Devoir surveillé — Variables aléatoires

Une association organise une tombola pour financer ses activités. Chaque ticket est vendu 2 €. Un ticket permet de gagner :

• 20 € avec la probabilité $\mathrm{0,01}$ ;
• 5 € avec la probabilité $\mathrm{0,08}$ ;
• rien dans tous les autres cas.

On note $X$ le gain algébrique d'un joueur qui achète un ticket, c'est-à-dire la somme gagnée diminuée du prix du ticket.

1. Justifier que les valeurs prises par $X$ sont $18$, $3$ et $-2$.

2. Présenter la loi de probabilité de $X$ dans un tableau.

3. a. Interpréter par une phrase, dans le contexte de l'exercice, l'événement $\{X=3\}$.

   b. Calculer $P(X⩽3)$.

4. Calculer l'espérance $E(X)$.

5. Interpréter le résultat de la question 4, du point de vue du joueur puis du point de vue de l'association. Ce jeu est-il équitable ?

Dans une enseigne de magasins, une enquête montre que $85\mathrm{\%}$ des clients se disent satisfaits de leur passage en caisse. On interroge un client au hasard et on note $X$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si le client se dit satisfait, et $0$ sinon.

1. Justifier que $X$ suit une loi de Bernoulli et préciser son paramètre.
2. Présenter la loi de probabilité de $X$ dans un tableau.
3. Donner $E(X)$ et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
4. On interroge maintenant trois clients, choisis de façon indépendante. À l'aide d'un arbre ou de la règle du produit, calculer la probabilité que les trois clients se disent satisfaits. Arrondir au millième.

Une graine d'une certaine variété germe avec la probabilité $p=\mathrm{0,7}$, indépendamment des autres graines. Pour étudier la fréquence de germination dans un échantillon de $50$ graines, on utilise le script Python incomplet ci-dessous.

from random import random

nb = ...
for i in range(50):
    if random() < 0.7:
        nb = ...
freq = ...
print(freq)

1. La fonction random() renvoie un nombre au hasard entre $0$ et $1$, toutes les valeurs étant équiprobables. Expliquer pourquoi le test random() < 0.7 simule bien la germination d'une graine.
2. Recopier et compléter les trois pointillés du script.
3. Une exécution du script complété affiche 0.64. Combien de graines ont germé dans cet échantillon simulé ?
4. Un voisin exécute exactement le même script et obtient 0.74. L'un des deux s'est-il trompé ? Expliquer.
5. Modifier le script pour qu'il affiche les fréquences de germination de $200$ échantillons de $50$ graines.

Dans une usine, une machine d'embouteillage produit, lorsqu'elle est bien réglée, $20\mathrm{\%}$ de bouteilles légèrement sous-remplies (défaut sans gravité). On pose donc $p=\mathrm{0,2}$.

Pour savoir à quoi ressemblent les fréquences de bouteilles sous-remplies quand la machine est bien réglée, on a simulé $N=250$ échantillons de $n=80$ bouteilles. L'histogramme ci-dessous représente les fréquences observées dans ces $250$ échantillons ; la ligne en pointillés marque la valeur $p=\mathrm{0,2}$.

L'écart-type de la série des $250$ fréquences vaut $s\approx \mathrm{0,046}$.

1. Que représente une barre de cet histogramme ?

2. D'après le graphique, entre quelles valeurs se concentre l'essentiel des fréquences observées ?

3. Calculer $p-2s$ et $p+2s$.

4. On précise que $\mathrm{96,4}\mathrm{\%}$ des échantillons simulés ont une fréquence comprise entre $p-2s$ et $p+2s$. Interpréter cette phrase.

5. Un matin, le contrôleur qualité prélève $80$ bouteilles et en trouve $24$ légèrement sous-remplies.

   a. Calculer la fréquence de bouteilles sous-remplies dans ce prélèvement.

   b. Calculer la distance entre cette fréquence et $p$, puis l'exprimer en nombre d'écarts-types $s$.

   c. Dans les simulations, seuls $\mathrm{2,8}\mathrm{\%}$ des échantillons ont une fréquence atteignant $\mathrm{0,30}$. Que peut-on conseiller au contrôleur ? La machine est-elle nécessairement déréglée ?