Exercices — Calcul différentiel et intégral

On rappelle que $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux d'accroissement

$$\tau (h)={\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$$

admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$, et que cette limite est alors le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, écrire le taux d'accroissement en $a$, le simplifier pour $h\mathrm{\ne }0$, puis déterminer sa limite quand $h$ tend vers $0$.

2. Retrouver les quatre nombres dérivés précédents à l'aide des formules de dérivation du cours.

3. Un mobile se déplace en ligne droite. À l'instant $t$ (en secondes), la distance parcourue depuis le départ vaut $d(t)=2t^2+t$ (en mètres).

a. Calculer la vitesse moyenne du mobile entre les instants $t=3$ et $t=4$.

b. Calculer le taux d'accroissement de $d$ entre $3$ et $3+h$, puis sa limite quand $h$ tend vers $0$. Interpréter le résultat obtenu.

1. Dériver les fonctions suivantes en précisant à chaque fois l'ensemble sur lequel la fonction considérée est dérivable, et simplifier le résultat lorsque c'est possible.

2. Justifier que $f_4$ est strictement croissante sur $]-2,+\mathrm{\infty }[$. Peut-on en déduire que $f_4$ est croissante sur son ensemble de définition tout entier ?

1. Dériver les fonctions suivantes sur l'ensemble indiqué, en précisant à chaque fois la fonction $u$ utilisée et la formule appliquée.

2. Soit $r$ la fonction définie par $r(x)=\sqrt{2x-6}$.

a. Déterminer l'ensemble de définition de $r$.

b. Déterminer l'ensemble sur lequel $r$ est dérivable et calculer $r^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur cet ensemble.

c. En étudiant le taux d'accroissement de $r$ en $3$, expliquer pourquoi les deux ensembles précédents ne coïncident pas.

On rappelle que si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation

$$y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)$$

On considère les trois fonctions définies par

$$f(x)=x^2-4x+1\text{ sur }\mathbb{R},g(x)=\ln x\text{ sur }]0,+\mathrm{\infty }[,h(x)=e^x\text{ sur }\mathbb{R}$$

1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a=3$, à celle de $g$ au point d'abscisse $a=1$, et à celle de $h$ au point d'abscisse $a=0$.

2. Déterminer le point de la courbe de $f$ en lequel la tangente est horizontale, et donner l'équation de cette tangente.

3. Déterminer le point de la courbe de $f$ en lequel la tangente a pour coefficient directeur $-6$, puis donner l'équation de cette tangente.

4. En utilisant la tangente obtenue à la question 1 pour la fonction $h$, donner une valeur approchée de $e^{\mathrm{0,01}}$. Comparer à la valeur $e^{\mathrm{0,01}}\approx \mathrm{1,01005}$ donnée par la calculatrice.

Pour chacune des trois fonctions ci-dessous : calculer la dérivée et la factoriser, étudier son signe, dresser le tableau de variations, puis préciser les extremums en indiquant s'ils sont locaux ou globaux.

1. $f(x)=x^3-3x^2+2$ sur $\mathbb{R}$.

2. $g(x)=(x-1)e^x$ sur $\mathbb{R}$.

3. $h(x)=x-2\ln x$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Déduire de la question 3 que pour tout réel $x>0$, on a $2\ln x<x$.

1. Calculer les dérivées première, seconde et troisième de chacune des fonctions suivantes.

a. $f(x)=x^4-2x^3+x$ sur $\mathbb{R}$

b. $g(x)=e^{-2x}$ sur $\mathbb{R}$

c. $k(x)=x\ln x$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$

2. Pour la fonction $g$, conjecturer une expression de la dérivée $n$-ième $g^{(n)}(x)$ en fonction de l'entier $n$, et la vérifier sur les trois premières dérivées.

3. Justifier que $f$, $g$ et $k$ sont de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur l'intervalle indiqué. Que signifie en particulier, pour la fonction $k$, l'affirmation « $k$ est de classe $C^2$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ » ?

4. On s'intéresse à la relation $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-3y^{\mathrm{\prime }}+2y=0$.

a. Vérifier que les fonctions $y_1:x\mapsto e^x$ et $y_2:x\mapsto e^{2x}$ la vérifient sur $\mathbb{R}$.

b. Soient $\lambda$ et $\mu$ deux réels et $\phi :x\mapsto \lambda e^x+\mu e^{2x}$. Montrer que $\phi$ vérifie encore cette relation.

c. La fonction $\psi :x\mapsto e^{3x}$ la vérifie-t-elle ?

On rappelle qu'une fonction de classe $C^2$ sur un intervalle $I$ y est convexe lorsque $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩾0$ sur $I$, et concave lorsque $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩽0$ sur $I$. Un point d'inflexion est un point de la courbe en lequel $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ change de signe.

Pour chacune des trois fonctions suivantes : calculer la dérivée seconde, étudier son signe dans un tableau, préciser les intervalles de convexité et de concavité, puis donner les coordonnées des éventuels points d'inflexion.

1. $f(x)=x^3-6x^2+5$ sur $\mathbb{R}$.

2. $g(x)=e^x-x^2$ sur $\mathbb{R}$.

3. $h(x)=\ln x$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Un étudiant affirme : « une fonction convexe est une fonction croissante ». Montrer que c'est faux en donnant un exemple de fonction convexe qui n'est pas croissante, puis un exemple de fonction croissante qui n'est pas convexe.

1. Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. On n'oubliera pas la constante d'intégration.

2. a. Déterminer la primitive $F$ de $f_1$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $F(1)=0$.

b. Déterminer la primitive $G$ de $f_6$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $G(0)=0$.

1. Calculer les intégrales suivantes. On justifiera à chaque fois que la fonction intégrée est continue sur le segment considéré, puis on détaillera le calcul du crochet.

2. Soit $f$ la fonction définie sur $[0,3]$ par $f(t)=t^2$ si $t\in [0,1]$ et $f(t)=2t-1$ si $t\in ]1,3]$.

a. Montrer que $f$ est continue sur $[0,3]$.

b. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{3}f(t)\mathrm{d}t}$ à l'aide de la relation de Chasles.

3. Soit $g$ une fonction continue sur $[0,7]$ telle que

$${\int }_0^{2}g(t)\mathrm{d}t=5\text{et}{\int }_2^{7}g(t)\mathrm{d}t=-3$$

Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{7}g(t)\mathrm{d}t}$, puis ${\displaystyle {\int }_7^{2}g(t)\mathrm{d}t}$.

4. Soit $p$ la fonction définie sur $[0,2]$ par $p(x)=4-x^2$. Montrer que $p$ est positive sur $[0,2]$, puis calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe de $p$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.

On rappelle le résultat du cours, admis. Soient $a$ et $b$ deux réels. On résout l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}+ay=b$ en deux temps : on résout d'abord l'équation homogène associée $y^{\mathrm{\prime }}+ay=0$, dont les solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $t\mapsto \lambda e^{-at}$ où $\lambda$ décrit $\mathbb{R}$ ; on ajoute ensuite une solution particulière de l'équation complète. Lorsque le second membre est constant et que $a\mathrm{\ne }0$, cette solution particulière se cherche parmi les fonctions constantes : la constante ${\displaystyle \frac{b}{a}}$ convient. Si $a=0$, l'équation se réduit à $y^{\mathrm{\prime }}=b$ et se résout directement par primitivation.

Partie A

On considère l'équation $(E_1)$ : $y^{\mathrm{\prime }}+2y=6$, d'inconnue une fonction $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation homogène associée $(H_1)$ : $y^{\mathrm{\prime }}+2y=0$.

2. Déterminer une solution particulière constante de $(E_1)$, puis en déduire l'ensemble des solutions de $(E_1)$ sur $\mathbb{R}$.

3. Déterminer l'unique solution $f$ de $(E_1)$ vérifiant $f(0)=1$, puis vérifier par le calcul que la fonction obtenue est bien solution de $(E_1)$.

4. Déterminer ${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(t)}$ et interpréter graphiquement le résultat.

Partie B

On considère l'équation $(E_2)$ : $y^{\mathrm{\prime }}-3y=12$.

5. Résoudre $(E_2)$ sur $\mathbb{R}$, puis déterminer la solution $g$ vérifiant $g(0)=1$.

6. Étudier la limite en $+\mathrm{\infty }$ des solutions de $(E_2)$ suivant la valeur de la constante, et comparer avec la situation de la partie A.

On rappelle que les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation homogène $y^{\mathrm{\prime }}+ay=0$ sont les fonctions $t\mapsto \lambda e^{-at}$, $\lambda \in \mathbb{R}$, et que les solutions de $y^{\mathrm{\prime }}+ay=b(t)$ s'obtiennent en ajoutant à celles-ci une solution particulière de l'équation complète. Dans tout l'exercice, la forme de la solution particulière à chercher est indiquée par l'énoncé.

On utilisera aussi le principe de superposition, admis : si $y_1$ est solution de $y^{\mathrm{\prime }}+ay=b_1(t)$ et $y_2$ solution de $y^{\mathrm{\prime }}+ay=b_2(t)$, alors $y_1+y_2$ est solution de $y^{\mathrm{\prime }}+ay=b_1(t)+b_2(t)$.

Partie A

On considère l'équation $(E_1)$ : $y^{\mathrm{\prime }}+y=e^{2t}$.

1. Résoudre l'équation homogène associée $(H_1)$ : $y^{\mathrm{\prime }}+y=0$.

2. On cherche une solution particulière de $(E_1)$ de la forme $t\mapsto \alpha e^{2t}$, où $\alpha$ est un réel à déterminer. Déterminer $\alpha$, puis en déduire l'ensemble des solutions de $(E_1)$ sur $\mathbb{R}$.

3. Déterminer la solution $f$ de $(E_1)$ vérifiant $f(0)=0$, et vérifier le résultat obtenu.

Partie B

On considère l'équation $(E_2)$ : $y^{\mathrm{\prime }}-2y=4t+1$.

4. On cherche une solution particulière de $(E_2)$ de la forme $t\mapsto \alpha t+\beta$, où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels à déterminer. Déterminer $\alpha$ et $\beta$, puis résoudre $(E_2)$ sur $\mathbb{R}$.

5. On considère l'équation $(E_3)$ : $y^{\mathrm{\prime }}-2y=3e^{-t}$. Déterminer une solution particulière de $(E_3)$ de la forme $t\mapsto \gamma e^{-t}$, où $\gamma$ est un réel à déterminer.

6. En déduire, à l'aide du principe de superposition, l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $(E_4)$ : $y^{\mathrm{\prime }}-2y=4t+1+3e^{-t}$.

On rappelle le résultat du cours, admis. Soient $a$ et $b$ deux réels. Pour résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation homogène $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=0$, on écrit son équation caractéristique $r^2+ar+b=0$, d'inconnue réelle $r$.

• Si elle admet deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$, les solutions sont les fonctions $t\mapsto \lambda e^{r_{1}t}+\mu e^{r_{2}t}$, avec $(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2$.
• Si elle admet une racine double $r_0$, les solutions sont les fonctions $t\mapsto (\lambda +\mu t)e^{r_{0}t}$, avec $(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2$.

Conformément au programme, on se restreint aux équations caractéristiques dont les racines sont réelles : le cas d'un discriminant strictement négatif ferait intervenir les nombres complexes et ne sera pas rencontré. Comme au premier ordre, les solutions d'une équation à second membre s'obtiennent en ajoutant une solution particulière aux solutions de l'équation homogène.

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $(E_1)$ : $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-5y^{\mathrm{\prime }}+6y=0$.

2. Déterminer la solution $f$ de $(E_1)$ vérifiant $f(0)=1$ et $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$.

3. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $(E_2)$ : $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4y^{\mathrm{\prime }}+4y=0$.

4. Déterminer la solution $g$ de $(E_2)$ vérifiant $g(0)=2$ et $g^{\mathrm{\prime }}(0)=1$.

5. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $(E_3)$ : $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-y^{\mathrm{\prime }}-2y=4$, en cherchant une solution particulière constante.

6. Déterminer, suivant les valeurs de $\lambda$ et $\mu$, la limite en $+\mathrm{\infty }$ des solutions de $(E_1)$, puis celle des solutions de $(E_2)$.

On rappelle les deux modèles du cours. Soit $u$ une fonction de classe $C^1$ sur un intervalle $I$.

• Si $\alpha \mathrm{\ne }-1$, une primitive de $u^{\mathrm{\prime }}{u}^{\alpha }$ sur $I$ est ${\displaystyle \frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}}$. Lorsque $\alpha$ est un entier positif, aucune condition sur $u$ n'est nécessaire ; lorsque $\alpha$ est un entier négatif, il faut que $u$ ne s'annule pas sur $I$ ; et lorsque $\alpha$ n'est pas entier, la puissance $u^{\alpha }=e^{\alpha \ln u}$ n'a de sens que si $u>0$ sur $I$.
• Si $\alpha =-1$, c'est-à-dire pour ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$, et si $u$ ne s'annule pas sur $I$, une primitive est $\ln \mid u\mid$.

Pour chacune des expressions suivantes, préciser un intervalle $I$ sur lequel la fonction est continue, identifier la fonction $u$ et l'exposant $\alpha$, puis donner une primitive sur $I$.

1. Traiter les quatre premières expressions.

2. Traiter les quatre suivantes.

3. En utilisant les primitives obtenues, calculer les deux intégrales

$$A={\int }_0^{2}x{(x^2+4)}^{5}dx\text{et}B={\int }_0^1{\displaystyle \frac{e^x}{{(1+e^x)}^2}}dx$$

4. Expliquer pourquoi le cas $\alpha =-1$ doit être traité à part, et pourquoi le choix de l'intervalle est indispensable dans les questions a. et e.

On rappelle la formule d'intégration par parties, admise. Si $u$ et $v$ sont deux fonctions de classe $C^1$ sur un segment $[a,b]$, alors

$${\int }_a^{b}u(t)v^{\mathrm{\prime }}(t)dt=[u(t)v(t){]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}(t)v(t)dt$$

Utiliser cette formule pour calculer les intégrales suivantes. À chaque fois, on précisera le choix de $u$ et de $v^{\mathrm{\prime }}$, et on vérifiera que ces deux fonctions sont de classe $C^1$ sur le segment d'intégration.

1. Calculer $I={\displaystyle {\int }_1^e\ln tdt}$, en écrivant $\ln t=1\times \ln t$.

2. Expliquer pourquoi, dans la question 1, on choisit $u(t)=\ln t$ et $v^{\mathrm{\prime }}(t)=1$, et non le choix inverse.

3. Calculer $J={\displaystyle {\int }_0^{1}t{e}^{t}dt}$.

4. Calculer $K={\displaystyle {\int }_1^{2}t\ln tdt}$.

5. Calculer $L={\displaystyle {\int }_0^1(2t+1)e^{-t}dt}$, puis contrôler le résultat en cherchant directement une primitive de $t\mapsto (2t+1)e^{-t}$ de la forme $t\mapsto (at+b)e^{-t}$.

On rappelle le théorème de changement de variable, admis. Soit $\phi$ une fonction de classe $C^1$ et strictement monotone sur un segment $[a,b]$, et soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle image. Alors

$${\int }_a^{b}f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)dt={\int }_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(u)du$$

En pratique, on pose $u=\phi (t)$, on écrit $du={\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)dt$, et on change les bornes : la borne $t=a$ devient $u=\phi (a)$, la borne $t=b$ devient $u=\phi (b)$. Dans le programme, les changements de variable non affines sont toujours indiqués par l'énoncé, ce qui est le cas à la question 5.

Calculer les intégrales suivantes à l'aide du changement de variable proposé. À chaque fois, on justifiera que le changement est de classe $C^1$ et strictement monotone, et on précisera les nouvelles bornes.

1. $I_1={\displaystyle {\int }_0^1(2t+1{)}^{4}dt}$, en posant $u=2t+1$.

2. $I_2={\displaystyle {\int }_0^2(3-t{)}^{3}dt}$, en posant $u=3-t$.

3. $I_3={\displaystyle {\int }_0^4{e}^{t\mathrm{/}2}dt}$, en posant $u={\displaystyle \frac{t}{2}}$.

4. $I_4={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{3t+1}}dt}$, en posant $u=3t+1$.

5. $I_5={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{e^t}{e^t+1}}dt}$, en posant $u=e^t$.

6. Retrouver la valeur de $I_5$ sans changement de variable, en reconnaissant une primitive à vue, et comparer les deux résultats.

On rappelle les résultats du cours. Soit $h$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩾0$ sur $I$, alors $h$ est convexe sur $I$ et sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes. Si $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩽0$ sur $I$, alors $h$ est concave et sa courbe est en dessous de ses tangentes.
• Un point d'inflexion est un point de la courbe en lequel $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ s'annule en changeant de signe : la courbe y change de convexité et traverse sa tangente.
• La tangente à la courbe de $h$ au point d'abscisse $x_0$ a pour équation $y=h(x_0)+h^{\mathrm{\prime }}(x_0)(x-x_0)$.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2+2x$.

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$, étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, et en déduire les intervalles de convexité de $f$ ainsi que les coordonnées de son point d'inflexion $I$.

2. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point $I$.

3. Étudier le signe de $f(x)-(-x+1)$ sur $\mathbb{R}$, puis en déduire la position de la courbe de $f$ par rapport à $T$. Conclure.

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(x+2)e^{-x}$.

4. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ puis $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$, et vérifier que $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=x{e}^{-x}$.

5. Dresser le tableau de signe de $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, en déduire les intervalles de convexité de $g$ et les coordonnées de ses éventuels points d'inflexion.

On rappelle le résultat du cours. Soit $h$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et soit $x_0$ un point intérieur à $I$, c'est-à-dire qui n'est pas une borne de $I$.

• Si $h^{\mathrm{\prime }}$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $h$ admet un extremum local en $x_0$ : un maximum si $h^{\mathrm{\prime }}$ passe du signe $+$ au signe $-$, un minimum si $h^{\mathrm{\prime }}$ passe du signe $-$ au signe $+$.
• L'implication « $h^{\mathrm{\prime }}(x_0)=0$ donc extremum en $x_0$ » est fausse : l'annulation seule ne suffit pas, c'est le changement de signe qui compte. C'est sa réciproque qui est vraie, en un point intérieur à l'intervalle : un extremum local y impose $h^{\mathrm{\prime }}(x_0)=0$.
• Sur un segment, un extremum peut aussi être atteint en une borne de l'intervalle, sans que la dérivée y soit nulle.

1. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-9x^2+12x-3$. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, l'écrire sous forme factorisée, dresser le tableau de variations de $f$ et préciser ses extremums locaux en indiquant leur nature.

2. Ces extremums locaux sont-ils globaux ? Justifier.

3. Soit $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=x^3$. Montrer que $u^{\mathrm{\prime }}$ s'annule en $0$, et que pourtant $u$ n'admet pas d'extremum local en $0$.

4. Soit $v$ définie sur $\mathbb{R}$ par $v(x)=(x-1{)}^3+2$. Reprendre la question précédente en $x_0=1$, et interpréter géométriquement la tangente en ce point.

5. Soit $k$ définie sur le segment $[0,3]$ par $k(x)=x^2-2x$. Dresser le tableau de variations de $k$, puis déterminer son minimum et son maximum sur $[0,3]$. Que constate-t-on pour le maximum ?

On rappelle les résultats du cours. Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors il existe une fonction $\epsilon$ telle que

$$f(x_0+h)=f(x_0)+h{f}^{\mathrm{\prime }}(x_0)+h\epsilon (h),\text{avec}\underset{h\to 0}{\lim }\epsilon (h)=0$$

Pour $h$ proche de $0$, on en déduit l'approximation affine $f(x_0+h)\approx f(x_0)+h{f}^{\mathrm{\prime }}(x_0)$, dont l'erreur commise vaut exactement $h\epsilon (h)$. On rappelle également les trois taux d'accroissement usuels en $0$ :

$$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^h-1}{h}}=1,\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln (1+h)}{h}}=1,\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{(1+h{)}^{\alpha }-1}{h}}=\alpha$$

1. Écrire l'approximation affine de $f:x\mapsto \sqrt{x}$ en $x_0=4$, puis en déduire une valeur approchée de $\sqrt{\mathrm{4,08}}$. Comparer à la valeur $\mathrm{2,019901}$ donnée par la calculatrice et évaluer l'erreur commise.

2. Faire de même pour $x\mapsto e^x$ en $x_0=0$ afin d'approcher $e^{\mathrm{0,02}}$, puis pour $x\mapsto \ln (1+x)$ en $x_0=0$ afin d'approcher $\ln (\mathrm{1,03})$. La calculatrice donne $e^{\mathrm{0,02}}\approx \mathrm{1,020201}$ et $\ln (\mathrm{1,03})\approx \mathrm{0,029559}$. Commenter la taille des erreurs.

3. Calculer les trois limites suivantes en reconnaissant à chaque fois un taux d'accroissement, dont on précisera la fonction et le point.

4. Le coût total de production, en euros, de $q$ unités d'un bien est modélisé par $C(q)=\mathrm{0,5}{q}^2+20q+300$, pour $q\in [0,300]$. L'atelier produit actuellement $100$ unités. Calculer $C(100)$ et $C^{\mathrm{\prime }}(100)$, puis donner, à l'aide de l'approximation affine, une valeur approchée du coût correspondant à une hausse de la production de $1\mathrm{\%}$.

5. Calculer la valeur exacte de $C(101)$, puis l'écart avec la valeur approchée de la question 4 et l'erreur relative correspondante. Commenter.

Une fonction définie par morceaux est donnée par deux formules différentes de part et d'autre d'un point, appelé point de raccord. Partout ailleurs, l'étude est habituelle : toute la difficulté se concentre en ce point, et elle se traite avec la définition du nombre dérivé, c'est-à-dire avec le taux d'accroissement.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ si $x⩽1$ et $f(x)=2x-1$ si $x>1$.

a. Démontrer que $f$ est continue en $1$.

b. Calculer ${\displaystyle \underset{h\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{f(1+h)-f(1)}{h}}}$, puis ${\displaystyle \underset{h\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{f(1+h)-f(1)}{h}}}$.

c. La fonction $f$ est-elle dérivable en $1$ ? Si oui, donner $f^{\mathrm{\prime }}(1)$ et une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $1$.

2. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$.

a. Écrire $g(x)$ sans valeur absolue, puis justifier que $g$ est continue en $2$.

b. Calculer les limites à gauche et à droite en $0$ du taux d'accroissement ${\displaystyle \frac{g(2+h)-g(2)}{h}}$. La fonction $g$ est-elle dérivable en $2$ ?

c. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

3. Soient $a$ et $b$ deux réels. On considère la fonction $p$ définie sur $]1,+\mathrm{\infty }[$ par $p(x)=x^2+ax+b$ si $x⩽2$ et $p(x)=3\ln (x-1)+5$ si $x>2$. Déterminer $a$ et $b$ pour que $p$ soit à la fois continue et dérivable en $2$.

4. Le cours affirme que toute fonction dérivable en un point y est continue. La réciproque est-elle vraie ? Justifier à l'aide de l'une des fonctions précédentes.

Cet exercice n'utilise presque aucun calcul de primitive : tout repose sur les propriétés de l'intégrale, à savoir la linéarité, la relation de Chasles, la positivité et la croissance.

1. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[0,5]$ vérifiant

Calculer, en justifiant la propriété utilisée, chacune des intégrales suivantes lorsque c'est possible.

a. ${\displaystyle {\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x}$

b. ${\displaystyle {\int }_5^{0}f(x)\mathrm{d}x}$

c. ${\displaystyle {\int }_0^5(2f(x)-3g(x))\mathrm{d}x}$

d. ${\displaystyle {\int }_2^5(f(x)+1)\mathrm{d}x}$

e. ${\displaystyle {\int }_0^{2}g(x)\mathrm{d}x}$

2. Comparer ${\displaystyle {\int }_0^1{x}^3\mathrm{d}x}$ et ${\displaystyle {\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x}$ sans les calculer, puis vérifier le résultat par le calcul.

3. On pose $I={\displaystyle {\int }_0^1{e}^{-x^2}\mathrm{d}x}$.

a. Démontrer que pour tout $x\in [0,1]$, $e^{-x}⩽e^{-x^2}⩽1$.

b. En déduire un encadrement de $I$, puis une valeur approchée de chaque borne à ${10}^{-3}$ près.

4. On rappelle le résultat du cours : si $\phi$ est continue et positive sur $[a,b]$ avec $a<b$, et si ${\displaystyle {\int }_a^b\phi (x)\mathrm{d}x=0}$, alors $\phi$ est nulle sur $[a,b]$. Soit $u$ une fonction continue sur $[1,3]$ telle que $u(x)⩾2$ pour tout $x\in [1,3]$ et ${\displaystyle {\int }_1^{3}u(x)\mathrm{d}x=4}$. Démontrer que $u$ est la fonction constante égale à $2$.

5. On pose $J={\displaystyle {\int }_0^1(x^2-x)e^x\mathrm{d}x}$. Sans calculer $J$, démontrer que $J<0$, l'inégalité étant stricte.

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[-\mathrm{2,5};\mathrm{3,5}]$. La courbe ci-dessous n'est pas celle de $f$ : c'est celle de sa fonction dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$.

Aucune expression de $f$ ni de $f^{\mathrm{\prime }}$ n'est donnée : toutes les réponses des questions 1. à 5. se lisent sur ce graphique.

1. Donner, par lecture graphique, le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ suivant les valeurs de $x$. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations sur $[-\mathrm{2,5};\mathrm{3,5}]$.

2. Préciser les abscisses des extremums locaux de $f$ situés à l'intérieur de l'intervalle, ainsi que la nature de chacun.

3. Donner le sens de variation de $f^{\mathrm{\prime }}$. En déduire le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, puis les intervalles sur lesquels ${\mathcal{C}}_f$ est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.

4. En déduire l'abscisse du point d'inflexion de ${\mathcal{C}}_f$.

5. Donner le signe, puis la valeur, du coefficient directeur de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$. Même question au point d'abscisse $3$.

6. On admet à présent que $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2-x-2$.

a. Retrouver par le calcul les réponses des questions 1. à 4.

b. Déterminer l'expression de $f$ sachant que $f(0)=1$, puis calculer les deux extremums locaux de $f$.

Un atelier fabrique $q$ centaines de pièces par jour, avec $q\in ]0,8]$. Son coût total de production, exprimé en milliers d'euros, est

$$C(q)=q^3-6q^2+15q+32$$

Le coût marginal est la fonction dérivée $C^{\mathrm{\prime }}$ : l'approximation affine $C(q+h)\approx C(q)+h{C}^{\mathrm{\prime }}(q)$ montre que $C^{\mathrm{\prime }}(q)$ mesure le coût d'une petite production supplémentaire au niveau $q$. Le coût moyen est la fonction $C_M$ définie sur $]0,8]$ par $C_M(q)={\displaystyle \frac{C(q)}{q}}$.

1. Calculer $C^{\mathrm{\prime }}(q)$, vérifier que $C^{\mathrm{\prime }}(q)=3[(q-2{)}^2+1]$, et en déduire que le coût total est strictement croissant. Commenter ce résultat.

2. Étudier les variations du coût marginal sur $]0,8]$. Pour quelle production le coût marginal est-il minimal, et que vaut-il alors ?

3. Calculer $C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(q)$, étudier la convexité de $C$ et déterminer le point d'inflexion de sa courbe. Interpréter économiquement ce changement de régime.

4. a. Développer l'expression de $C_M(q)$. b. Démontrer que $C_M^{\mathrm{\prime }}(q)={\displaystyle \frac{2(q-4)(q^2+q+4)}{q^2}}$. c. En déduire la production qui minimise le coût moyen, et la valeur de ce minimum.

5. a. Vérifier sur cet exemple qu'au minimum du coût moyen, coût marginal et coût moyen sont égaux. b. Démontrer que ce n'est pas un hasard : si $C_M$ atteint un minimum en un point $q_0$ intérieur à l'intervalle, alors $C^{\mathrm{\prime }}(q_0)=C_M(q_0)$.

On considère la fonction $f$ définie par

$$f(x)=x^2-2\ln x$$

et l'on note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. a. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$ et justifier que $f$ y est de classe $C^2$. b. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)}$ et interpréter graphiquement. c. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$.

2. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, étudier son signe, dresser le tableau de variations de $f$ et préciser son minimum.

3. Calculer $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$. Que peut-on en déduire sur la convexité de ${\mathcal{C}}_f$ ? La courbe admet-elle un point d'inflexion ?

4. a. Déterminer une équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $1$. b. Préciser la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $T$ et en déduire que $2\ln x⩽x^2-1$ pour tout $x>0$. c. Décrire en quelques mots l'allure de ${\mathcal{C}}_f$.

5. Soit $m$ un réel. Discuter, selon la valeur de $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$.

On rappelle l'inégalité des accroissements finis, admise dans le cours : si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et s'il existe un réel $k⩾0$ tel que $\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\mid }⩽k$ pour tout $x\in I$, alors

$$\mathrm{\mid }f(b)-f(a)\mathrm{\mid }⩽k\mathrm{\mid }b-a\mathrm{\mid }\text{pour tous }a,b\text{ de }I$$

Toute application se rédige en trois temps : identifier l'intervalle $I$, majorer $\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ sur $I$, appliquer l'inégalité.

1. Soit $f$ la fonction racine carrée.

a. Justifier que pour tout $x⩾1$, $\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

b. En déduire que pour tous réels $a$ et $b$ supérieurs ou égaux à $1$, $\mid \sqrt{b}-\sqrt{a}\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }b-a\mathrm{\mid }$.

2. a. Majorer $\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\mid }$ sur l'intervalle $[100,102]$. b. En déduire un encadrement de $\sqrt{102}-\sqrt{100}$, puis un encadrement de $\sqrt{102}$. c. Comparer avec la majoration qu'aurait donnée la question 1. b. et commenter.

3. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\ln (1+x)$.

a. Justifier que $\mathrm{\mid }{g}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\mid }⩽1$ pour tout $x\in [0,3]$, puis que $\mathrm{\mid }\ln (1+x)-\ln (1+y)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$ pour tous $x,y$ de $[0,3]$.

b. En choisissant $y=0$, en déduire que $\ln (1+x)⩽x$ pour tout $x\in [0,3]$.

c. Majorer cette fois $\mathrm{\mid }{g}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ sur $[2,3]$, en déduire une majoration de $\ln 4-\ln 3$, et comparer à la valeur exacte.

4. Le chiffre d'affaires annuel d'un site marchand, en milliers d'euros, dépend du budget publicitaire $x$, lui aussi en milliers d'euros, selon $R(x)=60\sqrt{x+1}$, pour $x\in [3,10]$. Le budget prévu est de $3000$ €, mais il pourra être dépassé de $200$ € au plus. Majorer l'écart entre le chiffre d'affaires effectif et celui prévu pour un budget de $3000$ €.

On considère la fonction $f$ définie sur $[-2,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=\sqrt{x+2}$, l'intervalle $I=[1,3]$, et la suite $(u_n)$ définie par

$$u_0=1\text{et}{u}_{n+1}=f(u_n)\text{ pour tout entier naturel }n$$

1. Étudier les variations de $f$ sur $I$, puis démontrer que $f(I)\subset I$. On dit alors que $I$ est stable par $f$.

2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ est bien défini et appartient à $I$.

3. Résoudre l'équation $f(x)=x$ sur $I$. On note $\mathrm{\ell }$ son unique solution.

4. Démontrer que pour tout $x\in I$, $\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{1}{3}}$.

5. a. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{\mid }{u}_{n+1}-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }$. b. Démontrer par récurrence que $\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$ pour tout $n$. c. En déduire que $(u_n)$ converge et préciser sa limite.

6. Déterminer un entier $N$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽{10}^{-3}$ pour tout $n⩾N$. Comparer avec les premières valeurs de la suite.

Les résultats de convexité utilisés ici sont admis dans le cours : pour une fonction de classe $C^2$ sur un intervalle, $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩾0$ équivaut à la convexité, la courbe d'une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes, et celle d'une fonction concave est en dessous. L'exercice ne demande donc jamais de démontrer ces théorèmes, mais de les appliquer pour obtenir des inégalités.

1. Soit $f$ la fonction exponentielle.

a. Justifier que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

b. Déterminer une équation de la tangente $T_0$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$.

c. En déduire que $e^x⩾1+x$ pour tout réel $x$. Pour quelle valeur de $x$ y a-t-il égalité ?

2. Soit $g$ la fonction définie sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)=\ln (1+x)$.

a. Calculer $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ et en déduire que $g$ est concave sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$.

b. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_g$ au point d'abscisse $0$, puis en déduire que $\ln (1+x)⩽x$ pour tout $x>-1$.

3. Soit $h$ une fonction convexe sur un intervalle $I$, et $a,b$ deux éléments de $I$.

a. En appliquant la définition de la convexité avec $t_1=t_2={\displaystyle \frac{1}{2}}$, comparer $h\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)$ et ${\displaystyle \frac{h(a)+h(b)}{2}}$. Interpréter graphiquement.

b. Appliquer ce résultat à $h(x)=x^2$, puis retrouver l'inégalité obtenue par un calcul direct.

c. Appliquer ce résultat à $h(x)=e^x$ avec $a=0$ et $b=\ln 4$, et donner les deux valeurs numériques exactes obtenues.

4. Un capital est placé au taux annuel $t>0$ pendant $n$ années, avec intérêts composés : il est alors multiplié par $(1+t{)}^n$.

a. À l'aide de la question 1., démontrer que $(1+t{)}^n⩽e^{nt}$.

b. Application numérique pour $t=\mathrm{0,03}$ et $n=10$ : donner les deux membres à ${10}^{-4}$ près et interpréter.

On étudie les dérivées successives de trois fonctions usuelles. Dans chaque cas, la méthode est la même : calculer les premières dérivées, conjecturer une formule générale, puis la démontrer par récurrence. On rappelle la convention $f^{(0)}=f$.

1. a. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$. b. Conjecturer une expression de $f^{(n)}(x)$ pour tout entier naturel $n$. c. Démontrer cette formule par récurrence.

2. a. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$, $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ et $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$. b. Conjecturer une expression de $g^{(n)}(x)$ faisant intervenir $(-1{)}^n$ et $n!$. c. Démontrer cette formule par récurrence. d. En déduire $g^{(4)}(0)$.

3. a. Calculer $h^{\mathrm{\prime }}(x)$, $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ et $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$. b. Vérifier que la formule $h^{(n)}(x)=(x+n)e^x$ est cohérente avec ces calculs, puis la démontrer par récurrence.

4. Justifier que ces trois fonctions sont de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ sur l'intervalle considéré.

5. Soit $p$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $p(x)=x{e}^x+e^{-3x}$. Donner, sans nouveau calcul, l'expression de $p^{(n)}(x)$, puis la valeur de $p^{(2)}(0)$.

1. Calculer $A={\displaystyle {\int }_0^1{t}^2{e}^{t}dt}$ à l'aide de deux intégrations par parties successives.

2. Calculer $B={\displaystyle {\int }_1^e(\ln t{)}^{2}dt}$ par la même méthode. Comparer avec $A$.

3. On souhaite calculer $C={\displaystyle {\int }_1^4{\displaystyle \frac{e^{\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}}dt}$ en posant $u=\sqrt{t}$, c'est-à-dire $t=u^2$.

a. Justifier que ce changement de variable est licite : la fonction $u\mapsto u^2$ est de classe $C^1$ et strictement monotone sur l'intervalle utilisé. Préciser les nouvelles bornes.

b. Effectuer le changement de variable et donner la valeur exacte de $C$.

c. Retrouver le résultat en devinant une primitive de $t\mapsto {\displaystyle \frac{e^{\sqrt{t}}}{\sqrt{t}}}$ sur $[1,4]$.

4. On pose $D={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{t}{1+t^2}}dt}$ et $E={\displaystyle {\int }_0^{1}t{e}^{-t}dt}$. Pour chacune de ces deux intégrales, dire laquelle des trois techniques (primitive à vue, intégration par parties, changement de variable) est la plus économique et pourquoi, puis calculer.

Pour tout réel $x⩾0$, on pose

$$F(x)={\int }_0^{x}t{e}^{-t}dt$$

1. Justifier que $F(x)$ est bien définie pour tout $x⩾0$, et calculer $F(0)$.

2. Calculer $F(x)$ explicitement à l'aide d'une intégration par parties.

3. En déduire $F^{\mathrm{\prime }}(x)$, et vérifier que $F$ est bien la primitive de $t\mapsto t{e}^{-t}$ qui s'annule en $0$.

4. Retrouver le sens de variation de $F$ sans utiliser l'expression explicite : on raisonnera sur le signe de l'intégrande et sur la relation de Chasles.

5. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)}$ à partir de l'expression obtenue à la question 2. Interpréter ce résultat en termes d'aire.

6. Étudier la convexité de $F$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et préciser son point d'inflexion.

7. On pose maintenant, pour tout $x⩾0$, $G(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}{e}^{-t}dt}$.

a. Exprimer $G(x)$ à l'aide d'une primitive de $t\mapsto e^{-t}$, et simplifier le résultat.

b. En déduire le sens de variation de $G$ et sa limite en $+\mathrm{\infty }$.

Aucune des intégrales de cet exercice ne se calcule explicitement : il s'agit uniquement de les encadrer en encadrant les intégrandes.

1. On pose $I={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{dt}{1+t^3}}}$.

a. Encadrer $1+t^3$ pour $t\in [0,1]$, et en déduire un premier encadrement de $I$.

b. Montrer que, pour tout $t\in [0,1]$, ${\displaystyle \frac{1}{1+t}}⩽{\displaystyle \frac{1}{1+t^3}}⩽1-{\displaystyle \frac{t^3}{2}}$. En déduire l'encadrement $\ln 2⩽I⩽{\displaystyle \frac{7}{8}}$.

2. On pose $J={\displaystyle {\int }_1^2{e}^{-t^2}dt}$. Encadrer $t^2$ pour $t\in [1,2]$ par deux fonctions affines de $t$, puis en déduire un encadrement de $J$ par des intégrales que l'on sait calculer. Donner les valeurs numériques à ${10}^{-3}$ près.

3. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $K_n={\displaystyle {\int }_0^1{t}^n{e}^{-t}dt}$.

a. À l'aide de l'inégalité $\mid {\displaystyle {\int }_a^{b}f}\mid ⩽{\displaystyle {\int }_a^b\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }}$ (valable pour $a⩽b$), montrer que $\mid K_n\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$.

b. En déduire ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{K}_n}$, en nommant le théorème utilisé.

4. Comparer $P={\displaystyle {\int }_1^2\ln tdt}$ et $Q={\displaystyle {\int }_1^2(t-1)dt}$ par intégration d'une inégalité, en rédigeant complètement l'argument. Calculer ensuite les deux intégrales pour vérifier.

Un entrepôt reçoit chaque mois $200$ palettes, et il en expédie une proportion fixe de son stock : $40\mathrm{\%}$ du stock présent par mois. On note $y(t)$ le stock, en palettes, à l'instant $t$ exprimé en mois. Le modèle en temps continu s'écrit

$$y^{\mathrm{\prime }}(t)=-\mathrm{0,4}y(t)+200$$

et l'on suppose $y$ dérivable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

1. Déterminer l'unique équilibre du modèle, c'est-à-dire l'unique trajectoire constante, en écrivant $y^{\mathrm{\prime }}=0$. Interpréter.

2. Résoudre l'équation différentielle sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ : on résoudra d'abord l'équation homogène associée, puis on utilisera la solution particulière constante trouvée à la question 1.

3. L'entrepôt contient $200$ palettes à l'instant $t=0$. Déterminer la trajectoire correspondante, et vérifier qu'elle est bien solution en la réinjectant dans l'équation.

4. Montrer que toute trajectoire converge vers l'équilibre quand $t\to +\mathrm{\infty }$. Pour un modèle général $y^{\mathrm{\prime }}=-ay+b$ avec $a>0$, expliquer pourquoi la convergence est d'autant plus rapide que $a$ est grand.

5. Justifier que deux trajectoires distinctes ne se coupent jamais.

6. Pour la trajectoire de la question 3., au bout de combien de temps l'écart à l'équilibre est-il divisé par deux ? Donner la valeur exacte puis une valeur approchée.

7. Les livraisons augmentent désormais régulièrement : l'équation devient $y^{\mathrm{\prime }}(t)=-\mathrm{0,4}y(t)+200+40t$. Chercher une solution particulière de la forme $t\mapsto \alpha t+\beta$, en déduire toutes les solutions, puis celle qui vérifie $y(0)=200$. Le modèle admet-il encore un équilibre ?

Pour tout entier naturel $n$, on pose

$$I_n={\int }_0^1{t}^n{e}^{t}dt$$

1. Justifier que $I_n$ est bien définie pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis calculer $I_0$ et $I_1$.

2. Démontrer que la suite $(I_n)$ est décroissante, en comparant les intégrandes sur $[0,1]$.

3. Démontrer que $I_n⩾0$ pour tout $n$. En déduire que la suite $(I_n)$ converge, en nommant précisément le théorème utilisé.

4. Établir l'encadrement $0⩽I_n⩽{\displaystyle \frac{e}{n+1}}$, et en déduire ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n}$.

5. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$I_{n+1}=e-(n+1)I_n$$

Vérifier cette relation pour $n=0$.

6. En déduire les valeurs exactes de $I_2$ et $I_3$, puis contrôler la décroissance obtenue à la question 2.

7. Déduire de la relation de la question 5. la limite de la suite ${((n+1)I_n)}_{n\in \mathbb{N}}$.