Devoir surveillé — Suites arithmétiques et géométriques

Les trois parties sont indépendantes. La calculatrice est autorisée.

Partie A. La suite $(u(n))$, que l'on peut aussi noter $(u_n)$, est définie par son premier terme $u(0)=8$ et, pour tout entier naturel $n$,

$$u(n+1)=u(n)+3.$$

1. Quelle est la nature de la suite $(u(n))$ ? Préciser sa raison.
2. Calculer $u(1)$, $u(2)$ et $u(3)$.
3. Exprimer $u(n)$ en fonction de $n$.
4. Calculer $u(20)$.

Partie B. Les quatre premiers termes d'une suite $(v(n))$ sont :

$$v(0)=5;v(1)=10;v(2)=20;v(3)=40.$$

5. Calculer les quotients de deux termes consécutifs. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite $(v(n))$ ?
6. On admet que cette conjecture est vraie pour tout entier naturel $n$. Exprimer $v(n)$ en fonction de $n$, puis calculer $v(8)$.

Partie C. Les quatre premiers termes d'une suite $(w(n))$ sont :

$$w(0)=0;w(1)=2;w(2)=6;w(3)=12.$$

7. Montrer que la suite $(w(n))$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

On a représenté ci-dessous le nuage de points $(n;d(n))$ des six premiers termes d'une suite $(d(n))$, pour $n$ allant de $0$ à $5$.

1. Lire graphiquement $d(0)$, $d(1)$ et $d(2)$.
2. La suite $(d(n))$ semble-t-elle arithmétique ? Semble-t-elle géométrique ? Justifier à l'aide de l'allure du nuage de points.
3. Vérifier la conjecture de la question 2 en calculant les quotients de termes consécutifs à partir des valeurs lues sur le graphique.
4. Exprimer $d(n)$ en fonction de $n$.
5. Quel est le sens de variation de la suite $(d(n))$ ? Justifier à l'aide de la raison.
6. Calculer $d(8)$.

On souhaite placer $1500$ € et on hésite entre deux options.

• Option A : un livret qui verse $45$ € d'intérêts chaque année (montant fixe).
• Option B : un placement dont le capital augmente de $\mathrm{2,5}\mathrm{\%}$ chaque année.

On note $a(n)$ et $b(n)$ les capitaux, en euros, obtenus après $n$ années avec les options A et B respectivement. On a donc $a(0)=b(0)=1500$.

1. Donner la nature et la raison de chacune des suites $(a(n))$ et $(b(n))$. Justifier, en expliquant notamment pourquoi une augmentation de $\mathrm{2,5}\mathrm{\%}$ revient à une multiplication.
2. Calculer $a(1)$ et $a(2)$, puis $b(1)$ et $b(2)$ (arrondir au centime si nécessaire).
3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a(n)$ puis $b(n)$ en fonction de $n$.
4. Calculer $a(10)$ et $b(10)$ (arrondir au centime). Quelle option est la plus avantageuse au bout de $10$ ans ?
5. On donne l'extrait de tableur suivant, où les valeurs de $b(n)$ sont arrondies au centime.

À partir de quelle année l'option B dépasse-t-elle l'option A ?

6. Expliquer en une phrase pourquoi, quel que soit le montant fixe versé par l'option A, l'option B finit toujours par la dépasser.

Une colonie compte $200$ bactéries. Son effectif augmente de $50\mathrm{\%}$ par heure. On note $c(n)$ l'effectif de la colonie après $n$ heures, de sorte que $c(0)=200$. On donne le script Python suivant.

def effectif(n):
    c = 200
    for i in range(n):
        c = c * 1.5
    return c

def duree(s):
    n = 0
    c = 200
    while c < s:
        c = c * 1.5
        n = n + 1
    return n

1. Donner la nature de la suite $(c(n))$, son premier terme et sa raison, puis exprimer $c(n)$ en fonction de $n$.
2. Quelle valeur renvoie l'appel effectif(2) ? Détailler les valeurs successives prises par la variable c.
3. Que représente la valeur renvoyée par la fonction duree(s) ?
4. Quelle valeur renvoie l'appel duree(2000) ? Justifier par le calcul des termes de la suite autour du seuil.