Devoir surveillé — Probabilités : variables aléatoires réelles

Un office de tourisme ne publie jamais la répartition complète des séjours : il ne communique que trois indicateurs. On note $X$ le nombre de nuits d'un séjour choisi au hasard parmi ceux enregistrés dans l'année, variable aléatoire à valeurs dans $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,4]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. On notera $p_k=P(X=k)$, et l'on donne $\sqrt{\mathrm{0,41}}\approx \mathrm{0,6403}$.

Pour un premier hébergeur, les trois indicateurs publiés sont $p_1=\mathrm{0,1}$, $E(X)=\mathrm{2,7}$ et $\sigma (X)=\mathrm{0,9}$.

1. Justifier que ces trois indicateurs se traduisent par un système de trois équations d'inconnues $p_2$, $p_3$ et $p_4$. On établira en particulier que $E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(X^2\right)=\mathrm{8,1}$. (0,5 point)

2. Résoudre ce système et donner la loi de $X$ sous forme de tableau. Vérifier que les nombres obtenus définissent bien une loi de probabilité. (0,5 point)

3. Un second hébergeur publie, pour la même variable et le même ensemble de valeurs, les indicateurs $p_1=\mathrm{0,1}$, $E(X)=\mathrm{2,7}$ et $\sigma (X)=\mathrm{1,3}$. Les deux premières équations du système sont inchangées, seule la troisième change ; on admettra que les mêmes opérations de pivot qu'à la question 2 conduisent cette fois à $p_3+2p_4=\mathrm{0,8}$ et $5p_3+12p_4=\mathrm{5,28}$.

Démontrer qu'aucune variable aléatoire ne peut satisfaire ces trois indicateurs. (0,5 point)

4. Un troisième hébergeur ne publie que deux indicateurs : $p_1=\mathrm{0,1}$ et $E(X)=\mathrm{2,7}$. Il refuse de communiquer son écart-type, et l'on cherche ce que l'on peut malgré tout en dire. On pose $t=p_4$.

a. Démontrer que la loi de $X$ est entièrement déterminée par $t$, en exprimant $p_2$ et $p_3$ en fonction de $t$, puis déterminer l'ensemble des valeurs que peut prendre $t$. (0,5 point)

b. Démontrer que $E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(X^2\right)=\mathrm{7,7}+2t$, en déduire l'ensemble des valeurs que peut prendre $\sigma (X)$, et retrouver ainsi le résultat de la question 3. Que faut-il donc vérifier avant d'exploiter un jeu d'indicateurs publiés ? (0,5 point)

Un semencier vend des sachets de $20$ graines. Chaque graine du sachet germe avec la probabilité $\mathrm{0,85}$, indépendamment des autres graines du même sachet. On note $X$ le nombre de graines qui germent dans un sachet acheté au hasard.

On donne les valeurs approchées suivantes :

$${\mathrm{0,85}}^{17}\approx \mathrm{0,0631},{\mathrm{0,85}}^{18}\approx \mathrm{0,0536},{\mathrm{0,85}}^{19}\approx \mathrm{0,0456},{\mathrm{0,85}}^{20}\approx \mathrm{0,0388},$$

ainsi que $\sqrt{\mathrm{2,55}}\approx \mathrm{1,5969}$ et $190\times \mathrm{0,0225}=\mathrm{4,275}$. Les valeurs approchées demandées seront arrondies à ${10}^{-4}$.

1. Justifier avec précision que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres : on vérifiera explicitement les trois conditions du schéma de Bernoulli. Donner ensuite $X(\mathrm{\Omega })$, l'expression de $P(X=k)$, puis $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$, cette dernière à ${10}^{-4}$ près. (0,5 point)

2. Soit $k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,19]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. Démontrer que

$${\displaystyle \frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}}={\displaystyle \frac{20-k}{k+1}}\times {\displaystyle \frac{17}{3}}\mathrm{.}$$

En déduire, en résolvant une inéquation d'inconnue l'entier $k$, le sens de variation de la suite $(P(X=k){)}_{0⩽k⩽20}$, puis le nombre de graines germées le plus probable. (1 point)

3. Calculer $P(X=20)$, $P(X=19)$ et $P(X=18)$, puis en déduire $P(X⩾18)$. (0,75 point)

4. Le semencier s'engage à rembourser le sachet, vendu $4$ euros, si moins de $18$ graines germent. Calculer la probabilité de remboursement, puis le montant moyen remboursé par sachet vendu.

Le service commercial avait retenu de la question 2 que $17$ est à la fois l'espérance et la valeur la plus probable, et en avait conclu que le remboursement serait rare. Expliquer précisément pourquoi ces deux indicateurs, même lorsqu'ils coïncident, ne renseignent en rien sur la probabilité de dépasser $17$. (0,75 point)

Un service d'assistance informatique traite les incidents en deux phases. Il tente d'abord de résoudre l'incident à distance : chaque tentative à distance réussit avec la probabilité $p_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Si trois tentatives à distance ont échoué, un technicien se déplace chez le client, et chaque tentative sur site réussit alors avec la probabilité $p_2={\displaystyle \frac{4}{5}}$. Toutes les tentatives, quelle que soit leur phase, sont mutuellement indépendantes, et l'on continue jusqu'à la résolution de l'incident.

On note $T$ le rang de la tentative qui résout l'incident, toutes phases confondues.

1. Préciser $T(\mathrm{\Omega })$, puis démontrer que

$$\mathrm{\forall }k\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}],P(T=k)={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^k,$$ $$\mathrm{\forall }k⩾4,P(T=k)={\displaystyle \frac{1}{8}}\times {\displaystyle \frac{4}{5}}\times {\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{k-4}\mathrm{.}$$

Vérifier ensuite que la somme de ces probabilités vaut $1$. (1 point)

2. Calculer $P(T⩽2)$, $P(T⩾4)$ et $P(T=5)$. Interpréter $P(T⩾4)$. (0,5 point)

3. Démontrer que $T$ admet une espérance et que $E(T)={\displaystyle \frac{61}{32}}$. On séparera la somme en deux et l'on posera, dans la partie infinie, le changement d'indice $j=k-3$. (1,5 point)

4. Chaque tentative, à distance comme sur site, coûte $20$ euros au service ; le déplacement du technicien, lorsqu'il a lieu, ajoute un forfait de $90$ euros. On note $C$ le coût total de l'incident, en euros.

Exprimer $C$ sous la forme $C=g(T)$ en explicitant la fonction $g$, puis calculer $E(C)$ par le théorème de transfert. On admettra que $C$ admet une espérance. (0,75 point)

5. Le responsable envisage de ne faire que deux tentatives à distance avant de déclencher le déplacement. Sans reprendre le calcul de l'espérance, déterminer la nouvelle probabilité de déplacement, puis démontrer que le coût moyen d'un incident augmente. (0,25 point)

Un service d'instruction traite chaque jour $30$ dossiers, numérotés de $1$ à $30$. Le logiciel les répartit entre quatre agents, numérotés $0$, $1$, $2$ et $3$, selon la règle suivante : le dossier de numéro $n$ est confié à l'agent dont le numéro est le reste de la division euclidienne de $n$ par $4$.

On choisit un dossier au hasard parmi les $30$, tous ayant la même probabilité d'être choisi, et l'on note $Y$ le numéro de l'agent qui l'instruit.

On donne ${\displaystyle \frac{1}{7}}\approx \mathrm{0,1429}$ et ${\displaystyle \frac{7}{30}}\approx \mathrm{0,2333}$.

Partie A — La répartition des dossiers

1. Déterminer $Y(\mathrm{\Omega })$, puis la loi de $Y$ en dénombrant les dossiers confiés à chaque agent. Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$, puis dire si $Y$ suit une loi uniforme et expliquer pourquoi. (0,75 point)

2. On appelle charge d'un agent le nombre de dossiers qui lui sont confiés dans la journée. Déterminer la charge de chaque agent, puis calculer, en pourcentage, l'écart entre la charge la plus forte et la charge la plus faible, rapporté à cette dernière.

Le service envisage de traiter $n$ dossiers par jour, numérotés de $1$ à $n$, la règle de répartition restant la même. Déterminer le plus petit entier $n⩾30$ pour lequel les quatre charges sont égales. (0,75 point)

Partie B — Le taux de succès de l'instruction

Les quatre agents n'ont pas la même expérience. Un dossier confié à l'agent $r$ est instruit avec succès avec la probabilité $a_r$, où

$$a_0=\mathrm{0,9},a_1=\mathrm{0,8},a_2=\mathrm{0,8},a_3=\mathrm{0,7.}$$

On note $S$ l'événement « le dossier choisi est instruit avec succès ».

3. Justifier que la famille ${([Y=r])}_{0⩽r⩽3}$ est un système complet d'événements dont aucun membre n'est négligeable, puis démontrer, par la formule des probabilités totales, que $P(S)=\mathrm{0,8}$. (1 point)

4. Un dossier choisi au hasard a échoué. Calculer la probabilité qu'il ait été confié à l'agent $3$, puis la comparer à $P(Y=3)$ et interpréter. (0,75 point)

5. Le service peut faire progresser d'un même montant $h$, avec $0<h⩽\mathrm{0,1}$, le taux de succès d'un seul agent, les trois autres restant inchangés. Démontrer que le gain obtenu sur $P(S)$ vaut $hP(Y=r)$, où $r$ est l'agent formé, et en déduire quel agent il faut choisir. (0,25 point)

Ce problème compare deux façons de mesurer « la taille moyenne d'un groupe » : en tirant au sort un groupe, ou en tirant au sort un participant. Les trois parties s'enchaînent : la partie B généralise ce que la partie A observe sur un exemple, et la partie C applique le résultat général à une loi usuelle du chapitre.

On donne $\sqrt{149}\approx \mathrm{12,2066}$ et ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}\approx \mathrm{0,0821}$.

Partie A — Les groupes de travaux dirigés d'un institut

Un institut de formation répartit ses étudiants en $20$ groupes de travaux dirigés. Le tableau suivant donne le nombre de groupes de chaque effectif :

A.1 Le directeur tire un groupe au hasard, tous les groupes ayant la même probabilité d'être tirés, et l'on note $X$ l'effectif du groupe tiré. Vérifier que l'institut compte $420$ étudiants, puis donner la loi de $X$, ainsi que $E(X)$, $E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(X^2\right)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$, cette dernière à ${10}^{-4}$ près. (0,5 point)

A.2 On tire maintenant au hasard un étudiant parmi les $420$ de l'institut, tous les étudiants ayant la même probabilité d'être tirés, et l'on note $Y$ l'effectif du groupe auquel appartient l'étudiant tiré.

Déterminer $Y(\mathrm{\Omega })$, puis démontrer, en dénombrant les étudiants concernés, que

$$\mathrm{\forall }k\in Y(\mathrm{\Omega }),P(Y=k)={\displaystyle \frac{kP(X=k)}{E(X)}}\mathrm{.}$$

Donner enfin la loi de $Y$ sous forme de tableau, en fractions irréductibles, et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$. (1,25 point)

A.3 Calculer $E(Y)$ et le comparer à $E(X)$.

La brochure de l'institut annonce « des groupes de $21$ étudiants en moyenne », tandis qu'un étudiant interrogé répond « dans mon groupe, nous sommes bien plus nombreux que cela ». Lequel des deux se trompe ? (0,5 point)

Partie B — Le résultat général

Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans une partie de $\mathbb{N}$, admettant une espérance non nulle et une variance. Pour tout $k\in \mathbb{N}$, on pose

$$q_k={\displaystyle \frac{kP(X=k)}{E(X)}}\mathrm{.}$$

B.4 Démontrer que les nombres $q_k$ sont positifs et que leur somme vaut $1$. On note désormais $Y$ une variable aléatoire dont la loi est donnée par ces nombres. Que vaut $q_0$, et comment l'interpréter dans le cadre de la partie A ? (0,75 point)

B.5 Démontrer que $Y$ admet une espérance et que

$$E(Y)={\displaystyle \frac{E\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(X^2\right)}{E(X)}}\mathrm{.}$$

(1 point)

B.6 En déduire, par la formule de Kœnig-Huygens, que

$$E(Y)=E(X)+{\displaystyle \frac{V(X)}{E(X)}}\mathrm{.}$$

Vérifier cette égalité sur les valeurs de la partie A. (0,5 point)

B.7 En déduire que $E(Y)⩾E(X)$, puis démontrer que l'égalité $E(Y)=E(X)$ a lieu si et seulement si $X$ est une variable certaine. Traduire cette condition en langage courant dans le cadre de la partie A. (0,75 point)

Partie C — Le cas d'une loi de Poisson

Une agence de voyages organise des excursions. Pour une excursion prise au hasard dans son catalogue, le nombre $X$ de participants est modélisé par une loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$ ; l'événement $[X=0]$ correspond à une excursion annulée faute d'inscrit. On note $Y$ la variable construite à partir de $X$ comme dans la partie B, c'est-à-dire l'effectif de l'excursion d'un participant tiré au hasard.

C.8 Justifier que la construction de la partie B s'applique, préciser $Y(\mathrm{\Omega })$, puis démontrer que la variable $Y-1$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. (0,75 point)

C.9 En déduire $E(Y)$ sans aucun calcul de série, et vérifier la cohérence avec la formule de la question B.6. (0,25 point)

C.10 Application numérique. On prend $\lambda =\mathrm{2,5}$. Donner $E(X)$ et $E(Y)$, calculer $P(X=0)$ et $P(Y=1)$ à ${10}^{-4}$ près, et commenter le fait que ces deux nombres soient égaux. (0,5 point)

C.11 En une ou deux phrases, expliquer d'où vient l'écart entre les deux moyennes, et pourquoi il ne s'agit pas d'une erreur de calcul mais de deux questions différentes. (0,25 point)