Exercices — Variables aléatoires

1. Dans chacun des deux cas suivants, le tableau donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$, mais une probabilité est manquante. Compléter le tableau en justifiant.

   a. $X$ désigne le gain, en euros, d'un joueur à un jeu de cartes.

   $x_i$	$-1$	$0$	$2$	$5$
   $P(X=x_i)$	$\mathrm{0,2}$	$\mathrm{0,35}$	$\dots$	$\mathrm{0,15}$

   b. $X$ désigne le nombre de pannes d'une machine de production au cours d'une semaine.

   $x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
   $P(X=x_i)$	$\mathrm{0,1}$	$\dots$	$\mathrm{0,45}$	$\mathrm{0,05}$

2. Le tableau suivant peut-il être la loi de probabilité d'une variable aléatoire ? Justifier.

   $x_i$	$1$	$2$	$3$
   $P(X=x_i)$	$\mathrm{0,5}$	$\mathrm{0,3}$	$\mathrm{0,3}$

À la fête d'un village, un stand propose de faire tourner une roue de loterie partagée en $8$ secteurs identiques :

• $4$ secteurs ne font rien gagner ;
• $2$ secteurs font gagner $2$ euros ;
• $1$ secteur fait gagner $5$ euros ;
• $1$ secteur fait gagner $10$ euros.

La roue est équilibrée : chaque secteur a la même probabilité d'être désigné. On note $X$ le gain, en euros, obtenu en une partie.

1. Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire $X$ ?

2. Justifier que $P(X=2)={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

3. Construire le tableau donnant la loi de probabilité de $X$.

4. Vérifier que la somme des probabilités du tableau est égale à $1$.

5. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins $5$ euros ?

Le standard téléphonique d'un cabinet médical enregistre le nombre d'appels reçus chaque matin entre $9$ h et $9$ h $30$. On note $X$ le nombre d'appels reçus pendant cette demi-heure. Une étude sur une longue période a permis d'établir la loi de probabilité suivante :

1. Traduire par une phrase en français chacun des événements suivants.

   a. $\{X=2\}$

   b. $\{X⩽3\}$

2. Écrire à l'aide de la variable aléatoire $X$ chacun des événements suivants.

   a. « Le standard reçoit au plus un appel. »

   b. « Le standard reçoit au moins $4$ appels. »

3. Calculer $P(X=2)$, puis $P(X⩽3)$.

4. En remarquant que l'événement « $X⩾4$ » est le contraire de l'événement « $X⩽3$ », calculer $P(X⩾4)$.

5. Vérifier le résultat de la question précédente par un calcul direct.

Une association vend des tickets de grattage pour financer un voyage. On note $X$ le gain, en euros, obtenu avec un ticket. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :

1. Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité.

2. Calculer l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.

3. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. L'association vend $500$ tickets. Quel montant total peut-elle s'attendre à distribuer en gains ?

Une concession automobile a relevé, sur une longue période, le nombre de véhicules vendus chaque jour d'ouverture. On note $X$ le nombre de véhicules vendus en une journée. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant, dans lequel une probabilité est manquante :

1. Calculer $P(X=2)$ en justifiant.

2. Calculer la probabilité que la concession vende au plus un véhicule dans la journée.

3. Calculer l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.

4. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

5. La concession est ouverte $200$ jours par an. Estimer le nombre de véhicules vendus en une année.

Lors d'une kermesse, un stand propose le jeu suivant. Le joueur paie une mise de $2$ euros, puis tire au hasard une boule dans une urne contenant $10$ boules :

• $1$ boule rouge, qui rapporte $10$ euros ;
• $3$ boules vertes, qui rapportent $2$ euros ;
• $6$ boules bleues, qui ne rapportent rien.

On note $X$ le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la somme reçue diminuée de la mise.

1. Justifier que $X$ prend les valeurs $8$, $0$ et $-2$.

2. Construire le tableau donnant la loi de probabilité de $X$.

3. Calculer $E(X)$ et interpréter ce résultat.

4. Ce jeu est-il équitable ? Sinon, est-il favorable au joueur ou à l'organisateur ?

5. On garde les mêmes sommes reçues ($10$ euros, $2$ euros ou rien) mais on cherche à modifier la mise pour rendre le jeu équitable.

   a. On note $R$ la somme reçue par le joueur (sans tenir compte de la mise). Calculer $E(R)$.

   b. En déduire la mise qui rendrait le jeu équitable.

Rappel : une variable aléatoire $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ lorsqu'elle ne prend que les valeurs $1$ (succès, avec la probabilité $p$) et $0$ (échec, avec la probabilité $1-p$).

Pour chacune des situations suivantes, dire si la variable aléatoire $X$ décrite suit une loi de Bernoulli. Si oui, donner son paramètre $p$ ; sinon, expliquer pourquoi.

Dans une usine de fabrication de flacons de verre, une étude a montré que $3$ % des flacons produits présentent un défaut. On prélève un flacon au hasard sur la chaîne de production et on note $X$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si le flacon est défectueux et $0$ sinon.

1. Justifier que $X$ suit une loi de Bernoulli et préciser son paramètre $p$.

2. Construire le tableau donnant la loi de probabilité de $X$.

3. Calculer $E(X)$.

4. Interpréter ce résultat : que représente $E(X)$ pour la production de l'usine ?

5. Chaque jour, le service qualité contrôle $500$ flacons. Combien de flacons défectueux peut-il s'attendre à trouver, en moyenne, lors d'un contrôle ?

6. Un matin, le service qualité trouve $18$ flacons défectueux sur les $500$ contrôlés. Faut-il en conclure que la machine s'est déréglée ? Justifier sans calcul supplémentaire, en comparant la fréquence observée à la proportion attendue.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement la réponse (par un argument ou un contre-exemple).

1. La somme des probabilités qui figurent dans la loi de probabilité d'une variable aléatoire vaut toujours $1$.

2. Si $E(X)=\mathrm{2,4}$, alors la variable aléatoire $X$ prend la valeur $\mathrm{2,4}$.

3. Une variable aléatoire qui prend la valeur $1$ avec la probabilité $\mathrm{0,7}$ et la valeur $0$ sinon suit une loi de Bernoulli.

4. L'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre $\mathrm{0,35}$ vaut $\mathrm{0,65}$.

5. Si un jeu d'argent a une espérance de gain négative, alors on perd de l'argent à coup sûr en y jouant.

Sur un site de vente en ligne, $15\mathrm{\%}$ des visiteurs effectuent un achat. On note $X$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si un visiteur achète et $0$ sinon : $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p=\mathrm{0,15}$.

On veut simuler le comportement d'un échantillon de $n=40$ visiteurs à l'aide du script Python suivant, où random() renvoie un nombre aléatoire entre $0$ et $1$.

from random import random

nb = 0
for i in range(...):
    if random() < ...:
        nb = nb + ...
print(nb)
print(nb / 40)

1. Expliquer pourquoi le test random() < 0.15 simule bien l'événement « le visiteur achète ».

2. Recopier et compléter le script.

3. Que représentent les deux nombres affichés à la fin du script ?

4. Une exécution du script a affiché 7, puis la fréquence correspondante. Quelle est cette fréquence ? Expliquer pourquoi une nouvelle exécution du script peut afficher un résultat différent.

Une enquête montre que $60\mathrm{\%}$ des clients d'un service en ligne sont satisfaits. On modélise la réponse d'un client par une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre $p=\mathrm{0,6}$ (elle vaut $1$ si le client est satisfait, $0$ sinon).

On simule des échantillons de clients avec le script Python suivant.

from random import random

def echantillon(n):
    nb = 0
    for i in range(n):
        if random() < 0.6:
            nb = nb + 1
    return nb / n

freqs = []
for k in range(300):
    freqs.append(echantillon(50))

1. Dans la fonction echantillon, quel est le rôle de la variable nb ? Que renvoie la fonction ?

2. Que contient la liste freqs à la fin de l'exécution du script ?

3. Une exécution de echantillon(25) a renvoyé 0.44. Est-ce surprenant, alors que $p=\mathrm{0,6}$ ? Justifier sans calcul.

4. Recopier et compléter le script suivant pour qu'il compte combien de fréquences de la liste freqs appartiennent à l'intervalle $[\mathrm{0,5};\mathrm{0,7}]$.

compteur = 0
for f in freqs:
    if ...:
        compteur = compteur + ...
print(compteur)

Un sachet de graines annonce un taux de germination de $80\mathrm{\%}$ : chaque graine plantée germe avec la probabilité $p=\mathrm{0,8}$, indépendamment des autres.

Pour simuler la plantation de $50$ graines, on saisit dans chacune des cellules A1 à A50 d'une feuille de calcul la formule =SI(ALEA()<0,8;1;0).

1. Que renvoie la fonction ALEA() ?

2. Expliquer pourquoi cette formule simule bien la germination d'une graine ($1$ si la graine germe, $0$ sinon).

3. Quelle formule saisir en B1 pour obtenir la fréquence des graines qui ont germé dans cet échantillon ?

4. On appuie sur la touche F9 : toutes les valeurs de la colonne A changent, et la valeur de B1 aussi. Expliquer ce qui se passe.

On a simulé $N=300$ échantillons de taille $n=60$ d'une loi de Bernoulli de paramètre $p=\mathrm{0,3}$. Pour chaque échantillon, on a calculé la fréquence des $1$, puis on a représenté la série des $300$ fréquences par l'histogramme ci-dessous (la ligne pointillée indique $p=\mathrm{0,3}$).

La machine donne l'écart-type de la série des $300$ fréquences : $s\approx \mathrm{0,056}$. Les fréquences observées vont de $\mathrm{0,13}$ à $\mathrm{0,48}$.

1. Que représente la hauteur d'une barre de l'histogramme ?

2. Dans quelle zone se concentrent la plupart des fréquences observées ?

3. Calculer les bornes $p-2s$ et $p+2s$.

4. On compte que $\mathrm{69,3}\mathrm{\%}$ des fréquences sont à une distance inférieure ou égale à $s$ de $p$, que $\mathrm{94,3}\mathrm{\%}$ sont à une distance inférieure ou égale à $2s$, et $\mathrm{99,7}\mathrm{\%}$ à une distance inférieure ou égale à $3s$. Interpréter le pourcentage $\mathrm{94,3}\mathrm{\%}$ à l'aide de l'intervalle de la question 3.

5. Dans ce modèle, un échantillon de taille $60$ dont la fréquence des $1$ vaut $\mathrm{0,45}$ correspond-il à une situation fréquente ou rare ? Justifier à l'aide de $s$.

Pour plusieurs valeurs de $n$, on a simulé $N=500$ échantillons de taille $n$ d'une loi de Bernoulli de paramètre $p=\mathrm{0,5}$. Pour chaque valeur de $n$, la machine donne l'écart-type $s$ de la série des $500$ fréquences observées.

1. Que constate-t-on pour $s$ lorsque $n$ est multiplié par $4$ (de $25$ à $100$, puis de $100$ à $400$) ?

2. Calculer ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$ pour $n=100$ et comparer à la valeur de $s$ correspondante. Calculer ensuite les quatre produits $s\times \sqrt{n}$. Que constate-t-on ?

3. Par combien faut-il multiplier la taille $n$ des échantillons pour diviser la dispersion $s$ par $3$ ?

4. Un institut de sondage souhaite obtenir des résultats deux fois moins dispersés. Que doit-il faire ?

Dans une usine, une machine produit des pièces dont, en fonctionnement normal, $5\mathrm{\%}$ sont défectueuses. On prélève une pièce au hasard dans la production et on note $X$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la pièce est défectueuse et $0$ sinon.

Partie A — Le modèle

1. Justifier que $X$ suit une loi de Bernoulli et préciser son paramètre.

2. Donner la loi de probabilité de $X$ sous forme de tableau.

3. Calculer $E(X)$ et interpréter ce résultat.

Partie B — Simulation

4. Recopier et compléter le script Python suivant pour qu'il affiche la fréquence des pièces défectueuses dans un échantillon simulé de $n=200$ pièces.

from random import random

nb = 0
for i in range(...):
    if random() < ...:
        nb = nb + 1
print(nb / ...)

Partie C — La machine est-elle déréglée ?

On a répété la simulation précédente $N=400$ fois. Le nuage de points ci-dessous donne la fréquence des pièces défectueuses de chacun des $400$ échantillons simulés (ligne pointillée : $p=\mathrm{0,05}$). L'écart-type de la série des $400$ fréquences, donné par la machine, vaut $s\approx \mathrm{0,015}$.

Un contrôleur prélève $200$ pièces dans la production du jour et trouve $18$ pièces défectueuses.

5. Calculer la fréquence observée de pièces défectueuses.

6. Calculer la distance entre cette fréquence et $p=\mathrm{0,05}$, puis exprimer cette distance en nombre d'écarts-types $s$.

7. Sur les $400$ échantillons simulés, seulement $\mathrm{1,5}\mathrm{\%}$ ont une fréquence supérieure ou égale à $\mathrm{0,09}$ (ligne rouge sur la figure). Que peut-on raisonnablement conclure ? Cette conclusion est-elle certaine ?