Exercices — Suites arithmétiques et géométriques

Une suite est arithmétique lorsque l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison. Pour le vérifier sur une liste de nombres, on calcule les différences entre chaque terme et le précédent : elles doivent toutes être égales.

Voici quatre listes de nombres.

Pour chaque liste, dire si elle peut correspondre aux premiers termes d'une suite arithmétique. Justifier en calculant les différences entre termes consécutifs, et donner la raison le cas échéant.

Une suite à termes strictement positifs est géométrique lorsque l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé la raison. Pour le vérifier sur une liste de nombres, on calcule les quotients de chaque terme par le précédent : ils doivent tous être égaux.

Voici quatre listes de nombres.

Pour chaque liste, dire si elle peut correspondre aux premiers termes d'une suite géométrique. Justifier en calculant les quotients de termes consécutifs, et donner la raison le cas échéant.

1. On considère la suite $u$ définie par $u(0)=7$ et, pour tout entier naturel $n$ :

   $$u(n+1)=u(n)+6$$

   a. Calculer $u(1)$, $u(2)$ et $u(3)$.

   b. Quelle est la nature de la suite $u$ ? Donner sa raison.

2. On considère la suite $v$ définie par $v(0)=5$ et, pour tout entier naturel $n$ :

   $$v(n+1)=2\times v(n)$$

   a. Calculer $v(1)$, $v(2)$ et $v(3)$.

   b. Quelle est la nature de la suite $v$ ? Donner sa raison.

3. On souhaite connaître $u(30)$ et $v(30)$. Avec la seule relation de récurrence, peut-on obtenir directement ces termes, sans calculer tous ceux qui précèdent ? Expliquer.

Pour une suite arithmétique $u$ de premier terme $u(0)$ et de raison $r$, le terme de rang $n$ est donné par :

1. La suite $u$ est arithmétique de premier terme $u(0)=12$ et de raison $r=5$.

   a. Exprimer $u(n)$ en fonction de $n$.

   b. Calculer $u(30)$.

2. La suite $w$ est arithmétique de premier terme $w(0)=90$ et de raison $r=-\mathrm{3,5}$.

   a. Exprimer $w(n)$ en fonction de $n$.

   b. Calculer $w(20)$.

3. Une médiathèque compte $850$ abonnés le jour de son ouverture. Chaque mois, elle gagne $15$ nouveaux abonnés. On note $m(n)$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ mois.

   a. Justifier que la suite $m$ est arithmétique et préciser son premier terme et sa raison.

   b. Exprimer $m(n)$ en fonction de $n$.

   c. Combien la médiathèque comptera-t-elle d'abonnés au bout de deux ans ?

Pour une suite géométrique $v$ à termes strictement positifs, de premier terme $v(0)$ et de raison $q>0$, le terme de rang $n$ est donné par :

1. La suite $v$ est géométrique de premier terme $v(0)=3$ et de raison $q=2$.

   a. Exprimer $v(n)$ en fonction de $n$.

   b. Calculer $v(10)$.

2. Une colonie de bactéries compte $800$ individus au début d'une expérience. Un traitement fait diminuer leur nombre de $10\mathrm{\%}$ par heure. On note $b(n)$ le nombre de bactéries au bout de $n$ heures.

   a. Justifier que la suite $b$ est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.

   b. Exprimer $b(n)$ en fonction de $n$.

   c. Calculer le nombre de bactéries au bout de $5$ heures. Arrondir à l'unité.

On a représenté ci-dessous les nuages de points $(n;u(n))$, $(n;v(n))$ et $(n;w(n))$ de trois suites $u$, $v$ et $w$, pour $n$ allant de $0$ à $5$.

1. Lire sur chaque graphique les six premiers termes de la suite correspondante.

2. Pour chaque nuage, conjecturer la nature de la suite (arithmétique, géométrique, ou ni l'un ni l'autre) en justifiant à partir de l'allure du nuage.

3. Vérifier chaque conjecture par le calcul, à partir des valeurs lues à la question 1 (différences ou quotients de termes consécutifs).

4. Donner la raison et le premier terme de la suite arithmétique et de la suite géométrique trouvées.

Pour démontrer qu'une suite $u$ est arithmétique, il ne suffit pas de vérifier les premières différences : il faut montrer que $u(n+1)-u(n)$ est constant pour tout entier naturel $n$.

1. On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u(n)=7n-3$.

   a. Calculer $u(0)$, $u(1)$ et $u(2)$.

   b. Exprimer $u(n+1)$ en fonction de $n$, puis calculer $u(n+1)-u(n)$.

   c. En déduire que la suite $u$ est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.

2. On considère la suite $w$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w(n)=n^2+n$.

   a. Calculer $w(0)$, $w(1)$, $w(2)$ et $w(3)$.

   b. La suite $w$ est-elle arithmétique ? Justifier.

   c. La suite $w$ est-elle géométrique ? Justifier.

On considère la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v(n)=5\times 3^n$.

1. Calculer $v(0)$, $v(1)$ et $v(2)$.

2. Démontrer que la suite $v$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

On considère maintenant la suite $t$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $t(n)=2n+1$.

3. Calculer $t(0)$, $t(1)$ et $t(2)$.

4. La suite $t$ est-elle géométrique ? Justifier.

5. Montrer que la suite $t$ est en revanche arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.

Pour chacune des cinq suites définies ci-dessous, préciser sa nature (arithmétique ou géométrique) et sa raison, puis donner son sens de variation en le justifiant à l'aide de la raison.

1. Pour chacune des quatre situations suivantes, indiquer si elle se modélise par une suite arithmétique (évolution linéaire) ou par une suite géométrique (évolution exponentielle), puis donner le premier terme, une relation de récurrence et la raison de la suite choisie.

   a. Un loyer de $620$ € augmente de $15$ € chaque année.

   b. La population d'une ville de $24000$ habitants augmente de $2$ % par an.

   c. Le nombre d'abonnés d'une chaîne, $1500$ au départ, double chaque mois.

   d. Une cuve contient $900$ L d'eau et perd $35$ L par semaine.

2. Quels indices, dans la formulation d'un énoncé, signalent une évolution relative (qui dépend de la valeur actuelle) plutôt qu'une évolution absolue (quantité fixe ajoutée ou retirée) ?

On utilise une feuille de calcul pour comparer deux suites : la colonne A contient les rangs $n$ de $0$ à $20$ (cellules A2 à A22), la colonne B les termes de la suite arithmétique $u$ de premier terme $u(0)=35$ et de raison $r=8$, et la colonne C les termes de la suite géométrique $v$ de premier terme $v(0)=35$ et de raison $q=\mathrm{1,08}$. Les cellules B2 et C2 contiennent la valeur $35$.

1. Quelle formule saisir dans la cellule B3, puis recopier vers le bas jusqu'en B22, pour afficher les termes de la suite $u$ ?

2. Quelle formule saisir dans la cellule C3, puis recopier vers le bas jusqu'en C22, pour afficher les termes de la suite $v$ ?

3. Proposer une autre formule, à saisir en B2 et à recopier vers le bas, qui calcule directement $u(n)$ à partir du rang $n$ de la colonne A, sans utiliser la cellule du dessus.

4. Calculer à la main $v(1)$ et $v(2)$, pour vérifier les valeurs affichées par le tableur.

5. Le tableur affiche $u(20)=195$ et $v(20)\approx \mathrm{163,1}$ : à ce stade, la suite arithmétique est encore devant. Laquelle des deux suites finira pourtant par dépasser l'autre pour les grands rangs ? Justifier par un argument sur les types de croissance, et expliquer comment le vérifier avec la feuille de calcul.

On considère les deux fonctions Python suivantes.

def terme(n):
    u = 200
    for i in range(n):
        u = u * 1.1
    return u

def seuil(s):
    n = 0
    u = 200
    while u < s:
        u = u * 1.1
        n = n + 1
    return n

1. La fonction terme calcule les termes d'une suite $u$. Préciser la nature de cette suite, son premier terme, sa raison, et donner l'expression de $u(n)$ en fonction de $n$.

2. Quelle valeur renvoie l'appel terme(2) ? Détailler les étapes du calcul.

3. Expliquer, dans le vocabulaire des suites, ce que renvoie la fonction seuil.

4. Quelle valeur renvoie l'appel seuil(400) ? Justifier à l'aide des valeurs de la suite.

5. Modifier la fonction terme pour qu'elle calcule les termes de la suite arithmétique $w$ de premier terme $w(0)=200$ et de raison $r=30$.

Une entreprise propose deux contrats d'embauche. Dans les deux cas, le salaire mensuel initial est de $1800$ €, puis il augmente chaque année :

• Contrat A : augmentation de $54$ € par an ;
• Contrat B : augmentation de $3$ % par an.

Pour un entier naturel $n$, on note $A(n)$ et $B(n)$ les salaires mensuels, en euros, après $n$ années avec chaque contrat.

1. Préciser la nature et la raison de chacune des suites $A$ et $B$, puis exprimer $A(n)$ et $B(n)$ en fonction de $n$.

2. Calculer $A(1)$ et $B(1)$. Que remarque-t-on ?

3. Calculer $A(2)$ et $B(2)$. Lequel des deux contrats prend l'avantage ?

4. Donner le sens de variation de chacune des deux suites, en justifiant à l'aide de la raison.

5. On donne l'extrait de tableur suivant (salaires en euros, arrondis au centime).

   $n$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$
   $A(n)$	$2286$	$2340$	$2394$	$2448$	$2502$
   $B(n)$	$2\mathrm{348,59}$	$2\mathrm{419,05}$	$2\mathrm{491,62}$	$2\mathrm{566,37}$	$2\mathrm{643,36}$

   À partir de quelle année chaque contrat dépasse-t-il $2500$ € par mois ?

6. Conclure en une phrase : quel contrat est le plus avantageux à long terme ?

Un artisan achète un utilitaire neuf au prix de $24000$ €. D'après l'argus, la valeur du véhicule (sa cote) perd $20$ % par an. Pour un entier naturel $n$, on note $v(n)$ la valeur du véhicule, en euros, après $n$ années ; ainsi $v(0)=24000$.

Partie A — La cote du véhicule

1. Justifier que la suite $v$ est géométrique. Préciser sa raison, puis exprimer $v(n)$ en fonction de $n$.

2. Calculer $v(1)$ et $v(2)$.

3. Donner le sens de variation de la suite $v$, en justifiant à l'aide de la raison.

4. On donne la table de valeurs suivante (valeurs en euros, arrondies au centime).

   $n$	$3$	$4$	$5$
   $v(n)$	$12288$	$9\mathrm{830,40}$	$7\mathrm{864,32}$

   À partir de quelle année la valeur du véhicule passe-t-elle sous les $8000$ € ?

Partie B — Acheter ou louer ?

L'artisan hésitait avec une location longue durée d'un utilitaire équivalent, au tarif de $460$ € par mois. On note $c(n)$ le coût cumulé de la location, en euros, après $n$ années, et $p(n)=24000-v(n)$ la perte de valeur cumulée du véhicule acheté après $n$ années.

5. Justifier que $c(n)=5520n$, et préciser la nature, le premier terme et la raison de la suite $c$.

6. Calculer $p(5)$ et $c(5)$, puis comparer.

7. Sur $5$ ans, quel choix « coûte » le moins cher d'après ce modèle ? Citer une limite de cette comparaison.