Devoir surveillé — Calcul différentiel et intégral

Pour chacune des six affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier : une démonstration si l'affirmation est vraie, un contre-exemple explicite si elle est fausse. Une réponse sans justification ne rapporte aucun point.

a. (0,5 point) Toute fonction convexe sur $\mathbb{R}$ y admet un minimum.

b. (0,5 point) Si $f$ est de classe $C^2$ et convexe sur $\mathbb{R}$ et si $f(0)=0$, alors $f(x)⩾f^{\mathrm{\prime }}(0)x$ pour tout réel $x$.

c. (0,5 point) Si $f$ est continue sur $[0,1]$ et si ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t=0}$, alors $f$ s'annule au moins une fois sur $[0,1]$.

d. (0,5 point) Toute solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-y^{\mathrm{\prime }}-2y=0$ tend vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$.

e. (0,5 point) Si $f$ est dérivable sur $[0,4]$, si $\mid f^{\mathrm{\prime }}(x)\mid ⩽3$ pour tout $x$ de $[0,4]$ et si $f(0)=2$, alors $f(4)⩽14$.

f. (0,5 point) Pour toutes fonctions $f$ et $g$ continues sur $[0,1]$ :

$${\int }_0^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t=({\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t)\times ({\int }_0^{1}g(t)\mathrm{d}t)\mathrm{.}$$

Une machine-outil est posée sur un amortisseur réglable. On note $y(t)$ l'écart, en millimètres, entre la position de la machine et sa position de repos, $t$ étant le temps écoulé en secondes depuis le début d'une secousse. Le constructeur indique que la raideur et le freinage sont commandés par une même molette, graduée par un réel $\alpha$, et que l'écart obéit alors à l'équation différentielle

$$(E_{\alpha }):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\alpha y^{\mathrm{\prime }}+(\alpha -1)y=0.$$

Un réglage est dit efficace lorsque toute secousse finit par s'éteindre, c'est-à-dire lorsque toutes les solutions de $(E_{\alpha })$ tendent vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$.

Données numériques. On donne $\ln (\mathrm{1,4})\approx \mathrm{0,3365}$ et $\ln (\mathrm{2,8})\approx \mathrm{1,0296}$.

1. Écrire l'équation caractéristique de $(E_{\alpha })$. Vérifier que $-1$ en est racine quelle que soit la valeur de $\alpha$, en déduire sa factorisation, puis ses deux racines. (0,5 point)

2. Donner, en discutant selon la valeur de $\alpha$, l'ensemble des solutions de $(E_{\alpha })$ sur $\mathbb{R}$. (0,75 point)

3. Déterminer l'ensemble exact des réglages efficaces, en examinant tous les cas. (0,75 point)

4. La molette est réglée sur $\alpha =3$. Déterminer la solution vérifiant $y(0)=2$ et $y^{\mathrm{\prime }}(0)=-9$, puis vérifier le résultat en réinjectant l'expression obtenue dans l'équation et dans les conditions initiales. (0,75 point)

5. Étudier le signe et les variations de cette solution sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, déterminer sa limite en $+\mathrm{\infty }$, et donner la valeur exacte de l'écart le plus négatif atteint. La machine repasse-t-elle de l'autre côté de sa position de repos ? (0,75 point)

On pose

$$A={\int }_0^{\ln 3}\frac{\mathrm{d}t}{1+e^t},B={\int }_0^{\ln 3}\frac{e^t}{1+e^t}\mathrm{d}t,C={\int }_1^4\frac{\ln t}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Données numériques. On donne $\ln 2\approx \mathrm{0,6931}$ et $\ln 3\approx \mathrm{1,0986}$.

1. Vérifier que ${\displaystyle \frac{1}{u(1+u)}}={\displaystyle \frac{1}{u}}-{\displaystyle \frac{1}{1+u}}$ pour tout $u>0$, puis calculer $A$ à l'aide du changement de variable $u=e^t$, dont on vérifiera les hypothèses. (0,75 point)

2. En remarquant que la somme des deux fonctions intégrées vaut $1$, en déduire $B$ sans nouveau calcul d'intégrale. Contrôler le résultat en reconnaissant une primitive à vue. (0,5 point)

3. Calculer $C$ à l'aide d'une intégration par parties dont on précisera les hypothèses. (0,75 point)

4. On appelle valeur moyenne d'une fonction $h$ continue sur un segment $[a,b]$ avec $a<b$ le réel ${\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}h(x)\mathrm{d}x}$. Calculer la valeur moyenne de $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+e^t}}$ sur $[0,\ln 3]$, puis démontrer qu'elle est comprise entre les valeurs extrêmes de cette fonction sur ce segment. (0,5 point)

5. Comparer $C$ et $D={\displaystyle {\int }_1^4\frac{\ln t}{t}\mathrm{d}t}$ sans calculer $D$, puis confirmer par le calcul de $D$. (0,5 point)

Un exploitant céréalier épand, à l'instant $t=0$, un engrais azoté à libération lente sur une parcelle de blé. Le temps $t$ est compté en semaines.

Les granulés se dissolvent progressivement : ils libèrent dans le sol de l'azote assimilable à la vitesse de $40e^{-t\mathrm{/}2}$ kilogrammes par hectare et par semaine, vitesse maximale au moment de l'épandage puis qui s'essouffle. Dans le même temps, le blé prélève l'azote disponible à une vitesse proportionnelle à la quantité présente dans le sol, le coefficient de prélèvement valant $1$ par semaine.

On note $y(t)$ la quantité d'azote assimilable présente dans le sol à l'instant $t$, exprimée en kilogrammes par hectare. Le sol en est initialement dépourvu, donc $y(0)=0$. On admet que $y$ est dérivable sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

Données numériques. On donne

$$\ln 2\approx \mathrm{0,6931},\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4142},\ln (1+\sqrt{2})\approx \mathrm{0,8814},e^{-4}\approx \mathrm{0,0183.}$$

1. Justifier que $y$ est solution sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ de l'équation différentielle $(E):y^{\mathrm{\prime }}+y=40e^{-t\mathrm{/}2}$. (0,25 point)

2. Résoudre sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ l'équation homogène $(H):y^{\mathrm{\prime }}+y=0$. (0,25 point)

3. Chercher une solution particulière de $(E)$ de la forme $t\mapsto \alpha e^{-t\mathrm{/}2}$, où $\alpha$ est un réel à déterminer, puis donner l'ensemble des solutions de $(E)$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. (0,5 point)

4. En déduire l'expression de $y(t)$, puis vérifier que la fonction obtenue résout bien le problème posé. (0,5 point)

5. Déterminer le signe de $y$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, puis la limite de $y$ en $+\mathrm{\infty }$. Interpréter cette limite pour l'exploitant. (0,5 point)

6. Étudier les variations de $y$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. Préciser la valeur exacte de l'instant où l'azote disponible est le plus abondant, ainsi que la valeur exacte de ce maximum. (0,5 point)

7. Démontrer qu'en posant $u=e^{-t\mathrm{/}2}$, l'équation $y(t)=10$ équivaut à $8u^2-8u+1=0$, puis résoudre cette dernière équation. (0,25 point)

8. Le blé n'est correctement alimenté que lorsque le sol contient au moins $10$ kg/ha d'azote assimilable. On note $F$ l'ensemble des instants $t⩾0$ pour lesquels $y(t)⩾10$. Démontrer que $F$ est un segment $[t_1,t_2]$, que sa longueur vaut exactement $4\ln (1+\sqrt{2})$, et en donner une valeur approchée en semaines puis en jours. (0,5 point)

9. La quantité d'azote prélevée par le blé entre les instants $0$ et $T$ vaut ${\displaystyle {\int }_0^{T}y(t)\mathrm{d}t}$, et la quantité libérée par les granulés sur la même période vaut ${\displaystyle {\int }_0^{T}40e^{-t\mathrm{/}2}\mathrm{d}t}$. Calculer ces deux intégrales en fonction de $T$. (0,25 point)

10. Vérifier que « ce qui a été libéré » est exactement égal à « ce qui a été prélevé » augmenté de « ce qui reste dans le sol », et expliquer pourquoi cette égalité n'est que l'équation $(E)$ relue autrement. Donner enfin ces trois quantités pour $T=8$ semaines, arrondies au dixième de kilogramme par hectare. (0,5 point)

Ce problème établit d'abord un encadrement général de l'intégrale d'une fonction convexe, puis l'exploite deux fois : pour approcher $\ln 2$ à la main, puis pour démontrer un encadrement du nombre $e$ sans aucune calculatrice.

Données numériques. On donne $\ln 2\approx \mathrm{0,6931}$ et $\sqrt{5}\approx \mathrm{2,2361}$.

Partie A — Un encadrement général

Dans toute cette partie, $f$ désigne une fonction de classe $C^2$ et convexe sur un segment $[a,b]$, avec $a<b$. On note $c={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ le milieu de ce segment.

1. Soit $x\in [a,b]$. On pose $t_1={\displaystyle \frac{b-x}{b-a}}$ et $t_2={\displaystyle \frac{x-a}{b-a}}$. Vérifier que $t_1$ et $t_2$ sont deux réels de $[0,1]$ de somme $1$, puis que $t_{1}a+t_{2}b=x$. En déduire que

$$f(x)⩽\frac{b-x}{b-a}f(a)+\frac{x-a}{b-a}f(b)\mathrm{.}$$

(0,75 point)

2. Calculer ${\displaystyle {\int }_a^b\frac{b-x}{b-a}\mathrm{d}x}$, puis ${\displaystyle {\int }_a^b\frac{x-a}{b-a}\mathrm{d}x}$. En déduire la majoration

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}\mathrm{.}$$

(0,5 point)

3. Justifier que $f(x)⩾f(c)+f^{\mathrm{\prime }}(c)(x-c)$ pour tout $x$ de $[a,b]$. Calculer ${\displaystyle {\int }_a^b(x-c)\mathrm{d}x}$, puis en déduire la minoration ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩾(b-a)f(c)}$. (0,75 point)

4. Énoncer l'encadrement obtenu et l'interpréter en termes d'aires. (0,25 point)

Partie B — Un encadrement de $\ln 2$

On note $g$ la fonction définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $g(t)={\displaystyle \frac{1}{t}}$.

5. Justifier que $g$ est de classe $C^2$ et convexe sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. (0,25 point)

6. Appliquer la partie A à $g$ sur le segment $[1,2]$ et en déduire que ${\displaystyle \frac{2}{3}}⩽\ln 2⩽{\displaystyle \frac{3}{4}}$. (0,5 point)

7. Appliquer maintenant la partie A à $g$ séparément sur $[1,{\displaystyle \frac{3}{2}}]$ puis sur $[{\displaystyle \frac{3}{2}},2]$, et en déduire par la relation de Chasles que

$$\frac{24}{35}⩽\ln 2⩽\frac{17}{24}\mathrm{.}$$

(0,75 point)

8. Comparer les amplitudes des deux encadrements obtenus aux questions 6 et 7, et conclure sur la précision atteinte. (0,5 point)

Partie C — Un encadrement de $e$

9. Appliquer la partie A à la fonction exponentielle sur le segment $[0,1]$ et écrire l'encadrement obtenu. (0,5 point)

10. En déduire que $e⩽3$. (0,5 point)

11. On pose $x=e^{1\mathrm{/}2}$. Montrer que la minoration de la question 9 s'écrit $x^2-x-1⩾0$, résoudre cette inéquation, et en déduire que $e⩾{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$. (0,75 point)

12. Donner l'encadrement numérique de $e$ ainsi obtenu et le commenter. (0,5 point)