Exercices — Statistiques à deux variables quantitatives

Un glacier installé en bord de mer relève, pendant huit jours, la température de l'après-midi $x$ (en degrés Celsius) et le nombre $y$ de glaces vendues dans la journée.

1. Représenter le nuage de points associé à cette série dans un repère. On prendra $1$ cm pour $2$ °C en abscisse, en commençant la graduation à $16$, et $1$ cm pour $10$ glaces en ordonnée, en commençant la graduation à $40$.

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.

3. Décrire l'allure du nuage de points. Un ajustement affine semble-t-il envisageable pour cette série ?

Un basketteur note, chaque semaine pendant six semaines, son temps d'entraînement hebdomadaire $x$ (en heures) et le nombre $y$ de lancers francs réussis sur une série de $20$ tentatives.

1. Calculer $\bar{x}$, la moyenne de la série des $x$, puis $\bar{y}$, la moyenne de la série des $y$.

2. En déduire les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.

3. Le point $G$ est-il un point du nuage ? Justifier.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

a. Un nuage de points représente une série statistique à deux variables quantitatives.

b. Le point moyen d'un nuage a pour coordonnées la moyenne des $x$ et la moyenne des $y$.

c. Pour la série $x=1$, $3$, $5$ et $y=2$, $6$, $7$, le point moyen est $G(3;5)$.

d. Le point moyen appartient toujours au nuage de points.

Les trois questions sont indépendantes.

1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de la série :

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de la série :

3. Une série statistique à deux variables comporte quatre couples de valeurs et son point moyen est $G(5;9)$. Trois des valeurs de $x$ sont $3$, $4$ et $6$. Déterminer la quatrième valeur de $x$.

Le tableau ci-dessous donne le prix moyen constaté $y$ (en milliers d'euros) d'un modèle de voiture d'occasion en fonction de son âge $x$ (en années).

Le nuage de points associé à cette série est représenté ci-dessous.

1. Décrire la tendance du nuage de points. Que peut-on en dire dans le contexte de l'exercice ?

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.

3. Interpréter les coordonnées de $G$ dans le contexte de l'exercice.

Une créatrice de contenu suit le nombre d'abonnés $y$ (en milliers) de sa chaîne, $x$ mois après son lancement.

On propose d'ajuster ce nuage de points par la droite $d$ d'équation $y=\mathrm{1,6}x+3$, tracée ci-dessous.

1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.

2. Vérifier par le calcul que $G$ appartient à la droite $d$.

3. À l'aide de la droite $d$, estimer le nombre d'abonnés $7$ mois après le lancement. Cette estimation est-elle une interpolation ou une extrapolation ? Justifier.

Un food-truck a ouvert il y a six mois. Le tableau ci-dessous donne son chiffre d'affaires mensuel $y$, en centaines d'euros, en fonction du rang du mois $x$ depuis l'ouverture.

1. On partage le nuage de points en deux sous-nuages de même effectif : les trois premiers mois d'une part, les trois derniers d'autre part. Calculer les coordonnées des points moyens partiels $G_1$ et $G_2$ de ces deux sous-nuages.
2. Déterminer l'équation réduite de la droite de Mayer, c'est-à-dire de la droite $(G_1{G}_2)$.
3. À l'aide de cet ajustement, estimer le chiffre d'affaires du 8e mois. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?

Une association relève chaque année son nombre d'adhérents. Le tableau ci-dessous donne le nombre d'adhérents $y$, en dizaines, en fonction du rang de l'année $x$.

1. Après avoir représenté (ou observé) le nuage de points, expliquer pourquoi un ajustement affine semble pertinent.
2. On décide d'ajuster le nuage au jugé par la droite passant par les points $A(2;11)$ et $B(7;26)$. Déterminer l'équation réduite de cette droite.
3. À l'aide de cet ajustement, estimer le nombre d'adhérents pour $x=6$. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?

Dans un élevage, on a pesé régulièrement un veau entre ses 2 semaines et ses 20 semaines. À partir de ces mesures, on a obtenu l'ajustement affine $y=7x+45$, où $x$ est l'âge en semaines et $y$ la masse en kilogrammes. Cet ajustement a été construit à partir des données observées pour $2⩽x⩽20$.

1. Estimer la masse du veau à 10 semaines. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
2. Même question pour l'âge de 30 semaines.
3. Rédiger en une phrase la différence entre interpolation et extrapolation, puis indiquer laquelle des deux estimations précédentes est la plus fiable.

On a représenté ci-dessous deux nuages de points issus de situations différentes.

Nuage A. Budget publicitaire $x$ (en milliers d'euros) et ventes $y$ (en milliers d'unités) de 7 campagnes d'une entreprise.

Nuage B. Hauteur $h$ (en mètres) d'un ballon lancé en l'air, en fonction du temps $t$ (en secondes).

1. Pour chacun des deux nuages, dire si un ajustement affine est pertinent, en justifiant par la forme du nuage.
2. Pour le nuage B, expliquer pourquoi utiliser une droite d'ajustement pour prévoir la hauteur du ballon à $t=10$ s serait absurde.

Une entreprise suit le coût annuel d'entretien $y$, en euros, d'une machine-outil en fonction de son âge $x$, en années. Les données sont saisies dans une feuille de calcul : les âges en A2:A9, les coûts en B2:B9.

1. Quelle formule saisir dans la cellule D2 pour obtenir la moyenne $\bar{x}$ des âges ? Dans la cellule E2 pour obtenir la moyenne $\bar{y}$ des coûts ?
2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.
3. Le tableur affiche la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés : $y=\mathrm{29,4}x+\mathrm{90,2}$ (coefficients arrondis). Vérifier que $G$ appartient à cette droite.
4. À l'aide de cet ajustement, estimer le coût d'entretien lorsque la machine aura 10 ans. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? Quelle prudence faut-il avoir sur cette estimation ?

La taille moyenne $y$, en cm, d'un groupe d'enfants a été mesurée chaque année entre $2$ et $10$ ans. Sur cette plage d'âges, un ajustement affine fiable a été obtenu :

$$y=6x+78$$

où $x$ désigne l'âge en années.

1. À l'aide de ce modèle, estimer la taille moyenne à $6$ ans. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
2. Un élève utilise ce modèle pour prévoir la taille moyenne à $40$ ans. Calculer le résultat obtenu et expliquer pourquoi il est absurde.
3. Proposer un intervalle d'âges sur lequel ce modèle peut raisonnablement être utilisé, puis rédiger deux phrases expliquant la prudence nécessaire face à une extrapolation.

Une maison est chauffée à l'électricité. Le tableau ci-dessous donne sa consommation électrique hebdomadaire $y$, en kWh, en fonction de la température extérieure moyenne $x$, en °C, relevée sur huit semaines.

1. Commenter la tendance du nuage de points. Ce constat est-il cohérent avec la situation ?
2. On partage le nuage en deux sous-nuages de même effectif : les quatre premiers points d'une part, les quatre derniers d'autre part. Déterminer les points moyens partiels $G_1$ et $G_2$, puis l'équation réduite de la droite de Mayer.
3. À l'aide de cet ajustement, estimer la consommation pour une semaine où la température extérieure moyenne est de $12$ °C. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
4. Que prévoit le modèle pour une semaine à $35$ °C ? Commenter ce résultat.

En chimie, pour doser une espèce colorée en solution, on mesure au spectrophotomètre l'absorbance $A$ (sans unité) de solutions étalons dont la concentration $c$, en mg/L, est connue. Le tableau ci-dessous donne les mesures obtenues pour cinq solutions étalons. On pose $x=c$ et $y=A$.

1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.
2. La calculatrice, par la méthode des moindres carrés, donne la droite d'étalonnage d'équation $y=\mathrm{0,075}x$. Rappeler en une phrase le principe de cette méthode, puis vérifier que $G$ appartient à cette droite.
3. Une solution de concentration inconnue a une absorbance de $\mathrm{0,54}$. Estimer sa concentration à l'aide de la droite d'étalonnage. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?

Le tableau ci-dessous donne le nombre $y$, en milliers, de points de recharge pour véhicules électriques installés dans un pays, relevé chaque année. On note $x$ le rang de l'année, avec $x=1$ pour 2019.

1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.
2. On partage le nuage en deux sous-nuages de même effectif : les quatre premiers points d'une part, les quatre derniers d'autre part. Déterminer les points moyens partiels $G_1$ et $G_2$, puis l'équation réduite de la droite de Mayer.
3. Vérifier que $G$ appartient à la droite de Mayer.
4. À l'aide de cet ajustement, estimer le nombre de points de recharge au rang $10$, c'est-à-dire en 2028. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? Citer une raison pour laquelle la réalité pourrait s'écarter de cette prévision.

Un artisan relève sa production quotidienne pendant quatre jours. Le tableau ci-dessous donne le nombre $y$ d'objets fabriqués en fonction du rang du jour $x$.

Deux droites sont proposées pour ajuster ce nuage de points :

$$d_1:y=2x+1\text{et}{d}_2:y=\mathrm{2,2}x+\mathrm{0,5}$$

1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage, puis vérifier, pour chacune des deux droites, si elle passe par $G$. Que constate-t-on ? Ce critère permet-il de départager les deux ajustements ?
2. Pour chacune des deux droites, calculer les quatre écarts verticaux $y_i-(a{x}_i+b)$ entre les points du nuage et la droite, puis la somme des carrés de ces écarts.
3. Selon le critère des moindres carrés, on retient la droite dont la somme des carrés des écarts est la plus petite. Laquelle des deux droites est le meilleur ajustement ?
4. La calculatrice confirme que $d_2$ est exactement la droite des moindres carrés de cette série. Ce résultat est-il cohérent avec les questions précédentes ?