition économique : si les flux croissaient au moins aussi vite que le taux d'actualisation, la série divergerait et la valeur de l'actif serait infinie, ce qui n'a pas de sens. Le même garage, avec un loyer indexé à $g = 0, 02$ , vaudrait $\frac{1200}{0 , 04 - 0 , 02} = 60000$ euros, soit le double.

Le multiplicateur keynésien

Un État injecte une dépense initiale $D > 0$ dans l'économie, par exemple une commande publique. Cette somme devient un revenu pour ceux qui la reçoivent. Ils en consomment une fraction $c \in] 0, 1 [$ , appelée propension marginale à consommer, et épargnent le reste. Cette consommation devient à son tour le revenu d'autres agents, qui en consomment de nouveau la fraction $c$ , et ainsi de suite.

Les dépenses engendrées par vagues successives sont donc

D, cD, c^{2} D, c^{3} D, \dots

et l'effet total sur l'activité économique est la somme de la série géométrique de raison $c$ :

E = n = 0 \sum + \infty c^{n} D = D n = 0 \sum + \infty c^{n} = \frac{D}{1 - c}

la série convergeant puisque $0 < c < 1$ entraîne $∣ c ∣ < 1$ .

Exemple

Avec une propension marginale à consommer $c = 0, 8$ , le coefficient $\frac{1}{1 - c} = \frac{1}{0 , 2} = 5$ s'appelle le multiplicateur : une dépense publique de $1$ million d'euros engendre au total $5$ millions d'euros d'activité.

Trois lectures économiques méritent d'être retenues.

a. Le multiplicateur est d'autant plus grand que $c$ est proche de $1$ , c'est-à-dire que les agents consomment une part importante de leur revenu supplémentaire. Avec $c = 0, 9$ , il vaut $10$ .

b. La quantité $1 - c$ mesure les fuites du circuit économique à chaque tour, ici l'épargne. Plus les fuites sont importantes, plus l'effet s'éteint vite, et plus le multiplicateur est faible.

c. L'effet total est fini, alors que le nombre de vagues est infini. C'est exactement le phénomène de la série géométrique convergente.

Remarque

Le reste de cette série a lui aussi une interprétation. Après $n$ vagues, l'activité cumulée vaut $E_{n} = D \frac{1 - c ^{n + 1}}{1 - c}$ , et il reste à venir

R_{n} = \frac{D c ^{n + 1}}{1 - c}

Cette quantité mesure la part de l'effet qui ne s'est pas encore matérialisée : le quotient $\frac{R _{n}}{E}$ vaut exactement $c^{n + 1}$ . Pour $c = 0, 8$ , après la vague de rang $n = 10$ , il reste $c^{11} \approx 0, 086$ , soit environ $8, 6$ pour cent de l'effet total : l'essentiel du multiplicateur s'est déjà produit. C'est le même calcul de reste que dans la partie précédente, appliqué à une question de politique économique.

Erreurs classiques à ne pas commettre

Méthode

1. Écrire la somme avant d'avoir prouvé la convergence. L'écriture $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ désigne un nombre, qui n'existe pas si la série diverge. Toute manipulation d'une somme non justifiée invalide la question entière, et conduit d'ailleurs souvent à des égalités fausses, comme nous l'avons vu en séparant $\sum (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ en deux morceaux divergents.

2. Croire que $u_{n} ⟶ 0$ suffit. C'est la faute la plus fréquente, et la plus lourdement sanctionnée. La condition est nécessaire, jamais suffisante : la série harmonique et la série de terme général $ln (1 + \frac{1}{n})$ en fournissent deux contre-exemples entièrement démontrés dans ce cours. Utilisez ce test uniquement dans le sens de la contraposée, pour conclure à une divergence grossière.

3. Sommer deux séries dont l'une diverge. La linéarité exige la convergence des deux séries. Si l'une converge et l'autre diverge, la somme diverge. Si les deux divergent, on ne peut rien dire, comme le montrent les deux contre-exemples $u_{n} = 1$ avec $v_{n} = - 1$ , puis $v_{n} = 1$ .

4. Oublier l'indice de départ dans la formule géométrique. La formule $\frac{1}{1 - q}$ vaut pour une somme démarrant à $n = 0$ . À partir de $n_{0}$ , la somme est $\frac{q ^{n_{0}}}{1 - q}$ . Pensez toujours à la forme parlante : premier terme divisé par $1$ moins la raison. La même vigilance s'impose pour les séries dérivées, où l'exposant de $q$ diffère de l'indice de sommation.

5. Confondre la série et la suite. La suite $(\frac{1}{n})$ converge vers $0$ , mais la série $\sum \frac{1}{n}$ diverge : ce sont deux objets différents, et deux questions différentes. Lisez l'énoncé avec attention, et n'écrivez jamais « la série tend vers $0$ », qui ne veut rien dire. Une série converge ou diverge, un terme général tend vers une limite.

6. Appliquer une comparaison non exigible en première année. Les énoncés du type « $0 ⩽ u_{n} ⩽ v_{n}$ et $\sum v_{n}$ converge donc $\sum u_{n}$ converge », les équivalents et les négligeabilités relèvent de la deuxième année. En première année, on majore la somme partielle à la main, sur l'exemple proposé, en suivant les indications de l'énoncé. Invoquer un théorème hors programme, c'est aussi risquer de l'appliquer de travers, par exemple en oubliant l'hypothèse de positivité.

7. Manipuler une somme infinie comme une somme finie. Regrouper des termes, les réordonner, intervertir deux sommations : toutes ces opérations demandent des justifications qui ne sont pas au programme. Travaillez toujours sur la somme partielle, qui est finie, et ne passez à la limite qu'à la fin.

Ce qu'il faut retenir

Le tableau ci-dessous rassemble les séries de référence du chapitre. Il doit être su par cœur, condition de convergence comprise.

Série	Converge si et seulement si	Somme
$\sum_{n ⩾ 0} q^{n}$	$∣ q ∣ < 1$	$\frac{1}{1 - q}$
$\sum_{n ⩾ n_{0}} q^{n}$	$∣ q ∣ < 1$	$\frac{q ^{n_{0}}}{1 - q}$
$\sum_{n ⩾ 1} n q^{n - 1}$	$∣ q ∣ < 1$	$\frac{1}{( 1 - q ) ^{2}}$
$\sum_{n ⩾ 2} n (n - 1) q^{n - 2}$	$∣ q ∣ < 1$	$\frac{2}{( 1 - q ) ^{3}}$
$\sum_{n ⩾ 0} \frac{x ^{n}}{n !}$	tout réel $x$	$e^{x}$
$\sum_{n ⩾ 1} \frac{1}{n ^{α}}$	$α > 1$	non exigible

Les quatre théorèmes à savoir énoncer sans hésiter sont les suivants.

Condition nécessaire. Si $\sum u_{n}$ converge, alors $u_{n} ⟶ 0$ . La réciproque est fausse, comme le montre la série harmonique.
Séries à termes positifs. Une telle série converge si, et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
Télescopage. La série $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ et la suite $(u_{n})$ ont la même nature, et en cas de convergence la somme vaut $ℓ - u_{n_{0}}$ .
Convergence absolue. Si $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge, et $∣ \sum u_{n} ∣ ⩽ \sum ∣ u_{n} ∣$ .

Trois résultats de ce chapitre sont admis : la convergence et la somme de la série exponentielle, le critère de convergence des séries de Riemann pour $α > 1$ (qui sera démontré en deuxième année), et l'implication « convergence absolue donc convergence ». Tout le reste a été démontré ici, et peut vous être redemandé.

Le cours en PDF(PDF, 203 Ko)

Les exercices

34 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Sommes partielles et somme d'une série géométrique

Série de terme général u(n), sommes partielles, nature d'une sérieSéries géométriques : convergence et somme

On considère la série de terme général $u_{n} = 0, 4^{n}$ , définie pour $n ⩾ 0$ . Pour tout entier $n ⩾ 0$ , on note $S_{n} = k = 0 \sum n u_{k}$ sa somme partielle de rang $n$ .

1. Calculer $S_{0}$ , $S_{1}$ , $S_{2}$ et $S_{3}$ , d'abord sous forme de fraction, puis en écriture décimale.

2. Donner l'expression de $S_{n}$ en fonction de $n$ .

3. En déduire la nature de la série, et sa somme en cas de convergence.

4. À partir de quel rang $n$ a-t-on $S_{n} > 1, 66$ ?

Exercice 2 ★★★★ — Nature de six séries géométriques

Séries géométriques : convergence et sommeCondition nécessaire de convergence et divergence grossière

Pour chacun des six termes généraux suivants, définis pour $n ⩾ 0$ , préciser la nature de la série $\sum u_{n}$ . Lorsqu'elle converge, calculer sa somme.

a. $u_{n} = (\frac{1}{3})^{n}$

b. $u_{n} = (- \frac{2}{5})^{n}$

c. $u_{n} = (\frac{7}{6})^{n}$

d. $u_{n} = 3 \times (0, 9)^{n}$

e. $u_{n} = (- 1)^{n}$

f. $u_{n} = 2^{- 3 n}$

Exercice 3 ★★★★ — Divergence grossière : cinq séries à écarter

Condition nécessaire de convergence et divergence grossière

Pour chacun des cinq termes généraux suivants, définis pour $n ⩾ 1$ , déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ , puis dire si le critère de divergence grossière permet de conclure quant à la nature de la série $\sum u_{n}$ .

a. $u_{n} = \frac{3 n + 1}{n + 2}$

b. $u_{n} = \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 5}$

c. $u_{n} = ln (2 + \frac{1}{n})$

d. $u_{n} = \frac{2 ^{n}}{2 ^{n} + 1}$

e. $u_{n} = n + 1 - n$

Exercice 4 ★★★★ — Somme d'une série géométrique à partir d'un rang quelconque

Séries géométriques : convergence et sommeConvergence, somme d'une série, reste et calcul approché

Justifier la convergence de chacune des séries suivantes, puis calculer sa somme.

1. $n ⩾ 3 \sum (\frac{1}{2})^{n}$

2. $n ⩾ 1 \sum 5 \times (\frac{1}{4})^{n}$

3. $n ⩾ 2 \sum \frac{3 ^{n}}{4 ^{n + 1}}$

Exercice 5 ★★★★ — Combinaison linéaire de séries convergentes

Combinaison linéaire de séries convergentesSéries géométriques : convergence et somme

1. Justifier la convergence de la série $n ⩾ 0 \sum (\frac{3}{2 ^{n}} - \frac{2}{5 ^{n}})$ , puis calculer sa somme.

2. Même question pour la série $n ⩾ 0 \sum \frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{6 ^{n}}$ .

3. Soient $\sum u_{n}$ une série convergente et $\sum v_{n}$ une série divergente. Que peut-on dire de la série $\sum (u_{n} + v_{n})$ ? Justifier.

Exercice 6 ★★★★ — Premier télescopage : la série des inverses de n(n+1)

Séries télescopiques et lien entre la série de terme général u(n+1) - u(n) et la suite (u(n))Convergence, somme d'une série, reste et calcul approché

On considère la série de terme général $u_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )}$ , définie pour $n ⩾ 1$ . Pour tout $n ⩾ 1$ , on note $S_{n} = k = 1 \sum n u_{k}$ .

1. Vérifier que, pour tout entier $n ⩾ 1$ , $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ .

2. En déduire l'expression de $S_{n}$ en fonction de $n$ .

3. Conclure quant à la nature de la série et donner sa somme.

4. Combien de termes faut-il sommer pour approcher cette somme à $1 0^{- 2}$ près ?

Exercice 7 ★★★★ — Sommes exponentielles immédiates

Série exponentielle : sommes faisant intervenir des factorielles

Justifier la convergence de chacune des séries suivantes, puis donner sa somme sous forme exacte et une valeur approchée à $1 0^{- 3}$ près.

a. $n ⩾ 0 \sum \frac{2 ^{n}}{n !}$

b. $n ⩾ 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n !}$

c. $n ⩾ 0 \sum \frac{1}{3 ^{n} n !}$

d. $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n !}$

e. $n ⩾ 0 \sum \frac{2 ^{n + 1}}{n !}$

Exercice 8 ★★★★ — Les deux séries dérivées de la géométrique

Séries dérivées de la géométrique : sommes avec un facteur n ou n(n-1)

Justifier la convergence de chacune des séries suivantes, puis calculer sa somme.

1. $n ⩾ 1 \sum n (\frac{1}{3})^{n - 1}$

2. $n ⩾ 2 \sum n (n - 1) (\frac{1}{2})^{n - 2}$

3. $n ⩾ 1 \sum \frac{n}{2 ^{n - 1}}$

4. $n ⩾ 1 \sum n (0, 9)^{n - 1}$ . Comparer le résultat à celui de la question 3. et commenter.

Exercice 9 ★★★★ — Convergence absolue : quatre séries de signe alterné

Convergence absolue et séries de signe quelconque

Étudier la nature de chacune des séries suivantes. Pour les questions 1. et 2., calculer de plus la somme.

1. $n ⩾ 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n}}$

2. $n ⩾ 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n !}$

3. $n ⩾ 1 \sum (- 1)^{n} \frac{n}{3 ^{n}}$

4. $n ⩾ 1 \sum (- 1)^{n} \frac{n}{n + 1}$

Exercice 10 ★★★★ — Une série dont le terme tend vers zéro et qui diverge

Séries télescopiques et lien entre la série de terme général u(n+1) - u(n) et la suite (u(n))Condition nécessaire de convergence et divergence grossièreSérie de terme général u(n), sommes partielles, nature d'une série

Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on pose

u_{n} = ln (1 + \frac{1}{n}) et S_{n} = k = 1 \sum n u_{k} .

1. Montrer que $u_{n} ⟶ 0$ lorsque $n \to + \infty$ .

2. Montrer que, pour tout $n ⩾ 1$ , $u_{n} = ln (n + 1) - ln (n)$ .

3. En déduire une expression simple de $S_{n}$ , puis la nature de la série $\sum u_{n}$ .

4. Que faut-il retenir de cet exemple concernant la réciproque de la condition nécessaire de convergence ?

Exercice 11 ★★★★ — Décomposition en éléments simples et télescopage avec décalage de deux rangs

Séries télescopiques et lien entre la série de terme général u(n+1) - u(n) et la suite (u(n))Convergence, somme d'une série, reste et calcul approché

On étudie la série $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ( n + 2 )}$ et on note $S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 2 )}$ .

1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n ⩾ 1$ ,

\frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{a}{n} + \frac{b}{n + 2} .

2. En déduire une expression explicite de $S_{n}$ en fonction de $n$ . On prendra garde au fait qu'il reste deux termes de chaque côté.

3. En déduire que la série converge et donner sa somme.

4. Calculer $S_{10}$ , puis l'écart $R_{10} = S - S_{10}$ entre la somme et cette somme partielle.

Exercice 12 ★★★★ — Télescopage sur les carrés

Séries télescopiques et lien entre la série de terme général u(n+1) - u(n) et la suite (u(n))Convergence, somme d'une série, reste et calcul approché

1. Vérifier que, pour tout entier $n ⩾ 1$ ,

\frac{2 n + 1}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{n ^{2}} - \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} .

2. En déduire l'expression de $S_{n} = k = 1 \sum n \frac{2 k + 1}{k ^{2} ( k + 1 ) ^{2}}$ , puis la nature et la somme de la série $n ⩾ 1 \sum \frac{2 n + 1}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}$ .

3. On considère maintenant la série $n ⩾ 1 \sum \frac{2 n + 1}{n ( n + 1 )}$ . Montrer que son terme général tend vers $0$ .

4. Vérifier que $\frac{2 n + 1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}$ , puis, en exprimant la somme partielle à l'aide de $H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ , déterminer la nature de cette série.

Exercice 13 ★★★★ — La série harmonique diverge : la preuve par paquets

Série harmonique et séries de Riemann (séries de référence)Série de terme général u(n), sommes partielles, nature d'une sérieSéries à termes positifs : sommes partielles croissantes et majorées

Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on pose $H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ .

1. Montrer que la suite $(H_{n})_{n ⩾ 1}$ est croissante.

2. Montrer que, pour tout $n ⩾ 1$ , $H_{2 n} - H_{n} ⩾ \frac{1}{2}$ .

3. En raisonnant par l'absurde, montrer que la suite $(H_{n})$ ne converge pas. En déduire que $H_{n} \to + \infty$ , c'est-à-dire que la série harmonique diverge.

4. Montrer par récurrence que, pour tout entier $p ⩾ 0$ , $H_{2^{p}} ⩾ 1 + \frac{p}{2}$ . Combien de termes cette minoration garantit-elle suffisants pour dépasser $10$ ?

Exercice 14 ★★★★ — Séries de Riemann : nature au premier coup d'oeil

Série harmonique et séries de Riemann (séries de référence)

On rappelle le résultat de référence du cours : pour $α \in R$ , la série $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ .

Pour chacun des termes généraux suivants (définis pour $n ⩾ 1$ ), préciser la valeur de $α$ et conclure quant à la nature de la série associée.

a. $\frac{1}{n ^{3}}$

b. $\frac{1}{n}$

c. $\frac{1}{n ^{1, 01}}$

d. $\frac{1}{n n}$

e. $\frac{1}{n ^{2/3}}$

f. $\frac{5}{n ^{2}}$

g. $\frac{1}{n}$

Exercice 15 ★★★★ — De la série dérivée à la somme de n q puissance n

Séries dérivées de la géométrique : sommes avec un facteur n ou n(n-1)Combinaison linéaire de séries convergentes

Soit $q$ un réel tel que $∣ q ∣ < 1$ . On rappelle le résultat du cours :

n = 1 \sum + \infty n q^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}} .

1. Montrer que la série $n ⩾ 1 \sum n q^{n}$ converge et que

n = 1 \sum + \infty n q^{n} = \frac{q}{( 1 - q ) ^{2}} .

2. Calculer cette somme pour $q = \frac{1}{2}$ , puis pour $q = \frac{1}{3}$ , puis pour $q = 0, 8$ .

3. La somme $n = 0 \sum + \infty n q^{n}$ (l'indice commence maintenant à $0$ ) a-t-elle la même valeur ? Justifier.

Exercice 16 ★★★★ — Somme de n carré sur deux puissance n

Séries dérivées de la géométrique : sommes avec un facteur n ou n(n-1)Combinaison linéaire de séries convergentes

On étudie la série $n ⩾ 1 \sum \frac{n ^{2}}{2 ^{n}}$ . On rappelle que, pour $∣ q ∣ < 1$ ,

n = 1 \sum + \infty n q^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}} et n = 2 \sum + \infty n (n - 1) q^{n - 2} = \frac{2}{( 1 - q ) ^{3}} .

1. Vérifier que, pour tout entier $n ⩾ 1$ , $n^{2} = n (n - 1) + n$ .

2. Calculer $n = 2 \sum + \infty \frac{n ( n - 1 )}{2 ^{n}}$ et $n = 1 \sum + \infty \frac{n}{2 ^{n}}$ .

3. En déduire que la série $n ⩾ 1 \sum \frac{n ^{2}}{2 ^{n}}$ converge et que sa somme vaut $6$ .

4. Calculer la somme partielle $S_{6}$ et commenter l'écart avec la somme de la série.

Exercice 17 ★★★★ — Une somme affine sur une géométrique

Séries dérivées de la géométrique : sommes avec un facteur n ou n(n-1)Séries géométriques : convergence et somme

On étudie d'abord la série $n ⩾ 0 \sum \frac{n + 2}{3 ^{n}}$ .

1. Justifier que les séries $n ⩾ 0 \sum \frac{n}{3 ^{n}}$ et $n ⩾ 0 \sum \frac{2}{3 ^{n}}$ convergent et calculer leurs sommes.

2. En déduire que la série $n ⩾ 0 \sum \frac{n + 2}{3 ^{n}}$ converge et donner sa somme, en justifiant que la séparation en deux séries est licite.

3. Reprendre la même méthode pour la série $n ⩾ 1 \sum \frac{3 n - 1}{4 ^{n}}$ .

Exercice 18 ★★★★ — Sommes exponentielles avec un facteur n

Série exponentielle : sommes faisant intervenir des factorielles

On rappelle le résultat du cours : pour tout réel $x$ , la série $n ⩾ 0 \sum \frac{x ^{n}}{n !}$ converge et $n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{n !} = e^{x}$ .

1. Montrer que $\frac{n}{n !} = \frac{1}{( n - 1 )!}$ pour $n ⩾ 1$ , et que $\frac{n ( n - 1 )}{n !} = \frac{1}{( n - 2 )!}$ pour $n ⩾ 2$ .

2. Calculer $n = 1 \sum + \infty \frac{n}{n !}$ .

3. Calculer $n = 0 \sum + \infty \frac{n + 1}{n !}$ .

4. Calculer $n = 1 \sum + \infty \frac{n}{2 ^{n} n !}$ .

5. Calculer $n = 2 \sum + \infty \frac{n ( n - 1 )}{n !}$ .

Exercice 19 ★★★★ — Reste d'une série géométrique et calcul approché

Convergence, somme d'une série, reste et calcul approchéSéries géométriques : convergence et somme

On considère la série $n ⩾ 0 \sum (\frac{3}{5})^{n}$ , dont on note $S_{n} = k = 0 \sum n (\frac{3}{5})^{k}$ la somme partielle de rang $n$ .

1. Justifier la convergence de la série et calculer sa somme $S$ .

2. Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ , puis montrer que le reste $R_{n} = S - S_{n}$ s'écrit sous la forme close $R_{n} = \frac{5}{2} (\frac{3}{5})^{n + 1}$ .

3. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $R_{n} ⩽ 1 0^{- 3}$ . Vérifier numériquement en calculant $R_{n}$ et $R_{n - 1}$ .

4. Reprendre les questions 1. à 3. pour la série $n ⩾ 0 \sum (0, 95)^{n}$ . Commenter le nombre de termes nécessaires lorsque la raison se rapproche de $1$ .

Exercice 20 ★★★★ — La série des inverses des carrés converge

Séries à termes positifs : sommes partielles croissantes et majoréesSérie harmonique et séries de Riemann (séries de référence)

On étudie la série $k ⩾ 1 \sum \frac{1}{k ^{2}}$ et l'on note $S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2}}$ .

1. Montrer que pour tout entier $k ⩾ 2$ , $\frac{1}{k ^{2}} ⩽ \frac{1}{k ( k - 1 )}$ .

2. Vérifier que $\frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ , puis calculer $k = 2 \sum n \frac{1}{k ( k - 1 )}$ par télescopage.

3. En déduire que pour tout $n ⩾ 1$ , $S_{n} ⩽ 2$ .

4. Conclure quant à la nature de la série.

5. Sachant que $S_{10} \approx 1, 5498$ , donner un encadrement numérique de la somme $S$ .

Exercice 21 ★★★★ — Convergence absolue : ce que l'on peut conclure et ce que l'on ne peut pas

Convergence absolue et séries de signe quelconqueCondition nécessaire de convergence et divergence grossière

Pour chacune des séries suivantes, étudier la convergence absolue, puis dire ce que l'on peut conclure sur sa nature avec les outils de première année.

1. $n ⩾ 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$

2. $n ⩾ 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n} n}{2 ^{n}}$

3. $n ⩾ 1 \sum (- 1)^{n} \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1}$

4. $n ⩾ 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$

5. Que retenir de la comparaison entre les questions 1. et 4. ?

Exercice 22 ★★★★ — Valeur actuelle d'une rente perpétuelle

Modélisation économique : actualisation, rentes perpétuelles, multiplicateur keynésienSéries géométriques : convergence et somme

Un placement verse $F$ euros à la fin de chaque année, indéfiniment. Le taux d'actualisation annuel est $r > 0$ : un euro reçu dans $n$ années vaut aujourd'hui $\frac{1}{( 1 + r ) ^{n}}$ euro. La valeur actuelle de la rente est la somme de la série des flux actualisés :

V = n = 1 \sum + \infty \frac{F}{( 1 + r ) ^{n}}

1. Montrer que cette série converge et que $V = \frac{F}{r}$ .

2. Application : calculer $V$ pour $F = 1200$ euros et $r = 0, 04$ , puis pour $r = 0, 02$ . Commenter l'effet du taux.

3. On note $V_{n} = k = 1 \sum n \frac{F}{( 1 + r ) ^{k}}$ la valeur actuelle des $n$ premiers versements. Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$ , $F$ et $r$ .

4. À partir de combien d'années le cumul actualisé $V_{n}$ dépasse-t-il $90 %$ de la valeur totale $V$ ? Traiter les deux taux de la question 2.

Exercice 23 ★★★★ — Télescopage double : les inverses de n(n+1)(n+2)

Séries télescopiques et lien entre la série de terme général u(n+1) - u(n) et la suite (u(n))Convergence, somme d'une série, reste et calcul approché

Partie A. On considère la série $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}$ .

1. Vérifier que pour tout entier $n ⩾ 1$ ,

\frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n ( n + 1 )} - \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )})

2. En déduire la somme partielle $S_{N} = n = 1 \sum N \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}$ , puis la nature de la série et sa somme.

Partie B. On considère maintenant $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )}$ .

3. Trouver, par la même méthode, une constante $c$ telle que le terme général s'écrive $c (\frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )} - \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )})$ .

4. En déduire la convergence de la série et calculer sa somme.

Exercice 24 ★★★★ — Une série exponentielle avec un polynôme au numérateur

Série exponentielle : sommes faisant intervenir des factoriellesCombinaison linéaire de séries convergentes

On rappelle que pour tout réel $x$ , la série $n ⩾ 0 \sum \frac{x ^{n}}{n !}$ converge et que sa somme vaut $e^{x}$ .

1. On étudie $n ⩾ 0 \sum \frac{n ^{2} + n + 1}{n !}$ .

a. Vérifier que pour tout entier $n$ , $n^{2} + n + 1 = n (n - 1) + 2 n + 1$ .

b. Calculer $n = 0 \sum + \infty \frac{n ( n - 1 )}{n !}$ et $n = 0 \sum + \infty \frac{n}{n !}$ en effectuant les changements d'indice appropriés.

c. En déduire la convergence de la série étudiée et la valeur de sa somme.

2. Soit $x$ un réel. Calculer $n = 0 \sum + \infty \frac{n ^{2}}{n !} x^{n}$ .

Exercice 25 ★★★★ — Somme de n carré fois q puissance n, paramètre q

Séries dérivées de la géométrique : sommes avec un facteur n ou n(n-1)

Soit $q \in] - 1, 1 [$ . On rappelle les deux formules du cours :

n = 1 \sum + \infty n q^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}} et n = 2 \sum + \infty n (n - 1) q^{n - 2} = \frac{2}{( 1 - q ) ^{3}}

1. À l'aide de la première formule, exprimer $n = 1 \sum + \infty n q^{n}$ en fonction de $q$ .

2. À l'aide de la seconde, exprimer $n = 2 \sum + \infty n (n - 1) q^{n}$ en fonction de $q$ .

3. En écrivant $n^{2} = n (n - 1) + n$ , montrer que la série $n ⩾ 1 \sum n^{2} q^{n}$ converge et que

n = 1 \sum + \infty n^{2} q^{n} = \frac{q ( 1 + q )}{( 1 - q ) ^{3}}

4. Applications numériques : calculer cette somme pour $q = \frac{1}{2}$ , puis pour $q = \frac{1}{3}$ .

5. Que se passe-t-il si $q = 1$ ? Si $q = - 1$ ?

Exercice 26 ★★★★ — Le multiplicateur keynésien

Modélisation économique : actualisation, rentes perpétuelles, multiplicateur keynésienSéries géométriques : convergence et somme

L'État injecte $D$ euros dans l'économie (commande publique). Ces $D$ euros deviennent un revenu pour des ménages, qui en consomment une fraction $c \in] 0, 1 [$ appelée propension marginale à consommer ; cette consommation devient à son tour un revenu pour d'autres agents, qui en consomment eux aussi la fraction $c$ , et ainsi de suite. On note $R_{k}$ le revenu distribué au $k$ -ième tour, avec $R_{1} = D$ .

Partie A.

1. Exprimer $R_{k}$ en fonction de $D$ , $c$ et $k$ .

2. Montrer que la série $k ⩾ 1 \sum R_{k}$ converge et que son effet total vaut $\frac{D}{1 - c}$ .

3. Applications : on prend $D = 1$ million d'euros. Calculer l'effet total pour $c = 0, 8$ , puis pour $c = 0, 6$ .

Partie B.

4. Exprimer l'effet cumulé $T_{n}$ après $n$ tours, puis la proportion $\frac{T _{n}}{T}$ de l'effet total atteinte.

5. Calculer cette proportion au bout de $5$ tours puis de $10$ tours, pour $c = 0, 8$ et $c = 0, 6$ . Donner une lecture économique en deux phrases.

Exercice 27 ★★★★ — Une somme alternée avec un facteur n

Convergence absolue et séries de signe quelconqueSéries dérivées de la géométrique : sommes avec un facteur n ou n(n-1)

1. On étudie $n ⩾ 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n} n}{2 ^{n}}$ .

a. Montrer que cette série est absolument convergente, donc convergente.

b. Calculer sa somme en appliquant la formule $n = 1 \sum + \infty n q^{n} = \frac{q}{( 1 - q ) ^{2}}$ , valable pour $∣ q ∣ < 1$ .

2. On étudie $n ⩾ 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n 3 ^{n}}$ . Vérifier que pour tout $k ⩾ 1$ , $\frac{1}{k 3 ^{k}} ⩽ \frac{1}{3 ^{k}}$ ; en déduire que les sommes partielles de $k ⩾ 1 \sum \frac{1}{k 3 ^{k}}$ sont majorées par $\frac{1}{2}$ , puis conclure sur la nature de la série étudiée. On ne demande pas sa somme.

3. Calculer $n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n} n ( n - 1 )}{3 ^{n}}$ .

Exercice 28 ★★★★ — Étudier une suite grâce à sa série télescopique

Séries télescopiques et lien entre la série de terme général u(n+1) - u(n) et la suite (u(n))Séries à termes positifs : sommes partielles croissantes et majorées

On considère la suite $(u_{n})_{n ⩾ 1}$ définie par $u_{1} = 1$ et, pour tout entier $n ⩾ 1$ ,

u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{n ( n + 1 )}

1. Montrer que la suite $(u_{n})_{n ⩾ 1}$ est strictement croissante.

2. Exprimer $u_{n}$ , pour $n ⩾ 1$ , comme la somme partielle d'une série télescopique, puis en déduire une expression explicite de $u_{n}$ en fonction de $n$ .

3. En déduire que la suite $(u_{n})$ converge et donner sa limite exacte.

4. Calculer $u_{10}$ et l'écart entre $u_{10}$ et la limite.

5. Question de méthode. Énoncer le principe général que cet exercice illustre et expliquer pourquoi il est particulièrement efficace ici.

Exercice 29 ★★★★ — Une somme exponentielle décalée

Série exponentielle : sommes faisant intervenir des factoriellesSéries télescopiques et lien entre la série de terme général u(n+1) - u(n) et la suite (u(n))

On rappelle que pour tout réel $x$ , la série de terme général $\frac{x ^{n}}{n !}$ converge et que $n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{n !} = e^{x}$ . En particulier $n = 0 \sum + \infty \frac{1}{n !} = e$ .

1. Vérifier que pour tout entier $n ⩾ 1$ , $\frac{n}{( n + 1 )!} = \frac{1}{n !} - \frac{1}{( n + 1 )!}$ . En déduire la nature et la somme de la série $n ⩾ 1 \sum \frac{n}{( n + 1 )!}$ .

2. Déterminer la nature et la somme de la série $n ⩾ 0 \sum \frac{n}{( n + 2 )!}$ .

3. Déterminer la nature et la somme de la série $n ⩾ 1 \sum \frac{n ^{2} + 1}{n !}$ .

Exercice 30 ★★★★ — Calculer e à 10 puissance moins 6 près

Convergence, somme d'une série, reste et calcul approchéSérie exponentielle : sommes faisant intervenir des factorielles

On rappelle que $k = 0 \sum + \infty \frac{1}{k !} = e$ . Pour $n \in N$ , on pose

S_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} et R_{n} = e - S_{n}

1. Montrer que pour tous entiers $n ⩾ 1$ et $k ⩾ n + 1$ , on a $\frac{1}{k !} ⩽ \frac{1}{( n + 1 )! ( n + 1 ) ^{k - n - 1}}$ .

2. En déduire que pour tout $n ⩾ 1$ , $0 ⩽ R_{n} ⩽ \frac{1}{n ! n}$ .

3. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel cette majoration garantit $R_{n} ⩽ 1 0^{- 6}$ .

4. Donner la valeur approchée de $e$ obtenue pour cet entier $n$ .

5. Écrire un programme Python qui calcule $S_{n}$ en ajoutant les termes tant que le terme ajouté est supérieur à $1 0^{- 12}$ , et préciser ce que garantit ce test d'arrêt.

Exercice 31 ★★★★ — La constante d'Euler

Série harmonique et séries de Riemann (séries de référence)Séries télescopiques et lien entre la série de terme général u(n+1) - u(n) et la suite (u(n))Séries à termes positifs : sommes partielles croissantes et majorées

Pour $n ⩾ 1$ , on pose

H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}, a_{n} = H_{n} - ln n, b_{n} = H_{n} - ln (n + 1)

1. Montrer que pour tout entier $n ⩾ 1$ ,

\frac{1}{n + 1} ⩽ ln (n + 1) - ln n ⩽ \frac{1}{n}

2. En déduire que la suite $(a_{n})$ est décroissante et que la suite $(b_{n})$ est croissante.

3. Montrer que $a_{n} - b_{n} \to 0$ lorsque $n \to + \infty$ .

4. Conclure que $(a_{n})$ et $(b_{n})$ convergent vers une même limite, notée $γ$ .

5. Encadrer $γ$ en prenant $n = 10$ .

6. Que peut-on en déduire sur la nature de la série harmonique et sur la vitesse de croissance de $H_{n}$ ?

Exercice 32 ★★★★ — Une famille de séries télescopiques dépendant d'un entier k

Séries télescopiques et lien entre la série de terme général u(n+1) - u(n) et la suite (u(n))Série harmonique et séries de Riemann (séries de référence)

Soit $k$ un entier naturel non nul, fixé pour tout l'exercice. On s'intéresse à la série

n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ( n + k )}

On note $H_{k} = i = 1 \sum k \frac{1}{i}$ .

1. Vérifier que pour tout entier $n ⩾ 1$ , $\frac{1}{n ( n + k )} = \frac{1}{k} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + k})$ .

2. Pour $N ⩾ k$ , calculer la somme partielle $S_{N} = n = 1 \sum N \frac{1}{n ( n + k )}$ et montrer qu'il subsiste exactement $k$ termes au début et $k$ termes à la fin.

3. En déduire que la série converge et que sa somme vaut $\frac{H _{k}}{k}$ .

4. Vérifier le résultat pour $k = 1$ et $k = 2$ .

5. Montrer que $H_{k} ⩽ 1 + ln k$ , puis déterminer la limite de la somme lorsque $k \to + \infty$ . Interpréter.

Exercice 33 ★★★★ — Le modèle de Gordon-Shapiro : valoriser un flux de dividendes croissants

Modélisation économique : actualisation, rentes perpétuelles, multiplicateur keynésienSéries dérivées de la géométrique : sommes avec un facteur n ou n(n-1)

Une entreprise versera, à la fin de chaque année $n ⩾ 1$ , un dividende $D_{n}$ . Un euro perçu dans $n$ années vaut aujourd'hui $\frac{1}{( 1 + r ) ^{n}}$ euro, où $r > 0$ est le taux d'actualisation. La valeur actuelle du flux de dividendes est donc

V = n = 1 \sum + \infty \frac{D _{n}}{( 1 + r ) ^{n}}

Partie A — croissance géométrique (modèle de Gordon-Shapiro). On suppose ici $D_{n} = D_{0} (1 + g)^{n}$ , avec $g \in] 0, 1 [$ le taux de croissance du dividende et $D_{0} > 0$ .

1. Montrer que la série converge si et seulement si $g < r$ , et qu'alors $V = \frac{D _{0} ( 1 + g )}{r - g}$ .

2. Application numérique : $D_{0} = 3$ euros, $g = 0, 02$ et $r = 0, 07$ .

3. Reprendre le calcul avec $r = 0, 06$ et commenter.

Partie B — croissance arithmétique. On suppose maintenant $D_{n} = D_{0} + na$ , avec $a > 0$ .

4. Montrer que la valeur actuelle du flux vaut $W = \frac{D _{0}}{r} + \frac{a ( 1 + r )}{r ^{2}}$ .

5. Application numérique avec $D_{0} = 3$ euros, $a = 0, 06$ euro et $r = 0, 07$ .

6. Comparer les deux modèles en deux phrases.

Exercice 34 ★★★★ — Une suite récurrente dont la série diverge

Séries télescopiques et lien entre la série de terme général u(n+1) - u(n) et la suite (u(n))Série harmonique et séries de Riemann (séries de référence)Condition nécessaire de convergence et divergence grossière

On considère la suite $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \in N$ ,

u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{1 + u _{n}}

1. Montrer par récurrence que $u_{n} > 0$ pour tout $n \in N$ (on justifiera au passage que la suite est bien définie).

2. Montrer que la suite $(\frac{1}{u _{n}})$ est arithmétique de raison $1$ .

3. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis la limite de $(u_{n})$ .

4. Déterminer la nature de la série $n ⩾ 0 \sum u_{n}$ .

5. Question de méthode. Quelle conclusion générale cet exemple permet-il de tirer ?

6. Déterminer la nature de la série $n ⩾ 0 \sum u_{n}^{2}$ , puis la nature et la somme de la série $n ⩾ 0 \sum (u_{n} - u_{n + 1})$ .

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Le devoir surveillé

Sujet type DS — 240 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (3 points) — Nature de six séries

Déterminer la nature de chacune des six séries ci-dessous. Chaque réponse sera justifiée en deux ou trois lignes, en nommant explicitement l'outil du cours utilisé. Lorsque la somme se calcule immédiatement, on la donnera.

a. $n ⩾ 0 \sum \frac{3 ^{n} + 2 ^{n}}{4 ^{n}}$ (0,5 point)

b. $n ⩾ 0 \sum \frac{n + 1}{2 n + 3}$ (0,5 point)

c. $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{5/2}}$ (0,5 point)

d. $n ⩾ 0 \sum \frac{5 ^{n}}{n !}$ (0,5 point)

e. $n ⩾ 1 \sum \frac{3}{2 n}$ (0,5 point)

f. $n ⩾ 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{3/2}}$ (0,5 point)

Donnée numérique. $e^{5} \approx 148, 413$ .

Exercice 2 (4 points) — Deux télescopages

Donnée numérique. $ln 2 \approx 0, 693147$ .

Partie A — La série $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{4 n ^{2} - 1}$ .

1. Factoriser $4 n^{2} - 1$ , puis déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout entier $n ⩾ 1$ ,

\frac{1}{4 n ^{2} - 1} = \frac{a}{2 n - 1} + \frac{b}{2 n + 1} .

(0,5 point)

2. Pour tout entier $N ⩾ 1$ , on pose $S_{N} = n = 1 \sum N \frac{1}{4 n ^{2} - 1}$ . Calculer $S_{N}$ explicitement en fonction de $N$ , en détaillant le télescopage. Vérifier le résultat obtenu sur $S_{1}$ et $S_{2}$ . (0,75 point)

3. En déduire la nature de la série et, en cas de convergence, sa somme. (0,25 point)

4. On note $R_{N}$ le reste d'ordre $N$ de cette série. Exprimer $R_{N}$ en fonction de $N$ , puis déterminer le plus petit entier $N$ tel que $S_{N}$ soit une valeur approchée de la somme à $1 0^{- 2}$ près. (0,5 point)

Partie B — La série $n ⩾ 2 \sum ln (1 - \frac{1}{n ^{2}})$ .

5. Vérifier que, pour tout entier $n ⩾ 2$ , $1 - \frac{1}{n ^{2}} = \frac{( n - 1 ) ( n + 1 )}{n ^{2}}$ , puis en déduire que

ln (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = ln (\frac{n - 1}{n}) + ln (\frac{n + 1}{n}) .

(0,5 point)

6. Pour tout entier $N ⩾ 2$ , calculer séparément les deux sommes

T_{N} = n = 2 \sum N ln (\frac{n - 1}{n}) et U_{N} = n = 2 \sum N ln (\frac{n + 1}{n}),

en détaillant chaque télescopage. (0,75 point)

7. En déduire l'expression de la somme partielle $V_{N} = n = 2 \sum N ln (1 - \frac{1}{n ^{2}})$ , puis la nature de la série et sa somme. (0,5 point)

8. En déduire la limite du produit $P_{N} = n = 2 \prod N (1 - \frac{1}{n ^{2}})$ quand $N$ tend vers $+ \infty$ . Vérifier le résultat en calculant directement $P_{2}$ et $P_{3}$ . (0,25 point)

Exercice 3 (4,5 points) — Un fonds de dotation à versements croissants

Un mécène crée un fonds de dotation destiné à financer des bourses d'études, chaque année et sans limite de durée. À la fin de chaque année $n$ , avec $n ⩾ 1$ , le fonds verse une somme $V_{n}$ exprimée en euros. Le premier versement, à la fin de l'année $1$ , s'élève à $20000$ euros, et chaque versement dépasse le précédent de $800$ euros : la progression est donc arithmétique.

Le capital est placé à un taux annuel constant $r$ . Actualiser un euro reçu à la fin de l'année $n$ consiste à le multiplier par $\frac{1}{( 1 + r ) ^{n}}$ : c'est le capital qu'il faut immobiliser aujourd'hui, au taux $r$ , pour disposer d'un euro dans $n$ années. Pour tout entier $N ⩾ 1$ , on note

A_{N} = n = 1 \sum N \frac{V _{n}}{( 1 + r ) ^{n}}

la valeur actuelle des $N$ premiers versements, et $A$ la limite de $A_{N}$ lorsqu'elle existe. Le réel $A$ est le capital initial que le mécène doit apporter pour que le fonds tienne ses engagements indéfiniment.

1. Exprimer $V_{n}$ sous la forme $an + b$ , où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer. Calculer $V_{1}$ , $V_{2}$ et $V_{10}$ . (0,25 point)

2. On suppose $r > 0$ et l'on pose $q = \frac{1}{1 + r}$ . Démontrer que $q \in] 0, 1 [$ , puis écrire $A_{N}$ sous la forme $n = 1 \sum N (an + b) q^{n}$ . (0,5 point)

3. Le mécène envisage d'abord de laisser le capital sur un compte non rémunéré, c'est-à-dire de prendre $r = 0$ . Démontrer que la série $n ⩾ 1 \sum V_{n}$ diverge grossièrement, et interpréter ce résultat pour le fonds. (0,5 point)

4. On revient au cas $r > 0$ . Justifier que la série $n ⩾ 1 \sum (an + b) q^{n}$ converge, en nommant précisément les deux séries de référence utilisées et le résultat qui permet de les combiner. (0,75 point)

5. Établir les deux égalités

n = 1 \sum + \infty q^{n} = \frac{q}{1 - q} et n = 1 \sum + \infty n q^{n} = \frac{q}{( 1 - q ) ^{2}},

puis en déduire que

A = a \frac{1 + r}{r ^{2}} + \frac{b}{r} .

(1 point)

6. Le fonds est placé au taux $r = 4 %$ . Calculer le capital initial $A$ nécessaire, puis préciser quelle part de ce capital finance le socle des versements (le terme constant $b$ ) et quelle part finance leur croissance (le terme $an$ ). (0,75 point)

7. Le mécène craint que le taux effectivement obtenu ne soit pas celui qu'il espérait. Calculer le capital initial nécessaire pour $r = 5 %$ , puis la variation relative par rapport à la question 6, arrondie au dixième de pour cent. Commenter en une ou deux phrases ce que cela implique pour le mécène. (0,75 point)

Exercice 4 (4 points) — Une série exponentielle à paramètre

Pour tout réel $x$ , on s'intéresse à la série

n ⩾ 0 \sum \frac{2 n ^{2} - n + 3}{n !} x^{n},

et l'on note $S (x)$ sa somme lorsque cette série converge.

Données numériques. $e \approx 2, 718282$ et $e^{- 1} \approx 0, 367879$ .

1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$ , $2 n^{2} - n + 3 = 2 n (n - 1) + n + 3$ . (0,25 point)

2. Soit $x$ un réel. Démontrer que la série $n ⩾ 0 \sum \frac{n}{n !} x^{n}$ converge et que sa somme vaut $x e^{x}$ . (0,75 point)

3. Démontrer de même que la série $n ⩾ 0 \sum \frac{n ( n - 1 )}{n !} x^{n}$ converge et que sa somme vaut $x^{2} e^{x}$ . (0,75 point)

4. En déduire que la série de l'énoncé converge pour tout réel $x$ , et déterminer les trois réels $α$ , $β$ et $γ$ tels que

S (x) = (α x^{2} + β x + γ) e^{x} .

(0,75 point)

5. Calculer les valeurs exactes de $S (1)$ et de $S (- 1)$ , puis en donner des valeurs approchées au millième. (0,5 point)

6. Vérification. Écrire les huit premiers termes de la série en $x = 1$ (indices $0$ à $7$ ) sous forme de fractions, calculer la somme partielle correspondante et la comparer à $S (1)$ . Faire de même en $x = - 1$ . (0,5 point)

7. Démontrer que $S (x) > 0$ pour tout réel $x$ . (0,5 point)

Exercice 5 (4,5 points) — Une suite étudiée par sa série, et son calcul approché

On considère la suite $(a_{n})_{n ⩾ 1}$ définie par $a_{1} = 2$ et, pour tout entier $n ⩾ 1$ ,

a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} .

Données numériques. $a_{10} \approx 2, 549768$ et $a_{100} \approx 2, 634984$ .

1. Calculer $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ et $a_{5}$ sous forme de fractions irréductibles, puis en donner des valeurs approchées au millionième. (0,5 point)

2. Déterminer le sens de variation de la suite $(a_{n})_{n ⩾ 1}$ . (0,25 point)

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n ⩾ 1$ ,

a_{n} = 2 + k = 2 \sum n \frac{1}{k ^{2}}

(la somme étant vide, donc nulle, lorsque $n = 1$ ). (0,5 point)

4. a. Démontrer que, pour tout entier $k ⩾ 2$ , $\frac{1}{k ^{2}} ⩽ \frac{1}{k ( k - 1 )}$ , puis vérifier que $\frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ . b. En sommant ces inégalités pour $k$ allant de $2$ à $n$ et en télescopant, démontrer que, pour tout entier $n ⩾ 1$ ,

a_{n} ⩽ 3 - \frac{1}{n} .

(0,75 point)

5. En déduire que la suite $(a_{n})_{n ⩾ 1}$ converge. On note $ℓ$ sa limite ; justifier que $2 ⩽ ℓ ⩽ 3$ . (0,5 point)

6. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $1$ . En reprenant la majoration de la question 4 entre les rangs $n + 1$ et $N$ , démontrer que, pour tout entier $N > n$ , $a_{N} - a_{n} ⩽ \frac{1}{n}$ , puis en déduire l'encadrement

a_{n} ⩽ ℓ ⩽ a_{n} + \frac{1}{n} .

Appliquer cet encadrement avec $n = 10$ . (0,75 point)

7. Déterminer, à l'aide de la question 6, le plus petit rang $n$ garantissant que $a_{n}$ est une valeur approchée de $ℓ$ à $1 0^{- 2}$ près, puis donner l'encadrement de $ℓ$ correspondant. (0,5 point)

8. On propose le programme Python suivant, où tol désigne un réel strictement positif.

def valeur_approchee(tol):
    n = 1
    a = 2.0
    increment = 1 / (n + 1) ** 2
    while increment > tol:
        a = a + increment
        n = n + 1
        increment = 1 / (n + 1) ** 2
    return n, a

Expliquer ce que renvoie l'appel valeur_approchee(1e-4), en précisant la valeur de n obtenue. Ce programme garantit-il que la valeur renvoyée approche $ℓ$ à $1 0^{- 4}$ près ? Justifier soigneusement, et indiquer comment l'utiliser pour obtenir une garantie à $1 0^{- 2}$ près. (0,75 point)

Le sujet du DS(PDF, 56 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 139 Ko)

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